2014届高三理科数学一轮复习试题选编29：定积分的计算及其应用(学生版)

山东省2014届理科数学一轮复习试题选编29：二项式定理一、选择题 1．（山东省淄博市2013届高三上学期期末考试数学（理））若()()()()()()923112012311132222xx a a x a x a x a x +-=+-+-+-+⋅⋅⋅+-,则1211a a a ++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．0B ．5-C ．5D ．255【答案】C【 解析】令2x =,则290(21)(23)5a =+-=-.令3x =,则01110a a a ++⋅⋅⋅+=,所以1110(5)5a a a +⋅⋅⋅+=-=--=,选C ．2 ．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（理））51()(21)ax x x+-的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为 （ ）A ．-20B ．—10C ．10D ．20【答案】C【解析】令1x =,可得各项系数和为5(1)(21)12a a +-=+=,所以1a =.所以555111()(21)()(21)()(12)ax x x x x x x x x+-=+-=-+-,5(12)x -的展开式的通项公式为155(2)(2)k k k k k k T C x x C +=-=-,当1k =时,125(2)10T C x x =-=-;所以展开式的常数项为1(10)10x x-⨯-=,选 C ．3 ．（山东省2013届高三高考模拟卷（一）理科数学）若2013(2)x -220130122013a a x a x a x =++++ ,则02420121352013a a a a a a a a ++++=++++（ ）A ．201320133131+-B ．201320133131+--C ．201220123131+-D ．201220123131+--【答案】B 【解析】令1=x 得01234520131a a a a a a a +++++++= ①,令1-=x 得201301234520133a a a a a a a -+-+-+-= ②,由①②联立,可得2012420a a a a ++++ 2013312+=,++31a a 52013a a ++ 2013132-=,从而02420121352013a a a a a a a a ++++++++ 20132013312132+=-201320133131+=--. 4 ．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）若4(1,)a a b +=+为有理数,则a+b=（ ）A ．36B ．46C ．34D ．44【答案】D二项式的展开式为11223344441118928C C C ++++=+++=+,所以28,16a b ==,281644a b +=+=,选 D ．5 ．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）二项式8(2x-的展开式中常数项是 （ ）A ．28B ．-7C ．7D ．-28【答案】C展开式的通项公式为488831881()(()(1)22k k k k k k k k x T C C x ---+==-,由4803k -=得6k =,所以常数项为6866781()(1)72T C -=-=,选C ．6 ．（山东省临沂市2013届高三第三次模拟考试 理科数学）51()(2)x a x x+-的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为 （ ）A ．-40B ．-20C ．20D ．40【答案】 .A ．7 ．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）设0(cos sin )a x x dx π=⎰-,则二项式26()a x x+展开式中的3x 项的系数为 （ ）A ．-20B ．20C ．-160D ．160【答案】C 因为00(cos sin )(sin cos )2a x x dx x x ππ=⎰-=+=-,所以二项式为26262()()a x x x x+=-,所以展开式的通项公式为261231662()()(2)kk k k k k k T C x C x x--+=-=-,由1233k -=得3k =,所以333346(2)160T C x x =-=-,所以3x 项的系数为160-.选C ．8 ．（山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学（2012济南二模））设a=π0⎰sin x d x ,则二项式6⎛⎝的展开式的常数项是（ ）A ．160B ．-160C ．240D ．-240【答案】B【解析】由2)cos (sin 00=-=⎰ππx xdx ,所以2=a ,所以二项式为6)12(xx -,展开式的通项为22666661)1(2)1()2(k k kk k k k k k xxC xx C T ----+-=-=k k k k x C ---=366)1(2,所以当3=k ,为常数,此时160)1(23336-=-C ,选B ．9 ．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知()|2||4|f x x x =++-的最小值为n ,则二项式1()n x x-展开式中2x 项的系数为 （ ）A ．15B ．15-C ．30D ．30-【答案】A 因为函数()|2||4|f x x x =++-的最小值为4(2)6--=,即6n =.展开式的通项公式为6621661()(1)k k k k k k k T C x C x x--+=-=-,由622k -=,得2k =,所以222236(1)15T C x x =-=,即2x 项的系数为15,选A ．10．（山东省济宁市2013届高三4月联考理科数学）设221(32)=⎰-a x x dx ,则二项式261()-ax x展开式中的第4项为（ ）A ．31280-xB ．1280-C ．240D ．240-【答案】A11．（山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）(82展开式中不含．．4x项的系数的和为（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．2【答案】C12．（山东省莱芜市莱芜十七中2013届高三4月模拟数学（理）试题）设22(13)40a x dx =-+⎰,则二项式26()a x x+展开式中不含．．3x 项的系数和是（ ）A ．160-B ．160C ．161D ．161-【答案】C13．（山东省菏泽市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）()5a x x R x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为10,则实数a 等于 （ ）A ．-1B ．12C ．1D ．2【答案】D14．（山东省枣庄市2013届高三4月（二模）模拟考试数学(理)试题）若2012(3)nnn x a a x a x a x -=++++ ,其二项式系数的和为16,则012n a a a a ++++=（ ）A ．8B ．16C ．32D ．64【答案】B15．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理（ ）A ．）若()()()()()()923112012311132222x x a a x a x a x a x +-=+-+-+-+⋅⋅⋅+-,则1211a a a ++⋅⋅⋅+的值为 （ ）A ．0B ．5-C ．5D ．255【答案】C【解析】令3x =,则有012110a a a a +++⋅⋅⋅+=,令2x =,则290(21)(23)5a =+-=-,所以121105a a a a ++⋅⋅⋅+=-=,选C ．二、填空题16．（山东省夏津一中2013届高三4月月考数学（理）试题）若52345012345(12),x a a x a x a x a x a x +=+++++则a 3=______________.【答案】8017．（山东省凤城高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）若261()xax -的二项展开式中3x 项的系数为52,则实数a =_______.【答案】-218．（山东省莱芜五中2013届高三4月模拟数学（理）试题）若31()nx x-展开式中的所有二项式系数和为512,则该展开式中3x 的系数为______.【答案】84;19．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）(2013滨州市一模)设6sin (a xdx,π=⎰则二项式的展开式中的常数项等于________.【答案】-160词 【解析】,3,2)1(,)12()1(,2|)cos (sin 36616600=∴-=-=-∴=-==--+⎰r x C T x x x x a x dx x a r r r r r ππ所以常数项为-160.20．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）8(2x -的展开式中,常数项为___________. 【答案】7展开式的通项公式为488831881()((1)()22k k k k k k kk x T C C x ---+==-,由4803k -=,解得6k =,所以常数项为226781(1)()72T C =-=.21．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）若(x 2-nx)1的展开式中含x 的项为第6项,设(1-3x)n=a o +a 1x+a 2x 2++a n x n,则a l +a 2++a n 的值为_____________ 【答案】255展开式(x 2-n x )1的通项公式为22311()()(1)k n k k kk n k k n n T C x C x x--+=-=-,因为含x 的项为第6项,所以5,231k n k =-=,解得8n =,令1x =,得88018(13)2a a a +++=-= ,又01a =,所以81821255a a ++=-= .22．（山东省德州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）二项式)10的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是____________. 【答案】523．（2013年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学）在62(x )x-的二项展开式中,常数项等于_______. 【答案】 【答案】160- 展开式的通项公式为6621662()(2)k k k k k kk T C x C x x--+=-=-,由620k -=,得3k =,所以3346(2)160T C =-=-,即常数项为160-.24．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）设dx x )12(20-⎰,则二项式4⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中的常数项为__________.___【答案】2425．（2011年高考（山东理））若62(x x -展开式的常数项为60,则常数a 的值为_________.【答案】解析:6(x 的展开式616(k k k k T C x -+=636(kk C x -=,令630,2,k k -==226(1560,4C a a ===,答案应填:4.26．（山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学 ）25(ax的展开式中各项系数的和为243,则该展开式中常数项为 【答案】10【解析】因为展开式中各项系数的和为243,所以当1x =时,5(1)243a +=,解得2a =,展开式的通项公式为5102552155(2)2k kkk k kk T C x C x ---+==,由51002k -=,解得4k =,所以常数项为455210T C =⨯=.27．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）二项式6213x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,常数项等于______(用数字作答). 【答案】1215展开式的通项公式为666316621(3)()3kk k k k kk T C x C x x---+==,由630k -=得2k =,所以常数项为423631215T C ==.28．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）设6sin (a xdx,π=⎰则二项式的展开式中的常数项等于________.【答案】160-00sin =cos 2a xdx x ππ=-=⎰,所以二项式的展开式为663166(((1)2k k kk k k k k T C C x ---+==-⋅⋅,由30k -=时,3k =,所以常数项为33346(1)2160T C =-⋅=-.29．（山东省菏泽市2013届高三5月份模拟考试数学（理）试题）若22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是_________.【答案】180。

江苏省2014届一轮复习数学试题选编29：算法初步（教师版）填空题错误！未指定书签。

．（江苏省苏南四校2013届高三12月月考试数学试题）已知某算法的流程图如下图所示,则输出的结果是______________.【答案】5错误！未指定书签。

．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）右图是一个算法流程图,则输出的S 的值是____.【答案】58; 错误！未指定书签。

．（2010年高考（江苏））右图是一个算法的流程图,则输出S 的值是_____________【答案】63 错误！未指定书签。

．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）阅读右侧程序框图,输出的结果i 的值为_______.（第3题图）【答案】7错误！未指定书签。

．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）右图是一个算法流程图,则输出的S 的值是______.【答案】2400错误！未指定书签。

．（2011年高考（江苏卷））根据如图所示的伪代码,当输入b a ,分别为2,3时,最后输出的m 的值是________【答案】【命题立意】本题主要考查算法的基本概念,选择结构对应分段函数. 3．【解析】本小题算法的功能是输入两个数,输出其中较大的一个.错误！未指定书签。

．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）根据如图所示的伪代码,最后输出的S 的值为____.（第3题）,Pr int Read a bIf a b Then m a Else m bEnd If m>←←(第4题)【答案】145错误！未指定书签。

．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）根据右图所示的流程图,输出的结果T 为_____.【答案】712错误！未指定书签。

．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）右图是一个算法流程图,其输出的n 的值是_____.（第6题）。

2018年高考一轮复习热点难点精讲精析：2.12定积分一、定积分的概念与微积分基本定理<一）定积分的计算<利用定义）1、相关链接<1）由定积分定义求定积分的步骤为①分割；②近似代替；③求和；④取极限。

<2）关于定积分的概念应注意的问题①积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关，即②定义中区间的分法和的取法都是任意的。

③在定积分的定义中，限定下限小于上限，即a<b,为了方便计算，人们把定积分的概念扩大，使下限不一定小于上限，并规定：=，=0。

ifQuvZeOR72、例题解读〖例1〗用定积分的定义计算定积分的值。

分析：n等分区间[a,b]近似代替求和取极限解答：将区间[a,b]等分，设分点分别为a=x0<x1<x2<…<xi+1<xi<…<xn=b,取ξi=,显然，作和式ifQuvZeOR7于是，即〖例2〗用定积分的定义求直线x=1,x=2,y=0和曲线y=x3围成的图形的面积解读：<1）分割用分点将区间[1，2]等分成个小区间，如图所示，每个区间的长度为Δx=,过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作<2）近似代替取各小区间的左端点记为，用以点的纵坐标为一边，以小区间长为其邻边的小矩形面积代替第i个小曲边梯形的面积，可近似地表示为ifQuvZeOR7<3）求和因为每个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD面积S的近似值，即ifQuvZeOR7…………………………①<4）取极限当分点数目越多，即Δx越小，和式①的值就越接近于曲边梯形ABCD的面积S，当，即Δx0时，和式①的极限就是所求的曲边梯形ABCD的面积。

ifQuvZeOR7<二）定积分的计算<利用微积分基本定理）1、相关链接<1）求函数f(x>在某个区间上的定积分，关键是求函数f(x>的一个原函数，正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系；若原函数不易寻找时，先把f(x>进行变形。

积分的运算及应用(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． (2)了解微积分基本定理的含义．知识点一 定积分 1．定积分的性质(1)⎠⎛a bkf (x )d x ＝k⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)．(2)⎠⎛a b [f (x )±g (x )]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛a bg (x )d x .(3)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x (其中a <c <b )． 2．定积分的几何意义(1)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(图(1)中阴影部分)．(2)一般情况下，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x ＝a 、x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(图(2)中阴影所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．易误提醒 (1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量． (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．(3)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．[自测练习]1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (x ≥0)，2x (x <0)，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值是( ) A.⎠⎛1－1x 2d x B.⎠⎛1－12xd x C.⎠⎛0－1x 2d x ＋⎠⎛102x d x D.⎠⎛0－12xd x ＋⎠⎛10x 2d x 解析：由分段函数的定义及积分运算性质，∴⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－12xd x ＋⎠⎛10x 2d x . 答案：D2．已知f (x )是偶函数，且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛6－6f (x )d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．6D ．16解析：因为函数f (x )是偶函数，所以函数f (x )在y 轴两侧的图象对称，所以⎠⎛6－6f (x )d x ＝⎠⎛0－6f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16.答案：D知识点二 微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )．那么⎠⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记成F (x )| ba，即⎠⎛a bf (x )d x ＝F (x )| b a ＝F (b )－F (a )．必备方法 运用微积分基本定理求定积分的方法： (1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分． (4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错．[自测练习]3．设a ＝⎠⎛01x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．a >c >bD ．b >c >a解析：a ＝⎠⎛01x －13d x ＝32x 23| 10＝32， b ＝1－⎠⎛01x 12d x ＝1－23x 32| 10＝13，c ＝⎠⎛01x 3d x ＝14x 4| 10＝14，因此a >b >c ，故选A. 答案：A4．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( ) A.112B.14C.13D.712解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x 3得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.结合图形知(图略)所求封闭图形的面积为 ⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 4| 10＝112，故选A. 答案：A考点一 定积分的计算|1．定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为( )A ．9πB ．3π C.94π D.92π 解析：由定积分的几何意义知，⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故⎠⎛039－x 2d x ＝π·324＝9π4，故选C. 答案：C2．(2016·临沂模拟)若∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C. 3D ．－ 3解析：∵(a sin x －cos x )′＝sin x ＋a cos x . ∴∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝(a sin x －cos x )⎪⎪π20 ＝⎝⎛⎭⎫a sin π2－cos π2－(a sin 0－cos 0)＝a ＋1＝2. ∴a ＝1. 答案：B3．(2015·西安模拟)已知A ＝⎠⎛03|x 2－1|d x ，则A ＝________.解析：A ＝⎠⎛03|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛13(x 2－1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x －13x 3| 10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x | 31＝223. 答案：223定积分计算的三种方法定义法、几何意义法和微积分基本定理法，其中利用微积分基本定理是最常用的方法，若被积函数有明显的几何意义，则考虑用几何意义法，定义法太麻烦，一般不用．考点二 利用定积分求平面图形的面积|设抛物线C ：y ＝x 2与直线l ：y ＝1围成的封闭图形为P ，则图形P 的面积S 等于( ) A ．1 B.13 C.23D.43[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝1，得x ＝±1.如图，由对称性可知，S ＝2()1×1－⎠⎛01x 2d x ＝2⎝⎛⎭⎫1×1－13x 3| 10＝43，选D.[答案] D利用定积分求平面图形面积的三个步骤(1)画图象：在直角坐标系内画出大致图象．(2)确定积分上、下限：借助图象的直观性求出交点坐标，确定积分上限和下限．(3)用牛顿－莱布尼茨公式求面积：将曲边多边形的面积表示成若干定积分的和，计算定积分，写出结果．1．(2015·衡中三模)由曲线y ＝2－x 2，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是________．解析：把阴影部分分成两部分求面积． S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛0－2(2－x 2)d x ＋⎠⎛01(2－x 2－x )d x＝⎝⎛⎭⎫2x －x 33| 0－2＋⎝⎛⎭⎫2x －x 33－x 22| 10 ＝22－(2)33＋2－13－12＝423＋76.答案：423＋76考点三 定积分物理意义的应用|一物体做变速直线运动，其v -t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为________．[解析] 由图象可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t <3，13t ＋1，3≤t ≤6，所以12s ～6 s 间的运动路程s ＝⎠⎜⎛126 v (t )= ⎠⎜⎛1262t d t ＋⎠⎛132d t ＋⎠⎛36⎝⎛⎭⎫13t ＋1d t ＝36111322149264t t t ⎛⎫+++=⎪⎝⎭. [答案]494利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求．2．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，(0≤x ≤2)，3x ＋4，(x >2)，(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J解析：力F (x )做功为⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝10x | 20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x | 42 ＝20＋26＝46. 答案：B5.混淆图形面积与定积分关系致误【典例】 已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[解析] 由题意可得f (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(10x －10x 2)d x＝103x 3112012231053x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝54. [答案] 54[易误点评] (1)本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．(2)本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．[防范措施] 解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题：(1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形．(2)准确确定被积函数和积分变量．[跟踪练习] (2015·洛阳期末)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0e x ，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为________．解析：由题意知，所求面积为⎠⎛0－1(x ＋1)d x ＋⎠⎛01e xd x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x | 0－1＋e x | 10＝－⎝⎛⎭⎫12－1＋(e －1)＝e －12.答案：e －12A 组 考点能力演练1．已知t >0，若⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8，则t ＝( ) A ．1 B ．－2 C ．－2或4D ．4解析：由⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8得(x 2－2x )| t 0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去)，故选D.答案：D2．(2015·青岛模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x 的值为( )A.43 B.54 C.65D.76解析：⎠⎛0ef (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛1e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e1x d x ＝x 33| 10＋ln x | e1＝13＋ln e ＝43，故选A.答案：A3．(2016·武汉模拟)设a ＝⎠⎛12(3x 2－2x )d x ，则⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6的展开式中的第4项为( ) A ．－1 280x 3B ．－1 280C ．240D ．－240解析：本题考查定积分的计算与二项式定理．依题意得a ＝(x 3－x 2)| 21＝4，二项式⎝⎛⎭⎫4x 2－1x 6的展开式的第四项是T 4＝C 36·(4x 2)3·⎝⎛⎭⎫－1x 3＝－1 280x 3，故选A. 答案：A4．如图所示，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x (x >0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A.ln 22B.1－ln 22C.1＋ln 22D.2－ln 22解析：本题考查定积分的计算与几何概率的意义．依题意，题中的矩形区域的面积是1×2＝2，题中的阴影区域的面积等于2×12＋\a\vs4\al(\i\in(1xd x ＝1＋ln x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,＝1＋ln 2，因此所求的概率等于1＋ln 22，故选C.答案：C5．已知数列{a n }是等差数列，且a 2 013＋a 2 015＝⎠⎛024－x 2d x ，则a 2 014(a 2 012＋2a 2 014＋a 2 016)的值为( )A ．π2B ．2πC ．πD ．4π2解析：⎠⎛024－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝4在第一象限的面积，即⎠⎛024－x 2d x ＝π，又数列{a n }是等差数列，所以a 2 013＋a 2 015＝a 2 012＋a 2 016＝2a 2 014，所以得a 2 014·(a 2 012＋2a 2 014＋a 2 016)＝π2×2π＝π2，故选A.答案：A6．(2015·南昌模拟)直线y ＝13x 与抛物线y ＝x －x 2所围图形的面积等于________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝13x ，y ＝x －x 2，解得x ＝0或23，所以所求面积为∫230⎝⎛⎭⎫x －x 2－13x d x ＝∫230⎝⎛⎭⎫23x －x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 2－13x 3⎪⎪230＝13×⎝⎛⎭⎫232－13×⎝⎛⎭⎫233－0＝481. 答案：4817．(2015·长春二模)已知a >0且曲线y ＝x 、x ＝a 与y ＝0所围成的封闭区域的面积为a 2，则a ＝________.解析：由题意a 2＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32| a 0，所以a ＝49.答案：498．已知a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则⎠⎛0a(cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________. 解析：⎠⎛0a(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )| a0＝sin a ＋cos a －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫a ＋π4－1.∵a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴当a ＝π4时，[]⎠⎛0a(cos x －sin x )d xmax ＝2－1.答案：π49．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解：如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2| 10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2| 31＝23＋16＋43＝136. 10．汽车以54 km/h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度－3 m/s 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多远？解：由题意，得v 0＝54 km/h ＝15 m/s. 所以v (t )＝v 0＋at ＝15－3t . 令v (t )＝0，得15－3t ＝0.解得t ＝5. 所以开始刹车5 s 后，汽车停车． 所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为s ＝⎠⎛05v (t )d t ＝⎠⎛05(15－3t )d t ＝⎝⎛⎭⎫15t －32t 2| 50＝37.5(m)． 故汽车走了37.5 m.B 组 高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )| 10＝1＋e 1－1＝e.答案：C2．(2014·高考江西卷)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：令⎠⎛01f (x )d x ＝m ，则f (x )＝x 2＋2m ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2mx | 10＝13＋2m ＝m ，解得m ＝－13，故选B.答案：B3．(2013·高考湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2解析：由v (t )＝0得t ＝4.故刹车距离为s ＝⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t＝⎣⎡⎦⎤－32t 2＋7t ＋25ln (1＋t )| 40＝4＋25ln 5. 答案：C4．(2014·高考山东卷)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2D ．411 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x3得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍)． ∴S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4| 20＝4. 答案：D5．(2015·高考天津卷)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________． 解析：由题意，可得封闭图形的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－13x 3| 10＝12－13＝16.答案：166．(2015·高考陕西卷)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．解析：建立如图所示的直角坐标系，可设抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，由图易知(5,2)在抛物线上，可得p ＝254，抛物线方程为x 2＝252y ，所以当前最大流量对应的截面面积为2⎠⎛05⎝⎛⎭⎫2－225x 2d x ＝403，原始的最大流量对应的截面面积为2×(6＋10)2＝16，所以原始的最大流量与当前最大流量的比值为16403＝1.2.答案：1.2。

山东省2014届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编30：定积分 一、选择题 ．（山东省济南一中等四校2014届高三上学期期中联考数学（理）试题）若,则的大小关系为B．C．D． 【答案】B ．（山东省临沂市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）若实数则函数的图象的一条对称轴方程为B．C．D． 【答案】B ．（山东省莱芜四中2014届高三第二次月考数学理试题）已知,若,则=（ ） A．1B．-2C．-2或4D．4 【答案】D ．（山东省（中学联盟）济宁一中2014届高三10月月考数学（理）试题）若,,则的大小关系为 . . . . 【答案】B ．（山东省枣庄市2014届高三上学期期中检测数学（理）试题）曲线与围成的封闭区域的面积是1B．C．D． 【答案】C ．（山东省烟台市莱州一中2014届高三10月阶段测试数学试题（理））如图,设D是图中边长分别为1和2的矩形区域,E是D内位于函数图象下方的阴影部分区域,则阴影部分E的面积为（ ） A．B．C．D． 【答案】D． ．（山东省烟台二中2014届高三10月月考理科数学试题）曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为B．C．D．【答案】D二、填空题 ．（山东省烟台二中2014届高三10月月考理科数学试题）若在R上可导,,则____________. 【答案】-18 ．（山东省文登市2014届高三上学期期中统考数学（理）试题）=_________________. ( ) 【答案】 ．（山东省潍坊市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）_________.【答案】7 ．（山东省威海市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题） ____________. 【答案】 ．（山东省山师附中2014届高三11月期中学分认定考试数学（理）试题）设(其中e为自然对数的底数),则的值为_________. 【答案】 ．（山东省聊城市某重点高中2014届高三上学期期初分班教学测试数学（理）试题）设 ,若,则_______. 【答案】1因为,=,所以,. ．（山东省广饶一中二校区2014届高三上学期10月月考数学（理）试题）__________. 【答案】1 ．（山东省单县第五中学2014届高三第二次阶段性检测试题(数理)）若函数f(a)=(2+sin x)dx,则f等于_________ 【答案】(+1 ．（山东省博兴二中2014届高三第一次复习质量检测理科数学试卷）若,则的值是___★___. 【答案】2 ．（山东省淄博第五中学2014届高三10月份第一次质检数学（理）试题）由曲线y和直线x=1,以及y=0所围成的图形面积是__________________; 【答案】1/3 ．（山东省潍坊市诸城一中2014届高三10月阶段性测试数学（理）试题）曲线所围成的封闭图形的面积为______________. 【答案】 ．（山东省实验中学2014届高三上学期第二次诊断性测试数学（理）试题）由直线所围成的封闭图形的面积为__________. 【答案】 ．（山东省青岛市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）曲线与直线围成的封闭图形的面积为______________. 【答案】 ．（山东省菏泽市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）函数与的图像所围成的阴影部分的面积为,则__________. 【答案】3 ．（山东省德州市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）由曲线、直线以及所围成的图形面积是________. 【答案】。

定积分与微积分基本定理(时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．∫π20(x －sin x)d x 等于( )A .π24－1B .π28－1 C .π28 D .π28＋1 2．下列各命题中，不正确的是( )A ．若f(x)是连续的奇函数，则⎠⎛－aa f(x)d x ＝0B ．若f(x)是连续的偶函数，则⎠⎛－aaf(x)d x ＝2⎠⎛0a f （x ）d xC ．若f(x)在[a ，b]上连续且恒正，则⎠⎛ab f(x)d x>0D ．若f(x)在[a ，b]上连续，且⎠⎛ab f(x)d x>0，则f(x)在[a ，b]上恒正3．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x<1，1，1<x ≤2，则定积分⎠⎛02f(x)d x ＝( )A .83B ．2C .43D .134．曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围成图形的面积为( ) A .13 B .12 C ．1 D ．2能力提升5．[2013·湖南卷] 由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A .12B ．1C .32D . 3 6．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A .112 B .14 C .13 D .7127．如果1 N 的力能拉长弹簧1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，所耗费的功为( ) A ．0.18 J B ．0.26 J C ．0.12 J D ．0.28 J8．若y ＝⎠⎛0x (sin t ＋cos t sin t)d t ，则y 的最大值是( )A ．1B ．2C ．－72D ．09．[2013·东北名校二模] ⎠⎛01⎝⎛⎭⎫8π1－x 2＋6x 2d x ＝________．10．[2013·陕西卷] 设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x>0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f(f(1))＝1，则a ＝________．11．[2013·漳州模拟] 由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为________．12．(13分)计算下列定积分：(1)⎠⎛03π1－cos 2x d x ；(2)⎠⎛011x 2＋3x ＋2d x ；(3)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －1x 2d x ；(4)⎠⎛01()e x －e －x 2d x.难点突破13．(12分)已知点P 在曲线y ＝x 2－1上，它的横坐标为a(a>0)，由点P 作曲线y ＝x 2的切线PQ(Q 为切点)．(1)求切线PQ 的方程；(2)求证：由上述切线与y ＝x 2所围成图形的面积S 与a 无关．课时作业(十六)【基础热身】1．B [解析] ∫π20(x －sin x)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2＋cos x π20＝π28－1.2．D [解析] 根据定积分的几何意义可得．3．C [解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛121d x ＝13x 3 ⎪⎪⎪ )10＋x⎪⎪⎪ )21＝43. 4．B [解析] 如图，所围图形面积A ＝2⎠⎛01(x －x 3)d x ＝2⎝⎛⎭⎫12x 2－14x 4⎪⎪⎪10＝2⎝⎛⎭⎫12－14－0＝12.【能力提升】5．D [解析] 根据定积分的简单应用的相关知识可得到：由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为：S ＝⎪⎪⎪⎪∫π3－π3cos x d x ＝ )⎪⎪⎪ )sin x⎪⎪⎪ )π3－π3⎪⎪⎪ )＝⎪⎪⎪⎪sin π3－sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝3， 故选D .6．A [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 3得交点为(0，0)，(1，1)．所以所求图形的面积S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 4⎪⎪⎪10＝13－14＝112.7．A [解析] 由物理知识F ＝kx 知，1＝0.01k ，∴k ＝100，则W ＝⎠⎛0.06100x d x ＝50x2⎪⎪⎪ )0.060＝0.18(J )．8．B [解析] y ＝⎠⎛0x(sin t ＋cos t ·sin t)d t ＝⎠⎛0xsin t d t ＋12⎠⎛0x sin 2t d t ＝(－cos t)⎪⎪⎪ )x 0＋12⎝⎛⎭⎫－12cos 2t⎪⎪⎪ )x0 ＝－cos x ＋1－14cos 2x ＋14＝－12(cos x ＋1)2＋2，故当cos x ＝－1时，y max ＝2.9．4 [解析] 根据定积分的性质⎠⎛01⎝⎛⎭⎫8π1－x 2＋6x 2d x ＝8π⎠⎛011－x 2d x ＋2⎠⎛013x 2d x ＝8π×π4＋2×x 3⎪⎪⎪ )10＝4. 10．1 [解析] 由f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， x>0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ， x ≤0得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， x>0，x ＋a 3， x ≤0，f(1)＝lg 1＝0， f(f(1))＝f(0)＝a 3＝1，∴a ＝1. 11.163[解析] 联立直线方程与抛物线方程得x 2＋2x ＋1＝0，解得x ＝－1，即直线y ＝－4x －2为抛物线y ＝2x 2的一条切线(如图)，因此所求的面积为定积分⎠⎛－11(2x 2＋4x ＋2)d x ＝23(x＋1)3⎪⎪⎪ )1－1＝163.12．解：(1)⎠⎛3π1－cos 2x d x ＝⎠⎛3π2sin 2x d x ＝2⎠⎛3π⎪⎪⎪ )sin x⎪⎪⎪ )d x ＝2⎠⎛0πsin x d x －2⎠⎛π2πsin x d x ＋2⎠⎛2π3πsin x d x＝－2cos x ⎪⎪⎪ )π0＋2cos x ⎪⎪⎪ )2ππ－2cos x⎪⎪⎪ )3π2π＝22＋22＋22＝6 2.(2)⎠⎛011x 2＋3x ＋2d x ＝⎠⎛011x ＋1－1x ＋2d x ＝ln (x ＋1)－ln (x ＋2)⎪⎪⎪ )10＝(ln 2－ln 3)－(ln 1－ln 2)＝2ln 2－ln 3.(3)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －1x 2d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －2＋1x d x ＝⎠⎛12x d x －2⎠⎛121d x ＋⎠⎛121xd x ＝12x 2 ⎪⎪⎪ )21－2x ⎪⎪⎪ )21＋ln x⎪⎪⎪ )21＝⎝⎛⎭⎫2－12－(4－2)＋(ln 2－ln 1)＝ln 2－12. (4)⎠⎛01(e x－e －x)d x ＝⎠⎛01(e x ＋e －x )′d x ＝(e x ＋e －x)⎪⎪⎪ )10＝e ＋1e －2. 【难点突破】13．解：(1)点P 的坐标为(a ，a 2－1)， 设切点Q 的坐标为(x ，x 2)，由k PQ ＝a 2－1－x 2a －x 及y′＝2x 知a 2－1－x 2a －x＝2x ，解得x ＝a ＋1或x ＝a －1.所以所求的切线方程为2(a ＋1)x －y －(a ＋1)2＝0或2(a －1)x －y －(a －1)2＝0.(2)S ＝⎠⎛a －1a [x 2－2(a －1)x ＋(a －1)2]d x ＋⎠⎛aa ＋1[x 2－2(a ＋1)x ＋(a ＋1)2]d x ＝23.故所围成的图形面积S ＝23，此为与a 无关的一个常数．。

2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：2.12定积分一、定积分的概念与微积分基本定理 （一）定积分的计算（利用定义） 1、相关（1）由定积分定义求定积分的步骤为 ①分割； ②近似代替； ③求和； ④取极限。

（2）关于定积分的概念应注意的问题①积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关，即()()()bb baaaf x dx f t dt f u du ==⎰⎰⎰②定义中区间的分法和i ξ的取法都是任意的。

③在定积分的定义中，()baf x dx ⎰限定下限小于上限，即a<b,为了方便计算，人们把定积分的概念扩大，使下限不一定小于上限，并规定：()baf x dx ⎰=()a bf x dx -⎰，()aaf x dx ⎰=0。

2、例题解析〖例1〗用定积分的定义计算定积分21badx x ⎰的值。

分析：n 等分区间[a,b]→近似代替→求和→取极限解答：将区间[a,b]等分，设分点分别为a=x 0<x 1<x 2<…<x i+1<x i <…<x n =b,取ξi=1(0,1,2,,1)i i x x i n +=-,显然1[,]i i i x x ξ+∈，作和式111001111111()(),n n n i i i i i i ii S x x x x x x a b --+==++=-=-=-∑∑于是11lim n n S a b →∞=-，即2111b a x a b=-⎰〖例2〗用定积分的定义求直线x=1,x=2,y=0和曲线y=x 3围成的图形的面积 解析：（1）分割用分点12(1),,n n n n n n n+++-将区间[1，2]等分成个n 小区间，如图所示1121(1)[1,],[,],,[,],,[,2]n n n n i n i n n n n n n n n ++++-++-，每个区间的长度为 Δx=11n i n i n n n ++--=,过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形ABCD 分割成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作12,,,.n s s s ∆∆∆（2）近似代替取各小区间的左端点记为i ξ，用以点i ξ的纵坐标3i ξ为一边，以小区间长1x n∆=为其邻边的小矩形面积代替第i 个小曲边梯形的面积，可近似地表示为3311(1,2,,).i i n i S x i n n n ξ+-⎛⎫∆≈∆== ⎪⎝⎭（3）求和因为每个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD 面积S 的近似值，即311111()n n ni i i i i n i S S x n nξ===+-=∆≈∆=∑∑∑…………………………① （4）取极限当分点数目越多，即Δx 越小，和式①的值就越接近于曲边梯形ABCD 的面积S ，当n →∞，即Δx →0时，和式①的极限就是所求的曲边梯形ABCD 的面积。

第12节定积分的概念及简单应用【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.(2017·广东深圳一模)定积分x2dx等于( B )(A)0 (B) (C)1 (D)2解析:定积分x2dx=x3︱= (1+1)=,故选B.2.(2017·广州天河区三模)设f(x)=则f(x)dx的值为( A )(A) + (B) +3(C) + (D) +3解析:根据定积分性质可得f(x)dx=()dx+(x2-1)dx,根据定积分的几何意义,()dx是以原点为圆心,以1为半径圆面积的一半,()dx=,(x2-1)dx=(x3-x)︱=,所以f(x)dx=+,故选A.3.下列4个不等式:(1)dx<dx;(2)sin xdx<cos xdx;(3)e-x dx<dx;(4)sin xdx<xdx.能够成立的个数是( D )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:(1)由于x∈(0,1),所以0<<,所以dx<dx;(2)因为x∈[0,],所以0<sin x<cos x,所以sin xdx<cos xdx;(3)因为0<e-x<,所以e-x dx<dx;(4)令f(x)=x-sin x,x∈[0,2],则f′(x)=1-cos x≥0,所以sinxdx<xdx.综上可得,正确的命题有4个.故选D.4.用S表示图中阴影部分的面积,则S的值是( D )(A)f(x)dx(B)(C)f(x)dx+f(x)dx(D)f(x)dx-f(x)dx解析:由定积分的几何意义知,区域内的曲线与x轴的面积代数和,即f(x)dx-f(x)dx,故选D.5.(2017·山西临汾二模)一物体A以速度v(t)=t2-t+6沿直线运动,则当时间由t=1变化到t=4时,物体A运动的路程是( C )(A)26.5 (B)53 (C)31.5 (D)63解析:由题意可得,在t=1和t=4这段时间内物体A运动的路程是S=(t2-t+6)dt=(t3-t2+6t)︱=(-8+24)-( -+6)=31.5,故选C.6.(2017·江西湛江二模)曲线y=与直线y=x-1及x=1所围成的封闭图形的面积为( B )(A)2-ln 2 (B)2ln 2-(C)2+ln 2 (D)2ln 2+解析:如图,求阴影部分面积,联立方程组解得x=2,y=1,则曲线y=与直线y=x-1及x=1所围成的封闭图形的面积为S=(-x+1)dx=(2ln x-x2+x)︱=(2ln 2-2+2)-(0-+1)=2ln 2-,故选B.7.(2017·安徽三模)(sin x-acos x)dx=-,则实数a等于( B )(A)1 (B) (C)-1 (D)-解析:(sin x-acos x)dx=(-cos x-asin x)︱=--a+1,所以--a+1=-,所以a=,故选B.8.(2017·长春二模)( +x)dx= .解析:( +x)dx=(ln x+x2)︱=ln e+e2-(ln 1+)=e2+.答案: e2+9.(2017·广东番禺区一模)定积分(+x)dx的值为.解析:根据定积分的几何意义可知dx表示以1为半径的圆面积的,所以dx=,又xdx=︱=,所以(+x)dx=dx+xdx=+.答案: +能力提升(时间:15分钟)10.(2017·山东潍坊一模)已知函数f(x)=f′(1)x2+x+1,则f(x)dx 等于( B )(A)- (B) (C) (D)-解析:因为f′(x)=2f′(1)x+1,所以f′(1)=2f′(1)+1,所以f′(1)=-1,所以f(x)=-x2+x+1,所以f(x)dx=(-x3+x2+x)︱=,故选B.11.(2017·广西南宁二模)定义min{a,b}=设f(x)=min{x2, },则由函数f(x)的图象与x轴、直线x=2所围成的封闭图形的面积为( C )(A) (B) (C) +ln 2 (D) +ln 2解析:由=x2,得x=1,又当x<0时, <x2,所以,根据新定义有f(x)=min{x2, }=图象如图,所以,由函数f(x)的图象与x轴、x=2直线所围成的封闭图形为图中阴影部分,其面积S=x2dx+dx=x3︱+ln x︱=+ln 2,故选C.12.(2017·山东德州一模)若不等式|x-2|+|x-3|<3的解集是{x|a<x<b},则(-1)dx等于( C )(A) (B) (C) (D)3解析:|x-2|+|x-3|表示数轴上的x对应点到2,3对应点的距离之和, 而1和4对应点到2,3对应点的距离之和正好等于3,故|x-2|+|x-3|<3的解集是{x|1<x<4},所以a=1,b=4,则(-1)dx=(-1)dx=(-x)︱=(-4)- (-1)=, 故选C.13.在平面直角坐标系内,直线l:2x+y-2=0,将l与两坐标轴围成的封闭图形绕y轴旋转一周,所得几何体的体积为.解析:法一由题意可知,V=π(-1)2dy,所以V=π(y3-y2+y)︱=.法二由题意可知绕y轴旋转,形成的是以1为半径,2为高的圆锥, 则V=·π×12×2=.答案:π14.(2017·山东潍坊三模)如图,已知函数y=2kx(k>0)与函数y=x2的图象所围成的阴影部分的面积为,则实数k的值为.解析:直线方程与抛物线方程联立解得x=0,x=2k,得到积分区间为[0,2k],由题意得(2kx-x2)dx=(kx2-x3)︱=4k3-k3=, 即k3=8,解得k=2.答案:2。

高考数学理科一轮复习定积分及其简单的应用学案（带答案）本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址课件www.5y 学案16 定积分及其简单的应用导学目标：1.以求曲边梯形的面积和汽车变速行驶的路程为背景准确理解定积分的概念.2.理解定积分的简单性质并会简单应用.3.会说出定积分的几何意义，能根据几何意义解释定积分.4.会用求导公式和导数运算法则，反方向求使F′＝f的F，并运用牛顿—莱布尼茨公式求f的定积分.5.会通过求定积分的方法求由已知曲线围成的平面图形的面积.6.能熟练运用定积分求变速直线运动的路程.7.会用定积分求变力所做的功．自主梳理．定积分的几何意义：如果在区间[a，b]上函数f连续且恒有f≥0，那么函数f在区间[a，b]上的定积分的几何意义是直线________________________所围成的曲边梯形的________．2．定积分的性质&#643;bakfdx＝__________________；&#643;ba[f1±f2]dx＝_____________________________________；&#643;bafdx＝_______________________________________.3．微积分基本定理一般地，如果f是区间[a，b]上的连续函数，并且F′＝f，那么&#643;bafdx＝F－F，这个结论叫做__________________，为了方便，我们常把F－F记成__________________，即&#643;bafdx＝F|ba＝F－F．4．定积分在几何中的应用当x∈[a，b]且f&gt;0时，由直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f围成的曲边梯形的面积S＝__________________.当x∈[a，b]且f&lt;0时，由直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f围成的曲边梯形的面积S＝__________________.当x∈[a，b]且f&gt;g&gt;0时，由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f，y＝g围成的平面图形的面积S＝______________________.若f是偶函数，则&#643;a－afdx＝2&#643;a0fdx；若f 是奇函数，则&#643;a－afdx＝0.5．定积分在物理中的应用匀变速运动的路程公式做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v[v≥0]在时间区间[a，b]上的定积分，即________________________．变力做功公式一物体在变力F的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向从x＝a移动到x＝b，则力F所做的功w＝__________________________.自我检测．计算定积分&#643;503xdx的值为A.752B．75c.252D．252．定积分&#643;10[1－&#61480;x－1&#61481;2－x]dx 等于A.π－24B.π2－1c.π－14D.π－123．如右图所示，阴影部分的面积是A．23B．2－3c.323D.3534．&#643;421xdx等于A．－2ln2B．2ln2c．－ln2D．ln25．若由曲线y＝x2＋k2与直线y＝2kx及y轴所围成的平面图形的面积S＝9，则k＝________.探究点一求定积分的值例1 计算下列定积分：；；&#643;π0dx；&#643;20|x2－1|dx.变式迁移1 计算下列定积分：&#643;2π0|sinx|dx；&#643;π0sin2xdx.探究点二求曲线围成的面积例2 计算由抛物线y＝12x2和y＝3－2所围成的平面图形的面积S.变式迁移2 计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积．探究点三定积分在物理中的应用例3 一辆汽车的速度－时间曲线如图所示，求此汽车在这1min内所行驶的路程．变式迁移3 A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B站，电车开出ts后到达途中c点，这一段速度为1.2tm/s，到c点时速度达24m/s，从c点到B点前的D点以匀速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为m/s，在B点恰好停车，试求：A、c间的距离；B、D间的距离；电车从A站到B站所需的时间．函数思想的应用例在区间[0,1]上给定曲线y＝x2.试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值．【答题模板】解S1面积等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线y ＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，即S1＝t&#8226;t2－&#643;t0x2dx＝23t3.[2分]S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2,1－t，即S2＝&#643;1tx2dx－t2＝23t3－t2＋13.[4分]所以阴影部分面积S＝S1＋S2＝43t3－t2＋13．[6分] 令S′＝4t2－2t＝4tt－12＝0时，得t＝0或t＝12.[8分]t＝0时，S＝13；t＝12时，S＝14；t＝1时，S＝23.[10分]所以当t＝12时，S最小，且最小值为14.[12分]【突破思维障碍】本题既不是直接求曲边梯形面积问题，也不是直接求函数的最小值问题，而是先利用定积分求出面积的和，然后利用导数的知识求面积和的最小值，难点在于把用导数求函数最小值的问题置于先求定积分的题境中，突出考查学生知识的迁移能力和导数的应用意识．．定积分&#643;bafdx的几何意义就是表示由直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f围成的曲边梯形的面积；反过来，如果知道一个这样的曲边梯形的面积也就知道了相应定积分的值，如&#643;204－x2dx＝π，&#643;2－24－x2dx＝2π.2．运用定积分的性质可以化简定积分计算，也可以把一个函数的定积分化成几个简单函数定积分的和或差．3．计算一些简单的定积分问题，解题步骤是：第一步，把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数积的和或差；第二步，把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；第三步，分别用求导公式找到一个相应的使F′＝f的F；第四步，再分别用牛顿—莱布尼茨公式求各个定积分的值后计算原定积分的值．一、选择题．下列值等于1的积分是A．&#643;10xdxB．&#643;10dxc．&#643;1012dxD．&#643;101dx2．设函数f＝x2＋1，0≤x≤1，3－x，1&lt;x≤2，则&#643;20fdx等于A.13B.176c．6D．173．已知f为偶函数且&#643;60fdx＝8，则&#643;6－6fdx 等于A．0B．4c．8D．164．曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝π2所围成的平面区域的面积为A．&#643;π20dxB．2&#643;π40dxc．&#643;π20dxD．2&#643;π40dx5．函数f＝&#643;x0tdt在[－1,5]上A．有最大值0，无最小值B．有最大值0，最小值－323c．有最小值－323，无最大值D．既无最大值也无最小值题号2345答案二、填空题6．若1N的力使弹簧伸长2cm，则使弹簧伸长12cm时克服弹力做的功为__________j.7．&#643;10dx＝2，则k＝________.8．若f在R上可导，f＝x2＋2f′x＋3，则&#643;30fdx ＝________.三、解答题9．计算以下定积分：&#643;212x2－1xdx；&#643;32x＋1x2dx；&#643;π30dx；&#643;21|3－2x|dx.0．设y＝f是二次函数，方程f＝0有两个相等的实根，且f′＝2x－2.求y＝f的表达式；求y＝f的图象与两坐标轴所围成图形的面积．1．求曲线y＝ex－1与直线x＝－ln2，y＝e－1所围成的平面图形的面积．答案自主梳理．x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f 面积2．k&#643;bafdx &#643;baf1dx±&#643;baf2dx&#643;cafdx＋&#643;bcfdx3.微积分基本定理F|ba4.&#643;bafdx－&#643;bafdx&#643;ba[f－g]dx5.s＝&#643;bavdt &#643;baFdx自我检测．A 2.A 3.c 4.D5．±3解析由y＝x2＋k2，y＝2kx.得2＝0，即x＝k，所以直线与曲线相切，如图所示，当k&gt;0时，S＝&#643;k0dx＝&#643;k02dx＝133|k0＝0－133＝k33，由题意知k33＝9，∴k＝3.由图象的对称性可知k＝－3也满足题意，故k＝±3.课堂活动区例1 解题导引与绝对值有关的函数均可化为分段函数．①分段函数在区间[a，b]上的积分可分成几段积分的和的形式．②分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段的情况分即可，无需分得过细．f是偶函数，且在关于原点对称的区间[－a，a]上连续，则&#643;a－afdx＝2&#643;a0fdx.解&#643;e1x＋1x＋1x2dx＝&#643;e1xdx＋&#643;e11xdx＋&#643;e11x2dx＝12x2|e1＋lnx|e1－1x|e1＝12＋－1e－11＝12e2－1e＋32.&#643;π20dx＝&#643;π20sinxdx－2&#643;π20cosxdx＝|π20－2sinx|π20＝－cosπ2－－2sinπ2－sin0＝－1.&#643;π0dx＝2&#643;π0sinxdx－3&#643;π0exdx＋&#643;π02dx＝2|π0－3ex|π0＋2x|π0＝2[－]－3＋2＝7－3eπ＋2π.∵0≤x≤2，于是|x2－1|＝x2－1，1&lt;x≤2，1－x2，0≤x≤1，∴&#643;20|x2－1|dx＝&#643;10dx＋&#643;21dx＝x－13x3|10＋13x3－x|21＝2.变式迁移1 解∵′＝sinx，∴&#643;2π0|sinx|dx＝&#643;π0|sinx|dx＋&#643;2ππ|sinx|dx＝&#643;π0sinxdx－&#643;2ππsinxdx＝－cosx|π0＋cosx|2ππ＝－＋＝4.&#643;π0sin2xdx＝&#643;π012－12cos2xdx＝&#643;π012dx－12&#643;π0cos2xdx＝12x|π0－1212sin2x|π0＝π2－0－1212sin2π－12sin0＝π2.例2 解题导引求曲线围成的面积的一般步骤为：作出曲线的图象，确定所要求的面积；联立方程解出交点坐标；用定积分表示所求的面积；求出定积分的值．解作出函数y＝12x2和y＝3－2的图象，则所求平面图形的面积S为图中阴影部分的面积．解方程组y＝12x2，y＝3－&#61480;x－1&#61481;2，得x＝－23，y＝29或x＝2，y＝2.所以两曲线交点为A－23，29，B．所以S＝&#643;2－23[3－2]dx－&#643;2－2312x2dx＝&#643;2－23dx－&#643;2－2312x2dx＝－13x3＋x2＋2x2－23－16x32－23＝－83＋4＋4－881＋49－43－16×8＋827＝42027.变式迁移2 解如图，设f＝x＋3，g＝x2－2x＋3，两函数图象的交点为A，B，由y＝x＋3，y＝x2－2x＋3.得x＝0，y＝3或x＝3，y＝6.∴曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积S＝&#643;30[f－g]dx＝&#643;30[－dx]＝&#643;30dx＝－13x3＋32x2|30＝92.故曲线与直线所围图形的面积为92.例3 解题导引用定积分解决变速运动的位置与路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．变速直线运动的速度函数往往是分段函数，故求积分时要利用积分的性质将其分成几段积分，然后求出积分的和，即可得到答案．s 求导后得到速度，对速度积分则得到路程．解方法一由速度—时间曲线易知．v＝3t，t∈[0，10&#61481;，30，t∈[10，40&#61481;，－1.5t＋90，t∈[40，60]，由变速直线运动的路程公式可得s＝&#643;1003tdt＋&#643;401030dt＋&#643;6040dt ＝32t2|100＋30t|4010＋－34t2＋90t|6040＝1350．答此汽车在这1min内所行驶的路程是1350m.方法二由定积分的物理意义知，汽车1min内所行驶的路程就是速度函数在[0,60]上的积分，也就是其速度曲线与x轴围成梯形的面积，∴s＝12×30＝12××30＝1350．答此汽车在这1min内所行驶的路程是1350m.变式迁移3 解设v＝1.2t，令v＝24，∴t＝20.∴A、c间距离|Ac|＝&#643;XX.2tdt＝|200＝0.6×202＝240．由D到B时段的速度公式为v＝m/s，可知|BD|＝|Ac|＝240．∵|Ac|＝|BD|＝240，∴|cD|＝7200－240×2＝6720．∴c、D段用时672024＝280．又A、c段与B、D段用时均为20s，∴共用时280＋20＋20＝320．课后练习区．D 2.B 3.D 4.D 5.B6．0.36解析设力F与弹簧伸长的长度x的关系式为F＝kx，则1＝k×0.02，∴k＝50，∴F＝50x，伸长12cm时克服弹力做的功w＝&#643;0.12050xdx＝502x2|0.120＝502×0.122＝0.36．7．1解析∵&#643;10dx＝2k＋1xk＋1＋x10＝2k＋1＋1＝2，∴k＝1.8．－18解析∵f′＝2x＋2f′，∴f′＝4＋2f′，即f′＝－4，∴f＝x2－8x＋3，∴&#643;30fdx＝13×33－4×32＋3×3＝－18.9．解函数y＝2x2－1x的一个原函数是y＝23x3－lnx，所以&#643;212x2－1xdx＝23x3－lnx21＝163－ln2－23＝143－…&#643;32x＋1x2dx＝&#643;32x＋1x＋2dx＝12x2＋lnx＋2x32＝92＋ln3＋6－＝ln32＋92.…………………………………………………………………………………函数y＝sinx－sin2x的一个原函数为y＝－cosx＋12cos2x，所以&#643;π30dx＝－cosx＋12cos2xπ30＝－12－14－－1＋12＝－14.……………………………………………………………＝|321＋|232＝12.…………………………………………………………0．解设f＝ax2＋bx＋c，则f′＝2ax＋b.又f′＝2x－2，所以a＝1，b＝－2，即f＝x2－2x＋c.………………………………………………又方程f＝0有两个相等实根，所以Δ＝4－4c＝0，即c＝1.故f＝x2－2x＋………依题意，所求面积S＝&#643;10dx＝13x3－x2＋x|10＝13.……………………………………………………………………1．解画出直线x＝－ln2，y＝e－1及曲线y＝ex－1如图所示，则所求面积为图中阴影部分的面积．由y＝e－1，y＝ex－1，解得B．由x＝－ln2，y＝ex－1，解得A－ln2，－12.…………………………………………………此时，c，D．所以S＝S曲边梯形BcDo＋S曲边三角形oAD＝&#643;1－ln2dx－&#643;10dx0－ln2&#61480;ex－1&#61481;dx………………………………………＝x|1－ln2－|10＋||0－ln2|………………………………………………＝－＋|e0－|＝－＋ln2－12＝eln2＋12.……………………………………………………………………………课件www.5y。