人教版九年级数学上册24.1.3 弧、弦、圆心角同步测试题【精编】

24.1.3 弧、弦、圆心角一、课内练习：1．下列命题中，正确的有（）A．圆只有一条对称轴B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴D．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴2．下列说法中，正确的是（）A．等弦所对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等3．下列命题中，不正确的是（）A．圆是轴对称图形B．圆是中心对称图形C．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形D．以上都不对4．如果两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等; B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等; D．以上说法都不对5．如图1，半圆的直径AB=4，O为圆心，半径OE⊥AB，F为OE的中点，CD∥AB，则弦CD的长为（）A．23B．3C．5D．256．已知：如图2，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为P，且AP=4cm，PD=2cm，则⊙O的半径为（）A．4cm B．5cm C．42cm D．23cm7．如图3，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（）A．3：2 B．5：2 C．5：2D．5：48．在⊙O中，圆心角∠AOB=90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径的长为（）A．42B．82C．24 D．169．如果两条弦相等，那么（）A．这两条弦所对的弧相等B．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦的弦心距相等D．以上答案都不对10．半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最短的弦长是，最长的弦长是．11．弓形的弦长6cm，高为1cm，则弓形所在圆的半径为 cm．12．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为．13．弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是，弦所对的圆心角是．14．如图，∠AOB=90°，C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=BF=CD．。

24．1.3　弧、弦、圆心角01 基础题知识点1　圆心角的概念及其计算1．下面图形中的角是圆心角的是(D)A B C D2．已知⊙O 的半径为5 cm ，弦AB 的长为5 cm ，则弦AB 所对的圆心角∠AOB ＝60°.知识点2　弧、弦、圆心角之间的关系3．下列说法正确的是(B)A ．相等的圆心角所对的弧相等B ．在同圆中，等弧所对的圆心角相等C ．弦相等，圆心到弦的距离相等D ．圆心到弦的距离相等，则弦相等4．(兰州中考)如图，在⊙O 中，点C 是的中点，∠A ＝50°，则∠BOC ＝(A)AB ︵ A ．40° B ．45° C ．50° D ．60°5．(教材P85练习T2变式)(贵港中考)如图，AB 是⊙O 的直径，＝＝，∠COD ＝34°，则∠AEO 的BC ︵ CD ︵ DE ︵ 度数是(A)A ．51°B ．56°C ．68°D ．78°6．如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有(D)①＝；②＝；③AC ＝BD ；④∠BOD ＝∠AOC.AB ︵ CD ︵ BD ︵ AC ︵ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个7．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，则∠BCD 的度数为(C)A ．100°B ．110°C ．120°D ．135°8．如图，AB ，DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且＝.BE 与CE 的大小有什么关系？为什么？AD ︵ CE ︵解：BE ＝CE.理由如下：∵AB ，DE 是⊙O 的直径，∴∠AOD ＝∠BOE.∴＝.AD ︵ BE ︵ ∵＝，∴＝.AD ︵ CE ︵ BE ︵ CE ︵ ∴BE ＝CE.9．如图，M 为⊙O 上一点，OD ⊥AM 于点D ，OE ⊥BM 于点E.若OD ＝OE ，求证：＝.AM ︵ BM ︵证明：连接OM.∵OD ⊥AM ，OE ⊥BM ，∴AD ＝MD ，ME ＝BE ，∠ODM ＝∠OEM ＝90°.在Rt △DMO 和Rt △EMO 中，{OD ＝OE ，OM ＝OM ，)∴Rt △DMO ≌Rt △EMO(HL)．∴DM ＝EM.∴AM ＝BM.∴＝.AM ︵ BM ︵ 易错点　对圆中的有关线段的关系运用不当而致错10．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，且AD ＝BC ，则AB 与CD 的大小关系为(B)A ．AB>CDB ．AB ＝CDC ．AB<CDD ．不能确定02 中档题11．如图，已知A ，B ，C 在圆O 上，D ，E ，F 是三边的中点．若＝，则四边形AEDF 的形状是(B)AB ︵ AC ︵ A ．平行四边形B ．菱形C ．正方形D ．矩形12．已知⊙O 中，M 为的中点，则下列结论正确的是(C)AB ︵ A ．AB ＞2AMB ．AB ＝2AMC ．AB ＜2AMD ．AB 与2AM 的大小不能确定13．如图，AB 是半圆O 的直径，E 是OA 的中点，F 是OB 的中点，ME ⊥AB 于点E ，NF ⊥AB 于点F.在下列结论中：①＝＝；②ME ＝NF ；③AE ＝BF ；④ME ＝2AE.AM ︵ MN ︵ BN ︵ 正确的有①②③．14．如图，AB 是⊙O 的直径，＝，∠COD ＝60°.AC ︵ CD ︵ (1)△AOC 是等边三角形吗？请说明理由；(2)求证：OC ∥BD.解：(1)△AOC 是等边三角形．理由：∵＝，AC ︵ CD ︵ ∴∠AOC ＝∠COD ＝60°.又∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形．(2)证明：∵∠AOC ＝∠COD ＝60°，∴∠BOD ＝180°－(∠AOC ＋∠COD)＝60°.∵OD ＝OB ，∴△ODB 为等边三角形．∴∠ODB ＝60°.∴∠ODB ＝∠COD ＝60°.∴OC ∥BD.15．(教材P84例3变式)如图，A ，B ，C 为圆O 上的三等分点．(1)求∠BOC 的度数；(2)若AB ＝3，求圆O 的半径长及S △ABC .解：(1)∵A ，B ，C 为圆O 上的三等分点，∴＝＝.AB ︵ BC ︵ AC ︵ ∴∠BOC ＝×360°＝120°.13(2)过点O 作OD ⊥AB 于点D ，∵A ，B ，C 为圆O 上的三等分点，∴AB ＝AC ＝BC ＝3，即△ABC 是等边三角形．∴∠BAO ＝∠OBA ＝30°.则AD ＝，故DO ＝，OA ＝，即圆O 半径长为.323233∴S △ABC ＝3××DO·AB ＝.1293403 综合题16．如图，∠AOB ＝90°，C ，D 是的三等分点，连接AB 分别交OC ，OD 于点E ，F ，求证：AB ︵ AE ＝BF ＝CD.证明：连接AC ，BD.∵C ，D 是的三等分点，AB ︵ ∴＝＝.AC ︵ CD ︵ DB ︵ ∴AC ＝CD ＝DB.又∠AOB ＝90°，∴∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝∠AOB ＝×90°＝30°.1313∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ＝45°.∴∠AEC ＝∠AOC ＋∠OAB ＝75°.在△AOC 中，OA ＝OC ，∴∠ACO ＝＝＝75°.180°－∠AOC 2180°－30°2∴∠AEC ＝∠ACO.∴AE ＝AC.同理BF ＝BD.∴AE ＝BF ＝CD.。

24.1.3 弧、弦、圆心角同步练习一、选择题1.下列说法中，正确的是( )A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等2.如图24-1-3-1，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，已知AB=4，CD=2，AB 的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为( )图24-1-3-1A.3∶2B.5∶2C.5∶2D.5∶43.半径为R 的⊙O 中，弦AB=2R ，弦CD=R ，若两弦的弦心距分别为OE 、OF ，则OE ∶OF 等于( )A.2∶1B.3∶2C.2∶3D.0二、填空题1．如图2,已知O 中,AB BC =,且:3:4AB AMC =,则AOC ∠=______.2．（2008襄樊市）如图3，⊙O 中OA ⊥BC ，∠CDA=25°，则∠AOB 的度数为 ．3．如图，已知AB,CD 是⊙O 的直径，CE 是弦，且AB ∥CE,∠C=035，则BE 的度数为三、解答题（本题共2小题，每题10分，共20分）4．如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半径OA 、OB 的中点且OA ⊥CE 、OB ⊥DE ，求证⌒AE =⌒EF =⌒FB5．如图，在⊙o 中，AB BC CD ==，OB ，ＯＣ分别交ＡＣ，ＢＤ于Ｅ、Ｆ，求证OE OF =9．如图所示，以ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，作AD ，BC 于E ，F ，•延长BA交⊙O 于G ，求证：GE EF =．参考答案一、选择题1．B 2．C 3. D .二、填空题4．1445.506．035三、解答题（本题共2小题，每题10分，共20分）7．证明：如图，连接OE 、OF ，∵D 是半径、OB 的中点OB ⊥DF ，∴OD=12OF,∴∠OFD=030,即∠FOD=060， 同理∠EOA=060,∴∠FOD=∠EOA=∠EOF,∴⌒AE =⌒EF =⌒FB8．证明：如图，∵AB BC CD ==，∴AC BD =,∴AC BD =,∵B,C 是,AC BD ， ∴1,,2BF CE AC OB AC OC BD ==⊥⊥, ∴Rt OBF Rt OCE ≅,∴OE OF =9．证明：连接AF ，则AB=AF ，所以∠ABF=∠AFB ．因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，所以∠DAF=∠AFB ，∠GAE=∠ABF ，所以∠GAE=∠EAF ，所以GE EF =．。

人教版九年级上册数学24.1.3弧、弦、圆心角同步练习知识点一圆心角的定义1.下列图形中表示的是圆心角的是()知识点二弧、弦、圆心角之间的关系2.下列说法：①相等的圆心角所对的弧相等；②相等的弧所对的弦相等；③相等的弦所对的弧相等；④半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个3.在半径为1cm的⊙O中,弦长为2cm的弦所对的圆心角度数为()A.60°B.90°C.120°D.45°所对的圆心角的度数为()4.如图,弦AB∥直径CD,∠OAB=40°,则.DBA.40°B.50°C.60°D.30°=AC ,∠A=30∘,则∠C=.5.如图,在⊙O中,AB6.如图,⊙O中的弦AB=CD,求证:AD=BC.的中点,∠A=50°,则∠AOB的度数为.7.如图,C为AB=CD ,CE=2,DE=6,则⊙O的半径是(）8.如图,⊙O的两条弦AB,CD互相垂直,垂足为E,且ABA.5B.4C.25D.89.如图,⊙O在△ABC的三边上截得的弦长相等,∠A=80°,则∠BOC的度数为.10.如图,等边△ABC的顶点都在⊙O上.(1)求∠BOC的度数;(2)若AB=6,求⊙O的半径.的三等分点,AB交OC、OD于E、F.求证:AE=CD.11.如图,∠AOB=90°,C、D为AB的中点，求证：四边形OACB是菱形.12.如图,点A、B是⊙O上两点,∠AOB=120°,C是AB13.(1)如图1,AB,CD是⊙O的两条弦,∠AOB+∠COD=180°,E是AB的中点,求证:CD=2OE; (2)如图2,OA,OB,OC都是⊙O的半径,∠AOB=2∠BOC,AB=4,BC=5,求⊙O的半径.。

24.1.3弧、弦、圆心角同步练习一．选择题1．如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连结AB、AD，若AD＝，则半径R的长为（）A．1B．C．D．2．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（）A．25°B．50°C．65°D．75°3．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AC＝2，BD＝2，则⊙O 的半径为（）A．B．C．D．4．如图：AB为半圆的直径，AB＝4，C为OA中点，D为半圆上一点，连CD，E为的中点，且CD∥BE，则CD的长为（）A．B．C．D．5．如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC＝x°，∠ACD＝y°，则下列结论成立的是（）A．x+y＝90B．2x+y＝90C．2x+y＝180D．x＝y6．如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：①；②OM＝ON；③P A＝PC；④∠BPO＝∠DPO，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．47．如图，在⊙O中，AB，CD是两条弦，OM⊥CD，ON⊥AB，如果AB＝CD，则下列结论不正确的是（）A．∠AON＝∠DOM B．AN＝DM C．OM＝DM D．OM＝ON8．如图，已知A，B，C，D是圆上的点，弧AD＝弧BC，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是（）A．AB＝AD B．BE＝CD C．AC＝BD D．BE＝AD二．填空题9．如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE＝3，则弦CE＝．10．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD＝CO．若的度数为40°，则的度数是．11．如图，AB是⊙O的直径，点D、C在⊙O上，∠DOC＝90°，AD＝2，BC＝，则⊙O 的半径长为．12．如图，在⊙O中，，∠1＝30°，的度数为．13．如图，AB是⊙O的直径，M、N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，则的度数．14．如图，AB是⊙O的直径，弧BC、弧CD与弧DE相等，∠COD＝40°，则∠AOE＝．15．如图，AB为⊙O的直径，△P AB的边P A，PB与⊙O的交点分别为C、D．若＝＝，则∠P的大小为度．三．解答题16．如图，⊙O中的弦AB＝CD，AB与CD相交于点E．求证：（1）AC＝BD；（2）CE＝BE．17．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D是的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F．（1）求证：DF＝DE；（2）若BD＝6，CE＝8，求⊙O的半径．参考答案1．解：∵弦AC＝BD，∴，∴，∴∠ABD＝∠BAC，∴AE＝BE；连接OA，OD，∵AC⊥BD，AE＝BE，∴∠ABE＝∠BAE＝45°，∴∠AOD＝2∠ABE＝90°，∵OA＝OD，∴AD＝R，∵AD＝，∴R＝1，故选：A．2．解：∵根据圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，∵∠ABC+∠AOC＝75°，∴∠AOC＝×75°＝50°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝65°，故选：C．3．解：作半径OE⊥AB，连接DE，作BF⊥DE于F，如图，∵∠DOC＝90°，∠BOE＝90°，∴∠DOE＝∠AOC，∴DE＝AC＝2，∵∠BDE＝180°﹣×90°＝135°，∴∠BDF＝45°，∴DF＝BF＝BD＝×2＝2，在Rt△BEF，BE＝＝2，∵△BOE为等腰直角三角形，∴OB＝×2＝．故选：D．4．解：如图，连接EO并延长与DC的延长线相交于点K，连接BD交OE于点H，∵E为弧AD中点，∴OE⊥AD，BH＝DH，∵BE∥CD，∴∠EBH＝∠KDH，∠E＝∠K，∴△BHE≌△DHK（AAS），∴BE＝KD＝2x，EH＝KH，∵BE∥CD，∴△KCO∽△EBO，∴，∵AB是半圆⊙O的直径，AB＝4，C为OA的中点，∴，∴KO＝1，KC＝x，∴KE＝KO+OE＝1+2＝3，∴EH＝KH＝1.5，OH＝0.5，∵BE2﹣EH2＝BH2＝BO2﹣OH2，∴4x2﹣1.52＝22﹣0.52，解得：x＝，∴CD＝KD﹣KC＝2x﹣x＝x＝，故选：B．5．解：连接BC，由圆周角定理得，∠BAC＝∠BOC＝x°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣x°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D＝180°﹣∠B＝90°+x°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝x°，∵AD∥OC，∴∠DAC＝∠OCA＝x°，∴∠ACD＝180°﹣∠DAC﹣∠D，即y＝180°﹣x°﹣（90°+x°）＝90°﹣x°，∴x+y＝90，故选：A．6．解：如图连接OB、OD；∵AB＝CD，∴＝，故①正确∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM＝MB，CN＝ND，∴BM＝DN，∵OB＝OD，∴Rt△OMB≌Rt△OND，∴OM＝ON，故②正确，∵OP＝OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN，∴PM＝PN，∠OPB＝∠OPD，故④正确，∵AM＝CN，∴P A＝PC，故③正确，故选：D．7．解：∵AB＝CD，OA＝OD，OB＝OC，∴△OAB≌△ODC（SSS），∠AOB＝∠DOC，∵OM⊥CD，ON⊥AB，∴OM＝ON，DM＝CM，AN＝NB，∴AN＝DM，∵OA＝OD，ON＝OM，∴Rt△AON≌Rt△DOM（HL），∴∠AON＝∠DOM，∴A，B，D正确，故选：C．8．解：∵，∴，∴，∴AC＝BD，故选：C．9．解：连接OC，∵AC∥DE，∴∠A＝∠1．∠2＝∠ACO，∵∠A＝∠ACO，∴∠1＝∠2．∴CE＝BE＝3．10．解：连接OD、OE，∵的度数为40°，∴∠AOD＝40°，∵CD＝CO，∴∠ODC＝∠AOD＝40°，∵OD＝OE，∴∠ODC＝∠E＝40°，∴∠DOE＝100°，∴∠AOE＝60°，∴∠BOE＝120°，∴的度数是120°．故答案为120°．11．解：延长CO交⊙O于R，连AR，DR，过D作DM⊥AR于M，∵∠DOC＝90°，∴∠DOR＝90°，∴∠DAR＝180°﹣×90°＝135°，∴∠DAM＝45°，∵DM⊥AM，DA＝2，∴DM＝AM＝，∴MR＝2，DR＝，∵2OD2＝DR2，∴OD＝故答案为12．解：∵在⊙O中，，∴∠AOC＝∠BOD，∴∠1+∠BOC＝∠2+∠BOC，∴∠1＝∠2＝30°，∴的度数为30°，故答案为：30°13．解：∵AB是⊙O的直径，M、N分别是AO，BO的中点，∴2OM＝OC，2ON＝OD，∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠CMO＝∠DNO＝90°，∴∠MCO＝∠NDO＝30°，∴∠MOC＝∠NOD＝60°，∴∠COD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴的度数是60°，故答案为：60°14．解：∵，∠COD＝40°，∴∠BOC＝∠COD＝∠EOD＝40°，∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝60°．故答案为60°．15．解：连接OC、OD，∵＝＝，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，∵OA＝OC，OB＝OD，∴△AOC和△BOD都是等边三角形，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴∠P＝60°，故答案为：60．16．证明：（1）∵AB＝CD，∴＝，即+＝+，∴＝，∴AC＝BD；（2）∵＝，∴∠ADC＝∠DAB，∴EA＝ED，∵AB＝CD，即AE+BE＝CE+DE，∴CE＝BE．17．（1）证明：连接AD，∵点D是的中点，∴∠CAD＝∠BAD，∴CD＝BD，在△CAD和△BAD中，，∴△CAD≌△BAD（SAS），∴∠ACD＝∠ABD，∴∠DCE＝∠DBF，在△CED和△BFD中，，∴△CED≌△BFD（ASA），∴DF＝DE；（2）解：∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠DBF＝∠ACD，∵∠ACD＝∠ABD，∴∠ABD＝∠DBF，∴∠ABD＝90°，∴∠ECD＝∠ABD＝90°，∴AD是⊙O的直径，∵CD＝BD＝6，CE＝8，∴DE＝＝10，∴EB＝10+6＝16，在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，设AB＝AC＝x，则x2+162＝（x+8）2，解得x＝12，∴AB＝12，在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，∴AD＝＝6，∴⊙O的半径为3．。

新人教版数学九年级上册24.1.3弧、弦、圆心角课时练习同步训练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如果两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D．以上说法都不对2．在⊙O中，如果弦AB=2AC，那么（）．A．弧AB = 2弧ACB．弧AB =弧ACC．弧AB<2弧ACD．弧AB >2弧AC3．已知AB、CD是两个不同圆的弦，如AB=CD，那么AB与CD的关系是（）A．AB=CD B．AB>CD C．AB<CD D．不能确定4．AB,AC两条弦，AD 是圆的一条直径且 AD分∠BAC下列结论中不一定正确的是（）A．AB=DB B．BD=CD C．AB=AC D．∠B=∠C 5．在⊙O中，AB=2AC，那么（）A．AB=AC B．AB=2AC C．AB>2AC D．AB<2AC 6．已知⊙O的半径是10cm，AB是120°，那么弦AB的弦心距是（）A ．5cmB ．C ．D 7．如图，CD 为O 的直径，CD EF ⊥，垂点为G ，40EOD ∠=，则(DCF ∠= )A ．80°B ．50°C ．40°D ．20°8．一个点到圆的最小距离为4cm ，最大距离为9cm ，则该圆的半径是（ ）A ．2.5 cm 或6.5 cmB ．2.5 cmC ．6.5 cmD ．5 cm 或13cm9．如果两个圆心角相等，那么（ ）A ．这两个圆心角所对的弦相等B ．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D ．以上说法都不对10．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD ，则两条弧AB 与CD 关系是（ ）A ．弧AB = 弧2CDB ．弧AB 弧2CDC ．弧AB 弧2CDD ．不能确定11．下列三个命题：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分弦；③ 相等的圆心角所对的弧相等．④在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么弦也相等。

24.1.3 弧、弦、圆心角一、课内练习：1．下列命题中，正确的有（）A．圆只有一条对称轴B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴D．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴2．下列说法中，正确的是（）A．等弦所对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等3．下列命题中，不正确的是（）A．圆是轴对称图形B．圆是中心对称图形C．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形D．以上都不对4．如果两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等; B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等; D．以上说法都不对5．如图1，半圆的直径AB=4，O为圆心，半径OE⊥AB，F为OE的中点，CD∥AB，则弦CD的长为（）A．23B．3C．5D．256．已知：如图2，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为P，且AP=4cm，PD=2cm，则⊙O 的半径为（）A．4cm B．5cm C．42cm D．23cm7．如图3，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（）A．3：2 B．5：2 C．5：2D．5：48．在⊙O中，圆心角∠AOB=90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径的长为（）A．42B．82C．24 D．169．如果两条弦相等，那么（）A．这两条弦所对的弧相等B．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦的弦心距相等D．以上答案都不对10．半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最短的弦长是，最长的弦长是．11．弓形的弦长6cm，高为1cm，则弓形所在圆的半径为 cm．12．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为．13．弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是，弦所对的圆心角是．14．如图，∠AOB=90°，C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=BF=CD．O。

九年级数学上册24.1.3 弧、弦、圆心角基础闯关全练1．下面四个图中的角，为圆心角的是( )A.B.C.D.2．如图24-1-3 -1，△ABC的各顶点都在⊙O上，D、E、F分别是△ABC三边的中点，若，则四边形AEDF的形状是( )A．菱形B．正方形C．矩形D．等腰梯形3．（2019江苏泰州高港月考）如图24-1-3-2，AB是⊙O的直径，，∠COD=32°，则∠AEO的度数为_________.4．如图24-1-3-3所示，AB是⊙O的直径，，∠COD= 60°．请判断△AOC的形状，并说明理由.能力提升全练1．如图24-1-3 -4所示，在⊙O中，，则在①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④中，正确的个数是( )A.1B.2C.3D.42．（2019江苏徐州睢宁月考）如图24-1-3-5所示，AB是⊙O直径，直线CM是AO的垂直平分线，直线DN是OB的垂直平分线，则下列结论正确的是( )A.B.C.D.三年模拟全练一、选择题1．（2019江苏泰州泰兴月考，10，★☆☆）如图24 -1-3 -6．已知∠AOB=∠COD，下列结论不一定成立的是( )A．AB= CDB．C．△AOB≌△CODD．△AOB、△COD都是等边三角形二、解答题2．（2019浙江丽水期中，19，★☆☆）如图24 -1-3 -7，已知OA、OB、OC是⊙O的三条半径，点C是的中点，M、N分别是OA、OB的中点．求证：MC=NC.五年中考全练一、填空题1．（2018贵州毕节中考，19，★★☆）如图24-1-3 -8，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为_______.二、解答题2．（2018黑龙江牡丹江中考，22，★★☆）如图24-1-3-9，在⊙O中，，AD⊥OC 于D．求证：AB= 2AD.核心素养全练1．如图24-1-3 -10，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，则与的关系是( )A.B.C.D．不能确定2．如图24-1-3 -11，AB是⊙O的直径，AB= 10，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC= CD= DA，若点P是直径AB上的一动点，则PD+PC的最小值为____．九年级数学上册24.1.3 弧、弦、圆心角基础闯关全练1.D 圆心角的顶点必须在圆心上，∴选项A、B、C均不正确，故选D．2.A ∵D、E、F是三边的中点，∴DE∥AC，DF//AB，∴四边形AEDF是平行四边形．∵，AB =AC ，易知AE=AB ，AF=AC ，∴AE =AF ，∴四边形AEDF 是菱形．故选A ．3.答案48°解析 ∵， ∠COD= 32°，∴∠BOC=∠EOD=∠COD= 32°，∴∠AOE= 180°-∠EOD-∠COD-∠BOC= 84°.又∵ OA=OE ，∴∠AEO=∠OAE ，∴∠AEO=×( 180°-84°)= 48°.4．解析 △AOC 是等边三角形，理由如下：∵，∴∠AOC= ∠COD ，又∠COD=60°，∴∠AOC=60°.∵OA=DC ，∴△AOC 是等边三角形.能力提升全练1．D ∵在⊙O 中．．即，∴AB=CD ，，∴AC=BD ， ∠AOC= ∠BOD ，∴①②③④都正确．2.A 如图，连接AC ，OC ，OD ，BD ，∵直线CM 是AO 的垂直平分线，直线DN 是OB 的垂直平分线，∴AC=OC ，BD=OD.∵OC= OD= OA= OB ，∴△AOC ，△BOD 是等边三角形，∴∠AOC=∠BOD= 60º.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠COD=60°，∴，故选A ．三年模拟全练一、选择题1.D ∵∠AOB=∠COD ，∴AB= CD ，，∵OA= OB= OC=OD ．∴△AOB ≌△COD ，∴选项212121A、B、C成立．故选D．二、解答题2．证明∵点C是的中点，∴，∴∠AOC= ∠BOC.又∵OA =OB，M、N分别是OA、OB的中点，∴OM=ON．在△MOC和△NOC中，∴△MOC≌△NOC( SAS)，∴MC= NC.五年中考全练一、填空题1．答案30°解析如图，连接OC．∵AB是直径，，∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°．∵OA= OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠A=60°，又CE⊥OA，∴∠AEC=90°，∴∠ACE=90°-60°=30°.二、解答题2．证明如图，延长AD交⊙O于点E，∵OC⊥AD，∴=2，AE=2AD.∵，∴，∴AB=AE，∴AB=2AD.核心素养全练1．A 如图，连接OC ，BC ，过O 作OE ⊥AC 于D 交⊙O 于E ，∴AD= CD ，∴OD 为△ABC 的中位线，∴OD =BC ．∵把半圆沿弦AC 折叠，恰好经过点O ，∴OD=OE ．∴BC =OE= OC= OA ，∴，故选A ．2．答案 10解析 如图，作点C 关于直线AB 的对称点C ’，连接OC ，OD ，OC ’，BC ’，∵BC= CD= DA ，∴∠AOD=∠COD=∠BOC= 60°.∵C 与C ’关于AB 对称，∴BC ’=BC.∴∠BOC ’= 60°.∴D 、O 、C ’在同一条直线上，∴DC ’=AB= 10，即PD+PC 的最小值为10，此时P 与O 重合．2121。

24.1.3 弧、弦、圆心角测试时间:25分钟一、选择题1.(2017山东滨州期中)下列语句中,正确的有( )①相等的圆心角所对的弧相等;②平分弦的直径垂直于弦;③长度相等的两条弧是等弧;④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图,在☉O中,已知=,则AC与BD的关系是( )A.AC=BDB.AC<BDC.AC>BDD.不确定3.(2016广东广州荔湾期末)如图,AB是☉O的直径,BC、CD、DA是☉O的弦,且BC=CD=DA,则∠BCD等于( )A.60°B.90°C.120°D.150°4.如图,AB,CD是☉O的直径,=,若∠AOE=32°,则∠COE的度数是( )A.32°B.60°C.68°D.64°5.已知是☉O的一条弧,点A是弧的中点,连接AC,CD,则( )A.CD=2ACB.CD>2ACC.CD<2ACD.不能确定二、填空题6.如图,已知AB是☉O的直径,PA=PB,∠P=60°,则所对的圆心角等于度.三、解答题7.如图,∠AOB=90°,C、D是的三等分点,AB分别交OC、OD于点E、F,求证:AE=CD.8.如图,在☉O中,弦AD、BC相交于点E,连接OE,已知=.(1)求证:BE=DE;(2)如果☉O的半径为5,AD⊥CB,DE=1,求AE的长.24.1.3 弧、弦、圆心角一、选择题1.答案 A ①同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,故本选项错误;②被平分的弦是直径时不成立,故此选项错误;③能重合的弧是等弧,而长度相等的弧不一定能够重合,故此选项错误;④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴,此选项正确.故正确的有1个,选A.2.答案 A ∵=,∴-=-,∴=,∴AC=BD.故选A.3.答案 C 连接OC、OD,∵BC=CD=DA,∴∠COB=∠COD=∠DOA,∵∠COB+∠COD+∠DOA=180°,∴∠COB=∠COD=∠DOA=60°,∴∠BCD=2××(180°-60°)=120°.故选C.4.答案 D ∵=,∠AOE=32°,∴∠BOD=∠AOE=32°,∵∠BOD=∠AOC,∴∠AOC=32°,∴∠COE=32°+32°=64°.故选D.5.答案 C 连接AD.∵点A是的中点,∴=,∴AC=AD,∵在△ACD中,CD<AC+AD,∴CD<2AC.故选C.二、填空题6.答案60解析连接OC,OD,∵PA=PB,∠P=60°,∴△PAB是等边三角形,∴∠A=∠B=60°,∵OA=OC=OD=OB,∴△COA,△DOB是等边三角形,∴∠COA=∠DOB=60°,∴∠COD=180°-∠COA-∠DOB=60°.故所对的圆心角等于60°.三、解答题7.证明连接AC,∵∠AOB=90°,C、D是的三等分点,∴∠AOC=∠COD=30°,AC=CD,又OA=OC,∴∠ACE=75°,∵∠AOB=90°,OA=OB,∴∠OAB=45°,∴∠AEC=∠AOC+∠OAB=75°,∴∠ACE=∠AEC,∴AE=AC,∴AE=CD.8.解析(1)证明:∵=,∴AB=CD,在△ABE与△CDE中,∴△ABE≌△CDE,∴BE=DE.(2)过O作OF⊥AD于F,OG⊥BC于G,连接OA,OC, 根据垂径定理得AF=FD,BG=CG,∵AD=BC,∴AF=CG,在Rt△AOF与Rt△COG,∴Rt△AOF≌Rt△COG,∴OF=OG,∵AD⊥CB,∴四边形OFEG是正方形,∴OF=EF,设OF=EF=x,则AF=FD=x+1,∵OF2+AF2=OA2,∴x2+(x+1)2=52,解得x=3(x=-4舍去),∴AF=x+1=4,∴AE=7.。

弧、弦、圆心角1．若AB ︵，CD ︵是同一圆上的两段弧，且AB ︵＝CD ︵，则弦AB 与弦CD 之间的关系是( C )A ．AB ＜CD B ．AB ＞CDC ．AB ＝CD D ．不能确定【解析】 同圆或等圆中等弧所对的弦相等．2．如图24－1－27所示，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是BE ︵上的三等分点，∠AOE ＝60°，则∠COE为( C )A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°【解析】 易知∠EOB ＝180°－60°＝120°.∵C ，D 是BE ︵的三等分点，∴BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∴∠BOC＝∠COD ＝∠DOE ，∴∠COE ＝23∠EOB ，∴∠COE ＝23×120°＝80°.故选C.图24－1－27图24－1－28图24－1－293．如图24－1－28，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 于D ，延长OD 交⊙O 于E ，则下列说法错误的是( D )A ．AD ＝BDB ．∠AOE ＝∠BOEC.AE ︵＝BE ︵ D ．OD ＝DE【解析】 由垂径定理得A ，C 正确．又由AE ︵＝BE ︵得∠AOE ＝∠BOE ，故B 正确，故选D.4．如图24－1－29，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，∠BOC ＝110°，AD ∥OC ，则∠AOD ＝( D )A ．70°B ．60°C ．50°D ．40°【解析】 ∠AOC ＝180°－∠BOC ＝180°－110°＝70°.∵AD ∥OC ，∴∠A ＝∠AOC ＝70°.∵OA ＝OD ，∴∠A ＝∠D ＝70°.∴∠AOD ＝180°－∠A －∠D ＝180°－70°×2＝40°.故选D.5．已知AB ︵，CD ︵是同圆的两段弧，且AB ︵＝2CD ︵，则弦AB 与2CD 之间的关系为( B )A ．AB ＝2CD B ．AB ＜2CDC ．AB ＞2CD D ．不能确定【解析】 如图，在圆上截取DE ︵＝CD ︵，则有AB ︵＝CE ︵，∴AB ＝CE .∵CD ＋DE ＝2CD ＞CE ＝AB ，∴AB ＜2CD .6．如图24－1－30，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，则∠BCD＝( B )A ．105°B ．120°C ．135°D ．150°图24－1－30图24－1－317．如图24－1－31所示，AB 是⊙O 的直径，如果∠COA ＝∠DOB ＝60°，那么与线段OA 相等的线段有__OC ，OD ，OB ，AC ，CD ，DB __；与AC ︵相等的弧有__CD ︵和DB ︵__．8．如图24－1－32，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠A ＝42°，则∠B ＝__69°__．【解析】 ∵AB ︵＝AC ︵，∴AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ＝12(180°－∠A )＝12×(180°－42°)＝69°.图24－1－32图24－1－339．如图24－1－33，AB 为半圆O 的直径，OC ⊥AB ，OD 平分∠BOC ，交半圆于点D ，AD 交OC 于点E ，则∠AEO 的度数是__67.5°__．【解析】 因为OD 平分∠BOC ，所以∠BOD ＝12∠BOC ＝12×90°＝45°.因为OA ＝OD ，所以∠A ＝∠D .又因为∠BOD ＝∠A ＋∠D ＝2∠A ，所以∠A ＝12∠BOD ＝12×45°＝22.5°，所以∠AEO ＝90°－22.5°＝67.5°.10．如图24－1－34所示，D ，E 分别是⊙O 的半径OA ，OB 上的点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，CD ＝CE ，则AC 与CB 的大小关系是__AC ＝CB __．图24－1－3411．如图24－1－35，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝35°，以C 为圆心、CA 为半径的圆交AB 于D 点，则弧AD 为__70__度．【解析】 连接CD ，∵∠ACB ＝90°，∠B ＝35°，∴∠A ＝90°－∠B ＝55°.∵CA ＝CD ，∴∠A ＝∠CDA ＝55°，∴∠ACD ＝180°－2∠A ＝70°.12．如图24－1－36，AB ，BC ，AC 都是⊙O 的弦，且∠AOB ＝∠BOC .求证：(1)∠BAC ＝∠BCA ；(2)∠ABO ＝∠CBO .图24－1－36【解析】 (1)在⊙O 中，有圆心角∠AOB ＝∠BOC ，则可知该圆心角所对的弦相等，即AB ＝BC ，在△ABC 中，AB ＝BC ，则∠BAC ＝∠BCA .(2)图中共有4个等腰三角形，根据它们的底角分别相等，可以得出结论．证明：(1)∵∠AOB ＝∠BOC ，∴AB ＝BC ，∴∠BAC ＝∠BCA .(2)∵OB ＝OA ，∴∠ABO ＝∠BAO ，同理得∠CBO ＝∠BCO ，∠CAO ＝∠ACO .又∵∠BAC ＝∠BCA ，∴∠BAO ＝∠BCO ，∴∠ABO ＝∠CBO .13．如图24－1－37所示，已知AB 为⊙O 的直径，M ，N 分别为OA ，OB 的中点，CM ⊥AB ，DN⊥AB ，垂足分别为M ，N .求证：AC ︵＝BD ︵.图24－1－37第13题答图【解析】 证两弧相等，可根据其定义和圆心角、弦、弧三者之间的关系定理与推论来证明． 证明：如图所示，连接OC ，OD ，则OC ＝OD .又OM ＝12OA ，ON ＝12OB ，OA ＝OB ， ∴OM ＝ON ，∴Rt △CMO ≌Rt △DNO ，∴∠COA ＝∠DOB ，∴AC ︵＝BD ︵.14．如图24－1－38所示，A ，B ，C 为⊙O 上的三点，且有AB ︵＝BC ︵＝CA ︵，连接AB ，BC ，CA .(1)试确定△ABC 的形状；(2)若AB ＝a ，求⊙O 的半径．图24－1－38第14题答图解： (1)∵AB ︵＝BC ︵＝CA ︵(已知)，∴AB ＝BC ＝CA (在同圆中相等的弧所对的弦相等)，∴△ABC 为等边三角形．(2)如图，连接OA ，OB ，OC ，过O 作OE ⊥BC ，垂足为E .∵AB ︵＝BC ︵＝CA ︵(已知)，∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA (在同圆中相等的弧所对的圆心角相等)．又∵∠AOB ＋∠BOC ＋∠COA ＝360°(周角的定义)，∴∠BOC ＝120°.又∵OB ＝OC ，OE ⊥BC ，∴∠BOE ＝∠COE ＝60°，BE ＝EC ＝12BC ＝12AB ＝12a (等腰三角形三线合一)． ∴∠OBE ＝90°－∠BOE ＝30°.∴OE ＝12OB . 根据勾股定理得BE 2＋OE 2＝OB 2，∴⎝⎛⎭⎫12a 2＋⎝⎛⎭⎫12OB 2＝OB 2，解得OB ＝33a (负值已舍)，即⊙O 的半径为33a . 15．如图24－1－39，A ，B ，C ，D ，E ，F 是⊙O 的六等分点．连接AB ，AD ，AF ，求证：AB ＋AF ＝AD .【解析】 连接OB ，OF ，得到等边△AOB ，△AOF ，据此并结合圆的性质，即可推理出AB ＝AF ＝AO ＝OD ，从而得到AB ＋AF ＝AD .图2439解：连接OB ，OF .∵A ，B ，C ，D ，E ，F 是⊙O 的六等分点，∴AD 是⊙O 的直径，且∠AOB ＝∠AOF ＝60°，又∵OA ＝OB ，OA ＝OF ，∴△AOB ，△AOF 是等边三角形，∴AB ＝AF ＝AO ＝OD ，∴AB ＋AF ＝AO ＋OD ＝AD .16．已知如图24－1－40，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是AN ︵的中点，P 是直径MN 上一动点，⊙O 的半径为1，则AP ＋BP 的最小值为多少？第16【解析】 利用圆的对称性，找到AP ＋BP 取最小值时的P 点，再结合弧与圆心角的关系得到直角三角形，运用勾股定理求解．解：作A 关于MN 的对称点A ′，根据圆的对称性，则A ′必在圆上，连接BA ′交MN 于P ，连接P A ，则P A ＋PB 最小，此时P A ＋PB ＝P A ′＋PB ＝A ′B ，连接OA ，OA ′，OB .∵AN ︵＝13MN ︵，∴∠AON ＝∠A ′ON ＝60°. ∵AB ︵＝BN ︵，∴∠BON ＝12∠AON ＝30°， ∴∠A ′OB ＝90°，∴A ′B ＝OA ′2＋OB 2＝12＋12＝2，即AP ＋BP 的最小值是 2.。