(完整)(用一)整式的乘法(知识点+例题),推荐文档

整式乘除知识点在数学的学习中，整式乘除是一个重要的部分，它不仅是后续学习代数运算的基础，也在解决实际问题中有着广泛的应用。

下面就让我们一起来深入了解整式乘除的相关知识点。

一、整式的乘法（一）单项式乘以单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

例如：3x²y × 5xy³＝ 15x³y⁴（二）单项式乘以多项式法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

例如：2x(3x² 5x ＋ 1) ＝ 6x³ 10x²＋ 2x（三）多项式乘以多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

例如：（x ＋ 2)（x 3) ＝ x² 3x ＋ 2x 6 ＝ x² x 6二、整式的除法（一）单项式除以单项式法则：把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

例如：18x⁴y³z² ÷ 3x²y²z ＝ 6x²yz（二）多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加。

例如：（9x³y 18x²y²＋ 3xy³) ÷ 3xy ＝ 3x² 6xy ＋ y²三、乘法公式（一）平方差公式（a ＋ b)（a b) ＝ a² b²例如：（3x ＋ 2)（3x 2) ＝ 9x² 4（二）完全平方公式（a ＋ b)²＝ a²＋ 2ab ＋ b²（a b)²＝ a² 2ab ＋ b²例如：（x ＋ 5)²＝ x²＋ 10x ＋ 25四、整式乘除的应用（一）几何图形中的应用在求解长方形、正方形等图形的面积和周长时，经常会用到整式的乘除。

整式的乘法与因式分解1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。

如：bc a 22-的 系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。

2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。

多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。

3、整式：单项式和多项式统称整式。

注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。

也不是单项式和多项式。

4、多项式按字母的升（降）幂排列： 如：1223223--+-y xy y x x按x 的升幂排列：3223221x y x xy y +-+-- 按y 的升幂排列：3223221y y x xy x --++- 按x 的降幂排列：1223223--+-y xy y x x按y 的降幂排列：1223223-++--x xy y x y一、 整式的乘法 （一）幂的乘法运算 1、同底数幂相乘：=•nma a 推广：n n n n n n n n n n a a a a aΛΛ+++=⋅⋅3213211（n n n n n ,,,,321Λ都是正整数）2、幂的乘方：()=nma推广：[]321321)(n n n n n na a =（321,,n n n 都是正整数）3、积的乘方：()=nab推广：nm n n n n m a a a a a a a a ΛΛ321321)(=⋅⋅， 如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=•••-10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。

p p aa 1=-（p a ,0≠是正整数），即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p 次方的倒数。

八年级14.1整式的乘法知识点总结【知识点一】整式的混合运算例题一、计算：-a3?a4? a [ a4]23例题二、计算：3x2 2y |y2 ? 2xy例题三、计算：3x 2y 2x 3y x 3y 3x 4y【知识点二】利用幕的运算法则解决问题例题一、已知10a 5，10b 6，求102a 3b的值例题二、解方程：32x 2 32x 1486例题三、已知2x 5y 3 0，求4x?32y的值【知识点三】整式除法的运用例题一、已知 3 2 3-2x3y21 n 22Xy mx7y P，求n,m,p 的值。

例题二、已知一个多项式与单项式-7x5y4的积为21x5y728x7y47y 2x3y2，求这个多项【知识点四】整式化简求值例题一、先化简，再求值:2 2x x 6x 9 x x 8x 15 2x 3 x，其中x例题二、先化简，再求值:2x y x y 2x 2x 3y 6x x，其中x1, y 2.【知识点五】开放探求题例题一、若多项式X2 mx n x2 3x 4展开后不含有x3项和x2项，试求m,n的值例题二、甲乙二人共同计算一道整式乘法：2x a 3x b，由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2 11x 10 ；由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数, 得到的结果为2x2 9x 10。

(1)你能知道式子中a,b的值各是多少吗？(2)请你计算出这道整式乘法的正确结果。

3 2例题三、若x是整数’求证匕亍是整数。

【知识点六】整式乘除法在实际问题中的应用例题一、某中学扩建教学楼，测量地基时，量得地基长为2a m，宽为(2a-24 ) m ,试用a表示地基的面积，并计算当a=25时地基的面积例题二、大庆市环保局欲将一个长为2 X103dm ,宽为4 X102dm ,高为8 x iOdm的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，(1)__________________________________________________________ 请你考虑一下，这些废水能否刚好装满一个正方体贮水池____________________________ •(请填“能”或“不能”)(2)______________________________________ 若能，贝y该正方体贮水池的棱长_______________________________________________ dm(3)若不能，你能说出理由吗？(不要求作答)例题三、太阳可以近似的看作是球体，如果用V、R分别代表球的体积和半径，那么V3 n R3，太阳的半径约为6X105千米，它的体积大约是多少立方千米？5取3)。

整式运算考点 1、幂的有关运算①a m a n② ( am )n③ ( ab) n④a m a n⑤a 0⑥ ap（m 、 n 都是正整数） （m 、 n 都是正整数） （n 是正整数）（ a ≠ 0， m 、n 都是正整数，且 m>n ）（a ≠0）（a ≠0，p 是正整数）幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

同底数幂相除，底数不变，指数相减。

例：在下列运算中，计算正确的是（ ）（A ） a 3 a 2 a 6（ B ） ( a 2 )3 a 5（C ） a 8 a 2 a 4（ D ） (ab 2 ) 2a 2b 4练习：10x 3________.1、x2、a 10 310 a 32。

aa 6 =123、3 3 =。

24、23(3)2=。

5、下列运算中正确的是（）A ． x 3y3x 6； B ． (m 2 ) 3m 5 ； C ． 2x21； ． ( a)6( a)3a 32x 2D6、计算 amanpa 8的结果是（）A 、 amnp8B 、 amn p 8C 、 a mp np 8D 、 a mn p 87、下列计算中，正确的有（ ）① a 3 a 2 a 5 ② ab 422③ a 3a 2 a a 2 7a 2 。

ab abab 2 ④ aa 5 A 、①②B 、①③C 、②③D 、②④8、在① x x 5② x 7 y xy ③x 2 3④ x 2 y 3y 3 中结果为 x 6 的有（）A 、①B 、①②C 、①②③④D 、①②④提高点 1：巧妙变化幂的底数、指数例：已知： 2a3 ， 32b 6 ，求 23 a 10 b 的值；1、 已知 xa2 ， xb3 ，求 x2 a 3b的值。

2、 已知 3m 6 ， 9n 2 ，求 32m 4n 1的值。

3、 若 am4 ， an8 ，则 a 3m 2n__________。

七年级下整式的乘法知识点整式是由常数、变量及其积与和组成的代数式，整式的乘法是七年级下学习中重要的知识点之一。

本文将详细介绍七年级下整式的乘法知识点，帮助同学们更好地掌握这一知识。

一、整式的乘方在整式的乘法中，有时需要将整式自乘若干次，这就涉及到整式的乘方。

整式a的n次方表示连乘n个a：a^n=a×a×……×a(n个a)例如，(2x+y)^2=2x×2x+2x×y+y×2x+y×y=4x^2+4xy+y^2。

二、同类项的乘法同类项指变量的指数相同的项，例如2x和3x就是同类项。

在计算整式的乘法时，同类项的乘积可以简单地计算出来。

例如：3x(2x+4y)=6x^2+12xy三、异类项的乘法异类项指变量的指数不同的项，例如2x和3x^2就是异类项。

在计算异类项的乘积时，可以采用分配律，即将一个整式分别乘以另一个整式中的每一项，再将结果相加。

例如：(2x+3)(4x^2+5y)=2x×4x^2+2x×5y+3×4x^2+3×5y=8x^3+10xy+12x^2 +15y四、多项式的乘法如果有两个多项式相乘，则可以将每个项分别乘以另一个多项式中的每一个项，再将所得乘积相加。

这与异类项的乘法方法相同。

例如：(x+2)(x^2+3x+1)=x×x^2+x×3x+x×1+2×x^2+2×3x+2×1=x^3+5x^2+7 x+2五、乘法公式有些整式的乘法比较繁琐，需要采用乘法公式可以简化计算。

常见的乘法公式有平方差公式、完全平方公式和积和差公式。

本文只介绍最常用的两个公式：1、平方差公式如下：(a+b)(a-b)=a^2-b^2例如，(3x+2)(3x-2)=9x^2-4。

2、完全平方公式如下：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2a^2-2ab+b^2=(a-b)^2例如，(x+2)^2=x^2+4x+4，(x-2)^2=x^2-4x+4。

解析《整式乘法》知识点五、同底数幂的乘法a 相乘，记作 a n ，读作 a 的 n 次方（幂），其中 a 为底数， n 为指数， a n 的结果叫做幂。

1、n 个同样因式（或因数） 2、底数同样的幂叫做同底数幂。

a m ﹒a n =a m+n 。

3、同底数幂乘法的运算法规：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即：4、此法规也能够逆用，即： m+nmna = a ﹒ a 。

5、开始底数不同样的幂的乘法，若是能够化成底数同样的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法规。

八、同底数幂的除法a m ÷ a n =a m-n （ a ≠0）。

1、同底数幂的除法法规：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：2、此法规也能够逆用，即： m-nmna = a÷ a （ a ≠ 0）。

十、负指数幂1、任何不等于零的数的― p 次幂，等于这个数的 p 次幂的倒数。

注：在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为 0。

十一、整式的乘法（一）单项式与单项式相乘1、单项式乘法法规：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同样字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

2、系数相乘时，注意符号。

3、同样字母的幂相乘时，底数不变，指数相加。

5、单项式乘以单项式的结果仍是单项式。

6、单项式的乘法法规对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用。

（二）单项式与多项式相乘1、单项式与多项式乘法法规：单项式与多项式相乘，就是依照分配率用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。

即： m(a+b+c)=ma+mb+mc 。

2、运算时注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。

3、积是一个多项式，其项数与多项式的项数同样。

4、混杂运算中，注意运算序次，结果有同类项时要合并同类项，从而获取最简结果。

（三）多项式与多项式相乘1、多项式与多项式乘法法规：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

思维辅导整式的乘除知识点及练习基础知识：1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式的数字因数叫做单项式的系数，所有字母指数和叫单项式的次数。

如：bc a 22-的 系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。

2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。

多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。

3、整式：单项式和多项式统称整式。

注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。

也不是单项式和多项式。

4、多项式按字母的升（降）幂排列：如：1223223--+-y xy y x x按x 的升幂排列：3223221x y x xy y +-+--按x 的降幂排列：1223223--+-y xy y x x知识点归纳：一、同底数幂的乘法法则：nm n m a a a +=∙（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

如：532)()()(b a b a b a +=+∙+【基础过关】1．下列计算正确的是（ ）A ．y 3·y 5=y 15B ．y 2+y 3=y 5C ．y 2+y 2=2y 4D ．y 3·y 5=y 82．下列各式中，结果为（a+b ）3的是（ ）A ．a 3+b 3B ．（a+b ）（a 2+b 2）C ．（a+b ）（a+b ）2D ．a+b （a+b ）23．下列各式中，不能用同底数幂的乘法法则化简的是（ ）A ．（a+b ）（a+b ）2B ．（a+b ）（a －b ）2C ．－（a －b ）（b －a ）2D ．（a+b ）（a+b ）3（a+b ）24．下列计算中，错误的是（ ）A ．2y 4+y 4=2y 8B ．（－7）5·（－7）3·74=712C ．（－a ）2·a 5·a 3=a 10D ．（a －b ）3（b －a ）2=（a －b ）5【应用拓展】5．计算：（1）64×（－6）5 （2）－a 4（－a ）4（3）－x 5·x 3·（－x ）4 （4）（x －y ）5·（x －y ）6·（x －y ）76．已知a x =2，a y =3，求a x+y 的值．7．已知4·2a ·2a+1=29，且2a+b=8，求a b 的值．知识点归纳：二、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。

可编辑修改精选全文完整版第十四章 《整式的乘法与因式分解》知识点及考点典例重点知识回顾：一、整式的乘法：),(都是正整数n m a a a n m n m +=• ),(都是正整数）（n m a a mn n m =)()(都是正整数n b a ab n n n = 22))((b a b a b a -=-+2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=-注意：（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。

（2）单项式与多项式相乘，结果是一个_______，其项数与因式中多项式的项数______。

（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。

（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。

（5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。

二、整式的除法： nm n m a a a -=÷ ()0≠a 10=a()0≠a单项式÷单项式 多项式÷单项式三、因式分解 1、把一个多项式化成几个_________的形式，叫做把这个多项式因式分解。

2、因式分解的常用方法（1）提公因式法：)(c b a ac ab +=+（2）运用公式法：))((22b a b a b a -+=-222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+-（3）分组分解法：))(()()(d c b a d c b d c a bd bc ad ac ++=+++=+++（4）十字相乘法：))(()(2q a p a pq a q p a ++=+++3、因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。

（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：二项式可以尝试运用________公式分解因式；三项式可以尝试运用______________、__________分解因式；四项式及四项式以上的可以尝试______________分解因式（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。

思维辅导整式的乘除知识点及练习基础知识：一、单项式的概念：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式的数字因数叫做单项式的系数，所有字母指数和叫单项式的次数。

如：bc a 22-的 系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。

二、多项式：几个单项式的和叫做多项式。

多项式中每一个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数别离为2，2，1，0，系数别离为1，-2，1，1，叫二次四项式。

3、整式：单项式和多项式统称整式。

注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。

也不是单项式和多项式。

4、多项式按字母的升（降）幂排列：如：1223223--+-y xy y x x按x 的升幂排列：3223221x y x xy y +-+--按x 的降幂排列：1223223--+-y xy y x x知识点归纳：一、同底数幂的乘法法那么：n m n m a a a +=•（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意底数能够是多项式或单项式。

如：532)()()(b a b a b a +=+•+1．以下计算正确的选项是（ ）A ．y 3·y 5=y 15B ．y 2+y 3=y 5C ．y 2+y 2=2y 4D ．y 3·y 5=y 82．以下各式中，结果为（a+b ）3的是（ ）A ．a 3+b 3B ．（a+b ）（a 2+b 2）C ．（a+b ）（a+b ）2D ．a+b （a+b ）23．以下各式中，不能用同底数幂的乘法法那么化简的是（ ）A ．（a+b ）（a+b ）2B ．（a+b ）（a －b ）2C ．－（a －b ）（b －a ）2D ．（a+b ）（a+b ）3（a+b ）24．以下计算中，错误的选项是（ ）A ．2y 4+y 4=2y 8B ．（－7）5·（－7）3·74=712C ．（－a ）2·a 5·a 3=a 10D ．（a －b ）3（b －a ）2=（a －b ）5【应用拓展】5．计算：（1）64×（－6）5 （2）－a 4（－a ）4（3）－x 5·x 3·（－x ）4 （4）（x －y ）5·（x －y ）6·（x －y ）76．已知a x=2，a y=3，求a x+y的值．7．已知4·2a ·2a+1=29，且2a+b=8，求a b 的值．知识点归纳：二、幂的乘方式那么：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。

整式的乘法知识点汇总&练习1. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

a n.a m =a m+n (m,n 是正整数).底数可以是数字或字母，可以是单项式，也可以是多项式，若是多项式，应该把多项式看做一个整体。

幂之间是乘法关系，指数之间是相加关系。

2. 幂的乘方，底数不变，指数相乘。

(a n )m =a mn (m,n 是正整数)。

注意负数的奇数次幂为负，负数的偶数次幂为正。

3. 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

(ab)n =a n b n (n 是正整数)。

底数必须是积的形式，当底数中有多个因式时，切勿漏掉系数因式的乘方。

当底数中有“-”时，应将视为-1，作为系数因式进行乘方。

4. 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘。

积的系数等于各单项式系数的积，应先确定积的符号，在计算积的绝对值。

相同字母的指数相加。

有乘方的先算乘方，再算乘法。

5. 单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

a （m+n ）=am+an 。

单项式乘以多项式的每一项，注意符号变化，能合并同类项的要合并同类项。

6. 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

（a+b ）（m+n ）=am+an+bm+bn 。

7. 平方差公式，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。

（a+b ）（a -b ）=a 2-b 2有一组符号相同，有一组符号相反，用相同数的平方减去相反数的平方。

每一组数的绝对值都相同。

8. 完全平方公式，即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍。

（a+b ）2=a 2+2ab+b 2,（a -b ）2=a 2-2ab+b 2首平方，尾平方，积的两倍在中央。

9. 公式的灵活变形：（a+b ）2+（a -b ）2=2a 2+2b 2，（a+b ）2-（a -b ）2=4ab ，a 2+b 2=（a+b ）2-2ab ，a 2+b 2=（a -b ）2+2ab ，（a+b ）2=（a -b ）2+4ab,（a -b ）2=（a+b ）2-4ab=====-=-=+-+-=--+-=+•=-•=++=+=-+=++=÷===••-+n m n m n m a a a a a a x y y x x y y x b a a bc a ab x x y x b a b a a a b b b a a a a a ,,8,2)()2())(())((2)2(3)4)(5()3()2)(2()2)(32()2()(85222584233253求已知）（因式分解知识点&练习1.把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解。

整式的乘法 基础知识 22222()(,,)()()()():()()()2m n m n m n mn n n n a a a a a m n a b ab a b m a b ma mbm n a b ma mb na nb a b a b a b a b a ab b +⎧⎫⋅⎪⎪=⎨⎬⎪⎪=⋅⎩⎭⨯⎧⎪⨯+=+⨯++=+++⎨⎧+-=-⎪−−−→⎨±=±+⎪⎩特殊的=幂的运算法则为正整数，可为一个单项式或一个式项式单项式单项式单项式多项式:多项式多项式：整式的乘法平方差公式 乘法公式完全平方公式：⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩互逆 一、幂的运算经典例题【例1】（正确处理运算中的“符号”）【点评】由（1）、（2）可知互为相反数的同偶次幂相等；互为相反数的同奇次幂仍互为相反数．【例2】下列各式计算正确的是（ ）A 、()66322b a b a =-B 、()5252b a b a -=-C 、124341b a ab =⎪⎭⎫ ⎝⎛-D 、462239131b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛- 【答案】D【例3】()()1333--⋅+-m m 的值是（ ）A 、1B 、－1C 、0D 、()13+-m【答案】C 【例4】（1）m m 8812÷+； （2）252m ÷(51)1-2m 【答案】（1）18m + ；（2）215n +二、整式的乘法【例1】（1）()()25434x y xy -= 。

（2）()2004200324-⨯= 。

整式的乘法【答案】（1）131716x y - ；（2）60102【例2】()()22323225x yx y z xy z -⨯+= 。

【答案】74552420x y z x y z +【例3】a 2 (a ＋b)(a －2) 。

【答案】433222a a a b a b -+-【例4】()72=+b a ，()42=b a —，求22b a +和ab 的值． 【答案】112，32【例5】计算()()11a b a b +-++的值【答案】2221a ab b ++-【例6】已知：15a a +=，则221a a+= 。