2016年高考数学(理)冲刺卷(新课标Ⅰ卷) 01(考试版) Wo

湖南省2016年高考数学冲刺卷（理科）（1）（解析版）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，A={x|x＞3}，B={x|≥﹣1}，则（∁U A）∩B=（）A．[﹣1，3] B．[﹣1，3）C．[﹣1，+∞）D．（3，+∞）2．若复数z满足（1+i）z=（3+i）i，则|z|=（）A．B．C．D．3．若双曲线﹣=1的一条渐近线过点（2，3），则此双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．4．（2﹣x）（1+x）5的展开式中x3的系数为（）A．﹣10 B．10 C．﹣15 D．155．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜）的部分图象如图，则f（）=（）A．B．C．D．6．已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），若P（ξ＞1）=0.02，则P（﹣1≤ξ≤1）=（）A．0.04 B．0.64 C．0.86 D．0.967．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且最小正周期为2，若0≤x≤1时，f（x）=x，则f（﹣1）+f（﹣2017）=（）A．0 B．C．1 D．28．执行如图的程序框图，则输出的S的值为（）A．B．C．D．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．10．设x，y满足，且z=ax﹣2y的最小值是1，则实数a=（）A．﹣4 B．1 C．﹣4或1 D．﹣1或411．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表（每行比上一行多一个数），设a ij（i，j∈N+）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42=8，若a ij=2010，则i，j的值的和为（）A．75 B．76 C．77 D．7812．已知函数f（x）=，a∈R，若对任意非零实数x1，存在非零实数x2（x1≠x2），使得f（x2）=f（x1），则实数k的最小值（）A．B．C． D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量，均为单位向量，与夹角均为，则|﹣2|=．14．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2500，3000）（元）内应抽出人．15．已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且acosB+bcosA=3a，则=．16．已知半圆C：x2+y2=1（y≥0），A，B分别为半圆C与x轴的左右交点，直线m过点B且与x轴垂直，T是圆弧上的一个三等分点，连接AF并延长至直线m于S，则四边形OBST的面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=1﹣a n，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=4（n+1）a n，T n是数列{b n}的前n项和，n∈N*，求T n．18．如图，所有棱长都为2的正三棱柱BCD﹣B′C′D′，四边形ABCD是菱形，其中E为BD的中点（Ⅰ）求证：平面BC′D∥面AB′D′；（Ⅱ）求面AB′D′与面ABD所成锐二面角的余弦值．19．某校为了研究学情，从高三年级中抽取了20名学生三次测试数学成绩和物理成绩，计算出了他们三次成绩的平均名次如下表：学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10数学平均名次物理平均名次1.32.312.39.725.731.036.722.350.340.067.758.049.039.052.060.740.063.334.342.7学生序号11 12 13 14 15 16 17 18 19 20数学平均名次物理平均名次78.349.750.046.765.783.366.359.768.050.095.0101.390.776.787.786.0103.799.786.799.0学校规定：平均名次小于或等于40.0者为优秀，大于40.0者为不优秀．（1）对名次优秀赋分2，对名次不优秀赋分1，从这20名学生中随机抽取2名学生，若用ξ表示这2名学生两科名次赋分的和，求ξ的分布列和数学期望；（2）根据这次抽查数据列出2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下的物理成绩和数学成绩有关？附：K2=，其中n=a+b+c+dP（K2＞k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82820．已知函数f（x）=（ax2+x﹣1）e x，a∈R．（1）若函数f（x）在x=﹣1时取极值，求a的值；（2）讨论函数f（x）的单调性．21．设F1、F2分别为椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点D为椭圆E的左顶点，且|CD|=，椭圆的离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）对于正常数λ，如果存在过点M（x0，0）（﹣a＜x0＜a）的直线l与椭圆E交于A、B两点，使得S△AOB=λS△AOD（其中O为原点），则称点M为椭圆E的“λ分点”．试判断点M（1，0）是否为椭圆E 的“2分点”．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图所示，AB是圆O的直径，延长BA至C，使AC=BC，过C作圆O的切割线交圆O于M、N 两点，且AM=MN．（1）证明：∠AOM=∠ABN；（2）若MN=2，求AN的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016湖南模拟）已知圆C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为．（Ⅰ）将圆C1的参数方程化为普通方程，将圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）圆C1、C2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．[选修4-5：不等式选讲]24．2（ab+bc+ca）+3≤1（2）a2+b2+c2．2016年湖南省高考数学冲刺卷（理科）（1）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，A={x|x＞3}，B={x|≥﹣1}，则（∁U A）∩B=（）A．[﹣1，3] B．[﹣1，3）C．[﹣1，+∞）D．（3，+∞）【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵A={x|x＞3}，B={x|≥﹣1}，∴∁U A={x|x≤3}，则（∁U A）∩B={x|﹣1≤x≤3}=[﹣1，3]，故选：A【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据集合交集补集的定义是解决本题的关键．2．若复数z满足（1+i）z=（3+i）i，则|z|=（）A．B．C．D．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵（1+i）z=（3+i）i，（1﹣i）（1+i）z=（3i﹣1）（1﹣i），∴2z=4i+2，∴z=1+2i．∴|z|=．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．若双曲线﹣=1的一条渐近线过点（2，3），则此双曲线的离心率为（）A．2 B．C． D．【分析】求出双曲线的渐近线，建立a，b的关系，结合双曲线离心率的公式进行求解即可．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，∵双曲线﹣=1的一条渐近线过点（2，3），∴（2，3）在y=x上，即2×=3，即=，则双曲线的离心率e=====，故选：D【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据点与渐近线的关系求出a，b的关系是解决本题的关键．4．（2﹣x）（1+x）5的展开式中x3的系数为（）A．﹣10 B．10 C．﹣15 D．15【分析】（2﹣x）（1+x）5的展开式中x3的项由两种可能，化简计算．【解答】解：（2﹣x）（1+x）5的展开式中x3的项为2+（﹣x）=10x3；故（2﹣x）（1+x）5的展开式中x3的系数为10；故选B．【点评】本题考查了二项展开式的特征项的系数问题；关键是熟练二项式定理，明确展开式的通项．5．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜）的部分图象如图，则f（）=（）A．B．C．D．【分析】根据三角函数的图象求出A，ω和φ的值，代入进行求解即可．【解答】解：由图象得A=2，T=﹣（）=π，则T==，得ω=，则f（x）=2sin（x+φ），由五点对应法得×+φ=，即φ=﹣=，则f（x）=2sin（x+），则f（）=2sin（×+）=2sin（+）=2cos=2×=，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解，根据条件求出A，ω和φ的值是解决本题的关键．6．已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），若P（ξ＞1）=0.02，则P（﹣1≤ξ≤1）=（）A．0.04 B．0.64 C．0.86 D．0.96【分析】根据随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），得到正态曲线关于x=0对称，根据P（ξ＞1）=0.02，得到对称区间上的概率，从而可求P（﹣1≤ξ≤1）．【解答】解：由随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2）可知正态密度曲线关于y轴对称，而P（ξ＞1）=0.02，则P（ξ＜﹣1）=0.02，故P（﹣1≤ξ≤1）=1﹣P（ξ＞1）﹣P（ξ＜﹣1）=0.96，故选：D．【点评】本题主要考查正态分布的概率求法，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且最小正周期为2，若0≤x≤1时，f（x）=x，则f（﹣1）+f（﹣2017）=（）A．0 B．C．1 D．2【分析】由函数的奇偶性和周期性得f（﹣1）=f（1）=1，f（﹣2017）=f（2017）=f（1）=1，由此能求出f（﹣1）+f（﹣2017）的值．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且最小正周期为2，0≤x≤1时，f（x）=x，∴f（﹣1）=f（1）=1，f（﹣2017）=f（2017）=f（1）=1，∴f（﹣1）+f（﹣2017）=1+1=2．故选：D．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．8．执行如图的程序框图，则输出的S的值为（）A．B．C．D．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，S=，n=2，满足进行循环的条件，第二次执行循环体后，S=，n=3，满足进行循环的条件，第三次执行循环体后，S=，n=4，满足进行循环的条件，第四次执行循环体后，S=，n=5，满足进行循环的条件，第五次执行循环体后，S=，n=6，不满足进行循环的条件，故输出的S值为，故选：B【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】几何体为底面为长方形，长为2，宽为1，高为2的棱柱，切去一个棱台，上底面为直角三角形，直角边为1，，下底面为直角三角形，直角边为2，1，即可求出体积．【解答】解：几何体为底面为长方形，长为2，宽为1，高为2的棱柱，切去一个棱台，上底面为直角三角形，直角边为1，，下底面为直角三角形，直角边为2，1，故体积为1×2×2﹣=．故选：A．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，考查学生的计算能力，确定几何体的形状是关键．10．设x，y满足，且z=ax﹣2y的最小值是1，则实数a=（）A．﹣4 B．1 C．﹣4或1 D．﹣1或4【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：不等式则对应的平面区域为角形区域，由，解得，故最小值应该在点（，）处取得，则a﹣2=1，解得a=﹣4，或a=1，当a=1时，不等式组为，此时目标函数为z=x﹣2y，即y=，此时直线经过A（1，0），满足条件z=1，当a=﹣4时，则不满足条件，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．11．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表（每行比上一行多一个数），设a ij（i，j∈N+）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42=8，若a ij=2010，则i，j的值的和为（）A．75 B．76 C．77 D．78【分析】由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，前31个偶数行内数的个数的和为992，前32个偶数行内数的个数的和为1056个，得到第1005个偶数2010在第32个数数行内，确定2010是第几行第几列的数字，得到结果．【解答】解：由三角形数表可以看出其奇数行中的数都是奇数，偶数行中的数都是偶数，2010=2×1005，∴2010为第1005个偶数，∵前31个偶数行内数的个数的和为992，前32个偶数行内数的个数的和为1056个，∴第1005个偶数2010在第32个数数行内，即i=64，又由1005﹣992=13得：j=13，∴i+j=64+13=77．故选C．【点评】本题考查简单的演绎推理，考查数列的特点，是一个综合题，这种题目是我们经常见到的问题，是一个比较新颖的题目，注意观察分析数字的排列规律．12．已知函数f（x）=，a∈R，若对任意非零实数x1，存在非零实数x2（x1≠x2），使得f（x2）=f（x1），则实数k的最小值（）A．B．C． D．【分析】利用函数的连续性，列出方程，通过方程有实数解，得到不等式求解k的范围即可．【解答】解：函数f（x）=，a∈R，则x=0时，f（x）=2k（1﹣a2）．对任意非零实数x1，存在非零实数x2（x1≠x2），使得f（x2）=f（x1），∴函数必须是连续函数，即在x=0附近的左右两侧函数值相等．（a﹣4）2=2k（1﹣a2），a∈R，所以k≠0，即（2k+1）a2﹣8a+16﹣2k=0有实数解．∴△=82﹣4（2k+1）（16﹣2k）≥0．整理得：2k2﹣15k≥0，解得k≥．或k＜0，当k＜0时，k没有最小值．故选：A．【点评】本题考查分段函数的应用，函数的连续性的应用，考查分析问题解决问题的能力．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量，均为单位向量，与夹角均为，则|﹣2|=．【分析】根据向量的数量积公式计算即可．【解答】解：向量，均为单位向量，与夹角均为，则|﹣2|2=||2﹣4||||cos+|4|2=1﹣4×1×1×+4×1=3，∴|﹣2|=故答案为：【点评】本题考查向量的模长公式，涉及向量的数量积的运算，属基础题．14．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2500，3000）（元）内应抽出25人．【分析】直方图中小矩形的面积表示频率，先计算出[2500，3000）内的频率，再计算所需抽取人数即可．【解答】解：由直方图可得[2500，3000）（元）月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分层抽样应抽出2500×=25人．故答案为：25．【点评】本题考查频率分布直方图与分层抽样的规则，解题的关键是从直方图中求得相应收入段的频率，再根据分层抽样的规则计算出样本中本收入段应抽的人数．15．已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且acosB+bcosA=3a，则=3．【分析】先利用正弦定理把a和b的表达式代入acosB+bcosA中，利用了两角和公式化简整理，求得acosB+bcosA=2RsinC，进而把2RsinC转化成边，即可得解．【解答】解：由正弦定理得：，∴左=acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin（B+A）=2RsinC=c=右=3a，∴=3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理完成了边角问题的互化，属于基本知识的考查．16．已知半圆C：x2+y2=1（y≥0），A，B分别为半圆C与x轴的左右交点，直线m过点B且与x轴垂直，T是圆弧上的一个三等分点，连接AF并延长至直线m于S，则四边形OBST的面积为或．【分析】由题意，∠SAB=60°或∠SAB=30°．再分类讨论，即可求出四边形OBST的面积．【解答】解：由题意，∠SAB=60°或∠SAB=30°．∠SAB=60°，直线AT的方程为y=（x+1），x=1，y=2，∴四边形OBST的面积为﹣=；∠SAB=30°，直线AT的方程为y=（x+1），x=1，y=，∴四边形OBST的面积为=．故答案为：或．【点评】本题考查四边形OBST的面积，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=1﹣a n，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=4（n+1）a n，T n是数列{b n}的前n项和，n∈N*，求T n．【分析】（1）求数列{a n}的通项公式；（2）利用错位相减法进行求解．【解答】解：（1）∵S n=1﹣a n，∴S n+1=1﹣a n+1，两式相减得S n+1﹣S n=1﹣a n+1﹣（1﹣a n）=a n﹣a n+1，即a n+1=a n﹣a n+1，则2a n+1=a n，则=，当n=1时，a1=1﹣a1，解得a1=，即数列{a n}是以a1=为首项，公比q=的等比数列，则a n=（）n﹣1=；（2）b n=4（n+1）a n=4（n+1）；则T n=4[2×（）1+3×（）2+…+n×（）n﹣1+（n+1）（）n]，于是T n=4[2×（）2+3×（）3+…+n×（）n+（n+1）×（）n+1]，两式相减得T n=4[2×（）1+（）2+…+（）n﹣（n+1）×（）n+1]=4[1+﹣（n+1）×（）n+1]=4[]=∴T n=12﹣（n+3）（）n﹣2．【点评】本题以数列的递推关系式为载体，主要考查数列求和，要求熟练掌握错位相减法．18．如图，所有棱长都为2的正三棱柱BCD﹣B′C′D′，四边形ABCD是菱形，其中E为BD的中点（Ⅰ）求证：平面BC′D∥面AB′D′；（Ⅱ）求面AB′D′与面ABD所成锐二面角的余弦值．【分析】（Ⅰ）取B′D′的中点为F，连AF，C′F，由已知得AFC′E为平行四边形，由此能证明平面BC′D ∥面AB′D′．（Ⅱ）连结EF，由已知得面AB′D′与面ABD所成锐二面角为∠EAF，由此能求出面AB′D′与面ABD所成锐二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图取B′D′的中点为F，连AF，C′F，∵正三棱柱BCD﹣B′C′D′，四边形ABCD是菱形，∴B′D′∥BD，C′F AE，∴AFC′E为平行四边形．∴AF∥C′E，又BD∩C′E=E，∴平面BC′D∥面AB′D′．（Ⅱ）解：连结EF，由已知得EF⊥平面ABD，∴面AB′D′与面ABD所成锐二面角为∠EAF，∵所有棱长都为2的正三棱柱BCD﹣B′C′D′，四边形ABCD是菱形，∴EF=2，AE==，AF==，∴cos∠EAF===，∴面AB′D′与面ABD所成锐二面角的余弦值为．【点评】本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，线线角、线面角、二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．19．某校为了研究学情，从高三年级中抽取了20名学生三次测试数学成绩和物理成绩，计算出了他们三次成绩的平均名次如下表：学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10数学平均名次物理平均名次1.32.312.39.725.731.036.722.350.340.067.758.049.039.052.060.740.063.334.342.7学生序号11 12 13 14 15 16 17 18 19 20数学平均名次物理平均名次78.349.750.046.765.783.366.359.768.050.095.0101.390.776.787.786.0103.799.786.799.0学校规定：平均名次小于或等于40.0者为优秀，大于40.0者为不优秀．（1）对名次优秀赋分2，对名次不优秀赋分1，从这20名学生中随机抽取2名学生，若用ξ表示这2名学生两科名次赋分的和，求ξ的分布列和数学期望；（2）根据这次抽查数据列出2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下的物理成绩和数学成绩有关？附：K2=，其中n=a+b+c+dP（K2＞k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【分析】（1）ξ可能的取值为4，5，6，7，8．求出概率得到分布列，然后求解期望．（2）列出2×2列联表，求出K2的观测值，然后推出结果．【解答】解：（1）ξ可能的取值为4，5，6，7，8．又，，故ξ的分布列为ξ 4 5 6 7 8Pξ的数学期望．（2）根据这次抽查数据及学校的规定，可列出2×2列联表如下：数学优秀数学不优秀合计物理优秀 4 2 6物理不优秀 2 12 14合计 6 14 20假设物理成绩与数学成绩无关，根据列表中数据，得K2的观测值，因此，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为物理成绩与数学成绩有关．【点评】本题考查离散性随机变量的分布列以及期望的求法，独立检验的应用，考查计算能力．20．已知函数f（x）=（ax2+x﹣1）e x，a∈R．（1）若函数f（x）在x=﹣1时取极值，求a的值；（2）讨论函数f（x）的单调性．【分析】（1）求导f′（x）=（2ax+1）e x+（ax2+x﹣1）e x=xe x（ax+2a+1）；令f′（﹣1）=﹣e﹣1（﹣a+2a+1）=0，从而解得；（2）由（1）知，f′（x）=（2ax+1）e x+（ax2+x﹣1）e x=xe x（ax+2a+1）；分类讨论以确定导数的正负，从而确定函数的单调性．【解答】解：（1）f′（x）=（2ax+1）e x+（ax2+x﹣1）e x=xe x（ax+2a+1）；则f′（﹣1）=﹣e﹣1（﹣a+2a+1）=0，解得，a=﹣1；故a=﹣1时，f′（x）=﹣xe x（x+1）；经检验在x=﹣1处有极小值．（2）①当a=0时，f′（x）=xe x，当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0；故f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；②当2a+1=0，即a=﹣时，f′（x）=﹣x2e x≤0，故f（x）在R上是减函数；③当a＞0时，f′（x）=axe x（x+）；当x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣∞，﹣），（0，+∞）时，f′（x）＞0；故f（x）在（﹣，0）上是减函数，在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上是增函数；④当﹣＜a＜0时，f′（x）=axe x（x+）；当x∈（0，﹣）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣∞，0），（﹣，+∞）时，f′（x）＜0；故f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上是减函数，在（0，﹣）上是增函数；⑤当a＜﹣时，f′（x）=axe x（x+）；当x∈（﹣，0）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣∞，﹣），（0，+∞）时，f′（x）＜0；故f（x）在（﹣，0）上是增函数，在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上是减函数．【点评】本题考查了导数的综合应用，同时重点考查了分类讨论的应用，属于中档题．21．设F1、F2分别为椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点D为椭圆E的左顶点，且|CD|=，椭圆的离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）对于正常数λ，如果存在过点M（x0，0）（﹣a＜x0＜a）的直线l与椭圆E交于A、B两点，使得S△AOB=λS△AOD（其中O为原点），则称点M为椭圆E的“λ分点”．试判断点M（1，0）是否为椭圆E 的“2分点”．【分析】（1）利用已知条件，列出方程求解椭圆的几何量，即可得到结果．（2）如果点M为椭圆C的“2分点“，即有S△AOB=2S△AOD，设直线l的方程为x=my+x0，代入椭圆方程，运用韦达定理，计算即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意F1、F2分别为椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点D为椭圆E的左顶点，且|CD|=，椭圆的离心率为．可得：得a2=4，b2=1，椭圆E的方程为．（2）假设M是椭圆E的“2分点”，则存在过点M的直线l与椭圆E交于A、B两点，使得S△AOB=2S△AOD，显然直线l与y轴垂直，设l：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．由，得（m2+4）y2+2my﹣3=0，所以，①．②因为S△AOB=2S△AOD，∴．由②知y1y2＜0，∴y2=﹣3y1，③将③代入①得，④将③代入②得，⑤将④代入⑤得，无解．所以点M（1，0）不是椭圆E的“2分点”．【点评】本题主要考查新定义的理解和运用，考查椭圆的方程和性质，同时考查联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图所示，AB是圆O的直径，延长BA至C，使AC=BC，过C作圆O的切割线交圆O于M、N 两点，且AM=MN．（1）证明：∠AOM=∠ABN；（2）若MN=2，求AN的长．【分析】（1）连接AN，说明AN⊥BN，BN∥OM，然后证明∠AOM=∠ABN．（2）根据切割线定理得，CM×CN=CA×CB=3OA2，求出BN，在Rt△ABN中，求解AN即可．【解答】解：（1）连接AN，∵AB是圆O的直径，∴AN⊥BN，∵AM=MN，∴OM⊥AN，∴BN∥OM，∴∠AOM=∠ABN．（2）∵，∴AC=AO，∵OM∥BN，∴，∴MN=2，∴CM=4，∴CN=6，根据切割线定理得，CM×CN=CA×CB=3OA2，∴，又，∴，在Rt△ABN中，AN2=AB2﹣BN2=32﹣18=14，∴．【点评】本题考查与圆有关的线段成比例问题，切割线定理的应用，考查分析问题解决问题的能力．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016湖南模拟）已知圆C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为．（Ⅰ）将圆C1的参数方程化为普通方程，将圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）圆C1、C2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．【分析】（Ⅰ）对于曲线C1利用三角函数的平方关系式sin2φ+cos2φ=1即可；对于曲线C2利用极坐标与直角坐标的互化公式即可化简；（Ⅱ）先求出两圆的圆心距，与两圆的半径和差进行比较即可判断出两圆的位置关系；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，利用两点间的距离公式即可．【解答】解：（I）由得x2+y2=1即为圆C1的普通方程．又∵ρ=2cos（θ+）=cosθ﹣sinθ，∴ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ．∴x2+y2﹣x+y=0，即．（II）圆心距，得两圆相交．由两圆的方程联立得，解得或即A（1，0），B，∴．【点评】熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、两圆的位置关系判定方法及两点间的距离公式是解题的关键．[选修4-5：不等式选讲]24．2（ab+bc+ca）+3≤1（2）a2+b2+c2．【分析】利用条件，两边平方，利用基本不等式，即可证得结论．【解答】证明：（1）∵a+b+c=1，∴a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）=1，∴2（ab+bc+ca）+3≤1（2）∵a+b+c=1，∴1=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）≤3（a2+b2+c2），∴a2+b2+c2≥．【点评】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1B．C．D．23．（5分）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100B．99C．98D．974．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x10．（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2B．4C．6D．811．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=．14．（5分）（2x+）5的展开式中，x3的系数是．（用数字填写答案）15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？20．（12分）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；4O：定义法；5J：集合．【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3），B={x|2x﹣3＞0}=（，+∞），∴A∩B=（，3），故选：D．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1B．C．D．2【考点】A8：复数的模．【专题】34：方程思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即，解得，即|x+yi|=|1+i|=，故选：B．【点评】本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出x，y的值是解决本题的关键．3．（5分）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100B．99C．98D．97【考点】83：等差数列的性质．【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和为27，S9===9a5．∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8，∴d=1，∴a100=a5+95d=98，故选：C．【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键．4．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】5I：概率与统计．【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P==，故选：B．【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．5．（5分）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）【考点】KB：双曲线的标准方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知可得c=2，利用4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2=1，又（m2+n）（3m2﹣n）＞0，从而可求n的取值范围．【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2，当焦点在x轴上时，可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1，∵方程﹣=1表示双曲线，∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）．当焦点在y轴上时，可得：﹣4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=﹣1，无解．故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题．6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】27：图表型；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c【考点】R3：不等式的基本性质．【专题】33：函数思想；35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用；5T：不等式．【分析】根据已知中a＞b＞1，0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函数f（x）=x c在（0，+∞）上为增函数，故a c＞b c，故A错误；函数f（x）=x c﹣1在（0，+∞）上为减函数，故a c﹣1＜b c﹣1，故ba c＜ab c，即ab c ＞ba c；故B错误；log a c＜0，且log b c＜0，log a b＜1，即=＜1，即log a c＞log b c．故D错误；0＜﹣log a c＜﹣log b c，故﹣blog a c＜﹣alog b c，即blog a c＞alog b c，即alog b c＜blog a c，故C正确；故选：C．【点评】本题考查的知识点是不等式的比较大小，熟练掌握对数函数和幂函数的单调性，是解答的关键．9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2B．4C．6D．8【考点】K8：抛物线的性质；KJ：圆与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4，|AM|=2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，x A==，|OD|=|OA|，=+5，解得：p=4．C的焦点到准线的距离为：4．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力．转化思想的应用．11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5G：空间角．【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性．【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=﹣2．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5A：平面向量及应用．【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得•=0．向量=（m，1），=（1，2），可得m+2=0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力．14．（5分）（2x+）5的展开式中，x3的系数是10．（用数字填写答案）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3，求出r，即可求出展开式中x3的系数．==25﹣【解答】解：（2x+）5的展开式中，通项公式为：T r+1r，令5﹣=3，解得r=4∴x3的系数2=10．故答案为：10．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为64．【考点】87：等比数列的性质；8I：数列与函数的综合．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】求出数列的等比与首项，化简a1a2…a n，然后求解最值．【解答】解：等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=．a1+q2a1=10，解得a1=8．则a1a2…a n=a1n•q1+2+3+…+（n﹣1）=8n•==，当n=3或4时，表达式取得最大值：=26=64．故答案为：64．【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化思想．【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案为：216000．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【考点】HU：解三角形．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5H：空间向量及应用；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）证明AF⊥平面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）证明四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角；由ABEF为正方形，AF⊥平面EFDC，∵BE⊥EF，∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE，可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB⊄平面EFDC，EF⊂平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB⊂平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四边形EFDC为等腰梯形．以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，a），=（﹣2a，0，0）设平面BEC的法向量为=（x1，y1，z1），则，则，取=（，0，﹣1）．设平面ABC的法向量为=（x2，y2，z2），则，则，取=（0，，4）．设二面角E﹣BC﹣A的大小为θ，则cosθ===﹣，则二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P （X≤n）≥0.5中n的最小值．（Ⅲ）法一：由X的分布列得P（X≤19）=．求出买19个所需费用期望EX1和买20个所需费用期望EX2，由此能求出买19个更合适．法二：解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19时，费用的期望和当n=20时，费用的期望，从而得到买19个更合适．【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，P（X=16）=（）2=，P（X=17）=，P（X=18）=（）2+2（）2=，P（X=19）==，P（X=20）===，P（X=21）==，P（X=22）=，∴X的分布列为：X16171819202122P（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）==．P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19．（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．买19个所需费用期望：EX1=200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×=4040，买20个所需费用期望：EX2=+（200×20+500）×+（200×20+2×500）×=4080，∵EX1＜EX2，∴买19个更合适．解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当n=19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040，当n=20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080，∴买19个更合适．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．20．（12分）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．【考点】J2：圆的一般方程；KL：直线与椭圆的综合．【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；（Ⅱ）设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），求得A到PQ的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15=0即为（x+1）2+y2=16，可得圆心A（﹣1，0），半径r=4，由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，由AC=AD，可得∠D=∠C，即为∠D=∠EBD，即有EB=ED，则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且有2a=4，即a=2，c=1，b==，则点E的轨迹方程为+=1（y≠0）；（Ⅱ）椭圆C1：+=1，设直线l：x=my+1，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），由可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，则|MN|=•|y1﹣y2|=•=•=12•，A到PQ的距离为d==，|PQ|=2=2=，则四边形MPNQ面积为S=|PQ|•|MN|=••12•=24•=24，当m=0时，S取得最小值12，又＞0，可得S＜24•=8，即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8）．【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．【考点】51：函数的零点；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4C：分类法；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2可得：f′（x）=（x﹣1）e x+2a （x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），对a进行分类讨论，综合讨论结果，可得答案．（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，则﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，分析g（x）的单调性，令m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=，设h（m）=，m＞0，利用导数法可得h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，∴f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①若a=0，那么f（x）=0⇔（x﹣2）e x=0⇔x=2，函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意；②若a＞0，那么e x+2a＞0恒成立，当x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；此时当x=1时，函数f（x）取极小值﹣e，由f（2）=a＞0，可得：函数f（x）在x＞1存在一个零点；当x＜1时，e x＜e，x﹣2＜﹣1＜0，∴f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2=a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e，令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0的两根为t1，t2，且t1＜t2，则当x＜t1，或x＞t2时，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，故函数f（x）在x＜1存在一个零点；即函数f（x）在R是存在两个零点，满足题意；③若﹣＜a＜0，则ln（﹣2a）＜lne=1，当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当ln（﹣2a）＜x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=ln（﹣2a）时，函数取极大值，由f（ln（﹣2a））=[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2=a{[ln（﹣2a）﹣2]2+1}＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；④若a=﹣，则ln（﹣2a）=1，当x＜1=ln（﹣2a）时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故函数f（x）在R上单调递增，函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；⑤若a＜﹣，则ln（﹣2a）＞lne=1，当x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当1＜x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=1时，函数取极大值，由f（1）=﹣e＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a的取值范围为（0，+∞）证明：（Ⅱ）∵x1，x2是f（x）的两个零点，∴f（x1）=f（x2）=0，且x1≠1，且x2≠1，∴﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，∵g′（x）=，∴当x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=﹣=，设h（m）=，m＞0，则h′（m）=＞0恒成立，即h（m）在（0，+∞）上为增函数，h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，则g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）⇔g（2﹣x1）＞g（x1）=g（x2）⇔2﹣x1＞x2，即x1+x2＜2．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，分类讨论思想，难度较大．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK．根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，则AB是圆O的切线．（Ⅱ）设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论．【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心．∵OA=OB，TA=TB，∴OT为AB的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT为CD的中垂线，∴AB∥CD．【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QE：参数方程的概念．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ化为极坐标方程；（Ⅱ）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，把C1与C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1﹣a2=0，则a值可求．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x，∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，∴1﹣a2=0，∴a=1（a＞0）．【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．【考点】&2：带绝对值的函数；3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜时，当x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜，即有﹣1＜x＜或1＜x＜；当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3．综上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5．则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题．。

2016年全国统一高考新课标版Ⅰ卷全国1卷理科数学试卷及参考答案与解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设集合A＝{x|x2－4x＋3＜0},B＝{x|2x－3＞0},则A∩B＝( )A.(－3,－)B.(－3,)C.(1,)D.(,3)2.(5分)设(1＋i)x＝1＋yi,其中x,y是实数,则|x＋yi|＝( )A.1B.C.D.23.(5分)已知等差数列{an }前9项的和为27,a10＝8,则a100＝( )A.100B.99C.98D.974.(5分)某公司的班车在7：00,8：00,8：30发车,小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A. B. C. D.5.(5分)已知方程－＝1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )A.(－1,3)B.(－1,)C.(0,3)D.(0,)6.(5分)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是( )A.17πB.18πC.20πD.28π7.(5分)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为( )A. B. C.D.8.(5分)若a＞b＞1,0＜c＜1,则( )A.a c＜b cB.ab c＜ba cC.alogb c＜blogac D.logac＜logbc9.(5分)执行下面的程序框图,如果输入的x＝0,y＝1,n＝1,则输出x,y的值满足( )A.y＝2xB.y＝3xC.y＝4xD.y＝5x10.(5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|＝4,|DE|＝2,则C的焦点到准线的距离为( )A.2B.4C.6D.811.(5分)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD＝m,α∩平面ABB1A1＝n,则m、n所成角的正弦值为( )A. B. C. D.12.(5分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,|φ|≤),x＝－为f(x)的零点,x＝为y＝f(x)图象的对称轴,且f(x)在(,)上单调,则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)设向量＝(m,1),＝(1,2),且|＋|2＝||2＋||2,则m＝.14.(5分)(2x＋)5的展开式中,x3的系数是.(用数字填写答案)15.(5分)设等比数列{an }满足a1＋a3＝10,a2＋a4＝5,则a1a2…an的最大值为.16.(5分)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.三、解答题：本大题共5小题,满分60分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.(Ⅰ)求C；(Ⅱ)若c＝,△ABC的面积为,求△ABC的周长.18.(12分)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF＝2FD,∠AFD＝90°,且二面角D－AF－E与二面角C－BE－F都是60°.(Ⅰ)证明平面ABEF⊥平面EFDC；(Ⅱ)求二面角E－BC－A的余弦值.19.(12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(Ⅰ)求X的分布列；(Ⅱ)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值；(Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n＝19与n＝20之中选其一,应选用哪个？20.(12分)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A 于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(Ⅰ)证明|EA|＋|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程；(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.21.(12分)已知函数f(x)＝(x－2)e x＋a(x－1)2有两个零点. (Ⅰ)求a的取值范围；(Ⅱ)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明：x1＋x2＜2.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22.(10分)如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB＝120°.以O为圆心,OA为半径作圆.(Ⅰ)证明：直线AB与⊙O相切；(Ⅱ)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明：AB∥CD.[选修4-4：坐标系与参数方程]23.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a＞0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：ρ＝4cosθ.(Ⅰ)说明C1是哪种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ＝α,其中α满足tanα＝2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.[选修4-5：不等式选讲]24.已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|. (Ⅰ)在图中画出y＝f(x)的图象；(Ⅱ)求不等式|f(x)|＞1的解集.2016年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设集合A＝{x|x2－4x＋3＜0},B＝{x|2x－3＞0},则A∩B＝( )A.(－3,－)B.(－3,)C.(1,)D.(,3)【分析】解不等式求出集合A,B,结合交集的定义,可得答案.【解答】解：∵集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}＝(1,3),B＝{x|2x－3＞0}＝(,＋∞),∴A∩B＝(,3),故选：D.【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算,难度不大,属于基础题.2.(5分)设(1＋i)x＝1＋yi,其中x,y是实数,则|x＋yi|＝( )A.1B.C.D.2【分析】根据复数相等求出x,y的值,结合复数的模长公式进行计算即可.【解答】解：∵(1＋i)x＝1＋yi,∴x＋xi＝1＋yi,即,解得,即|x＋yi|＝|1＋i|＝,故选：B.【点评】本题主要考查复数模长的计算,根据复数相等求出x,y的值是解决本题的关键.3.(5分)已知等差数列{an }前9项的和为27,a10＝8,则a100＝( )A.100B.99C.98D.97【分析】根据已知可得a5＝3,进而求出公差,可得答案.【解答】解：∵等差数列{an }前9项的和为27,S9＝＝＝9a5.∴9a5＝27,a5＝3,又∵a10＝8, ∴d＝1,∴a100＝a5＋95d＝98,故选：C.【点评】本题考查的知识点是数列的性质,熟练掌握等差数列的性质,是解答的关键.4.(5分)某公司的班车在7：00,8：00,8：30发车,小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A. B. C. D.【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度,代入几何概型概率计算公式,可得答案.【解答】解：设小明到达时间为y,当y在7：50至8：00,或8：20至8：30时,小明等车时间不超过10分钟,故P＝＝,故选：B.【点评】本题考查的知识点是几何概型,难度不大,属于基础题.5.(5分)已知方程－＝1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )A.(－1,3)B.(－1,)C.(0,3)D.(0,)【分析】由已知可得c＝2,利用4＝(m2＋n)＋(3m2－n),解得m2＝1,又(m2＋n)(3m2－n)＞0,从而可求n的取值范围.【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4,∴c＝2,当焦点在x轴上时,可得：4＝(m2＋n)＋(3m2－n),解得：m2＝1,∵方程－＝1表示双曲线,∴(m2＋n)(3m2－n)＞0,可得：(n＋1)(3－n)＞0,解得：－1＜n＜3,即n的取值范围是：(－1,3).当焦点在y轴上时,可得：－4＝(m2＋n)＋(3m2－n),解得：m2＝－1,无解.故选：A.【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用,考查了不等式的解法,属于基础题.6.(5分)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是( )A.17πB.18πC.20πD.28π【分析】判断三视图复原的几何体的形状,利用体积求出几何体的半径,然后求解几何体的表面积.【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体,如图：可得：＝,R＝2.它的表面积是：×4π•22＋＝17π.故选：A.【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积,考查计算能力以及空间想象能力. 7.(5分)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为( )A. B. C.D.【分析】根据已知中函数的解析式,分析函数的奇偶性,最大值及单调性,利用排除法,可得答案.【解答】解：∵f(x)＝y＝2x2－e|x|,∴f(－x)＝2(－x)2－e|－x|＝2x2－e|x|,故函数为偶函数,当x＝±2时,y＝8－e2∈(0,1),故排除A,B；当x∈[0,2]时,f(x)＝y＝2x2－e x,∴f′(x)＝4x－e x＝0有解,故函数y＝2x2－e|x|在[0,2]不是单调的,故排除C,故选：D.【点评】本题考查的知识点是函数的图象,对于超越函数的图象,一般采用排除法解答.8.(5分)若a＞b＞1,0＜c＜1,则( )A.a c＜b cB.ab c＜ba cC.alogb c＜blogac D.logac＜logbc【分析】根据已知中a＞b＞1,0＜c＜1,结合对数函数和幂函数的单调性,分析各个结论的真假,可得答案.【解答】解：∵a＞b＞1,0＜c＜1,∴函数f(x)＝x c在(0,＋∞)上为增函数,故a c＞b c,故A错误；函数f(x)＝x c－1在(0,＋∞)上为减函数,故a c－1＜b c－1,故ba c＜ab c,即ab c＞ba c；故B错误；loga c＜0,且logbc＜0,logab＜1,即＝＜1,即logac＞logbc.故D错误；0＜－loga c＜－logbc,故－blogac＜－alogbc,即blogac＞alogbc,即alogbc＜blogac,故C正确；故选：C.【点评】本题考查的知识点是不等式的比较大小,熟练掌握对数函数和幂函数的单调性,是解答的关键.9.(5分)执行下面的程序框图,如果输入的x＝0,y＝1,n＝1,则输出x,y的值满足( )A.y＝2xB.y＝3xC.y＝4xD.y＝5x【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x,y的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.【解答】解：输入x＝0,y＝1,n＝1,则x＝0,y＝1,不满足x2＋y2≥36,故n＝2,则x＝,y＝2,不满足x2＋y2≥36,故n＝3,则x＝,y＝6,满足x2＋y2≥36,故y＝4x,故选：C.【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答.10.(5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|＝4,|DE|＝2,则C的焦点到准线的距离为( )A.2B.4C.6D.8【分析】画出图形,设出抛物线方程,利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可.【解答】解：设抛物线为y2＝2px,如图：|AB|＝4,|AM|＝2,|DE|＝2,|DN|＝,|ON|＝,xA＝＝,|OD|＝|OA|,＝＋5,解得：p＝4.C的焦点到准线的距离为：4.故选：B.【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用,抛物线与圆的方程的应用,考查计算能力.转化思想的应用.11.(5分)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD＝m,α∩平面ABB1A1＝n,则m、n所成角的正弦值为( )A. B. C. D.【分析】画出图形,判断出m、n所成角,求解即可.【解答】解：如图：α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD＝m,α∩平面ABA1B1＝n,可知：n∥CD1,m∥B1D1,∵△CB1D1是正三角形.m、n所成角就是∠CD1B1＝60°.则m、n所成角的正弦值为：. 故选：A.【点评】本题考查异面直线所成角的求法,考查空间想象能力以及计算能力.12.(5分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,|φ|≤),x＝－为f(x)的零点,x＝为y＝f(x)图象的对称轴,且f(x)在(,)上单调,则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5【分析】根据已知可得ω为正奇数,且ω≤12,结合x＝－为f(x)的零点,x＝为y＝f(x)图象的对称轴,求出满足条件的解析式,并结合f(x)在(,)上单调,可得ω的最大值. 【解答】解：∵x＝－为f(x)的零点,x＝为y＝f(x)图象的对称轴,∴,即,(n∈N)即ω＝2n＋1,(n∈N)即ω为正奇数,∵f(x)在(,)上单调,则－＝≤,即T＝≥,解得：ω≤12,当ω＝11时,－＋φ＝kπ,k∈Z,∵|φ|≤,∴φ＝－,此时f(x)在(,)不单调,不满足题意；当ω＝9时,－＋φ＝kπ,k∈Z,∵|φ|≤,∴φ＝,此时f(x)在(,)单调,满足题意；故ω的最大值为9,故选：B.【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质,本题转化困难,难度较大.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)设向量＝(m,1),＝(1,2),且|＋|2＝||2＋||2,则m＝－2 .【分析】利用已知条件,通过数量积判断两个向量垂直,然后列出方程求解即可.【解答】解：|＋|2＝||2＋||2,可得•＝0.向量＝(m,1),＝(1,2),可得m＋2＝0,解得m＝－2.故答案为：－2.【点评】本题考查向量的数量积的应用,向量的垂直条件的应用,考查计算能力.14.(5分)(2x＋)5的展开式中,x3的系数是10 .(用数字填写答案)【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r＋1项,令x的指数为3,求出r,即可求出展开式中x3的系数.【解答】解：(2x＋)5的展开式中,通项公式为：Tr＋1＝＝25－r, 令5－＝3,解得r＝4∴x3的系数2＝10.故答案为：10.【点评】本题考查了二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.15.(5分)设等比数列{an }满足a1＋a3＝10,a2＋a4＝5,则a1a2…an的最大值为64 .【分析】求出数列的等比与首项,化简a1a2…an,然后求解最值.【解答】解：等比数列{an }满足a1＋a3＝10,a2＋a4＝5,可得q(a1＋a3)＝5,解得q＝.a 1＋q2a1＝10,解得a1＝8.则a1a2…an＝a1n•q1＋2＋3＋…＋(n－1)＝8n•＝＝,当n＝3或4时,表达式取得最大值：＝26＝64.故答案为：64.【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用,转化思想的应用,考查计算能力.16.(5分)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000 元.【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件,根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数,利用线性规划作出可行域,通过目标函数的几何意义,求出其最大值即可；【解答】解：(1)设A、B两种产品分别是x件和y件,获利为z元.由题意,得,z＝2100x＋900y.不等式组表示的可行域如图：由题意可得,解得：,A(60,100),目标函数z＝2100x＋900y.经过A时,直线的截距最大,目标函数取得最大值：2100×60＋900×100＝216000元.故答案为：216000.【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用,二元一次方程组的解法的运用,不等式组解实际问题的运用,不定方程解实际问题的运用,解答时求出最优解是解题的关键.三、解答题：本大题共5小题,满分60分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.(Ⅰ)求C；(Ⅱ)若c＝,△ABC的面积为,求△ABC的周长.【分析】(Ⅰ)已知等式利用正弦定理化简,整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简,根据sinC不为0求出cosC的值,即可确定出出C的度数；(2)利用余弦定理列出关系式,利用三角形面积公式列出关系式,求出a＋b的值,即可求△ABC 的周长.【解答】解：(Ⅰ)∵在△ABC中,0＜C＜π,∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC,整理得：2cosCsin(A＋B)＝sinC,即2cosCsin(π－(A＋B))＝sinC2cosCsinC＝sinC∴cosC＝,∴C＝；(Ⅱ)由余弦定理得7＝a2＋b2－2ab•,∴(a＋b)2－3ab＝7,∵S＝absinC＝ab＝,∴ab＝6,∴(a＋b)2－18＝7,∴a＋b＝5,∴△ABC的周长为5＋.【点评】此题考查了正弦、余弦定理,三角形的面积公式,以及三角函数的恒等变形,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.18.(12分)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF＝2FD,∠AFD＝90°,且二面角D－AF－E与二面角C－BE－F都是60°.(Ⅰ)证明平面ABEF⊥平面EFDC；(Ⅱ)求二面角E－BC－A的余弦值.【分析】(Ⅰ)证明AF⊥平面EFDC,利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF⊥平面EFDC；(Ⅱ)证明四边形EFDC为等腰梯形,以E为原点,建立如图所示的坐标系,求出平面BEC、平面ABC的法向量,代入向量夹角公式可得二面角E－BC－A的余弦值.【解答】(Ⅰ)证明：∵ABEF为正方形,∴AF⊥EF.∵∠AFD＝90°,∴AF⊥DF,∵DF∩EF＝F,∴AF⊥平面EFDC,∵AF⊂平面ABEF,∴平面ABEF⊥平面EFDC；(Ⅱ)解：由AF⊥DF,AF⊥EF,可得∠DFE为二面角D－AF－E的平面角；由ABEF为正方形,AF⊥平面EFDC,∵BE⊥EF,∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE,可得∠CEF为二面角C－BE－F的平面角.可得∠DFE＝∠CEF＝60°.∵AB∥EF,AB⊄平面EFDC,EF⊂平面EFDC,∴AB∥平面EFDC,∵平面EFDC∩平面ABCD＝CD,AB⊂平面ABCD,∴AB∥CD,∴CD∥EF,∴四边形EFDC为等腰梯形.以E为原点,建立如图所示的坐标系,设FD＝a,则E(0,0,0),B(0,2a,0),C(,0,a),A(2a,2a,0),∴＝(0,2a,0),＝(,－2a,a),＝(－2a,0,0)设平面BEC的法向量为＝(x1,y1,z1),则,则,取＝(,0,－1).设平面ABC的法向量为＝(x2,y2,z2),则,则,取＝(0,,4). 设二面角E－BC－A的大小为θ,则cosθ＝＝＝－,则二面角E－BC－A的余弦值为－.【点评】本题考查平面与平面垂直的证明,考查用空间向量求平面间的夹角,建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键.19.(12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(Ⅰ)求X的分布列；(Ⅱ)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值；(Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n＝19与n＝20之中选其一,应选用哪个？【分析】(Ⅰ)由已知得X的可能取值为16,17,18,19,20,21,22,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列.(Ⅱ)由X的分布列求出P(X≤18)＝,P(X≤19)＝.由此能确定满足P(X≤n)≥0.5中n的最小值.和买20个所需费(Ⅲ)法一：由X的分布列得P(X≤19)＝.求出买19个所需费用期望EX1,由此能求出买19个更合适.用期望EX2法二：解法二：购买零件所用费用含两部分,一部分为购买零件的费用,另一部分为备件不足时额外购买的费用,分别求出n＝19时,费用的期望和当n＝20时,费用的期望,从而得到买19个更合适.【解答】解：(Ⅰ)由已知得X的可能取值为16,17,18,19,20,21,22,P(X＝16)＝()2＝,P(X＝17)＝,P(X＝18)＝()2＋2()2＝,P(X＝19)＝＝,P(X＝20)＝＝＝,P(X＝21)＝＝,P(X＝22)＝,P(X≤18)＝P(X＝16)＋P(X＝17)＋P(X＝18)＝＝.P(X≤19)＝P(X＝16)＋P(X＝17)＋P(X＝18)＋P(X＝19)＝＋＝.∴P(X≤n)≥0.5中,n的最小值为19.(Ⅲ)解法一：由(Ⅰ)得P(X≤19)＝P(X＝16)＋P(X＝17)＋P(X＝18)＋P(X＝19)＝＋＝.买19个所需费用期望：EX1＝200×＋(200×19＋500)×＋(200×19＋500×2)×＋(200×19＋500×3)×＝4040,买20个所需费用期望：EX2＝＋(200×20＋500)×＋(200×20＋2×500)×＝4080,∵EX1＜EX2,∴买19个更合适.解法二：购买零件所用费用含两部分,一部分为购买零件的费用,另一部分为备件不足时额外购买的费用,当n＝19时,费用的期望为：19×200＋500×0.2＋1000×0.08＋1500×0.04＝4040,当n＝20时,费用的期望为：20×200＋500×0.08＋1000×0.04＝4080,∴买19个更合适.【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用,是中档题,解题时要认真审题,注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用.20.(12分)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A 于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(Ⅰ)证明|EA|＋|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程；(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.【分析】(Ⅰ)求得圆A的圆心和半径,运用直线平行的性质和等腰三角形的性质,可得EB＝ED,再由圆的定义和椭圆的定义,可得E的轨迹为以A,B为焦点的椭圆,求得a,b,c,即可得到所求轨迹方程；(Ⅱ)设直线l：x＝my＋1,代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,可得|MN|,由PQ⊥l,设PQ：y＝－m(x－1),求得A到PQ的距离,再由圆的弦长公式可得|PQ|,再由四边形的面积公式,化简整理,运用不等式的性质,即可得到所求范围.【解答】解：(Ⅰ)证明：圆x2＋y2＋2x－15＝0即为(x＋1)2＋y2＝16,可得圆心A(－1,0),半径r＝4,由BE∥AC,可得∠C＝∠EBD,由AC＝AD,可得∠D＝∠C,即为∠D＝∠EBD,即有EB＝ED,则|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|＝4,故E的轨迹为以A,B为焦点的椭圆,且有2a＝4,即a＝2,c＝1,b＝＝,则点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)；(Ⅱ)椭圆C1：＋＝1,设直线l：x＝my＋1,由PQ⊥l,设PQ：y＝－m(x－1),由可得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0,设M(x1,y1),N(x2,y2),可得y1＋y2＝－,y1y2＝－,则|MN|＝•|y1－y2|＝•＝•＝12•,A到PQ的距离为d＝＝,|PQ|＝2＝2＝,则四边形MPNQ面积为S＝|PQ|•|MN|＝••12•＝24•＝24,当m＝0时,S取得最小值12,又＞0,可得S＜24•＝8,即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12,8).【点评】本题考查轨迹方程的求法,注意运用椭圆和圆的定义,考查直线和椭圆方程联立,运用韦达定理和弦长公式,以及直线和圆相交的弦长公式,考查不等式的性质,属于中档题.21.(12分)已知函数f(x)＝(x－2)e x＋a(x－1)2有两个零点.(Ⅰ)求a的取值范围；(Ⅱ)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明：x1＋x2＜2.【分析】(Ⅰ)由函数f(x)＝(x－2)e x＋a(x－1)2可得：f′(x)＝(x－1)e x＋2a(x－1)＝(x－1)(e x＋2a),对a进行分类讨论,综合讨论结果,可得答案.(Ⅱ)设x1,x2是f(x)的两个零点,则－a＝＝,令g(x)＝,则g(x1)＝g(x2)＝－a,分析g(x)的单调性,令m＞0,则g(1＋m)－g(1－m)＝,设h(m)＝,m＞0,利用导数法可得h(m)＞h(0)＝0恒成立,即g(1＋m)＞g(1－m)恒成立,令m＝1－x1＞0,可得结论.【解答】解：(Ⅰ)∵函数f(x)＝(x－2)e x＋a(x－1)2,∴f′(x)＝(x－1)e x＋2a(x－1)＝(x－1)(e x＋2a),①若a＝0,那么f(x)＝0⇔(x－2)e x＝0⇔x＝2,函数f(x)只有唯一的零点2,不合题意；②若a＞0,那么e x＋2a＞0恒成立,当x＜1时,f′(x)＜0,此时函数为减函数；当x＞1时,f′(x)＞0,此时函数为增函数；此时当x＝1时,函数f(x)取极小值－e,由f(2)＝a＞0,可得：函数f(x)在x＞1存在一个零点；当x＜1时,e x＜e,x－2＜－1＜0,∴f(x)＝(x－2)e x＋a(x－1)2＞(x－2)e＋a(x－1)2＝a(x－1)2＋e(x－1)－e,令a(x－1)2＋e(x－1)－e＝0的两根为t1,t2,且t1＜t2,则当x＜t1,或x＞t2时,f(x)＞a(x－1)2＋e(x－1)－e＞0,故函数f(x)在x＜1存在一个零点；即函数f(x)在R是存在两个零点,满足题意；③若－＜a＜0,则ln(－2a)＜lne＝1,当x＜ln(－2a)时,x－1＜ln(－2a)－1＜lne－1＝0,e x＋2a＜e ln(－2a)＋2a＝0,即f′(x)＝(x－1)(e x＋2a)＞0恒成立,故f(x)单调递增,当ln(－2a)＜x＜1时,x－1＜0,e x＋2a＞e ln(－2a)＋2a＝0,即f′(x)＝(x－1)(e x＋2a)＜0恒成立,故f(x)单调递减,当x＞1时,x－1＞0,e x＋2a＞e ln(－2a)＋2a＝0,即f′(x)＝(x－1)(e x＋2a)＞0恒成立,故f(x)单调递增,故当x＝ln(－2a)时,函数取极大值,由f(ln(－2a))＝[ln(－2a)－2](－2a)＋a[ln(－2a)－1]2＝a{[ln(－2a)－2]2＋1}＜0得：函数f(x)在R上至多存在一个零点,不合题意；④若a＝－,则ln(－2a)＝1,当x＜1＝ln(－2a)时,x－1＜0,e x＋2a＜e ln(－2a)＋2a＝0,即f′(x)＝(x－1)(e x＋2a)＞0恒成立,故f(x)单调递增,当x＞1时,x－1＞0,e x＋2a＞e ln(－2a)＋2a＝0,即f′(x)＝(x－1)(e x＋2a)＞0恒成立,故f(x)单调递增,故函数f(x)在R上单调递增,函数f(x)在R上至多存在一个零点,不合题意；⑤若a＜－,则ln(－2a)＞lne＝1,当x＜1时,x－1＜0,e x＋2a＜e ln(－2a)＋2a＝0,即f′(x)＝(x－1)(e x＋2a)＞0恒成立,故f(x)单调递增,当1＜x＜ln(－2a)时,x－1＞0,e x＋2a＜e ln(－2a)＋2a＝0,即f′(x)＝(x－1)(e x＋2a)＜0恒成立,故f(x)单调递减,当x＞ln(－2a)时,x－1＞0,e x＋2a＞e ln(－2a)＋2a＝0,即f′(x)＝(x－1)(e x＋2a)＞0恒成立,故f(x)单调递增,故当x＝1时,函数取极大值,由f(1)＝－e＜0得：函数f(x)在R上至多存在一个零点,不合题意；综上所述,a的取值范围为(0,＋∞)证明：(Ⅱ)∵x1,x2是f(x)的两个零点,∴f(x1)＝f(x2)＝0,且x1≠1,且x2≠1,∴－a＝＝,令g(x)＝,则g(x1)＝g(x2)＝－a,∵g′(x)＝,∴当x＜1时,g′(x)＜0,g(x)单调递减；当x＞1时,g′(x)＞0,g(x)单调递增；设m＞0,则g(1＋m)－g(1－m)＝－＝, 设h(m)＝,m＞0,则h′(m)＝＞0恒成立,即h(m)在(0,＋∞)上为增函数,h(m)＞h(0)＝0恒成立,即g(1＋m)＞g(1－m)恒成立,令m＝1－x1＞0,则g(1＋1－x1)＞g(1－1＋x1)⇔g(2－x1)＞g(x1)＝g(x2)⇔2－x1＞x2,即x1＋x2＜2.【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值,函数的零点,分类讨论思想,难度较大.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22.(10分)如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB＝120°.以O为圆心,OA为半径作圆.(Ⅰ)证明：直线AB与⊙O相切；(Ⅱ)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明：AB∥CD.【分析】(Ⅰ)设K为AB中点,连结OK.根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB,∠A＝30°,OK＝OAsin30°＝OA,则AB是圆O的切线.(Ⅱ)设圆心为T,证明OT为AB的中垂线,OT为CD的中垂线,即可证明结论.【解答】证明：(Ⅰ)设K为AB中点,连结OK,∵OA＝OB,∠AOB＝120°,∴OK⊥AB,∠A＝30°,OK＝OAsin30°＝OA,∴直线AB与⊙O相切；(Ⅱ)因为OA＝2OD,所以O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心.设T是A,B,C,D四点所在圆的圆心.∵OA＝OB,TA＝TB,∴OT为AB的中垂线,同理,OC＝OD,TC＝TD,∴OT为CD的中垂线,∴AB∥CD.【点评】本题考查了切线的判定,考查四点共圆,考查学生分析解决问题的能力.解答此题时,充分利用了等腰三角形“三合一”的性质.[选修4-4：坐标系与参数方程]23.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a＞0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：ρ＝4cosθ.(Ⅰ)说明C1是哪种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ＝α,其中α满足tanα＝2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.【分析】(Ⅰ)把曲线C1的参数方程变形,然后两边平方作和即可得到普通方程,可知曲线C1是圆,化为一般式,结合x2＋y2＝ρ2,y＝ρsinθ化为极坐标方程；(Ⅱ)化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程,由条件可知y＝x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程,把C1与C2的方程作差,结合公共弦所在直线方程为y＝2x可得1－a2＝0,则a值可求.【解答】解：(Ⅰ)由,得,两式平方相加得,x2＋(y－1)2＝a2. ∴C1为以(0,1)为圆心,以a为半径的圆.化为一般式：x2＋y2－2y＋1－a2＝0.①由x2＋y2＝ρ2,y＝ρsinθ,得ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0；(Ⅱ)C2：ρ＝4cosθ,两边同时乘ρ得ρ2＝4ρcosθ,∴x2＋y2＝4x,②即(x－2)2＋y2＝4.由C3：θ＝α,其中α满足tanα＝2,得y＝2x,∵曲线C1与C2的公共点都在C3上,∴y＝2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程,①－②得：4x－2y＋1－a2＝0,即为C3,∴1－a2＝0,∴a＝1(a＞0).【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程,考查了极坐标与直角坐标的互化,训练了两圆公共弦所在直线方程的求法,是基础题.[选修4-5：不等式选讲]24.已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(Ⅰ)在图中画出y＝f(x)的图象；(Ⅱ)求不等式|f(x)|＞1的解集.【分析】(Ⅰ)运用分段函数的形式写出f(x)的解析式,由分段函数的画法,即可得到所求图象；(Ⅱ)分别讨论当x≤－1时,当－1＜x＜时,当x≥时,解绝对值不等式,取交集,最后求并集即可得到所求解集.【解答】解：(Ⅰ)f(x)＝,由分段函数的图象画法,可得f(x)的图象,如右：(Ⅱ)由|f(x)|＞1,可得当x≤－1时,|x－4|＞1,解得x＞5或x＜3,即有x≤－1；当－1＜x＜时,|3x－2|＞1,解得x＞1或x＜,即有－1＜x＜或1＜x＜；当x≥时,|4－x|＞1,解得x＞5或x＜3,即有x＞5或≤x＜3.综上可得,x＜或1＜x＜3或x＞5.则|f(x)|＞1的解集为(－∞,)∪(1,3)∪(5,＋∞).【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法,注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法,考查运算能力,属于基础题.。

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）理科数学使用地区：山西、河南、河北、湖南、湖北、江西、安徽、福建、广东本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，满分150分. 考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.3. 考试结束，监考员将本试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合2430={|}A x x x -+<，3{}0|2x B x ->=，则A B =（ ） A ．3(3,)2--B ．3(3,)2-C ．3(1,)2D ．3(,3)22．设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则|i |x y +=（ ）A ．1 BCD ．23．已知等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，则100a =（ ）A ．100B ．99C ．98D ．974．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）A ．13 B ．12 C ．23D ．345．已知方程222213xym nm n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ）A ．(1,3)-B．(1-C ．(0,3)D．6．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π，则它的表面积是 （ ）A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π7．函数2|x|2y x e =-在[2,2]-的图象大致为（ ）ABC D 8. 若0a b >>，01c <<，则（ ）A ．cca b <B ．ccab ba > C ．alog log b a c b c <D ．log log a b c c<9．执行右面的程序框图，如果输入的0x =，1y =，1n =，则输出x ，y 的值满足（ ）A ．2y x =B ．3y x =C ．4y x =D ．5y x =10．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点，已知||AB =||DE =C 的焦点到准线的距离为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．811．平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，//α平面11CB D ，α平面=ABCD m ，α平面11=ABB A n ，则m ，n 所成角的正弦值为（ ）A B CD ．1312．已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>≤，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在5(,)1836ππ单调，则ω的最大值为（ ）A ．11B ．9C ．7D ．5姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此-------------------卷-------------------上--------------------答-------------------题--------------------无------------------效----------第II 卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效.本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．设向量a (,1)m =，b (1,2)=，且|a +b ||2=a ||2+b 2|，则m = ． 14．5(2x 的展开式中，3x 的系数是 （用数字填写答案）．15．设等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，则12n a a a …的最大值为 ． 16．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=． （Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若c =ABC △，求ABC △的周长．18．（本小题满分12分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF =2FD ，90AFD ∠=，且二面角D AF E --与二面角C BE F --都是60． （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E BC A --的余弦值．19．（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这100台机器更换的易损零件数的 频率代替1台机器更换的易损零件数 发生的概率，记X 表示2台机器三年 内共需更换的易损零件数，n 表示购 买2台机器的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）求X 的分布列；（Ⅱ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n =19与n =20之中选其一，应选用哪个？20．（本小题满分12分）设圆22215=0x y x ++-的圆心为A ，直线l 过点(10)B ，且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．（Ⅰ）证明||||EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数2()(2)(1)xf x x e a x =-+-有两个零点．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设1x ，2x 是()f x 的两个零点，证明：122x x +<．请考生在第22～24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22．（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲如图，OAB △是等腰三角形，120AOB ∠=.以O 为圆心，12OA 为半径作圆. （Ⅰ）证明：直线AB 与⊙O 相切；（Ⅱ）点C ，D 在⊙O 上，且A ，B ，C ，D 四点共圆，证明：AB CD ∥.23．（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程在直线坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,1sin ,x a t y a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:4cos C ρθ=. （Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a .24．（本小题满分10分），选修45-：不等式选讲已知函数()|1||23|f x x x =+--. （Ⅰ）在图中画出()y f x =的图象； （Ⅱ）求不等式|()|1f x >的解集.ABCDEF2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】D【解析】{}{}2A x x 4x 30x 1x 3=-+<=<<，{}3B x 2x 30x x 2⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭，故3B x 2⎧=⎨⎩【提示】解不等式求出集合【考点】交集及其运算【解析】(1i)x 1yi +=+，x xi 1yi ∴+=+，即x 1x y =⎧⎨=，解得x 1y 1=⎧⎨=，即x y i 1i 2+=+=【解析】等差数列，又10a 8=，【提示】根据已知可得【考点】等差数列的性质】双，方【解析】f (x)y =时，y 8=-x4x e 0-=【解析】a b 1>>线的距离为4．【提示】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．【考点】圆与圆锥曲线的综合，抛物线的简单性质11.【答案】A【解析】如图，α∥平面CB α平面ABCD α平面ABA，11CB D △60，则m 32．【提示】画出图形，判断出m 【考点】异面直线及其所成的角【解析】πx 4=-为1πT 2=，即12ππ(n N 2=∈ω为正奇数，f (x)在5π36⎛⎫⎪⎝⎭上单调，πππ361812-=时，11π4-+π2ϕ≤，9π4-+ϕ，π2ϕ≤，ω【答案】2-222a b a b +=+，可得a b 0=，向量a (m,1)=，b (1,2)=，n123n (q++++-…6264==．【提示】设A ，B 两种产品分别是标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可．【考点】简单线性规划的应用三、解答题17.【答案】（Ⅰ）在ABC △已知等式利用正弦定理化简得12ab2，(a ∴的周长为5+（Ⅰ）A BEF 为正方形，AFD 90∠=，A F DF ∴⊥，DF EF F =，AF ∴⊥平面EFDCAF ⊂平面∴平面A BEF （Ⅱ）由A BE EF ⊥BE ∴⊥平面可得DFE 60∠．A B EF ∥EFDC AB ∴∥平面平面EFDC 平面ABCD ，EB (0,2a,0)∴=，a BC ,⎛= ，AB (2a,0,0)=-设平面BEC 的法向量为m (x ,=，则m EB 0m BC 0⎧=⎪⎨=⎪⎩，则m (3,0,=设平面ABC 的法向量为n (x ,y ,z =n BC=0n AB 0⎧⎪⎨=⎪⎩，则，取n (0,3,4)=的大小为θ，m n |m ||n |31316==++【提示】（Ⅰ）证明AF ⊥平面EFDC 平面EFDC ；（Ⅱ）证明四边形EFDC 为等腰梯形，4040=1EX EX <解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购222222143m 41m1m||MN |12242423m 41m3m 4+++===+++时，S 取得最小值12，又10>，可得3S 24833<=【提示】（Ⅰ）求得圆A EB ED =，再由圆的定义和椭圆的定义，b ，c ，即可得到所求轨迹方程；（Ⅱ）设直线l ：x my =+0）1x ，2x 1x 121(x 2)e (x 1)-=-2[(x 2)g (x)-+'=∴当x 1<时，e 1，OA OB =120，OK ∴30，1OK OAsin30OA 2=直线AB 与O 相切；D 四点所在圆的圆心，设四点所在圆的圆心，OA OB =的中垂线，∴AB 中点，连结30，1OK OAsin30OA 2=曲线如图：（Ⅱ）由f (x)1>，可得，当3当x ≥时，4x 1->，解得x 5>或x 3<，即有x 3≤<或x 5>．(1,3)(5,)⎫+∞⎪⎭（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f (x)的解析式，由分段函数的画法，即可得到所。

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2016年新课标I 高考数学（理科）答案与解析1． {}{}243013A x x x x x =-+<=<<，{}32302B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭． 故332A B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭．故选D ．2． 由()11i x yi +=+可知：1x xi yi +=+，故1x x y=⎧⎨=⎩，解得：11x y =⎧⎨=⎩．所以，x yi + 故选B ．3． 由等差数列性质可知：()1959599292722a a a S a +⨯====，故53a =， 而108a =，因此公差1051105a a d -==-∴100109098a a d =+=． 故选C ．4． 如图所示，画出时间轴：8:208:107:507:408:308:007:30小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟 根据几何概型，所求概率10101402P +==．故选B ．5． 222213x y m n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n +->∴223m n m -<<由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=，其中c 是半焦距 ∴焦距2224c m =⋅=，解得1m = ∴13n -<< 故选A ．6． 原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的18后的三视图表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S πππ⨯⨯⨯⨯ 故选A ．7． ()22288 2.80f e =->->，排除A()22288 2.71f e =-<-<，排除B 0x >时，()22x f x x e =-()4x f x x e '=-，当10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()01404f x e '<⨯-=因此()f x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，排除C故选D ．8． 对A ： 由于01c <<，∴函数c y x =在R 上单调递增，因此1c c a b a b >>⇔>，A 错误对B ： 由于110c -<-<，∴函数1c y x -=在()1,+∞上单调递减，∴111c c c c a b a b ba ab -->>⇔<⇔<，B 错误对C ： 要比较log b a c 和log a b c ，只需比较ln ln a c b 和ln ln b c a ，只需比较ln ln c b b 和ln ln ca a，只需ln b b 和ln a a构造函数()()ln 1f x x x x =>，则()'ln 110f x x =+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此()()110ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b>>⇔>>⇔<又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c cb c a c a a b b<⇔<，C 正确 对D ： 要比较log a c 和log b c ，只需比较ln ln c a 和ln ln cb而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增，故111ln ln 0ln ln a b a b a b>>⇔>>⇔<又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c cc c a b>⇔>，D 错误故选C ．9．输出32x =，6y =，满足4y x = 故选C ．10． 以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，题目条件翻译如图：。

新课标Ⅰ高考理科数学压轴卷含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1已知集合M ＝{1，2，3，4}，则集合P ＝{x|x ∈M ，且2x ∉M}的子集的个数为( ) A ．8 B ．4 C ．3 D ．22. 复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于直线y x =对称，且132z i =+，则12z z ⋅=A. 13iB. 13i -C. 1312i +D. 1213i +3.甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则有多少种坐法( )A.10B.16C.20D.244.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a 成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3253S S S S --的值为（ ）A.2-B.3-C.2D.35.过椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2=60°，则椭圆的离心率 为( ) A ．B ．C ．D ．6.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年 商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图 所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x 为( )A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.4 7. 按右图所示的程序框图，若输入110011a =， 则输出的b =( ) A. 45B. 47C. 49D. 518.函数sin(2)3y x π=-与2cos(2)3y x π=+的图象关于直线 x a =对称，则a 可能是( )A.24πB.12π C. 8π D.1124π9已知函数())20162016log 20162x x f x x -=+-+，则关于x 的不等式()()314f x f x ++>的解集为（ ）A 、1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B 、1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C 、()0,+∞D 、(),0-∞10 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋6≥0，x ＋y≥0，x≤2，若目标函数z ＝－mx ＋y 的最大值为－2m ＋10，最小值为－2m －2，则实数m 的取值范围是( )A ．[－2，1]B ．[－1，3]C ．[－1，2]D ．[2，3]11. .过双曲线22115y x -=的右支上一点P ，分别向圆221:(4)4C x y ++=和圆2:C 22(4)1x y -+=作切线，切点分别为,M N ,则22||||PM PN -的最小值为( )A. 10B. 13C. 16D. 1912. 已知函数()=-x af x x e 存在单调递减区间，且()=y f x 的图象在0=x 处的切线l 与曲线xy e =相切，符合情况的切线l ( )（A ）有3条 （B ）有2条 （C ） 有1条 （D ）不存在第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题—24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上)13.已知sin 0a xdx π=⎰，则二项式51a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x -的系数为 ．14. F 1，F 2分别为椭圆2213627x y +=的左、右焦点，A 为椭圆上一点，且11()2OB OA OF =+， 21()2OC OA OF =+则||||OB OC +＝ .15过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为︒60，若球半径为R ，求弦AB 的长度____________.16.设数列{a n }是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的b ∈[0，1），f n （x ）=b 总有两个不同的根，则{a n }的通项公式为 _________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2016年高考数学冲刺卷01 理（山东卷）答案第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【命题意图】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交集运算，意在考查学生的基本计算能力和逻辑思维能力. 【答案】B【试题解析】∵集合{|21}A x x =-<<，2{|20}B x x x =-≤{|02}x x =≤≤，∴{|01}A B x x =≤< ， 故选B ．2.【命题意图】本题考查复数的除法运算和复数的概念，意在考查学生的基本计算能力. 【答案】C【试题解析】i ii i i i i ==+-+=-+22)1)(1()1(112 ，i i -+∴11的虚部为1；故选C. 3.【命题意图】本题考查利用数列的递推式求通项、数列的周期性等知识，意在考查学生的归纳推理的能力和基本计算能力. 【答案】A4.【命题意图】本题考查程序框图的应用，意在考查学生的逻辑思维能力. 【答案】B【解析】由题意，S 表示从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，由于12×11=132，故此循环体需要执行两次所以每次执行后i 的值依次为11，10,由于i 的值为10时，就应该退出循环，再考察四个选项；故选B.5.【命题意图】本题以分段函数为载体考查二次函数的图象与性质、指数函数的图象与性质等知识，意在考查学生的数形结合思想的应用能力. 【答案】C【解析】由于0<x 时，1)(2+-=x x f 的图象为顶点在)1,0(，开口向下的抛物线的左支，故排除B 、D ，当0≥x 时，xx f )31()(=的图象过)1,0(点，且在),0[+∞上为减函数，排除A ；故选C.6.【命题意图】本题考查直线方程的一般式、两直线平行的条件以及充分条件和必要条件的判定等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力. 【答案】D【试题解析】“直线10x ay -+=与直线(2)330a x y +-+=平行”的充分必要条件是“⎩⎨⎧≠+-=+-323)2(a a a ”，即“3a =-”，所以“1a =”是直线“10ax y ++=与直线(2)320a x y +--=平行”的既不充分也不必要条件；故选D ．7.【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质、函数图象的平移变换等基础知识，意在考查基本运算能力. 【答案】B8.【命题意图】本题考查空间点、线、面的位置关系等基础知识，意在考查学生空间想象能力和逻辑推理能力． 【答案】C ．【解析】若//m n ，//m α，则//n α或n α⊂，所以①是假命题；若αβ⊥，//m α，则m β⊥或//m β或m β⊂，所以②是假命题；若αβ⊥，m β⊥，则//m α或m α⊂，所以③是假命题；若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥，所以④是真命题．所以假命题的个数是3；故选C ．9.【命题意图】本题考查利用二项式定理求二项展开式的二项式系数和、特定项；意在考查学生的基本计算能力. 【答案】D【试题解析】因为5nx ⎛ ⎝的展开式中二项式系数之和是64，所以264n=，解得6n =，所以二项展开式的通项是()()63362166C 51C 5rrrrrr rr x x--+-+⎛T =⋅⋅=-⋅⋅⋅ ⎝，令3302r -+=，得2r =，所以它的展开式中常数项是()42261C 5375-⋅⋅=；故选D ．10.【命题意图】本题考查双曲线的标准方程、双曲线的渐近线以及平面向量的数量积运算等知识，意在考查学生的数学逻辑思维能力、计算能力和解决问题的综合能力. 【答案】A第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查学生的数形结合思想的应用. 【答案】1【试题解析】将x y z 2-=化成z x y +=2，作出可行域和目标函数直线x y 2=，由图象，得当直线z x y +=2过点)3,1(时，z 取得最小值为1．12.【命题意图】本题考查空间几何体的三视图、多面体和球的组合等知识，意在考查学生的空间想象能力和逻辑思维能力. 【答案】B【试题解析】由三视图，得该几何体是一个三棱锥，且各顶点都在棱长为2 的正方体上，则该几何体的外接球即为正方体的外接球，则322=R ，即3=R ，则所求外接球的体积为ππ34343==R V ．13.【命题意图】本题考查计数原理、排列组合的应用，意在考查学生的逻辑思维能力. 【答案】27014.【命题意图】本题考查圆的标准方程、圆与圆的位置关系等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和数形结合思想的应用.【答案】⎝⎭【解析】设圆C 的的圆心为)1,(+a a ，因圆C 与圆229x y +=相交，所以4)1(222<++<a a ，解得2131217-<<-a . 15.【命题意图】本题以新定义为载体考查复合函数的导数的运算、导数的几何意义等知识，意在考查学生的基本计算能力和逻辑思维能力.. 【答案】0=-y x【试题解析】xx y = ，x x x y xln ln ln ==∴，xx x x y y ln 1ln '⋅+=∴，)1(ln 2'x x x x y x ⋅+=∴，由导数的几何意义，得函数(0)x y x x =>在(1,1)处的切线的斜率1=k ，且1)1(=f ，所以函数(0)xy x x =>在(1,1)处的切线方程为11-=-x y ，即0=-y x ；故填0=-y x ．三、解答题 （本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. （本小题满分12分）【命题意图】本题考查二倍角公式的应用、正弦定理和余弦定理的应用，意在考查学生分析问题、解决问题的能力和基本的计算能力．17. （本小题满分12分）【命题意图】本题考查利用n a 与n S 的关系求数列的通项、错位相减法的应用等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和较高的计算能力.【解析】（I ）n n S a =+21化为n n n S a a 4122=++①， 可知1121412+++=++n n n S a a ②，②-①，得112214)(2+++=-+-n n n n n a a a a a ，即)(2))((111n n n n n n a a a a a a +=-++++，因为0>n a ，所以21=-+n n a a ， ………………4分又1121412a a a =++，得11=a ，则数列}{n a 是首项为1，公差为2的等差数列，通项公式为12-=n a n ； ………………7分（II ）设}2{n n a 的前n 项和为n T ，由（I ）得nn n n a 2122-=， 则n n n T 21225232132-+⋅⋅⋅+++=， =n T 21 1322122322321+-+-+⋅⋅⋅++n n n n ， 两式相减，得1322122222222121+--+⋅⋅⋅+++=n n n n T ， 即1123223212211)211(222121+++-=----+=n n n n n T ，所以nn n T 2323+-= .………………12分 18. （本小题满分12分）【命题意图】本题考查利用茎叶图判定样本数据的数字特征、离散型随机变量的分布列和数学期望等知识，意在考查学生的应用数学能力和准确的分类讨论能力和准确的计算能力. 【解析】（Ⅰ）两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下…………………3分通过茎叶图可以看出，中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值；俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散. …………………6分中国俄罗斯1 2 3 4 56 8 2 8 14 3 7 6 2（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3，设事件A B C 、、分别表示甲、乙、丙猜中国代表团，则2432(0)()()()(1)(1)55125P X P A P B P C ==⋅⋅=-⨯-=(1)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++1224434319(1)(1)(1)55555125C =⨯⨯-⨯-+-⨯= (2)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++2124344356()(1)(1)55555125C =⨯-+⨯⨯-⨯= (3)()()()P X P A P B P C ==⋅⋅24348()55125=⨯=故X 的分布列为…………………10分21956481101231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯= …………………12分 19. （本小题满分12分）【命题意图】本题考查空间中平行关系的转化、二面角以及空间向量在立体几何中的运用，意在考查学生的空间想象能力和严密的逻辑推理能力.（2）建立如图所示的坐标系，∵12AB BC CA AA ====，D ，E 分别为11A B ，1AA 的中点，14AF AB =， (1,0,1)E -，1(,0,0)2F -，(1,0,0)B ，(0,0,2)D，1C ，设平面1DBC 的法向量为(,,)n x y z = ，1(,0,1)2EF =- ，(1,0,2)BD =-，1(1BC =- ，20BD n x z ⋅=-+=，120BC n x z ⋅=+= ，不妨令1z =，则0y =，2x =，∴(2,0,1)n = ，同理可得平面1EBC 的一个法向量为(1,m =，.||cos ,||||m n m n m n ⋅<>===⋅， ∴二面角1E BC D -- …………………12分20. （本小题满分13分）【命题意图】本题考查椭圆的标准方程、直线与圆的位置关系、直线和椭圆的位置关系等知识，意在考查学生的化归与转化思想的应用、运算求解能力.（Ⅱ）椭圆的上顶点为M(0,1)，设过点M 与圆T 相切的直线方程为1y kx =+，由直线1y kx =+与T23=， 即()22941850t k tk -++=121222185,9494tk k k k t t ∴+=-=--，…………6分由1221116y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2211116320k x k x ++= 12132116E k x k ∴=-+ 同理 22232116Fk x k =-+ ………8分 ()()121211E F E F E FEF E F E F E Fk x k x y y k x k x k x x x x x x +-+--===---122126116283k k tk k t +==-- ……………11分当31<<t 时，()26283t f t t =-为增函数,故EF 的斜率的范围为6,1825⎛⎫⎪⎝⎭…………13分 21. （本小题满分14分）【命题意图】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性和最值以及不等式问题，意在考查学生逻辑推理能力和分析问题、解决问题的综合能力.（Ⅱ）21()()1)ln (1)12g x f x ax x ax a x =-=-+-+-(， 所以21(1)1()(1)ax a x g x ax a x x-+-+'=-+-=．当0≤a 时，因为0x >，所以()0g x '>． 所以()g x 在(0,)+∞上是递增函数，当0a >时，21()(1)(1)1()a x x ax a x a g x x x-+-+-+'==-， 令()0g x '=，得1x a =．所以当1(0,)x a ∈时，()0g x '>；当1(,)x a∈+∞时，()0g x '<， 因此函数()g x 在1(0,)x a ∈是增函数，在1(,)x a∈+∞是减函数．综上，当0≤a 时，函数()g x 的递增区间是(0,)+∞，无递减区间；当0a >时，函数()g x 的递增区间是1(0,)a ，递减区间是1(,)a+∞．………………9分。

2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)理数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=( )A. B. C. D.2.设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=( )A.1B.C.D.23.已知等差数列{a n}前9项的和为27,a10=8,则a100=( )A.100B.99C.98D.974.某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A. B. C. D.5.已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )A.(-1,3)B.(-1,)C.(0,3)D.(0,)6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是( )A.17πB.18πC.20πD.28π7.函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大致为( )8.若a>b>1,0<c<1,则( )A.a c<b cB.ab c<ba cC.alog b c<blog a cD.log a c<log b c9.执行下面的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足( )A.y=2xB.y=3xC.y=4xD.y=5x10.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为( )A.2B.4C.6D.811.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( )A. B. C. D.12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在单调,则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .14.(2x+)5的展开式中,x3的系数是.(用数字填写答案)15.设等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…a n的最大值为.16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(Ⅰ)求C;(Ⅱ)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.18.(本小题满分12分)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.(Ⅰ)证明:平面ABEF⊥平面EFDC;(Ⅱ)求二面角E-BC-A的余弦值.19.(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. (Ⅰ)求X的分布列;(Ⅱ)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;(Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?20.(本小题满分12分)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(Ⅰ)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q 两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2有两个零点.(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,OA为半径作圆.(Ⅰ)证明:直线AB与☉O相切;(Ⅱ)点C,D在☉O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥CD.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.(Ⅰ)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(Ⅰ)画出y=f(x)的图象;(Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)一、选择题1.D 易知A=(1,3),B=,∴A∩B=.故选D.方法总结集合的运算问题通常是先化简后运算,也可借助数轴或韦恩图解决.2.B ∵x,y∈R,(1+i)x=1+yi,∴x+xi=1+yi,∴∴|x+yi|=|1+i|==.故选B.3.C 设{a n}的公差为d,由等差数列前n项和公式及通项公式,得解得a n=a1+(n-1)d=n-2,∴a100=100-2=98.故选C.方法总结已知条件中有具体的a n、S n的值时,通常用基本元素法处理,即在a1、d、n、a n、S n这5个量中知三求二.4.B 解法一:7:30的班车小明显然是坐不到了.当小明在8:00前到达,或者8:20之后到达,他等车的时间将不超过10分钟,故所求概率为=.故选B.解法二:当小明到达车站的时刻超过8:00,但又不到8:20时,等车时间将超过10分钟,其他时刻到达车站时,等车时间将不超过10分钟,故等车时间不超过10分钟的概率为1-=.5.A ∵原方程表示双曲线,且焦距为4,∴①或②由①得m2=1,n∈(-1,3).②无解.故选A.解后反思对于方程mx2+ny2=1,若表示椭圆,则m、n均为正数且m≠n;若表示双曲线,则m·n<0.6.A 由三视图可知,该几何体是一个球被截去后剩下的部分,设球的半径为R,则该几何体的体积为×πR3,即π=×πR3,解得R=2.故其表面积为×4π×22+3××π×22=17π.选A.7.D 当x∈(0,2]时,y=f(x)=2x2-e x, f '(x)=4x-e x. f '(x)在(0,2)上只有一个零点x0,且当0<x<x0时, f '(x)<0;当x0<x≤2时, f '(x)>0.故f(x)在(0,2]上先减后增,又f(2)-1=7-e2<0,所以f(2)<1.故选D.8.C 解法一:由a>b>1,0<c<1,知a c>b c,A错;∵0<c<1,∴-1<c-1<0,∴y=x c-1在x∈(0,+∞)上是减函数,∴b c-1>a c-1,又ab>0,∴ab·b c-1>ab·a c-1,即ab c>ba c,B错;易知y=log c x是减函数,∴0>log c b>log c a,∴log b c<log a c,D错;由log b c<log a c<0,得-log b c>-log a c>0,又a>b>1>0,∴-alog b c>-blog a c>0,∴alog b c<blog a c,故C正确.解法二:依题意,不妨取a=10,b=2,c=.易验证A、B、D均是错误的,只有C正确.9.C x=0,y=1,n=1,x=0,y=1,n=2;x=,y=2,n=3;x=,y=6,此时x2+y2>36,输出x=,y=6,满足y=4x.故选C.10.B 不妨设C:y2=2px(p>0),A(x1,2),则x1==,由题意可知|OA|=|OD|,得+8=+5,解得p=4.故选B.11.A 如图,延长B1A1至A2,使A2A1=B1A1,延长D1A1至A3,使A3A1=D1A1,连结AA2,AA3,A2A3,A1B,A1D.易证AA2∥A1B∥D1C,AA3∥A1D∥B1C.∴平面AA2A3∥平面CB1D1,即平面AA2A3为平面α.于是m∥A2A3,直线AA2即为直线n.显然有AA2=AA3=A2A3,于是m、n所成的角为60°,其正弦值为.选A.疑难突破本题的难点是明确直线m、n的具体位置或它们相对正方体中的棱、对角线的相对位置关系.为此适当扩形是常用策略.向右、向前扩展(补形)两个全等的正方体,则m、n 或其平行线就展现出来了.12.B 依题意,有(m、n∈Z),∴又|φ|≤,∴m+n=0或m+n=-1.当m+n=0时,ω=4n+1,φ=,由f(x)在上单调,得≥-,∴ω≤12,取n=2,得ω=9, f(x)=sin符合题意.当m+n=-1时,φ=-,ω=4n+3,取n=2,得ω=11, f(x)=sin,此时,当x∈时,11x-∈, f(x)不单调,不合题意.故选B.解后反思本题要求ω的最大值,正面入手运算量偏大,不妨对ω取特殊值进行检验.二、填空题13.答案-2解析由|a+b|2=|a|2+|b|2,知a⊥b,∴a·b=m+2=0,∴m=-2.14.答案10解析T r+1=(2x)5-r·()r=25-r·,令5-=3,得r=4,∴T5=10x3,∴x3的系数为10.15.答案64解析设{a n}的公比为q,于是a1(1+q2)=10,①a1(q+q3)=5,②联立①②得a1=8,q=,∴a n=24-n,∴a1a2…a n=23+2+1+…+(4-n)==≤26=64.∴a1a2…a n的最大值为64.16.答案216 000解析设生产产品A x件,产品B y件,依题意,得设生产产品A,产品B的利润之和为E元,则E=2 100x+900y.画出可行域(图略),易知最优解为此时E max=216 000.三、解答题17.解析(Ⅰ)由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2分)2cos Csin(A+B)=sin C.故2sin Ccos C=sin C.(4分)可得cos C=,所以C=.(6分)(Ⅱ)由已知,得absin C=.又C=,所以ab=6.(8分)由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.(10分)所以△ABC的周长为5+.(12分)解后反思本题属解三角形问题中的常见题型,要先利用正弦、余弦定理,将已知中的“边”或“角”的关系式,转化为只有“边”或只有“角”的方程形式,进而通过三角函数或代数知识求解方程.解题中要注意三角形的一些性质应用,例如:sin(A+B)=sin C,S△ABC=absin C.18.解析(Ⅰ)由已知可得AF⊥DF,AF⊥FE,所以AF⊥平面EFDC.(2分)又AF⊂平面ABEF,故平面ABEF⊥平面EFDC.(3分)(Ⅱ)过D作DG⊥EF,垂足为G,由(Ⅰ)知DG⊥平面ABEF.以G为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.(6分)由(Ⅰ)知∠DFE为二面角D-AF-E的平面角,故∠DFE=60°,则|DF|=2,|DG|=,可得A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0,).由已知得,AB∥EF,所以AB∥平面EFDC.(8分)又平面ABCD∩平面EFDC=CD,故AB∥CD,CD∥EF.由BE∥AF,可得BE⊥平面EFDC,所以∠CEF为二面角C-BE-F的平面角,∠CEF=60°.从而可得C(-2,0,).所以=(1,0,),=(0,4,0),=(-3,-4,),=(-4,0,0).(10分)设n=(x,y,z)是平面BCE的法向量,则即所以可取n=(3,0,-).设m是平面ABCD的法向量,则同理可取m=(0,,4).则cos <n,m>==-.故二面角E-BC-A的余弦值为-.(12分)方法总结对于立体几何问题的求解,首先要熟练掌握平行与垂直的判定与性质,尤其是面面垂直的证明,寻找平面的垂线往往是几何证明的关键.19.解析(Ⅰ)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而P(X=16)=0.2×0.2=0.04;P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;P(X=22)=0.2×0.2=0.04.(4分)所以X的分布列为X 16 17 18 19 20 21 22P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值为19.(8分)(Ⅲ)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).当n=19时,EY=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4 040.(10分)当n=20时,EY=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4 080.可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.(12分)解后反思本题重点考查相互独立事件的概率、简单随机变量的分布列及期望.求解本题的关键在于认真分析题干中的事件,确定事件间的相互关系,根据分析内容,找到解题的突破口.20.解析(Ⅰ)因为|AD|=|AC|,EB∥AC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC.所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.(2分)由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为+=1(y≠0).(4分) (Ⅱ)当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).由得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.则x1+x2=,x1x2=.所以|MN|=|x1-x2|=.(6分)过点B(1,0)且与l垂直的直线m:y=-(x-1),A到m的距离为,所以|PQ|=2=4.故四边形MPNQ的面积S=|MN||PQ|=12.(10分)可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8).当l与x轴垂直时,其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ的面积为12.综上,四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8).(12分)解后反思本题重点考查圆锥曲线的几何性质,以及直线与椭圆、圆的位置关系,尤其是对“弦长”问题的考查,更是本题考查的重点.解决此类问题,除了要熟知圆锥曲线的几何性质之外,对计算能力的要求也非常高.21.解析(Ⅰ)f '(x)=(x-1)e+2a(x-1)=(x-1)(e+2a).(2分)(i)设a=0,则f(x)=(x-2)e x, f(x)只有一个零点.(3分)(ii)设a>0,则当x∈(-∞,1)时, f '(x)<0;当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0.所以f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.又f(1)=-e, f(2)=a,取b满足b<0且b<ln ,则f(b)>(b-2)+a(b-1)2=a>0,故f(x)存在两个零点.(4分)(iii)设a<0,由f '(x)=0得x=1或x=ln(-2a).若a≥-,则ln(-2a)≤1,故当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0,因此f(x)在(1,+∞)单调递增.又当x≤1时f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.(6分)若a<-,则ln(-2a)>1,故当x∈(1,ln(-2a))时, f '(x)<0;当x∈(ln(-2a),+∞)时, f '(x)>0.因此f(x)在(1,ln(-2a))单调递减,在(ln(-2a),+∞)单调递增.又当x≤1时f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.综上,a的取值范围为(0,+∞).(8分)(Ⅱ)不妨设x1<x2.由(Ⅰ)知,x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),2-x2∈(-∞,1),f(x)在(-∞,1)单调递减,所以x1+x2<2等价于f(x1)>f(2-x2),即f(2-x2)<0.由于f(2-x 2)=-x2+a(x2-1)2,而f(x2)=(x2-2)+a(x2-1)2=0,所以f(2-x 2)=-x2-(x2-2).(10分)设g(x)=-xe2-x-(x-2)e x,则g '(x)=(x-1)(e2-x-e x).所以当x>1时, g '(x)<0,而g(1)=0,故当x>1时,g(x)<0.从而g(x2)=f(2-x2)<0,故x1+x2<2.(12分)22.证明(Ⅰ)设E是AB的中点,连结OE.因为OA=OB,∠AOB=120°,所以OE⊥AB,∠AOE=60°.(2分)在Rt△AOE中,OE=AO,即O到直线AB的距离等于☉O的半径,所以直线AB与☉O相切.(5分)(Ⅱ)因为OA=2OD,所以O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心.设O'是A,B,C,D四点所在圆的圆心,作直线OO'.由已知得O在线段AB的垂直平分线上,又O'在线段AB的垂直平分线上,所以OO'⊥AB.(9分) 同理可证,OO'⊥CD,所以AB∥CD.(10分)23.解析(Ⅰ)消去参数t得到C 1的普通方程x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.(3分)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.(5分)(Ⅱ)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组(6分)若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,由tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去),或a=1.(8分)a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上.(9分)所以a=1.(10分)24.解析(Ⅰ)f(x)=(3分)y=f(x)的图象如图所示.(5分)(Ⅱ)由f(x)的表达式及图象,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;(6分)当f(x)=-1时,可得x=或x=5,(7分)故f(x)>1的解集为{x|1<x<3};f(x)<-1的解集为.(9分)所以|f(x)|>1的解集为.(10分)。

绝密★启用前2016年高考冲刺卷（1）【新课标Ⅰ卷】理科数学试卷考试时间：120分钟；满分150分第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足()11z i i i -=-+，则z 的实部为（ ）1- C. 12. 设α为锐角，若4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．2512B ．2425C ．2425-D ．1225- 3. 下列命题中正确的是（ ）A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．“0a >，0b >”是“2b aa b+≥”的充分必要条件C ．命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠或2x ≠，则2320x x -+≠”D ．命题:p 0R x ∃∈，使得20010x x +-<，则:p ⌝R x ∀∈，使得210x x +-≥4.2015年11月19日是“期中考试”，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三 个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A =“取到的两个为同一种馅”，事件B =“取到的两个 都是豆沙馅”，则(|)P B A =（ ）A ．34B ．14C ．110D ．3105. 已知l 是双曲线22:124x y C -=的一条渐近线，P 是l 上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若 120PF PF ⋅=，则P 到x 轴的距离为（ ）AC ．2 D6. 如图1，已知正方体1111CD C D AB -A B 的棱长为a ，动点M 、N 、Q 分别在线段1D A ，1C B ，11C D 上．当三棱锥Q -BMN 的俯视图如图2所示时，三棱锥Q -BMN 的正视图面积等于（ ）A ．212aB ．214a C2 D27.若6nx ⎛ ⎝的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 8. 将函数sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标压缩为原来的12倍（纵坐标不变），所得函数在 下面哪个区间单调递增（ ）A ．,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭9.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是 （ ）A ．1007B ．2015C ．2016D ．302410. O 为平面上的定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，若()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆是（ ）A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以C B 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以C B 为斜边的直角三角形11. 点A ，B ，C ，D 均在同一球面上，且AB ，C A ， D A 两两垂直，且1AB =，C 2A =，3AD =，则该球的表面积为（ ）A ．7π B ．14π C ．72π D12. 设点P 在曲线2xy e =上，点Q 在曲线2ln ln -=x y 上，则Q P 的最小值为（ ）A ．1ln 2- B)1ln 2- C ．()21ln 2+ D)1ln 2+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.(121x dx -+=⎰.14. 点(,)M x y是不等式组03x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域Ω内的一动点，且不等式20x y m -+≥总成立，则m 的取值范围是 .15. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点为A ，经过原点的直线l 交椭圆C 于P Q 、 两点，若=PQ a ，AP PQ ⊥，则椭圆C 的离心率为 .16. 已知平面四边形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均 在此直线的同侧），且2=AB ，4=BC ，5=CD ，3=DA ，则平面四边形ABCD 面积的最 大值为______.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分12分）设*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12n n n S S a +=++，125,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b满足1n a nnb a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（本小题满分12分）为了解某地区某种农产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千 元/吨）和利润z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：（1（2）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取到最大值？（保留两位小数）19.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，⊥PA 平面ABCD ，60ABC ∠=︒，F E ,分别是PC BC ,的中点． （1）证明：⊥AE 平面PAD ；（2）取2=AB ，若H 为PD 上的动点，EH 与面PAD 所成最大角的正切值为26，求二面角 C AF E --的余弦值．20.(本小题满分12分)已知抛物线2:2C y px =经过点(2,2)M ，C 在点M 处的切线交x 轴于点N ，直线1l 经过点N 且垂直于x 轴.（1）求线段ON 的长；（2）设不经过点M 和N 的动直线2:l x my b =+交C 于点A 和B ，交1l 于点E ，若直线MA 、ME 、MB 的斜率依次成等差数列，试问：2l 是否过定点？请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数2()(21)xf x ax bx e -=++（e 为自然对数的底数).（1）若21=a ，求函数)(x f 的单调区间； （2）若1)1(=f ，且方程1)(=x f 在)1,0(内有解，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本题满分10分）选修41-：几何证明选讲如图，正方形ABCD 边长为2，以D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆O 交于点F ，连结CF 并延长交AB 于点E ． （1）求证：AE EB =； （2）求EF FC ⋅的值．23.（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，），（），，（33233ππB A ，圆C 的方程为θρcos 2=.（1）求在平面直角坐标系xOy 中圆C 的标准方程；（2）已知P 为圆C 上的任意一点，求ABP ∆面积的最大值.24.（本题满分10分）选修4－5：不等式选讲 设函数()231f x x x =++-．（1）解不等式()4f x >；（2）若存在3,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使不等式1()a f x +>成立，求实数a 的取值范围. DCBAFP。