循环小数的规律

循环小数0.56756756……的循环节是567还是756?为了搞清这个问题,不妨先看一看循环小数是怎样产生的。

在小学教材里，循环小数是由除法引进的。

两个数相除，当除不尽的时候，由于余数的个数是有限的（因为余数必须比除数小），所以除到一定的时候，余数必然会和前面某一个余数或被除数重复，于是其后所商得的数字，就会开始依次不断地重复出现，自前面相同的余数（或被除数）开始所商得的一串数字。

所以，在实际做除法时，只要看到有一个余数重复出现，我们就不会再除下去了，而把自前面相同余数（或被除数）开始所商得的一串数字，即最先开始循环的那一序列的数字作为商的循环节。

习惯上，对于现成的循环小数，我们也总是把最先循环的那一序列的数字作为它的循环节的。

在上面的0.56756756……中，从第四个数字5开始，依次不断地重复出现前三个数字“567”，所以循环节就是“567”。

这里要指出的是，省略号所表示的是有规律的即按“567”的次序不断循环的一串无限长的数字。

我可以任意地再补上一些数字，如写成0.567567567567……，所以0.56756756……和0.567567567……这两种写法并无本质的区别。

若认为0.56756756……中，最前面的两个数字“56”没有参加循环，因而循环节应是756。

这显然忽视了省略号的意义。

诚然，0.567和0.56756的值是相等的。

但在通常情况下，尤其是在除法中，一般是不会置先出现的567于不顾，而去挑选后出现的756作为循环节，舍近而求远的。

再说，如果把0.56756756……写成0.56756，那么根据小学教材中的定义（通用教材第九册第29面）它就是一个混循环小数。

这样一来，所有的纯循环小数就都即可以是纯循环小数，又可以是混循环小数，于是纯循环小数和混循环小数的区分就变得毫无意义了。

从理论上说，有限小数和无限小数是分数的另一种表现形式。

有限小数同十进分数一一对应；无限循环小数同分母含有2和5以外质因数的最简分数一一对应，其中分母只含有2和5以外质因数的最简分数对应着纯循环小数，分母既含有质因数2或5又含有其他质因数的最简分数对应着混循环小数。

循环小数和分数的互化1循环小数的认识同学们在计算分数的时候一定碰到过除不尽的情况．比如计算1÷3，我们会发现商在0和小数点之后一直出现3，怎么也计算不完；再比如在计算3÷7的时候，我们会发现商在0和小数点之后不停的出现428571．像这样，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现的小数，叫做循环小数．例如0.333…、0.428571428571…和1.2357357357…都是循环小数．通常我们把0.333…简写成0.3 ，把0.428571428571…简写成0.4 28571 ，把1.2357357357…简写成1.23 57 ．一个循环小数的小数部分里，依次不断重复出现的一段数字，叫做这个循环小数的循环节．上面三个循环小数的循环节分别为3、428571和357．循环节从小数点后第一位开始的循环小数，叫做纯循环小数，例如0.3 和0.4 28571 ．不是从第一位开始的循环小数，叫做混循环小数，例如1.23 57 ．2分数转化为小数下面我们来学习一下分数与小数之间的互化．把分数化为小数非常简单，直接用分子除以分母即可．例如25 =2÷5=0.4，815=8÷15=0.53 ．1.将下列分数化为小数：38 ，56 ，449 ，27 ，1013．「分析」要把分数化小数，可以列除法竖式计算．对于除不尽的情况，注意寻找循环节．答案：0.375，0.83 ，4.8 ，0.2 85714 ，0.7 69230 ．2.将下列分数化为小数：1720 ，1425 ，223 ，57 ，711．答案：0.85，0.56，7.3 ，0.7 14285 ，0.6 3 ．3循环小数的规律对于任意一个分数，我们一定可以把它化成有限小数或循环小数．反过来，我们怎么把一个小数化成分数呢？有限小数化分数很简单，例如，，每个有限小数都可以化成分母是10、100、1000、……的分数．那么循环小数呢？循环小数化分数有以下的规律．（1）纯循环小数化分数：我们从分子和分母两方面来考虑．分子是由循环节所组成的多位数；而分母则由若干个9组成，且9的个数恰好等于循环节的位数．比如0.5 =59 ，1.7 0 =17799 ，5.0 1949 =5194999999．（2）混循环小数化成分数：我们同样从分子与分母两方面来考虑．分子是两数相减所得的差，其中被减数是从小数点后第一位到第一个循环节末位所组成的多位数，而减数则是小数点后不循环的数字组成的多位数；分母由若干个9和若干个0组成，9的个数等于循环节的位数，0的个数等于小数点后不循环部分的位数．比如0.618 =618-6990 =612990 =3455 ，0.01358 =1358-13590000 =12239000 ，0.209 4 =2094-209900=10374950．请同学们务必牢记以上方法，熟练使用．3.把下列循环小数转化为分数：0.4 ，0.2 4 ，0.1 85 ，0.56 ，6.365 31 ．「分析」把循环小数化成分数，我们可以直接使用上面所学的方法，最后一定要注意将结果约分成最简分数．答案：49 ，833 ，527 ，1730 ，68112220，4.把下列循环小数转化为分数：0.1 ，0.1 2 ，0.1 23 ，0.12 3 ．答案：19 ，433 ，41333 ，61495．在把分数化成循环小数时，除了直接除，还可以通过扩分把分母变成9、99、999等特殊形式来转化．5.把下列分数化成循环小数：211 ，1437 ，22101 ，1145 ，335 ．答案：0.1 8 ，0.3 78 ，0.2 178 ，0.24 ，0.08 57142 ．6.把下列分数化成循环小数：733 ，127 ，901001 ，314 ，1136．答案：0.2 1 ，0.0 37 ，0.0 89910 ，0.21 42857 ，0.305 ．4循环小数之间的运算可以发现，分数转化成的小数的类型和分母中含有质因数2和5的个数有关．如果最简分数的分母的质因数只有2和5，会化成有限小数；如果最简分数的分母的质因数中没有2或5，会化成纯循环小数；如果最简分数的分母的质因数中既有2或5，也有其他质数，会化成混循环小数．对于循环小数的加减法，我们既可以先化成分数再计算，也可以直接列竖式计算．但在列竖式时，同学们一定要把数位对齐．要计算出正确结果，我们应该多写出几位再加减，然后看最后的和或差的数字规律，尤其在加数循环节位数不一样时，更要多加小心，再多写几位．在计算时同学们要多注意进位问题，我们必须牢牢记住省略号表示后面还有无穷多位数字，它们在计算时仍然可能出现进位的情况．7.计算：(1)0.1 2 +0.3 1 ；(2)0.6 7 +0.5 8 ；(3)0.1 2 +0.43 5 ；(4)0.1 2 +0.4 34 ；(5)0.7 5 -0.4 ；(6)0.3 45 -0.11 2 ．「分析」对于一般小数的加法，我们都可以列竖式计算．那么循环小数的加法，是不是也一样呢？在竖式中的循环节又应该怎么处理呢？另外，我们已经学过了循环小数如何化为分数，那么我们能不能利用分数来计算呢？答案：(1)0.4 3 ；(2)1.2 6 ；(3)0.55 6 ；(4)0.5 55646 ；(5)0.3 1 ；(6)0.23 32241 ．8.计算：(1)0.5 6 +0.8 76 ；(2)0.12 3 +0.4 56 ；(3)0.7 2 -0.3 53 ．答案：(1)1.4 42533 ；(2)0.57 96887 ；(3)0.3 73919 ．5循环小数的周期问题由于循环节的存在，循环小数小数点后数字排列具有周期性．比如的循环节有两位，小数部分以4、8为一个周期．利用周期性，我们就可以知道小数点后若干位的数字是多少．9.把真分数a 7化成小数后，小数点后第2013位上的数字是1．a 是多少？「分析」a 7是一个真分数，所以a 必须小于7，只能是1、2、3、4、5、6中的一个．请同学们，自己试着计算一下分母是7的各个分数，发现什么规律了吗？答案：4详解：分母为7的真分数化为小数后，循环节都是六位的，且六个数字都是1、4、2、8、5、7(顺序不同)．2013除以6余3，说明循环节第三位是1，所以是571428循环，这个真分数是47．10.将最简真分数a 7化成小数后，从小数点后第一位开始的连续n 位数之和为9006，a 与n 分别为多少？「分析」a 是1、2、3、4、5、6中的一个．试着计算一下17 、27 、…、67化成小数后，小数点后连续1000位之和．发现什么规律了吗？答案：a =1n =2002 或者a =2n =2001 详解：分母为7的真分数化为小数后，每个循环节的六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27．9006÷27=333⋯⋯15，说明在小数点后的n 个数字中，有333个循环节，之后剩余的数字之和是15，可能是1+4+2+8，对应的分数是17，a =1，n =6×333+4=2002．也有可能是2+8+5，对应的分数是27 ，a =2，n =6×333+3=2001．11.将下列分数化为小数：334 ，23 ，57 ，56 ．答案：(1)8.25；(2)0.6 ；(3)0.7 14285 ；(4)0.83 ．12.把下列循环小数转化为分数：0.2 7 ，0.1 48 ．答案：311 ；427 13.把下列循环小数转化为分数：0.16 ，0.20 6答案：16 ；34165简答：提示，牢记循环小数化分数的方法，并注意约分．14.计算：(1)0.0 1 +0.2 6 +0.6 2 ，(2)0.4 7 +0.7 4 ．答案：0.8 9 (8999 )；1.2 (119)简答：列竖式或将循环小数化为分数均可．15.计算：0.1 +0.125+0.3 +0.16【答案】原式=19 +18 +39 +1590 =1118 +18 =537216.(1)把67化成小数后，小数点后第2013位上的数字是多少？(2)把真分数a 7化成小数后，小数点后第2013位上的数字是1,a 是多少？答案：(1)7；(2)4简答：(1)67=0.8 57142 ，利用周期问题的解决方法：2013÷6=335⋯⋯3，所求位上的数字是7．(2)因为不管是7分之几，一定是6位循环节的纯循环小数，由于2013÷6=335⋯⋯3，根据题意，说明循环节的第3位上是1，可知是47．17.某学生将1.23 乘以一个数a 时，把1.23 误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3．则正确结果该是多少?【分析与解】由题意得：1.23 a -1.23a =0.3，即：0.003 a =0.3，所以有：3900 a =310,所以a =90，所以正确答案为：1.23 ×90=123-290×90=90+21=11118.将循环小数0.0 27 与0.1 79672 相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少?【答案】解：0.0 27 ×0.1 79672 =27999 ×179672999999 =137 ×179672999999 =4856999999=0.0 04856 循环节有6位，100÷6=16……4，因此第100位小数是循环节中的第4位8，第10l 位是5．这样四舍五入后第100位为9．。

无限循环小数的写法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：无限循环小数，顾名思义就是小数部分无限循环的数字。

在数学领域中，无限循环小数也被称为循环小数或循环小数。

循环小数是一种非常特殊的小数表示形式，它的小数部分存在一个或多个重复的数字序列，这个序列会一直循环下去，直到无限大。

无限循环小数的写法有着独特的规律和特点，可以通过一定的方法来表示和计算。

在这篇文章中，我们将探讨无限循环小数的写法、特点以及一些相关的知识。

让我们来看一个简单的例子：1/3。

当我们将1除以3时，可以得到一个小数为0.33333……，小数部分的数字3会一直循环下去，永远不会结束。

这就是一个典型的无限循环小数。

在数学符号上，我们可以用一个横线来表示循环的数字序列，通常写作0.3¯，其中上面的点表示循环。

除了1/3之外，还有许多其他的无限循环小数，比如1/7、1/11等等。

当我们将1除以7或者11时，所得到的小数部分会不断循环下去，形成一个永无止境的序列。

这种特点使得无限循环小数成为一个十分有趣和复杂的数学现象。

对于无限循环小数的写法，除了上面提到的用横线表示的方法外，还有一种更简洁的表示方式，即用圆括号表示。

1/7可以表示为0.(142857)，其中142857为循环的数字序列。

这种写法更加直观和易于理解，可以帮助我们更好地掌握无限循环小数的规律。

在实际运用中，无限循环小数常常出现在数学问题和计算中。

在处理这类问题时，我们需要掌握一些技巧和方法，以便准确地表示和计算无限循环小数。

对于无限循环小数的加减乘除运算，可以通过将循环序列进行抽象和简化，从而得到最终的结果。

这种方法在解决复杂的数学问题时非常有用，可以帮助我们提高计算的准确性和效率。

无限循环小数还可以通过一些特殊的算法和技术来转化为分数形式。

这种转化过程称为无理数到有理数的转换，可以帮助我们更直观地理解无限循环小数的性质和规律。

通过将无限循环小数表示为分数形式，我们可以更清晰地看到循环的数字序列和小数部分的关系，从而更深入地研究和分析这类数学现象。

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例如：3.4，0.878787虽然出现有87、87、87的重复，但仅仅出现了几次，个数是有限，所以0.878787还是有限小数小数部分的位数是无限的，就是无限小数。

有带尾巴的，有戴帽子的。

例如：2.03003000300003···这样的小数有规律，但是没有真正的循环，没有循环节。

所以它是无限不循环小数，不是循环小数循环节：①、循环节只能看小数部分：13.781378137813···这样的循环小数的循环节很容易错写成是1378，循环节只能看小数部分，13.781378137813···所以它的循环节应该是7813。

②、只有循环小数才有循环节：0.878787这样的数其实是有限小数，有限小数是没有循环节的，只有循环小数才有循环节，所以87不是0.878787的循环节，因为0.878787根本没有循环节，二、循环小数的书写1、尾巴式：写出2-3组完整的循环节，然后点上3个点（带上尾巴），【写出2组带尾巴】例：17.563563…，0.10666…注意：尾巴式必须写出至少2个完整的循环节，不能只写半个循环节例：0. 313313… 313是循环节，3个数字的循环节0. 3133131… 31是循环节，2个数字的循环节这是两个完全不同的循环小数，下面的书写只比上面的多了一个1，但意义完全不同。

2、帽子式：写出1个完整的循环节，然后在循环节的第一个和最后一个数字头上点上点（戴帽子）【只写一组戴帽子】例：注意：①帽子式只写一个循环节，不能多一个数字，也不能少一个数字，也不能带帽子又带尾巴例：不能写成419，也不能写成419…，写成也不行，啰嗦、也不规范②帽子要戴准和是不同的循环小数，的循环节是07，的循环节是1073、“帽子式”与“尾巴式”的互换（1）帽子式尾巴式口诀：【写出2组循环节，脱掉帽子带尾巴】例：，循环节是07，换成“尾巴式”，写出2组循环节，再带上尾巴3.10707…，循环节是419，虽然1头上没有帽子，帽子式只要求给循环节的头和尾带帽子，中间是可以不带的，所以1也是循环节中的一个数，写出2组循环节（419419），脱掉帽子带尾巴0.419419…（2）尾巴式帽子式口诀：【只写1组循环节，甩掉尾巴戴上帽】例：4.1560560…，循环节是560，只写1组循环节，甩掉尾巴戴上帽，，原来多余的循环节和后面的尾巴都去掉，但不要忘了给循环节戴帽子。

无限循环小数化成分数的规律嘿，朋友们！今天咱来唠唠无限循环小数化成分数的规律，这可有意思啦！你说这无限循环小数，就像是个调皮的小精灵，一直在那循环个不停。

那怎么把它变成规规矩矩的分数呢？别急，且听我慢慢道来。

咱就拿常见的0.333……来说吧，这就是个典型的无限循环小数。

那它怎么变成分数呢？嘿，这就有个小窍门啦！设这个数为 x，那就是x=0.333……，然后呢，把这个等式两边同时乘以 10，就变成了10x=3.333……。

这时候你发现没，10x 比 x 多了个 3 呀！那用 10x 减去x，不就把那一直循环的部分给减掉了嘛！也就是 10x-x=3，算一下，9x=3，那 x 不就等于 1/3 嘛！你看，神奇不神奇？再比如说0.142857142857……这个无限循环小数，它的循环节是142857 这么一长串呢！那咱也不怕呀，还是用同样的方法。

设它为 y，1000000y-y 不就把循环节给去掉啦，然后就能算出 y 是多少啦。

这就好像我们解开一个神秘的谜题一样，每一步都充满了惊喜和乐趣。

你说这数学是不是很奇妙呀？它就像一个隐藏着无数宝藏的宝库，等着我们去探索呢！无限循环小数化成分数，不就是数学世界里的一扇奇妙之门嘛！通过这扇门，我们能看到更加精彩的数学风景。

就好像我们走在一条小路上，突然发现了一个通往美丽花园的入口，那里面有着各种奇花异草，让我们流连忘返。

大家想想，如果我们掌握了这个规律，那以后再遇到无限循环小数，不就可以轻松地把它变成分数啦！这多有成就感呀！而且，这还能帮助我们更好地理解数学的奥秘，让我们在数学的海洋里畅游得更自在。

所以呀，大家可别小瞧了这个规律，它可是我们探索数学世界的重要工具呢！让我们一起好好利用它，去发现更多数学的美妙之处吧！。

第四讲 循环小数知识要点：一、循环小数定义一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这个小数叫做循环小数。

一个循环小数的小数部分中依次不断地重复出现的第一个最少的数字组，叫做这个循环小数的循环节。

二、循环小数分类循环节从小数点后第一位开始的循环小数，叫做纯循环小数，例如0.3&和0.428571&&，不是从第一位开始的循环小数，叫做混循环小数，例如0.2357&& 三、分数化小数把分数化成小数，有三种可能：化为有限小数、纯循环小数或混循环小数。

（1）如果一个最简分数的分母分解质因数后只含有2和5，那么这个分数会化成有限小数，比如38，1725，3140，89200等，都会化成有限小数。

（2）如果一个最简分数的分母分解质因数后既不含2，也不含5，那么这个分数会化成纯循环小数，比如511，1321，1109，342673等，都会化成纯循环小数。

（3）如果一个最简分数的分母分解质因数后既含有2或5，又含有其他质因数，那么这个分数会化成混循环小数，比如114，752，101295，119390等，都会化成混循环小数。

四、循环小数化分数（1）纯循环小数化分数以0.123&&为例 令0.123a =&&，则1000123.123a =&&， 两式相减，得123999123999a a =⇒= 该方法名为“错位相减法”。

结论：纯循环小数化分数，分子为循环节中数字所组成的数，分母形如999L ，其中9的个数为循环节所含数字的个数（2）混循环小数化分数以0.1234&&为例 令0.1234a =&&，则10012.34a =&&，100001234.34a =&&，两式相减，得12341299001234129900a a -=-⇒=。

无限循环小数的简便记法一．概念描述现代数学：循环小数的定义一般有如下两种：①从小数点后某一位开始不断地重复出现一个或一节数字的十进制无限小数，叫作循环小数或无限循环小数：被重复的一个或一节数字称为循环节。

循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点。

如3.258258258……=3.258(2和8上添一个小点)。

循环小数分为两大类：混循环小数和纯循环小数。

混循坏小数：循环节不是从小数部分第一位开始的循环小数，如3. 258(5和8上添一个小点)。

纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的循环小数，如3.258(2和8上添一个小点)。

②公理化定义：循环小数是无限小数的一种特殊形式。

对一个无限小数0.a1a2…an。

…，若能找到两个正整数s≥0，t>0，使得as+i=as+kt+i。

（i=1，2，…，t;k=l，2，…）成立，则称此无限小数为循环小数，记为0.a1a2…ass+1…s+t。

对于一个循环小数而言，满足上式的s,t值有无数多个，如果取其中最小的s,t值，则称as+1as+2…as+t为这个循环小数的循环节，t称为循环节的长度；若最小的s=0，则这个循环小数称为纯循环小数；如果最小的s>0，则相应的循环小数称为混循环小数，并把小数点之后至循环节之前的部分a1a2…as称为非循环节。

任何一个循环小数必可化为分数。

从数学的观点看，第一个定义通俗易懂，小学数学教材的表述与其相似。

第二个定义科学严谨，体现了循环小数的本质。

小学数学：2005年人教版教材五年级下册的第28页明确指出：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫作循环小数。

这与”循环小数”在现代数学中的第一个定义是基本上一致的。

在小学数学教材中考虑到学生的认知，不提及十进制，而是默认为十进制无限小数。

二．概念解读循环小数是在实际度量和生产生活中产生的。

循环小数产生的原因1. 你知道吗，循环小数产生的原因之一就是除法运算中出现了余数的循环呀！就像我们分东西，比如把 10 个苹果分给 3 个人，最后总会剩下 1 个苹果，然后再分又会出现同样的情况，这不就像小数部分开始循环了嘛！2. 哎呀，循环小数产生其实也可能是因为某些规律在反复出现呀！比如说时钟的指针，转了一圈又一圈，那指针走过的数字不就是在不断循环嘛，这和循环小数多像呀！3. 嘿，想过没有，循环小数产生也许是因为一种模式在不断重复呢！就好像我们走路，一步一步，每一步的距离差不多，那走出来的轨迹不就有点像循环小数的样子嘛！比如走 10 步是一段，然后又重复走这样的 10 步，不就循环起来了嘛！4. 哇塞，循环小数产生会不会是因为有些东西就是会一直重复呀！就跟四季更替一样，春夏秋冬，一直循环，这不就是大自然的一种循环小数嘛！5. 你想想看呀，循环小数产生可能是因为某些现象有着固定的节奏呢！好比心跳，咚哒咚哒，一直有规律地跳动，这不是也像个循环小数嘛！6. 嘿呀，循环小数产生也许是因为世界上存在很多这样重复的模式呀！像波浪，一波又一波，这不就是在循环嘛，和循环小数真的好像啊！7. 哎呀呀，循环小数产生说不定就是因为有些事情就是会不断重演呢！比如太阳每天升起又落下，这不是在循环嘛，多像个循环小数的产生过程呀！8. 咦，循环小数产生会不会是因为有些行为就是会一直重复呀！就像我们每天吃饭睡觉，这几乎就是固定的循环呀，和循环小数是不是很像呢！9. 哇哦，循环小数产生也许是因为有些规律就是这么奇妙呀！像音乐的节奏，哒哒哒，一直重复，这就是一种循环，和循环小数的产生如出一辙呀！10. 嘿哟，循环小数产生其实就是因为生活中有好多这样循环的东西呀！比如我们每天的日常，上班下班，这不就是在不断循环嘛，就像小数在不断循环一样！我的观点结论就是：循环小数的产生有着各种有趣的原因，它们和我们生活中的很多现象都有着奇妙的联系呀！。

循环小数知识要点一、各名称的定义（具体定义见课本），以及分类分类循环节：①、循环节只能看小数部分：···这样的循环小数的循环节很容易错写成是1378，循环节只能看小数部分，···所以它的循环节应该是7813。

②、只有循环小数才有循环节：这样的数其实是有限小数，有限小数是没有循环节的，只有循环小数才有循环节，所以87不是的循环节，因为根本没有循环节，有限小数无限循环小数小数的分类无限不循环小数有限小数无限小数小数的分类无限循环小数（就是循环小数）无限不循环小数无限小数的分类有限小数无限循环小数无限小数无限不循环小数小数小数部分的位数是无限的，就是无限小数。

有带尾巴的， 有戴帽子的。

小数部分位数的个数是有限的，没有帽子也没有尾巴。

例如：， 例如：··· 这样的小数有规律，但是没有真正的循环，没有循环节。

所以它是无限不循环小数，不是循环小数 虽然出现有87、87、87的重复，但仅仅出现了几次，个数是有限，所以还是有限小数1、尾巴式：写出2-3组完整的循环节，然后点上3个点（带上尾巴），【写出2组带尾巴】例：…，…注意：尾巴式必须写出至少2个完整的循环节，不能只写半个循环节0. 3133131…31是循环节，2个数字的循环节这是两个完全不同的循环小数，下面的书写只比上面的多了一个1，但意义完全不同。

2、帽子式：写出1个完整的循环节，然后在循环节的第一个和最后一个数字头上点上点（戴帽子）【只写一组戴帽子】例：••701.3••914.0注意：①帽子式只写一个循环节，不能多一个数字，也不能少一个数字，也不能带帽子又带尾巴例：••914.0不能写成••914.0419，也不能写成••914.0419…，写成••914419.0也不行，啰嗦、也不规范②帽子要戴准••7 01.3和••701.3是不同的循环小数，••701.3的循环节是07，••701.3的循环节是1073、“帽子式”与“尾巴式”的互换（1）帽子式尾巴式口诀：【写出2组循环节，脱掉帽子带尾巴】例：••701.3，循环节是07，换成“尾巴式”，写出2组循环节，再带上尾巴…••914.0，循环节是419，虽然1头上没有帽子，帽子式只要求给循环节的头和尾带帽子，中间是可以不带的，所以1也是循环节中的一个数，写出2组循环节（419419），脱掉帽子带尾巴…（2）尾巴式帽子式口诀：【只写1组循环节，甩掉尾巴戴上帽】例：…，循环节是560，只写1组循环节，甩掉尾巴戴上帽，••6 51.4，原来多余的循环节和后面的尾巴都去掉，但不要忘了给循环节戴帽子。

mathml 循环小数表示
数学中的循环小数是一种特殊的小数表示形式。

它是指小数部分的某一部分数字无限重复出现的小数。

我们可以使用MathML来表示循环小数，而不需要依赖于任何网络地址或数学公式。

循环小数的表示方式是将循环部分用括号括起来，并在括号上方加上一个横线。

例如，表示循环部分为2的循环小数可以写作 2.2̅，其中2上方的横线表示循环。

循环小数可以是无限循环的，也可以是有限循环的。

无限循环小数的循环部分会一直重复下去，而有限循环小数的循环部分会在某个位置停止重复。

循环小数可以进行各种数学运算，如加法、减法、乘法和除法。

这些运算可以通过将循环小数转化为分数来进行。

例如，将循环小数2.2̅转化为分数，我们可以假设x = 2.2̅，然后将x乘以10，两者相减得到9x = 22，解方程可得x = 22/9，即2.2̅= 22/9。

循环小数在实际生活中也有很多应用。

例如，时间的表示就使用了循环小数。

一天的24小时可以表示为24.0̅，即24小时无限循环。

此外，循环小数还可以用来表示周期性现象，如月亮的周期、地球的自转周期等。

循环小数是一种特殊的小数表示形式，可以用MathML来进行表示。

它具有很多应用，并可以进行各种数学运算。

通过合理的结构安排
和流畅的叙述，我们可以清楚地描述循环小数的概念和应用。

无限循环小数化为分数形式的一般规律哇塞，同学们，你们知道无限循环小数怎么变成分数形式吗？这可太神奇啦！
就拿0.333...... 这个无限循环小数来说吧。

咱们假设它等于x ，那x 就等于
0.333...... 。

那10x 呢？10x 不就是3.333...... 嘛。

这时候咱们用10x - x ，也就是3.333...... - 0.333...... ，那结果是多少？这不就是3 嘛！而10x - x 是9x 呀，那9x 等于3 ，x 不就等于3÷9 ，也就是1/3 嘛。

再比如说0.121212...... ，咱们还是设它是x 。

那100x 就是12.121212...... 。

然后100x - x ，不就是12 嘛！因为100x - x 等于99x ，所以99x 等于12 ，x 就等于12÷99 ，约分之后就是4/33 。

哎呀，你们想想，这是不是就像在一个神秘的数学城堡里探险？每一个无限循环小数都是一扇隐藏的门，咱们找到规律，就像拿到了打开门的钥匙！
咱们平时觉得无限循环小数好像很复杂，很难搞定，可一旦找到了这个规律，是不是就觉得也没那么可怕啦？这不就跟咱们刚开始学骑自行车似的，觉得好难好难，老是摔倒，可一旦掌握了平衡的窍门，就能骑得又快又稳啦！
我觉得呀，数学里这些神奇的规律，就等着咱们去发现，去探索，只要咱们用心，啥难题都能解决！这无限循环小数化为分数形式的规律，咱们不就搞明白啦？所以，同学们，别害怕数学里的难题，咱们都能搞定！。

无限循环小数无限循环小数是数学中的一个重要概念，也是许多人不太理解的概念之一。

无限循环小数是指一个小数部分有限而整数部分是无限循环的小数。

在学习数学的过程中，我们常常遇到无限循环小数这个概念。

那么，什么是无限循环小数呢？简单来说，无限循环小数是指一个小数部分有限而整数部分是无限循环的小数。

举个例子来说，我们常常使用的1/3=0.3333……这个例子中，小数部分无限循环，所以它叫做无限循环小数。

对于无限循环小数，我们有一种特殊的方式来表示它。

我们通常使用一个括号将循环部分括起来，例如0.3333……可以表示为0.(3)。

这种表示方式简化了无限循环小数的书写，使得我们更加方便地进行计算和推理。

无限循环小数在数学中有着重要的地位。

它是无理数的一种形式，无理数是指不能表示为两个整数的比的数。

在实际生活中，我们常常遇到无理数，例如π和√2。

而无限循环小数是一种特殊的无理数，它的循环部分又具有一定的规律性。

无限循环小数在计算中常常出现。

例如，我们在计算1/7这个分数时，得到的结果是0.142857142857……可以看出，循环部分是142857，也就是说，我们将1/7表示为0.(142857)。

这种循环性使得我们可以方便地进行计算和推理，并且可以将无限循环小数转化为有限循环小数。

在学习无限循环小数的过程中，我们常常面临着一些挑战。

首先，无限循环小数的特殊表示方式使得我们需要花费一定的时间和精力来理解和掌握。

其次，由于无限循环小数的循环部分有一定的规律性，所以在进行计算和推理时，我们需要应用一些特殊的技巧和方法。

这对于初学者来说可能会比较困难。

然而，如果我们能够掌握无限循环小数的特点和计算方法，它将成为我们解决许多数学问题的有力工具。

无限循环小数的出现不仅仅是一个数学问题，更是我们理解数学本质和规律的一种方式。

通过学习无限循环小数，我们可以培养我们的逻辑思维、分析能力和问题解决能力。

总的来说，无限循环小数是一个重要的数学概念，它有着广泛的应用和深远的影响。

标题：能化成纯循环小数的分数的特征1.概述分数在数学中是一个重要概念，它可以表示一个数和一个比的比例关系。

在分数中存在着一些特殊的分数，这些分数能够化成纯循环小数。

那么，什么样的分数能够化成纯循环小数呢？本文将深入探讨这一问题。

2.什么是纯循环小数？在数学中，纯循环小数是指小数部分无限循环重复出现的小数。

1/3的小数表示形式是0.333…，其中3无限循环出现。

纯循环小数往往具有一定的规律性，能够用一对圆括号来表示循环节。

3.能化成纯循环小数的分数的特征在分数中，哪些分数能够化成纯循环小数呢？下面将介绍一些特征：3.1 分母只含质因数2和5的分数如果一个分数的分母只含有质因数2和5，它就能够化成纯循环小数。

这是因为只含有质因数2和5的分母，在十进制下都能整除，因此可以得到一个有限的小数表示。

3.2 分母能够约去2和5的因数如果一个分数的分母中含有2和5以外的其他质因数，但这些质因数能够约去，这个分数也能够化成纯循环小数。

这是由于此时分母能够变成只含有质因数2和5的分数，满足3.1的特征。

3.3 没有可以约去的因数如果一个分数的分母中含有除2和5外的其他质因数，并且这些质因数无法约去，那么这个分数就不能化成纯循环小数。

这是因为分母中的其他质因数导致了分数的无限循环小数部分，从而不能化成纯循环小数。

4.举例说明为了更好地理解能化成纯循环小数的分数的特征，接下来通过一些实际的例子进行说明：4.1 1/2 = 0.5分母只含有质因数2，能够化成纯循环小数。

4.2 1/5 = 0.2分母只含有质因数5，能够化成纯循环小数。

4.3 1/8 = 0.125分母只含有质因数2，能够化成纯循环小数。

4.4 1/6 = 0.1666...分母含有2和3，但3能够约去。

因此能够化成纯循环小数。

4.5 1/9 = 0.111...分母只含有质因数3，能够化成纯循环小数。

4.6 1/7 = 0.xxx...分母含有除2和5外的其他质因数7，并且无法约去，因此不能化成纯循环小数。

循环小数就是无限小数判断题
循环小数是指在十进制表示中，小数部分出现循环的情况。

它可以被表示为一个有限的小数部分后面跟着一个或多个重复的数字序列。

判断一个数是否为循环小数可以通过以下几种方法从多个角度进行分析：
1. 观察小数部分是否出现重复的数字序列。

如果小数部分中出现了重复的数字序列，那么这个数就是循环小数。

例如，
1/3=0.3333...，其中数字3无限循环出现，所以1/3是循环小数。

2. 判断是否存在一个数学模式。

有些循环小数可以通过数学公式或规律来表示。

例如，1/7=0.142857142857...，其中数字142857无限循环出现，可以用分数1/7来表示。

3. 使用除法运算来验证。

将要判断的数除以一个整数，观察小数部分是否会出现重复。

如果小数部分重复出现，那么这个数就是循环小数。

例如，1/6=0.166666...，其中数字6无限循环出现。

4. 利用数论的知识。

根据数论的定理，如果一个有理数的分母只包含2和5的质因数，那么它的十进制表示就是一个有限小数；
否则，它的十进制表示就是一个循环小数。

例如，1/2=0.5是有限小数，而1/3=0.3333...是循环小数。

综上所述，判断一个数是否为循环小数可以通过观察重复的数字序列、寻找数学模式、使用除法运算和应用数论的知识等多个角度进行分析。