2020北京市海淀高三数学二模试题答案

2020年北京市海淀区高三二模数学考试逐题解析2020.6 本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时长120分钟。

考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第I 卷（选择题 共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 若全集,{|1},{|1}U A x x B x x ==<=>−R ,则 （A ）A B ⊆ （B ）B A ⊆ （C ）UB A ⊆（D ）UA B ⊆【答案】D【解析】本题考查集合的运算. 由题意:{|1},{|1}UA x xB x x =≥=>−,不难看出UA B ⊆.故选D.2. 下列函数中,值域为[0,)+∞且为偶函数的是 （A ）2y x = （B ）|1|y x =− （C ）cos y x =（D ）ln y x =【答案】A【解析】本题考查函数值域与奇偶性.A 选项,值域为[0,)+∞,满足()()f x f x −=,是偶函数;B 选项,值域为[0,)+∞,不满足()()f x f x −=,不是偶函数;C 选项,值域为[1,1]−,满足()()f x f x −=,是偶函数;D 选项,值域为R ,不满足()()f x f x −=,不是偶函数. 故选A.3. 若抛物线212y x =的焦点为F ,点P 在此抛物线上且横坐标为3,则||PF 等于 （A ）4 （B ）6 （C ）8（D ）10【答案】B【解析】本题考查抛物线. 因为抛物线的方程为212y x =,所以212p =,准线方程为32px =−=−.根据抛物线的性质:抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离, 所以||3362P pPF x =+=+=. 故选B.4. 已知三条不同的直线,,l m n 和两个不同的平面,αβ,下列四个命题中正确的为 （A ）若//,//m n αα,则//m n （B ）若//,l m m α⊂,则//l α （C ）若//,//l l αβ,则//αβ（D ）若//,l l αβ⊥,则αβ⊥【答案】D【解析】本题考查空间位置关系.A 选项,若//,//m n αα,则m 与n 可相交、平行或异面,故A 选项错误;B 选项,若//,l m m α⊂,则//l α或l α⊂,故B 选项错误;C 选项,若//,//l l αβ,则α与β相交或平行,故C 选项错误;D 选项,若//,l l αβ⊥,则αβ⊥,故D 选项正确. 故选D.5. 在ABC 中,若17,8,cos 7a b B ===−,则A ∠的大小为（A ）π6（B ）π4（C ）π3（D ）π2【答案】C【解析】本题考查解三角形. 方法一:因为1cos 07B =−<,所以π(,π)2B ∈,所以sin 0B >, 即3sin 7B =.由正弦定理sin sin a b A B =,得7sin 437A =,得到3sin 2A =. 又因为π(0,)2A ∈,所以π3A =.故选C. 方法二:根据余弦定理222249641cos 2147a cbc B ac c +−+−===−,解得123,5c c ==−（舍）222649491cos 2482b c a A bc +−+−===.所以π3A =. 故选C.6. 将函数π()sin(2)6f x x =−的图象向左平移π3个单位长度,得到函数()g x 的图象,则()g x =（A ）πsin(2)6x +（B ）2πsin(2)3x +（C ）cos2x （D ）cos2x −【答案】C【解析】本题考查三角函数图象变换.由题可知ππππ()()sin[2()]sin(2)cos23362g x f x x x x =+=+−=+=故选C.7. 某三棱锥的三视图如图所示,如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该三棱锥的体积为（A ）23（B ）43（C ）2（D ）4【答案】A【解析】本题考查三视图.三棱锥的直观图如图所示:由图可知,该三棱锥体积为11122123323ABCV Sh =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=, 故选A.8. 对于非零向量,a b ,“2()2+⋅=a b a a ”是“=a b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】本题考查平面向量数量积.充分条件:由2222(22⋅=⇒+⋅=⇒⋅=a +b)a a a a b a a b a2||||cos ||||cos ||⇒⋅⋅〈⋅〉=⇒⋅〈⋅〉=a b a b a b a b a所以充分条件不成立;必要条件:2()()22=⇒⋅=⋅⇒⋅=a b a +b a a +a a a a a 所以必要条件成立; 所以是必要不充分条件. 故选B.9. 如图,正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2,,点O 为底面ABCD 的中心,点P 在侧面11BB C C 的边界及其内部运动.若1D O OP ⊥,则11D C P 面积的最大值为（A ）255（B ）455（C ）5（D ）25【答案】C【解析】本题考查立体几何空间向量.以D 为原点,分别以1,,DA DC DD 为x 轴,y 轴,z 轴,如图建立空间直角坐标系,1(0,0,2)D ,1(0,2,2)C ,(1,1,0)O ,点O 为底面ABCD 中心,设00(,2,)P x z ,所以1(1,1,2)D O =−,00(1,1,)OP x z =−, 因为1D O OP ⊥,所以1000011220D O OP x z x z ⋅=−+−=−=. 所以002x z =.令0,z a =则02(01)x a a =≤≤ 所以(2,2,)P a a , 所以1(2,0,2)C P a a =−,2221216||(2)0(2)5()55C P a a a =++−=−+. 因为01a ≤≤,所以当1a =时,1||C P 取得最大值. 此时1||5C P =1111111||||2522D C PS D C C P =⨯⨯=⨯⨯, 故选C.10. 为了预防新型冠状病毒的传染,人员之间需要保持一米以上的安全距离.某公司会议室共有四行四列座椅,并且相邻两个座椅之间的距离超过一米,为了保证更加安全,公司规定在此会议室开会时,每一行、每一列均不能有连续三人就座.例如下图中第一列所示情况不满足条件（其中“√”表示就座人员）.根据该公司要求,该会议室最多可容纳的就座人数为 （A ）9 （B ）10 （C ）11（D ）12【答案】C【解析】本题考查逻辑推理.如图编号,行为,,,a b c d ,列为1,2,3,4.1 2 3 4 a√ √ √ b√ √ √ c√ √ d√√√尽可能多坐人时,每行最多3人. 坐法1,2,4或1,3,4.①若a 行坐124,,a a a 、且b 坐124,,b b b , 那么c 行只能坐3c ,d 行最多坐124,,d d d , 共计10人.②若a 行坐124,,a a a 、且b 坐134,,b b b , 那么c 行能坐23,c c ,d 行可坐124,,d d d , 共计11人.其它座位分布情况同理,故最多11人. 故选C.第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。

绝密★启用前北京市海淀区普通高中2020届高三毕业班下学期第二次高考模拟考试数学试题2020年6月一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）若全集U＝R，A＝{x|x＜1}，B＝{x|x＞﹣1}，则（）A．A⊆B B．B⊆A C．B⊆∁U A D．∁U A⊆B2．（4分）下列函数中，值域为[0，+∞）且为偶函数的是（）A．y＝x2B．y＝|x﹣1|C．y＝cos x D．y＝lnx3．（4分）若抛物线y2＝12x的焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为3，则|PF|等于（）A．4B．6C．8D．104．（4分）已知三条不同的直线l,m,n和两个不同的平面α,β,下列四个命题中正确的为（）A．若m∥α,n∥α,则m∥n B．若l∥m,m⊂α,则l∥αC．若l∥α,l∥β,则α∥βD．若l∥α,l⊥β,则α⊥β5．（4分）在△ABC中,若a＝7,b＝8,cos B＝,则∠A的大小为（）A．B．C．D．6．（4分）将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数g（x）的图象,则g（x）＝（）A．B．C．cos2x D．﹣cos2x7．（4分）某三棱锥的三视图如图所示,如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该三棱锥的体积为（）A．B．C．2D．48．（4分）对于非零向量,,“（+）•＝22”是“＝”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．（4分）如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,点O为底面ABCD的中心,点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动．若D1O⊥OP,则△D1C1P面积的最大值为（）A．B．C．D．10．（4分）为了预防新型冠状病毒的传染,人员之间需要保持一米以上的安全距离．某公司会议室共有四行四列座椅,并且相邻两个座椅之间的距离超过一米,为了保证更加安全,公司规定在此会议室开会时,每一行、每一列均不能有连续三人就座．例如图中第一列所示情况不满足条件（其中“√”表示就座人员）．根据该公司要求,该会议室最多可容纳的就座人数为（）A．9B．10C．11D．12。

2020年北京市海淀区高三数学二模试卷及参考答案2020年北京市海淀区高三二模试卷数学本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.若全集 $U=R$。

$A=\{x|x-1\}$。

则A) $A\subseteq B$B) $B\subseteq A$C) $B\subseteq U$D) $A\subseteq B$2.下列函数中，值域为 $[0,+\infty)$ 且为偶函数的是A) $y=x^2$B) $y=|x-1|$C) $y=\cos x$D) $y=\ln x$3.若抛物线 $y^2=12x$ 的焦点为 $F$，点 $P$ 在此抛物线上且横坐标为 $3$，则 $|PF|$ 等于A) $4$B) $6$C) $8$D) $10$4.已知三条不同的直线 $l,m,n$ 和两个不同的平面$\alpha,\beta$，下列四个命题中正确的为A) 若 $m\parallel \alpha$。

$n\parallel \alpha$。

则$m\parallel n$B) 若 $l\parallel m$。

$m\subset \alpha$。

则 $l\parallel\alpha$C) 若 $l\parallel \alpha$。

$l\parallel \beta$。

则 $\alpha \parallel \beta$D) 若 $l\parallel \alpha$。

$l\perp \beta$。

则 $\alpha \perp \beta$5.在 $\triangle ABC$ 中，若 $a=7$。

$b=8$。

$\cos B=-\dfrac{1}{2}$，则 $\angle A$ 的大小为A) $\dfrac{\pi}{6}$B) $\dfrac{\pi}{4}$C) $\dfrac{\pi}{3}$D) $\dfrac{\pi}{2}$6.将函数 $f(x)=\sin(2x-\dfrac{\pi}{3})$ 的图象向左平移$1$ 个单位长度，得到函数 $g(x)$ 的图象，则A) $g(x)=\sin(2x+\dfrac{\pi}{3})$B) $g(x)=\sin(2x+\dfrac{2\pi}{3})$C) $g(x)=\cos 2x$D) $g(x)=-\cos 2x$7.某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为 $1$，那么该三棱锥的体积为A) $\dfrac{2}{3}$B) $\dfrac{3}{2}$C) $2$D) $4$8.对于非零向量 $a,b$，$(a+b)\cdot a=2|a|^2$ 是 $a=b$ 的A) 充分而不必要条件B) 必要而不充分条件C) 充分必要条件D) 既不充分也不必要条件9.如图，正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 $2$，点 $O$ 为底面 $ABCD$ 的中心，点 $P$ 在侧面$BB_1C_1C$ 的边界及其内部运动。

海淀区高三年级第二学期期末数学答案2020.6 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9竺口禾妾 D A B D C C A B C二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．题号11 12 13141 满足x2一）,2=凡1;［叶］答案 2 (A->2或A-<-2)即可 6三、解答题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16解：选CDa1=4.：包｝是等差数列n(n-1)..．S 11=n a1+�d·: a1 = 4,S5 = 40:. S5 = 20+10d =40:.d =2·:S1. =k2+3k,S1 =a1 =4·. ·鸟＝SI:.k2+3k=4(k -1)(k + 4) = 0:. k=1或k=-4（舍去）:不存在k>1，使得s k= s1选＠d=-2.：包｝是等差数列n(n-l) :.Sn=na1+�d·: d= -2, S5 = 40:. S5 = 5a1 -20 =4010 C15 ＠＠）:. g(x) = e'c os x = I在（咚］上存在唯—一个根，叨(x)= Ze"'c os x-2 = 0在（气］上存在唯一一个零点，直线y=f(x)在区间伈勹上有且仅有一条斜率为2的切线。

21.解：若点A(x1,Y1), B(x2, Y2)相关，不妨设气小，X2;Y2 � 0,刺X1+ Y1)2 + (x、2+ Y2)2之(xi+Y2)2 + (x2 + Y1)2台（：日－：迈）（Y1-Y2)之0(1)CD(2 -3) (1 -2) � o,因此相关；＠（4 -2)(3 -4) < 0,因此不相关(2)＠在第一彖限内，（．x-l) (y -1) � 0，可知l�x:::;n且1� y � n,有芷个点；在.T,轴正半轴上，点(1,0)满足条件；在Y轴正半轴上，点(0,1)满足条件；原点(O,O)满足条件；因此集合几中共有4n2+ 5个点与点A(l,1)相关＠若两个不同的点A(t1,y认B（功，初）相关，其中也·1心22 0，如，：1/22 o,可知(x1-．吩）（加一扔）20．下叫(x1+初）－（切＋Y2)I乏l若:1;1= X2,则小＃？儿，成立，若X1>X2,则？／12 Y2,若尤I<X2,则？／1::; Y2,亦成立．由于1亿＋初）－ （巧＋沁I::; (n + n) -(0 + 0) = 2n,因此最多有2n+1个点两两相关，其中最多有2n—1个点在第一象限；最少有1个点在坐标轴正半轴上，一个点、为原点．因此S中元素个数的最大值为4(2n -1) + 2 · 1 + 1 = 8n -1.。

海淀区高三年级第二学期期末 二模 数学 2020.6第一部分（选择题共40 分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若全集{}{},1,1,U R A x x B x x ==<=>-则（A ）A B ⊆ （B ）B A ⊆ （C ）U B A ⊆ð （D ）U A B ⊆ð （2）下列函数中，值域为[0,)+∞且为偶函数的是（A ）2y x = （B ）1y x =- （C ）cos y x = （D ）ln y x =（3）若抛物线212y x =的焦点为F ，且点P 在此抛物线上且横坐标为3，则PF 等于（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）10（4）已知三条不同的直线,,l m n αβ和两个不同的平面，，下面四个命题中正确的是（A ）//,//,//m n m n αα若则 （B ）//,//m l m l αα⊂若，则（C ）//,//,//l l αβαβ若则 （D ）//,,l l αβαβ⊥⊥若则（5） 在17,8,cosB ,7ABC a b A ∆===-∠=中，若则（A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）2π（6）()sin(2)()63f x xg x ππ=-将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则g(x)=（A ）sin(2)6x π+ （B ）2sin(2)3x π+（C ）cos2x （D ）cos2x -（7）某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上的小正方形边长为1，则三棱锥的体积为（A ）23 （B ）43（C ）2 （D ） 4（8）对于非零向量2,,)2a b a b a a a b +⋅==r r rr r r r r 则( 是“”的 （A ）充分而不必要条件 （B ） 必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（9）1111P ABCD A B C D O ABCD -如图，正方体的棱长为2,点为底面的中心，点在侧面11111,BB C C D O OP D C P ⊥∆的边界及其内部运动。

北京市海淀区高三年级第二学期期末练习数学2020.6 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

( 1）若全集U= R, A = {x I x< 1} , B = (x I x ＞一1｝，则(A)A<;;B(B)Bt;;A( C)B <;; CuA ( 2）下列函数中，值域为［0, + 00 ）且为偶函数的是(A) y=x2 (B)y=lx-11( C)y=cosx ( D)CuA <;;B (D)y=lnx( 3 ）若抛物线y2= 12x的焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为3，则I PFI等于(A)4( B)6( C) 8( D)10(4）已知三条不同的直线I,m, n和两个不同的平面α，F，下列四个命题中正确的为(A）若m Hα，n Hα，则m II n(B ）若I II m, meα，则I I Iα (C）若I IIα，111 p，则αIIP(D）若I IIα，11..p，则α.1..p( 5）在！：：：.ABC中，若a=1,b=8，叫＝牛则LA的大小为(A）号(B)*(C）号(D）亏(6）将函数f(x）＝血（2x-f）的图象向左刊号个单位长度，得到函数g(x）的图象，则g(x)=(A)sin ( 2x＋号）( C)cos2x ( B)sin ( 2x ＋子）( D)-cos2x．，．．l，．．． ‘．， ．．、，’．白．．‘．，．，－ ．． ‘，，．a ‘‘’－－－－－－－－－．－－‘－－． ，，e ’（．a L ．．． ι’’－．俨’ ．．………又＼一图……一…．‘．’j j i g －－j e－－！ －J j e － －J j a － －…＼…一左…………：：l i t i －－； ．．． ，－a a －－－－’ －－－－E ’’－ －－··a 句脚’7··｜’；l e i －－d a ”’－E ．． 、怡、，－J ；’jl ；l － J I ；1 －j z ；！ ；I J I 丁，人（：1万，」视→、a x a ’…·视→………／一主一＼……俯丁··；，．：J e －－e ·－－－ ’’’－－－－－ －－－－－－－－ ’’’’也’’’－r －a ，，．． e g－－ ．．，．．，‘‘，，．． ，‘(7）某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1,(B)1(D )4那么该三棱锥的体积为(A)t ( C )2( 8）对于非零向量a,b ，“（a+b)·a =2矿”是“a =b ”的(B ）必要而不充分条件(A）充分而不必要条件( D）既不充分也不必要条件(C）充分必要条件(9）如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点。

2020年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知全集U=R，M={x|x≤1}，P={x|x≥2}，则∁U（M∪P）=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|x≥1} C．{x|x≤2} D．{x|x≤1或x≥2}2．数列{a n}的首项a1=2，且（n+1）a n=na n+1，则a3的值为（）A．5 B．6 C．7 D．83．若点P（2，4）在直线l：（t为参数）上，则a的值为（）A．3 B．2 C．1 D．﹣14．在△ABC中，cosA=，cosB=，则sin（A﹣B）=（）A．﹣B．C．﹣D．5．在（x+a）5（其中a≠0）的展开式中，x2的系数与x3的系数相同，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．26．函数f（x）=lnx﹣x+1的零点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=8，BC=4，CD=4，点P在线段AD上运动，则|+|的取值范围是（）A．[6，4+4]B．[4，8]C．[4，8]D．[6，12]8．直线l：ax+y﹣1=0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x2+y2=1的交点为C，D，给出下面三个结论：①∀a≥1，S△AOB=；②∃a≥1，|AB|＜|CD|；③∃a≥1，S△COD＜．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知=1﹣i，其中i为虚数单位，a∈R，则a=．10．某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的实践，绘成的频率分布直方图如图所示，这100名学生中参加实践活动时间在6﹣10小时内的人数为．11．如图，A，B，C是⊙O上的三点，点D是劣弧的中点，过点B的切线交弦CD的延长线于点E．若∠BAC=80°，则∠BED=．12．若点P（a，b）在不等式组所表示的平面区域内，则原点O到直线ax+by﹣1=0的距离的取值范围是．13．已知点A（，），B（，1），C（，0），若这三个点中有且仅有两个点在函数f（x）=sinωx的图象上，则正数ω的最小值为．14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P，Q，R分别是棱A1A，A1B1，A1D1的中点，以△PQR为底面作正三棱柱．若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高h=．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=﹣2sinx﹣cos2x．（1）比较f（），f（）的大小；（2）求函数f（x）的最大值．16．某空调专卖店试销A、B、C三种新型空调，销售情况如表所示：第一周第二周第三周第四周第五周A型数量（台）11 10 15 A4A5B型数量（台）10 12 13 B4B5C型数量（台）15 8 12 C4C5（1）求A型空调前三周的平均周销售量；（2）根据C型空调前三周的销售情况，预估C型空调五周的平均周销售量为10台，当C 型空调周销售量的方差最小时，求C4，C5的值；（注：方差s2= [x1﹣）2+（x）2+…+（x n﹣）2]，其中为x1，x2，…，x n的平均数）（3）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中A型空调台数X的分布列及数学期望．17．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，且AE=BF=EF=2，DE=CF=2．将△AED和△BFC分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点M，得到一个四棱锥M﹣CDEF，点G，N，H分别是MC，MD，EF的中点．（1）求证：GH∥平面DEM；（2）求证：EM⊥CN；（3）求直线GH与平面NFC所成角的大小．18．已知函数f（x）=e x（x2+ax+a）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤e a在[a，+∞）上有解，求实数a的取值范围；（3）若曲线y=f（x）存在两条互相垂直的切线，求实数a的取值范围．（只需直接写出结果）19．已知点A（x1，y1），D（x2，y2）（其中x1＜x2）是曲线y2=4x（y≥0）上的两点，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C，且|BC|=2．（Ⅰ）当点B的坐标为（1，0）时，求直线AD的斜率；（Ⅱ）记△OAD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求证：＜．20．已知集合Ωn={X|X=（x1，x2，…，x i，…，x n），x i∈{0，1}，i=1，2，…，n}，其中n ≥3．∀X={x1，x2，…，x i，…，x n}∈Ωn，称x i为X的第i个坐标分量．若S⊆Ωn，且满足如下两条性质：①S中元素个数不少于4个；②∀X，Y，Z∈S，存在m∈{1，2，…，n}，使得X，Y，Z的第m个坐标分量是1；则称S为Ωn的一个好子集．（1）S={X，Y，Z，W}为Ω3的一个好子集，且X=（1，1，0），Y=（1，0，1），写出Z，W；（2）若S为Ωn的一个好子集，求证：S中元素个数不超过2n﹣1；（3）若S为Ωn的一个好子集，且S中恰有2n﹣1个元素，求证：一定存在唯一一个k∈{1，2，…，n}，使得S中所有元素的第k个坐标分量都是1．2020年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知全集U=R，M={x|x≤1}，P={x|x≥2}，则∁U（M∪P）=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|x≥1} C．{x|x≤2} D．{x|x≤1或x≥2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出M∪P，从而求出其补集即可．【解答】解：M={x|x≤1}，P={x|x≥2}，∴M∪P={x|x≤1或x≥2}，∁U（M∪P）={x|1＜x＜2}，故选：A．2．数列{a n}的首项a1=2，且（n+1）a n=na n+1，则a3的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】数列递推式．【分析】由题意可得a n+1=a n，分别代值计算即可．【解答】解：数列{a n}的首项a1=2，且（n+1）a n=na n+1，∴a n+1=a n，∴a2=a1=2×2=4，∴a3=×a2=×4=6，故选：B．3．若点P（2，4）在直线l：（t为参数）上，则a的值为（）A．3 B．2 C．1 D．﹣1【考点】参数方程化成普通方程．【分析】由题意可得：，解得a即可得出．【解答】解：∵，解得a=﹣1．故选：D．4．在△ABC中，cosA=，cosB=，则sin（A﹣B）=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】根据同角三角函数得到sinA，sinB的值；然后将其代入两角和与差的正弦函数中求值即可．【解答】解：∵0＜A＜π，0＜B＜π，cosA=，cosB=，∴sinA=，sinB=，∴sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=×﹣×=．故选：B．5．在（x+a）5（其中a≠0）的展开式中，x2的系数与x3的系数相同，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】二项式系数的性质．【分析】通过二项式定理，写出（x+a）5（其中a≠0）的展开式中通项T k+1=x5﹣k a k，利用x2的系数与x3的系数相同可得到关于a的方程，进而计算可得结论．【解答】解：在（x+a）5（其中a≠0）的展开式中，通项T k+1=x5﹣k a k，∵x2的系数与x3的系数相同，∴a3=a2，又∵a≠0，∴a=1，故选：C．6．函数f（x）=lnx﹣x+1的零点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数零点的判定定理．【分析】利用导数求出函数的最大值，即可判断出零点的个数．【解答】解：f′（x）=﹣1=，∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，f（1）=0﹣1+1=0，因此函数f（x）有且仅有一个零点1．故选：A．7．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=8，BC=4，CD=4，点P在线段AD上运动，则|+|的取值范围是（）A．[6，4+4]B．[4，8]C．[4，8]D．[6，12]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可过D作AB的垂线，且垂足为E，这样可分别以EB，ED为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，根据条件即可求出A，B，D的坐标，从而可以得出直线AD的方程为，从而可设，且﹣2≤x≤0，从而可以求出向量的坐标，从而得出，而配方即可求出函数y=16（x2+2x+4）在[﹣2，0]上的值域，即得出的取值范围，从而得出的取值范围．【解答】解：如图，过D作AB的垂线，垂足为E，分别以EB，ED为x，y轴，建立平面直角坐标系；根据条件可得，AE=2，EB=6，DE=；∴；∴直线AD方程为：；∴设，（﹣2≤x≤0）；∴，；∴；∴=16（x2+2x+4）=16（x+1）2+48；∵﹣2≤x≤0；∴48≤16（x+1）2+48≤64；即；∴；∴的范围为．故选：C．8．直线l：ax+y﹣1=0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x2+y2=1的交点为C，D，给出下面三个结论：①∀a≥1，S△AOB=；②∃a≥1，|AB|＜|CD|；③∃a≥1，S△COD＜．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【考点】直线与圆的位置关系．【分析】①当a≥1时，分别可得直线的截距，由三角形的面积公式易得结论①正确；②当a≥1时，反证法可得结论②错误；③由三角形的面积公式可得S△COD=sin∠AOC≤，可得结论③正确．【解答】解：①当a≥1时，把x=0代入直线方程可得y=a，把y=0代入直线方程可得x=，∴S△AOB=×a×=，故结论①正确；②当a≥1时，|AB|=，故|AB|2=a2+，直线l可化为a2x+y﹣a=0，圆心O到l的距离d===，故|CD|2=4（1﹣d2）=4[1﹣（a2+）]，假设|AB|＜|CD|，则|AB|2＜|CD|2，即a2+＜4（1﹣），整理可得（a2+）2﹣4（a2+）+4＜0，即（a2+﹣2）2＜0，显然矛盾，故结论②错误；S△COD=|OA||OC|sin∠AOC=sin∠AOC≤，故∃a≥1，使得S△COD＜，结论③正确．故选：C．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知=1﹣i，其中i为虚数单位，a∈R，则a=1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的代数运算性质，求出a的值即可．【解答】解：∵=1﹣i，∴a+i=∴a=﹣i=﹣i=1．故答案为：1．10．某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的实践，绘成的频率分布直方图如图所示，这100名学生中参加实践活动时间在6﹣10小时内的人数为58．【考点】频率分布直方图．【分析】利用频率分布直方图中，频率等于纵坐标乘以组距，求出在6﹣10小时外的频率；利用频率和为1，求出在6﹣10小时内的频率；利用频数等于频率乘以样本容量，求出这100名同学中学习时间在6﹣10小时内的同学的人数．【解答】解：由频率分布直方图知：（0.04+0.12+a+b+0.05）×2=1，∴a+b=0.29，∴参加实践活动时间在6﹣10小时内的频率为0.29×2=0.58，∴这100名学生中参加实践活动时间在6﹣10小时内的人数为100×0.58=58．故答案为：5811．如图，A，B，C是⊙O上的三点，点D是劣弧的中点，过点B的切线交弦CD的延长线于点E．若∠BAC=80°，则∠BED=60°．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由弦切角定理可得∠EBC=∠A，再由圆的圆周角定理，可得∠BCE=∠A，在△BCE中，运用三角形的内角和定理，计算即可得到所求值．【解答】解：由BE为圆的切线，由弦切角定理可得∠EBC=∠A=80°，由D是劣弧的中点，可得∠BCE=∠A=40°，在△BCE中，∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠BCE=180°﹣80°﹣40°=60°．故答案为：60°．12．若点P（a，b）在不等式组所表示的平面区域内，则原点O到直线ax+by﹣1=0的距离的取值范围是[，1]．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，由点到直线的距离公式求出原点O到直线ax+by﹣1=0的距离为，结合的几何意义得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，原点O到直线ax+by﹣1=0的距离为，由图可知的最小值为|OA|=1，最大值为|OB|=2，∴原点O到直线ax+by﹣1=0的距离的取值范围是[，1]．故答案为：[，1]．13．已知点A（，），B（，1），C（，0），若这三个点中有且仅有两个点在函数f（x）=sinωx的图象上，则正数ω的最小值为4．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的图象特征，分类讨论，求得每种情况下正数ω的最小值，从而得出结论．【解答】解：①若只有A、B两点在函数f（x）=sinωx的图象上，则有sin（ω•）=，sin（ω•）=1，sinω•≠0，则，即，求得ω无解．②若只有点A（，），C（，0）在函数f（x）=sin（ωx）的图象上，则有sin（ω•）=，sin（ω•）=0，sin（ω•）≠1，故有，即，求得ω的最小值为4．③若只有点B（，1）、C（，0）在函数f（x）=sinωx的图象上，则有sinω•≠，sinω=1，sinω=0，故有，即，求得ω的最小正值为10，综上可得，ω的最小正值为4，故答案为：4．14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P，Q，R分别是棱A1A，A1B1，A1D1的中点，以△PQR为底面作正三棱柱．若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高h=．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】分别取过C点的三条面对角线的中点，则此三点为棱柱的另一个底面的三个顶点，利用中位线定理证明．于是三棱柱的高为正方体体对角线的一半．【解答】解：连结A1C，AC，B1C，D1C，分别取AC，B1C，D1C的中点E，F，G，连结EF，EG，FG．由中位线定理可得PE A1C，QF A1C，RG A1C．又A1C⊥平面PQR，∴三棱柱PQR﹣EFG是正三棱柱．∴三棱柱的高h=PE=A1C=．故答案为．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=﹣2sinx﹣cos2x．（1）比较f（），f（）的大小；（2）求函数f（x）的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）将f（），f（）求出大小后比较即可．（2）将f（x）化简，由此得到最大值．【解答】解：（1）f（）=﹣，f（）=﹣，∵﹣＞﹣，∴f（）＞f（），（2）∵f（x）=﹣2sinx﹣cos2x．=﹣2sinx﹣1+2sin2x，=2（sinx﹣）2﹣，∴函数f（x）的最大值为3．16．某空调专卖店试销A、B、C三种新型空调，销售情况如表所示：第一周第二周第三周第四周第五周A型数量（台）11 10 15 A4A5B型数量（台）10 12 13 B4B5C型数量（台）15 8 12 C4C5（1）求A型空调前三周的平均周销售量；（2）根据C型空调前三周的销售情况，预估C型空调五周的平均周销售量为10台，当C 型空调周销售量的方差最小时，求C4，C5的值；（注：方差s2= [x1﹣）2+（x）2+…+（x n﹣）2]，其中为x1，x2，…，x n的平均数）（3）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中A型空调台数X的分布列及数学期望．【考点】极差、方差与标准差．【分析】（1）根据平均数公式计算即可，（2）根据方差的定义可得S2= [2（c4﹣）+]，根据二次函数性质求出c4=7或c4=8时，S2取得最小值，（3）依题意，随机变量的可能取值为0，1，2，求出P，列出分布表，求出数学期望．【解答】解：（1）A型空调前三周的平均周销售量=（11+10+15）=12台，（2）因为C型空调平均周销量为10台，所以c4+c5=10×15﹣15﹣8﹣12=15，又S2= [（15﹣10）2+（8﹣10）2+（12﹣10）2+（c4﹣10）2+（c5﹣10）2]，化简得到S2= [2（c4﹣）+]，因为c4∈N，所以c4=7或c4=8时，S2取得最小值，此时C5=8或C5=7，（3）依题意，随机变量的可能取值为0，1，2，P（X=0）=×=，P（X=1）=×+×=，P（X=2）=×=，随机变量的X的分布列，X 0 1 2P随机变量的期望E（X）=0×+1×+2×=．17．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，且AE=BF=EF=2，DE=CF=2．将△AED和△BFC分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点M，得到一个四棱锥M﹣CDEF，点G，N，H分别是MC，MD，EF的中点．（1）求证：GH∥平面DEM；（2）求证：EM⊥CN；（3）求直线GH与平面NFC所成角的大小．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结NG，EN，则可证四边形ENGH是平行四边形，于是GH∥EN，于是GH ∥平面DEM；（2）取CD的中点P，连结PH，则可证明PH⊥平面MEF，以H为原点建立坐标系，求出和的坐标，通过计算=0得出EM⊥CN；（3）求出和平面NFC的法向量，则直线GH与平面NFC所成角的正弦值为|cos＜＞|，从而得出所求线面角的大小．【解答】证明：（1）连结NG，EN，∵N，G分别是MD，MC的中点，∴NG∥CD，NG=CD．∵H是EF的中点，EF∥CD，EF=CD，∴EH∥CD，EH=CD，∴NG∥EH，NG=EH，∴四边形ENGH是平行四边形，∴GH∥EN，又GH⊄平面DEM，EN⊂平面DEM，∴GH∥平面DEM．（2）∵ME=EF=MF，∴△MEF是等边三角形，∴MH⊥EF，取CD的中点P，连结PH，则PH∥DE，∵DE⊥ME，DE⊥EF，ME∩EF=E，∴DE⊥平面MEF，∴PH⊥平面MEF．以H为原点，以HM，HF，HP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则E（0，﹣1，0），M（，0，0），C（0，1，2），N（，﹣，1）．∴=（，1，0），=（﹣，，1）．∴=+1×+0×1=0．∴．∴EM⊥NC．（3）F（0，1，0），H（0，0，0），G（，，1），∴=（，，1），=（0，0，2），=（﹣，，1），设平面NFC的法向量为=（x，y，z），则，即．令y=1得=（，1，0），∴cos＜＞==．∴直线GH与平面NFC所成角的正弦值为，∴直线GH与平面NFC所成角为．18．已知函数f（x）=e x（x2+ax+a）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤e a在[a，+∞）上有解，求实数a的取值范围；（3）若曲线y=f（x）存在两条互相垂直的切线，求实数a的取值范围．（只需直接写出结果）【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）当a=1时，f（x）=e x（x2+x+1），求出其导数，利用导数即可解出单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤e a在[a，+∞）上有解，即x2+ax+a≤e a﹣x，在[a，+∞）上有解，构造两个函数r（x）=x2+ax+a，t（x）=e a﹣x，研究两个函数的在[a，+∞）上的单调性，即可转化出关于a的不等式，从而求得a的范围；（3）由f（x）的导数f′（x）=e x（x+2）（x+a），当a≠﹣2时，函数y=f′（x）的图象与x 轴有两个交点，故f（x）图象上存在两条互相垂直的切线．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=e x（x2+x+1），则f′（x）=e x（x2+3x+2），令f′（x）＞0得x＞﹣1或x＜﹣2；令f′（x）＜0得﹣2＜x＜﹣1．∴函数f（x）的单调增区间（﹣∞，﹣2）与（﹣1，+∞），单调递减区间是（﹣2，﹣1）；（2）f（x）≤e a，即e x（x2+ax+a）≤e a，可变为x2+ax+a≤e a﹣x，令r（x）=x2+ax+a，t（x）=e a﹣x，当a＞0时，在[a，+∞）上，由于r（x）的对称轴为负，故r（x）在[a，+∞）上增，t（x）在[a，+∞）上减，欲使x2+ax+a≤e a﹣x有解，则只须r（a）≤t（a），即2a2+a≤1，解得﹣1≤a≤，故0＜a≤；当a≤0时，在[a，+∞）上，由于r（x）的对称轴为正，故r（x）在[a，+∞）上先减后增，t（x）在[a，+∞）上减，欲使x2+ax+a≤e a﹣x有解，只须r（﹣）≤t（﹣），即﹣+a≤e，当a≤0时，﹣+a≤e显然成立．综上知，a≤即为符合条件的实数a的取值范围；（3）a的取值范围是{a|a≠2，a∈R}．19．已知点A（x1，y1），D（x2，y2）（其中x1＜x2）是曲线y2=4x（y≥0）上的两点，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C，且|BC|=2．（Ⅰ）当点B的坐标为（1，0）时，求直线AD的斜率；（Ⅱ）记△OAD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求证：＜．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）由B的坐标，可得A的坐标，又|BC|=2，可得D的坐标（3，2），运用直线的斜率公式，即可得到所求值；（Ⅱ）法一：设直线AD的方程为y=kx+m．M（0，m），运用三角形的面积公式可得S1=|m|，将直线方程和抛物线的方程联立，运用判别式大于0和韦达定理，以及梯形的面积公式可得S2，进而得到所求范围；法二：设直线AD的方程为y=kx+m，代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式可得三角形的面积S1=|m|，梯形的面积公式可得S2，进而得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由B（1，0），可得A（1，y1），代入y2=4x，得到y1=2，又|BC|=2，则x2﹣x1=2，可得x2=3，代入y2=4x，得到y2=2，则；（Ⅱ）证法一：设直线AD的方程为y=kx+m．M（0，m），则．由，得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0，所以，又，又注意到，所以k＞0，m＞0，所以==，因为△=16﹣16km＞0，所以0＜km＜1，所以．证法二：设直线AD的方程为y=kx+m．由，得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0，所以，，点O到直线AD的距离为，所以，又，又注意到，所以k＞0，m＞0，所以，因为△=16﹣16km＞0，所以0＜km＜1，所以．20．已知集合Ωn={X|X=（x1，x2，…，x i，…，x n），x i∈{0，1}，i=1，2，…，n}，其中n ≥3．∀X={x1，x2，…，x i，…，x n}∈Ωn，称x i为X的第i个坐标分量．若S⊆Ωn，且满足如下两条性质：①S中元素个数不少于4个；②∀X，Y，Z∈S，存在m∈{1，2，…，n}，使得X，Y，Z的第m个坐标分量是1；则称S为Ωn的一个好子集．（1）S={X，Y，Z，W}为Ω3的一个好子集，且X=（1，1，0），Y=（1，0，1），写出Z，W；（2）若S为Ωn的一个好子集，求证：S中元素个数不超过2n﹣1；（3）若S为Ωn的一个好子集，且S中恰有2n﹣1个元素，求证：一定存在唯一一个k∈{1，2，…，n}，使得S中所有元素的第k个坐标分量都是1．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）根据好子集的定义直接写出Z，W，（2）若S为Ωn的一个好子集，考虑元素X′=（1﹣x1，1﹣x2，…，1﹣x i，…，1﹣x n），进行判断证明即可．（3）根据好子集的定义，证明存在性和唯一性即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）Z=（1，0，0），W=（1，1，1），…2分（Ⅱ）对于X⊆Ω，考虑元素X′=（1﹣x1，1﹣x2，…，1﹣x i，…，1﹣x n），显然X′∈Ωn，∀X，Y，X′，对于任意的i∈{1，2，…，n}，x i，y i，1﹣x i不可能都为1，可得X，X′不可能都在好子集S中…4分又因为取定X，则X′一定存在且唯一，而且X≠X′，且由X的定义知道，∀X，Y∈Ω，X′=Y′⇔X=Y…6分这样，集合S中元素的个数一定小于或等于集合Ωn中元素个数的一半，而集合Ωn中元素个数为2n，所以S中元素个数不超过2n﹣1；…8分（Ⅲ）∀X={x1，x2，…，x i，…，x n}，．∀Y={y1，y2，…，y i，…，y n}∈Ωn，定义元素X，Y的乘积为：XY={x1y1，x2y2，…，x i y i，…，x n y n}，显然XY∈Ωn，．我们证明：“对任意的X={x1，x2，…，x i，…，x n}∈S，都有XY∈S．”假设存在X，Y∈S，使得XY∉S，则由（Ⅱ）知，（XY）′={1﹣x1y1，1﹣x2y2，…，1﹣x i y i，…1﹣x n﹣1y n﹣1，1﹣x n y n}∈S，此时，对于任意的k∈{1，2，…n}，x k，y k，1﹣x k y k不可能同时为1，矛盾，所以XS∈S．因为S中只有2n﹣1个元素，我们记Z={z1，z2，…，z i，…，z n}为S中所有元素的乘积，根据上面的结论，我们知道={z1，z2，…，z i，…，z n}∈S，显然这个元素的坐标分量不能都为0，不妨设z k=1，根据Z的定义，可以知道S中所有元素的k坐标分量都为1 …11分下面再证明k的唯一性：若还有z t=1，即S中所有元素的t坐标分量都为1，所以此时集合S中元素个数至多为2n﹣2个，矛盾．所以结论成立…13分2020年9月3日。

2020年北京市海淀区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设全集U=R，集合A={x|x<2}，B={x|x2<4}则()A. A⊆BB. A⊇BC. A⊆∁U BD. B⊆∁U A2.下列函数是偶函数且值域为[0,+∞)的是()①y=|x|②y=x3③y=2|x|④y=x2+|x|A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④3.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，若抛物线上一点P到y轴的距离是1，则|PF|等于()A. 2B. 3C. 4D. 54.设两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β.下列命题正确的是()．A. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//nC. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD. 若m⊥α，m//n，n//β，则α⊥β5.在△ABC中，a=15，b=10，A=π3，则cos B等于()A. √33B. √63C. −√63D. ±√636.将函数的图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为()A. g(x)=cos2xB. g(x)=−cos2xC. g(x)=sin2xD.7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A. 8B. 4C. 83D. 438.命题“a>b”是命题“ac2>bc2”的()条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要9.如图所示，在正四棱锥S−ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC，则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是()A.B.C.D.10. 楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为( )A. 10B. 15C. 20D. 24二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 若复数(1+i)(a −i)为纯虚数，则实数a =______．12. 若双曲线的一条渐近线方程为y =√3x ，一个焦点为(4,0)，则该双曲线的标准方程为________． 13. 数列{a n }满足a 1=1，a n+1+2a n =0(n ∈N ∗)，数列{a n }的前n 项和为S n =______．14. 已知O 为坐标原点，点A(2,0)，B(0,2)，C(cosα,sinα)，且0<α<π.若|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√7，则OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为______ ．15. 已知函数f(x)={x 2+(4a −3)x +3a,x <0,log a (x +1)+1,x ≥0(a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f(x)|=2−x 3恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是____.三、解答题（本大题共6小题，共85.0分） 16. 已知{a n }是公差为d 的无穷等差数列，其前n 项和为S n .又___，且S 5=40，是否存在大于1的正整数k ，使得S k =S 1？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．从①a 1=4，②d =−2这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．17.如图，在四棱锥P−ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD//BC，AD=1，PA=AB=BC=2，M是棱PB的中点．(1)求证：AM//平面PCD；DC，求直线MN与平面PCD所成角的(2)若∠ABC=90°，点N是线段CD上一点，且DN=13正弦值．18.为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务．已知该地区居民约为2000万，从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示．(Ⅰ)估计该地区年龄在71∼80岁且已签约家庭医生的居民人数；(Ⅱ)据统计，该地区被访者的签约率约为44％.为把该地区年满18周岁居民的签约率提高到55％以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并结合数据对你的结论作出解释．19. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点P(−2,1)，且C 的离心率为√32． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点Q(2,0)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3，求l 的方程．20. 已知函数f(x)=e x (sinx +cosx)．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)求证：曲线y =f(x)在区间(0,π2)上有且只有一条斜率为2的切线．21.已知集合U={1,2，…，n}(n∈N∗,n≥2)，对于集合U的两个非空子集A，B，若A∩B=⌀，则称(A,B)为集合U的一组“互斥子集”.记集合U的所有“互斥子集”的组数为f(n)(视(A,B)与(B,A)为同一组“互斥子集”)．(1)写出f(2)，f(3)，f(4)的值；(2)求f(n)．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵全集U=R，集合A={x|x<2}，B={x|x2<4}={x|−2<x<2}，∴A⊇B．故选：B．先分别求出集合A和B，由此能判断集合A和B的包含关系．本题考查两个集合的包含关系的判断，考查子集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.答案：C解析：本题考查了函数的值域，考查了函数的奇偶性，是基础题．由函数的奇偶性与值域逐一判断，即可找出正确选项．解：①函数y=f(x)=|x|，可得f(−x)=|−x|=f(x)，定义域为R，故函数为偶函数且|x|≥0，故①正确；②函数y=f(x)=x3，可得f(−x)=(−x)3=−x3=−f(x)，定义域为R，故函数为奇函数，②错误；③易知y=2|x|为偶函数，但值域为[1,+∞)，故③错误；④y=f(x)=x2+|x|，可得f(−x)=(−x)2+|−x|=f(x)，定义域为R，故函数为偶函数且y= x2+|x|≥0，故④正确．故选C．3.答案：B解析：本题考查抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查．利用抛物线的性质求的抛物线的方程，然后利用抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离求解结果即可．解：抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，可得p=4，抛物线方程为：y2=8x．抛物线上一点P到y轴的距离是1，则|PF|=1+p2=1+2=3．故选B．4.答案：D解析：本题考查空间中直线与直线的位置关系，平面与平面的位置关系，属于基础题，根据空间线面位置关系的判定定理或性质进行判断或举反例说明，逐个选项判断即可．解：A中，m与n可垂直、可异面、可平行、可相交，故A错误，B中m与n可平行、可异面，故B错误，C中若α//β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故C错误，D中，m⊥α，m//n，则n⊥α，又n//β，∴在β内存在一直线l//n，且l⊥α，由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选D．5.答案：B解析：本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．由已知利用正弦定理可求sin B的值，利用大边对大角可求B为锐角，根据同角三角函数基本关系式可求cos B的值．解：∵a=15，b=10，A=π3，∴由正弦定理asinA =bsinB，可得：sinB=b⋅sinAa=10×√3215=√33，∵a>b，可得B为锐角，。

海淀高三数学二模答案及评分标准2020.6一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

注：第12题答案不唯一，写出一个形如221x y a a -=或221y x a a-=（22a >）的方程即可；第14题第一空3分，第二空2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。

三、解答题共6小题，共85分。

（16）（本小题共14分）解：选择条件①，不存在正整数(1)k k >,使得1k S S =.解法1 理由如下：在等差数列{}n a 中，5115455102S a d a d ⨯=+=+ 又14a =，540S =. 所以由 114,51040a a d =⎧⎨+=⎩ 得 2.d =所以 1(1)42(1)22n a a n d n n =+-=+-=+. 又因为110n n n S S a ++-=>，所以数列{}n S 为递增数列.即1k ∀>，都有1k S S >. 所以不存在正整数(1)k k >,使得1k S S =. 解法2 理由如下：在等差数列{}n a 中，5115455102S a d a d ⨯=+=+ 又14a =，540S =. 所以由 114,51040a a d =⎧⎨+=⎩ 得 2.d =所以21(1)(1)42322k k k k k S ka d k k k --=+=+⨯=+. 令14k S S ==，即2340k k +-=.解得1k =或4k =-. 因为1k >，所以1k =与4k =-均不符合要求. 所以不存在正整数(1)k k >,使得1k S S =.选择条件②，存在正整数12k =,使得1k S S =. 理由如下：在等差数列{}n a 中，5115455102S a d a d ⨯=+=+ 又2d =-，540S =. 所以由 12,51040d a d =-⎧⎨+=⎩ 得 112.a =所以21(1)(1)12(2)1322k k k k k S ka d k k k --=+=+⨯-=-+. 令112k S S ==，即21312k k -+=.整理得213120k k -+=.解得1k =或12k =. 因为1k >，所以12k =. 所以当12k =时，1k S S =.（17）（本小题共14分）（Ⅰ）证明：因为E 为AD 中点，所以112DE AD ==.又因为1BC =，所以DE BC =. 在梯形ABCD 中，//DE BC ， 所以四边形BCDE 为平行四边形.所以//BE CD . 又因为BE ⊄平面PCD ，且CD ⊂平面PCD ，所以//BE 平面PCD . 因为BE ⊂平面BEF ，平面BEF I 平面PCD FG =，所以//BE FG . （Ⅱ）解：（解法1）因为PE ⊥平面ABCD ，且,AE BE ⊂平面ABCD ，所以PE AE ⊥，且PE BE ⊥.因为四边形BCDE 为平行四边形，90ADC ∠=︒， 所以AE BE ⊥.以E 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系E xyz -. 则(0,0,0)E ，(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(1,1,0)C -，(1,0,0)D -. 设(0,0,)P m （0m >），所以(1,1,)CP m =-u u u r ，(1,1,0)AB =-u u u r . 因为PC 与AB 所成角为4π，所以cos ,CP AB <>u u u r u u u r =CP ABCP AB⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r 2222m -+⋅=cos 4π=2. 所以2m 则)2P ，112(,22F -.所以(0,1,0)EB =u u u r ，112(,22EF =-u u u r ，(0,1,)2PB =u u u r .设平面BEF 的法向量为(,,)x y z =n ，则00.EB EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r ，n n 即01120.22y x y =⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 令2x =，则1z =，所以(2,0,1)=n .所以直线PB 与平面BEF. （Ⅱ）（解法2）连结EC ,因为//AE BC 且AE BC =，所以四边形ABCE 为平行四边形.所以//AB CE .因为PC 与AB 所成角为4π，所以PC 与CE 所成角为4π.即4PCE π∠=.因为PE ⊥平面ABCD ，且CE ⊂平面ABCD ， 所以PE CE ⊥.又因为2EDC π∠=，所以平行四边形BCDE 是矩形.所以在等腰直角三角形PEC中，PE CE =. 因为PE ⊥平面ABCD ，且,AE BE ⊂平面ABCD ， 所以PE AE ⊥，且PE BE ⊥. 又因为AE BE ⊥，以E 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系E xyz - 则(0,0,0)E ，(0,1,0)B，P ，(1,1,0)C -，11(,22F -.所以(0,1,0)EB =u u u r，11(,22EF =-u u u r，(0,1,PB =u u u r .设平面BEF 的法向量为(,,)x y z =n ，则00.EB EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r ，n n即0110.22y x y =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，令x =，则1z =，所以=n.所以直线PB 与平面BEF . （18）（本小题共14分）解: （Ⅰ）由图1可知，该地区居民中年龄在71~80岁的频率为0.00410=4%⨯.由图2可知，样本中年龄在71~80岁居民家庭医生的签约率为70.0%， 因为该地区居民人数约为2000万，所以该地区年龄在71~80岁，且已签约家庭医生的居民人数约为20004%70.0%=56⨯⨯（万人）.（Ⅱ）由题意，从该地区年龄在71~80岁居民中随机抽取一人，其签约家庭医生的概率为710. 设i A 表示事件“从该地区年龄在71~80岁居民中随机抽取两人，其中第i 个人已签约家庭医生”（1,2i =）， 则7()10i P A =，73()11010i P A =-=（1,2i =）. 设事件C 为“从该地区年龄在71~80岁居民中随机抽取两人,这两人中恰有1人已签约家庭医生”， 则1221C A A A A =U . 所以1212733721()()()()()1010101050P C P A P A P A P A =+=⨯+⨯=. 所以这两人中恰有1人已签约家庭医生的概率为2150. （Ⅲ）应着重提高年龄在31~50岁居民的签约率.理由如下：①依题意，该地区年满18周岁居民签约率从44%提高到55%以上，需至少提升11%；②年龄在31~50岁居民人数在该地区的占比约为： 21%+16%=37%，占比大； ③年龄在31~50岁居民的医生签约率较低，约为37.1%； ④该地区年满18周岁居民的人数在该地区的占比约为：0.008+0.0050.7)10=0.885⨯⨯1-(；所以，综合以上因素，若该年龄段签约率从37.1%提升至100%，可将该地区年满18周岁居民签约率提升37%(137.1%)0.88537%62.9%23%⨯-÷>⨯≈，大于11%.（19）（本小题共15分）解：（Ⅰ）由题意，2221.b caa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2,1.a b =⎧⎨=⎩所以椭圆W 的方程为2214x y +=.（Ⅱ）由题意，直线l 不与坐标轴垂直.设直线l 的方程为： 1y kx =+（0k ≠）. 由221,4 4.y kx x y =+⎧⎨+=⎩得22(41)80k x kx ++=.设11(,)C x y ，因为10x ≠，所以12841kx k -=+. 得21122814114141k k y kx k k k --=+=⋅+=++.即222814(,)4141k k C k k --++.又因为(0,1)B -，所以22121411418441k k k k kk -++==--+.由1,2.y kx y =+⎧⎨=⎩ 得1,2.x k y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 所以点M 的坐标为1(,2)k. 所以22131k k k+==. 所以1213344k k k k ⋅=-⋅=-. （20）（本小题共14分）解：（Ⅰ）()e (sin cos )+e (cos sin )x x f x x x x x '=+-2e cos x x =.令()0,f x '>得22()22k x k k πππ-<<π+∈Z . 所以()f x 的单调递增区间为(2,2)22k k πππ-π+()k ∈Z .（Ⅱ）证明： 要证曲线()y f x =在区间(0,)2π上有且只有一条斜率为2的切线，即证方程'()2f x =在区间(0,)2π上有且只有一个解. 令()f x '2e cos 2x x ==，得e cos 1x x =. 设c (1)e os x g x x =-，则()e cos e sin sin()4x x x g x x x x π'=-=-. 当(0,)2x π∈时，令()0g x '=，得4x π=. 当x 变化时，'(),()g x g x 的变化情况如下表：所以()g x 在(0,)4π上单调增，在(,)42ππ上单调减.因为0(0)g =,所以当(0,]4x π∈时，()0g x >；又1(0)2g π=-<，所以当(,)42x ππ∈时，()g x 有且只有一个零点.所以当(0,)2x π∈时，c (1)e os x g x x =-有且只有一个零点. 即方程2()f x '=，(0,)2x π∈有且只有一个解.所以曲线()y f x =在区间(0,)2π上有且只有一条斜率为2的切线.（21）（本小题共14分）解：（Ⅰ）①由题知'(2,2),'(3,1)A B -，进而有2222||||||||(2+1)(32)34OA OB +=++=，2222||'||||'||(2+2)(31)32OA OB +=++=，所以2222||||||||||'||||'||OA OB OA OB +≥+.所以,A B 两点相关； ②由题知'(4,4),'(2,3)C D -，进而有2222||||||||=4+3)(24)85OC OD +++=（， 2222||'||||'||4+4)(23)89OC OD +=++=（，所以2222||||||||||'||||'||OC OD OC OD +<+，所以,C D 两点不相关. （Ⅱ）(ⅰ)设(1,1)A 的相关点为(,)B x y ，,x y ∈Z ，,n x n n y n -≤≤-≤≤,由题意，'(1,)A y ，'(,1)B x .因为点,A B 相关，则222242||||12||12||x y x y y y x x +++≥+++++. 所以||||||||10x y x y --+≥. 所以(||1)(||1)0x y --≥.当0x =时,{}||0,1y ∈,则(1,1)A 相关点的个数共3个; 当||1x =时,则(1,1)A 相关点的个数共42n +个; 当||2x ≥时, ||1y ≥，则(1,1)A 相关点的个数共4(1)n n -个. 所以满足条件点B 共有24(1)42345n n n n -+++=+(个). (ⅱ)集合S 中元素个数的最大值为81n -.{(0,0),(0,1),(1,1),(1,),(2,),,(,)}S n n n n =±±±±±±±±±L L 符合题意 下证：集合S 中元素个数不超过81n -. 设1122(,),(,)A x y B x y ，若点,A B 相关，则2222111122222||||2||||x y x y x y x y +++++2222121221212||||2||||x y x y x y x y ≥+++++.则11221221||||||||x y x y x y x y +≥+. 所以1212(||||)(||||)0x x y y --≥.设集合S 中共有m 个元素，分别为(,)i i i A x y ，1i m ≤≤，*i N ∈， 不妨设12||||||m x x x ≤≤L ，而且满足当1||||i i x x +=，1||||i i y y +≤. 下证：12||||||m y y y ≤≤≤L . 若1||||i i x x +=，1||||i i y y +≤. 若1||||i i x x +<，则必有1||||i i y y +≤.记，11||||||||i i i i i d x y x y ++=+--，11i m ≤≤-，*i ∈N ， 显然，数列{}i d 至多连续3项为0，必有1231i i i i d d d d ++++++≥， 假设81m n >-，则1281123481()21n n d d d d d d d d n --+++=+++++≥-L L . 而12818181||||||||21n n n d d d x x y y n -+++=-+-≥-L , 因此，必有10x =或10y =.可得，12,d d 不可能同时为0，则121d d +≥.所以1281123481()()2n n d d d d d d d d n --+++=+++++≥L L . 必有88||||n n x y n ==，110x y ==. 所以，11d =，230d d ==.因此22||||1x y +=，33||||1x y +=，44||||1x y +=. 若2||1x =，则234,,{(1,0),(1,0)}A A A ∈-，矛盾. 同理，2||1y =，矛盾. 因此，假设不成立.所以81m n ≤-. 所以集合S 中元素个数的最大值为81n -.。