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§1.2.2 集合的运算第2课时补集及综合应用一. 教学目标：1. 知识与技能(1)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.(2)能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.2. 过程与方法学生通过观察和类比，借助Venn图理解集合的基本运算.3.情感.态度与价值观(1)进一步树立数形结合的思想.(2)进一步体会类比的作用.(3)感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确.二.教学重点.难点重点：全集与补集的概念.难点：理解交集与并集的概念.符号之间的区别与联系．三.学法与教学用具1.学法：学生借助Venn图，通过观察.类比.思考.交流和讨论等，理解集合的基本运算.2.教学用具：投影仪.四. 教学过程导入新课-)=0，其结果会相同吗?问题:①分别在整数范围和实数范围内解方程(x－3)(x3②若集合A={x|0<x<2，x∈Z}，B={x|0<x<2，x∈R}，则集合A、B相等吗？学生回答后，教师指明:在不同的范围内集合中的元素会有所不同，这个“范围”问题就是本节学习的内容，引出课题.推进新课新知探究提出问题①用列举法表示下列集合:A ={x ∈Z |(x －2)(x +31)(x 2-)=0};B ={x ∈Q |(x －2)(x +31)(x 2-)=0}; C ={x ∈R |(x －2)(x +31)(x 2-)=0}. ②问题①中三个集合相等吗？为什么？③由此看，解方程时要注意什么？④问题①，集合Z ，Q ，R 分别含有所解方程时所涉及的全部元素，这样的集合称为全集，请给出全集的定义.⑤已知全集U ={1，2，3}，A ={1}，写出全集中不属于集合A 的所有元素组成的集合B. ⑥请给出补集的定义.⑦用Venn 图表示 A.活动：组织学生充分讨论、交流，使学生明确集合中的元素，提示学生注意集合中元素的范围.讨论结果：①A ={2}，B ={2，31-}，C ={2，31-，2}. ②不相等，因为三个集合中的元素不相同.③解方程时，要注意方程的根在什么范围内，同一个方程，在不同的范围其解会有所不同. ④一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U .⑤B ={2，3}.⑥对于一个集合A ，全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集.集合A 相对于全集U 的补集记为A ，即A ={x |x ∈U ，且x A }.⑦如图1－1－3－9所示，阴影表示补集.图1－1－3－9例题精讲1.设U={x|x是小于9的正整数}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，求A， B.活动：让学生明确全集U中的元素，回顾补集的定义，用列举法表示全集U，依据补集的定义写出A， B.解：根据题意，可知U={1，2，3，4，5，6，7，8}，所以A={4，5，6，7，8};B={1，2，7，8}.点评：本题主要考查补集的概念和求法.用列举法表示的集合，依据补集的含义，直接观察写出集合运算的结果.常见结论:(A∩B)=(A)∪(B);(A∪B)=(A)∩(B).变式训练1.已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5，7}，B={3，4，5}，则(A)∩(B)等于( )A.{1，6}B.{4，5}C.{2，3，4，5，7}D.{1，2，3，6，7}分析:思路一:观察得(A)∩(B)={1，3，6}∩{1，2，6，7}={1，6}.思路二:A∪B={2，3，4，5，7}，则(A)∩(B)=(A∪B)={1，6}.答案：A2设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，4}，B={2}，则A∩(B)等于( )A.{1，2，3，4，5}B.{1，4}C.{1，2，4}D.{3，5}答案：B3.设全集U={1，2，3，4，5，6，7}，P={1，2，3，4，5}，Q={3，4，5，6，7}，则P∩( Q)等于( )A.{1，2}B.{3，4，5}C.{1，2，6，7}D.{1，2，3，4，5}答案：A4.设全集U={x|x是三角形}，A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}.求A∩B，(A ∪B).活动：学生思考三角形的分类和集合的交集、并集和补集的含义.结合交集、并集和补集的含义写出结果.A ∩B 是由集合A ，B 中公共元素组成的集合，(A ∪B )是全集中除去集合A ∪B 中剩下的元素组成的集合.解：根据三角形的分类可知A ∩B =∅，A ∪B ={x |x 是锐角三角形或钝角三角形}，(A ∪B )={x |x 是直角三角形}. 变式训练1.已知集合A ={x |3≤x <8}，求 A.解：A ={x |x <3或x ≥8}.2.设S ={x |x 是至少有一组对边平行的四边形}，A ={x |x 是平行四边形}，B ={x |x 是菱形}，C ={x |x 是矩形}，求B ∩C ，B ， A.解：B ∩C ={x |正方形}，B ={x |x 是邻边不相等的平行四边形}，A ={x |x 是梯形}.3.已知全集I =R ，集合A ={x |x 2+ax +12b =0}，B ={x |x 2－ax +b =0}，满足(A )∩B ={2}，(B )∩A ={4}，求实数a 、b 的值.答案：a =78，b =712-. 4.设全集U =R ，A ={x |x ≤2+3}，B ={3，4，5，6}，则(A )∩B 等于…( ) A.{4} B.{4，5，6} C.{2，3，4} D.{1，2，3，4} 分析:∵U =R ，A ={x |x ≤2+3}，∴A ={x |x >2+3}.而4，5，6都大于2+3，∴(A )∩B ={4，5，6}. 答案：B知能训练课本P 11练习4.【补充练习】1.设全集U =R ，A ={x |2x +1>0}，试用文字语言表述A 的意义.解：A ={x |2x +1>0}即不等式2x +1>0的解集，A 中元素均不能使2x +1>0成立，即A 中元素应当满足2x+1≤0.∴A即不等式2x+1≤0的解集.2.如图1－1－3－14所示，U是全集，M，P，S是U的三个子集，则阴影部分表示的集合是_______.图1－1－3－14分析:观察图可以看出，阴影部分满足两个条件:一是不在集合S内;二是在集合M，P的公共部分内，因此阴影部分表示的集合是集合S的补集与集合M，P的交集的交集，即( S)∩(M∩P).答案：(S)∩(M∩P)3.设集合A、B都是U={1，2，3，4}的子集，已知(A)∩(B)={2}，(A)∩B={1}，则A 等于( )A.{1，2}B.{2，3}C.{3，4}D.{1，4}分析:如图1－1－3－15所示.图1－1－3－15由于(A)∩(B)={2}，(A)∩B={1}，则有A={1，2}.∴A={3，4}.答案：C4.设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合S={1，3，5}，T={3，6}，则(S∪T)等于( )A. B.{2，4，7，8} C.{1，3，5，6} D.{2，4，6，8}分析:直接观察(或画出Venn图)，得S∪T={1，3，5，6}，则(S∪T)={2，4，7，8}.答案：B5.已知集合I={1，2，3，4}，A={1}，B={2，4}，则A∪(B)等于( )A.{1}B.{1，3}C.{3}D.{1，2，3}分析:∵B={1，3}，∴A∪(B)={1}∪{1，3}={1，3}.答案：B拓展提升问题:某班有学生50人，解甲、乙两道数学题，已知解对甲题者有34人，解对乙题者有28人，两题均解对者有20人，问:(1)至少解对其中一题者有多少人？(2)两题均未解对者有多少人？分析:先利用集合表示解对甲、乙两道数学题各种类型，然后根据题意写出它们的运算，问题便得到解决.解：设全集为U，A={只解对甲题的学生}，B={只解对乙题的学生}，C={甲、乙两题都解对的学生}，则A∪C={解对甲题的学生}，B∪C={解对乙题的学生}，A∪B∪C={至少解对一题的学生}，(A∪B∪C)={两题均未解对的学生}.由已知，A∪C有34个人，C有20个人，从而知A有14个人;B∪C有28个人，C有20个人，所以B有8个人.因此A∪B∪C有N1=14+8+20=42(人)，(A∪B∪C)有N2=50－42=8(人).∴至少解对其中一题者有42个人，两题均未解对者有8个人.课堂小结本节课学习了:①全集和补集的概念和求法.②常借助于数轴或Venn图进行集合的补集运算.作业课本P12习题1.1A组9、10，B组4.设计。
