人教版数学九年级下册第28章28.2-解直角三角形及其应用

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典案一 教学设计

课题 第1课时 仰角、俯角与解直角三角形 授课人

教

学

目

标 知识技能 理解仰角、俯角的概念，并能通过作高构造直角三角形进而解直角三角形．

数学思考 结合实际问题，弄清仰角、俯角的概念，通过解直角三角形，获得解决物体的高、宽等一些测量经验．

问题解决 要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，通过解直角三角形解决实际问题．

情感态度 运用数形结合思想，把实际问题转化为数学问题，培养学生的自主探究精神，并提高合作交流的能力，培养学数学用数学的思想．

教学

重点 利用俯角、仰角计算物体的高和宽等．

教学

难点 把实际问题转化为数学模型．

授课

类型 新授课 课时

教具 多媒体

教学活动

教学

步骤 师生活动 设计意图

回顾 1.解直角三角形的主要依据是什么？

2．解直角三角形主要有哪两种类型？

1.两锐角的关系、三边之间的关系、边角之间的关系.

2．(1)已知两条边；(2)已知一条边和一个锐角. 回顾以前所学内容，为本节课的教学内容做好准备.

活动

一：

创设

情境

导入

新课 【课堂引入】

2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km的圆形轨道上运行，如图28－2－37，当组合体运行到地球表面点P的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与点P的距离是多少(地球半径约为6400 km, π取3.142，结果取整数)?

图28－2－37 通过实际问题，激发学生的学习兴趣，把实际问题转化为数学问题，通过求解，初步体会解直角三角形的内涵，引入课题.

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(续表)

活动

二：

实践

探究

交流

新知 1.解决问题：

师生活动：教师引导学生分析问题，将实际问题转化为数学问题，并画出示意图.

第 1 页 28．2．1 解直角三角形

1．理解解直角三角形的意义和条件；(重点)

2．根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素．(难点)

一、情境导入

世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜．设塔顶中心点为B, 塔身中心线与垂直中心线夹角为∠A，过点B向垂直中心线引垂线，垂足为点C.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m，求∠A的度数．

在上述的Rt△ABC中，你还能求其他未知的边和角吗？

二、合作探究

探究点一：解直角三角形

【类型一】

利用解直角三角形求边或角

已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，按下列条件解直角三角形．

(1)若a＝36，∠B＝30°，求∠A的度数和边b、c的长；

(2)若a＝62，b＝66，求∠A、∠B的度数和边c的长．

解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形．

解：(1)在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，a＝36，∴∠A＝90°－∠B＝60°，∵cosB＝ac，即c＝acosB＝3632＝243，∴b＝sinB·c＝12×243＝123；

(2)在Rt△ABC中，∵a＝62，b＝66，∴tanA＝ab＝33，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴c＝2a＝122.

方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题

【类型二】 构造直角三角形解决长度问题 第 2 页 一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，试求CD的长．

解析：过点B作BM⊥FD于点M，求出BM与CM的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝60°，利用解直角三角形解答即可．

解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝122，∴BC＝AC＝122.∵AB∥CF，∴BM＝sin45°BC＝122×22＝12，CM＝BM＝12.在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝BMtan60°＝43，∴CD＝CM－MD＝12－43.

课题： 28．2.1 解直角三角形 备课人：

教学时数 1课时 授课日期 授课类型 新 授

教学目标：

知识与技能：在理解解直角三角形的含义、直角三角形五个元素之间关系的基础上，会运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．

过程与方法：通过综合运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

情感态度与价值观：在探究学习的过程中，培养学生合作交流的意识，使学生认识到数与形相结合的意义与作用，体会到学好数学知识的作用，并提高学生将数学知识应用于实际的意识，从而体验“从实践中来，到实践中去”的辩证唯物主义思想，激发学生学习数学的兴趣．让学生在学习过程中感受到成功的喜悦，产生后继学习的激情，增强学好数学的信心．

教学重点： 直角三角形的解法．

教学难点： 灵活运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．

教学方法： 探究合作

教学准备： Ppt

新课标

体 现： 以学生为主体小组合作探究

作业布置： 习题

板书设计： 28．2.1 解直角三角形

在直角三角形中，由已知的边角关系，求出未知的边与角，叫做解直角三角形．

课时备案 二次备案修改 课后反思

教学过程：

一、复习回顾

师：你还记得勾股定理的内容吗？

学生叙述勾股定理的内容．

师：直角三角形的两个锐角之间有什么关系呢？

生：两锐角互余．

师：直角三角形中，30°的角所对的直角边与斜边有什么关系？

生：30°的角所对的直角边等于斜边的一半．

二、共同探究，获取新知

1．概念．

师：由sinA＝ac，你能得到哪些公式？

生甲：a＝c·sinA.

生乙：c＝asinA.

师：我们还学习了余弦函数和正切函数，也能得到这些式子的变形．我们知道，在直角三角形中有三个角、三条边共六个元素，能否从已知的元素求出未知的元素呢？

教师板书：

在直角三角形中，由已知的边角关系，求出未知的边与角，叫做解直角三角形．

新人教版 数学 九年级 下册 第28章 28.2 解直角三角形的简单应用 教案

1 / 3 28.2.2 应用举例

第1课时 解直角三角形的简单应用

1．通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解题过程中的作用；(重点)

2．能够把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并运用解直角三角形求解．(难点)

一、情境导入

为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具．图①所示的是一辆自行车的实物图，图②是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与CD的长分别为45cm和60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm.点A、C、E在同一条直线上，且∠CAB＝75°.

你能求出车架档AD的长吗？

二、合作探究

探究点：解直角三角形的简单应用

【类型一】

求河的宽度

根据网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA＝76.1°，∠BCA＝68.2°，CD＝82米．求AB的长(精确到0.1米)．参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5.

解析：设AD＝xm，则AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，根据三角函数得到AB＝2.5(x＋82)m，在Rt△ABD中，根据三角函数得到AB＝4x，依此得到关于x的方程，进一步即可求解．

解：设AD＝xm，则AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，tan∠BCA＝ABAC，∴AB＝AC·tan∠BCA＝2.5(x＋82)．在Rt△ABD中，tan∠BDA＝ABAD，∴AB＝AD·tan∠BDA＝4x，∴2.5(x＋82)＝4x，解得x＝4103.∴AB＝4x＝4×4103≈546.7m.