最新noip动态规划讲解

信息学奥赛——动态规划法专题全国青少年信息学奥林匹克联赛动态规划算法一、动态规划的定义在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。

因此各个阶段决策的选取不能任意确定，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展。

当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线。

这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程(如图)就称为多阶段决策过程，这种问题称为多阶段决策问题。

在多阶段决策问题中，各个阶段采取的决策，一般来说是与时间有关的，决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移，一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，故有"动态"的含义，我们称这种解决多阶段决策最优化的过程为动态规划方法。

应指出，动态规划是考察求解多阶段决策问题的一种途径、一种方法，而不是一种特殊算法。

不像线性规划那样，具有一个标准的数学表达式和明确定义的一组规划。

因此我们在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，必须具体问题具体分析处理，以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。

二、动态规划最优化原理作为整个过程的最优策略具有这样的性质:即无论过去的状态和决策如何，对以前的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。

（无论过程的初始状态/初始决策是什么，其余决策活动必须相对于初始决策所产生的状态构成一个最优决策序列，才可能使整个决策活动构成最优决策序列。

）简单地说，一个整体过程的最优策略的子策略一定是最优策略。

利用这个原理，可以把多阶段决策问题的求解过程看成是一个连续的逆推过程。

由后向前逐步推算。

在求解时，各种状态前面的状态和决策，对后面的子问题，只不过相当于其初始条件而己，不影晌后面过程的最优策略。

原理的证明可用反证法。

在此把它略去。

三、动态规划的求解方法是先把问题分成多个子问题（一般地每个子问题是互相关联和影响的），再依次研究逐个问题的决策。

动态规划（一）05B 张婕目录一、数字添加号 (2)二、乘积最大 (9)三、矩阵取数 (16)四、邮局（已修改） (22)五、棋盘分割 (28)六、矩阵连乘 (35)七、能量项链 (40)八、石子合并 (45)九、加分二叉树 (51)十、CUTTING（已修改） (56)1、数字添加号『题目描述』一个由数字1，2，... ，9组成的数字串（长度不超过200），问如何将M(M<=20)个加号("+")插入到这个数字串中，使所形成的算术表达式的值最小。

请编一个程序解决这个问题。

注意：加号不能加在数字串的最前面或最末尾，也不应有两个或两个以上的加号相邻。

M保证小于数字串的长度。

例如：数字串79846，若需要加入两个加号，则最佳方案为79+8+46，算术表达式的值133。

[输入格式］从键盘读入输入文件名。

数字串在输入文件的第一行行首（数字串中间无空格且不折行），Ｍ的值在输入文件的第二行行首。

[输出格式］在屏幕上输出所求得的最小和的精确值。

[输入输出举例］EXAM4.SAM823639837423EXAM4.SAM 2170『题意分析』1)任务：求在长度为n的数中添加m 个加号的最小值2)程序名 exam4.pas3)输入i.文件名 exam4.inii.格式及内容第一行数字串 n<=200（数字串中间无空格且不折行）第二行整数M m <= 20（所要添加的加号个数）4)输出i.文件名 exam4.outii.格式及内容所求得的最小和的精确值5)数据范围N <= 200, m <= 20注：□加号不能加在数字串的最前面或最末尾，也不应有两个或两个以上的加号相邻。

M保证小于数字串的长度。

『算法分析』1)根据样例模拟求解过程。

119191 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+=1391)1,5(19391)1,4(211191)1,3(91939191)1,2(139)2,6(f f f f f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+=12009)0,4(13819)0,3(930919)0,2(1901919)0,1(138)1,5(f f f f f ⎩⎨⎧=+=+==+=209)0,2(2019)0,1(20)1,3(21)0,1()1,2(f f f f f ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+=1201)0,3(10291)0,2(192191)0,1(102)1,4(f f f f 2) 根据数据范围估算程序复杂度。

山东师大附中陈键飞前言自古以来就是NOIP的重要考察内容，在联赛中占的分量大。

对选手能力有一定要求，需要能够熟练地建立动态规划模型。

需要大量做题，初学者不易掌握其思想。

目录基础：基本概念背包问题——一类典型应用 进阶：更多的问题树形DP状态压缩优化：减少状态数目减少状态转移（决策）时间基本概念最长上升子序列状态：f[i]能完全地表示出问题某个或某些本质相同的形态决策：f[i]=min(f[j]+1)状态由哪个状态转移得到阶段：每个i前面的阶段决定后面的阶段，后面的阶段由前面的状态转移得到基本概念石子合并状态f[i,j]决策f[i,j]=min(f[i,k]+f[k+1,j])+w[i,j] 阶段j-i （区间大小）基本概念无后效性后面阶段的状态只受前面阶段的状态的影响 对于任意两个状态，只能单向的进行转移基本概念拓扑图（有向无环图）无后效性f[i]=min(f[j])+1基本概念 非拓扑图（可能有环） 有后效性a →b →c ？b →c →a ？a bc 51111基本概念最优子问题问题最优，只需子问题最优，与到达子问题的路径无关3 5 24 6f(5)最优，只需f(4)最优，与f(4)是怎么到达的无关与路线具体是3 4 6还是2 4 6无关基本概念最优子问题输出1~n中∑(A(i,p[i]))最大的排列f(i)表示用1~n组成的长度为i的序列？ 与到达子问题的路径有关！1 4 3 →6 ？4 2 3 →6 ？基本概念无后效性、最优子问题是否能满足与状态的表示，状态的转移，阶段的划分有关背包问题——一类典型应用 给定n个货币，面值各不相同，问能否凑出m元钱f[i,j]表示前i个货币能否凑出j元f[i,j] = f[i-1,j] （不选j）or f[i-1,j-w[i]]（选j）背包问题——一类典型应用 给定n种货币，每种无限多个，面值各不相同，问能否凑出m元钱f[i,j]表示前i种货币能否凑出j元f[i,j]=f[i-1,j] or f[i,j-w[i]]背包问题——一类典型应用 给定n种货币，第i种有A i个，面值W i，问能否凑出m 元钱将每种货币i拆成A i个价值为W i的货币O(m∑A i)将每种货币i拆成价值为W i,2W i,4W i,8W i……的货币O(m∑log A i)单调队列O(mn) ，暂时跳过背包问题——一类典型应用 给定n种货币分为k组，每组只能选一个，问能否凑出m元f[i,j,k]表示用前1~i-1组和第i组的前j个能否凑出k元。

【主题】信友队 2023noip模拟题解【内容】一、开篇近年来，信息学竞赛在我国逐渐兴起，成为学生展示自己编程能力和解题能力的舞台。

NOIP（全国青少年信息学奥林匹克联赛）作为我国信息学竞赛中的重要赛事之一，备受青少年程序员的关注和参与。

在备战NOIP的过程中，模拟赛成为一种重要的练习方式。

本文将围绕信友队 2023noip模拟的题目进行详细解析，帮助读者更好地理解这些题目的解法。

二、题目一1. 题目描述题目一要求找出一个长度为n的01串中，有多少个子串的异或和是偶数。

其中，n的范围是1 ≤ n ≤ 10^5。

2. 解题思路考虑动态规划的思想，假设f[i]表示以第i位结尾的子串的异或和的奇偶性，则f[i]的值由f[i-1]的值和当前位的值决定。

具体而言，如果f[i-1]是偶数，则以第i位结尾的子串的异或和是奇数；如果f[i-1]是奇数，则以第i位结尾的子串的异或和是偶数。

可以通过遍历整个01串，根据f[i-1]的奇偶性判断以第i位结尾的子串的异或和的奇偶性，并统计出最后的结果。

3. 代码实现```pythondef solve(s):n = len(s)t = 0even, odd = 0, 0for i in range(n):if int(s[i]) == 0:even += 1else:odd += 1if (even % 2 == 0) or (odd % 2 == 0):t += 1returnt```4. 结果分析通过以上代码实现的函数solve，可以很快得出题目所要求的结果。

该方法的时间复杂度为O(n)，效率较高，能够满足题目给定的数据规模范围。

三、题目二1. 题目描述题目二给出一个n*m的矩阵，矩阵中的元素为非负整数。

求出从左上角到右下角的路径中，路径上的所有元素之和的最大值。

其中，n和m的范围分别为1 ≤ n, m ≤ 100。

2. 解题思路这是一个典型的动态规划问题。

考虑定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示从起点到矩阵中第i行第j列元素的路径的最大和。

历届NOIP搜索算法全集摘要：算法分析：如果采用贪心法，则先取价值最大的10，消耗了容积8，下面只能取容积为4的.... [数据结构] time,price数组分别用来存入时间和价值，count来存入背包的价值。

...关键词：算法,数据结构类别：专题技术来源：牛档搜索（）本文系牛档搜索（）根据用户的指令自动搜索的结果，文中内涉及到的资料均来自互联网，用于学习交流经验，作品其著作权归原作者所有。

不代表牛档搜索（）赞成本文的内容或立场，牛档搜索（）不对其付相应的法律责任！历届NOIP搜索算法全集转自：oifans用动态规划来解背包问题在历届NOIP竞赛中，有4道初赛题和5道复赛题均涉及到背包问题，所谓的背包问题，可以描述如下：一个小偷打劫一个保险箱，发现柜子里有N类不同大小与价值的物品，但小偷只有一个容积为M的背包来装东西，背包问题就是要找出一个小偷选择所偷物品的组合，以使偷走的物品总价值最大。

如有4件物品，容积分别为： 3 4 5 8对应的价值分别为：4 5 7 10小偷背包的载重量为：12则取编号为1 2 3的物品，得到最大价值为16。

算法分析：如果采用贪心法，则先取价值最大的10，消耗了容积8，下面只能取容积为4的物品，得到价值5，这样总价值是15，这不是最优解，因此贪心法是不正确的。

采用穷举法，用一个B数组来表示取数的标记，当B=0时表示第i件物品不取，当B=1时表示第i件物品已取，初始化全部取0，以下算法是从后面的物品开始取起，通过B数组的取值把15种取法全部穷举出来，价值MAX初始化为0。

B[0] B[1] B[2] B[3] B[4]0 0 0 0 0 {初始化}0 0 0 0 1 {取第4件物品，容积为8，不超，价值为10，将MAX替换为10}0 0 0 1 0 ｛取物品3，容积为5，不超，价值为7，不换｝0 0 0 1 1 ｛取物品3、4，容积为13，超｝0 0 1 0 0 ｛取物品2，容积为4，不超，价值为5，不换｝0 0 1 0 10 0 1 1 00 0 1 1 1……0 1 1 1 0 ｛这是最佳方案｝0 1 1 1 11 0 0 0 0 ｛当B〔0〕＝1时停止，B〔0〕称为哨兵｝生成B数组中数据的方法如下：fillchar(b,sizeof(b),0);while b[0]=0 dobegin j:=n;while b[j]=1 do dec(j);b[j]:=1;for i:=j+1 to n dob:=0;end；小结：以上每件物品只能取1件，所以取法只有0和1两种情况，我们称之为0、1背包，算法的时间复杂度为O（2N），在1秒内N只能做到20。