第7讲 函数自变量的取值范围问题

自变量的取值范围确定函数自变量的取值范围是研究函数时经常会遇到的问题，可能有些同学由于思考不全面等原因，往往出现顾此失彼的错误。

一、只考虑部分，而忽视了整体例1 求函数4y x =-的自变量x 的取值范围。

错解：由x+5≥0，得自变量x 的取值范围是x ≥-5。

14x -有意义的条件，即40x -≠。

正解：欲使函数y =有意义，则5040x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得x ≥-5且x ≠-4。

所以此函数自变量的取值范围是x ≥-5且x ≠-4。

二、只考虑一部分，而忽视了另一部分例2 求函数213x y x-=+-+的自变量x 的取值范围。

错解：由-3+x ≠0，解得自变量x 的取值范围为x ≠3。

错解剖析：错解中只考虑了213x x--+这一部分有意义的条件，而忽视了x 的取值。

正解：要使213x y x -=+-+有意义，则3010x x -+≠⎧⎨-≥⎩，解得x ≥1且x ≠3。

三、只考虑解析式有意义，而忽视了问题本身的意义例3 等腰三角形的周长为20cm,若设一腰为xcm ，写出底边y(cm)与腰长x （cm ）的解析式，并求出自变量x 的取值范围。

错解：y 与x 的函数解析式202y x =-，自变量x 的取值范围是全体实数。

错解剖析：错解中只考虑202x -有意义的条件，而忽视了问题本身的几何意义。

正解：y 与x 的函数解析式202y x =-。

因为0x >，0y >，又有三角形任意两边之和大于第三边，可得到不等式组02020202x x x x x >⎧⎪->⎨⎪+>-⎩解得510x <<。

所以函数自变量x 的取值范围是510x <<。

函数自变量取值范围函数自变量的取值范围是使函数解析式有意义的自变量的所有可能取值，它是一个函数被确定的重要因素，一直是中考的热点问题之一，下面举例谈谈这类问题的常见类型和解法供供同学们学习时参考。

一、教法点拨：1.在一般的函数关系式中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：（1）函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；（2）函数关系式为分式形式：分母≠0；（3）函数关系式含偶次方根：被开方数≥0；（4）函数关系式含0指数或负整数指数：底数≠0.（5）解析式是上述几种形式组合而成时，应首先求出式子中各部分的取值范围，然后再求出它们的公共部分；2. 实际问题中自变量的取值范围：（1）注意自变量自身表示的意义；（2）问题中的限制条件，此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围。

3. 几何图形中函数自变量的取值范围：（1）使函数式有意义；（2）考虑几何图形的构成条件及运动范围。

注意记清各种情况，判断哪一类型，准确计算即可。

二、题型分类：题型一：函数关系式中自变量取值范围1.解析式是整式时, 函数自变量取值范围是全体实数。

（原创题）①y = x2-3 ；②y = 2x -1；③ y =-3x .2.解析式是分式时,自变量的取值范围是使分母不为0的实数。

①（2018哈尔滨）函数y= 中，自变量x的取值范围是_________。

②(2018武汉）若分式在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（）[来源:学科网ZXXK] A．x＞－2B．x＜－2C．x＝－2D．x≠－2③(2017哈尔滨)函数Y= 中，自变量X取值范围是____________。

④（2018•宿迁）函数y= 中，自变量x的取值范围是（）A．x≠0B．x＜1C．x＞1D．x≠13.解析式是偶次根式,自变量的取值范围是被开方数为非负数。

①(2018北京市）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是。

②(2018湖北十堰）函数的自变量x的取值范围是。

初中数学_如何确定函数自变量的取值范围确定函数自变量的取值范围是数学中的一个重要问题。

在解决数学问题和应用函数时，我们需要正确地确定自变量的取值范围，以保证问题的有效性和解决方案的正确性。

本文将介绍一些常见的确定函数自变量取值范围的方法。

首先，我们需要明确函数的定义域。

函数的定义域是指可以使函数有意义的自变量的取值范围。

根据函数的性质和实际问题的限制，我们可以用以下几种方法确定函数的定义域。

1.代数方法：根据函数的代数表达式，我们可以通过排除无意义或不符合要求的值来确定函数的定义域。

常见的情况包括分母不能为零、平方根函数的被开方数不能为负数等。

例如，对于函数f(x)=1/x，在这个函数中，分母不能为零，所以我们可以排除x=0。

因此，定义域可以表示为x≠0。

2.几何方法：通过函数的几何意义，我们可以确定自变量的取值范围。

例如，对于平方根函数y=√x，我们知道平方根函数的被开方数不能为负数。

因此，自变量的取值范围是x≥0。

3.实际问题的限制：在解决实际问题时，问题本身可能对自变量的取值范围有限制。

例如，一些问题要求在一个已知的范围内解决，那么自变量的取值范围可以限定在这个已知范围内。

其次，我们需要注意函数图像的特点，以确定函数自变量的取值范围。

1.函数的增减性：考虑函数的增减性可以帮助我们确定自变量的取值范围。

例如，对于一个递增函数，在这个函数中，随着自变量的增加，函数值也会增加。

因此，自变量的取值范围可以是无穷大或有实数限制的有界范围。

2.函数的奇偶性：如果函数是奇函数，那么函数图像关于原点对称，即f(x)=-f(-x)。

如果函数是偶函数，那么函数图像关于y轴对称，即f(x)=f(-x)。

根据函数的奇偶性可以帮助我们确定函数自变量的取值范围。

例如，如果函数是奇函数，那么自变量的取值范围可以限定在非负数范围内。

最后，我们可以通过函数的应用问题来确定自变量的取值范围。

1.题目限定：在解决应用问题时，问题本身可能对自变量的取值范围有限制。

如何求函数自变量的取值范围求函数自变量的取值范围是初中数学的重点内容、是历年中考的重要内容。

现将有关求函数自变量的取值范围的几种形式综合如下，供参考。

一、整式、奇次根式形式 其自变量的取值范围是全体实数例1 求下列函数中，自变量 x 的取值范围:(1) y=5x 2-2x+1 (2) y=332-x解：（1）（2）中 x 取任意实数，3x 2-2x+1与312-x 都有意义。

∴（1）（2）中 x 的取值范围为一切实数。

练习：（1） 函数y=3x 3-5x 2-7x-8中，自变量 x 的取值范围是____________。

(2) 函数y= 3723--x x 中,自变量 x 的取值范围是____________二、偶次根式形式 其自变量的取值范围是使被开方式的值为非负例2 若36x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是A ．2x -≥B ．2x ≠-C ．2x ≥D ．2x ≠ （2010南通市中考题） 解：由3x-6≥0 ∴x ≥2 故选C练习：（１）函数y=12-x 中,自变量 x 的取值范围是______。

函数y=x -1中,自变量 x 的取值范围是______。

（２）函数y=32+x 中,自变量 x 的取值范围是______。

三、分式形式 其自变量的取值范围是使分母不为零的实数例3函数的自变量x 的取值范围是( )A ．x ≠0B ．x ≠1C ．x ≥1D ．x ≤1 (2010苏州市中考题） 解：令x-1≠0 ∴x ≠1 故选B(2) 练习：（1）函数y=11+x 中,自变量 x 的取值范围是______。

四、0指数幂的形式 其自变量的取值范围是底数不等于零的一切实数例4 求使(2x-3)0有意义的x 的范围解：令2x-3≠0 ∴x ≠3/2练习：求使(3x-2)0+2x-1有意义的x 的范围五、综合形式 其自变量的取值范围是使组成这个函数的各个小部分都有意义 例5 函数y=2+x ＋31-x 中,自变量 x 的取值范围是______。

一、自变量的取值范围的确定方法
①当解析式为整式时，自变量的取值范围是全体实数；
②当解析式是分数的形式时，自变量的取值范围是使分母不为零的所有实数；
③当解析式中含有平方根时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；
④当函数解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义。

二、变量及函数的定义
函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个自变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。

如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

变量：
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量。

（数学中，常常为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。

自变量：函数一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。

因变量(函数)：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量(函数)有且只有唯一值与其相对应。

三、变量的关系：
1.在具体情境中，感受两个变量之间的关系，就是一个变量随着另一个变量的变化情况，例如随着一个变量的变化，有的变量是呈匀速变化的，有的变量是呈不匀速变化的；
2.进而发现实际情景中的变量及其相互关系，并确定其中的自变量和因变量，会用运动变化的基本观点观察事物。

也就是说，在两个有相依关系的变量中，其中一个是自变量，另一个是因变量；
3.自变量和因变量之间的变化关系可以用表格来刻画，也可以用图象来描述，并能对未来的趋势加以预测。

四、函数自变量的取值范围的确定方法：
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做函数自变量的取值范围．。

求函数自变量的取值范围的确定方法确定函数自变量的取值范围是数学问题中的一个重要环节，它涉及到函数的定义域、排除可能的异常情况，以及满足问题背景要求的合理取值范围等。

在本文中，我将从多个角度解释如何确定函数自变量的取值范围。

1.首先，根据函数的定义来确定自变量的取值范围。

在确定函数自变量的取值范围之前，我们需要了解函数的定义。

函数可以通过数学表达式、描述或者图像来定义。

对于数学表达式来说，自变量一般不应使函数的分母为零或者函数内存在不合法值（例如负数的平方根）等情况。

对于描述和图像来说，需要根据问题背景对自变量的限制进行理解。

例如，一个描述中可能指定了自变量必须为正整数，或者一个图像中显示了自变量只能在一些特定范围内取值。

2.其次，根据问题的背景确定自变量的取值范围。

问题的背景可能涉及到实际世界的限制条件，例如物理问题中对时间、空间的限制。

在这种情况下，我们需要根据问题的具体要求来确定自变量的取值范围。

例如，如果问题要求求解一个物体在一段时间内的位移，那么时间必须在非负范围内取值。

3.然后，考虑函数所处的数学领域以及函数类型。

不同的数学领域和函数类型对自变量的取值范围有不同的要求。

例如，对于实数域上的函数，自变量的取值范围可以是整个实数集；对于复数域上的函数，自变量的取值范围可以是整个复平面。

此外，特殊类型的函数（例如三角函数、指数函数）也会有特定的自变量取值范围。

在确定函数自变量的取值范围时，需要考虑到这些领域和类型的特殊要求。

4.最后，通过排除可能的异常情况来确定自变量的取值范围。

在解决实际问题时，常常需要考虑一些异常情况，例如除零错误或其他无法计算的情形。

在这些情况下，我们需要通过排除这些异常情况来确定自变量的取值范围。

例如，如果函数在一些自变量值附近没有定义，则需要将这个值排除在自变量的取值范围之外。

总结起来，确定函数自变量的取值范围需要结合函数的定义、问题的背景、数学领域和函数类型以及异常情况等因素综合考虑。

函数自变量的取值范围问题二、方法剖析与提炼例1．在下列函数关系式中，自变量x 的取值范围分别是什么？ ⑴23-=x y ； ⑵121-=x y ； ⑶43-=x y ； ⑷xx y 32+=； ⑸0)3(-=x y【解答】⑴x 的取值范围为任意实数；⑵分母012≠-x ∴21≠x ∴x 的取值范围为21≠x ；⑶043≥-x ∴34≥x ∴x 的取值范围为34≥x ；⑷⎩⎨⎧≠≥+0302x x ∴2-≥x 且0≠x ∴x 的取值范围为：2-≥x 且0≠x ⑸x -3≠0 ∴x ≠3，x 的取值范围为x ≠3．【解析】⑴为整式形式：函数关系式是一个含有自变量的整式时，自变量的取值范围是全体实数．⑵分式型：当函数关系式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数．⑶偶次根式：当函数关系式是偶次根式时，自变量取值范围是使被开方数为非负数的实数．含算术平方根：被开方数043≥-x ． ⑷复合型：当函数关系式中，自变量同时含在分式、二次根式中时，函数自变量的取值范围是它们的公共解，即建立不等式组，取它们的公共解．⑸0指数型：当函数关系式中，自变量同时含在0指数下的底数中时，自变量取值范围是使底数为非零的实数．即底数x -3≠0 ．【解法】解这类题目，首先搞清楚函数式属于“整式型”、“分式型”、“偶次根式”、“0指数型”、“复合型”当中哪一个类型，自变量的取值必须使含有自变量的代数式有意义即可．【解释】这种解题策略可以推广到其他问题，如： 求31+x 中x 的取值范围．解：右边的代数式属于奇次根式型，自变量的取值范围是全体实数． 例2．某学校在2300元的限额内，租用汽车接送234名学生和6名教师集体外出活动，每量汽车上至少有一名教师．甲、乙两车载客量和租金如下表：设租用甲种车x 辆，租车费用为y 元，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．【解答】⑴由题设条件可知共需租车6辆，租用甲种车x 辆，则租用乙种车辆（6－x ）辆．y =400x +280（6-x ）=120x +1680∴y 与x 的函数关系式为：y =120x +1680⑵∵⎩⎨⎧≤+≥-+23001680120240)6(3045x x x ， ∴⎩⎨⎧≤≥54x x ， ∴自变量x 的取值范围是：4≤x ≤5【解析】（1）租车费用y =甲种车辆总费用+乙种车辆总费用．（2）函数关系式同时也表示实际问题时，自变量的取值范围要同时使实际问题有意义．自变量x 需满足以下两个条件： 一是，甲、乙两车的座位总数≥师生总数240名；二是，费用≤2300元，还要考虑到实际背景下的x 为整数．【解法】关注问题中所有的限制条件，多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围．【解释】做此题前首先要先从乘车人数的角度考虑应总共租多少辆汽车．因为题目已知总共6名教师，而且要求每辆车上至少有一名教师．所以，最多租用6辆车．同时，也不能少于6辆车否则座位数少于师生总数，不能接送所有的师生．由此可知共租用6辆车子． 例3．一个正方形的边长为5cm ，它的边长减少x cm 后得到的新正方形的周长为y cm ，写了y 与x 的关系式，并指出自变量的取值范围．【解答】解：由题意得，y 与x 的函数关系式为y =4（5-x ）=20-4x ；自变量x 应满足⎩⎨⎧≥>-005x x 解得0≤x ＜5，所以自变量的取值范围是0≤x ＜5．【解析】正方形的周长=边长×4，即y =4（5-x ）；自变量的范围同时满足两个条件：一是，正方形的边长是正数；二是，边长减少的x 应取非负数．【解法】关注问题中所有的限制条件，多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围．【解释】函数关系式表示实际问题时，自变量的取值范围要同时使实图1际问题有意义．例4．若等腰三角形的周长为20cm ，请写出底边长y 与腰长x 的函数关系式，并求自变量x 的取值范围．【解答】y =20-2x∵⎪⎩⎪⎨⎧>+>≥y x x y x 00，∴⎪⎩⎪⎨⎧->>-≥x x x x 220202200，∴⎪⎩⎪⎨⎧><≥5100x x x ，∴自变量x 的取值范围是5＜x ＜10．【解析】自变量的范围同时满足两个条件：一是，x 表示等腰三角形腰长，要求x ≥0；二是，等腰三角形底边长y ＞0；三是，三角形中“两边之和大于第三边”，即2x ＞y ．最后综合自变量x 的取值范围．【解法】自变量x 的取值要满足多个条件，根据条件列出不等式得到不同情况和答案，之后取交集．【解释】别忘记解答的最后要写出各个情况的交集． 例5．如图1，在边长为2的正方形ABCD 的一边BC 上，一点P 从B 点运动到C 点，设BP =x ，四边形APCD 的面积为y ．（1）写出y 与x 的函数关系式及x 的取值范围；（2）说明是否存在点P ，使四边形APCD 的面积为1.5．【解答】（1）x y -=4，x 的取值范围是40≤≤x ．（2）令5.1=y ，得x -=45.1， ∴5.2=x∴存在点P 使四边形APCD 的面积为1.5．【解析】（1）ABP ABCD APCD S S S ∆-=正方形四边形，其中取值范围要考虑让P 从B 点运动到C 点过程中，x 由小变大．特别的，当P 在B 处，0=x ．（2）求出的x 的值要符合x 的取值范围．【解法】几何问题中的函数关系式，除使函数式有意义外，还需考虑几何图形的构成条件及运动范围．【解释】求实际问题中的自变量取值范围时，如果用运动观点研究，动点必须在一定的轨道上运动，而且要时刻兼顾到图形其它的部分的变化．三、能力训练与拓展1．函数y =15-x 21的自变量取值范围是 ．2．函数34x y x -=-的自变量x 的取值范围是 ． 3．在函数1-=x y 中，自变量x 的取值范围是（ ）．A 、x ≥－1B 、x ≠1C 、x ≥1D 、x ≤14．函数3y x =-中自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≥1- B ．x ≠3 C ．x ≥1-且x ≠3 D ． 1x <-5．已知等腰三角形的面积为20cm 2，设它的底边长为x （cm ），则底边上的高y （cm ）关于x 的函数关系式为 ，自变量的取值范围是： ．6．汽车由北京驶往相距850千米的沈阳．它的平均速度为80千米/时．求汽车距沈阳的路程S (千米)与行驶时间t(小时)的函数关系式，写出自变量的取值范围．7.如图2，在矩形ABCD中，边CD上有一动点P(异于C、D)，设DP＝x，AD＝a，AB＝b，△APD和△QCP面积之和为y，写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．8．如图3，OM⊥ON，AB＝a，点A、B分别在ON、OM上滑动．设OB＝x，△OAB面积为y，写出y与x的函数关系及x的取值范围．9.如图4，△ABC中，AC＝4，AB＝5，D是AC边上点，E是AB边上点，∠ADE＝∠B，设AD＝x，AE＝y，写出y与x之间函数关系式及x的取值范围．10.用长6米铝合金条制成如图形状的矩形窗框， 问长和高各是多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？1．全体实数【解析】由于15-x 21是整式，所以x 的取值范围是全体实数． 2．x ≠4【解析】43--x x 是分式，由分母x -4≠0得x ≠4,所以x 的取值范围是x ≠4． 3．C【解析】此函数关系式是二次根式，由被开方数为非负数可知，x -1≥0，所以x ≥1．故选C ．4．Ｃ。

函数自变量的取值范围
函数自变量的取值范围：
①在一般的情况下,自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数；
②函数y的取值范围也是任意非零实数。

取值范围怎么求
函数的自变量x的取值范围指的就是函数的定义域，用初中的说法就是使得函数的式子有意义的x的范围。

（1）解析式为整式的，自变量可取任意实数；
（2）解析式是分式的，自变量应取母不为0的实数；
（3）解析式是二次根式或偶次根式的，自变量取被开方数不小于0的实数等；
（4）对于函数解析式复杂的复合函数，应全面考虑，使其解析式中各式都有意义。

如y=1/x+根（3x-1），其取值为x≥1/3.2，对于有实际意义的函数，应当根据实际意义确定其自变量的取值范围。

有限区间
(1)开区间例如:{x|a&lt;x&lt;b}=(a,b)
(2)闭区间例如:{x|a≤x≤b}=[a,b]
(3)半开半闭区间例如:{x|a&lt;x≤b}=(a,b]
{x|a≤x&lt;b}=[a,b)
b-a成为区间长度。

有限区间在数学几何上的意义表现为：一条有限长度的线段。

如何确定函数自变量的取值范围湖北省黄石市下陆中学宋毓彬为保证函数式有意义，或实际问题有意义，函数式中的自变量取值通常要受到一定的限制，这就是函数自变量的取值范围．函数自变量的取值范围是函数成立的先决条件，只有正确理解函数自变量的取值范围，我们才能正确地解决函数问题．初中阶段确定函数自变量的取值范围大致可分为以下三种类型：一、函数关系式中自变量的取值范围在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：⑴函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；⑵函数关系式为分式形式：分母≠0；⑶函数关系式含算术平方根：被开方数≥0；⑷函数关系式含0指数：底数≠0．例1．在下列函数关系式中，自变量x的取值范围分别是什么？⑴y=2x-5；⑵y=；⑶y=；⑷y=；⑸y=（x-3）0解析：⑴为整式形式：x的取值范围为任意实数；⑵为分式形式：分母2x+1≠0∴x≠－∴x的取值范围为x≠－；⑶含算术平方根：被开方数3x-4≥0 ∴x≥∴x的取值范围为x≥；⑷既含分母、又含算术平方根，故∴x≥－2且x≠0x的取值范围为：x≥－2且x≠0⑸含0指数，底数x-3≠0 ∴x≠3，x的取值范围为x≠3．二、实际问题中自变量的取值范围．在实际问题中确定自变量的取值范围，主要考虑两个因素：⑴自变量自身表示的意义．如时间、用油量等不能为负数．⑵问题中的限制条件．此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围．例2、某学校在2300元的限额内，租用汽车接送234名学生和6名教师集体外出活动，每量汽车上至少有一名教师．甲、乙两车载客量和租金如下表：甲种车辆甲种车辆载客量（单位：人/辆）45 30租金（单位：元）400 280设租用甲种车x辆，租车费用为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．解析：⑴由题设条件可知共需租车6辆，租用甲种车x辆，则租用乙种车辆（6－x）辆．y=400x+280（6-x）=120x+1680∴y与x的函数关系式为：y=120x+1680⑵自变量x需满足以下两个条件：240名师生有车坐：45x+30（6-x）≥240 ∴x≥4费用不超过2300元：120x+1680≤2300 ∴x≤5∴自变量x的取值范围是：4≤x≤5三、几何图形中函数自变量的取值范围几何问题中的函数关系式，除使函数式有意义外，还需考虑几何图形的构成条件及运动范围．特别要注意的是在三角形中“两边之和大于第三边”．例3．若等腰三角形的周长为20cm，请写出底边长y与腰长x的函数关系式，并求自变量x的取值范围．解析：底边长y与腰长x的函数关系式为：y=20-2x①x表示等腰三角形腰长：x≥0②三角形中“两边之和大于第三边”：2x＞y 即2x＞20-2x ∴x＞5③等腰三角形底边长y＞0，20-2x＞0，∴x＜10∴自变量x的取值范围是：5＜x＜10作者简介：宋毓彬，男，43岁，中学数学高级教师．在《中学数学教学参考》、《数哩天地》、《中学生数学》、《数理化学习》、《数理化解题研究》、《中学课程辅导》、《数学周报》、《数学辅导报》等报刊发表教学辅导类文章40多篇．主要致力于初中数学中考及解题方法、技巧等教学方面的研究．。

函数自变量取值范围的确定方法在数学中，函数是一种映射关系，它将自变量的取值映射到因变量的取值。

确定函数自变量的取值范围是非常重要的，它决定了函数的定义域，也就是函数能够接受的有效输入。

以下是几种确定函数自变量取值范围的方法：1.函数定义式：函数的自变量取值范围可以通过函数的定义式来确定。

例如，对于一个有理函数f(x)=1/(x+1)，我们可以通过分析定义式知道x的取值范围不能为-1，因为分母不能为零。

2.分段函数：如果一个函数在不同的自变量范围内有不同的定义式，那么我们需要考虑每个定义式的自变量取值范围。

例如，对于一个分段函数f(x)=，x，我们知道在x<0时，f(x)=-x；在x≥0时，f(x)=x。

因此，对于x<0和x≥0，我们需要考虑两个不同的自变量取值范围。

3.函数图象：函数的图象可以提供有关函数自变量的取值范围的一些线索。

我们可以通过观察函数的图象来确定函数自变量的取值范围。

例如，对于一个简单的二次函数f(x)=x^2，我们可以看到函数图象是一个开口朝上的抛物线，意味着函数自变量的取值范围为实数集。

4.函数的性质和约束：函数的性质和约束也可以提供有关函数自变量取值范围的信息。

例如，对于一个表示物体高度的位置函数f(t)，我们知道物体不能以负的高度存在，因此自变量t的取值范围不能小于零。

5.实际问题：当函数被用于解决实际问题时，问题所涉及的条件和限制可以帮助确定函数自变量取值范围。

例如，对于一个描述人的体重变化的函数f(t)，我们知道体重不能为负，因此自变量t的取值范围不能小于零。

总之，确定函数自变量取值范围的方法包括分析函数的定义式、分段函数的定义式、观察函数图象、考虑函数的性质和约束以及解决实际问题时考虑问题所涉及的条件和限制等。

通过这些方法，我们可以确定函数自变量的取值范围，从而确保函数的定义域是有效的。

函数自变量的取值范围相建科各位老师，大家下午好，本学期我讲的组内公开课是函数自变量的取值范围，函数，是研究运动变化的重要数学模型，它源自生活，又服务于生活，函数，有着广泛的应用，初中阶段对函数的认识也是逐步加深的，因此，本节课的学习效果如何？将直接影响学生的后续学习。

下面只讲一下，我在授课过程，备课过程当中的一些心得，请各位老师批评指正。

函数自变量，这一课时是学习了函数，变量，常量之后，紧接着的一个课时，学生本身学函数就觉得特别难以理解，所以，往往，会不由自主的认为，自变量取值范围也特别难特别的抽象，所以，要求老师把抽象的问题，具体化让学生在认知上驱除障碍要求老师设计出有针对性的教学方法，直观形象的突破难点。

整个教学设计上，分三大块内容，一是，导入，二是解决，量大问题，第一个问题是，单纯解析式中的函数，自变量取值范围，第二个问题是，实际问题当中，自变量的取值范围。

我先通过几个旧的知识点，分式，二次根式零指数幂，负指数幂，有意义的条件，考查学生对这些知识的掌握，要求，学生独立完成几个简单的题目，由此引入研究函数关系式，与以上几种形式相关的函数的自变量的，取值范围的问题，并提出，自变量的取值有限制吗？这一问题，从而勾起学生求知的欲望，调动学生的主动性，而且，这种课堂导入，提前做好了知识铺垫，使学生体会，知识的形象具体。

紧接着是引入针对单纯解析式中的函数，自变量取值范围要求学生完成，四个单纯的取值范围，问题，每一个题目为一种类型，分别为，函数关系式为整式形式，函数关系式为分式形式，函数关系式含算术平方根，函数关系式含零指数幂。

而且只是单纯的考察一种情况，不做复杂，要求。

所以学生会，根据刚刚回忆的旧的知识，很快又很准确的，做出这几道题，并且感知到了，学习的简单快乐！随后要求学生进一步学习，解析式的函数关系式中自变量的取值范围，但，此时老师出示的题目中就出现了一个函数中考虑多种情况的，自变量的，问题，所以，要求学生，1/2小组可以交流讨论如果有问题组内，成员可以及时发现并改正从而让学生感受到了，我们的学习的坡度在一步一步提升，考虑问题要逐渐的周全深入此时这几道题目完成之后，学生也会感受到原来自变量取值范围，即使再复杂也不是特别难的，增强自己的学习信心！但是涉及到较复杂，解析式的函数自变量取值范围的问题，要求同学们，学习，1元1次不等式和1元1次不等式组，的知识，必须得是扎实的这个时候老师抛出新的问题，那么具体问题当中，我们需不需要考虑，自变量的取值范围呢这样就引入了今天的，第二大问题，也是比较难的问题，实际问题中的自变量的取值范围在实际问题中，确定自变量的取值范围，主要考虑两个因素，一自变量自身表示的意义，如时间，用油量等不能为负数，二，问题中的限制条件，此时都用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围，几何问题中的函数关系式，除是函数式有意义外，还需要考虑几何图形的构成条件及运动范围，特别要注意的是，在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，所以老师引入了一个问题，是同学们比较喜欢作的，关于三角形三边关系的题目，以此为例题，学生上版，老师及时的指导，就用到了，不等式组的解法，这边和以前所学习的知识，联系更密切了对于第二大知识的解决也是，低坡度进行，先易后难，教师出示的题目，由，简到难，由，捡到，烦可以让多数的学生参与进来让大多数学生学有所得。

函数自变量的取值范围六种类型
函数的自变量取值范围可以分为以下六种类型：
1.实数范围（R）：自变量可以是任意实数，即包括所有正数、负数
和零。

在实数范围内，自变量可以取任何实数值，例如-3.5、2.1、π等等。

实数范围是最一般的自变量取值范围。

2.正数范围（R+）：自变量只能取正数。

正数范围常用于表示物理世
界中的非负量，例如时间、质量等。

一般来说，时间、质量等都不能取负值，所以在表示这类量时，自变量的取值范围应限定为正数范围。

3.负数范围（R-）：自变量只能取负数。

负数范围常用于表示物理世
界中的负数量，例如负电荷、负温度等。

这些量在现实生活中并不常见，
但在数学模型中有时需要考虑。

4.非负数范围（R≥0）：自变量只能取非负数，即包括零和所有正数。

非负数范围常用于表示正比例关系、欧氏空间中的距离等问题。

在这些问
题中，自变量的取值范围不包括负数，因为负数在实际问题中没有意义。

5.非正数范围（R≤0）：自变量只能取非正数，即包括零和所有负数。

非正数范围在一些数学问题中有用，例如一些函数的图像关于y轴对称。

6.整数范围（Z）：自变量只能取整数。

整数范围通常用于离散数学
中的问题，例如排列组合、整数划分等。

在这类问题中，自变量通常被建
模为整数，因为整数对问题的描述更为自然。

综上所述，函数的自变量取值范围可以根据具体问题的需求进行设定，并可以是实数范围、正数范围、负数范围、非负数范围、非正数范围以及
整数范围。

定义清楚自变量的取值范围有助于具体问题的分析和解决。

求实际问题中函数自变量取值范围之思路实际问题中函数的自变量取值范围是指函数在实际问题中合理的输入值的范围。

确定函数自变量的取值范围是解决实际问题的重要一步，它直接影响到问题的有效求解和结果的准确性。

下面将从几个不同的角度探讨确定函数自变量取值范围的思路。

一、问题的物理特性：在物理问题中，函数的自变量往往与一些物理量有关。

我们可以通过对物理问题的分析，确定函数自变量的取值范围。

例如，考虑物体的位移函数，自变量可以是时间t，而时间t的取值范围可以根据实际问题中的时间限制来确定。

二、问题的约束条件：在实际问题中，通常存在一些约束条件，这些约束条件对函数的自变量有一定的限制。

可以通过分析问题的约束条件来确定函数的自变量取值范围。

例如，在一个投资问题中，假设要投资x万元，且投资额必须大于等于100万元，小于等于500万元，那么函数的自变量取值范围就在100到500之间。

三、问题的实际意义：在解决实际问题时，函数的自变量取值范围应当有一定的实际意义。

我们可以通过对实际问题的分析，确定函数自变量的取值范围。

例如，考虑一个数学模型，模型中的自变量表示一些物体的质量，那么自变量的取值范围就应当是非负数。

四、计算机模拟：在一些情况下，我们可以通过计算机模拟来确定函数自变量的取值范围。

通过模拟大量的实际数据，可以发现函数自变量的取值范围。

例如，在疫情模型中，可以通过模拟感染人数随时间的变化来确定感染率的范围。

总之，确定函数自变量取值范围是解决实际问题的关键一步。

我们可以从问题的物理特性、约束条件、实际意义和计算机模拟等不同的角度出发，确定函数自变量的取值范围。

这样可以确保问题的有效求解和结果的准确性。

初中数学中考函数自变量取值范围的确定方法素材在初中数学中，函数是一个非常重要的概念。

而确定函数自变量的取值范围也是解题的重要一环。

下面将介绍一些方法和例子，帮助你更好地理解和应用这个概念。

一、函数自变量的取值范围的确定方法在确定函数自变量的取值范围时，可以考虑以下几个方面：1.函数的定义域：函数在定义上是有限制的，有些值是不能作为自变量的。

要确定函数的自变量的取值范围，首先要确定函数的定义域。

定义域就是函数中自变量可以取的值的集合。

常见的定义域有实数集、正整数集等。

通过观察函数的定义式，可以确定定义域的范围。

2.可能存在的特殊情况：对一些特殊函数，如分式函数、开方函数等，可能会存在一些特殊情况需要考虑。

例如，对于分式函数，要求分母不为0，这样的自变量的取值范围就需要排除分母为0的情况。

3.各个条件限制：在一些应用题中，函数的自变量的取值范围可能会受到一定的条件限制。

要仔细阅读题目中的条件，推导出自变量的取值范围。

二、例子例1：确定函数的自变量取值范围已知函数f(x)=3x+2，求自然数n，使得f(n)是偶数。

解析：首先，根据函数的定义式，我们可以得知函数f(x)的定义域为实数集。

然后，根据题目中的条件，我们需要求使f(n)是偶数的自然数n。

偶数的特点是能被2整除，所以我们可以列出方程f(n)=3n+2=2k，其中k是整数。

将方程变形为3n=2k-2，我们可以观察到n的取值范围是有限的，它取值的可能是所有满足3n是一个偶数的自然数。

而n是自然数，所以满足条件的自变量的取值范围是偶数的自然数集合。

例2：确定函数的自变量取值范围已知函数g(x)=√(x-4)，求函数自变量x的取值范围。

解析：首先，我们要注意到根号下面的被开方数x-4必须大于等于0，因此要求x≥4、而函数g(x)的定义域是x-4的所有可能取值，所以自变量的取值范围是[4,+∞)。

例3：确定函数的自变量取值范围已知函数h(x)=1/(x-2)，求函数自变量x的取值范围。

函数自变量取值范围的确定策略金山初级中学 庄士忠 201508函数是初中数学一个十分重要的内容，为保证函数式有意义或实际问题有意义，函数式中的自变量取值通常要受到一定的限制，这就是函数自变量的取值范围。

函数自变量的取值范围是函数成立的先决条件，初中阶段确定函数自变量的取值范围大致可分为三种类型：（1）函数关系式中函数自变量的取值范围；（2）实际问题中函数自变量的取值范围；（3）几何问题中函数自变量的取值范围。

一、 函数关系式中函数自变量的取值范围：初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：（1）函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；（2）函数关系式为分式形式：分母≠0；（3）函数关系式含算术平方根：被开方数≥0；（4）函数关系式含0指数：底数≠0。

典型例题：例1：函数y=x 1-的自变量x 的取值范围在数轴上可表示为【 】A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次根式有意义的条件，计算出y=x 1-的取值范围，再在数轴上表示即可，不等式的解集在数轴上表示的方法：＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示。

根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使y=x 1-在实数范围内有意义，必须x 10-≥ x 1⇒≥。

故在数轴上表示为：。

故选D 。

例2：函数y =1x 2- 中自变量x 取值范围是【 】A ．x =2 B ．x ≠2 C ．x ＞2 D ．x ＜2【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使1x 2-在实数范围内有意义，必须x 20x 2-≠⇒≠。

故选B 。

例3：函数x+2x 的取值范围是【 】A ．x ＞﹣2 B ．x ≥2 C ．x ≠﹣2 D ．x ≥﹣2 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使x+2在实数范围内有意义，必须x+20x 2x >2x+20x 2≥≥-⎧⎧⇒⇒-⎨⎨≠≠-⎩⎩。

求函数自变量的取值范围的确定方法确定一个函数自变量的取值范围是数学和实际问题中的一个重要部分。

它可以帮助我们确保函数在给定范围内有定义，避免产生错误或无意义结果。

在确定函数自变量的取值范围时，我们需要考虑函数的定义域、实际问题的限制以及常见的数学规则。

首先，我们需要了解函数的定义域。

函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围。

定义域可以通过函数的数学表达式来确定，也可以通过实际问题的限制来确定。

例如，对于函数f(x)=√x，由于平方根只对非负数有定义，因此函数的定义域是x≥0。

其次，我们需要考虑实际问题的限制。

在解决实际问题时，函数的自变量通常具有一些限制条件。

这些限制条件可以是来自实际问题的物理、经济或几何约束。

例如，如果我们正在解决一个关于时间的问题，函数的自变量可能被限制在一些时间段内，如t≥0。

通过考虑这些限制条件，我们可以确定函数自变量的取值范围。

此外，我们还需要考虑数学规则。

在数学中，有一些常见的规则可以帮助我们确定函数自变量的取值范围。

例如，对于分式函数，我们需要排除分母为零的情况，因为分母为零会导致函数无定义。

又如，对于对数函数log(x)，由于对数只对正数有定义，因此函数的自变量需要满足x>0。

通过应用这些数学规则，我们可以确定函数自变量的取值范围。

在实际问题中，我们还可以利用图像来帮助确定函数自变量的取值范围。

通过绘制函数的图像，我们可以观察函数的趋势和特征，从而确定自变量的取值范围。

例如，对于一个上升趋势的函数，自变量的取值范围可以是负无穷到正无穷。

最后，我们需要根据具体问题的要求来确定函数自变量的取值范围。

不同的问题可能对函数的自变量有不同的要求，如非负、整数或实数。

通过仔细阅读和分析问题的描述，我们可以得出函数自变量的取值范围的具体要求。

在数学和实际问题中，确定函数自变量的取值范围是解决问题和避免错误的关键步骤。

通过了解函数的定义域，考虑实际问题的限制，应用数学规则，利用图像和根据问题要求确定自变量的取值范围，我们可以确保函数在给定范围内有定义，从而有效地解决问题。