幂的乘方和积的乘方(1)

幂的乘方与积的乘方在数学的广袤天地中，幂的乘方与积的乘方是两个非常重要的运算规则，它们就像是数学世界里的两把神奇钥匙，能够帮助我们解决许多复杂的数学问题。

先来说说幂的乘方。

假如我们有一个幂，比如 a 的 m 次幂，然后再对这个幂进行乘方，也就是（a^m）＾n，那么结果会是什么呢？其实，幂的乘方，底数不变，指数相乘。

也就是说，（a^m）＾n ＝ a^（m×n)。

为了更好地理解这个规则，咱们来举几个例子。

比如，（2³）²，这里底数是 2，先算 2³＝ 8，然后再算 8²＝ 64。

但如果我们用幂的乘方法则来计算，底数 2 不变，指数 3×2 ＝ 6，所以（2³）²＝ 2^6 ＝ 64，结果是一样的。

再比如，（x²）³，按照法则，底数 x 不变，指数 2×3＝ 6，结果就是 x^6。

那幂的乘方这个规则在实际解题中有什么用呢？假设我们要计算一个比较复杂的式子，比如（5²）＾4 ×（5³）²。

如果没有幂的乘方法则，我们可能要一步步计算 5²、5³，然后再进行多次乘法运算，会非常繁琐。

但有了幂的乘方法则，（5²）＾4 ＝ 5^8，（5³）²＝ 5^6，那么原式就可以化简为 5^8 × 5^6 ＝ 5^（8 ＋ 6) ＝ 5^14。

这样是不是简单多了？接下来，咱们再聊聊积的乘方。

如果有几个因数相乘，然后给整个积进行乘方，比如（ab）＾n，那结果又该怎么算呢？积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

也就是（ab）＾n ＝a^n × b^n。

比如说，（2×3）²，按照法则，2²＝ 4，3²＝ 9，所以（2×3）²＝2² × 3²＝ 4×9 ＝ 36。

幂的乘方运算法则
底数不变，指数相乘。

即
a的m次幂的n次幂=a的(m?n)次幂(n、m为正整数)
积的乘方运算法则
把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

即
a、b乘积的n次方=a的n次方乘b的n次方(n为正整数)
幂的乘方与积的乘方运算法则
幂的乘方法则：幂的乘方是幂的一种运算积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。

积的乘方法则：积的乘方，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。

幂的乘方最终转化为指数的乘法运算，其中底数a可以是具体的数、单项式、多项式、分式乃至任何代数式。

幂的乘方是类比数的乘方，并借助于同底数幂的乘法性质来学习的，首先在具体例子的基础上抽象出幂的乘方的性质，进而通过推理加以论证，这一过程蕴含着转化及由特殊到一般，从具体到抽象的数学思想方法
幂的乘方与积的乘方运算法则
幂的乘方的运算法则：幂的乘方，低数不变，指数相加。

积的乘方的运算法则：是指底数是乘积形式的乘方。

幂的乘方与积的乘方知识点1 幂的乘方 重点：掌握法则)m n mn a a =（（m,n 是整数）。

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

法则的推导。

幂的乘方是由同底数幂的乘法法则和乘方的意义推导的。

...()......m m nmn m m m m m m m m n a n m a a a a a a a a +++===个个 ()n m n ma a 与的区别。

()n m n m m n a n a a m a 表示个相乘，而表示个相乘。

例如：3323236282325=5=55=555⨯≠（），所以（） 知识点2法则)n n n ab a b =（（n 是正整数）积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所有得幂相乘。

法则的推导().().()...()(....)(....)n n n n ab n a n b ab a b ab ab ab a a a b b b ===个个个 知识拓展 （1）,a b 可以表示数或单项式或多项式.(2)公式可以逆用，()n n n a b ab =（n 是正整数）（3）底数为三个或三个以上的因数时，也可以运用此法则，即()n n n n abc a b c =（n 是正整数）（4）注意符号问题。

规律方法小结 （1）当运用幂的乘方法则计算或者比较两个数的大小时，常常要逆用幂的乘方法则，即()mn m n a a =。

例如：1535555113333(3),3(3),5(5)===。

（2）当运用积的乘方法则计算时，若底数互为倒数，则可适当变形。

101010101:.2.2112⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1如①2 ②10110010010010010011111112.2.. 2..1.2222222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ③1001002544252575253325252322=2=1633=3=27⨯⨯③比较与的大小，只需把化成（），把化成（），1007516<27,23.<因为所以课堂小结 本节归纳1知识结构及要点小结()()()()()()()()()(),,,n n mn n m mn m n n n n n n n n n n a a m n a a a m n ab a b n a b ab abc a b c n ⎧⎧=⎪⎪⎨⎪⎪==⎪⎩⎨⎧⎪=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩⎩m 公式：是正整数幂的乘方推广：是正整数乘方公式：是正整数积的乘方推广：是正整数 2解题方法及技巧小结与同底数幂的乘法相结合，逆用幂的乘方和积的乘方进行简便的运算，其简便运算的指导思想是“凑整”。

课题：8.2 幂的乘方和积的乘方（1）自学指导：1．能说出幂的乘方的运算性质，并会用符号表示；2．能灵活运用幂的乘方法则进行计算，并能说出每一步运算的依据；一、知识梳理1.一个正方体的边长是102cm ，则它的体积是多少？2.100个104相乘，可以记作什么？3.先说出下列各式的意义， 再计算下列各式：(23)2表示____________； 23)2(＝ = ； (a 4)3表示____________； 34)(a ＝ = ； (a m )5表示____________．5)(m a ＝ = 。

4.从上面的计算中，你发现了什么规律？猜想：(a m )n ＝？分组讨论，并尝试证明你的猜想是否正确．归纳：幂的乘法法则：二、例题精讲例1：计算（1）26)10( （2）4)(m a （ｍ为正整数）（3）－23)(y （4） 33)(x练一练： 1．计算：（1） ( 104 )2；（2）(x 5)4；（3）－(a 2)5 ；（4） (－23)20 ．2．下面的计算是否正确？如有错误请改正．（1）(a 3)2＝a 2＋3＝a 5； （2）(－a 3)2＝－a 6 ．例2：计算（1）2342)(x x x +⋅ （2）33)(a 34)(a ⋅练一练：计算： 1．(y 2)3y 2 ； 2．(－32)3(－33)2 ； 3．(－x )2(－x )3 ．四、拓展提高1．若a2n＝5，求a6n；2．若a m＝2，a2n＝7，求a3m+4n；3．比较2100与375的大小；4．已知44×83＝2x，求x的值．三、课后练习1．下列计算中正确命题的个数有（ ）个①2a a m ⋅＝m a 2 ②523)(a a = ③623x x x =⋅ ④423)(a a ⋅-＝9a A.1个 B.2个 C.3个 D.以上答案都不对 2．)24(n ⨯2等于（ ）A.n 24⨯ B ．424+n C. n 22 D. 422+n 3．计算：（1）（x 2）3·（x 2）2； （2）（a 2）5·（a 4）4；（3）（c 2）n ·c n+1。

幂的乘方与积的乘方运算法则首先，让我们来了解一下什么是幂的乘方。

在数学中，幂的乘方是指将一个数称为底数，用一个整数表示次数，通过乘方运算得到一个新的数，这个新的数就是结果。

例如，如果我们有一个底数a和一个指数n，我们可以用a^n来表示这个幂的乘方。

这个表达式的意思是将底数a连乘n次，得到的结果就是a的n次幂。

例如，2^3=2×2×2=8，这里的2就是底数，3就是指数，8就是2的3次幂。

接下来，让我们来看看幂的乘方的运算法则。

幂的乘方的运算法则可以分为两种情况：同底数幂的乘法和不同底数幂的乘法。

首先，我们来讨论同底数幂的乘法。

当两个幂的底数相同，我们可以将它们的指数相加得到新的指数，这个规则被称为同底数幂的乘法规则。

例如，如果我们要计算2^3×2^4，我们可以将这两个幂的指数相加，得到2^(3+4)=2^7=128。

这里我们将2的3次幂和2的4次幂相乘，得到2的7次幂，结果是128。

接着，让我们来讨论一下不同底数幂的乘法。

当两个幂的底数不同但指数相同时，我们可以将它们的底数相乘，指数不变。

例如，如果我们要计算2^3×3^3，我们可以将这两个幂的底数相乘，得到2×3=6，然后将指数保持不变，得到6^3=216。

这里我们将2的3次幂和3的3次幂相乘，结果是216。

除了幂的乘方，积的乘方也是数学运算中常见的问题。

积的乘方指的是将一个积（多个数相乘）的次方，这种运算也有一定的规则和性质。

首先，我们来看看积的乘方的运算法则。

积的乘方的运算法则和幂的乘方有些类似，但也有一些不同之处。

当我们要计算一个积的次方时，我们将每个因子都进行相同的次方运算，然后将它们的结果相乘。

例如，如果我们要计算(2×3×4)^2，我们可以先计算每个因子的平方，得到2^2=4，3^2=9，4^2=16，然后将它们相乘，得到4×9×16=576。

这里我们将2×3×4的平方计算出来，然后将结果相乘，得到576。