切线换一半原则——由6种解法探究圆锥曲线的切点弦与应用

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课题：圆锥曲线的切线方程和切点弦方程主讲人： 安庆一中 李治国 教学目标:（1)。

掌握圆锥曲线在某点处的切线方程及切点弦方程。

(2).会用切线方程及切点弦方程解决一些问题.（3）通过复习渗透数形结合、类比的思想，逐步培养学生分析问题和解决问题的能力。

（4） 掌握曲线与方程的关系。

教学重点：切线方程及切点弦方程的应用教学难点:如何恰当使用切线方程及切点弦方程教学过程:1. 引入： 通过09年安徽省高考题及近几年各省考察圆锥曲线的实例引出本节课。

2. 知识点回顾：1. 2。

3。

4.圆锥曲线切线的几个性质:22200(,)x y r M x y +=过圆 上一点 的切线方程:200xx yy r +=00221xx yy a b +=220022(,)1x y P x y a b+=设为椭圆上的点，则过该点的切线方程为：220022(,)1x y P x y a b -=设为双曲线上的点，则过该点的切线方程为：00221xx yy a b-=00(,)2P x y px =2设为抛物线y 上的点，则过该点的切线方程为：00()yy p x x =+性质1 过椭圆的准线与其长轴所在直线的交点作椭圆的两条切线，则切点弦长等于该椭圆的通径．同理：双曲线，抛物线也有类似的性质性质2 过椭圆的焦点F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，过A ，B 两点作椭圆的切线交于点P ，则P 点的轨迹是焦点 的对应的准线，并且同理：双曲线,抛物线也有类似的性质3. 例题精讲：练习1： 抛物线 与直线 围成的封闭的图形的面积为 ，若直线l 与抛物线相切，且平行于直线 ，则直线l 的方程为例1： 设抛物线 的焦点为F,动点P 在直线上运动,过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点。

圆锥曲线的切点弦方程及其应用摘要：切点弦的问题是圆锥曲线中的重要内容之一，是近几年高考的热点考题，切点弦涉及到的问题，难度较大，技巧性强，计算繁琐，学生遇到此类问题较为棘手，束手无策，这里通过类比推理，探究其规律，掌握其性质，触类旁通，化繁就简，降低难度，进一步提高学习效率。

关键词：圆锥曲线；弦方程；应用1.内容解析1.切点弦的概念：过曲线C（圆，椭圆，双曲线，抛物线）外一点（对非封闭曲线是开口外一点）引两条切线，可以得到两个切点，连接切点即为切点弦。

2.微专题概述：圆锥曲线的切点弦方程是平面解析几何中的一类难点问题，围绕切点弦命制的解析几何试题具有内涵深刻、灵活多变的特点。

本专题在讲解一道课本习题即“过圆上一点圆的切线问题”的求解方法的基础上，立足学生思维的“最近发展区”，通过设置环环紧扣的问题串，最后得出椭圆、双曲线、抛物线的切点弦的一般性结论。

本微专题坚持“以小见大、微中知著”，最终达到启迪学生思维、开阔数学视野、培养类比归纳能力的目的；另一方面，客观题中熟练掌握切点弦方程结论，可以帮助学生有效简化解题过程、提高解题速度。

1.本专题所蕴含的数学思想方法及教学策略分析思想方法：数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般的思想教学策略：讲授法、分组讨论法、引导启示法立足高三年级学生实际、对基本概念和知识点采取讲授的方法；通过设置环环相扣的问题串，让学生分组讨论，教师引导实现同类知识的的迁移和整合归纳；注重问题串的整体性，在问题串的引领下，引导启示学生进行系列、连续的思维活动，使学生思维达到新高度。

1.教学目标1.知识与技能（1）掌握圆锥曲线在某点处的切点弦方程；（2）会用切点弦方程解决一些实际问题；（3）通过复习渗透数形结合、类比的思想，逐步培养学生分析问题和解决问题的能力。

2.过程与方法首先，通过对过圆上一点的圆的切线的求法的研究，进而设置一些列有较强逻辑关系的问题串，采取学生小组讨论法、教师启发引导法从而完成教学目标。

圆锥曲线的切线、切点弦推论总结归纳1、椭圆切线推论：已知椭圆C 方程22221x y a b+=（a>b>0），C 上一点P （00,y x ），过点P 且与C 相切的切线L 方程为：12020=+byy a x x 。

12222=+by a x'2'2()()1x y +=推导：如图所示，当切线'L 斜率存在且不为0时（即切线L 斜率存在且不为0），设'OP 、'L 的斜率分别为1k ，2k ，0010000y ay b k x bx a-==-，由圆的切线性质易知'OP ⊥'L ，即121k k ⋅=-，∴02101bx k k ay -==-，∴由点斜式易得'L 方程为：''0000()y bx xy x b ay a -=--，又'',x yx y a b ==，∴ 0000()y bx x y x b b ay a a-=--，即为椭圆切线L 方程，化简如下：0000y y bx x x b ay a --=-⋅，000022()()y y y x x x b a --=-，2200002222x x y y x y a b a b +=+，又点P(00,y x )是椭圆上一点，∴2200221x y a b +=，即切线L 方程化简后为：0022x x y ya b+=1；易知当切线L 斜率为0时，P （0,b ±），切线L 方程为：y b =±，满足上式；当切线L 斜率不存在时，P （,0a ±）切线L 方程为：x a =±，也满足上式。

综上，推导完毕。

2、直线与椭圆位置关系判定推论：已知椭圆C 方程12222=+by a x （a>b>0），一直线L 方程为：0Ax By C ++=,则L 与C 相交⇔2222A a B b +>2C ；L 与C 相切⇔2222A a B b +=2C ；L 与C 相离⇔2222A a B b +<2C 。

圆锥曲线的切线与法线方程求解技巧总结圆锥曲线是数学中的重要概念，包括椭圆、双曲线和抛物线。

在解析几何和微积分中，求解圆锥曲线的切线和法线方程是一个基本的技巧。

本文将总结一些解决这类问题的常见方法和技巧。

一、椭圆的切线与法线方程求解椭圆是一个非常常见的圆锥曲线，其方程为 x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1，其中 a 和 b 分别为椭圆的长轴与短轴。

求解椭圆的切线和法线方程的步骤如下：1. 确定切点首先，我们需要确定切点的坐标。

可以通过将直线 y = kx + c 代入椭圆方程，并解得 x 和 y 关于 k 和 c 的方程组。

解这个方程组即可得到切点的坐标。

2. 求解切线方程在得到切点的坐标后，我们可以使用常见的切线公式 y - y0 = k(x - x0) 来求解切线方程。

其中 (x0, y0) 为切点的坐标，k 为斜率。

3. 求解法线方程切线的斜率 k 和切点的坐标 (x0, y0) 可以通过对椭圆方程求偏导数得到。

设斜率 k1 为切线斜率，斜率 k2 为法线斜率，斜率之间的关系为 k1 * k2 = -1。

因此，我们可以通过斜率 k1 和切点 (x0, y0) 来求解法线方程。

二、双曲线的切线与法线方程求解双曲线是另一种常见的圆锥曲线，其方程为 x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1。

求解双曲线的切线和法线方程的步骤如下：1. 确定切点与椭圆类似，我们首先需要确定切点的坐标。

代入直线 y = kx + c 到双曲线方程中，并解得切点的坐标。

2. 求解切线方程切线方程的求解过程与椭圆类似，使用公式 y - y0 = k(x - x0)，其中 (x0, y0) 为切点的坐标，k 为斜率。

3. 求解法线方程双曲线的法线也满足斜率 k1 和斜率 k2 的关系为 k1 * k2 = -1。

通过切线方程的斜率 k1 和切点的坐标 (x0, y0)，可以求得法线方程。

三、抛物线的切线与法线方程求解抛物线是圆锥曲线中的另一种重要类型，其方程为 y^2 = 2px，其中p 为抛物线的焦点到准线的距离。

圆锥曲线切点弦方程一般推导本文将探讨圆锥曲线切点弦方程的一般推导方法。

首先，我们需要了解什么是圆锥曲线。

圆锥曲线是在圆锥上截取的平面曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。

在平面几何中，圆锥曲线是非常重要的一类曲线，它们具有许多重要的性质和应用。

现在，我们来考虑圆锥曲线上的一个点P，以及通过该点的切线L。

假设切线L与圆锥曲线的交点为A，而曲线上另一点B与切线的交点为B。

我们要推导出点A和点B之间的弦AB的方程。

首先，我们需要求出点A和点B的坐标。

对于点A，我们可以利用切线的定义，即在该点处曲线的斜率等于切线的斜率。

因此，我们可以求出点P处曲线的斜率，然后利用切线的斜率求出切线的方程。

接着，我们求出切线与圆锥曲线的交点A的坐标。

对于点B，我们同样可以求出曲线在该点处的斜率，然后利用切线的斜率求出切线的方程。

但是，这样做很麻烦，我们可以采用另外一种方法。

我们知道，圆锥曲线是对称的，因此点A和点B关于切线的垂线中点O对称。

因此，我们可以利用点P和O的坐标求出点B的坐标。

现在，我们已经得到了点A和点B的坐标。

接着，我们可以利用两点式求出弦AB的方程。

具体来说，我们可以利用点A和点B的坐标，以及两点式的公式：y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * (x - x1)其中，(x1, y1)和(x2, y2)分别是弦AB的两个端点的坐标，x和y是任意一点的坐标。

将点A和点B的坐标代入上述公式，即可得到弦AB的方程。

综上所述，我们通过求出点P处曲线的斜率和点P和O的坐标，得到了点A和点B的坐标，进而求出了弦AB的方程。

这个推导方法可以适用于所有类型的圆锥曲线。

圆锥曲线的切点弦、中点弦、切线
圆锥曲线中点弦公式：py-αx=pβ-α^2。

立体几何定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。

旋转轴叫做圆锥的轴。

垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面。

不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。

曲线，是微分几何学研究的主要对象之一。

直观上，曲线可看成空间质点运动的轨迹。

微分几何就是利用微积分来研究几何的学科。

为了能够应用微积分的知识，我们不能考虑一切曲线，甚至不能考虑连续曲线，因为连续不一定可微。

这就要我们考虑可微曲线。

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圆锥曲线的切线方程求解方法总结圆锥曲线是代数几何中的重要概念，指由一个平面与一个锥体相交而产生的曲线。

圆锥曲线包括椭圆、抛物线和双曲线，它们在数学和物理学等领域中有广泛的应用。

本文将总结圆锥曲线切线方程的求解方法，并以椭圆、抛物线和双曲线为例进行说明。

一、椭圆的切线方程求解方法椭圆是一个平面上的闭合曲线，其形状类似于椭圆形。

对于椭圆上的一点P，我们要求解的是通过该点的切线方程。

方法1：使用微积分方法求解椭圆的切线方程。

设椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1（其中a和b为椭圆的半长轴和半短轴），点P的坐标为(x0, y0)。

首先对椭圆方程两边求导，得到2x/a^2 + 2y/b^2 * y' = 0。

然后将点P的坐标代入，得到x0/a^2 + y0/b^2 * y' = 0。

最后将此式变形为y' = -x0 * a^2 / (y0 * b^2)，即为所求的切线方程。

方法2：使用解析几何方法求解椭圆的切线方程。

设椭圆的焦点为F1和F2，点P在椭圆上的轨迹为OP。

设P点的坐标为(x0, y0)，则PF1和PF2的距离之和等于2a，即PF1 + PF2 = 2a。

又根据焦点和点到直线的距离公式，可得切线所在直线与轴的交点Q的坐标为(a^2/x0, b^2/y0)，进而得到切线方程的解析式。

二、抛物线的切线方程求解方法抛物线是一个平面上的开口曲线，其形状类似于抛物形。

对于抛物线上的一点P，我们要求解的是通过该点的切线方程。

方法1：使用微积分方法求解抛物线的切线方程。

设抛物线的标准方程为y^2 = 2px（其中p为抛物线的焦点到顶点的距离），点P的坐标为(x0, y0)。

首先对抛物线方程两边求导，得到2yy' = 2p。

然后将点P的坐标代入，得到y0 * y' = p。

最后将此式变形为y' = p / y0，即为所求的切线方程。

方法2：使用解析几何方法求解抛物线的切线方程。

560从一道模拟题来探究圆锥曲线的切点弦与应用 题目：（江西省高考模拟试题）由点P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线，求两切点所在的直线（即切点弦）方程．一、一题多解的教学价值剖析1：由题意和图可得，过点P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线，其切线的斜率都存在，设过点P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线为()13-=-x k y ，利用r d =，求出k ，进而求出切点坐标，利用直线的点斜式即可．尽管运算较复杂，但却是解析几何中最基础、最重要的方法．解法1：如图75—1所示，设过P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线为：()13-=-x k y ⇒03=-+-k y kx ．由题意易得r d =⇒3132=+-k k⇒0=k ，或43-=k ．故设过点P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线为：1l ：3=y ，2l ：01543=-+y x ． 设两个切点分别为A 、B ，则联立3=y 与922=+y x ⇒)30(，A ．01543=-+y x 与922=+y x ⇒B （51259，）． 故由两点式或点斜式易得两切点A 、B 所在的直线方程为093=-+y x ．剖析2：如图75—1所示，设两个切点分别为A 、B ，利用逆向思维及抽象思维，由点P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线，亦可看作分别过A 、B 作圆922=+y x 的两条切线相交于P ．解法2：设切点A(11y x ，)，切点B(22y x ，)，则过A ，B 的圆的切线方程为：3l ：0911=-+y y x x ，4l ：0922=-+y y x x ．又3l 及4l 都过P(1，3)，由此得到09311=-+y x ， 09322=-+y x ．从具体到抽象，则过两个切点的直线方程为093=-+y x ．561剖析3：因为过P(1，3)引922=+y x 的两条切线切线分别为PA 、PB ，则有2π=∠PAO ，2π=∠PBO ．联想到初中的四点共圆，得到巧解．解法3：如图75—1所示，由图和题意及上面的剖析得到四点P 、A 、O 、B 共圆，且圆的直径为OP ，以直径的OP 为直径的圆的方程为：0322=--+y x y x ．那么过A ，B 的直线就是圆0322=--+y x y x 与圆922=+y x 的公共弦，两圆方程相减即得所求，则过两个切点分别为A 、B 的直线方程为093=-+y x ．剖析4：由上述解法3得到启示，切点弦其实就是以P 点为圆心，以PA 为半径的圆与圆922=+y x 的公共弦．解法4：由题意易得PO =10，在POA Rt ∆中，PA =1，则以P 点为圆心，以PA 为半径的圆的方程为1)3()1(22=-+-y x ，两圆方程相减即得所求，则过两个切点分别为A 、B 的直线方程为093=-+y x ．剖析5：利用初中的切割线性质及其三角形相似性质．解法5：设两个切点分别为A 、B ，连接AB 与PO 相交于Q ，则有=OQ k OP k 30103=--=31-=⇒AB k ． 由于直线OQ 的方程为x y 3=，于是令)3(x x Q ，，利用OBP ∆∽OQB ∆⇒OBOQOP OB =⇒3)30()0()30()10(32222x x -+-=-+-⇒109=x ⇒)1027109(，Q ⇒⎪⎭⎫⎝⎛--=-109311027x y ⇒093=-+y x ． 这正是所要求的切点弦AB 的直线方程．剖析6：利用定比分点公式得到一种很少人使用的好方法．解法6：如图75—1所示，连接AB ，PO ，设AB 与PO 相交于点C ，则由平面几何中的射影定理等知识得到562=COPC =POCO PO PC 22OAPA =91⇒λ=91． 由定比分点公式得到C x =9111+=109，C y =9113+=1027．上述解法5已得31-=AB k ，由直线的点斜式得到 ⎪⎭⎫⎝⎛--=-109311027x y ⇒093=-+y x ． 二、一题多结论的教学价值我们知道：切点弦所在直线就是二个切点的连线，而切点是直线与圆锥曲线相切得到的交点，因此我们先从圆锥曲线的切线入手来展开探究．结论1：点M （0x ，0y ）在圆222R y x =+上，过点M 作圆的切线方程为200R y y x x =+．结论2：点M （0x ，0y ）在圆222R y x =+外，过点M 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为200R y y x x =+．结论2：（补充）点M （0x ，0y ）在圆222R y x =+内，过点M 作圆的弦AB （不过圆心），分别过B A 、作圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线200R y y x x =+．证明：由上述结论2可得过)(p p y x P ，的圆的切点弦AB 的直线方程为2R y y x x P P =+．又弦AB 过点M （0x ，0y ），即200R y y x x P P =+，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线200R y y x x =+．结论3：点M （0x ，0y ）在圆222)()(R b y a x =-+-上，过点M 作圆的切线方程为200))(())((R b y b y a x a x =--+--．结论4：点M （0x ，0y ）在圆222)()(R b y a x =-+-外，过点M 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为563200))(())((R b y b y a x a x =--+--．结论4：（补充）点M （0x ，0y ）在圆222)()(R b y a x =-+-内，过点M 作圆的弦AB （不过圆心），分别过B A 、作圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：200))(())((R b y b y a x a x =--+--．结论5：点M （0x ，0y ）在圆022=++++F Ey Dx y x 上，过点M 作圆的切线方程为0220000=++++++F yy E x x Dy y x x ． 结论6：点M （0x ，0y ）在圆022=++++F Ey Dx y x 外，过点M 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为0220000=++⋅++⋅++F yy E x x D y y x x ． 结论6：（补充）点M （0x ，0y ）在圆022=++++F Ey Dx y x 内，过点M 作圆的弦AB （不过圆心），分别过B A 、作圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：0220000=++⋅++⋅++F yy E x x D y y x x ．我们知道：椭圆方程可以通过变换得到圆的方程，于是得到结论7：点M （0x ，0y ）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）上，过点M 作椭圆的切线方程为12020=+byy a x x ． 结论8：点M （0x ，0y ）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）外，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为12020=+byy a x x ． 结论8：（补充）点M （0x ，0y ）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）内，过点M 作椭圆564的弦AB （不过椭圆中心），分别过B A 、作椭圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：12020=+byy a x x ． 证明：由上述结论8可得过)(p p y x P ，的椭圆的切点弦AB 的直线方程为122=+b yy a x x P P ，又弦AB 过点M （0x ，0y ），即12020=+b y y a x x P P ，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线12020=+byy a x x ．结论9：点M （0x ，0y ）在双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）上，过点M 作双曲线的切线方程为12020=-byy a x x ． 结论10：点M （0x ，0y ）在双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）外，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为12020=-byy a x x ． 结论10：（补充）点M （0x ，0y ）在双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）内，过点M 作双曲线的弦AB （不过双曲线中心），分别过B A 、作双曲线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：12020=-byy a x x ．结论11：点M （0x ，0y ）在抛物线px y 22=（0>p ）上，过点M 作抛物线的切线方程为)(00x x p y y +=．结论12：点M （0x ，0y ）在抛物线px y 22=（0>p ）外，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为)(00x x p y y +=．565结论12：（补充）点M （0x ，0y ）在抛物线px y 22=（0>p ）内，过点M 作抛物线的弦AB ，分别过B A 、作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：)(00x x p y y +=．结论13：点M （0x ，0y ）在椭圆()()12222=-+-bn y am x 上，过点M 作椭圆的切线方程为1))(())((2020=--+--bn y n y a m x m x ． 结论14：点M （0x ，0y ）在双曲线()()12222=---bn y am x 上，过点M 作双曲线的切线方程为()()()()12020=-----bn y n y am x m x ．结论15：点M （0x ，0y ）在抛物线()()m x p n y -=-22上，过点M 作抛物线的切线方程为()()()m x x p n y n y 200-+=--．结论16：点M （0x ，0y ）在椭圆()()12222=-+-bn y am x 外，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为1))(())((2020=--+--bn y n y a m x m x ． 结论17：点M （0x ，0y ）在双曲线()()12222=---bn y am x 外，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为()()()()12020=-----bn y n y am x m x ．结论18：点M （0x ，0y ）在抛物线()()m x p n y -=-22外，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为()()()m x x p n y n y 200-+=--．566结论16：（补充）点M （0x ，0y ）在椭圆()()12222=-+-bn y am x 内，过点M 作椭圆的弦AB （不过椭圆中心），分别过B A 、作椭圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：1))(())((2020=--+--bn y n y a m x m x ． 结论17：（补充）点M （0x ，0y ）在双曲线()()12222=---b n y a m x 内，过点M 作双曲线的弦AB （不过双曲线中心），分别过B A 、作双曲线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：()()()()12020=-----b n y n y a m x m x ．结论18：（补充）点M （0x ，0y ）在抛物线()()m x p n y -=-22内，过点M 作抛物线的弦AB ，分别过B A 、作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：()()()m x x p n y n y 200-+=--．由上述结论8、10、12及结论16、17、18可得：结论19：过椭圆准线上一点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB ．结论20：过双曲线准线上一点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB ．结论21：过抛物线准线上一点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线必过焦点F ，且MF 垂直切点弦AB ．以下证明结论19:证明如下：设椭圆方程为12222=+by a x ，M⎪⎪⎭⎫⎝⎛t c a ，2，由结论8可得切点弦AB 的直线方程为12=+b tyc x ，显然过焦点)0(，c F ．当然容易验证：1-=⋅MF AB k k ． 同理可证结论20、21．事实上，结论19、20、21的逆命题也是成立的．由此得到：结论22: AB 为椭圆的焦点弦，则过A ，B 的切线的交点M 必在相应的准线上． 结论23: AB 为双曲线的焦点弦，则过A ，B 的切线的交点M 必在相应的准线上． 结论24: AB 为抛物线的焦点弦，则过A ，B 的切线的交点M 必在准线上．以下证明结论22:证明如下：设M （0x ，0y ），由结论8可得切点弦AB 的直线方程为12020=+byy a x x ，567因过焦点)0(，c F ，则有120=acx ，即c a x 20=，故点M 必在相应的准线c a x 2=上． 同理可证结论23、24．结论25:点M 是椭圆准线与长轴的交点，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 就是通径．结论26: 点M 是双曲线准线与实轴的交点，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 就是通径．结论27：M 为抛物线的准线与其对称轴的交点，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 就是其通径．以下证明结论27：证明如下：由结论21可得AB 必为切点弦，因点M 在对称轴上，由对称性可得A ，B 也关于对称轴对称，故AB 就是通径．同理可证结论25、26． 结论28：过抛物线px y 22=（0>p ）的对称轴上任意一点)0,(m M -（0>m ）作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在的直线必过点)0,(m N ．证明如下：如图所示，令A （1x ，1y ），),(22y x B ，由结论11得到切线AM 的方程为)(11x x p y y +=．又切线AM 过)0,(m M -（0>m ），代入推出m x =1，同理m x =2，即切点弦AB 所在的直线方程为m x =，故必过点)0,(m N ．结论29：过椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的对称轴上任意一点),(n m M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）当0=n ，a m >时，则切点弦AB 所在的直线必过点)0,(2m a P ； （2）当0=m ，b n >时，则切点弦AB 所在的直线必过点),0(2nb Q ．证明如下：如图所示，令A （1x ，1y ），),(22y x B ，由结论7得到切线AM 的方程为12121=+byy a xx ． 又由于切线AM 过点),(n m M ，则得到56812121=+bny a mx ． （1）当0=n ，a m >时，即点M 在x 轴时，代入得到m a x 21=，同理m a x 22=，即切点弦AB 所在的直线方程为m a x 2=，故必过点)0,(2ma P ． （2））当0=m ，b n >时，即点M 在y 轴时，代入得到n b y 21=，同理n b y 22=，即切点弦AB 所在的直线方程为n b y 2=，故必过点),0(2nb Q ．结论30：过双曲线12222=-b y a x （0,0>>b a ）的实轴上任意一点)0,(m M （a m <）作双曲线（单支）的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在的直线必过点)0,(2ma P ． 证明如下：如图所示，令A （1x ，1y ），),(22y x B ，由结论9得到切线AM 的方程为12121=-byy a xx ． 又由于切线AM 过点)0,(m M ，则得到m a x 21=，同理m a x 22=，即切点弦AB 所在的直线方程为m a x 2=，故必过点)0,(2ma P ． 结论31：过抛物线px y 22=（0>p ）外任意一点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，弦AB 的中点为N ，则直线MN 必与其对称轴平行．证明如下：如图所示，令),2(121y p y A ，),2(222y pyB ，则221y y y N +=，又由结论11得到切线AM ，BM 的方程分别为：)2(211p y x p y y +=，)2(222p yx p y y +=⇒)(21y y y -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-p y y y y p 2))((2121569⇒M y 221y y +=⇒N M y y =．故直线MN 必与其对称轴平行．结论32：若椭圆12222=+by a x （0>>b a ）与双曲线12222=-n y m x （0>m ，0>n ）共焦点，则在它们交点处的切线相互垂直．证明如下：由题意易得2222n m b a +=-⇒2222n b m a +=-．令其交点M （0x ，0y ），则代入上述椭圆及双曲线方程得到1220220=+b y a x ，122220=-n y m x ⇒220y x =)()(22222222m a n b n b m a -+． 依据结论7及结论9得到过点M 的椭圆与双曲线的切线方程分别为：12020=+b y y a x x ，12020=-nyy m x x ⇒21k k =2022222y x m a n b ⋅-=2222m a n b -+-=1-． 结论33：过椭圆外一定点P 作其一条割线，交点为A ，B ，则满足BP AQ BQ AP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．证明如下：如图所示，不妨设椭圆方程为：12222=+by a x （0>>b a ）由已知条件易得BQAQ BPAP =，令P 分有向线段AB 所成的比为λ，结合图便知Q 分有向线段AB 所成的比为λ-，设),(00y x P ，),(11y x A ，),(22y x B ，),(y x Q ，由定比分点公式推出⎪⎩⎪⎨⎧++=++=λλλλ11210210y y y x x x ⇒⎩⎨⎧+=++=+210210)1()1(y y y x x x λλλλ．570⎪⎩⎪⎨⎧--=--=λλλλ112121y y y x x x ⇒⎩⎨⎧-=--=-2121)1()1(y y y x x x λλλλ．由上述两式结合并相乘得到⎩⎨⎧-=--=-22221202222120)1()1(y y yy x x xx λλλλ ⇒⎩⎨⎧-=--=-)()1()()1(222212220222212220y y a a yy x x b b xx λλλλ． ① 事实上，两个交点A ，B 都在椭圆上，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11222222221221b y a x b y a x ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+22222222221221)(1λλb y a x b y a x ． 由上述两式结合并相减整理得到+-)(222212x x b λ)(222212y y a λ-=)1(222λ-b a ． ②由①及②推出12020=+byy a x x ． 由结论33及圆锥曲线的共性同理可得：结论34：过双曲线外一定点P 作其一条割线，交点为A ，B ，则满足BP AQ BQ AP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．结论35：过抛物线外一定点P 作其一条割线，交点为A ，B ，则满足BP AQ BQ AP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．关于结论33及其结论34的证明完全雷同于结论33的证明过程．结论36：过双曲线外一点P 作其一条割线，交点为A ，B ，过A ，B 分别作双曲线的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．证明如下：如图所示，不妨设双曲线方程为：12222=-b y a x （00>>b a ，），我们令),(00y x P ， ),(''y x Q ，由前面结论10可得切点弦AB 所在的直线方程为12'2'=-byy a xx ，571又点P 在直线AB 上，则12'02'0=-b y y a x x ，即),(''y x Q 在直线12020=-by y a x x ，故动点Q的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．由结论36及圆锥曲线的共性同理可得：结论37：过椭圆外一点P 作其一条割线，交点为A ，B ，过A ，B 分别作椭圆的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上． 结论38：过抛物线外一点P 作其一条割线，交点为A ，B ，过A ，B 分别作抛物线的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．关于结论37及其结论38的证明完全雷同于结论36的证明过程．结论39：从椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点向椭圆的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：222a y x =+．结论40：从12222=-by a x （00>>b a ，）的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：222a y x =+．三、一题多用的教学价值应用1．（补充）（2011年江西省高考试题）椭圆12222=+b y a x 的焦点在x 轴上，过点⎪⎭⎫⎝⎛211，作圆122=+y x 的切线，切点分别为A 、B ，直线AB 恰好过椭圆的右焦点和上顶点，求椭圆的方程．分析如下：由上述结论2可得切点弦AB 的直线方程为121=+y x ，因此可得右焦点为 )01(，，上顶点为)20(，，即1=c ，1=b ，故椭圆的方程为14522=+y x ． 应用2：（补充）（2012年福建省厦门一中模拟试题）设P 是抛物线x y 22=上的一个动点，过点P 作抛物线的切线与圆：122=+y x 相交于M 、N ，分别过M 、N 作圆的切线相交于Q ，求动点Q 的轨迹方程．分析如下：设)(00y x P ，，)(11y x Q ，，显然0202x y =，由上述结论11可得过点)(00y x P ，的抛物线的切线MN 方程为00x x y y +=，再由上述结论2可得过点)(11y x Q ，572的圆的切点弦MN 直线方程为111=+y y x x ，依据两条直线重合，则对应项系数成比例得到101x x -=，110x y y -=，并代入0202x y =得到1212x y -=．联立方程组：122=+y x 与00x x y y +=得到012)1(2000220=-+-+x y y x y y ，利用判别式可得0>∆，即2100+<<x ，即211-<x ，故动点Q 的轨迹方程1212x y -=，且211-<x ，即动点Q 的轨迹方程x y 22-=（21-<x ）．应用1．（2010年浙江省高中会考试题）设点)(n m P ，在圆222=+y x 上，l 是过点P 的圆的切线，且切线l 与抛物线k x x y ++=2相交于A ，B ． （1）若2-=k ，点P 恰好是线段A B 的中点，求点P 坐标；分析如下：（1）由结论1可得切线l 的方程为2=+ny mx （0≠n ），设)(11y x A ，，)(22y x B ，，将切线l 的方程与抛物线方程联立可得0)1(2)(2=+-++n x n m nx⇒m nm x x =+-=+221⇒mn n m -=+． 将之与222=+n m 联立解得⎩⎨⎧-=-=11n m ，或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=231231n m ，或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=231231n m ． 代入0>∆验证可得)11(--，P ，)231231(+-，P ． （2）由（1）可得以A B 为底边的等腰三角形AOB 当且仅当点P 恰好是线段A B 的中点，等腰三角形AOB 恰有3个可相应地转化为点P 有三解，故只要（1）中的三个解都满足0>∆，可得2331--<k ． 应用2．（课本习题）求证：椭圆192522=+y x 与双曲线111522=-y x 在其交点处的切线相互垂直．573证明如下：易得椭圆与双曲线的焦点相同，由结论32即可得证．应用3．（2008年安徽省高考试题压轴题第22题）设椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a ）过点)1,2(M ，且左焦点)0,2(1-F ．（1）求该椭圆的方程；（2）当过点)1,4(P 的动直线l 与椭圆C 相交于不同两点A ，B ，在线段AB 上任取一点Q=Q 总在某条定直线上．分析如下：（1）由已知易得所求椭圆的方程为12422=+y x ． （2）直接利用结论33即可得证．应用4．（2008年江西省高考试题第21题）设点()00,P x y 在直线(),01x m y m m =≠±<<上，过点P 作双曲线221x y -=的两条切线PA PB 、，切点为A B 、，定点M (m1，0)． （1）过点A 作直线0x y -=的垂线，垂足为N ，试求△AMN 的重心G 所在的曲线方程；（2）求证：A M B 、、三点共线．分析如下：（1）（略）．（2）由结论10显然可得切点弦AB 所在的直线方程为100=-y y x x ，由于点P 的坐标为（m ，0y ），即m x =0，于是切点弦AB 所在的直线方程为10=-y y mx ，显然定点M (m1，0)满足该方程，于是三点A M B 、、共线． 值得注意的是： 其实，纵观近几年的高考试题，不难发现一个共同之处，那就是如果压轴题是解析几何，几乎其结论都是带有规律的普遍性结论，如2008年江西省高考试题第21题就是结论36的特例，2008年安徽省高考试题压轴题第22题就是结论33的一个特例．应用5．（2008年南通市第一次调研试题）已知点)10(，F ，点P 在x 轴上运动，点M 在y 轴上，N 为动点，且满足：0=⋅，PM +=． （1）求动点N 的轨迹C 的方程；（2）由直线1-=y 上一点Q 向曲线C 引两条切线，切点分别为A ，B ，求证：AQ ⊥BQ ．分析如下：（1）设)(y x N ，代入已知条件易得动点N 的轨迹C 的方程为y x 42=．574（2）显然直线1-=y 就是抛物线y x 42=的准线，由结论21可得AQ ⊥BQ ． 应用6．（2006全国高考试题）已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF →＝λFB →（λ＞0）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ．（2）设△ABM 的面积为S ，写出S ＝f (λ)的表达式，并求S 的最小值．证明如下：（1） F 点的坐标为(0,1)设点A 、点B 的坐标分别为211,4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭、222,4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由(0).AF FB λλ=>可得221212,1,144x x x x λ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒1222121(1)44x x x x λλ-=⎧⎪⎨-=-⎪⎩．由上述结论11可得过A 点、B 点的切线方程分别为2111()42x x y x x -=-，2222()42x x y x x -=-．（2）由（1）可得FM AB ⊥，我们易得2FM AB ==⇒2)(ABFM f S ⋅==λ=41213≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+λλ（当且仅当1λ=时取等号）．应用7．（2008年广东省（理科）高考试题）椭圆方程122222=+by b x （0>b ），抛物线方程为)(82b y x -=．如图所示，过点)20(+b F ，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 处的切线经过椭圆的右焦点1F ． （1）求满足条件的椭圆与抛物线方程；分析如下：（1）事实上，点)20(+b F ，就是抛物线的焦点，易得)24(+b G ，，由上述结论15易得抛物线在点G 处的切线方程为2-+=b x y ，显然椭圆的右焦点1F )0(，b ，575代入得到1=b ，故椭圆方程11222=+y x ，抛物线方程为)1(82-=y x ． （2）因为过点A 作x 轴的的垂线与抛物线只有一个交点P ，所以以PAB ∠为直角三角形只有一个；同理以PBA ∠为直角三角形也只有一个．若以APB ∠为直角，设⎪⎭⎫ ⎝⎛+1812x x P ，，因为)02(，-A ，)02(，B ，则有 ⋅=14564124-+x x =0． 易得上述方程只有两解，即以APB ∠为直角的三角形存在两个．综上所述，抛物线上存在四个这样的点P ，使得ABP ∆为直角三角形．应用8．证明结论39．证明如下：设椭圆上切点M )sin cos (ααb a ，，由结论7可得过点M 的切线方程为1sin cos 22=+byb a x a αα⇒ab y a x b =+ααsin cos ． 过右焦点且垂直于切线的直线方程为αααsin cos sin ac y b x a =-． 上述两式平方相加即可得证．四、一组巩固训练题练习1．从191622=-y x 的右焦点向双曲线的动切线引垂线，求垂足的轨迹图形的面积． 练习2．在直角坐标系中，O 为坐标原点，点)10(，B ，点)0(，a A （0≠a ）是x 轴上的动点，过点A 作线段AB 的垂线交y 轴于点D ，在直线AD 上取点P ，使得AD AP =． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）点Q 是直线1-=y 上的一个动点，过点Q 向曲线C 引两条切线，切点分别为M ，N ，求证：MQ ⊥NQ ．练习3．（2005年江西省高考试题）如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程； （2）证明∠PFA=∠PFB ．练习4．（2010年江西省九江一中模拟试题）开口向上的抛物线2:ax y C =与经过点)0,3(A 且斜率为)0(<k k 的直线l 相交于点M 、N ，已知抛物线C 在点M 、N 处的切线所成的576角为55arccos，并且18||||=AN AM ，求直线l 与抛物线C 的方程． 练习5．证明结论40．练习6．（2004年济南市高考模拟试题）过椭圆C ：14822=+y x 上一点)(00y x P ，向圆O ：422=+y x 引两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，若直线AB 与x 轴、y 轴相交于M 、N ．（1）试用0x ，0y 来表示直线AB 的方程； （2）求MON ∆面积的最小值．练习7．（2005年福建省模拟试题）从直线x y =上任一点P 引抛物线12+=x y 两条切线，切点分别为A ，B ，求弦AB 的中点Q 的轨迹方程．五、巩固训练题参考答案1．分析如下：由结论40可得垂足的轨迹方程为1622=+y x ，则图形面积为π16． 2．分析如下：（1）易得动点P 的轨迹C 的方程为y x 42=（0≠y ）．（2）显然直线1-=y 就是抛物线y x 42=的准线，由结论可得MQ ⊥NQ ．3．分析如下：（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(0121120x x x x x x ≠和，由上述结论11可得切线AP ，BP 的方程分别为为：02200=--x y x x ，02211=--x y x x ，解得10102x x y x x x P P =+=， ⇒P PG x x x x x =++=310，3310212010x x x x y y y y P G ++=++=343)(210210pP y x x x x x -=-+=⇒243GG p x y y +-=． 由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：57702)43(2=-+--x y x ⇒)24(312+-=x x y ．（2）).41,(),41,2(),41,(211101020-=-+=-=x x x x x x x x由于P 点在抛物线外，则0||≠，由此可得cos AFP =∠41)1)(1(102010010x x x x x x x x +=--+⋅+=． 同理可得||41cos 10FP x x BFP +=∠，故∠AFP=∠PFB ．4．分析如下：设),(211ax x M 、),(222ax x N ，不妨设M 在第一象限，N 在第二象限，由结论11可得抛物线在点M 处的切线斜率为12ax ，点N 处的切线斜率为22ax ，设两条切线所成的角为α，则2tan =α，即241)(221212=+-x x a x x a ⇔)(4112212x x a x x a -=+． ① 由于M 、N 、A 共线，所以33222121-=-x ax x ax ⇒)(32121x x x x += ． ②由已知18||||=⋅AN AM ，则有18),3(),3(222211=-⋅-ax x ax x ⇒933222122121=+--x x a x x x x ．将②代入得到922212=x x a ，又0>a ，01>x ，02>x ，则有321-=x ax ，a x x 321-=． ③将③代入②得到a x x 121-=+． ④将③代入①得到12112-=-ax x ． ⑤将③、④、⑤代入21221212)(4)(x x x x x x +=+-得到22)1()3(4)121(a a a -=-+-⇒41=a ，0=a （舍去）． 将41=a 代入④、⑤得6,221-==x x ．578故直线l 的方程为：3+-=x y ，抛物线C 的方程：241x y =． 5．证明如下：设双曲线上切点M )tan sec (ααb a ，，由结论9可得过点M 的切线方程为1tan sec 22=-byb a x a αα⇒ab y a x b =-ααtan sec ． 过右焦点且垂直于切线的直线方程为αααtan sec tan ac y b x a =+．上述两式平方相加即可得证．6．分析如下：（1）由结论2可得直线AB （切点弦）的方程为400=+y y x x ．（2）由（1）易得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛040，x M ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛040y N ，，则三角形面积公式及均值不等式可得 =S 008y x =⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛22222200y x 224822220=+≥yx ． 7．分析如下：设)(00y x P ，，)(y x Q ，，)(11y x A ，，)(22y x B ，，由结论12可得切点弦AB 的方程为1200+=+x x yx ，即02200=-+-x y x x ，与12+=x y 联立得到 012002=-+-x x x x ⇒0212x x x =+．)22()22(02001021x x x x x x y y -++-+=+=424020+-x x⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=+==+=222202021021x x y y y x x x x ⇒222+-=x x y ．。

圆锥曲线中的切点弦及其方程
切点弦是圆锥曲线中一种特殊的曲线，它与圆锥曲线的其余部分相交，一般用来描述圆锥曲线的结构。

换句话说，切点弦是一条交叉叉线，用以把圆锥曲线从上到下分开，这条交叉叉线有两个结束点，即切点，它们是圆锥曲线的拐点。

切点弦的方程为$y=\tan{\left(\frac{\pi}{2}-2\theta \right)}
\cot{\left(\frac{\pi}{2}-\theta \right)}$，其中$\theta$是圆锥曲线的拐点夹角。

可以看出，这条切点弦并不是一条匀速的曲线，而是在拐点处发生变化。

既然说到切点弦，就不得不提及它的应用。

切点弦可以用来测量圆锥曲线的拐点位置，可以测量圆锥曲线的斜率。

此外，它还可以用来模拟炮弹发射时的弹道，用来预测天气中的风向风速等。

从上述示例可以看出，切点弦对日常生活具有重要的意义，不仅可以应用在圆锥曲线的研究中，还可以应用在几何学、物理学以及数学模型等许多领域中。

而且，由于切点弦是一种简单的曲线，可以轻松计算出它的斜率，因此在分析圆锥曲线时非常有用。

总之，切点弦是一种详细地描述了圆锥曲线的曲线，它的方程式也清楚地表明，它是一条在拐点处的斜率发生变化的曲线，并且在研究圆锥曲线以及应用在几何学等领域中有着重要的意义。