选修4-4坐标系与参数方程学案资料

坐标系与参数方程教案一、教学目标通过本节课的学习，学生应该能够：1.掌握二维直角坐标系和三维直角坐标系的定义和表示；2.理解二维和三维坐标系中的基本几何概念，如点、线、面等；3.掌握直线和平面的参数方程的概念和解法；4.能够应用参数方程求解二维和三维图形的问题。

二、教学内容1. 二维直角坐标系在数学中，直角坐标系是一个二维平面上的坐标系。

它由两条垂直的数轴组成，分别为水平的x轴和垂直的y轴。

x轴和y轴相交于原点，这个点的坐标为(0,0)。

我们可以通过二元有序对(x,y)表示平面上的点。

2. 三维直角坐标系除了二维的直角坐标系，我们还需要在三维空间中使用直角坐标系。

三维直角坐标系由三条相互垂直的坐标轴组成，分别为x轴、y轴和z轴，它们的交点称为空间原点。

我们可以通过三元有序组(x,y,z)表示空间中的点。

3. 直线和平面的参数方程在二维空间中，我们可以使用直线的斜率截距式表示直线方程，但是在三维空间中，这个方法无法使用，我们需要使用直线的参数方程。

直线的参数方程可以用向量或联立的方程表示。

在平面几何中，平面的方程通常表示为一般式或点法式。

但在三维空间中，我们也需要使用平面的参数方程。

平面的参数方程通常表示为一个点和两个方向向量的线性组合。

4. 应用参数方程解题在学习直线和平面的参数方程之后，我们可以用它们来解决更复杂的几何问题。

例如，在给定直线和平面的参数方程的情况下，可以计算它们的交点。

或者，如果给定一条直线和一个点，我们可以利用直线的参数方程计算出这条直线上距离该点最近的点。

三、教学方法1.在讲解直角坐标系的概念和表示方法时，可以使用PPT演示文稿或黑板进行展示；2.通过数学拓扑图和讲解，帮助学生理解坐标系中的基本几何概念；3.结合实例进行讲解，帮助学生理解直线和平面的参数方程的求解方法；4.设计课堂授课练习，让学生在解题中巩固所学知识。

四、教学步骤1. 理论部分1.介绍坐标系的概念和定义；2.分别讲解二维直角坐标系和三维直角坐标系的表示；3.介绍直线和平面的参数方程的定义和表示方法；4.演示几个典型的参数方程的例子。

§4.1.2极坐标系（1）学习目的：1、理解极坐标的概念；2、能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别；学习重点：理解极坐标的意义学习难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置学习过程：一、新知导入：情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。

⑴他向东偏60o方向走120m后到达什么位置？该位置惟一确定吗？⑵如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？问题2：如何刻画这些点的位置？二、建构数学：1、极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。

（其中O称为，射线OX称为。

）2、极坐标系内一点的极坐标的规定3、负极径的规定ρθ是点M的极坐标，那么点M也可表示一般地，如果(,)成：。

三、例题讲解例1： 写出下图中各点的极坐标思考：①平面上一点的极坐标是否唯一？②若不唯一，那有多少种表示方法？③坐标不唯一是怎么引起的？④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？变式训练：在上面的极坐标系里描出下列各点45(3,0),(6,2),(3,),(5,),(3,),(4,)236A B C D E F πππππ 例2：在极坐标系中， ⑴已知两点5(5,),(1,)44P Q ππ，求线段PQ 的长度； ⑵已知M 的极坐标为(,)ρθ且,3R πθρ=∈，说明满足上述条件的点M 所组成的图形。

变式训练：若,A B 两点的极坐标为),(),,(2211θρθρ求AB 的长以及AOB ∆的面积。

（O 为极点）例3 已知(,)P ρθ，分别按下列条件求出点P 的极坐标。

⑴P 是点Q 关于极点O 的对称点；⑵P 是点Q 关于直线2πθ=的对称点；⑶P 是点Q 关于极轴的对称点。

第1讲选修4-4坐标系与参数方程高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识．1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx （x ≠0）.2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a ，0)(a >0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b ．3．圆的极坐标方程几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (r ，0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ．4．直线的参数方程经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．5．圆、椭圆的参数方程(1)圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．(2)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．热点一 曲线的极坐标方程【例1】(2019·呼和浩特期中)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线1C 的极坐标方程为sin 4ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ--+=，曲线3C 的极坐标方程为()π4θρ=∈R ． （Ⅰ）求1C 与2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若2C 与1C 的交于P 点，2C 与3C 交于A 、B 两点，求PAB △的面积． 解（Ⅰ）∵曲线1C 的极坐标方程为sin 4ρθ=， ∴根据题意，曲线1C 的普通方程为4y =∵曲线2C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ--+=，∴曲线2C 的普通方程为222410x y x y +--+=，即()()22124x y -+-=， （Ⅱ）∵曲线3C 的极坐标方程为()π4θρ=∈R ， ∴曲线3C 的普通方程为y x =，联立1C 与2C :()()224114y x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，得2210x x -+=，解得1x =，∴点P 的坐标()1,4，点P 到3C 的距离d ==.设()11,A ρθ，()22,B ρθ将π4θ=代入2C ，得210ρ-+=，则12ρρ+=121ρρ⋅=，12AB ρρ=-=,∴11222PAB S AB d ===△． 探究提高 进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技巧．【训练1】(2017·北京东城区调研)在极坐标系中，已知极坐标方程C 1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0，C 2：ρ＝2cos θ．(1)求曲线C 1，C 2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状； (2)若曲线C 1，C 2交于A ，B 两点，求两点间的距离． 解 (1)由C 1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0，∴x －3y －1＝0，表示一条直线．由C 2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ． ∴x 2＋y 2＝2x ，则(x －1)2＋y 2＝1， ∴C 2是圆心为(1，0)，半径r ＝1的圆．(2)由(1)知，点(1，0)在直线x －3y －1＝0上，因此直线C 1过圆C 2的圆心． ∴两交点A ，B 的连线段是圆C 2的直径， 因此两交点A ，B 间的距离|AB |＝2r ＝2． 热点二 参数方程及其应用【例2】(2019·湖北联考)在直角坐标系xOy 中，曲线22cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），直线1cos :sin x t l y t ββ=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 与直线l 的极坐标方程（极径用ρ表示，极角用θ表示）；（2）若直线l 与曲线C 相交，交点为A 、B ，直线l 与x 轴也相交，交点为，求QA QB +的取值范围. 解（1）曲线()22:24C x y -+=，即224x y x +=，即24cos ρρθ=，即0ρ=或4cos ρθ=， 由于曲线4cos ρθ=过极点，∴曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ= 直线():1sin cos l x y ββ+=，即sin cos sin 0x y βββ-+=， 即cos sin sin cos sin 0ρθβρθββ-+=，即()sin sin ρθββ-=， 直线l 的极坐标方程为()sin sin ρθββ-=； （2）由题得()1,0Q -，设为线段AB 的中点，圆心到直线l 的距离为()0,2d ∈，则2QA QB QM +==它在()0,2d ∈时是减函数，∴QA QB +的取值范围()=．三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．2．在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．【训练2】(2017·郴州三模)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝22t (t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出直线l 的普通方程以及曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 的两个交点分别为M ，N ，直线l 与x 轴的交点为P ，求|PM |·|PN |的值． 解 (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝22t (t 为参数)，消去参数t ，得x ＋y －1＝0．曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，利用平方关系，得x 2＋(y －2)2＝4，则x 2＋y 2－4y ＝0．令ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ，代入得C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ． (2)在直线x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得点P (1，0)． 把直线l 的参数方程代入圆C 的方程得t 2－32t ＋1＝0， ∴t 1＋t 2＝32，t 1t 2＝1．由直线参数方程的几何意义，|PM |·|PN |＝|t 1·t 2|＝1．1．(2018·全国I 卷)在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．2．(2018·全国II 卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）． （1）求C 和l 的直角坐标方程；xOy 1C 2y k x =+x 2C 22cos 30ρρθ+-=2C 1C 2C 1C1．(2016·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22． (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．2．(2017·哈尔滨模拟)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4．(1)写出曲线C 的极坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若射线θ＝π3与曲线C 交于O ，A 两点，与直线l 交于B 点，射线θ＝11π6与曲线C 交于O ，P 两点，求△PAB 的面积．1．(2017·新乡三模)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，曲线M 的直角坐标方程为x －2y ＋2＝0(x >0)．(1)以曲线M 上的点与点O 连线的斜率k 为参数，写出曲线M 的参数方程； (2)设曲线C 与曲线M 的两个交点为A ，B ，求直线OA 与直线OB 的斜率之和．2．(2019·厦门期末)在同一直角坐标系中，经过伸缩变换1'2'x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩后，曲线C 变为曲线22''1x y +=.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为πsin 3ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）过点()1,0P 作l 的垂线交C 于,A B 两点，点A 在x 轴上方，求11PA PB-．参考答案1．【解题思路】(1)就根据cos x ρθ=，sin y ρθ=以及222x y ρ=+，将方程22cos 30ρρθ+-=中的相关的量代换，求得直角坐标方程；(2)结合方程的形式，可以断定曲线2C 是圆心为()1,0A -，半径为2的圆，1C 是过点()0,2B 且关于y 轴对称的两条射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点，结合直线与圆的位置关系，得到k 所满足的关系式，从而求得结果.【答案】（1）由22cos 30ρρθ+-=可得：22230x y x ++-=，化为()2214x y ++=． （2）由（1）知2C 是圆心为()1,0A -，半径为2的圆， 由题设知，1C 是过点()0,2B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为22=，故0k =或43k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为423y x =-+． 2．【解题思路】(1)根据同角三角函数关系将曲线C 的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分cos 0α≠与cos 0α=两种情况.(2)将直线l 参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，根据参数几何意义得sin ,cos αα之间关系，求得tan α，即得l 的斜率．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=， 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程()()2213cos 42cos sin 80tt ααα+++-=．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点()1,2在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=． 又由①得()12242cos sin 13cos t t ααα++=-+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-．1．【解题思路】(1)曲线C 1利用22sin cos 1αα+=消参，曲线C 2利用⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，化为直角坐标方程．(2)利用点到直线距离公式，曲线C 1直接用参数方程，用三角函数求其最值．【答案】解 (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0．(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值．又d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2，当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12．2．【解题思路】(1)曲线C 1利用22sin cos 1αα+=消参，曲线C 2利用⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，化为直角坐标方程．(2)分别联立求出A ，B ，P 的坐标．【答案】解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，消去θ．普通方程为(x －2)2＋y 2＝4．从而曲线C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ，因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4，即32ρsin θ＋12ρcos θ＝4，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋3y －8＝0．(2)依题意，A ，B 两点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，∴|AB |＝2，∴S △PAB ＝12×2×23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝23．1．【解题思路】 (1):OM y kx =；(2)联立曲线M 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程，韦达定理．【答案】解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0（x >0），y ＝kx 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22k －1，y ＝2k 2k －1.故曲线M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22k －1，y ＝2k 2k －1⎝ ⎛⎭⎪⎫k 为参数，且k >12． (2)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，∴x 2＋y 2＝4x ．将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22k －1，y ＝2k 2k －1代入x 2＋y 2＝4x 整理得k 2－4k ＋3＝0， ∴k 1＋k 2＝4．故直线OA 与直线OB 的斜率之和为4．2．【解题思路】(1)将1'2'x x y y⎧=⎪⎨⎪=⎩代入221x y ''+=得，即可得到曲线C 的方程；由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入即可得到直线l 的直角坐标方程；（2）由题意，得过点()1,0P 的垂线的参数方程为（t 为参数），代入曲线C 的方程，根据参数的几何意义，即可求解.【答案】(1)将1'2'x x y y⎧=⎪⎨⎪=⎩代入221x y ''+=得，曲线C 的方程为2214x y +=，由πsin 3ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos cos sin 33ππρθρθ-=， 因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入上式得直线l0y -+=； （2）因为直线l 的倾斜角为3π，所以其垂线的倾斜角为56π， 过点()1,0P 的垂线的参数方程为51cos 650sin 6y t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即（t 为参数） 代入曲线C的方程整理得27120t --=，设,A B 两点对应的参数为12,t t （由题意知10t >，20t <）则，且(247120∆=+⨯⨯>，所以1212121111t t PA PB t t t t +-=-==-。

选修4－4 坐标系与参数方程 1．坐标系与极坐标(1)理解坐标系的作用．(2)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标与直角坐标的互化．(3)能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示图形时选择坐标系的意义．2．参数方程(1)了解参数方程，了解参数的意义．(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．(3)掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题．知识点一 极坐标系 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O ，点O 叫作极点，自极点O 引一条射线Ox ，Ox 叫作极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位及其正方向，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标①极径：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫作点M 的极径，记为ρ. ②极角：以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫作点M 的极角，记为θ. ③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫作点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． 2．极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x2＋y2，tan θ＝y x易误提醒1．极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式．在解决此类问题时考生要注意两个方面：一是准确应用公式，二是注意方程中的限制条件．2．在极坐标系下，点的极坐标不唯一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2k π)，(－ρ，π＋θ＋2k π)(k ∈Z )表示同一点的坐标．[自测练习]1．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x′＝12x ，y′＝3y ，则在这一坐标变换下正弦曲线y ＝sin x 的方程变为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x′＝12x ，y′＝3y.知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x′，y ＝13y′.代入y ＝sin x 中得y ′＝3sin 2x ′. 答案：y ′＝3sin 2x ′2．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为________．解析：因为点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π3，所以点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，－π3. 答案：⎝⎛⎭⎫2，－π3 3．(2018·高考北京卷)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π3到直线ρ(cos θ＋3sinθ)＝6的距离为________．解析：点⎝⎛⎭⎫2，π3的直角坐标为(1，3)，直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的直角坐标方程为x ＋3y －6＝0，所以点(1，3)到直线的距离d ＝|1＋3×3－6|1＋3＝1.答案：1知识点二 参数方程 参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点P 的坐标x ，y 是某个变数t 的函数⎩⎨⎧x ＝，y ＝，并且对于t 的每一个允许值，由函数式⎩⎨⎧ x ＝，y ＝所确定的点P (x ，y )都在曲线C 上，那么方程⎩⎨⎧x ＝，y ＝叫作这条曲线的参数方程，变数t 叫作参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程．易误提醒1．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致，否则不等价． 2．直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义，且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |＝|t |.[自测练习]4．在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t ，(t 为参数)的普通方程为________．解析：依题意，消去参数可得x －2＝y －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝05．在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎨⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t(t 为参数)平行的直线截椭圆所得的弦长为________．解析：椭圆的普通方程为x24＋y23＝1，则右焦点的坐标为(1,0)．直线的普通方程为x －2y ＋2＝0，过点(1,0)与直线x －2y ＋2＝0平行的直线方程为x －2y －1＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x24＋y23＝1，x －2y －1＝0，得4x 2－2x －11＝0，所以所求的弦长为1＋⎝⎛⎭⎫122× ⎝⎛⎭⎫122－4×⎝⎛⎭⎫－114＝154. 答案：154考点一 曲线的极坐标方程|1．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． 解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x2＋y2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2. 2．(2018·长春模拟)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2. (1)将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4. 因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2， 所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2. 所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22.直角坐标化为极坐标的关注点(1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M 的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M 的极坐标是唯一的．(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ∈[0,2π)的值．考点二 曲线的参数方程|1．已知曲线C 1：⎩⎨⎧ x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t ，(t 为参数)曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ.(θ为参数)(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎨⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t(t 为参数)的距离的最小值． 解：(1)曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，曲线C 2：x264＋y29＝1，曲线C 1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t ＝π2时，P (－4,4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故M ⎝⎛⎭⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ.曲线C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|，从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，d 取最小值855.2．已知曲线C ：x24＋y29＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t ，(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ.(θ为参数)直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为 d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|， 其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形．考点三 极坐标方程、参数方程的综合应用|(2018·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝tcos αy ＝tsin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．[解] (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧ x2＋y2－2y ＝0，x2＋y2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2018·昆明模拟)在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4,2)且倾斜角为α的直线，在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程； (2)若曲线C 与直线l 相交于不同的两点M 、N ，求|PM |＋|PN |的取值范围．解：(1)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋tcos αy ＝2＋tsin α(t 为参数)．∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，∴C ：x 2＋y 2＝4x .(2)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋tcos αy ＝2＋tsin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝4x ，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0， ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝＋－16>0，t1＋t2＝－＋，t1t2＝4，∴sin α·cos α>0，又0≤α<π， ∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且t 1<0，t 2<0. ∴|PM |＋|PN |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2| ＝4(sin α＋cos α)＝42sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4，由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， ∴22<sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1， 故|PM |＋|PN |的取值范围是(4,4 2 ].33.直线参数方程中参数t 几何意义的应用【典例】已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋4cos θy ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3，5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程； (2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值．[思维点拨] (1)根据条件写出l 的参数方程及化曲线C 为标准方程． (2)利用t 的几何意义求解|P A |·|PB |的值． [解] (1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l ：⎩⎨⎧x ＝3＋12t y ＝5＋32t (t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0， 设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3， 所以|P A ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.[方法点评] 过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x0＋tcos α，y ＝y0＋tsin α.(t为参数)该参数t 经常用在直线截圆锥曲线的距离问题中，解题时通常过某定点作一直线与圆锥曲线相交于A ，B 两点，所求问题与定点到A ，B 两点的距离有关．解题时主要应用定点在直线AB 上，利用参数t 的几何意义，结合根与系数的关系进行处理，巧妙求出问题的解．[跟踪练习] (2018·大庆模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 经过点P ⎝⎛⎭⎫12，1，倾斜角α＝π6.在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|P A |＋|PB |的值．解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12＋tcos π6，y ＝1＋tsin π6，(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝12＋32t ，y ＝1＋12t ，(t 为参数)．由ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4得：ρ＝2cos θ＋2sin θ， ∴ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，∴x 2＋y 2＝2x ＋2y ， 故圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. (2)把⎩⎨⎧x ＝12＋32t y ＝1＋12t (t 为参数)代入(x －1)2＋(y －1)2＝2得t 2－32t －74＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝32，t 1t 2＝－74， ∴|P A |＋|PB |＝|t 1－t 2|＝＋－4t1t2＝312.A 组 考点能力演练1．(1)化圆的直角坐标方程x 2＋y 2＝r 2(r >0)为极坐标方程； (2)化曲线的极坐标方程ρ＝8sin θ为直角坐标方程．解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＝r 2，得ρ2cos 2 θ＋ρ2sin 2 θ＝r 2，ρ2(cos 2 θ＋sin 2 θ)＝r 2，ρ＝r .所以，以极点为圆心、半径为r 的圆的极坐标方程为ρ＝r (0≤θ<2π)．(2)法一：把ρ＝x2＋y2，sin θ＝yρ代入ρ＝8sin θ，得x2＋y2＝8·yx2＋y2，即x 2＋y 2－8y ＝0. 法二：方程两边同时乘以ρ，得ρ2＝8ρsin θ，即x 2＋y 2－8y ＝0.2．(2018·济宁模拟)已知直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝4和圆C ：ρ＝2k cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4(k ≠0)，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.求实数k 的值并求圆心C 的直角坐标．解：∵ρ＝2k cos θ－2k sin θ， ∴ρ2＝2k ρcos θ－2k ρsin θ，∴圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2kx ＋2ky ＝0，即⎝⎛⎭⎫x －22k 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋22k 2＝k 2， ∴圆心的直角坐标为⎝⎛⎭⎫22k ，－22k .∵ρsin θ·22－ρcos θ·22＝4，∴直线l 的直角坐标方程为x －y ＋42＝0，∴⎪⎪⎪⎪22k ＋22k ＋422－|k |＝2.即|k ＋4|＝2＋|k |，两边平方，得|k |＝2k ＋3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k>0，k ＝2k ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧k<0，－k ＝2k ＋3， 解得k ＝－1，故圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫－22，22. 3．在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin2 θ，点R ⎝⎛⎭⎫22，π4. (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQR S 周长的最小值及此时P 点的直角坐标．解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x23＋y 2＝1， 点R 的直角坐标为R (2,2)． (2)设P (3cos θ，sin θ)，根据题意可得|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ， ∴|PQ |＋|QR |＝4－2sin (θ＋60°)， 当θ＝30°时，|PQ |＋|QR |取最小值2， ∴矩形PQRS 周长的最小值为4， 此时点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12. 4．(2018·长春模拟)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为(1，－5)，点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C 的半径为4. (1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程． (2)试判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋tcos π3，y ＝－5＋tsin π3，(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－5＋32t ，(t为参数)．由题知C 点的直角坐标为(0,4)，圆C 的半径为4，∴圆C 方程为x 2＋(y －4)2＝16，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入得，圆C 的极坐标方程为ρ＝8sin θ.(2)由题意得，直线l 的普通方程为3x －y －5－3＝0，圆心C 到l 的距离为d ＝|－4－5－3|2＝9＋32>4，∴直线l 与圆C 相离．5．倾斜角为α的直线l 过点P (8,2)，直线l 和曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝42cos θ，y ＝2sin θ，(θ为参数)交于不同的两点M 1，M 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，并写出直线l 的参数方程； (2)求|PM 1|·|PM 2|的取值范围．解：(1)曲线C 的普通方程为x232＋y24＝1，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8＋tcos α，y ＝2＋tsin α，(t 为参数)．(2)将l 的参数方程代入曲线C 的方程得：(8＋t cos α)2＋8(2＋t sin α)2＝32， 整理得(8sin 2 α＋cos 2 α)t 2＋(16cos α＋32sin α)t ＋64＝0，由Δ＝(16cos α＋32sin α)2－4×64(8sin 2 α＋cos 2 α)>0，得cos α>sin α，故α∈⎣⎡⎭⎫0，π4， ∴|PM 1||PM 2|＝|t 1t 2|＝641＋7sin2 α∈⎝⎛⎦⎤1289，64. B 组 高考题型专练1．(2018·高考广东卷改编)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离． 解：由2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2得2ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ＝2，所以y －x ＝1，故直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0，而点A ⎝⎛⎭⎫22，7π4对应的直角坐标为A (2，－2)，所以点A (2，－2)到直线l ：x －y ＋1＝0的距离为|2＋2＋1|2＝522.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程； (2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0， 解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.3．(2018·高考湖南卷)已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t ，(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值． 解：(1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.②(2)将⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t ，代入②，得t 2＋53t ＋18＝0，设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义知，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.4．(2018·高考陕西卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t ，(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sinθ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P ⎝⎛⎭⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝⎛⎭⎫3＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫32t －32＝t2＋12，故当t＝0时，|PC|取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3,0)．。

数学选修4-4 坐标系与参数方程导学案本章考试说明要求：1．坐标系的有关概念 2．简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的极坐标方程 3．极坐标方程与直角坐标方程的互化 4．参数方程 5．直线、圆和椭圆的参数方程 6．参数方程与普通方程的互化 7．参数方程的简单应用 本章具体内容：一、坐标系的有关概念1．平面直角坐标系的建立：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系.2．空间直角坐标系的建立：在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系.3．极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线OX ，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取 方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。

（其中O 称为 ，射线OX 称为 ）如图，设M 是平面上的任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线OX 为始边，射线OM 为终边所成的角。

那么有序数对(,)ρθ称为点M 的极坐标。

其中ρ称为 ，θ称为 . 由极径的意义可知0ρ≥.当极角θ的取值范围是[)0,2π时，平面上的点（除去极点）就与极坐标()(),0ρθρ≠建立一一对应的关系.约定：极点的极坐标是ρ=0，θ可以取任意角. 4．极坐标的统一形式一般地，如果(),ρθ是点M 的极坐标，那么 或 ()k Z ∈,都可以作为点M 的极坐标. 二、简单图形的极坐标方程1．直线的极坐标方程：若直线过点00(,)M ρθ，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为： .注：几个特殊位置的直线的极坐标方程 （1）直线过极点方程： 图：（2）直线过点)0,(a M 且垂直于极轴 方程： 图：（3）直线过(,)2M b π且平行于极轴方程： 图： 练习：按下列条件写出直线的极坐标方程：①经过极点，且倾斜角为6π的直线； ②经过点2,4A π⎛⎫⎪⎝⎭，且垂直于极轴的直线； ③经过点3,3B π⎛⎫-⎪⎝⎭，且平行于极轴的直线； ④经过点()4,0C ，且倾斜角为34π的直线. 2．圆的极坐标方程： 若圆心为00(,)M ρθ，半径为r 的圆方程为： .注：几个特殊位置的圆的极坐标方程 （1）当圆心位于极点方程： 图： （2）当圆心位于(,0)M r方程： 图： （3）当圆心位于(,)2M r π方程： 图： 练习：按下列条件写出圆的极坐标方程： ①以()2,0A 为圆心，2为半径的圆； ②以4,2B π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，4为半径的圆； ③以()5,C π为圆心，且过极点的圆；④以4D π⎫⎪⎭为圆心，1为半径的圆. 三、极坐标方程与直角坐标方程的互化以直角坐标系的O 为极点，x 轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P 的直角坐标极坐标分别为（x ，y ）和(,)ρθ，则x =2ρ=y = tan θ=练习：①将下列各点的极坐标化为直角坐标：4π⎫⎪⎭= ； 6,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭= ； 112,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭= ； ()5,π= ； 34,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭= ； 34π⎛⎫- ⎪⎝⎭= . ②将下列各点的直角坐标化为极坐标：)= ；()1,1--= ；()3,0-= ；()0,5= ；(4,-= ；()= .考点1 极坐标与直角坐标互化例1 在极坐标中，求两点)4,2(),4,2(ππ-QP之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程.练习1 已知圆C：22(1)(1x y++=，则圆心C的极坐标为__(0,02)ρθπ>≤<练习2 在极坐标中，求两点间的距离：（1）)215,12(),35,5(00BA（2）)125,8(),12,3(ππBA（3）)0,0)(,(),,(212211>>ρρθρθρBA练习3 （1）在极坐标中，点),(θρP关于极轴的对称点的坐标为；（2）在极坐标中，求点)6,5(πM关于直线4πθ=的对称点的坐标为.考点2 极坐标方程与直角坐标方程互化例2 已知曲线C的极坐标方程是4sinρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的方程是40x y--=，点P是曲线C上的动点，点Q是直线l上的动点，求PQ的最小值．练习1 在极坐标系中，圆2cos=θρ与直线1cos=θρ的位置关系是．练习2 在极坐标系中，圆2ρ=上的点到直线()6sin3cos=+θθρ的距离的最小值是_____ ．练习3在极坐标系中，过点4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sinρθ=的切线，则切线的极坐标方程是．练习4 设过原点O的直线与圆C：22(1)1x y-+=的一个交点为P，点M为线段OP的中点.（1）求圆C的极坐标方程；（2）求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．极坐标系强化训练1．点M的直角坐标是(1-，则点M的极坐标为（）A．(2,)3πB．(2,)3π-C．2(2,)3πD．(2,2),()3k k Zππ+∈2．极坐标方程cos2sin2ρθθ=表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆3．在极坐标系中，直线24sin=⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ被圆4=ρ截得的弦长为__ .4．设(A2，32π），(B3，3π）是极坐标系上两点，则AB= _.5．已知某圆锥曲线C的极坐标方程是22225916cosρθ=+，则曲线C的离心率为（）A．45B．53C．35D．456．在极坐标系中，已知曲线)3,1(.cos4:)3cos(:21-∈==+mCmC若和θρπθρ，则曲线C1与C2的位置关系是A．相切B．相交C．相离D．不确定7．在极坐标系中，直线21cos=θρ与曲线θρcos2=相交于A、B两点，O为极点，则∠AOB= 23π8．与曲线01cos=+θρ关于4πθ=对称的曲线的极坐标方程是01sin=+θρ9．以坐标原点为极点，横轴的正半轴为极轴的极坐标系下，有曲线C：4cosρθ=，过极点的直线θϕ=（Rϕ∈且ϕ是参数）交曲线C于两点AO,，令OA的中点为M.（1）求点M在此极坐标下的轨迹方程（极坐标形式）.（2）当53πϕ=时，求M点的直角坐标.10．已知直线lkkCl若直线和圆),0)(4cos(2:4)4sin(:≠+⋅==-πθρπθρ上的点到圆C上的点的最小距离等于2。

（3.5学案）第1讲 极坐标系与参数方程(大题)教学目标1.会将参数方程，极坐标方程化为普通方程2.理解极坐标方程中ρ，θ含义，参数方程中直线中的t 的含义，圆与椭圆中θ几何意义，及应用教学重点：ρ，θ应用及直线参数方程中t 应用椭圆中θ应用 教学难点：椭圆中θ的含义题型一：极坐标.参数方程与普通方程互化 1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y)和(ρ，θ)，则⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎨⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx x ≠0.2．在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．（1）．直线的参数方程过定点M(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α(t为参数)．（2）．圆的参数方程圆心为点M(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋rcos θ，y ＝y 0＋rsin θ(θ为参数)．（3）．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)．(2)抛物线y 2＝2px(p>0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)．（4）．(1)参数方程的实质是将曲线上每一点的横、纵坐标分别用同一个参数表示出来，所以有时处理曲线上与点的坐标有关的问题时，用参数方程求解非常方便；(2)充分利用直线、圆、椭圆等参数方程中参数的几何意义，在解题时能够事半功倍．例1、（1）方程表示的曲线是（ ）A. 双曲线B.双曲线的上支C.双曲线的下支D.圆 分析：把参数方程化为我们熟悉的普通方程，再去判断它表示的曲线类型是这类问题的破解策略.解析：注意到t与互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含的项，即有，又注意到，可见与以上参数方程等价的普通方程为.显然它表示焦点在轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B.点评：这是一类将参数方程化为普通方程的检验问题，转化的关键是要注意变量范围的一致性.（2）、设P 是椭圆上的一个动点，则的最大值是 ，最小值为 .分析：注意到变量的几何意义，故研究二元函数的最值时，可转化为几何问题.若设，则方程表示一组直线，（对于取不同的值，方程表示不同的直线），显然既满足，又满足，故点是方程组的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一元二次方程的判别式问题.解析：令，对于既满足，又满足，故点是方程组的公共解，依题意得，由，解得：，所以的最大值为，最小值为.点评：对于以上的问题，有时由于研究二元函数有困难，也常采用消元，但由满足的方程来表示出或时会出现无理式，这对进一步求函数最值依然不够简洁，但若通过三角函数换元，则可实现这一途径.即，因此可通过转化为的一元函数.以上二个思路都叫“参数法”.（3）、极坐标方程表示的曲线是（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.解析：由，化为直角坐标系方程为，化简得.显然该方程表示抛物线，故选D.点评：若直接由所给方程是很难断定它表示何种曲线，因此通常要把极坐标方程化为直角坐标方程，加以研究.（4）、极坐标方程转化成直角坐标方程为（）A． B． C． D．分析：极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解.解析：，因此选C.点评：此题在转化过程中要注意不要失解，本题若成为填空题，则更要谨防漏解.通关练习一1. 已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标中不能表示点M的坐标是（）A. B. C. D.2．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）A． B． C． D．3．下列在曲线上的点是（）A． B． C． D．4．将参数方程化为普通方程为（）A． B． C．D．5．参数方程为表示的曲线是（）A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线6．直线和圆交于两点，则的中点坐标为（） A． B． C． D．7．极坐标方程表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆8．直线的参数方程为，上的点对应的参数是，则点与之间的距离是（）A． B． C． D．9. 圆心为C，半径为3的圆的极坐标方程为10 若A，B，则|AB|=__________，___________（其中O是极点）11. ，若A、B是C上关于坐标轴不对称的任意两点，AB 的垂直平分线交x轴于P（a，0），求a的取值范围.一、选择题：1.A 解析：能表示点M的坐标有3个，分别是B、C、D.2．D 解析：3．B 解析：转化为普通方程：，当时，4．C 解析：转化为普通方程：，但是5、D 解析：表示一条平行于轴的直线，而，所以表示两条射线6．D 解析：，得，因此中点为7．C 解析：，则或8、C 解析：距离为9、解析：如下图，设圆上任一点为P（），则10、解析：在极坐标系中画出点A、B，易得，11. 解析：，，，，题型二极坐标，参数方程综合应用例2 (2019·全国Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ)(ρ>0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程； (2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 解 (1)因为M(ρ0，θ0)在C 上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3. 由已知得|OP|＝|OA|cosπ3＝2. 设Q(ρ，θ)为l 上除P 的任意一点，连接OQ ，在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP|＝2.经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上．所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，故θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.跟踪演练1 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x ＋3y ＝53，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.射线OP ：θ＝π6(ρ≥0)与圆C 的交点为O ，A ，与直线l 的交点为B ，求线段AB 的长．解 由题意知ρA ＝4sinπ6＝2， ρB ＝532sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π6＝5，所以|AB|＝|ρA －ρB |＝3.例 3 (2019·六安质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，过点P(－2,0)作斜率为k 的直线l 与圆C交于A ，B 两点．(1)若圆心C 到直线l 的距离为455，求k 的值；(2)求线段AB 中点E 的轨迹方程．解 (1)由题意知，圆C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4， 即圆C 的圆心为C(2,0)，半径r ＝2.依题意可得过点P(－2,0)的直线l 的方程为y ＝k(x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0， 设圆心C(2,0)到直线l 的距离为d ， 则d ＝|2k ＋2k|1＋k 2＝|4k|1＋k2＝455， 解得k ＝±12.(2)设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋tcos θ，y ＝tsin θ(t 为参数)，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6，代入圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，得t 2－8tcos θ＋12＝0. 设A ，B ，E 对应的参数分别为t A ，t B ，t E ， 则t E ＝t A ＋t B2， 所以t A ＋t B ＝8cos θ，t E ＝4cos θ. 又点E 的坐标满足⎩⎨⎧x ＝－2＋t E cos θ，y ＝t E sin θ，所以点E 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋4cos 2θ，y ＝4sin θcos θ，即⎩⎨⎧x ＝2cos 2θ，y ＝2sin 2θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6，化为普通方程为x 2＋y 2＝4(1<x ≤2)．例4在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)．(1)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值；(2)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，已知点M(1,1)，求|MA|·|MB|的值． 解 (1)设曲线C 上任意一点N(2cos α，3sin α)， 直线l ：x －2y ＋1＝0，则点N 到直线l 的距离d ＝|2cos α－23sin α＋1|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＋15≤5，∴曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为 5. (2)设直线l 的倾斜角为θ， 则由(1)知tan θ＝12，∴cos θ＝255，sin θ＝55. ∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋255t ，y ＝1＋55t (t 为参数)，曲线C ：x 24＋y 23＝1，联立方程组，消元得165t 2＋45t －5＝0， 设方程两根为t 1，t 2，则t 1t 2＝－2516， 由t 的几何意义，得|MA|·|MB|＝－t 1t 2＝2516. 通关练习二1．(2019·东莞调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝34＋3t ，y ＝a ＋3t(t 为参数)，圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝4.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求直线l 和圆C 的极坐标方程； (2)若射线θ＝π3与l 的交点为M ，与圆C 的交点为A ，B ，且点M 恰好为线段AB 的中点，求a 的值．解(1)∵直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝34＋3t ，y ＝a ＋3t(t 为参数)，∴在直线l 的参数方程中消去t 可得直线l 的普通方程为x －y －34＋a ＝0，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入直线l 的普通方程中， 得到直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ－34＋a ＝0.∵圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝4，∴圆C 的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ－6ρsin θ＋14＝0.(2)在极坐标系中，由已知可设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ1，π3，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π3，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ3，π3，联立⎩⎨⎧θ＝π3，ρ2－6ρcos θ－6ρsin θ＋14＝0，得ρ2－(3＋33)ρ＋14＝0， ∴ρ2＋ρ3＝3＋3 3. ∵点M 恰好为AB 的中点， ∴ρ1＝3＋332，即M ⎝⎛⎭⎪⎫3＋332，π3. 把M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋332，π3代入ρcos θ－ρsin θ－34＋a ＝0，得3()1＋32×1－32－34＋a ＝0，解得a ＝94.2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P(m,2)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋t ，y ＝2－t(t 为参数，m ∈R )，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋8cos θ－ρ＝0. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若已知曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，且|PA|＝2|PB|，求实数m 的值． 解 (1)C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝m ＋t ，y ＝2－t(t 为参数，m ∈R )，消参得普通方程为x ＋y －m －2＝0.C 2的极坐标方程化为ρ(2cos 2θ－1)＋8cos θ－ρ＝0，两边同乘ρ得2ρ2cos 2θ＋8ρcos θ－2ρ2＝0，即y 2＝4x. 即C 2的直角坐标方程为y 2＝4x.(2)将曲线C 1的参数方程标准化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m －22t ，y ＝2＋22t (t 为参数，m ∈R )，代入曲线C 2：y 2＝4x ， 得12t 2＋42t ＋4－4m ＝0， 由Δ＝(42)2－4×12×(4－4m)>0，得m>－3，设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，由题意得|t 1|＝2|t 2|，即t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2，当t 1＝2t 2时，⎩⎨⎧t 1＝2t 2，t 1＋t 2＝－82，t 1·t 2＝24－4m，解得m ＝－239，满足m>－3； 当t 1＝－2t 2时，⎩⎨⎧t 1＝－2t 2，t 1＋t 2＝－82，t 1·t 2＝24－4m解得m ＝33，满足m>－3. 综上，m ＝－239或33. 3．(2019·衡水中学调研)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)已知直线C 3的极坐标方程为θ＝α(0<α<π，ρ∈R )，A 是C 3与C 1的交点，B 是C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，|AB|＝42，求α的值． 解 (1)由⎩⎨⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ，得C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，又y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2， 所以C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4. (2)由(1)知曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4， 所以其极坐标方程为ρ＝4cos θ.设点A ，B 的极坐标分别为(ρA ，α)，(ρB ，α)， 则ρA ＝4cos α，ρB ＝4sin α，所以|AB|＝|ρA －ρB |＝4|cos α－sin α| ＝42⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝42，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝±1，即α－π4＝k π＋π2(k ∈Z )，解得α＝k π＋3π4(k ∈Z )，又0<α<π，所以α＝3π4. 4．(2019·保山模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．⊙O 的极坐标方程为ρ＝2，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝－2＋tsin α(t 为参数)，直线l 与⊙O 交于A ，B 两个不同的点．(1)求倾斜角α的取值范围；(2)求线段AB 中点P 的轨迹的参数方程． 解 (1)直线l 的倾斜角为α，当α＝π2时，直线l(即y 轴)与⊙O 交于A ，B 两个不同的点，符合题目要求；当α≠π2时，记k ＝tan α，直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝－2＋tsin α 化为普通方程为kx －y －2＝0，圆心O 到直线l 的距离d ＝21＋k 2.因为直线l 与⊙O 交于不同的两点， 所以21＋k2<2， 解得k>1或k<－1.当k<－1时，直线l 的倾斜角α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4；当k>1时，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，综上，直线l 的倾斜角α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)⊙O 的极坐标方程为ρ＝2，其直角坐标方程为x 2＋y 2＝2， 因直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝－2＋tsin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝2中得，t 2－4tsin α＋2＝0， 故可设A(t 1cos α，－2＋t 1sin α)，B(t 2cos α，－2＋t 2sin α)，注意到t 1 ，t 2为方程的根，故t 1＋t 2＝4sin α， 点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫t 1＋t 22cos α，－2＋t 1＋t 22sin α， 即(sin 2α，－1－cos 2α)， 所以点P 的轨迹的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝sin 2α，y ＝－1－cos 2α(α为参数)．。

选修4-4教案教案1平面直角坐标系（1课时）教案2平面直角坐标系中的伸缩变换（1课时）教案3极坐标系的的概念（1课时）教案4极坐标与直角坐标的互化（1课时）教案5圆的极坐标方程（2课时）教案6直线的极坐标方程（2课时）教案7球坐标系与柱坐标系（2课时）教案8参数方程的概念（1课时）教案9圆的参数方程及应（2课时）教案10圆锥曲线的参数方程（1课时）教案11圆锥曲线参数方程的应用（1课时）教案12直线的参数方程（2课时）教案13参数方程与普通方程互化（2课时）教案14圆的渐开线与摆线（1课时）课题：1、平面直角坐标系教学目的：知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法能力与与方法：体会坐标系的作用情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点：体会直角坐标系的作用教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题授课类型：新授课教学模式：互动五步教学法教具：多媒体、实物投影仪复习及预习提纲：1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法2坐标系的作用————教学过程————复习回顾和预习检查1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法2坐标系的作用创设情境，设置疑问情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的轨迹。

情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。

要出现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。

问题1：如何刻画一个几何图形的位置？问题2：如何创建坐标系？分组讨论刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定2、平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。

人教版高中数学选修4-4坐标系与参数方程全套教案课型：复习课课时数：讲学时间： 20101月18号班级：学号： 1、了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。

2、能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。

3、能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程。

通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义。

4、分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程，能进行参数方程与普通方程的互化。

二、【回归教材】：1、阅读《》,试了解1）设点是平面直角坐标系中的任意一点，在伸缩变换公式的作用下，如何找到点P的对应点？试找出变换为的伸缩变换公式 .（2）极坐标系是如何建立的？试类比平面直角坐标系的建立过程画一个，并写出点M的极径与极角来表示它的极坐标，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，写出极坐标和直角坐标的互化公式 .（3）在平面直角坐标系中，曲线C可以用方程来表示，在极坐标系中，我们用什么方程来表示这段曲线呢？例如圆，直线，你是如何用极坐标方程表示它们的？2、阅读选修4-4《》2）将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型，我们是如何做到的？在互化的过程中，必须注意什么问题？试探究一下圆锥曲线的参数方程与普通方程的互化。

三、【达标练习与作业】：1、在同一平面直角坐标系中，曲线经过一个伸缩变换后变为，则这个伸缩变换为 .2、已知点的极坐标为，则它的直角坐标为；而如果点的直角坐标为，则它的极坐标为 .3、化极坐标方程为直角坐标方程是；则极坐标方程表示的曲线是；而圆心为，半径为3的圆所表示的极坐标方程为 .4、直线（t为参数）的倾斜角的大小是 .5、极坐标方程为，它所表示的圆的半径为 .6、（t为参数）上到点的距离为的点坐标为 .7、已知为参数，求点到方程表示的曲线的距离的最小值 .8、已知直线（t为参数），求被双曲线截得的弦长 .四、【课后反思】：书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。

第一章 坐标系第一课时 平面直角坐标系 一、理解新知 1．平面直角坐标系 （1）平面直角坐标系的作用：使平面上的点与 、曲线与 建立联系，从而实现 的结合． （2）坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的 元素，将几何问题转化为 问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成 结论． 2．平面直角坐标系中的伸缩变换 （1）平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归纳为 伸缩变换，这就是用 研究 变换． （2）平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P (x ，y )是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ＞0)y ′＝μy (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．二、考点例题考点一 求轨迹方程[例1] (2012·湖北高考改编)设A 是单位圆122=+y x 上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |(m >0，且m ≠1)．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标． 方法规律小结求轨迹的常用方法(1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可用求曲线方程的五个步骤直接求解．(2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程．(3)代入法：如果动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (11,y x )，而Q (11,y x )又在某已知曲线上，则可先列出关于x ，y ，11,y x 的方程组，利用x 、y 表示11,y x ，把11,y x 代入已知曲线方程即为所求． (4)参数法：动点P (x ，y )的横纵坐标用一个或几个参数来表示，消去参数即得其轨迹方程． 变式训练1．二次方程x 2－ax ＋b ＝0的两根为sin θ，cos θ，求点P (a ，b )的轨迹方程(其中|θ|≤π4)．2．△ABC 中，若BC 的长度为4，中线AD 的长为3，求A 点的轨迹方程．考点二 用坐标法解决几何问题[例2] 已知△ABC 中，AB ＝AC ，BD 、CE 分别为两腰上的高．求证：BD ＝CE . 方法规律小结建立平面直角坐标系的原则根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：①如果图形有对称中心，选对称中心为原点，②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴， ③使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上． 变式训练1．求证等腰梯形对角线相等．已知：等腰梯形ABCD .求证：AC ＝BD . 2．已知△ABC 中，BD ＝CD ， 求证：AB 2＋AC 2＝2(AD 2＋BD 2)． 考点三 直角坐标系中的伸缩变换[例3] 求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x 2＋y 2＝1变成曲线x ′29＋y ′24＝1.方法规律小结 坐标伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ＞0y ′＝μy μ＞0注意变换中的系数均为正数．在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．利用坐标伸缩变换φ可以求变换前和变换后的曲线方程．已知前换前后曲线方程也可求伸缩变换φ. 变式训练1．求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x 24＋y 29＝1变成曲线x ′216＋y ′29＝1.2．求4x 2－9y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3y 后的图形所对应的方程．第二课时 极坐标系理解新知1．极坐标系的概念（1）极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做 ，自极点O 引一条射线Ox ，叫做 ；再选定一个 ，一个角度单位(通常取弧度)及其 (通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． （2）极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点M ，用ρ表示 ，用θ表示 ，ρ叫做点M 的 ，θ叫做点M 的 ，有序数对 就叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． 2．极坐标和直角坐标的互化（1）互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．（2）互化公式，二、考点例题考点一 求点的极坐标[例1] 已知点Q (ρ，θ)，分别按下列条件求出点P 的极坐标．（1）点P 是点Q 关于极点O 的对称点； （2）点P 是点Q 关于直线θ＝π2的对称点．方法规律小结设点M 的极坐标是),(θρ，则M 点关于极点的对称点的极坐标是),(θρ-或),(πθρ+；M 点关于极轴的对称点的极坐标是),(θρ-；M 点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是),(θπρ-或),(θρ--．另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的． 变式训练1．设点A (1，π3)，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求：（1）点A 关于极轴的对称点； （2）点A 关于直线l 的对称点；（3）点A 关于极点的对称点．(限定ρ>0，－π＜θ≤π)．2．在极坐标系中，点A 的极坐标是(3，π6)，求点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标(规定ρ>0，θ∈[0,2π])．考点二 点的极坐标与直角坐标的互化[例2] （1）把点A 的极坐标(2，7π6)化成直角坐标；（2）把点P 的直角坐标(1，－3)化成极坐标．(ρ>0，0≤θ<2π)．方法规律小结（1）极坐标和直角坐标互化的前提条件有三，即极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，有相同的长度单位，三者缺一不可．（2）熟记互化公式，必要时可画图来分析． 变式训练1．点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为 ( ) A ．(2，π4) B ．(2，3π4) C ．(2，5π4) D ．(2，7π4)2．若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系． （1）已知点A 的极坐标(4，5π3)，求它的直角坐标； （2）已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π)第三课时 圆的极坐标方程理解新知1．曲线的极坐标方程（1）在极坐标系中，如果曲线C 上 的极坐标中有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点 ，那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的 ． （2）建立曲线的极坐标方程的方法步骤是：①建立适当的极坐标系，设),(θρP 是曲线上任意一点． ②列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式． ③将列出的关系式整理、化简．④证明所得方程就是曲线的极坐标方程．2．圆的极坐标方程（1）圆心在C (a,0)(a ＞0)，半径为a 的圆的极坐标方程为 . （2）圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程为 . （3）圆心在点(a ，π2)处且过极点的圆的方程为二、考点例题考点一 圆的极坐标方程[例1] 求圆心在),(00θρ，半径为r 的圆的方程． 方法规律小结几种特殊情形下的圆的极坐标方程当圆心在极轴上即θ0＝0时，方程为r 2＝ρ20＋ρ2－2ρρ0cos θ，若再有ρ0＝r ，则其方程为ρ＝2ρ0cos θ＝2r cos θ，若ρ0＝r ，θ0≠0，则方程为ρ＝2r cos(θ－θ0)，这几个方程经常用来判断图形的形状和位置． 变式训练1．在极坐标系中，以(a 2，π2)为圆心，a2为半径的圆的方程是________．2．求圆心在A (2，3π2)处并且过极点的圆的极坐标方程．考点二 极坐标方程与直角坐标的互化[例2] 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化：（1）y 2＝4x ；（2）x 2＋y 2－2x －1＝0；（3）ρ＝12－cos θ.方法规律小结在进行两种坐标方程间的互化时，要注意：（1）互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同．（2）由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里约定只在0≤θ＜2π范围内求值．（3）由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要注意化简．（4）由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形． 变式训练1．把下列直角坐标方程化为极坐标方程．（1）y ＝3x ；（2）x 2－y 2＝1.2．把下列极坐标方程化为直角坐标方程． （1）ρ2cos 2θ＝1；（2）ρ＝2cos(θ－π4)．第四课时 直线的极坐标方程理解新知1．直线的极坐标方程（1）若直线经过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程为 ． （2）当直线l 过极点，即ρ0＝0时，l 的方程为 .（3）当直线l 过点M (a,0)且垂直于极轴时，l 的方程为 . （4）当直线l 过点M (b ，π2)且平行于极轴时，l 的方程为 .2．图形的对称性（1）若ρ(θ)＝ρ(－θ)，则相应图形关于 对称．（2）若ρ(θ)＝ρ(π－θ)，则图形关于射线 所在直线对称． （3）若ρ(θ)＝ρ(π＋θ)，则图形关于 对称．二、考点例题考点一 求直线的极坐标方程[例1] 求从极点出发，倾斜角是π4的射线的极坐标方程．方法规律小结求直线的极坐标方程，首先应明确过点),(00θρM ，且极轴到此直线的角为α的直线极坐标方程的求法．另外，还要注意过极点、与极轴垂直和平行的三种特殊情况的直线的极坐标方程． 变式训练1．求过A (2，π4)且垂直于极轴的直线的方程．2．设点A 的极坐标为(2，π6)，直线l 过点A 且与极轴所成的角为π3，求直线l 的极坐标方程．考点二 直线的极坐标方程的应用[例2] 在极坐标系中，直线l 的方程是ρsin(θ－π6)＝1，求点P (2，－π6)到直线l 的距离．方法规律小结对于研究极坐标方程下的距离及位置关系等问题，通常是将它们化为直角坐标方程，在直角坐标系下研究．变式训练1．在极坐标系),(θρ(0≤θ<2π)中，曲线θρsin 2=与1cos -=θρ的交点的极坐标为________ 2．已知直线的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝22，则点A (2，7π4)到这条直线的距离是________第五课时 柱坐标系理解新知柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系O xyz ，设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用),(θρ(ρ≥0,0≤θ＜2π)来表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标．这时点P 的位置可用有序数组 (z ∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组),,(z θρ之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组),,(z θρ叫做点P 的柱坐标，记作 ，其中 (2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标),,(z θρ之间的变换公式为二、考点例题考点一 将直角坐标化为柱坐标[例1] 设点A 的直角坐标为(1，3，5)，求它的柱坐标．方法规律小结知点的直角坐标，确定它的柱坐标关键是确定ρ和θ，尤其是θ，要注意求出θtan 后，还要根据点M 所在象限确定θ的值(θ的范围是[0,2π))． 变式训练1．点A 的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标 2．点M 的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标．考点二 把点的柱坐标化为直角坐标[例2] 已知点P 的柱坐标为(4，π3，8)求它的直角坐标．方法规律小结知柱坐标，求直角坐标，利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z 即可．变式训练1．点N 的柱坐标为(2，2π，3)，求它的直角坐标． 2．已知点A 的柱坐标为(1，π，2)，B 的柱坐标为(2，π2，1)，求A 、B 两点间距离．第六课时 球坐标系理解新知球坐标系（1）定义：建立空间直角坐标系O xyz ，设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为ϕ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角θ，这样点P 的位置就可以用有序数组 表示．这样，空间的点与有序数组),,(θϕr 之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组),,(θϕr 叫做点P 的球坐标，记作 ，其中（2）空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标),,(θϕr 之间的变换关系为 二、考点例题考点一 将点的球坐标系化为直角坐标[例1] 已知点P 的球坐标为(4，3π4，π4)求它的直角坐标．方法规律小结已知球坐标求直角坐标，可根据变换公式直接求得，但要分清哪个角是φ，哪个角是θ. 变式训练1．求下列各点的直角坐标：（1）M (2，π6，π3)；（2）N (2，3π4，7π6)．2．将M 的球坐标),,(πππ化成直角坐标．考点二 将点的直角坐标化为球坐标[例2] 设点M 的直角坐标为(1,1，2)，求它的球坐标． 方法规律小结由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点M 的球坐标为(r ，φ，θ)，再利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，求出r 、θ、φ代入点的球坐标即可；也可以利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝y x ，cos φ＝zr .特别注意由直角坐标求球坐标时，θ和φ的取值应首先看清点所在的象限，准确取值，才能无误．变式训练1．求下列各点的球坐标：（1）M (1，3，2)；（2）N (－1,1，－2)．第二章 参数方程第一课时 参数方程的概念理解新知1．参数方程的概念在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标x ，y 都是某个变数t (θ，φ，…)的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝fty ＝gt ①，并且对于每一个t 的允许值，方程组①所确定的点(x ，y ) ，那么方程组①就叫这条曲线的 ，t 叫做 ，相对于参数方程而言，直接给出坐标间关系的方程叫 ．2．参数的意义是联系变数x ，y 的桥梁，可以是有 意义或 意义的变数，也可以是 的变数．二、考点例题考点一 求曲线的参数方程[例1] 如图，△ABP 是等腰直角三角形，∠B 是直角，腰长为a ，顶点B 、A 分别在x 轴、 y 轴上滑动，求点P 在第一象限的轨迹的参数方程．方法规律小结求曲线参数方程的主要步骤第一步，画出轨迹草图，设M (x ，y )是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系．第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x ，y 的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略． 变式训练1．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角速度为π60 rad/s ，试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．2．选取适当的参数，把直线方程y ＝2x ＋3化为参数方程．考点二 参数方程表示曲线上的点（1）判断点M 1(0,1)，M 2(5,4)与曲线C 的位置关系．（2）已知点M 3(6，a )在曲线C 上，求a 的值．方法规律小结参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是一致的． 变式训练1．曲线4)1(22=+-y x 上的点可以表示为( ) A ．(－1＋cos θ，sin θ) B ．(1＋sin θ，cos θ) C ．(－1＋2cos θ，2sin θ) D ．(1＋2cos θ，2sin θ)2．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 为参数，a ∈R)．点M (5,4)在该曲线上，求常数a .第二课时 圆的参数方程理解新知圆的参数方程（1）在t 时刻，圆周上某点M 转过的角度是θ，点M 的坐标是(x ，y )，那么θ＝ωt (ω为角速度)．设|OM |＝r ，那么由三角函数定义，有cos ωt ＝ ，sin ωt ＝ ，即圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为 (t 为参数)．其中参数t 的物理意义是：（2）若取θ为参数，因为θ＝ωt ，于是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为 (θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM 0(M 0为t ＝0时的位置)绕点O 时针旋转到 的位置时，OM 0转过的角度．（3）若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程为二、考点例题考点一 求圆的的参数方程[例1] 圆)0()(222>=+-r r y r x ，点M 在圆上，O 为原点，以∠MOx ＝φ为参数，求圆的参数方程．方法规律小结（1）确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题容易把参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos φ，y ＝r sin φ.（2）由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程． 变式训练1．已知圆的方程为x y x 222=+，写出它的参数方程．2．已知点P (2,0)，点Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．考点二 圆的参数方程的应用[例2] 若x ，y 满足4)2()1(22=++-y x ，求2x ＋y 的最值．方法规律小结圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题． 变式训练1．求原点到曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2sin θ，y ＝－2＋2cos θ(θ为参数)的最短距离．2．已知圆C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围．第三课时 参数方程与普通方程的互化一、理解新知1．参数方程转化为普通方程曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过_________而从参数方程得到普通方程．2．普通方程转化为参数方程如果知道变数y x ,中的一个与参数t 的关系，例如)(t f x =，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系)(t g y =，那么⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 就是曲线的参数方程。

选修4-4数学坐标系与参数方程一、基础知识与考点梳理坐标系是解决几何问题的工具之一，包括平面直角坐标系和极坐标系。

参数方程是通过参数的变化来描述图形的方程，常用于描述曲线的运动或变化。

考点：1. 平面直角坐标系：了解坐标系的定义、坐标轴的性质、平面点的坐标表示方法以及表示直线和曲线的方程的求解方法。

2. 极坐标系：了解极坐标系的定义、坐标轴的性质、平面点的极坐标表示方法以及表示曲线的方程的求解方法。

3. 参数方程：了解参数方程的定义和解题步骤，熟练掌握参数方程求交点和极值点的方法。

二、典型例题解析例1、已知函数y=x²-2x+3，求其图像与x轴、y轴、直线x=1、y=3所围成的面积。

【解析】：1. 求该函数的根，即当y=0时x满足的条件：x=1±√2。

2. 绘制函数图像。

由于该函数为二次函数，故开口向上，图像开口向上，存在顶点，而顶点的横坐标为x=-b/2a，即x=1。

当x=0时，y=3，即函数在y轴上截距为3，因此y轴上的一点为(0，3)。

3. 按要求计算所求面积=△x=1△x=-∫1√2(y-3)dx+∫√2^3(y-x²+2x)dx=2-2√2/3例2、考虑曲线x=2cost+cos2t，y=2sint-sin2t的形状和特征，求其极坐标方程，指出极点和极轴，找出曲线上各点的对称点。

【解析】：1. 观察曲线方程，发现x的系数为2，y的系数为-1。

而2cos2t+1=2cos²t-2sin²t+1，故有x=4cos²t-1-y。

2. 代入x²+y²=r²，消去t，即得其极坐标方程r=4cos2θ-3。

3. 极点为(θ=r=0)，为对称中心，且曲线轨迹在极轴之上。

4. 若要求曲线上一点的对称点，可先求该点的极坐标系(r,θ)，则其对称点的极坐标系为(r,-θ)，再用x=rcosθ,y=rsinθ回代直角坐标系。

选修4－4 坐标系与参数方程第一节 坐标系[基础梳理] 1．坐标系 (1)坐标变换设点P (x ,y )是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:⎩⎨⎧x ′＝λ·x （λ>0），y ′＝μ·y （μ>0）的作用下,点P (x ,y )对应到点(λx ,μy ),称φ为坐标系中的伸缩变换． (2)极坐标系在平面内取一个定点O ,叫作极点；自极点O 引一条射线Ox ,叫作极轴；再选一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系．设M 是平面内任意一点,极点O 与点M 的距离|OM |叫作点M 的极径,记为ρ；以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM 叫作点M 的极角,记为θ,有序数对(ρ,θ)叫作点M 的极坐标,记为M (ρ,θ)． 2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点,x 轴正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x ,y )和(ρ,θ),则⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx （x ≠0）.3．常用简单曲线的极坐标方程 曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆ρ＝r圆心为(r ,0),半径为r 的圆ρ＝2r cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ≤π2 圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，π2,半径为r 的圆ρ＝2r sin θ (0≤θ<π)1．明辨两个坐标伸缩变换关系式⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ＞0），y ′＝μy （μ＞0），点(x ,y )在原曲线上,点(x ′,y ′)在变换后的曲线上,因此点(x ,y )的坐标满足原来的曲线方程,点(x ′,y ′)的坐标满足变换后的曲线方程． 2．极坐标方程与直角坐标方程互化(1)公式代入:直角坐标方程化为极坐标方程公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简．(2)整体代换:极坐标方程化为直角坐标方程,变形构造形如ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,进行整体代换． [四基自测]1．点P 的直角坐标为(1,－3),则点P 的极坐标为______． 答案:(2,－π3)2．在极坐标系中,圆心在()2，π且过极点的圆的方程为________． 答案:ρ＝－2 2 cos θ3．在极坐标系中,直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ,B 两点,则|AB |＝________． 答案:24．在极坐标系中,圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值是________． 答案:65．已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0,则圆C 的半径为________．答案: 6考点一 伸缩变换◄考基础——练透[例1] (1)在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后,曲线C 变为曲线2x ′2＋8y ′2＝1,求曲线C 的方程．解析:把⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5xy ′＝3y 代入曲线2x ′2＋8y ′2＝1,可得2(5x )2＋8(3y )2＝1,化为50x 2＋72y 2＝1,即为曲线C 的方程．(2)在同一直角坐标系中,求满足下列图形变换的伸缩变换:由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′2＝1.解析:法一:设变换为φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），可将其代入x ′2＋y ′2＝1,得λ2x 2＋μ2y 2＝1.将4x 2＋9y 2＝36变形为x 29＋y 24＝1,比较系数得λ＝13,μ＝12.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y .故将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点的横坐标变为原来的13,纵坐标变为原来的12,可得到圆x ′2＋y ′2＝1.法二:利用配凑法将4x 2＋9y 2＝36化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1,与x ′2＋y ′2＝1对应项比较即可得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x3，y ′＝y 2.故将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点的横坐标变为原来的13,纵坐标变为原来的12,可得到圆x ′2＋y ′2＝1.1.平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）的作用下的变换方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x ),得y ′μ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′λ,整理之后得到y ′＝h (x ′),即为所求变换之后的方程．2．应用伸缩变换时,要分清变换前的点的坐标(x ,y )与变换后的坐标(x ′,y ′)．1．(2019·池州模拟)求曲线x 2＋y 2＝1经过φ:⎩⎨⎧x ′＝3x ，y ′＝4y变换后得到的新曲线的方程．解析:曲线x 2＋y 2＝1经过φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝4y 变换后,即将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝y ′4代入圆的方程,可得x ′29＋y ′216＝1,即所求新曲线方程为:x 29＋y 216＝1.2．求正弦曲线y ＝sin x 按:φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y 变换后的函数解析式．解析:设点P (x ,y )为正弦曲线y ＝sin x 上的任意一点, 在变换φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y 的作用下,点P (x ,y )对应到点P ′(x ′,y ′)．即φ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝2y ′，代入y ＝sin x 得2y ′＝sin 3x ′,所以y ′＝12sin3x ′,即y ＝12sin 3x 为所求．考点二 极坐标与直角坐标的互化◄考能力——知法[例2] (1)(2017·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.①M 为曲线C 1上的动点,点P 在线段OM 上,且满足|OM |·|OP |＝16,求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；②设点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3,点B 在曲线C 2上,求△OAB 面积的最大值．解析:①设P 的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M 的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0)． 由题设知|OP |＝ρ,|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． ②设点B 的极坐标为(ρB ,α)(ρB >0)．由题设知|OA |＝2,ρB ＝4cos α,于是△OAB 的面积 S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·|sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3|＝2|sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32|≤2＋ 3.当α＝－π12时,S 取得最大值2＋ 3. 所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.(2)(2016·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t 为参数,a >0)．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ＝4cos θ.①说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；②直线C 3的极坐标方程为θ＝α0,其中α0满足tan α0＝2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a .解析:①消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.②曲线C 1,C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0,由方程组得16cos 2 θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0, 由已知tan θ＝2,可得16cos 2 θ－8sin θcos θ＝0, 从而1－a 2＝0,解得a ＝－1(舍去)或a ＝1. a ＝1时,极点也为C 1,C 2的公共点,在C 3上． 所以a ＝1.将本例(2)曲线C 1变为ρ＝cos θ＋sin θ,曲线C 2变为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22.(1)求C 1和C 2的直角坐标方程；(2)当θ∈(0,π)时,求C 1与C 2公共点的一个极坐标． 解析:(1)曲线C 1:ρ＝cos θ＋sin θ,即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ,曲线C 1的直角坐标方程为:x 2＋y 2＝x ＋y ,即x 2＋y 2－x －y ＝0,曲线C 2:ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22,即ρsin θ－ρcos θ＝1,则曲线C 2的直角坐标方程为:y －x ＝1,即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，C 1与C 2公共点的一个极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2.1．极坐标方程与普通方程的互化技巧(1)将极坐标方程两边同乘ρ或同时平方,将极坐标方程构造成含有ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,然后利用公式代入化简得到普通方程．(2)巧借两角和差公式,转化ρsin(θ±α)或ρcos(θ±α)的结构形式,进而利用互化公式得到普通方程．(3)将直角坐标方程中的x 转化为ρcos θ,将y 换成ρsin θ,即可得到其极坐标方程． 2．涉及圆的极坐标方程的解决方法方法一:先把涉及的直线或圆的极坐标方程化为直角坐标方程,再根据直角坐标系中的相关知识进行求解；方法二:直接利用极坐标的相关知识进行求解,其关键是将已知条件表示成ρ和θ之间的关系．这一过程需要用到解三角形的知识,并需要掌握直线和圆的极坐标方程．(2018·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程．解析:(1)由x＝ρcos θ,y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0),半径为2的圆．由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1,y 轴左边的射线为l2.由于点B 在圆C 2的外面,故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点,或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时,点A 到l 1所在直线的距离为2,所以|－k ＋2|k 2＋1＝2,故k＝－43或k ＝0.经检验,当k ＝0时,l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时,l 1与C 2只有一个公共点,l 2与C 2有两个公共点． 当l 2与C 2只有一个公共点时,点A 到l 2所在直线的距离为2,所以|k ＋2|k 2＋1＝2,故k＝0或k ＝43.经检验,当k ＝0时,l 1与C 2没有公共点； 当k ＝43时,l 2与C 2没有公共点． 综上,所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.考点三 极坐标方程的应用◄考基础——练透[例3] (2019·山西太原模拟)点P 是曲线C 1:(x －2)2＋y 2＝4上的动点,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,以极点O 为中心,将点P 逆时针旋转90°得到点Q ,设点Q 的轨迹为曲线C 2. (1)求曲线C 1,C 2的极坐标方程；(2)射线θ＝π3(ρ＞0)与曲线C 1,C 2分别交于A ,B 两点,定点M (2,0),求△MAB 的面积．解析:(1)由曲线C 1的直角坐标方程(x －2)2＋y 2＝4可得曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ.设Q (ρ,θ),则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，θ－π2,则有ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝4sin θ.所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(2)M到射线θ＝π3(ρ＞0)的距离d＝2sinπ3＝3,|AB|＝ρB－ρA＝4⎝⎛⎭⎪⎫sinπ3－cos π3＝2(3－1),则S△MAB＝12|AB|×d＝12×2(3－1)×3＝3－ 3.判断位置关系和求最值问题的方法(1)已知极坐标方程讨论位置关系时,可以先化为直角坐标方程,化陌生为熟悉再进行解答．(2)已知极坐标方程解答最值问题时,通常可转化为三角函数模型求最值问题,比直角坐标系中求最值的运算量小．提醒:在曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围,注意转化的等价性．在极坐标系中,判断直线4ρcos(θ－π6)＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的公共点的个数． 解析:直线方程可化为2ρsin θ＋23ρcos θ＋1＝0,即23x ＋2y ＋1＝0,圆为x 2＋(y －1)2＝1,因为圆心到直线的距离d ＝34＜1,所以有两个交点．课时规范练 A 组 基础对点练1．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2,ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程． (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解析:(1)ρ＝2⇒ρ2＝4,所以x 2＋y 2＝4；因为ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2,所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2,所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1, 即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.2．在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝9,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求圆C 的极坐标方程．(2)直线OP :θ＝π6(ρ∈R )与圆C 交于点M ,N ,求线段MN 的长． 解析:(1)(x －3)2＋(y ＋1)2＝9可化为x 2＋y 2－23x ＋2y －5＝0, 故其极坐标方程为ρ2－23ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0. (2)将θ＝π6代入ρ2－23ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0,得 ρ2－2ρ－5＝0,所以ρ1＋ρ2＝2,ρ1ρ2＝－5, 所以|MN |＝|ρ1－ρ2|＝4＋20＝2 6.3．在极坐标系中,已知圆C 经过点P (2,π4),圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点,求圆C 的极坐标方程．解析:因为点P (2,π4),所以x ＝2cos π4＝1,y ＝2sin π4＝1,所以点P (1,1)．因为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32,展开为12ρsin θ－32ρcos θ＝－32,所以y －3x ＝－3,令y ＝0,则x ＝1,所以直线与x 轴的交点为C (1,0)．所以圆C 的半径r ＝|PC |＝（1－1）2＋（1－0）2＝1,所以圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1,展开为x 2－2x ＋1＋y 2＝1,化为极坐标方程ρ2－2ρcos θ＝0,即ρ＝2 cos θ,所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.4．在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程； (2)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数),l 与C 交于A ,B 两点,|AB |＝10,求l 的斜率．解析:(1)由x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ,B 所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α,ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38,tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153.B 组 能力提升练5．已知在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－255t ，y ＝1＋55t(t 为参数)． (1)求曲线C 1的直角坐标方程及直线l 的普通方程；(2)若曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数),曲线C 1上点P 的极角为π4,Q为曲线C 2上的动点,求PQ 的中点M 到直线l 距离的最大值． 解析:(1)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ, 即ρ2＝4ρcos θ,可得直角坐标方程:C 1:x 2＋y 2－4x ＝0.直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－255t ，y ＝1＋55t (t 为参数),消去参数t 可得普通方程:x ＋2y －3＝0.(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4,直角坐标为(2,2),Q (2cos α,sin α),M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos α，1＋12sin α,∴M 到l 的距离为d ＝|1＋cos α＋2＋sin α－3|5＝105⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤105, 从而最大值为105. 6．在直角坐标系xOy 中,曲线C 1:⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数,t ≠0), 其中0≤α≤π,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ＝2sin θ,C 3:ρ＝23cos θ. (1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ,C 1与C 3相交于点B ,求|AB |的最大值．解析:(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0,曲线C 3的直角坐标方程x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ,ρ≠0),其中0≤α≤π. 因此A 的极坐标为(2sin α,α),B 的极坐标为(2 3 cos α,α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3.当α＝5π6时,|AB |取得最大值,最大值为4.第二节 参数方程[基础梳理] 1．曲线的参数方程在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x ,y 都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），并且对于t 的每一个允许值,由这个方程组所确定的点M (x ,y )都在这条曲线上,那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x ,y 的变数t 叫做参变数,简称参数．相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程F (x ,y )＝0叫普通方程． 2．参数方程和普通方程的互化(1)参数方程化普通方程:利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数． (2)普通方程化参数方程:如果x ＝f (t ),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t ),则得曲线的参数方程⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）.3．直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程1．参数方程化普通方程(1)常用技巧:代入消元、加减消元、平方后加减消元等． (2)常用公式:cos 2θ＋sin 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1cos 2θ. 2．直线参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.若M 1,M 2是l 上的两点,其对应参数分别为t 1,t 2,则 (1)|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.(2)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ,则t ＝t 1＋t 22,中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22. (3)若M 0为线段M 1M 2的中点, 则t 1＋t 2＝0. [四基自测]1．直线y ＝x 与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案:C2．若直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝2－3t (t 为参数),则直线的斜率为________．答案:－33．曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ－1(θ为参数),则曲线C 的普通方程为________．答案:y ＝－2x 2(－1≤x ≤1)4．椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数),过左焦点F 1的直线l 与C 相交于A ,B 两点,则|AB |min ＝________． 答案:1855．椭圆⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)的离心率为________．答案:215考点一 直线的参数方程◄考基础——练透[例1] (2017·高考全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中,直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数),直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C . (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l 3:ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0,M 为l 3与C 的交点,求M 的极径．解析:(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1:y ＝k (x －2)；消去参数m 得l 2的普通方程l 2:y ＝1k (x ＋2)．设P (x ,y ),由题设得⎩⎨⎧y ＝k （x －2），y ＝1k （x ＋2），消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π,θ≠π)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ρ2（cos 2θ－sin 2θ）＝4，ρ（cos θ＋sin θ）－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13,从而cos 2θ＝910,sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5,所以交点M 的极径为 5.1．直线的参数方程有两种常见形式: (1)点角式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(α为倾斜角)．(2)点斜式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋aty ＝y 0＋bt(参数都是t )2．使用方法:消参数(三角公式法、相除法)化为普通方程或者利用参数法 (1)若M 1,M 2是直线l 上的两个点,对应的参数分别为t 1,t 2,则|M 0M 1→||M 0M 2→|＝|t 1t 2|,|M 1M 2→|＝|t 2－t 1|＝（t 2＋t 1）2－4t 1t 2.(2)若线段M 1M 2的中点为M 3,点M 1,M 2,M 3对应的参数分别为t 1,t 2,t 3,则t 3＝t 1＋t 22. (3)若直线l 上的线段M 1M 2的中点为M 0(x 0,y 0),则t 1＋t 2＝0,t 1t 2<0.(2019·唐山模拟)在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,圆C 的方程为ρ＝25sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ,B ,若点P 的坐标为(3,5),求|P A |＋|PB |. 解析:(1)由ρ＝25sin θ,得ρ2＝25ρsin θ. ∴x 2＋y 2＝25y ,即x 2＋(y －5)2＝5.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程．得⎝ ⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5,即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0,故可设t 1,t 2是上述方程的两实根,所以⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4. 又直线l 过点P (3,5),故由上式及t 的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2. 考点二 圆的参数方程◄考能力——知法[例2] 在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ,θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线l :y ＝3x ＋2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D 的坐标．解析:(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)． 可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数,0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ,sin t ),由(1)知C 是以G (1,0)为圆心,1为半径的半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直,所以直线GD 与l 的斜率相同,tan t ＝3,t ＝π3. 故D 的直角坐标为(1＋cos π3,sin π3),即(32,32)．1．圆的参数方程可利用三角公式消参数后再应用．2．解决与圆上的动点有关的距离取值范围以及最大值和最小值问题,通常可以转化为点与圆、直线与圆的位置关系．3．求距离的问题,通过设圆的参数方程,就转化为求三角函数的值域问题．(2019·河北保定一中模拟)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t(t 为参数),在以 原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为22ρcos(θ＋π4)＝－1.(1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴,y 轴分别交于A ,B 两点,点P 是圆C 上任一点,求A ,B 两点的极坐标和△P AB 面积的最小值．解析:(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋ 2 sin t 消去参数t ,得(x ＋5)2＋(y －3)2＝2,所以圆C 的普通方程为(x ＋5)2＋(y －3)2＝2.由22ρcos(θ＋π4)＝－1,得ρcos θ－ρsin θ＝－2, 所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 与x 轴,y 轴的交点分别为A (－2,0),B (0,2),则点A ,B 的极坐标分别为(2,π＋2k π)(k ∈Z ),(2,π2＋2k π)(k ∈Z )．设点P 的坐标为(－5＋2cos α,3＋ 2 sin α),则点P 到直线l 的距离d ＝|－5＋2cos α－3－2sin α＋2|2＝|－6＋2cos （α＋π4）|2,所以d min ＝42＝22,又|AB |＝22,所以△P AB 面积的最小值S ＝12×d min ×|AB |＝12×22×22＝4. 考点三 椭圆的参数方程◄考基础——练透[例3] (2017·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数),直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)． (1)若a ＝－1,求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17,求a . 解析:(1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1. 当a ＝－1时,直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0,由⎩⎨⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0),⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425.(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0,故C 上的点(3cos θ,sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时,d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17,所以a ＝8；当a <－4时,d 的最大值为－a ＋117.由题设得－a ＋117＝17,所以a ＝－16.综上,a ＝8或a ＝－16.1．区分椭圆的参数方程的参数的几何意义是离心角,与圆的参数方程的参数不同．2．椭圆的参数方程消参数时,先变为xa＝cos θ,yb＝sin θ,再利用cos2θ＋sin2θ＝1求解．已知曲线C :x 24＋y 29＝1,直线l :⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线,交l 于点A ,求|P A |的最大值与最小值．解析:(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|,其中α为锐角,且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时,|P A |取得最大值,最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时,|P A |取得最小值,最小值为255.课时规范练 A 组 基础对点练1．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝mt (t 为参数),圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．(1)若直线l 与圆C 的相交弦长不小于2,求实数m 的取值范围．(2)若点A 的坐标为(2,0),动点P 在圆C 上,试求线段P A 的中点Q 的轨迹方程． 解析:(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝mt(t 为参数),普通方程为y ＝mx ,圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数),普通方程为x 2＋(y －1)2＝1.圆心到直线l 的距离d ＝1m 2＋1,相交弦长＝21－1m 2＋1, 所以21－1m 2＋1≥2,所以m ≤－1或m ≥1. (2)设P (cos α,1＋sin α),Q (x ,y ),则 x ＝12(cos α＋2),y ＝12(1＋sin α),消去α,整理可得线段P A 的中点Q 的轨迹方程(x －1)2＋(y －12)2＝14.2．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 是参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程．(2)若直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,且|AB |＝14,求直线l 的倾斜角α的值． 解析:(1)因为ρcos θ＝x ,ρsin θ＝y ,ρ2＝x 2＋y 2,所以曲线C 的极坐标方程ρ＝4cos θ可化为ρ2＝4ρcos θ,所以x 2＋y 2＝4x , 所以(x －2)2＋y 2＝4.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α代入圆的方程(x －2)2＋y 2＝4得:(t cos α－1)2＋(t sin α)2＝4,化简得t 2－2t cos α－3＝0. 设A ,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2, 则⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝2cos α，t 1t 2＝－3， 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4cos 2α＋12,因为|AB |＝14, 所以4cos 2α＋12＝14.所以cos α＝±22. 因为α∈[0,π), 所以α＝π4或α＝34π.所以直线的倾斜角α＝π4或α＝34π.3．在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos αy ＝1＋sin α(α为参数,α∈R ),在以坐标原点为极点,x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2.(1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程； (2)若曲线C 1和曲线C 2相交于A ,B 两点,求|AB |的值．解析:(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y －1＝sin α⇒x 2＋(y －1)2＝1,由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2⇒22ρsin θ－22ρcos θ＝2⇒y －x ＝2,即C 2:x －y ＋2＝0.(2)∵直线x －y ＋2＝0与圆x 2＋(y －1)2＝1相交于A ,B 两点, 又x 2＋(y －1)2＝1的圆心(0,1),半径为1, 故圆心到直线的距离d ＝|0－1＋2|12＋（－1）2＝22,∴|AB |＝212－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝ 2.B 组 能力提升练4．(2019·合肥模拟)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数),在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2的极坐标方程为ρ－2cos θ＝0.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若曲线C 1上有一动点M ,曲线C 2上有一动点N ,求|MN |的最小值． 解析:(1)由ρ－2cos θ＝0得ρ2－2ρcos θ＝0, 由ρ2＝x 2＋y 2,ρcos θ＝x ,得x 2＋y 2－2x ＝0, 即曲线C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)由(1)可知,圆C 2的圆心为C 2(1,0),半径为1.设曲线C 1上的动点M (3cos α,2sin α),易知点M 在圆C 2外, 由动点N 在圆C 2上可得|MN |min ＝|MC 2|min －1. 因为|MC 2|＝（3cos α－1）2＋4sin 2α＝5cos 2α－6cos α＋5＝5（cos α－35）2＋165,所以当cos α＝35时,|MC 2|min ＝455,所以|MN |min ＝|MC 2|min －1＝455－1,即|MN |的最小值为455－1.5．在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3sin α－cos α，y ＝3－23sin αcos α－2cos 2α(α为参数),以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22m .(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； (2)若曲线C 1与曲线C 2有公共点,求实数m 的取值范围． 解析:(1)曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin α－cos α，y ＝3－23sin αcos α－2cos 2α，消去参数,可得y ＝x 2(－2≤x ≤2),由ρsin(θ－π4)＝22m ,得22ρsin θ－22ρcos θ＝22m ,所以曲线C 2的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，x －y ＋m ＝0，可得x 2－x －m ＝0,∵曲线C 1与曲线C 2有公共点, ∴m ＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14.∵－2≤x ≤2,∴－14≤m ≤6.。

学习总结报告-苏教版选修4-4 坐标系与参数方程教案一、教学目的本节课旨在帮助学生掌握坐标系和参数方程的概念，并能够用参数方程来描述曲线的特征和性质。

通过这节课的学习，学生可以进一步了解二维平面直角坐标系的基本性质和应用，并培养他们的数学思维和观察力。

二、教学重难点教学重点：1.掌握坐标系和参数方程的概念；2.理解曲线的对称性和特征。

教学难点：1.理解坐标系的三个特征：坐标轴、原点和单位长度；2.通过参数方程来描述曲线的性质。

三、教学内容本节课的教学内容主要分为两部分：坐标系和参数方程。

1. 坐标系在本节课中，我们主要讨论的是平面直角坐标系，也就是笛卡尔坐标系。

平面直角坐标系是由两条互相垂直的直线（x轴和y轴）组成的。

其中，x轴是水平的，y轴是垂直的。

坐标系的原点是两条坐标轴的交点，可以用于确定平面上点的位置。

平面直角坐标系可以用于表示平面上的点、线、曲线等各种图形。

在本节课中，我们主要用坐标系来描述曲线的形状和特征。

2. 参数方程参数方程是一种描述曲线的方式，它是通过对x和y两个变量分别用一个参数t来表示的。

这个参数t通常是时间的函数，也可以是其他自变量。

通过改变t的值，我们可以得到不同的x和y坐标，从而画出曲线的形状。

例如，一个圆的参数方程可以表示为：x = r * cos(t)y = r * sin(t)其中，r是圆的半径，t是角度的参数。

通过这个参数方程，我们可以得到圆上的任意一点的坐标，从而画出整个圆的形状。

四、教学方法本节课的教学方法主要采用课堂讲解和练习相结合的方式。

首先，老师会讲解坐标系和参数方程的基本概念和原理，然后通过教材上的例子进行演示和讲解。

接着，老师会让学生自己完成一些练习题，巩固所学的知识。

教学过程中，老师应该注意：1.例子要精选：选择具有代表性、简单易懂的例子，便于学生理解和记忆；2.注意分层次：将知识点按照难度分层次，逐步推进，不要跳跃式讲解；3.注重细节：坐标系和参数方程需要注意一些细节问题，如坐标轴的正方向、参数的范围等等，老师需要引导学生注意到这些问题。

数学选修4-4坐标系与参数方程2016-7第一讲 坐标系一、平面直角坐标系1.平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。

它使平面上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y ）确定.例1 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s ，已知各观测点到中心的距离都是1020m ，试确定该巨响的位置。

（假定当时声音传播的速度为340m/s ，各相关点均在同一平面上）以接报中心为原点O ，以BA 方向为x 轴，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020) 设P （x,y ）为巨响为生点，由B 、C 同时听到巨响声，得|PC|=|PB|，故P 在BC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因A 点比B 点晚4s 听到爆炸声，故|PA|－ |PB|=340×4=1360，由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线22221x y a b-=上，2222222222680,1020102068053401(0)6805340a c b c a x y x ∴==∴=-=-=⨯-=<⨯故双曲线方程为用y=－x代入上式，得x =± ， ∵|PA|>|PB|,(x y P PO ∴=-=-=即故答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.上述问题的解决体现了坐标法的思想. 建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系:(1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点； (2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； (3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。

变式训练1．一炮弹在某处爆炸,在A 处听到爆炸的时间比在B 处晚2s,已知A 、B 两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程.2．在面积为1的PMN ∆中，2tan ,21tan -=∠=∠MNP PMN ，建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点并过点P 的椭圆方程.课后作业1.若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( )． A.53 B.23 C.13 D.122.设F 1、F 2是双曲线x23－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，1PF ·2PF 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6 3.若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点在圆x 2＋y 2＋2x －3＝0上，则p ＝( )A.12B ．1C ．2D ．3 4.已知两定点A (1,1)，B (－1，－1)，动点P 满足P A →·PB →＝x22，则点P 的轨迹方程是_________.5.△ABC 的顶点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是___________.6. 已知动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．7.已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．8. 已知长方形ABCD ，22=AB ，BC=1。

选修4-4 坐标系与参数方程【课程目标】本专题的内容包括：坐标系、曲线的极坐标方程、平面坐标系中几种变换、参数方程。

通过本专题的教学，使学生简单了解柱坐标系、球坐标系，掌握极坐标和参数方程的基本概念，了解曲线的多种表现形式；通过从实际问题中抽象出数学问题的过程，使学生体会数学在实际中的应用价值；培养学生探究数学问题的能力和应用意识。

【学习要求】1．坐标系了解极坐标系；会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；会进行极坐标和直角坐标的互化。

了解在球坐标系、柱坐标系中刻画空间中点的位置的方法（本节内容不作要求）。

2．曲线的极坐标方程了解曲线的极坐标方程的求法；会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单图形（过极点的直线、过极点的圆、圆心在极点的圆）的极坐标方程。

3．平面坐标系中几种常见变换（本节内容不作要求）了解在平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换。

4．参数方程了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。

理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用。

会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。

【教学建议】1．坐标系的教学应着重让学生理解平面和空间中点的位置都可以用有序数组（坐标）来刻画，在不同坐标系中，这些数所体现的几何含义不同。

同一几何图形的方程在不同坐标系中具有不同的形式。

因此，选择适当的坐标系可以使表示图形的方程具有更方便的形式。

在坐标系的教学中，可以引导学生自己尝试建立坐标系，说明建立坐标系的原则，激励学生的发散思维和创新思维，并通过具体实例说明这样建立坐标系有哪些方便之处2．教学中应通过具体例子让学生体会极坐标的多值性，但是在表示点的极坐标时，如无特别要求，通常取ρ≥0 ，0≤θ＜2π。

极坐标方程与直角坐标方程的互化，主要是极坐标方程化为直角坐标方程；参数方程与普通方程的互化，主要是参数方程化为普通方程，并注意参数的取值范围。

3．求曲线的极坐标方程主要包括：特殊位置的直线（如过极点的直线）、圆（过极点或圆心在极点的圆）；求曲线的参数方程主要包括：直线、圆、椭圆和抛物运动轨迹的参数方程。

坐标系与参数方程教案一、高考考试大纲说明的具体要求： 1．坐标系：① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 二、基础知识梳理： 1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎪⎩⎪⎨⎧>⋅=>⋅=)0(,)0(,:''μμλλϕy y x x 的作用下，点P(x,y)对应到点)y ,x (P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的 坐标伸缩变化 ， 简称伸缩变化 。

1. (由x y x y 2sin sin =→=；)“保持纵坐标y 不变，将横坐标x 缩为原来的21”，设),(y x P 是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标y 不变，将横坐标x 缩为原来的21，得到),('''y x p ，那么⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x ''21思考：（由x y x y 21sin sin =→=)2.（由x y x y sin 3sin =→=）“保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来的3倍.”设),(y x p 是平面直角坐标系中的任意一点，保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来的3倍，得到点),('''y x p ，那么⎪⎩⎪⎨⎧==yy xx 3''3.（x y x y 2sin 3sin =→=）设平面直角坐标系中任意一点),(y x p 经过上述变换后变为),('''y x p ，那么⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x 321''基础练习：1. 在同一平面坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 2131''后的图形 （1）14922=+xx；（2）1121822=-yx；（3）x y 22=.2.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==yy xx ''3后，曲线C 变为曲线992'2'=+y x ，求曲线C 的方程并画出图像.3.在同一平面直角坐标系中，求满足下列图像变换的伸缩变换： （1） 直线22=-y x 变成直线42''=-y x ； （2） 曲线0222=--x y x 变成曲线0416'2'2'=--x yx伸缩变化高考题：1. (2011年高考湖北卷理科14)如图，直角坐标系x Oy 所在的平面为α，直角坐标系''x oy Oy (其中'y 轴与y 轴重合)所在平面为β，'45xox ∠=(Ⅰ)已知平面内有一点2)P ，则点'P 在平面α内的射影P 的坐标为 ；(Ⅱ)已知平面β内的曲线'C 的方程是22('2'20x y -+-=，则曲线'C 在平面α内的射影C 的方程是 .答案：（2，2） 22(1)1x y -+=2. (2011年高考全国新课标卷理科23) （本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为⎨⎧+==ααsin 22cos 2y x ，(α为参数) M 是曲线1C 上的动点，点P 满足OM OP 2=，（1）求点P 的轨迹方程2C ；（2）在以D 为极点，X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与曲线1C ，2C 交于不同于原点的点A,B 求AB2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做 极点 ；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做 极轴 ；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个 极坐标 。

选修4-4 坐标系与参数方程【知识梳理】一、坐标系1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ,y )是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x x y y λλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点P (x ,y )对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R ).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02πρθ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3．极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4．常见曲线的极坐标方程注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2π),(,π),(,π),ρθρθρθρθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点ππ(,)44M 可以表示为πππππ5π(,2π)(,2π),444444+-或或(-)等多种形式,其中,只有ππ(,)44的极坐标满足方程ρθ=. 二、参数方程 1．参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一.应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同.3．圆的参数设圆O 的半径为r ，点M 从初始位置0M 出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，设(,)M x y ，则cos ()sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数.这就是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程，其中θ的几何意义是0OM 转过的角度. 圆心为(,)a b ，半径为r 的圆的普通方程是222()()x a y b r -+-=，它的参数方程为：cos ()sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数. 4．椭圆的参数方程以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为22221(0),x y a b a b+=>>其参数方程为cos ()sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，其中参数ϕ称为离心角；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是22221(0),y x a b a b +=>>其参数方程为cos (),sin x b y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数其中参数ϕ仍为离心角，通常规定参数ϕ的范围为ϕ∈[0，2π）.注：椭圆的参数方程中，参数ϕ的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角α区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2π的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等.但当π02α≤≤时，相应地也有π02ϕ≤≤，在其他象限内类似. 5．双曲线的参数方程以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的双曲线的标准议程为22221(0,0),x y a b a b-=>>其参数方程为sec ()tan x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，其中π3π[0,2π),.22ϕϕϕ∈≠≠且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是22221(0,0),y x a b a b-=>>其参数方程为cot ((0,2π)π.csc x b y a ϕϕϕϕϕ=⎧∈≠⎨=⎩为参数，其中且 以上参数ϕ都是双曲线上任意一点的离心角. 6．抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线22(0)y px p =>的参数方程为22().2x pt t y pt⎧=⎨=⎩为参数 7．直线的参数方程经过点000(,)M x y ，倾斜角为π()2αα≠的直线l 的普通方程是00tan (),y y x x α-=-而过000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩()t 为参数.注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩()t 为参数，其中t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任一点(,)M x y 为终点的有向线段0M M 的数量，当点M 在0M 上方时，t ＞0；当点M 在0M 下方时，t ＜0；当点M 与0M 重合时，t =0.我们也可以把参数t 理解为以0M 为原点，直线l 向上的方向为正方向的数轴上的点M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同.【真题精练】1.【2011年新课标】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），M 是C 1上的动点，P 点满足=2OP OM ，P 点的轨迹为曲线C 2. （1）求C 2的方程；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线π3θ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.2.【2012年新课标】已知曲线1C 的参数方程是=2cos =3sin ⎧⎨⎩x y ϕϕ（φ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为π(2,)3. （1）求点,,,A B C D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围.3.【2013年新课标I 】已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π）.4.【2013年新课标II】已知动点P，Q都在曲线C：2cos,2sinx ty t=⎧⎨=⎩(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．5.【2014年新课标II】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为π2cos,[0,].2ρθθ=∈（1）求C的参数方程；（2）设点D在C上，C在D处的切线与直线:2l y=+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D的坐标.6. 【2015年新课标I 】在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求12,C C 的极坐标方程. （2）若直线3C 的极坐标方程为()π4R θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆的面积.7. 【2015年新课标II 】在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩( t 为参数,且0t ≠),其中0πα≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ==（1）求2C 与3C 交点的直角坐标；（2）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.8.【2016年新课标I 】在直线坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧+==t a y ta x sin 1cos （t 为参数，a ＞0）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ. （1）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（2）直线C 3的极坐标方程为0α=θ，其中0α满足tan 0α=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .9.【2016年新课标II 】在直线坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=． （1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A 、B 两点，AB =l的斜率．10.【2016年新课标III 】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 x =qy =sin q ìíïîï为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为πsin(+)=4ρθ（1）写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.11.【2017新课标I 】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）.（1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la .12.【2017新课标II 】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为π(2,)3，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．13.【2017新课标III 】在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为,,x t y kt =2+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为,,x m my k =-2+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程：（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设:(cos sin )l ρθθ3+0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．【参考答案】【真题精练】1.【解】（1）设P (x , y )，则由条件知(,)22x y M . 由于M 点在C 1上，所以2cos 222sin 2xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩，从而C 2的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）.（2）曲线C 1的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线C 2的极坐标方程为8sin ρθ=. 射线π3θ=与C 1的交点A 的极径为1π4sin 3ρ=，射线π3θ=与C 2的交点B 的极径为2π8sin 3ρ=.所以21||||AB ρρ-==2.【解】（1）依题意，点A ，B ，C ，D 的极坐标分别为π5π4π11π(2,),(2,),(2,),(2,)3636. 所以点A ，B ，C ，D的直角坐标分别为、(、(1,-、1)-. （2）设()2cos ,3sin P ϕϕ，则222222||||||||(12cos )3sin )PA PB PC PD ϕϕ+++=-+222222(2cos )(13sin )(12cos )(3sin )2cos )(13sin )ϕϕϕϕϕϕ++-+--+++--[]22216cos 36sin 163220sin 32,52ϕϕϕ=++=+∈.所以2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围为[]32,52.3.【解】(1)将45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0. 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 4.【解】(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)， 因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． M 的轨迹的参数方程为cos cos 2,sin sin 2,x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d=＜α＜2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．5.【解】（1）C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤，可得C 的参数方程为1cos sin x ty t =+⎧⎨=⎩（t 为参数，0πt ≤≤）.（2）设(1cos ,sin )D t t +由（1）知C 是以(1,0)G 为圆心，1为半径的上半圆，因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同.πtan 3t t ==，故D 的直角坐标为ππ(1cos ,sin )33+，即3(,22. 6. 【解】（1）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.（2）将π4θ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得12ρρ==故12ρρ-=MN =由于2C 的半径为1，所以2C MN ∆的面积为12. 7. 【解】（1）曲线23:2sin ,:C C ρθρθ==的直角坐标方程是.032:;0:222221=-+=-+x y x C y y x C⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∴====.23230,0,.23,23.0,021），、（）交点的直角坐标为（联立解得C C y x y x （2）曲线C 1的极坐标方程为00πR ∈≠≤ρ=αρρα<.（，，） 因此点A 的极坐标为（2sin α，α），点B 的极坐标为（cos α，α）， 所以|AB |=|2sin αα|=4|sin(α-π3)|.所以当α=5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4. 8.【解】（1）（均为参数），∴①，∴为以为圆心，为半径的圆．方程为， ∵，∴，即为的极坐标方程. （2）两边同乘得，即②：化为普通方程为，由题意：和的公共方程所在直线即为，①—②得：，即为，∴，∴. 9.【解】（1）整理圆的方程得，由可知圆的极坐标方程为． （2）记直线的斜率为，则直线的方程为，， 即，整理得，则. 10.【解】（1）C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.（2）由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)，∵C2是直线，∴|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值， d (a )＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin(α＋π3)－2 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为(32，12).11.【解】（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=， 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩t ()2221x y a +-=1C ()01，a 222210x y y a +-+-=222sin x y y ρρθ+==，222sin 10a ρρθ-+-=1C 24cos C ρθ=：ρ22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=，224x y x ∴+=()2224x y -+=3C 2y x =1C 2C 3C 24210x y a -+-=3C 210a -=1a =2212110x y +++=222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩C 212cos 110ρρθ++=k 0kx y -==22369014k k =+253k =k =由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-. （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=， 故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l的距离为d =.当4a ≥-时，d=8a =； 当4a <-时，d.=16a =-. 综上，8a =或16a =-.12.【解】（1）设()()00M P ρθρθ，，，，则0||OM OP ρρ==，．000016cos 4ρρρθθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得4cos ρθ=，化为直角坐标系方程为()2224x y -+=．()0x ≠ （2）连接AC ，易知AOC △为正三角形，||OA 为定值． ∴当高最大时，AOB S △面积最大，如图，过圆心C 作AO 垂线，交AO 于H 点交圆C 于B 点，此时AOB S △最大， max 1||||2S AO HB =⋅()1||||||2AO HC BC =+2=.13.【解】⑴将参数方程转化为一般方程()1:2l y k x =- ……① ()21:2l y x k=+ ……② ①⨯②消k 可得：224x y -=，即P 的轨迹方程为224x y -=；⑵将参数方程转化为一般方程3:0l x y +-= ……③联立曲线C 和3l 2204x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩解得ρ=，即M.。