第一讲电磁感应中的电路与电荷量问答

《电磁感应》中电容器充电、放电问题一、电容器充电问题1.如图所示，水平放置的两根平行光滑金属导轨相距40cm ，质量为0.1kg 的金属杆ab 垂直于导轨放于其上，导轨间接入电阻R ＝20Ω和电容C ＝500pF ，匀强磁场方向垂直于导轨平面竖直向下，磁感应强度B ＝1.0T ，现有水平向右的外力使ab 从静止开始以加速度a ＝5.0m ／s 2向右做匀加速运动，不计其他电阻和阻力，求：（1）电容器中的电流; （2）t ＝2s 时外力的大小．解析：（1）电容器中电流I C ＝t Q ∆∆ ① △Q ＝C·△U ②△U ＝BL △V ③a ＝tV ∆∆ ④ 由上四式可得：I C ＝CBLa ＝1×10－9A（2）当t ＝2s 时，V ＝at ＝10m/s ，电动势E ＝BLV ＝4V ，通过R 的电流I ＝E/R ＝0.2A ，远大于电容器的充电电流。

所以电容器电流可忽略不计。

由牛顿第二定律：F －BIL ＝ma 解得：F ＝0. 58N2.如图所示，两光滑导轨相距为L ，倾斜放置，与水平地面夹角为θ，上端接一电容为C 的电容器。

导轨上有一质量为m ，长为L 的导体棒平行于地面放置，导体棒离地面的高度为h ，磁感应强度为B 的匀强磁场与两导轨所决定的平面垂直，开始时电容器不带电。

将导体棒由静止释放，整个电路电阻不计，则：（ ）A ．导体棒先做加速运动，后作匀速运动B ．导体棒一直做匀加速直线运动，加速度为a ＝22sin L CB m mg +α C ．导体棒落地时瞬时速度v=222L CB m mgh + D ．导体棒下落中减少的重力势能转化为动能，机械能守恒解析：设Δt 时间内电容器的带电量增加Δq ，则：I=CBLa t v CBL t q =∆∆=∆∆ （1）又因为ma BIL mg =-αsin 得I=BL mamg -αsin （2）由（1）（2）得CBLa BL ma mg =-αsin解得a ＝22sin L CB m mg +α，所以B 选项正确R C a bF 图3-3-4由22222sin sin 22L CB m mgh h L CB m mg aL v +=∙+==αα，所以C 选项正确。

电磁感应中的能量转化及电荷量问题一、电磁感应电路中电荷量的求解回路中磁通量发生变化时，电荷发生定向移动而形成感应电流，在Δt内迁移的电荷量(感应电荷量)为q＝I·Δt＝ER·Δt＝nΔΦΔt·1R·Δt＝nΔΦR.其中n为匝数，R为总电阻．从上式可知，线圈匝数一定时，感应电荷量仅由回路电阻和磁通量的变化量决定，与时间无关．例1如图X31所示，导线全部为裸导线，半径为r的圆内有垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度为B，一根长度大于2r的导线MN以速度v在圆环上无摩擦地自左向右匀速滑动，电路的固定电阻为R，其余电阻忽略不计．试求MN从圆环的左端滑到右端的过程中电阻R上的电流的平均值及通过的电荷量．πBrv2RBπr2R[解析]由于ΔΦ＝B·ΔS＝B·πr2，完成这一变化所用的时间Δt＝2rv，故E＝ΔΦΔt＝πBrv2，所以电阻R上的电流的平均值为I＝ER＝πBrv2R，通过R的电荷量为q＝I·Δt＝Bπr2R.二、电磁感应中的能量转化问题1．电磁感应中能量的转化电磁感应过程实质是不同形式的能量相互转化的过程，电磁感应过程中产生感应电流，在磁场中必定受到安培力作用，因此要维持感应电流，必须有“外力”克服安培力做功．此过程中，其他形式的能转化为电能．“外力”克服安培力做多少功，就有多少其他形式的能转化为电能．当感应电流通过用电器时，电能又转化为其他形式的能．可以简化为下列形式：同理，电流做功的过程，是电能转化为其他形式的能的过程，电流做了多少功就有多少电能转化为其他形式的能．2．解决电磁感应能量转化问题的基本方法(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律确定感应电动势的大小和方向；(2)画出等效电路，求出回路中电阻消耗电能的表达式；(3)分析导体机械能的变化，用能量守恒关系得到机械能的改变与回路中电能的改变所满足的方程．例2如图X32所示，固定的水平光滑金属导轨间距为L，左端接有阻值为R的电阻，处在方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中，质量为m的导体棒与固定弹簧相连，放在导轨上，导轨与导体棒的电阻可忽略．初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有水平向右的初速度v 0.在沿导轨往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触．(1)求初始时刻导体棒受到的安培力．(2)若导体棒从初始时刻到速度第一次为零时，弹簧弹性势能的增加量为E p ，则这一过程中安培力所做的功W 1和电阻R 上产生的热量Q 1分别为多少？(3)导体棒往复运动，最终将静止于何处？从导体棒开始运动直到最终静止的过程中，电阻R 上产生的热量Q 为多少？(1)B 2L 2v 0R ，方向水平向左 (2)E p －12mv 20 12mv 20－E p (3)初始位置 12mv 20[解析] (1)初始时刻导体棒中的感应电动势E ＝BLv 0，棒中的感应电流I ＝E R， 作用于棒上的安培力F 安＝BIL ，联立以上各式得F 安＝B 2L 2v 0R ，安培力方向水平向左．(2)由功能关系得，安培力做功W 1＝E p －12mv 20， 电阻R 上产生的热量Q 1＝12mv 20－E p . (3)由能量转化及平衡条件可知，棒最终静止于初始位置，电阻R 上产生的热量Q ＝12mv 20. 2．(电磁感应中的能量转化问题)(多选)如图X34所示，两根电阻不计的光滑平行金属导轨倾角为θ，导轨下端接有电阻R ，匀强磁场垂直斜面向上．质量为m 、电阻不计的金属棒ab 与导轨垂直并保持良好接触，在沿斜面与棒垂直的恒力F 作用下沿导轨匀速上滑，上升高度为h ，在这个过程中( )A ．金属棒所受各力的合力所做的功等于零B ．金属棒所受各力的合力所做的功等于mgh 和电阻R 上产生的热量之和C ．恒力F 做的功与导体棒所受重力做的功之和等于棒克服安培力所做的功与电阻R 上产生的热量之和D ．恒力F 做的功与导体棒所受重力做的功之和等于电阻R 上产生的热量AD [解析] 金属棒匀速上升的过程有三个力做功：恒力F 做正功，重力G 、安培力F 安做负功．根据动能定理，有W ＝W F ＋W G ＋W 安＝0，故A 对，B 错；恒力F 做的功与金属棒所受重力做的功之和等于金属棒克服安培力做的功，而金属棒克服安培力做的功等于回路中电能(最终转化为热量)的增加量，克服安培力做的功与热量不能重复考虑，故C 错，D 对．3．(电磁感应中的能量转化问题)如图X35所示，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距1 m ，导轨平面与水平面成θ＝37°角，下端连接阻值为R 的电阻．匀强磁场方向与导轨平面垂直，质量为0.2 kg 、电阻不计的金属棒放在两导轨上，棒与导轨垂直并保持良好接触，它们之间的动摩擦因数为0.25.(1)求金属棒沿导轨由静止开始下滑时的加速度大小．(2)当金属棒下滑速度达到稳定时，电阻R 消耗的功率为8 W ，求该速度的大小．(3)在上问中，若R ＝2 Ω，金属棒中的电流方向由a 到b ，求磁感应强度的大小与方向．(g 取10 m /s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(1)4 m /s 2 (2)10 m /s (3)0.4 T 方向垂直导轨平面向上[解析] (1)金属棒开始下滑时的速度为零，根据牛顿第二定律得mg sin θ－μmg cos θ＝ma ，解得a ＝10×(0.6－0.25×0.8) m /s 2＝4 m /s 2.(2)设金属棒运动达到稳定时，速度为v ，所受安培力为F 安，棒在沿导轨方向受力平衡，有mg sin θ－μmg cos θ－F 安＝0，此时金属棒克服安培力做功的功率等于电路中电阻R 消耗的电功率，即F 安v ＝P ，联立解得v＝PF安＝80.2×10×（0.6－0.25×0.8）m/s＝10 m/s.(3)设电路中电流为I，两导轨间金属棒的长为l，磁场的磁感应强度为B，则I＝Blv R，P＝I2R，联立解得B＝PRvl＝8×210×1T＝0.4 T，由楞次定律可知磁场方向垂直导轨平面向上．。

电磁感应中的电路问题一、基础知识 1、内电路和外电路(1)切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的线圈都相当于电源． (2)该部分导体的电阻或线圈的电阻相当于电源的内阻，其余部分是外电路． 2、电源电动势和路端电压(1)电动势：E ＝Blv 或E ＝n ΔΦΔt .(2)路端电压：U ＝IR ＝E －Ir . 3、对电磁感应中电源的理解(1)电源的正负极、感应电流的方向、电势的高低、电容器极板带电问题，可用右手定则或楞次定律判定．(2)电源的电动势的大小可由E ＝Blv 或E ＝n ΔΦΔt 求解．4、对电磁感应电路的理解(1)在电磁感应电路中，相当于电源的部分把其他形式的能通过电流做功转化为电能． (2)“电源”两端的电压为路端电压，而不是感应电动势． 5、解决电磁感应中的电路问题三步曲（1）确定电源．切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势，该导体或回路就相当于电源，利用E ＝n ΔΦΔt 或E ＝Blv sin θ求感应电动势的大小，利用右手定则或楞次定律判断电流方向．（2）分析电路结构(内、外电路及外电路的串、并联关系)，画出等效电路图． （3）利用电路规律求解．主要应用欧姆定律及串、并联电路的基本性质等列方程求解． 二、练习1、[对电磁感应中等效电源的理解]粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框置于有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面，其边界与正方形线框的边平行．现使线框以同样大小的速度沿四个不同方向平移出磁场，如图所示，则在移出过程中线框一边a 、b 两点间的电势差绝对值最大的是( )答案 B解析 线框各边电阻相等，切割磁感线的那个边为电源，电动势相同均为Blv .在A 、C 、D 中，U ab ＝14Blv ，B 中，U ab ＝34Blv ，选项B 正确．2、如图所示，竖直平面内有一金属环，半径为a ，总电阻为R (指拉直时两端的电阻)，磁感应强度为B 的匀强磁场垂直穿过环平面，与环的最高点A 铰链连接的长度为2a 、电阻为R2的导体棒AB 由水平位置紧贴环面摆下，当摆到竖直位置时，B 点的线速度为v ，则这时AB 两端的电压大小为( )A.Bav3B.Bav6C.2Bav3D ．Bav答案 A解析 摆到竖直位置时，AB 切割磁感线的瞬时感应电动势E ＝B ·2a ·(12v )＝Bav .由闭合电路欧姆定律得，U AB ＝ER 2＋R 4·R 4＝13Bav ，故选A. 3、如图所示，两根足够长的光滑金属导轨水平平行放置，间距为l ＝1 m ，cd 间、de 间、cf 间分别接阻值为R ＝10 Ω的电阻．一阻值为R ＝10 Ω的导体棒ab 以速度v ＝4 m/s匀速向左运动，导体棒与导轨接触良好；导轨所在平面存在磁感应强度大小为B ＝0.5 T 、方向竖直向下的匀强磁场．下列说法中正确的是( )A ．导体棒ab 中电流的流向为由b 到aB ．cd 两端的电压为1 VC ．de 两端的电压为1 VD ．fe 两端的电压为1 V 答案 BD解析 由右手定则可判知A 选项错；由法拉第电磁感应定律E ＝Blv ＝0.5×1×4 V ＝2 V ，U cd ＝R R ＋RE ＝1 V ，B 正确；由于de 、cf 间电阻没有电流流过，故U cf ＝U de ＝0，所以U fe＝U cd ＝1 V ，C 错误，D 正确．4、如图所示，MN 、PQ 是间距为L 的平行金属导轨，置于磁感应强度为B 、方向垂直导轨所在平面向里的匀强磁场中，M 、P 间接有一阻值为R 的电阻．一根与导轨接触良好、有效阻值为R2的金属导线ab 垂直导轨放置，并在水平外力F 的作用下以速度v 向右匀速运动，则(不计导轨电阻)( )A ．通过电阻R 的电流方向为P →R →MB ．a 、b 两点间的电压为BLvC ．a 端电势比b 端电势高D ．外力F 做的功等于电阻R 上产生的焦耳热 答案 C解析 由右手定则可知通过金属导线的电流由b 到a ，即通过电阻R 的电流方向为M →R →P ，A 错误；金属导线产生的感应电动势为BLv ，而a 、b 两点间的电压为等效电路路端电压，由闭合电路欧姆定律可知，a 、b 两点间电压为23BLv ，B 错误；金属导线可等效为电源，在电源内部，电流从低电势流向高电势，所以a 端电势高于b 端电势，C 正确；根据能量守恒定律可知，外力F 做的功等于电阻R 和金属导线产生的焦耳热之和，D 错误．5、如图所示，两光滑平行金属导轨间距为L ，直导线MN 垂直跨在导轨上，且与导轨接触良好，整个装置处在垂直于纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度为B .电容器的电容为C ，除电阻R 外，导轨和导线的电阻均不计．现给导线MN 一初速度，使导线MN 向右运动， 当电路稳定后，MN 以速度v 向右做匀速运动时( )A ．电容器两端的电压为零B ．电阻两端的电压为BLvC ．电容器所带电荷量为CBLvD ．为保持MN 匀速运动，需对其施加的拉力大小为B 2L 2vR答案 C解析 当导线MN 匀速向右运动时，导线MN 产生的感应电动势恒定，稳定后，电容器既不充电也不放电，无电流产生，故电阻两端没有电压，电容器两极板间的电压为U ＝E ＝BLv ，所带电荷量Q ＝CU ＝CBLv ，故A 、B 错，C 对；MN 匀速运动时，因无电流而不受安培力，故拉力为零，D 错．6、如图所示，垂直纸面的正方形匀强磁场区域内，有一位于纸面且电阻均匀的正方形导体框abcd ，现将导体框分别朝两个方向以v 、3v 速度匀速拉出磁场，则导体框从两个方向移出磁场的两过程中( )A ．导体框中产生的感应电流方向相同B ．导体框中产生的焦耳热相同C ．导体框ad 边两端电势差相同D ．通过导体框截面的电荷量相同 答案 AD解析 由右手定则可得两种情况导体框中产生的感应电流方向相同，A 项正确；热量Q＝I 2Rt ＝(Blv R )2R ·l v ＝B 2l 3vR，可知导体框产生的焦耳热与运动速度有关，B 项错误；电荷量q ＝It ＝Blv R ·l v ＝Bl 2R，故通过截面的电荷量与速度无关，电荷量相同，D 项正确；以速度v 拉出时，U ad ＝14Blv ，以速度3v 拉出时，U ad ＝34Bl ·3v ，C 项错误．7、两根平行的长直金属导轨，其电阻不计，导线ab 、cd 跨在导轨上且与导轨接触良好，如图所示，ab 的电阻大于cd 的电阻，当cd 在外力F 1(大小)的作用下，匀速向右运动时，ab 在外力F 2(大小)的作用下保持静止，那么在不计摩擦力的情况下(U ab 、U cd 是导线与导轨接触间的电势差)( )A ．F 1>F 2，U ab >U cdB ．F 1<F 2，U ab ＝U cdC ．F 1＝F 2，U ab >U cdD ．F 1＝F 2，U ab ＝U cd答案 D解析 通过两导线电流强度一样，两导线都处于平衡状态，则F 1＝BIl ，F 2＝BIl ，所以F 1＝F 2，A 、B 错误；U ab ＝IR ab ，这里cd 导线相当于电源，所以U cd 是路端电压，U cd ＝IR ab ，即U ab ＝U cd ，故D 正确．8、把总电阻为2R 的均匀电阻丝焊接成一半径为a 的圆环，水平固定在竖直向下的磁感应强度为B 的匀强磁场中，如图所示，一长度为2a 、电阻等于R 、粗细均匀的金属棒MN 放在圆环上，它与圆环始终保持良好的接触．当金属棒以恒定速度v 向右移动经过环心O 时，求： (1)棒上电流的大小和方向及棒两端的电压U MN ； (2)圆环和金属棒上消耗的总热功率． 答案 (1)4Bav 3R ，从N 流向M 2Bav3(2)8B 2a 2v23R解析 (1)把切割磁感线的金属棒看成一个内阻为R 、电动势为E 的电源，两个半圆环看成两个并联的相同电阻，画出等效电路图如图所示． 等效电源电动势为E ＝Blv ＝2Bav 外电路的总电阻为R 外＝R 1R 2R 1＋R 2＝12R棒上电流大小为I ＝ER 外＋R ＝2Bav 12R ＋R ＝4Bav 3R电流方向从N 流向M .根据分压原理，棒两端的电压为U MN ＝R 外R 外＋R ·E ＝23Bav .(2)圆环和金属棒上消耗的总热功率为P ＝IE ＝8B 2a 2v 23R.9、如图4(a)所示，水平放置的两根平行金属导轨，间距L ＝0.3 m ，导轨左端连接R ＝0.6 Ω的电阻，区域abcd 内存在垂直于导轨平面B ＝0.6 T 的匀强磁场，磁场区域宽D ＝0.2 m ．细金属棒A 1和A 2用长为2D ＝0.4 m 的轻质绝缘杆连接，放置在导轨平面上，并与导轨垂直，每根金属棒在导轨间的电阻均为r ＝0.3 Ω.导轨电阻不计．使金属棒以恒定速度v ＝1.0 m/s 沿导轨向右穿越磁场．计算从金属棒A 1进入磁场(t ＝0)到A 2离开磁场的时间内，不同时间段通过电阻R 的电流强度，并在图(b)中画出．解析 t 1＝Dv＝0.2 s在0～t 1时间内，A 1产生的感应电动势E 1＝BLv ＝0.18 V. 其等效电路如图甲所示． 由图甲知，电路的总电阻甲R 总＝r ＋rR r ＋R ＝0.5 Ω 总电流为I ＝E 1R 总＝0.36 A通过R 的电流为I R ＝I3＝0.12 AA 1离开磁场(t 1＝0.2 s)至A 2刚好进入磁场(t 2＝2Dv ＝0.4 s)的时间内，回路无电流，I R ＝0，乙从A 2进入磁场(t 2＝0.4 s)至离开磁场t 3＝2D ＋Dv＝0.6 s 的时间内，A 2上的感应电动势为E 2＝0.18 V ，其等效电路如图乙所示．由图乙知，电路总电阻R 总′＝0.5 Ω，总电流I ′＝0.36 A ，流过R 的电流I R ＝0.12 A ，综合以上计算结果，绘制通过R 的电流与时间关系如图所示．10、(2011·重庆理综·23)有人设计了一种可测速的跑步机，测速原理如图所示．该机底面固定有间距为L 、长度为d 的平行金属电极．电极间充满磁感应强度为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场，且接有电压表和电阻R .绝缘橡胶带上镀有间距为d 的平行细金属条，磁场中始终仅有一根金属条，且与电极接触良好，不计金属电阻．若橡胶带匀速运动时，电压表读数为U ，求： (1)橡胶带匀速运动的速率； (2)电阻R 消耗的电功率；(3)一根金属条每次经过磁场区域克服安培力做的功．答案 (1)U BL (2)U 2R (3)BLUd R解析 (1)设该过程产生的感应电动势为E ，橡胶带运动速率为v . 由：E ＝BLv ，E ＝U ，得：v ＝U BL. (2)设电阻R 消耗的电功率为P ，则P ＝U 2R.(3)设感应电流大小为I ，安培力为F ，克服安培力做的功为W . 由：I ＝U R ，F ＝BIL ，W ＝Fd ，得：W ＝BLUdR.。

浅谈电磁感应中的电量问题江西省铅山一中陈志锋一、在电磁感应现象中，只要穿过闭合电路的磁通量发生变化，闭合电路中就会产生感应电流，设在时间△t内通过导线横截面的电荷电量为q，则根据电流的定义式I=q/△t及法拉第电磁感应定律E= n△φ/△t，得q= △t=E△t/R总=n△φ△t/R总△t=n△φ/R总。

如果闭合电路是一个单匝线圈(n=1)，则q=△φ/R总。

由该式可知，在△t时间内通过导线横截面的电量由电路总电阻与磁通量变化决定，与发生磁通变化时间△t无关。

例1：（06年高考全国卷I）如图，在匀强磁场中固定放置一根串接一电阻R的直角金属形导轨aob（在纸面内），磁场方向垂直于纸面朝里，另有两根平行金属导轨c、d分别平行于oa、ob放置。

保持导轨之间接触良好，金属导轨的电阻不计。

现经历以下四个过程：(1)以速率V移动d，使它与ob的距离增大一倍；(2)再以速率V移动c，使它与oa的距离减小一半；(3)然后，再以速率2V移动C，使它回到原处；(4)最后以速率2V移动d，使它也回到原处，设上述四个过程中通过电阻R的电量大小依次为Q1、Q2、Q3和Q4，则A、Q1=Q2=Q3=Q4B、Q1=Q2=2Q3=2Q4C、2Q1=2Q2=Q3=Q4D、Q1≠Q2≠Q3≠Q4解析：经历题中所叙述的四个过程，闭合回路的面积都发生了变化，通过电阻的电量为Q=△φ/R=B△S/R，通过电阻的电量只与过程前后面积的变化量△S有关，与完成这一过程的速度无关。

设原来回路的面积为S，第一个过程将d移动使它与ob距离增大一倍，面积变为2S，变化量为S，第二个过程将c移动到与oa距离减小一半，面积又从2S变为S，变化量仍然为S，第三个过程将c移回原处，面积从S变为2S，变化量还是S，第四个过程将d移回原处，面积从2S 变为S，变化量也是S。

不难看出，四个过程中通过电阻的电量应该相等，故应选A。

二、在导体棒切割磁感应线发生电磁感应中，设在某段时间△t 内流过导体棒的电量为q，导体棒在运动方向上只受到安培力，则由动量定理得：F 安·△t=△p,而F安=B L。

2025版《南方凤凰台5A 教案基础版物理第11章 电磁感应含答案微专题17 电磁感应中的电路和图像问题 电磁感应中的电路与电荷量问题 1．内电路和外电路(1) 切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的线圈都相当于电源．(2) 该部分导体的电阻或线圈的电阻相当于电源的内阻，其余部分是外电路．2．电磁感应中电路知识关系图3．解决电磁感应中的电路问题三步骤4．电磁感应中电荷量的两个计算公式(1) q ＝I t (该公式适用于电流恒定的情况，若电流变化应用电流的平均值).(2) q ＝I t ＝n ΔΦR ＋r. (2024·金陵中学)如图所示，竖直平面内有一金属环，半径为a ，总电阻为R (指拉直时两端的电阻)，磁感应强度为B 的匀强磁场垂直穿过环平面，与环的最高点A 铰链连接的长度为2a 、电阻为R 2的导体棒AB 由水平位置紧贴环面摆下，当摆到竖直位置时，B 点的线速度为v .此时AB 两端的电压大小为( D )A ．Ba vB ．Ba v 6C ．2Ba v 3D ．Ba v 3解析：导体棒AB 由水平位置紧贴环面摆下，当摆到竖直位置时，B 点的线速度为v ，感应电动势大小为E ＝B ·2a ·v ＋02＝Ba v ，分析电路特点知，外电路相当于是R 2的两个电阻并联，则R 并＝R22＝R 4，故此时AB 两端的电压大小为U ＝R4R 2＋R 4·E ＝Ba v 3，故选D.类题固法11．如图所示，有一个磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，一半径为r 、电阻为2R 的金属圆环放置在磁场中，金属圆环所在的平面与磁场垂直．金属杆Oa 一端可绕环的圆心O 旋转，另一端a 搁在环上，电阻值为R ；另一金属杆Ob 一端固定在O 点，另一端b 固定在环上，电阻值也是R .已知Oa 杆以角速度ω匀速旋转，所有接触点接触良好，Ob 不影响Oa 的转动，则下列说法中错误的是( C )A ．流过Oa 的电流可能为B ωr 25RB ．流过Oa 的电流可能为 6B ωr 225RC ．Oa 旋转时产生的感应电动势的大小为B ωr 2D ．Oa 旋转时产生的感应电动势的大小为 12B ωr 2解析：Oa 旋转时产生的感应电动势的大小为E ＝12B ωr 2，D 正确，C 错误；当Oa 旋转到与Ob 共线但不重合时，等效电路如图甲所示，此时有I min ＝E 2.5R ＝B ωr 25R ，当Oa 与Ob 重合时，环的电阻为0，等效电路如图乙所示，此时有I max＝E 2R ＝B ωr 24R ，所以B ωr 25R ≤I ≤B ωr 24R ，A 、B 正确．2．如图所示，由某种粗细均匀的总电阻为3R 的金属条制成的矩形线框abcd ，固定在水平面内且处于方向竖直向下的匀强磁场中．一接入电路电阻为R 的导体棒PQ ，在水平拉力作用下沿ab 、dc 以速度v 匀速滑动，滑动过程PQ 始终与ab 垂直，且与线框接触良好，不计摩擦．在PQ 从靠近ad 处向bc 滑动的过程中( C )A ．PQ 中电流先增大，后减小B ．PQ 两端电压先减小，后增大C ．PQ 上拉力的功率先减小，后增大D ．线框消耗的电功率先减小，后增大解析：设PQ 左侧金属线框的电阻为r ，则右侧电阻为3R －r ，PQ 相当于电源，其电阻为R ，则电路的外电阻为R 外＝r (3R －r )r ＋(3R －r )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫r －3R 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3R 223R ，当r ＝3R 2时，R 外max ＝34R ，此时，PQ 处于矩形线框的中心位置，即PQ 从靠近ad 处向bc 滑动的过程中外电阻先增大，后减小，PQ 中的电流为干路电流I ＝E R 外＋R 内，可知干路电流先减小，后增大，A 错误；PQ 两端的电压为路端电压U ＝E －U 内，因E ＝Bl v 不变，U 内＝IR 先减小，后增大，所以路端电压先增大，后减小，B 错误；拉力的功率大小等于安培力的功率大小，P ＝F 安v ＝BIl v ，可知因干路电流先减小，后增大，PQ 上拉力的功率也先减小，后增大，C 正确；线框消耗的电功率即为外电阻消耗的功率，因外电阻最大值为34R ，小于内阻R ，根据电源的输出功率与外电阻大小的变化关系，外电阻越接近内阻时，输出功率越大，可知线框消耗的电功率先增大，后减小，D错误．电磁感应中的图像问题1．图像问题图像类型(1) 磁感应强度B，磁通量Φ，感应电动势E和感应电流I随时间t变化的图像，即B-t图像、Φ-t图像、E-t图像和I-t图像(2) 对于切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及感应电动势E和感应电流I随导体位移x变化的图像，即E-x图像和I-x图像问题类型(1) 由给定的电磁感应过程选出或画出正确的图像(2) 由给定的有关图像分析电磁感应过程，求解相应的物理量应用知识右手定则、安培定则、楞次定律、法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律和相关数学知识等2．分析方法3．电磁感应中图像类选择题的两种常见解法(1) 排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的变化趋势(增大还是减小)、变化快慢(均匀变化还是非均匀变化)，特别是物理量的正负，排除错误的选项．(2) 函数法：根据题目所给条件定量地写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图像作出分析和判断，这未必是最简捷的方法，但却是最有效的方法．(2023·如皋期末)如图所示，等边三角形金属框的一个边与有界磁场边界平行，金属框在外力F作用下以垂直于边界的速度匀速进入磁场，则线框进入磁场的过程中，线框中的感应电流i、外力大小F、线框中电功率的瞬时值P、通过导体某横截面的电荷量q与时间t的关系可能正确的是(C)A B C D解析：设线框边长为L 0，则切割磁感线的有效长度为L ＝L 0－2v t tan 60°＝L 0－23v t 3，感应电流为I ＝B ⎝ ⎛⎭⎪⎫L 0－23v t 3v R＝BL 0v R －23B v 2t 3R ，可知感应电流随时间均匀减小，A 错误；金属框匀速运动，外力与安培力平衡，外力大小为F ＝BIL＝B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫L 0－23v t 32v R可知，外力随时间的图像为抛物线，B 错误；电功率为P ＝I 2R ＝B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫L 0－23v t 32v 2R 可知，电功率随时间的图像为开口向上的抛物线，C 正确；根据E ＝ΔΦΔt，I ＝E R ，q ＝I t ，得q ＝ΔΦR ＝B ΔS R ，磁场通过线框的有效面积随时间变化关系为ΔS ＝12(L ＋L 0)v t ＝L 0v t －3v 2t 23，得q ＝B R ⎝⎛⎭⎪⎫L 0v t －3v 2t 23，可知通过导体某横截面的电荷量随时间的图像为开口向下的抛物线，D 错误．类题固法21．如图所示，边长为2L 的等边三角形区域abc 内部的匀强磁场垂直纸面向里，b 点处于x 轴的坐标原点O ；一与三角形区域abc 等高的直角闭合金属线框ABC ，∠ABC ＝60°，BC 边处在x 轴上．现让线框ABC 沿x 轴正方向以恒定的速度穿过磁场，在t ＝0时，线框B 点恰好位于原点O 的位置．规定逆时针方向为线框中感应电流的正方向，下列能正确表示线框中感应电流i 随位移x 变化关系的是( D )A B C D解析：线框从0～L 过程，产生逆时针方向的电流，有效长度从0增大到32L ，故电流逐渐变大；从L ～2L 过程，产生逆时针方向的电流，有效长度从32L 逐渐减小到0，故电流逐渐变小；从2L ～3L 过程，产生顺时针方向的电流，有效长度从3L 逐渐减小到0，故电流逐渐变小；故D 正确．2．如图所示，竖直放置的U 形光滑导轨与一电容器串联，导轨平面有垂直于纸面的匀强磁场，金属棒ab 与导轨接触良好，由静止释放后沿导轨下滑．电容C 足够大，原来不带电，不计一切电阻．设金属棒的速度为v 、动能为E k 、两端的电压为U ab 、电容器上的电荷量为q ，它们与时间t 、位移x 的关系图像正确的是( B )A B C D解析：设导轨间距为L ，释放后电容器充电，电路中充电电流i ，棒受到向上的安培力，设瞬时加速度为a ，根据牛顿第二定律得mg －BiL ＝ma ，i ＝ΔQ Δt＝C ·ΔU Δt ＝C ·BL Δv Δt ＝CBLa ，由此得mg －BLCBLa ＝ma ，解得a ＝mg m ＋B 2L 2C ，可见加速度不变，做匀加速直线运动，即v ＝at ，U ab ＝BL v ＝BLat ，故A 、C 错误；根据E k ＝12m v 2＝12m ·2ax ，故B 正确；根据q ＝CU ab ＝BCLat ，与时间成正比，即与位移不是正比关系，故D 错误．配套精练一、 选择题1．如图所示，垂直纸面的正方形匀强磁场区域内，有一位于纸面的正方形导体框abcd ，现将导体框分别朝两个方向以v 、3v 速度匀速拉出磁场，则导体框从两个方向移出磁场的两个过程中( C )A ．导体框中产生的感应电流方向相反B ．导体框ad 边两端电势差之比为1∶3C ．导体框中产生的焦耳热之比为1∶3D ．通过导体框截面的电荷量之比为1∶3解析：将线圈拉出磁场的过程中，穿过线圈的磁通量都减小，由楞次定律判断出感应电流的方向都沿逆时针方向，A 错误；设正方形的边长为L ，线圈以v运动时，dc 边产生的感应电动势为E 1＝BL v ，ad 边两端电势差为U 1＝14E 1＝14BL v ；线圈以3v 运动时，ad 边产生感应电动势为E 2＝3BL v ，ad 边两端电势差为U 2＝34E 2＝94BL v ，电势差之比为U 1∶U 2＝1∶9，B 错误；线圈以v 运动时，产生的焦耳热为Q 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫E 1R 2·R ·L v ＝B 2L 3v R ，线圈以3v 运动时，产生的焦耳热为Q 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫E 2R 2·R ·L 3v ＝3B 2L 3v R ，焦耳热之比为Q 1∶Q 2＝1∶3，C 正确；将线圈拉出磁场的过程中，穿过线圈的磁通量的变化量相同，根据q ＝ΔΦR 可知，通过导体框截面的电荷量相同，D 错误．2．(2023·金陵中学)如图所示，宽为2L 的两条平行虚线间存在垂直纸面向里的匀强磁场．金属线圈位于磁场左侧，线圈平面与磁场方向垂直，af 、de 、bc 边与磁场边界平行，ab 、bc 、cd 、de 边长为L ，ef 、fa 边长为2L .线圈向右匀速通过磁场区域，以de 边刚进入磁场时为计时零点，则线圈中感应电流随时间变化的图线可能正确的是(感应电流的方向顺时针为正)(A)A B C D解析：第一阶段：从de边进入磁场到bc边将进入磁场这段时间内，de边切割磁感线产生感应电动势大小为E1＝BL v，感应电流方向为逆时针即负方向，设此阶段的电流大小为I1；第二阶段：从bc边进入磁场到af边将进入磁场这段时间内，de、bc边一起切割磁感线产生总的感应电动势大小为E2＝2BL v，感应电流大小I2＝2I1，方向仍为逆时针即负方向；第三阶段：从de边离开磁场到bc边将离开磁场这段时间内，bc、af边一起切割磁感线产生总的感应电动势大小为E3＝BL v，感应电流大小I3＝I1，方向为顺时针即正方向；第四阶段：从bc边离开磁场到af边将离开磁场这段时间内，af边切割磁感线产生的感应电动势大小为E4＝2BL v，感应电流大小I4＝2I1，方向仍为顺时针即正方向．综上，感应电流随时间变化的图线如选项A图所示，故选A.3．(2023·宿迁期末)如图所示，倾斜放置的光滑平行足够长的金属导轨MN、PQ间静置一根质量为m的导体棒，阻值为R的电阻接在M、P间，其他电阻忽略不计，磁感应强度为B的匀强磁场垂直导轨平面向下．t＝0时对导体棒施加一个沿导轨平面向上的力F，使得导体棒能够从静止开始向上做匀加速直线运动，则在导体棒向上运动的过程中，施加的力F、力F的功率P、产生的感应电流I、电阻R上产生的热量Q随时间变化的图像正确的是(A)A B C D解析：导体棒向上做匀加速运动，则F －B 2L 2at R ＝ma ，即F ＝B 2L 2a R t ＋ma ，故A 正确；力F 的功率P ＝F v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫B 2L 2a R t ＋ma at ＝B 2L 2a 2R t 2＋ma 2t ，则P -t 图像为开口向上的抛物线，故B 错误；产生的感应电流I ＝BLat R ，则I -t 图像是过原点的直线，故C 错误；电阻R 上产生的热量Q ＝I 2Rt ＝B 2L 2a 2t 3R ，则 Q -t 图像一定不是过原点的直线，故D 错误．4．(2023·金陵中学)如图所示，平行金属导轨与水平面成θ角，导轨与固定电阻R 1和R 2相连，匀强磁场垂直穿过导轨平面．有一导体棒ab ，质量为m ，导体棒的电阻与固定电阻R 1和R 2的阻值均相等，与导轨之间的动摩擦因数为μ，导体棒ab 沿导轨向上滑动，当上滑的速度为v 时，受到安培力的大小为F .下列说法中错误的是( A )A ．电阻R 1的电功率为 F v 3B ．电阻R 2的电功率为 F v 6C ．整个装置因摩擦而产生的热功率为μmg v cos θD ．整个装置消耗的机械功率为 (F ＋μmg cos θ)v解析：设ab 长度为L ，磁感应强度为B ，电阻均为R ，电路中感应电动势为E ＝BL v ，R 1、R 2并联电阻大小为R ′＝R ·R R ＋R ＝R 2，ab 中感应电流为I ＝E R ＋R ′，解得ab 所受安培力为F ＝2B 2L 2v 3R ，电阻R 1消耗的热功率为P 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫I 22R ＝B 2L 2v 29R ＝16F v ，电阻R 2消耗的功率与R 1消耗的功率相等，故A 错误，B 正确；整个装置因摩擦而消耗的热功率为P 2＝μmg cos θ·v ＝μmg v cos θ，故C 正确；整个装置消耗的机械功率为P 3＝F v ＋P 2＝(F ＋μmg cos θ)v ，故D 正确．5．(2023·南通适应性考试)如图所示，竖直向下的匀强磁场中水平放置两足够长的光滑平行金属导轨，导轨的左侧接有电容器，金属棒静止在导轨上，棒与导轨垂直，t ＝0时，棒受到水平向右的恒力F 作用，t ＝t 0时，撤去F ，则棒的速度v 、电容器所带的电荷量q 、棒中安培力的冲量I 、棒克服安培力做的功W 与时间t 的关系图像正确的是( D )A B C D解析：设某一时刻t ，根据牛顿第二定律有F －F 安＝ma ，设该时刻电流大小为i ，则F 安＝BiL ，F －BiL ＝ma ，在很短时间间隔内ΔQ ＝i ·Δt ，ΔQ ＝C ·ΔU ，ΔU ＝BL ·Δv ，联立可得i ＝BLC Δv Δt＝BLCa ，结合前式可得F －B 2L 2Ca ＝ma ，可得a ＝F m ＋B 2L 2C ，v ＝at ＝F ·t m ＋B 2L 2C，可知t 0之前金属棒做匀加速运动，即v -t 图像为一倾斜直线．撤去力F 后感应电动势等于电容器两端电压，电容器不再充电，电流为零，开始做匀速运动，A 错误；由上面分析可知ΔQ Δt＝i ＝BLCa ，t 0之前q -t 图像为倾斜直线，t 0之后电容器不充放电，电荷量不变，B 错误；安培力的冲量I ＝BiL ·t ＝B 2L 2Ca ·t ，加速度a 定值，可知I -t 图线为一倾斜直线，C 错误；棒克服安培力做的功W ＝F 安v ·t ＝B 2L 2Ca 2t 2，D 正确．6．(2023·扬州中学考前模拟)空间中存在如图所示的磁场，Ⅰ、Ⅱ区域的宽度均为2R ，磁感应强度均为B (Ⅰ区域垂直纸面向里，Ⅱ区域垂直纸面向外)，半径为R 的圆形导线圈在外力作用下以速度v 匀速通过磁场区域，设任意时刻导线圈中电流为I (逆时针为正)，导线圈所受安培力为F (向左为正)，从导线圈刚进入Ⅰ区域开始将向右运动的位移记为x ，则下列图像正确的是( D )A B C D解析：当圆环在磁场Ⅰ区域向右运动过程中，设圆环切割磁感线的有效长度为l ，则有(R －x )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝R 2 整理得l ＝2－(x －R )2＋R 2，则圆环产生的感应电动势为E ＝Bl v ，感应电流为I ＝E R 阻＝2B v －(x －R )2＋R 2R 阻，可知电流与位移不成线性相关，B 错误；当圆环圆心运动到Ⅰ、Ⅱ区域的边界时，此时产生的感应电流大小为I ′＝2E R 阻＝4B v －(x －R )2＋R 2R 阻，即x ＝3R 的电流大小为x ＝R 的电流的两倍，方向沿着顺时针方向，A 错误；通过分析可知，除了x ＝2R 、x ＝4R 、x ＝6R 三个特殊位置，电流为0，受力为0，在0<x <6R 区域内，圆环受力方向水平向左，若圆环在x ＝R 位置受力为F 0，则圆环在x ＝3R 处，由于电流变为2倍，圆环左右半圆均受力，因此圆环受力为4F 0，C 错误，D 正确．二、 非选择题7．(2023·盐城期末)如图所示，电阻不计的矩形导线圈abcd ，在ab 间接电阻为R 的均匀电阻丝甲，线圈放在方向垂直于线圈平面、磁感应强度为B 的匀强磁场中．现有电阻为12R 的金属棒PQ 刚好架在导线圈上，PQ 长度为L ，并以恒定速度v 从ad 边滑向bc 边．PQ 在滑动过程中与导线圈的接触良好．求：(1) PQ 产生的感应电动势E .答案：BL v解析：PQ 产生的感应电动势为E ＝BL v(2) 甲消耗电功率的最大值P max .答案：4B 2L 2v 29R解析：当金属棒滑上甲后，令甲左端电阻为R x ，则甲右端电阻为R －R x ，左右两端并联，则并联电阻为R 并＝R x (R －R x )R x ＋R －R x＝R x (R －R x )R 由于0≤R x ≤R ，可知0≤R 并≤R 4甲消耗电功率为P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫E 12R ＋R 并2R 并＝E 2R 24R 并＋R 并＋R 可知，当R 并＝R 4时，甲消耗功率最大，则有P max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫E 12R ＋14R 2·14R 结合上述解得P max ＝4B 2L 2v 29R(3) PQ 所受安培力的最小值F min .答案：4B 2L 2v 3R解析：根据上述可知，通过金属棒的电流 I ＝E12R ＋R 并金属棒所受安培力F ＝BIL解得F ＝B 2L 2v 12R ＋R 并可知，当R 并＝R 4时，金属棒所受安培力最小F min ＝B 2L 2v 12R ＋14R＝4B 2L 2v 3R8．(2023·海安中学模拟)如图甲所示，两根足够长的平行光滑金属导轨MN 、PQ 被固定在水平面上，导轨间距l ＝0.6 m ，两导轨的左端用导线连接电阻R 1及理想电压表V ，电阻为r ＝2 Ω的金属棒垂直于导轨静止在AB 处；右端用导线连接电阻R 2，已知 R 1＝2 Ω，R 2＝1 Ω，导轨及导线电阻均不计．在矩形区域CDFE 内有竖直向上的磁场，CE ＝0.2 m ，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示．开始时电压表有示数，当电压表示数变为零后，对金属棒施加一水平向右的恒力F，使金属棒刚进入磁场区域时电压表的示数又变为原来的值，金属棒在磁场区域内运动的过程中电压表的示数始终保持不变．求：甲乙(1) t＝0.1 s时电压表的示数．答案：0.3V解析：设磁场宽度为d＝CE，在0～0.2 s的时间内，有E＝ΔΦΔt＝ΔBΔtld＝0.6 V此时，R1与金属棒并联后再与R2串联R＝R并＋R2＝1 Ω＋1 Ω＝2 ΩU＝ER R并＝0.3 V(2) 恒力F的大小．答案：0.27 N解析：金属棒进入磁场后，R1与R2并联后再与r串联，有I′＝UR1＋UR2＝0.45 AF A＝BI′l＝1×0.45×0.6 N＝0.27 N由于金属棒进入磁场后电压表的示数始终不变，所以金属棒做匀速运动，有F＝F A＝0.27 N(3) 从t＝0时刻到金属棒运动出磁场的过程中整个电路产生的热量．答案：0.09 J解析：在0～0.2 s的时间内有Q＝E2R t＝0.036 J金属棒进入磁场后，有R′＝R1R2R1＋R2＋r＝83ΩE′＝I′R′＝1.2 V E′＝Bl v，得v＝2 m/st′＝dv＝0.22s＝0.1 sQ′＝E′I′t′＝0.054 JQ总＝Q＋Q′＝0.036 J＋0.054 J＝0.09 J补不足、提能力，老师可增加训练：《抓分题·基础天天练》《一年好卷》。