反演问题的计算方法及其应用 王彦飞 pdf

反演问题的数值解法研究第一章引言反演问题是指通过观测数据得到模型参数或物理参数的过程。

在许多领域中，反演问题都是非常重要的，如地球物理学、医学成像、无损检测等。

由此带来的数值计算问题也是非常重要的，因为反演问题涉及到从离散的观测数据中推断出连续的参数，需要依赖数值方法来求解。

本文主要呈现了一些常用的反演问题的数值解法的研究，包括线性反演问题和非线性反演问题。

我们将对各种反演问题的数值解法进行介绍，包括正则化方法、Bayesian方法、梯度下降等。

第二章线性反演问题线性反演问题是指观测数据与模型参数之间的函数关系是线性的反演问题。

我们通常将这种问题表示为$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$，其中$A$是线性算子，$\mathbf{x}$是模型参数，$\mathbf{b}$是观测数据。

线性反演问题的数值解法可以使用奇异值分解（SVD）或者正则化方法。

其中，SVD可以将线性反演问题转换为一个完全指定和完全可逆的问题，可以得到唯一的解。

但是，由于数值算法的限制和观测数据误差的影响，SVD不一定是最好的解决方案。

为了解决这个问题，我们可以使用正则化方法。

正则化方法是一种通过增加稳定性约束条件来处理不适定反演问题的技术。

这些约束条件可以有效地减少反演问题的不确定性。

常用的正则化方法包括Tikhonov正则化和阻尼最小二乘法。

Tikhonov正则化是通过加入二次惩罚项来限制解的大小，从而使得解更加平滑。

阻尼最小二乘法是通过同时加入观测数据误差和模型误差的项来解决线性反演问题。

这两种方法都可以通过基于SVD的方法求解。

需要注意的是，对于线性反演问题，只有当观测数据是无误的时候才能得到正确的解。

这是因为线性反演问题的解非常敏感，即使存在微小的误差，也会导致解的失真。

第三章非线性反演问题与线性反演问题不同，非线性反演问题的观测数据与模型参数之间具有非线性关系。

常见的非线性反演问题包括逆时偏移（RTM）、全波形反演（FWI）和电磁成像等。

第一章反演理论第一节基本概念一．反演和正演1．反演反演是一个很广的概念，根据地震波场、地球自由振荡、交变电磁场、重力场以及热学等地球物理观测数据去推测地球内部的结构形态及物质成分，来定量计算各种有关的物理参数，这些都可以归结为反演问题。

在地震勘探中，反演的一个重要应用就是由地震记录得到波阻抗。

有反演，还有正演。

要正确理解反演问题，还要知道正演的概念。

2．正演正演和反演相反，它是对一个假设的地质模型，给定某些参数（如速度、层数、厚度）用理论关系式（数学模型）推导出某种可测量的量（如地震波）。

在地震勘探中，正演的一个重要应用就是制作合成地震记录。

3．例子考虑地球内部的温度分布，假定地球内部的温度随深度线性增加，其关系式可表示成：T(z)=a+bz正演：给定a和b，求不同深度z的对应温度T(z)反演：已经在不同点z测得T(z)，求a和b。

二．反演问题描述和公式表达的几个重要问题1．应用哪种参数化方式——离散的还是连续的？2．地球物理数据的性质是什么？观测中的误差是什么？3．问题能不能作为数学问题提出，如果能够，它是不是适定的？4．对问题有无物理约束？5．能获得什么类型的解，达到什么精度？要求得到近似解、解的范围、还是精确解？6．问题是线性的还是非线性的？7．问题是欠定的、超定的、还是适定的？8．什么是问题的最好解法？9．解的置信界限是什么？能否用其它方法来评价？第二节反演的数学基础一．解超定线性反问题1．简单线性回归可利用最小平方法确定参数a 、b 使误差的平方和最小。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∑-∑∑∑-∑=-=∑∑-=22)()(x x n y x xy n b x b y n x b y a （1-2-1） 拟合公式为：bx a y+=ˆ （1-2-2） 该方法的公式原来只适用于解超定问题，但同样适用于欠定问题，当我们有多个参数时，称为多元回归，在地球物理领域广泛采用这种方法。

此过程用矩阵形式表示，则称为广义最小平方法矩阵方演。

带粒子滤波约束的PP-PS联合反演的稀疏解算法王彦飞;唐静;耿伟峰;王成祥【期刊名称】《地球物理学报》【年(卷),期】2018(061)003【摘要】随着地震勘探目标从构造型油气藏向岩性油气藏的转变,地震勘探难度日益增大,这就要求从地震数据中获得更多可靠且具有明确地质含义的属性信息,并充分利用这些属性信息来对储层的岩性、岩相进行分析.AVO三参数反演能够从振幅随炮检距的变化信息中直接提取纵波速度、横波速度以及密度来估计岩石和流体的性质,进而对储层进行预测.然而,AVO反演本身是一个不适定的问题,加上地震纵波反射系数对横波速度和密度的不敏感,会造成单纯利用纵波地震数据进行反演的结果误差大.随着地震接收和数据处理技术的发展,越来越多的学者对PP-PS联合反演方法进行了研究并在实际资料中得以运用.融合转换横波地震数据的联合反演在一定程度上提高了反演的精度,降低了解的不稳定性.但是在信噪比较低的情况下,联合反演的效果受到了限制.本文从优化理论出发,提出了基于粒子滤波提供先验知识的l1范数约束极小化问题的稀疏解算法.并将上述方法运用到了不同的模型中,通过比较分析,证实了该方法在不同信噪比资料中的有效性和在信噪比较低情况下的优势.%With the seismic prospecting target changing from structural reservoirs to lithologic reservoirs,it requires more reliable attribute information with clear geological meanings from seismic data to identify the lithology or lithoface information of the reservoirs.The three-term AVO inversion can be used to estimate the P-wave velocity,S-wave velocity and density of the rock and fluid's properties through the amplitude variationswith offset.However,the AVO inversion is essentially an ill-posed problem.The pure seismic P-wave approaches are not sensitive to the shear wave velocity and density,which causes errors in the inversion results.With the development of seismic data acquisition and data processing technology,more and more scholars begin to study the PP-PS joint inversion and apply it to field data.The joint inversion can improve the inversion accuracy and to some extent reduce the inversion instability.However,in the low signal-to-noise ratio situations,we cannot obtain good results from the joint inversion.In this paper,we propose the l1 norm constrained sparse optimization method with the initial model generated from the particle filtering.The effectiveness of this method is verified through model tests with three different signals-to-noise ratios and its advantage in the low SNR inversion is verified by comparing it with the conventional method.【总页数】9页(P1169-1177)【作者】王彦飞;唐静;耿伟峰;王成祥【作者单位】中国科学院地质与地球物理研究所,中国科学院油气资源研究重点实验室,北京100029;中国科学院大学,北京100049;西南石油大学地球科学与技术学院,成都610500;中国石油集团东方地球物理勘探有限责任公司物探技术研究中心,河北涿州 072751;中国石油集团东方地球物理勘探有限责任公司物探技术研究中心,河北涿州 072751【正文语种】中文【中图分类】P631【相关文献】1.解域约束下的微地震事件网格搜索法、遗传算法联合反演 [J], 宋维琪;杨晓东2.带稀疏约束的分裂可行问题的算法 [J], 畅含笑;孙军;屈彪;;;3.一种带稀疏间隙约束的并行模式匹配算法 [J], 周开来;陈红;熊子绎;李翠平;孙辉4.一种基于最小距离和稀疏图正则约束的非负矩阵解混算法 [J], 李恒宇;刘善军;祁玉馨;王东5.解一类带洞非凸域上函数极值的动约束同伦算法 [J], 商玉凤;党杨;吴睿;刘庆怀因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

工程数学反演公式
反演公式是一种数学技巧，用于求解满足某种关系的两个序列的元素。

具体来说，如果序列F(n)和f(n)之间满足关系Fi=α(i)f(i)，那么我们可以通过反演公式求得f(i)=β(i)F(i)。

例如，莫比乌斯反演公式是一种常用的反演公式，它涉及到莫比乌斯函数。

这个函数有三种取值：
如果ai≥2且k mod 2=0，那么μ(x)=0。

如果k mod 2≠0，那么μ(x)=−1。

如果x=1，那么μ(x)=1。

如果F(n)=∑dnf(d)，那么可以使用莫比乌斯反演公式来求解f(n)。

具体来说，令S(x)=∑ixxμ(i)，其中x=p1a1p2a2...pkak，t=p1b1p2b2...pkbk，0≤bi≤ai。

对于任意一个含有大于2的指数的约数，我们可以不考虑，因为它对S(x)无影响。

于是就有S(x)=Ck0(−1)0+Ck1(−1)1+...+Ckk(−1)k。

根据二项式定理，可以得到S(x)=(1−1)k=0。

如果F(n)=∑dnf(d)，则可以使用反演公式f(n)=∑dnμ(d)F(nd)来求解f(n)。

以上信息仅供参考，如需更多信息，建议查阅数学类书籍或咨询数学专业人士。