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第二章 地理空间数学基础

第二章 地理空间数学基础

2、投影的实质
建立地球椭球面上的点的地理坐标（L，B）与平面上对
应点的平面坐标（x，y）之间的函数关系：
x f1 ( L, B) y f 2 ( L, B)
地球椭球面 B,L x， y 地图平面
地图投影
二、地图投影的变形
1、投影变形的性质 观察地球体经纬线的
长度、面积和角度特征。
地图投影的变形具体表现： 长度(距离)变形 角度(形状)变形 面积变形
其优点：
①椭球体参数精度高； ②定位采用的椭球体面与我国大地水准面符合得好； ③大地网精度高；
④坐标统一，精度优良，可以直接满足1:5000甚至更大
比例尺测图的需要。
三角测量
导 线 测 量
支导线
国家平面控制网
O
国家平面控制网含三角点、导线点 共154348个，构成1954北京坐标 系、1980西安坐标系两套系统。
3、我国常用的地图投影
①我国1：100万地形图采用兰勃特Lambert投影(正轴等
角割圆锥) ；
②我国大部分省区图以及大多数这一比例尺的地图也多采用 Lambert投影和属于同一投影系统的Albers投影(正轴等积 割圆锥投影)； ③我国基本比例尺地形图除1：100万外均采用高斯—克吕 格投影为地理基础；
用来代替大地体的椭球体称地球椭球体。
b a a
x2 y2 z2 2 2 1 2 a a b
椭球体三要素:长轴a(赤道半径)、短轴b(极半径)和椭球扁率f。
3、地球体的数学表面——地球椭球体
地球椭球体参数：
• 长半径： a（赤道半径）
b a
• 短半径： b（极半径）
• 扁率： f=(a-b)/a • 第一偏心率： e2=(a2- b2)/ a2 • 第二偏心率： e’2=(a2- b2)/ b2

第2章 地理空间数学基础

第2章 地理空间数学基础

空间数据投影
• 面积变形与面积比
– 面积比—地面上微分面积投影后的大小dF’与其相应的 实地面积dF的比称为面积比 – P=dF′/dF – 面积变形指面积比与1的差值。用符号Vp表示，那么 – Vp=P-1
– Vp=0,投影后面积没有变形；Vp<0，投影后面积缩小； Vp>0，投影后面积增加
空间数据投影
球面坐标系统的建立
• 天文地理坐标系
λ
ψ
图2.4天文地理坐标系
球面坐标系统的建立
• 大地地理坐标
– 依托地球椭球用定义原点和轴系以及相应基本参考面 标示较大地域地理空间位置的参照系，简称大地坐标
– 点在大地坐标系中的位置以大地纬度与大地经度表示
球面坐标系统的建立
• 空间直角坐标系
– 参心空间直角坐标系是在参考椭球上建立的三维直角 坐标系O-XYZ – 坐标系的原点位于椭球的中心，Z轴与椭球的短轴重合， X轴位于起始大地子午面与赤道面的交线上，Y轴与XZ 平面正交 – 由于观测范围的限制，不同的国家或地区要求所确定 的参考椭球面与局部大地水准面最密合 – 由于参考椭球不是唯一的，因此参心空间直角坐标系 也不是唯一的
– 第三类是地球椭球面
• 大地体非常接近旋转椭球，而后者的表面是一个是一个规则的 数学曲面，因此选择一个旋转椭球作为地球理想的模型，称为 地球椭球或参考椭球
地球形状与地球椭球
x y z 2 2 1 2 a a b
a为长半径，近似等于地球赤道半径；b为极轴半径， 近似等于南极（北极）到赤道面的距离。
1940
6378245
6356863
1:298.3
地球形状与地球椭球
• 在实际建立地理空间坐标系统的时候，还需要指定一个大 地基准面将参考椭球体与大地体联系起来，在大地测量学 中称之为椭球定位 • 定位指依据一定的条件，将具有给定参数的椭球与大地体 的相关位置确定下来

《地理空间数学基础》PPT课件

《地理空间数学基础》PPT课件

黄海海面
1952-1979年平 均海水面为0米
水准原点 1985国家高
程基准，
72.2604米
青岛市观象山上国家水准原点
国家高程控制网是确定地貌地物海拔高程的坐标 系统，按控制等级和施测精度分为一、二、三、四等网。 目前提供使用的1985国家高程系统共有水准点成果114041 个，水准路线长度为416619．1公里。
地心空间直角坐标系的坐标原点位于地球质心。
WGS-84坐标系——“World Geodetic System”(世界大地坐标系）是美 国国防局为进行GPS导航定位于1984年建立的地心坐标系，1985年投入使 用，采用WGS-84椭球。
平面坐标系统=球面坐标系统+投影规则
一 地理空间参考
（三）高程基准
而对于制图区域广大的大国地图、大洲地图、 半球图、世界图等，则需要慎重地选择投影。
2. 制图比例尺
不同比例尺地图对精度要求的不同，导致 在投影选择上亦各不相同。以我国为例，大比例 尺地形图，由于要在图上进行各种量算及精确定 位，因此应选择各方面变形都很小的地图投影， 比如分带投影的横轴等角椭圆柱投影（如高斯— 克吕格投影）。而中小比例尺的省区图，由于概 括程度高于大比例尺地形图，因而定位精度相对 降低，选用正轴等角、等积、等距的圆锥投影即 可满足用图要求。
圆柱投影：投影面为圆柱 圆锥投影：投影面为圆锥 方位投影：投影面为平面
正轴投影投影面中心轴与地轴相互重
斜轴投影：投影面中心轴与地轴斜向相
横轴投影：投影面中心轴与地轴相互垂
二 空间数据投影
（四）常用地图投影概述
1 高斯-克吕格投影 2 通用墨卡托投影（UTM-Universal Transverse

第2章地理空间数学基础

第2章地理空间数学基础

第2章地理空间数学基础
地图是现实世界的模型，它按照一定的比例和投影原则， 有选择地将复杂的三维地理空间的某些内容投影到二维平 面介质上，并用符号将这些内容表现出来。
地图是根据一定的数学法则，使用地图语言，通过制图综 合，表示地面上地理事物的空间分布、联系及在时间中发 展变化状态的图形。
第2章地理空间数学基础
• 长半径
a（赤道半径）
• 短半径
b（极半径） 第2章地理空间数学基础
•扁率
α=(a-b)/a
• 第一偏心率 e2=(a2- b2)/ a2
• 第二偏心率 e’2=(a2- b2)/ b2
• 通过长轴和短轴来度量地球的形状。不 同的方法其长短轴参数不一样，所适用
的地区也就不同。
• 在北美通常使用CLARKE1866，在我国 （1978年起使用IUGG国际椭球）和前苏 联使用克拉索夫斯基椭球体 KRASOVSKY。
大陆和岛屿形成一个闭合的曲面，这就是大地水准面
（3）地球椭球体模型
第2章地理空间数学基础
大地水准面所包围的形体，叫大地球体。由于地球体 内部质量分布的不均匀，引起重力方向的变化，导致处处 和重力方向成正交的大地水准面成为一个不规则的，仍然 是不能用数学表达的曲面。大地水准面形状虽然十分复杂， 但从整体来看，起伏是微小的。它是一个很接近于绕自转 轴（短轴）旋转的椭球体。所以在测量和制图中就用旋转 椭球来代替大地球体，这个旋转球体通常称地球椭球体， 简称椭球体。
• 地面上点位的确定 地面上任一点的位置，通常用经度和纬度来决定。经线和 纬线是地球表面上两组正交（相交为90度）的曲线，这两 组正交的曲线构成的坐标，称为地理坐标系。地表面某两 点经度值之差称为经差，某两点纬度值之差称为纬差。例 如北京在地球上的位置可由北纬39°56'和东经116°24'来 确定。

地图学课件-地图的数学基础

地图学课件-地图的数学基础

新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
1. GPS系统由三个独立的部分组成
空间部分：21颗工作卫星，3颗备用卫星（白色）。它们在 高度20 200km的近圆形轨道上运行，分布在六个轨道面上， 轨道倾角55°，两个轨道面之间在经度上相隔60°，每个轨 道面上布放四颗卫星。卫星在空间的这种配置，保障了在地 球上任意地点，任意时刻，至少同时可见到四颗卫星。
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
2.2 中国的大地坐标系统
1.中国的大地坐标系 1980年以前：参见电子教案本章第十三页； 1980年选用1975年国际大地测量协会推荐的参考 椭球： ICA-75椭球参数
a = 6 378 140m
b = 6 356 755m f = 1/298.257
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
大地水准面的意义
1. 地球形体的一级逼近：
对地球形状的很好近似，其面上高出与面下 缺少的相当。
2. 起伏波动在制图学中可忽略：
对大地测量和地球物理学有研究价值，但在 制图业务中，均把地球当作正球体。
3. 重力等位面：
可使用仪器测得海拔高程（某点到大地水准 面的高度）。
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
3.2 地图的比例尺
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
地面支撑系统：1个主控站，3个注入站，5个监测站。它 向GPS导航卫星提供一系列描述卫星运动及其轨道的参数； 监控卫星沿着预定轨道运行；保持各颗卫星处于GPS时间 系统及监控卫星上各种设备是否正常工作等。
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
用户设备部分：GPS接收机——接收卫星信号，经数据处理 得到接收机所在点位的导航和定位信息。通常会显示出用户 的位置、速度和时间。还可显示一些附加数据，如到航路点 的距离和航向或提供图示。

第2讲 地理空间数学基础

第2讲 地理空间数学基础

2.4地图投影的分类
变形性质 地图投影 构成方法
等积投影 等角投影 任意投影
几何投影
方位投影 圆锥投影 圆柱投影 伪方位投影 伪圆锥投影 为圆柱投影 多圆锥投影
非几何投影
地图投影的分类（1）
按地图投影的构成方法分类 （1 ）几何投影 把椭球面上的经纬线网投影到几何面 上，然后将几何面展为平面而得到。
X N’
O
Y
S’
A高斯-克吕格投影——投影分带
高斯-克吕格投影的最大变形处为各投影带在赤道边缘处，为了 控制变形，我国地形图采用分带方法，即将地球按一定间隔的经差 （6°或3°）划分为若干相互不重叠的投影带，分别投影。
3º 9º 69º 75º 81º 87º 93º 99º 105º 111º 117º 123º 129º 135º
a) 按投影面的形状
– 圆锥投影 – 圆柱投影 – 方位投影
正 轴 方位 圆柱 圆锥
斜 轴
横 轴
b) 按投影面与地球自转轴间的方位关系
– 正轴投影 – 横轴投影 – 斜轴投影
c) 按投影面与地球的位置关系
– 相切投影 – 相割投影
（2）非几何投影
– – – – 可分为： 伪方位投影 伪圆柱投影 伪圆锥投影 多圆锥投影 ，根据某些条件用数学解析法确定球面与平面之间点与点的函数关系。
极不规则，无法用数学表面进行描述 不规则性、动态性、不唯一性 不规则性、相对唯一性 标准数学曲面 1952：海福特椭球 1953：克拉索夫斯基椭球 1978：1975年国际椭球
1.1地球椭球
大地水准面和大地体
水准面和大地水准面图
旋转椭球/地球椭球 • 参数：
– 长半径：a – 短半径：b – 扁率：f=(a-b)/a

第二章地理空间数学基础

第二章地理空间数学基础

(一) 地球空间参考
法线与赤道面的交角， 叫做A点的纬度ψ 。 过A点的子午面与通过 英国格林尼治天文台 的子午面所夹的二面 角，叫做A点的经度λ 。
(一) 地球空间参考
天文坐标系（地心坐标系）
O是质心 OP为地球自转轴 KK’为垂线 G点为格林威治天文起始子午面
φ天文纬度 λ天文经度
PS：地表面并不是大地水准面，所以在大地测量学中将高程列入天文坐标中！
3
(一) 地球空间参考
1. 地球形状与地球椭球
1).地球的自然表面：
是一个起伏不平， 十分不规则的表面，包 括海洋底部，高山高原 在内的固体地球表面。 不适合于数学建模。
4
(一) 地球空间参考
2).大地水准面： 大地水准面：地球表面的72%
被流体状态的海水所覆盖，可以 假设当海水处于完全静止的平衡 状态时，从海平面延伸到所有大 陆下部，而与地球重力方向处处 正交的一个连续、闭合的水准面 ，这就是大地水准面。
7ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(一) 地球空间参考
3).地球椭球面：地球椭球几何定义
X 2 Y2 Z2 椭球方程： 2 2 2 1 a a b
O是椭球中心，ＮＳ为旋转轴， a 为长半轴，b 为短半轴
子午圈：包含旋转轴的平面与椭球
面相截所得的椭圆。
赤道：通过椭球中心的平行圈。
8
(一) 地球空间参考
4). 数学模型：
水准面：一个重力等位面。
大地体：大地水准面包围的形状
是一个水准椭圆。
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(一) 地球空间参考
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(一) 地球空间参考
3).地球椭球面： 地球椭球：在控制测量中，用来代表地球的椭球，它是地球的数学

2 第二章 地理空间数学基础

2 第二章 地理空间数学基础

地球模型
2. 坐标系统
参心 空间直角坐标系
地心地固 空间直角坐标系
坐标参考系统—平面系统
直接建立在球体上的地理坐标
用经度和纬度表达地理对象位置
投 影
建立在平面上的直角坐标系统
用（x，y）表达地理对象位置
3. 高程基准
A
H´A
任意水准面 HA
大地水准面 铅垂线
hAB
H´B HB
黄海海面
1952-1979年平 均海水面为0米
比例尺的含义
– 制图区域较小，采用各方面变形都较小的地图投影，图上各处的比例是一致的，故 此时比例尺的含义是图上长度与相应地面长度的比例；
– 制图区域较大时，地图投影比较复杂，地图上长度因地点和方向的不同而有所变化， 这种地图比例尺一般是指在地图投影时，对地球半径缩小的比率， 称为主比例尺。 地图经过投影后，体现在图上只有个别点线没有长度变形，也就是说，只有在这些 长度没有变形的点或线上，才可用地图上注明的比例尺
Y’
Y
O
x=x’+ a
y=y’+ b
2）坐标系旋转
X
P x’sin θ x’cos θ
y’sin θ
Y
O
y’cos
x = θx’cosθ+ y’sin θ
y = y’cosθ- x’sin θ
3）坐标平移和旋转
X
X”
P O’ O
由坐标平移可知： x=x”+a
y=y”+b 由坐标旋转可知：
x”= x’cosθ+ y’sin θ
GIS中，地理数据的显示可根据用户的需要而指定投影方 式，但当所显示的地图与国家基本地图系列的比例尺一致时， 一般采用国家基本系列地图所用的投影。

第2章_地理空间数学基础

第2章_地理空间数学基础

X2
其中 X 、 Y 、 Z 为两空间直角坐标系坐标原点的平移参数， X 轴、Y 轴、Z 轴旋转的角度， m 为尺度变化参数。
z 、 y 、 z 分别表示绕
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3.投影解析转换
同一地理坐标基准下的坐标变换 如果参与转换空间参考系的投影公式， 1）存在精确解析关系式：直接进行坐标换算； 2）不存在精确解析关系式：采用间接变换，即先将一种投影的平面坐 标换算为球面大地坐标，然后再对球面大地坐标计算出另一种投影下的平 面坐标，从而实现两种投影坐标间的变换。
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青岛观象山水准原点
中华人民共和国大地原点，是1980年国家大地 坐标系起算点。大地原点位于陕西省泾阳县永 乐店北洪流村。
深度基准是指海图图载水深及其相关要素的起算面。通常取当地平均海面
向下一定深度为这样的起算面，即深度基准面。
平均海面
L
深度基准面
Z
海底
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2.2 空间数据投影
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32
不同地理坐标基准下的坐标变换
主要包括： • 地理坐标基准的变换； • 坐标值的变换； 实现整个坐标转换的基本过程为（以WGS 84坐标和1980西安坐标的
转换为例）： a.（B，L）84转换为（X,Y,Z）84，即空间大地坐标到空间直角坐标的转换； b.（X,Y,Z）84转换为（X,Y,Z）80，坐标基准的转换，即参考椭球转换。该
3.兰勃特等角投影(Lambert Conformal Conic)
在双标准纬线下是“正轴等角割圆锥投影”。设想用一个正圆锥割于球
面两标准纬线，应用等角条件将地球面投影到圆锥面上，然后沿一母线展开， 即为兰勃特投影平面。墨卡托(Mercator)投影是它的一个特例。
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1：295.0 1：293.47 1：297.0
1：298.3
埃及，加拿大，美国，墨西哥，法国
越南，罗马尼亚，法国，南非
意大利，比利时，葡萄牙，保加利亚，罗马 尼亚，丹麦，土耳其，芬兰，阿根廷，埃及， 中国（1952年前）
前苏联（1946年起），保加利亚，波兰， 罗马尼亚，匈牙利，捷克，斯洛伐克，原得 意志民主共和国，中国
西北大学城市与资源学系
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图2.5 大地地理坐标系
• 空间直角坐标系
NZ
O Y
坐标系的原点位于椭球的中心，Z轴与椭球 的短轴重合，X轴位于起始大地子午面与赤 道面的交线上，Y轴与XZ平面正交，O-XYZ 构成右手坐标系。
在建立参心坐标时，由于观测范围的限制， 不同的国家或地区要求所确定的参考椭球面 与局部大地水准面最密合。由于参考椭球不 是唯一的，所以，参心空间直角坐标系也不 是唯一的。
克拉克Ι （英，Clarke）
克拉克Ⅱ （英，Clarke）
1866 6 378 206 6 356 534 1880 6 378 249 6 356 515
海福特 （美国，Hayford）
1910
6 378 388
6 356 912
克拉索夫斯基 （前苏，Красовский） 1940 6 378 245 6 356 863
➢ 地理坐标是一种球面 坐标。
西北大学城市与资源学系
12
• 大地地理坐标系
WAE为椭球赤道面，NAS为大地首子午面，PD为 地面任一点，P为PD在椭球上的投影，则地面点 PD对椭球的法线PDPK与赤道面的交角为大地纬 度，常以B表示。从赤道面起算，向北为正，向 南为负。大地首子午面与P点的大地子午面间的 二面角为大地经度，常以L表示。以大地首子午面 起算，向东为正，向西为负。
➢ 建立地方独立坐标系，实际上就是通过一些元素的确定来决定地方参 考椭球与投影面。地方参考椭球一般选择与当地平均高程相对应的参 考椭球，该椭球的中心、轴向和扁率与国家参考椭球相同。
➢ 在地方投影面的确定过程中，应当选取过测区中心的经线或某个起算 点的经线作为独立中央子午线；以某个特定使用的点和方位为地方独
X
S
图2.6 参心空间直角坐标系
地心地固空间直角坐标系的定义是：原点O与地 球质心重合，Z铀指向地球北极，X轴指向格林 尼治平均子午面与地球赤道的交点，Y轴垂直于 XOZ平面构成右手坐标系。地球自转轴相对地球
体的位置并不是固定的，地极点在地球表面上的 位置是随时间而变化的。
西北大学城市与资源学系
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经线以东为正，中央经线以西为负。
YA= 238765.2m
YB= -148572.3m 纵坐标轴西移500km后，其横坐标 分别为：
YA’ = 738765.2m
YB’ = 351427.7m
图2.7 高斯-克吕格坐标表
加上带号，如A、B两点位于第19带， 其通用坐标为：
YA’’= 19 738765.2m
我国的大地坐标统
在一个国家或地区，不同时期也可能采用不同的坐 标系。我国目前沿用了两种坐标系，即1954年北京坐
标系和1980年国家大地坐标系。
IGA-75椭球参数
a = 6 378 140m
b = 6 356 755m
f =1/298.257
陕西省泾阳县永乐镇北洪流
村为 “1980西安坐标系” 大地
西北大学城市与资Y源B学’’=系19 351427.7m
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地方独立平面直角坐标系
➢ 国家坐标中每个高斯投影带都是按一定间隔划分，其中央子午线不可 能刚好落在城市和工程建设地区的中央，从而使高斯投影长度产生变 形。
➢ 为了减小变形，将其控制在一个微小的范围内，使得计算出来的长度 与实际长度认为相等，常常需要建立适合本地区的地方独立坐标系。
直接建立在球体上的地理坐标， 用经度和纬度表达地理对象位 置
投 影
建立在平面上的直角坐标系统， 用（x，y）表达地理对象位置
西北大学城市与资源学系
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一、地理坐标 (Geographic coordinate system)
➢ 地理坐标——地面上任一点的 位置，通常用经度（Latitude） 和纬度（Longitude）来决定。 经线和纬线是地球表面上两组 正交（相交为90度）的曲线， 这两组正交的曲线构成的坐标， 称为地理坐标系。
坐标的起算点——大地原西北点大。学城市与资源学系
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不同的球面地理坐标系
54—80坐西标北大系学地城形市与图资邻源学接系状况
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（中间部分为两个坐标系邻接“真空”带）
Y A
二、平面坐标系（projected coordinate system ）
高斯平面直角坐标系：在高斯－克吕格投影带内布置了平面直角坐标系 统。具体构成是：规定以中央经线为X轴，赤道为Y轴，中央经线与赤道 交点为坐标原点。同时规定，x值在北半球为正，南半球负；y值在中央
二章地理空间数学基础ppt课件
➢ 地球空间参考 ➢ 空间数据投影 ➢ 空间尺度 ➢ 地图分幅
西北大学城市与资源学系
2
椭球体名称
年代 长半径（m） 短半径（m） 扁率
使用的主要国家
白塞尔 （德,Bessel）
1841 6 377 397 6 356 079
1：299.15
波兰，罗马尼亚，捷克，斯洛伐克，瑞士， 瑞典，智利，葡萄牙，日本
• 所谓的定位，就是依据一定的条件，将具有给定 参数的椭球与大地体的相关位置确定下来。
• 这里所指的一定条件，可以理解为两个方面：一 是依据什么要求使大地水准面与椭球面符合；二 是对轴向的规定。参考椭球的短轴与地球旋转轴 平行是参考椭球定位的最基本要求。
西北大学城市与资源学系
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二、坐标系统
一、分类 1、球面坐标系统 ① 天文地理坐标系 ② 大地地理坐标系 ③ 空间直角坐标系 参心空间直角坐标系 地心空间直角坐标系 2、平面坐标系统 ① 高斯平面直角坐标系 ② 地方独立坐标系
1975年国际椭球
1975 6 378 140 6 356 755 1：298.257 1975年国际第三个推荐值
1980年国际椭球
198西0 北6大37学8 13城7 市与资源学系1：298.257 1979年国际第四个推荐值
9
椭球定位
• 有了参考椭球，在实际建立地理空间坐标系统的 时候，还需要指定一个大地基准面将这个椭球体 与大地体联系起来，在大地测量学中称之为椭球 定位。