浙江省绍兴市新昌县2020-2021学年高三上学期1月教学质量调测数学试题

2021一2021学年度上学期2021-2021学年度上学期高三年级第一次质量检测第一次月考-数学（理）试卷—附答案20XX—2021学年度上学期高三年级第一次质量检测数学（理）试题本试卷满分150分考试时间 120分钟一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.设集合，，若，则（）A．B．C．D．2.在区间上为增函数的是（）A. B. C. D. 3.若则的取值范围是（）A. B. C. D.或 4.下列选项中，说法正确的是（）A.命题“”的否定是“”B.命题“为真”是命题“为真”的充分不必要条C.命题“若则”是真命题D.命题“在中，若,则”的逆否命题为真命题 5.函数在区间（0，3）上的最大值为（）A. B.1 C. 2 D. 6.函数为定义在R上的偶函数，且满足，当时，则（）A．B. C．D．7. 函数的大致图象为（）A B CD 8. 已知函数，若，则的大小关系是（）A．B．C．D．9. 函数恰好有三个不同零点，则（）A. B. C. 2 D. 4 10. 已知函数f(x)的定义域为，部分对应值如下表。

f(x)的导函数的图象如图所示。

下列关于函数f(x)的命题：①函数f(x)在[0，1]是减函数；②如果当时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；③函数有4个零点，则；其中真命题的个数是（）A．3个B．2个C．1个 D．0个 11.设是两个非空集合,定义运算且.已知,则（）12. 已知函数的定义域是，且满足,,如果对于,都有,不等式的解集为（）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在横线上)13.曲线在点A（1，2）处的切线方程是. 14.函数__________. 15.已知函数若 ,则________. 16.已知函数的图象关于原点对称,是偶函数,则=_________. 三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

浙江省绍兴市2021届新高考第一次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是 A ．(,1]-∞- B ．2(log 32,0)-C ．2(2log 6,0]-D ．2log 32(,0]4- 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由题意得，{}()()6N f x g x ⊗=表示不等式22|log |(1)2x a x <-+的解集中整数解之和为6.当0a >时，数形结合（如图）得22|log |(1)2x a x <-+的解集中的整数解有无数多个，22|log |(1)2x a x <-+解集中的整数解之和一定大于6.当0a =时，()2g x =，数形结合（如图），由()2f x <解得144x <<.在1(,4)4内有3个整数解，为1，2，3，满足{}()()6N f x g x ⊗=，所以0a =符合题意.当0a <时，作出函数2()|log |f x x =和2()(1)2g x a x =-+的图象，如图所示.若{}()()6N f x g x ⊗=，即22|log |(1)2x a x <-+的整数解只有1，2，3.只需满足(3)(3)(4)(4)f g f g <⎧⎨≥⎩，即2log 342292a a <+⎧⎨≥+⎩，解得2log 3204a -<≤，所以2log 3204a -<<. 综上，当{}()()6N f x g x ⊗=时，实数a 的取值范围是2log 32(,0]4-.故选D. 2．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【解析】 【分析】根据演绎推理进行判断． 【详解】由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁． 故选：D ． 【点睛】本题考查演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题基础． 3．已知函数()sinx12sinxf x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）①绕着x 轴上一点旋转180︒; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. A ．①③ B ．③④C ．②③D ．②④【答案】D【解析】 【分析】计算得到()()2f x k f x π+=，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案. 【详解】()sin 12sin xf x x=+，()()()()sin 2sin 212sin 212sin x k x f x k f x x k x πππ++===+++，k Z ∈， 当沿x 轴正方向平移2,k k Z π∈个单位时，重合，故②正确；co sin 2212co s s s 12in2x f x x x x πππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪+⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎝⎭，co sin 2212co s s s 12in2x f x x x x πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+== ⎪+⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭，故22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数关于2x π=对称，故④正确；根据图像知：①③不正确； 故选：D . 【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用. 4．若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.5．设m r ，n r 均为非零的平面向量，则“存在负数λ，使得m n λ=r r ”是“0m n ⋅<r r”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论． 【详解】因为m r ，n r 均为非零的平面向量，存在负数λ，使得m n λ=r r， 所以向量m r ，n r共线且方向相反， 所以0m n ⋅<r r，即充分性成立；反之，当向量m r ，n r 的夹角为钝角时，满足0m n ⋅<r r ，但此时m r ，n r不共线且反向，所以必要性不成立． 所以“存在负数λ，使得m n λ=r r ”是“0m n ⋅<r r”的充分不必要条件． 故选B ． 【点睛】判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p ，定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确． 6．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ） A ．,5()4k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 【答案】B 【解析】 【分析】由值域为[5,3]-确定,a b 的值，得()5cos4g x x =--，利用对称中心列方程求解即可 【详解】因为()[,2]f x b a b ∈+，又依题意知()f x 的值域为[5,3]-，所以23a b += 得4a =，5b =-， 所以()5cos4g x x =--，令4()2x k k ππ=+∈Z ，得()48k x k ππ=+∈Z ，则()g x 的图象的对称中心为,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z . 故选：B 【点睛】本题考查三角函数 的图像及性质，考查函数的对称中心，重点考查值域的求解，易错点是对称中心纵坐标错写为07．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭个单位长度，得到的函数为偶函数，则ϕ的值为（ ） A ．12π B ．6π C ．3π D ．4π 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的图象变换求得函数的解析式，再根据三角函数的性质，即可求解，得到答案． 【详解】将将函数()sin 2f x x =的图象向左平移ϕ个单位长度， 可得函数()sin[2()]sin(22)g x x x ϕϕ=+=+ 又由函数()g x 为偶函数，所以2,2k k Z πϕπ=+∈，解得,42k k Z ππϕ=+∈， 因为02πϕ≤≤，当0k =时，4πϕ=，故选D ．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 8．如图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F 且EF=22，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC ⊥BEB ．EF //平面ABCDC ．三棱锥A-BEF 的体积为定值D ．异面直线AE,BF 所成的角为定值【答案】D 【解析】 【分析】A ．通过线面的垂直关系可证真假；B ．根据线面平行可证真假；C ．根据三棱锥的体积计算的公式可证真假；D ．根据列举特殊情况可证真假. 【详解】A ．因为11,,AC BD AC DD DD BD D ⊥⊥=I ，所以AC ⊥平面11BDDB ， 又因为BE ⊂平面11BDD B ，所以AC BE ⊥，故正确；B ．因为11//D B DB ，所以//EF DB ，且EF ⊂/平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ， 所以//EF 平面ABCD ，故正确；C ．因为11224BEF S EF BB =⨯⨯=V 为定值，A 到平面11BDD B 的距离为1222h AC ==， 所以11312A BEF BEF V S h -=⋅⋅=V 为定值，故正确； D ．当1111AC B D E =I ，AC BD G ⋂=，取F 为1B ，如下图所示：因为//BF EG ，所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠，且222tan 12AG AEG GE ∠===， 当1111AC B D F =I ，AC BD G ⋂=，取E 为1D ，如下图所示：因为11//,D F GB D F GB =，所以四边形1D GBF 是平行四边形，所以1//BF D G ，所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠，且2232tan 3212AGAEG GE∠===⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由此可知：异面直线,AE BF 所成角不是定值，故错误. 故选：D. 【点睛】本题考查立体几何中的综合应用，涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算，难度较难.注意求解异面直线所成角时，将直线平移至同一平面内.9．在平面直角坐标系xOy 中，将点()1,2A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cos α等于( ) A ．25-B ．5-C ．5 D ．25-【答案】A 【解析】 【分析】设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β，由任意角的三角函数的定义可以求得sin β的值，依题有OA OB ⊥,则90αβo=+，利用诱导公式即可得到答案.【详解】如图，设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β因为点()1,2A 在角β的终边上，所以2225sin 12β==+依题有OA OB ⊥,则90αβo=+，所以25cos cos(90)sin αββo =+=-=-， 故选：A 【点睛】本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题.10．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB 的长为254，则AF BF =（ ） A ．2或12B ．3或13C ．4或14D ．5或15【答案】C 【解析】 【分析】先根据弦长求出直线的斜率，再利用抛物线定义可求出,AF BF . 【详解】设直线的倾斜角为θ，则222425cos cos 4p AB θθ===， 所以216cos 25θ=，2219tan 1cos 16θθ=-=，即3tan 4θ=±，所以直线l 的方程为314y x =±+.当直线l 的方程为314y x =+，联立24314x yy x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得11x =-和24x =，所以()40401AF BF -==--； 同理，当直线l 的方程为314y x =-+.14AF BF =，综上，4AF BF =或14.选C. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时，一般考虑抛物线的定义.11．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF V 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为（ ） A ．12B．3CD．2【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质设出2BF ，AB ，2AF ，利用勾股定理列方程，结合椭圆的定义，求得21BF a BF ==.再利用勾股定理建立,a c 的关系式，化简后求得离心率.【详解】由已知2BF ，AB ，2AF 成等差数列，设2BF x =，AB x d =+，22AF x d =+.由于290ABF ∠=︒，据勾股定理有22222BF AB AF +=，即()()2222x x d x d ++=+，化简得3x d =； 由椭圆定义知2ABF V 的周长为233124x x d x d x d d a ++++=+==，有3a d =，所以x a =，所以21BF a BF ==；在直角21BF F V 中，由勾股定理，2224a c =，∴离心率2e =. 故选：C 【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，考查等差数列的性质，属于中档题.12．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，c =，sin sin 3b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin C =（ ）A B ．7C ．12D 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得tan B =，可得出6B π=，然后利用余弦定理求出b 的值，最后利用正弦定理可求出sin C 的值. 【详解】1sin sin cos sin 322b A a B a B a B π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭Q ，即1sin sin cos sin sin 2A B A B A B =-，即3sin sin cos A B A A =，sin 0A >Q ，3sin B B ∴=，得tan B =，0B Q π<<，6B π∴=.由余弦定理得b ===由正弦定理sin sin c b C B=，因此，1sin sin 7c B C b ===. 故选：B. 【点睛】本题考查三角形中角的正弦值的计算，考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余弦定理与正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届高三数学上学期1月教学质量测评试题 理本试题卷共4页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1．设i 是虚数单位，则复数20191i z =+的共轭复数对应的点在复平面内位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．设非空集合M ，N 满足M N N =U ，则（ ） A ．x N ∀∈，x M ∈ B ．x N ∀∉，有x M ∉ C ．0x M ∃∉，有0x N ∈ D ．0x N ∃∈，有0x M ∉ 3．下列说法正确的是（ ） A ．22a b>是ln ln a b >的充要条件B ．对于非零a ，b ，若0⋅>a b ，若a 与b 的夹角为锐角C ．不等式()()2230x x --≥的解集为{}3x x ≥D ．相关指数2R 越接近1，表示残差平方和越小4．黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，约为0.618，这一数值也可表示为2cos72a =︒，2（ ） A ．2 B ．1 C ．12D ．145．已知双曲线()22122:0,0x y C a b a b-=>>的两条渐近线所成的锐角为60︒，则双曲线的离心率为（ ） A ．233B ．2C ．233或2 D ．以上都不对6．已知0.08log 0.04a =，0.3log 0.2b =，0.040.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a b c >>7．“孙子定理”是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要的定理，又称中国余数定理，最早可见中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，讲的就是关于整除的问题．若正整数N 除以正整数m 的余数为n ，则记为()mod N n n =，例如()72mod5=．下面的问题也是关于整除的问题，执行如图所示的程序框图，则输出的x ，y 的值分别为（ ）A ．2，2B ．3，1C ．1，3D ．2，38．若3nx ⎛⎫+ ⎝的展开式中含有常数项，当n 取最小值时，常数项的值为（ ） A ．66 B ．45 C ．55 D ．369．已知()()sin cos 0,0f x m x x m ωωω=->>，()2tan g x x =，若对1x ∀∈R ，20,4x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x ≤成立，若()f x 在区间[]0,π，上的值域为[]1,2-，则实数ω的取值不可能是（ ）A ．12B ．23C ．1D ．4310．已知抛物线C 的方程为24x y =，过焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点D ，若6AB =，则ED 的值为（ ） A ．2 B． C ．3 D．11．如图，某几何体的三视图如图所示，其俯视图、侧视图均为直角三角形，其外接球的表面枳为8π，则图中的边长a 的值为（ ）A ．1B 2C ．2D ．2212．已知函数()e ln 2f x x mx n x =--+，若不等式()0f x ≤对()0,x ∈+∞恒成立，则nm的最大值为（ ）A ．e4 B ．e 2C ．eD ．2e二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

2021年高三上学期1月质量监测 数学 含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合{2,3},{1,},{2},A B a A B A B ====若则 ▲ ． 2. 若复数满足（其中i 为虚单位），则 ▲ ．3．一组数据8,12，x ，11，9的平均数是10，则这样数据的方差是 ▲ ． 4．从内任意取两个实数，这两个数的平方和小于1的概率为 ▲ ． 5.如图是一个算法的流程图， 则最后输出的 ▲ ．6.在等比数列中，，， 则 ▲ ．7.用半径为cm ，面积为cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 则该容器盛满水时的体积是 ▲ cm 3．8．设为互不重合的平面，是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①②,,//////m n m n ααββαβ⊂⊂若，，则 ③④若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥则； 其中正确命题的序号为 ▲ ．9．在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为4，若渐近线恰好是曲线在原点处的切线，则双曲线的标准方程为 ▲ ． 10.已知是定义在R 上的函数，满足，当时，，则的值为 ▲ ．11.在等腰梯形中,,,,,则 的 值为 ▲ ．12.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，的三个顶点都在抛物线上，并且 的重心是抛物线的焦点，边所在的直线方程为，则抛物线的方程APBCDEF为 ▲ ．13. 设函数，若函数恰好有两个不同的零点，则实数的取值范围为 ▲ ．14. 已知为的三个内角, 向量,.如果当最大时,存在动点, 使得成等差数列, 则的最大值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量()()()sin 2,2cos ,3,cos m x x n x x R ==∈，函数,（1）求函数的最小正周期；（2）在中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若的面积为，求边的长度.16．（本小题满分14分）如图,在三棱锥中,平面，,点,分别为,的中点. (1)求证: 平面平面;(2)若在线段上,且平面,求的值.17．(本小题满分14分)如图所示的一个不规则形铁片，其缺口边界是口宽4分米，深2分米（顶点至两端点 所在直线的距离）的抛物线形的一部分，现要将其缺口边界裁剪为等腰梯形． （1）若保持其缺口宽度不变，求裁剪后梯形缺口面积的最小值； （2）若保持其缺口深度不变，求裁剪后梯形缺口面积的最小值．18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆的离心率为，点分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一动点（异于左右顶点），面积的最大值为1． (1)求椭圆的方程;(2)设四边形ABCD 是矩形,且四条边都与椭圆相切，证明：满足条件的所有矩形的顶点都在一个定圆上，并写出该定圆的方程．19．(本小题满分16分)已知函数（为常数），其图象是曲线． （1）当时，求函数的单调递减区间；（2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围； （3）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为．问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）已知数列满足，，，是数列 的前项和． (1)若数列为等差数列． （ⅰ）求数列的通项公式；图（6）F 2F 1oyx（ⅱ）设数列满足()2**1112,,,21N N n n n k b b b b n k a +==+∈∈+， 求证：当时都有.(2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．高三数学附加题 xx.1(满分40分，考试时间30分钟)21. (选修4－2：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 a b 0满足：Mαi ＝λi αi ，其中λi (i ＝1，2)是互不相等的实常数，a i(i ＝1，2)是非零的平面列向量，λ1＝1，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵M ．22．(选修4－4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，设直线θ＝π3与曲线ρ2－10ρcos θ＋4＝0相交于A 、B 两点，求线段AB 中点的极坐标．23. 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．（1）分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2获胜的概率；（2）若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求甲队得分X 的分布列及数学期望． 24．已知整数n ≥3，集合M ＝{1，2，3，…，n }的所有含有3个元素的子集记为A 1，A 2，A 3，…，，设A 1，A 2，A 3，…，中所有元素之和为S n ． （1） 求S 3，S 4，S 5，并求出S n ；（2）求和：S 3＋S 4＋S 5＋…＋S n ．（注：可用组合数表示）扬州中学高三数学试卷答案xx.1.31． 2. 3． 4． 5.36 6. 9 7. 8．④ 9． 10. 11. 3 12. 13. 14. 15．又平面平面平面17．解：（1）以抛物线顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，则，从而边界曲线的方程为，．因为抛物线在点处的切线斜率，所以，切线方程为，与轴的交点为．此时梯形的面积平方分米，即为所求．………………6分（2）设梯形腰所在直线与抛物线切于时面积最小．此时，切线方程为，其与直线相交于，与轴相交于．此时，梯形的面积，．……11分（这儿也可以用基本不等式，但是必须交代等号成立的条件）=0，得，当时，单调递减； 当时，单调递增，故，当时，面积有最小值为． ………………14分 18. 解：（1）椭圆的方程为．…………5分(2)由题意知,矩形ABCD 是椭圆的外切矩形,(i) 若矩形ABCD 的边与坐标轴平行,则四个顶点满足. …………6分(ii)若矩形ABCD 的边与坐标轴不平行,则可设一组对边所在直线的方程为,则由消去y 得,于是,化简得.所以矩形ABCD 的一组对边所在直线的方程为,即, 则另一组对边所在直线的方程为, 于是矩形顶点坐标(x,y)满足, 即,即.综上得，满足条件的所有矩形的顶点在定圆上. …………16分 注：仅写成结果而没有过错的给1分。

2021年高三上学期第一次月度质量检测数学试卷 Word 版含答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1、设全集，集合，，则 ．2、已知幂函数的图象经过点，则 ．3、已知，则实数 ．4、函数的单调减区间为 ．5、若函数是奇函数，那么实数 ．6、若直线是曲线的切线，则实数的值为 ．7、将函数的图象向右平移个单位，再将图象上每一点横坐标缩短到原来的倍，所得函数的解析式为 ．8、已知，为三角形的内角，则“”是“”的 条件（填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”）．9、已知函数，（）上的最大值是，最小值是，则实数的取值范围是 ．10、关于的一元二次方程有两个不同的实根，且一根大于，一根小于，则的取值范围是 ．11、对于函数，若存在区间，当时的值域为（），则称为倍值函数．若是倍值函数，则实数的取值范围是 ．12、设函数的定义域为，若对于任意的，，当时，恒有，则称点为函数的对称中心．研究函数的某个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可求得1234028402920152015201520152015f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为 ． 13、已知实数、、满足，，则的取值范围为 ．14、设函数，实数，（）满足，，则的值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15、（本小题满分14分）已知，且，．求的值；求的值．16、（本小题满分14分）已知函数，．求函数的最小正周期和单调递减区间；设的内角，，的对边分别为，，，且，，若，求，的值．17、（本小题满分14分）某企业投入万元经销某产品，经销时间共个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第个月的利润函数（单位：万元）．为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中．记第个月的利润率为，例如．求；求第个月的当月利润率；求该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率．18、（本小题满分16分）已知函数，．若时，不等式恒成立，求实数的取值范围；求函数在区间上的最大值．19、（本小题满分16分）已知函数．求函数的最大值；若，不等式恒成立，求实数的取值范围；若，求证：．20、（本小题满分16分）已知函数，，其中．若，试判断函数（）的单调性，并证明你的结论；设函数，若对任意大于等于的实数，总存在唯一的小于的实数，使得成立，试确定实数的取值范围．江苏省泰州中学xx届高三第一次月度质量检测数学试题参考答案一、填空题1、2、3、4、5、6、7、8、充要9、10、11、12、13、14、二、解答题18、解：。

2021年高三上学期1月教学质量调研数学（文）试题word版含答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、复数（）A． B． C． D．2、已知集合{|320},{|(1)(3)0}=+>=+->，( )A x xB x x xA． B． C． D．3、设，则（）A．1 B．2 C．4 D．84、已知数列的前n项和为，且，则（）A．-10 B．6 C．10 D．145、在中，若，则（）A． B． C． D．6、如图在程序框图中，若输入，则输出的值是（）A．2 B．3C．4 D．57、设，则“”是“直线与直线平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8、把函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍，（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数解析式是（）A． B． C． D．9、已知变量满足约束条件，则目标函数的最大值是（）A ．6B ．3C ．D ．110、若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．11、已知函数，则函数的图象可能是（ ）12、已知椭圆方程，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．2D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的横线上。

.13、某单位青年、中年、老年职工的人数之比为从中抽取200名职工作为样本，则应抽取青年职工的人数为14、若，且，则15、圆心在原点，并与直线相切的圆的方程为16、定义在R 上的函数满足，且时，，则三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分12分）已知向量()31(sin ,),(,cos ),22a xb x f x a b ===⋅ （1）求函数的解析式；（2）求函数的单调递增区间。

2021年浙江新昌中学、浦江中学、富阳中学三校第一次联考高三上学期数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、【来源】 2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第1题4分2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第1题4分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第1题4分已知集合A={x||2x−1|<6}，B={x|2x+13−x⩽0}，则A∩∁R B=（）．A. (−52,−12]∪(3,72)B. (−52,−12)∪[3,72)C. (−12,3]D. (−12,3)2、【来源】 2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第2题4分2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第2题4分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第2题4分已知a∈R，若a1+i +1+i2（i为虚数单位）是实数，则实数a等于（）．A. 1B. 2C. 32D. 523、【来源】 2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第3题4分2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第3题4分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第3题4分若{x⩾0 x−2y⩽0x+y−3⩾0，则z=x+3y的最小值是（）．A. 0B. 1C. 5D. 94、【来源】 2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第4题4分2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第4题4分2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第4题4分2020~2021学年10月山东青岛市南区青岛第三十九中学高三上学期月考第4题5分2017~2018学年10月河北邯郸临漳县临漳县第一中学高三上学期月考文科第6题5分设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是（）．A. 当n⊥α时，"n⊥β”是“α//β”成立的充要条件B. 当m⊂α时，“m⊥β”是“a⊥β”的充分不必要条件C. 当m⊂α时，”n//α”是“m//n”必要不充分条件D. 当m⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件5、【来源】 2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第5题4分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第5题4分2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第5题4分2013年上海奉贤区高三一模已知函数y=sin⁡ax+b(a>0)的图象如图所示，则函数y=log a(x+b)的图象可能是（）．A.B.C.D.6、【来源】 2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第6题4分2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第6题4分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第6题4分已知F1，F2是双曲线C：x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右两个焦点，若双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线y=bax对称，则该双曲线C的离心率为（）．A. √52B. √5C. √2D. 27、【来源】 2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第7题4分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第7题4分 2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第7题4分2012年高考真题四川卷理科第12题设函数f(x)=2x −cos⁡x ，{a n }是公差为π8的等差数列，f(a 1)+f(a 2)+⋅⋅⋅+f(a 5)=5π，则[f(a 3)]2−a 1a 5=（ ）．A. 0B. 116π2 C. 18π2D. 1316π28、【来源】 2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第8题4分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第8题4分 2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第8题4分 已知平面向量a →，b →，c →满足：|a →|=2，a →，b →的夹角为60°，且c →=−12a →+tb →(t ∈R )．则|c →|+|c →−a →|的最小值为（ ）．A. √13B. 4C. 2√3D. 9√349、【来源】 2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第9题4分2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第9题4分 2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第9题4分袋子A 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，摸出一个红球的概率是 13， 有3次摸到红球即停止．记5次之内（含5次）摸到红球的次数为ξ，则ξ 的数学期望Eξ=（ ）．A.13181 B.14381 C.433243 D. 59324310、【来源】 2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第10题4分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第10题4分 2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第10题4分定义全集U 的子集A 的特征函数f A (x)={1，x ∈A 0，x ∈∁U A．这里∁U A 表示集合A 在全集U 中的补集．已知A ⊆U ，B ⊆U ，以下结论 不正确．．．的是（ ）． A. 若A ⊆B ，则对于任意x ∈U ，都有f A (x )⩽f B (x )B. 对于任意x ∈U ，都有f ∁U A (x )=1−f A (x )C. 对于任意x ∈U ，都有f A∩B (x )=f A (x )⋅f B (x )D. 对于任意x ∈U ，都有f A∪B (x )=f A (x )+f B (x )二、填空题（本大题共7小题，共36分）11、【来源】 2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第11题4分2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第11题4分2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第11题4分在2000多年前，古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线：用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线．已知一个圆锥的高和底面半径都为2，则用与底面呈45°的平面截这个圆锥，得到的曲线是．12、【来源】 2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第12题6分2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第12题6分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第12题6分某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是1，则正视图中的x的值是，该几何体的表面积是．13、【来源】 2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第13题6分2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第13题6分2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第13题6分已知多项式(x2+1)(x−1)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+⋯+a7(x+1)7，则a1+a2+⋯+a7=，a4=．14、【来源】 2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第14题6分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第14题6分2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第14题6分(0<θ<π)，则tan⁡θ=，sin⁡2(θ−已知sin⁡θ+cos⁡θ=−713π)=．415、【来源】 2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第15题4分2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第15题4分2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第15题4分2020~2021学年福建福州仓山区福建师范大学附属中学高二上学期期中B卷第14题5分过x−y−2=0上一点P(x0,y0)作直线与x2+y2=1相切于A，B两点．当x0=3时，切线长|PA|为；当|PO|⋅|AB|最小时，x0的值为．16、【来源】 2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第16题4分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第16题4分2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第16题4分2004年全国高中数学联赛竞赛一试第12题9分在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(−1,2)和N(1,4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为．17、【来源】 2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第17题4分2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第17题4分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第17题4分)ln⁡x恒成立，则实数a的最小值若对任意x>0，不等式a(e ax+1)⩾2(x+1x为．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18、【来源】 2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第18题15分2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第18题15分2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第18题15分在①A+C=2B②a+c=2b这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．问题：已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=2，，试求sin⁡A⋅sin⁡B⋅sin⁡C的范围．19、【来源】 2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第19题15分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第19题15分2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第19题15分如图，在四棱锥E−ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=3，F为DE的中点．(1) 求证：BE//平面ACF．(2) 求BE与平面BCF所成角的正弦值．20、【来源】 2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第20题15分2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第20题15分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第20题15分已知数列{a n}的首项a1，前n项之和S n，满足S n=n2+na12，数列{b n}的前n项之和T n，满足(q−1)T n=qb n−1(q>0)，n∈N∗．(1) 若对任意正整数n都有a n⩽b n+1成立，求正数q的取值范围．(2) 当q=2，数列{c n}满足：c n=a n+2S n⋅b n+1，求证：32⩽c1+c2+⋅⋅⋅+c n<2．21、【来源】 2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第21题15分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第21题15分2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第21题15分已知椭圆Γ:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)左顶点为A，离心率为√32，且过点(√3,12)．(1) 求Γ的方程．(2) 过抛物线C:y2=2px(p>0)上一点P的切线l交Γ于D，E两点，线段DE，PA的中点分别为M，N．求证：对任意p>0，都存在这样的点P，使得MN所在直线平行于y轴．22、【来源】 2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第22题15分2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第22题15分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第22题15分 已知函数f (x )=e x +ax 2，其中e =2.71828⋯⋯是自然对数的底数．(1) 若g (x )=f (x )x+1(x ≠−1)有三个极值点x 1，x 2，x 3．① 求实数a 的范围．② 求证：x 1+x 2+x 3>−2．(2) 若y =f (x )有三个零点x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，求证：−√−1a+1<x 1<0．1 、【答案】 C;2 、【答案】 A;3 、【答案】 C;4 、【答案】 C;5 、【答案】 C;6 、【答案】 B;7 、【答案】 D;8 、【答案】 A;9 、【答案】 A;10 、【答案】 D;11 、【答案】 抛物线;12 、【答案】 1;5+√52+√212; 13 、【答案】 63;−180;14 、【答案】 −512;−119169; 15 、【答案】 3;1;16 、【答案】 1;第11页， 共11页 17 、【答案】 2e ;18 、【答案】 当选①A +C =2B ，sin⁡A ⋅sin⁡B ⋅sin⁡C ∈(0,3√38]； 当选②a +c =2b ，sin⁡A ⋅sin⁡B ⋅sin⁡C ∈(0,3√38]． ;19 、【答案】 (1) 证明见解析． ;(2) √10251．;20 、【答案】 (1) q ⩾√33． ;(2) 证明见解析．;21 、【答案】 (1) x 24+y 2=1．;(2) 证明见解析．;22 、【答案】 (1)① a <−1e 且a ≠−12．② 证明见解析．;(2) 证明见解析．;。

2021年高三数学上学期1月调考试卷理（含解析）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．设复数z满足，则 =( )A．﹣2+i B．﹣2﹣i C．2+i D．2﹣ix（3t2﹣10t+6）dt=0，x＞0}，则集合P的非空子集个数是2．设集合P={x|∫( )A．2 B．3 C．7 D．83．下列结论正确的是( )A．若向量∥，则存在唯一的实数λ使得=2λB．已知向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“，＜0”C．命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1 D．若命题P：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1＞04．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是( )A．36πB．9πC．πD．π5．等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1），a1a2a3=27，则a6=( ) A．27 B．81 C．243 D．7296．设函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则以下结论正确的个数( )（1）f（x）的图象过点（0，）（2）f（x）的一个对称中心是（）（3）f（x）在[]上是减函数（4）将f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sinωx的图象．A．4 B．3 C．2 D．17．若x、y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是( )A．（﹣4，2）B．（﹣1，2）C．（﹣4，0）D．（﹣2，4）8．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的个数是( )（1）AC⊥BE．（2）若P为AA1上的一点，则P到平面BEF的距离为．（3）三棱锥A﹣BEF的体积为定值．（4）在空间与DD1，AC，B1C1都相交的直线有无数条．（5）过CC1的中点与直线AC1所成角为40°并且与平面BEF所成角为50°的直线有2条．A．0 B．1 C．2 D．39．已知椭圆C1：+=1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：﹣=1（a2＞0，b2＞0）有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，a1，a2又分别是两曲线的离心率，若PF1⊥PF2，则4e12+e22的最小值为( )A．B．4 C．D．910．已知f（x）=，g（x）=（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），则k的最大值为( )A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共25分）11．平面向量与的夹角为120°，=（2，0），||=1，则|﹣2|=__________．12．已知tanβ=，sin（α+β）=，且α，β∈（0，π），则sinα的值为__________．13．设正数a，b，c满足++≤，则=__________．14．已知两个正数a，b，可按规则c=ab+a+b扩充为一个新数c，在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作．若p＞q＞0，经过6次操作后扩充所得的数为（q+1）m（p+1）n﹣1（m，n为正整数），则m+n的值为__________．(15，16为选做题，二选一即可)15．如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为__________．16．直线l的参数方程是（其中t为参数），若原点O为极点，x正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+），过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是__________．三、解答题（本大题共6小题，共75分）17．在△ABC中，角A，B，C对应边分别是a，b，c，c=2，sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinB．（1）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC面积；（2）求AB边上的中线长的取值范围．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，常数λ＞0，且λa1a n=S1+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？19．已知x∈[0，1]，函数，g（x）=x3﹣3a2x﹣4a．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和值域；（Ⅱ）设a≤﹣1，若∀x1∈[0，1]，总存在，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范围．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．21．（13分）如图，已知点A（﹣2，0）和圆O：x2+y2=4，AB是圆O的直经，从左到右M、O 和N依次是AB的四等分点，P（异于A、B）是圆O上的动点，PD⊥AB交AB于D，=λ，直线PA与BE交于C，|CM|+|CN|为定值．（1）求λ的值及点C的轨迹曲线E的方程；（2）一直线L过定点S（4，0）与点C的轨迹相交于Q，R两点，点Q关于x轴的对称点为Q1，连接Q1与R两点连线交x轴于T点，试问△TRQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．22．（14分）已知函数f（x）=ax++（1﹣2a）（a＞0）（1）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（2）证明：1+++…+≥ln（n+1）+（n≥1）；（3）已知S=1+++…+，求S的整数部分．（lnxx≈7.6079，lnxx≈7.6084）xx学年湖北省六校联考高三（上）1月调考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．设复数z满足，则 =( )A．﹣2+i B．﹣2﹣i C．2+i D．2﹣i考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：先设出复数的代数形式，再由题意求出复数z，根据共轭复数的定义求出即可．解答：解：设z=a+bi（a、b∈R），由题意知，，∴1+2i=ai﹣b，则a=2，b=﹣1，∴z=2﹣i，=2+i，故选C．点评：本题考查两个复数代数形式的乘除法，以及虚数单位i 的幂运算性质，共轭复数的概念，难度不大，属于基础题．2．设集合P={x|∫0x（3t2﹣10t+6）dt=0，x＞0}，则集合P的非空子集个数是( ) A．2 B．3 C．7 D．8考点：定积分的简单应用；子集与真子集．专题：计算题．分析：先根据定积分求出集合P，根据集合子集的公式2n（其中n为集合的元素），求出集合A的子集个数，然后除去空集即可得到集合A的非空真子集的个数．解答：解：∵P={x|∫0x（3t2﹣10t+6）dt=0，x＞0}，∴P={2，3}因为集合A中有2个元素，所以集合A子集有22=4个，则集合A的非空子集的个数是4﹣1=3．故选B．点评：此题考查学生掌握子集与真子集的定义，会利用2n﹣1求集合的非空子集，是一道基础题．3．下列结论正确的是( )A．若向量∥，则存在唯一的实数λ使得=2λB．已知向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“，＜0”C．命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1D．若命题P：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1＞0考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A．若，则不存在实数λ使得=2λ；B．若，＜0，则与反向共线，此时夹角为平角；C．利用逆否命题的定义即可判断出；D．利用命题的否定即可判断出．解答：解：A．若向量∥，，则不存在实数λ使得=2λ，不正确；B．若，＜0，则与反向共线，此时夹角为平角，不正确；C．命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1，正确；D．命题P：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1≥0，不正确．故选：C．点评：本题考查了向量共线定理及其夹角公式、逆否命题的定义、命题的否定，考查了推理能力，属于基础题．4．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是( )A．36πB．9πC．πD．π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，求出底面外接圆半径和棱锥的高，进而利用勾股定理，求出其外接球的半径，代入球的体积公式，可得答案．解答：解：∵俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，故底面外接圆半径r=，由主视图中棱锥的高h=1，故棱锥的外接球半径R满足：R==，故该几何体外接球的体积V==π，故选：C点评：解决三视图的题目，关键是由三视图判断出几何体的形状及度量长度，进而求出外接球半径，是解答的关键．5．等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1），a1a2a3=27，则a6=( ) A．27 B．81 C．243 D．729考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：利用等比数列的性质可得，a1a2a3=a23=27 从而可求a2，结合S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1）考虑n=1可得，S2=a1+a2=4a1从而可得a1及公比 q，代入等比数列的通项公式可求a6解答：解：利用等比数列的性质可得，a1a2a3=a23=27 即a2=3因为S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1）所以n=1时有，S2=a1+a2=4a1从而可得a1=1，q=3所以，a6=1×35=243故选C点评：本题主要考查了等比数列的性质，等比数列的前 n项和公式及通项公式，属基础题．6．设函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则以下结论正确的个数( )（1）f（x）的图象过点（0，）（2）f（x）的一个对称中心是（）（3）f（x）在[]上是减函数（4）将f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sinωx的图象．A．4 B．3 C．2 D．1考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的周期求出ω，再由图象关于直线x=对称结合φ的范围求得φ，则函数解析式可求．①求得f（0）=说明命题①错误；②由f（）=0说明命题②正确；③求出原函数的减区间，由[]是一个减区间的子集说明命题③正确；④通y=Asin（ωx+φ）图象的平移说明命题④错误．解答：解：∵f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的周期是π，∴ω=2，又图象关于直线x=对称，则2×φ=kπ+，即φ=，k∈Z．∵﹣＜φ＜，∴取k=1得φ=．∴f（x）=3sin（2x+）．①∵f（0）=3sin=．∴f（x）的图象过点（0，）错误；②∵f（）=3sin（2×+）=3sinπ=0．∴f（x）的一个对称中心是（）正确；③由，得：．取k=0，得．∵[]⊆，∴f（x）在[]上是减函数正确；④∵φ=＞0，∴f（x）=3sin（ωx+φ）=3sinω（x+）是把y=3sinωx向左平移个单位得到，则f（x）的图象向右平移个单位得到函数y=3sinωx的图象．∴命题④错误．点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，训练了复合函数的单调性的求法，是中档题．7．若x、y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是( )A．（﹣4，2）B．（﹣1，2）C．（﹣4，0）D．（﹣2，4）考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，将z=ax+2y化为y=﹣x+，相当于直线y=﹣x+的纵截距，由几何意义可得．解答：解：由题意作出其平面区域，将z=ax+2y化为y=﹣x+，相当于直线y=﹣x+的纵截距，则由目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值可知，﹣1＜﹣＜2，则﹣4＜a＜2，故选A．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．8．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的个数是( )（1）AC⊥BE．（2）若P为AA1上的一点，则P到平面BEF的距离为．（3）三棱锥A﹣BEF的体积为定值．（4）在空间与DD1，AC，B1C1都相交的直线有无数条．（5）过CC1的中点与直线AC1所成角为40°并且与平面BEF所成角为50°的直线有2条．A．0 B．1 C．2 D．3考点：命题的真假判断与应用；棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：根据题意，依次分析：如图可知BE⊂平面BB1D1D，AC⊥BE，进而判断出（1）正确；根据AA1∥BB1，判断出AA1∥平面BB1DD1，即AA1∥平面BEF，计算出A1到平面BEF的距离，即可判断出（2）项；设AC，BD交于点O，AO⊥平面BB1D1D，可分别求得S△BEF和AO，则三棱锥A﹣BEF的体积可得判断（3）项正确；再利用正方体中线线，线面的位置关系，即可判定（4）和（5）项正确．解答：解：对于（1），∵AC⊥平面BB1D1D，又BE⊂平面BB1D1D，∴AC⊥BE．故（1）正确．对于（2），∵AA1∥BB1，AA1⊄平面BB1DD1，BB1⊂平面BB1DD1，∴AA1∥平面BB1DD1，即AA1∥平面BEF，又∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，A1到平面BEF的距离为A1到B1D1的距离，∴若P为AA1上的一点，则P到平面BEF的距离为，故（2）正确；对于（3），∵S△BEF==，设AC，BD交于点O，AO⊥平面BB1D1D，AO=，∴V A﹣BEF==，故（3）正确；对于（4）在正方体中，AA1∥DD1，AD∥B1C1，则AC，AA1，AD相交于A点，故空间中与DD1，AC，B1C1都相交的直线有无数条．故（4）正确；对于（5）由于过CC1的中点与直线AC1所成角为40°的直线有2条．并且这两条直线与平面BEF所成角为50°，故（5）正确；故答案为：A．点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查线面垂直，考查线面角、线线角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．9．已知椭圆C1：+=1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：﹣=1（a2＞0，b2＞0）有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，a1，a2又分别是两曲线的离心率，若PF1⊥PF2，则4e12+e22的最小值为( )A．B．4 C．D．9考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推志出，由此能求出4e12+e22的最小值．解答：解：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2a2，①由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a1，②又∵PF1⊥PF2，∴=4c2，③①2+②2，得=，④将④代入③，得，∴4e12+==+=≥=．故选：C．点评：本题考查4e12+e22的最小值的求法，是中档题，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用．10．已知f（x）=，g（x）=（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），则k的最大值为( )A．2 B．3 C．4 D．5考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意转化为：＞，对于x＞1恒成立，构造函数h（x）=x•求导数判断，h′（x）=，且y=x﹣2﹣lnx，y′=1﹣＞0在x＞1成立，y=x﹣2﹣lnx在x＞1单调递增，利用零点判断方法得出存在x0∈（3，4）使得f（x）≥f（x0）＞3，即可选择答案．解答：解：∵f（x）=，g（x）=（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），∴可得：＞，对于x＞1恒成立．设h（x）=x•，h′（x）=，且y=x﹣2﹣lnx，y′=1﹣＞0在x＞1成立，∴即3﹣2﹣ln3＜0，4﹣2﹣ln4＞0，故存在x0∈（3，4）使得f（x）≥f（x0）＞3，∴k的最大值为3．故选：B点评：本题考查了学生的构造函数，求导数，解决函数零点问题，综合性较强，属于难题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共25分）11．平面向量与的夹角为120°，=（2，0），||=1，则|﹣2|=2．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得=||•||•cos120°的值，再根据|﹣2|=，计算求得结果．解答：解：由题意可得=||•||•cos120°=2×1×（﹣）=﹣1，∴|﹣2|====2，故答案为：．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．12．已知tanβ=，sin（α+β）=，且α，β∈（0，π），则sinα的值为．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：求得sinβ和cosβ的值，根据已知条件判断出α+β的范围，进而求得cos（α+β）的值，最后利用正弦的两角和公式求得答案．解答：解：∵α，β∈（0，π），tanβ=，sin（α+β）=，∴sinβ=，cosβ=，0＜β＜，∴0＜α+β＜，∵0＜sin（α+β）=＜，∴0＜α+β＜，或＜α+β＜π，∵tanβ=＞1，∴＞β＞，∴＜α+β＜π，∴cos（α+β）=﹣=﹣，∴sinα=sin（α+β﹣β）=sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ=×+×=．故答案为：．点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数．解题过程中判断出α+β的范围是解题的最重要的一步．13．设正数a，b，c满足++≤，则=．考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质“取等号的条件”即可得出．解答：解：∵a，b，c为正数，∴（a+b+c）=14+++++=36．当且仅当a：b：c=1：2：3．∵++≤，∴++=，∴==．故答案为：．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．14．已知两个正数a，b，可按规则c=ab+a+b扩充为一个新数c，在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作．若p＞q＞0，经过6次操作后扩充所得的数为（q+1）m（p+1）n﹣1（m，n为正整数），则m+n的值为21．考点：数列的应用．专题：等差数列与等比数列．分析： p＞q＞0 第一次得：c1=pq+p+q=（q+1）（p+1）﹣1；第二次得：c2=（p+1）2（q+1）﹣1；所得新数大于任意旧数，故经过6次扩充，所得数为：（q+1）8（p+1）13﹣1，故可得结论．解答：解：因为p＞q＞0，所以第一次得：c1=pq+p+q=（q+1）（p+1）﹣1，因为c＞p＞q，所以第二次得：c2=（c1+1）（p+1）﹣1=（pq+p+q）p+p+（pq+p+q）=（p+1）2（q+1）﹣1，所得新数大于任意旧数，所以第三次可得c3=（c2+1）（c1+1）﹣1=（p+1）3（q+1）2﹣1，第四次可得：c4=（c3+1）（c2﹣1）﹣1=（p+1）5（q+1）3﹣1，故经过6次扩充，所得数为：（q+1）8（p+1）13﹣1，因为经过6次操作后扩充所得的数为（q+1）m（p+1）n﹣1（m，n为正整数），所以m=8，n=13，所以m+n=21．故答案为：21．点评：本题考查新定义，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，求出经过6次操作后扩充所得的数是关键．(15，16为选做题，二选一即可)15．如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为4．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：连接OC，BE，由圆角定定理，我们可得BE⊥AE，直线l是过C的切线，故OC⊥直线l，△OBC为等边三角形，结合等边三角形的性质及30°所对的直角边等于斜边的一半，我们易求出线段AE的长．解答：解：连接OC，BE，如下图所示：则∵圆O的直径AB=8，BC=4，∴△OBC为等边三角形，∠COB=60°又∵直线l是过C的切线，故OC⊥直线l又∵AD⊥直线l∴AD∥OC故在Rt△ABE中∠A=∠COB=60°∴AE=AB=4故答案为：4点评：本题考查的知识点是切线的性质，圆周角定理，其中根据切线的性质，圆周角定理，判断出△ABE是一个∠B=30°的直角三角形是解答本题的关键．16．直线l的参数方程是（其中t为参数），若原点O为极点，x正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+），过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是2．考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：直线与圆．分析：将圆的极坐标方程和直线l的参数方程转化为普通方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离，要使切线长最小，必须直线l上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心到直线的距离d，求出d，由勾股定理可求切线长的最小值．解答：解：∵圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+），∴ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，∴x2+y2=x﹣y，即（x﹣）2+（y+）2=1，∴圆C是以M（，﹣）为圆心，1为半径的圆…2分化直线l的参数方程（t为参数）为普通方程：x﹣y+4=0，…4分∵圆心M（，﹣）到直线l的距离为d==5，…6分要使切线长最小，必须直线l上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心M（，﹣）到直线的距离d，由勾股定理求得切线长的最小值为 ==2．故答案为：2．点评：本题考查圆的极坐标方程，直线的参数方程、直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共75分）17．在△ABC中，角A，B，C对应边分别是a，b，c，c=2，sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinB．（1）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC面积；（2）求AB边上的中线长的取值范围．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosC，将得出关系式代入求出cosC的值，确定出C的度数，sinC+sin（B﹣A）=2sin2A化简后，根据cosA为0与cosA不为0两种情况，分别求出三角形ABC面积即可；（2）根据CD为AB边上的中线，得到=，两边平方并利用平面向量的数量积运算法则变形得到关系式，利用余弦定理列出关系式，将cosC与c的值代入得到关系式，代入计算即可确定出|CD|的范围．解答：解：（1）由sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinB，利用正弦定理化简得：a2+b2﹣c2=ab，∴cosC===，即C=，∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A，∴sinBcosA=2sinAcosA，当cosA=0，即A=，此时S△ABC=；当cosA≠0，得到sinB=2sinA，利用正弦定理得：b=2a，此时此时S△ABC=；（2）∵=，∴|CD|2==，∵cosC=，c=2，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即a2+b2﹣ab=4，∴|CD|2==＞1，且|CD|2=≤3，则|CD|的范围为（1，]．点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，熟练掌握定理是解本题的关键．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，常数λ＞0，且λa1a n=S1+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？考点：数列递推式；数列的函数特性；数列的求和．专题：计算题．分析：（I）由题意，n=1时，由已知可知a1（λa1﹣2）=0，分类讨论：由a1=0，及a1≠0，结合数列的和与项的递推公式可求（II）由a1＞0且λ=100时，令，则，结合数列的单调性可求和的最大项解答：解（I）当n=1时，∴a1（λa1﹣2）=0若取a1=0，则S n=0，a n=S n﹣S n﹣1=0∴a n=0（n≥1）若a1≠0，则，当n≥2时，2a n=，两式相减可得，2a n﹣2a n﹣1=a n∴a n=2a n﹣1，从而可得数列{a n}是等比数列∴a n=a1•2n﹣1==综上可得，当a1=0时，a n=0，当a1≠0时，（II）当a1＞0且λ=100时，令由（I）可知∴{b n}是单调递减的等差数列，公差为﹣lg2∴b1＞b2＞…＞b6=＞0当n≥7时，∴数列的前6项和最大点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大项，还考查了一定的逻辑运算与推理的能力．19．已知x∈[0，1]，函数，g（x）=x3﹣3a2x﹣4a．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和值域；（Ⅱ）设a≤﹣1，若∀x1∈[0，1]，总存在，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．分析：（1）利用导数研究函数的单调区间的方法步骤求解f（x）的单调区间和值域．（2）在a≤﹣1，x∈[0，1]的条件下，判断g（x）的单调性，进而求解g（x）的值域，依题意得f（x）的值域是g（x）值域的子集，列出关于a的不等式组，解出a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）令f'（x）=0解得：（舍去）列表：可知f（x）的单调减区间是，增区间是；因为，所以当x∈[0，1]时，f（x）的值域为（Ⅱ）g′（x）=3（x2﹣a2）因为a≤﹣1，x∈（0，1）所以g′（x）＜0，g（x）为[0，1]上的减函数，g（1）≤g（x）≤g（0）所以g（x）∈[1﹣4a﹣3a2，﹣4a]因为当x∈[0，1]时，f（x）的值域为由题意知：所以又a≤﹣1，得．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、值域等函数知识，对于（2）解答的关键是，f（x）的值域是g（x）的值域的子集，在学习中，同学们应熟练掌握这一方法，本题是一道好题，属于教学中的重点和难点．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：综合题．分析：（Ⅰ）法一：由AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知QB⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，知BQ⊥平面PAD．由此能够证明平面PQB⊥平面PAD．法二：由AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知∠AQB=90°．由PA=PD，知PQ⊥AD，故AD⊥平面PBQ．由此证明平面PQB⊥平面PAD．（Ⅱ）由PA=PD，Q为AD的中点，知PQ⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，知PQ⊥平面ABCD．以Q为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出t=3．解答：解：（Ⅰ）证法一：∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD．∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．…证法二：AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°．∵PA=PD，∴PQ⊥AD．∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．…（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为；Q（0，0，0），，，．设M（x，y，z），则，，∵，∴，∴…在平面MBQ中，，，∴平面MBQ法向量为．…（13分）∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，∴，∴t=3．…点评：本题考查平面与平面垂直的证明，求实数的取值．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，合理地运用向量法进行解题．21．（13分）如图，已知点A（﹣2，0）和圆O：x2+y2=4，AB是圆O的直经，从左到右M、O 和N依次是AB的四等分点，P（异于A、B）是圆O上的动点，PD⊥AB交AB于D，=λ，直线PA与BE交于C，|CM|+|CN|为定值．（1）求λ的值及点C的轨迹曲线E的方程；（2）一直线L过定点S（4，0）与点C的轨迹相交于Q，R两点，点Q关于x轴的对称点为Q1，连接Q1与R两点连线交x轴于T点，试问△TRQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．考点：直线和圆的方程的应用．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）根据，|CM|+|CN|为定值，建立条件关系即可求λ的值及点C的轨迹曲线E的方程；（2）根据直线和椭圆的位置关系，转化为一元二次方程问题即可．解答：解：（1）易得B（2，0），M（﹣1，0），N（1，0），设P（x0，y0），C（x，y），则E（x0，），直线PA与BE交于C，故x≠±2，①且，②①②相乘得，又因为点P（异于A，B）是圆O上的动点，故，即，要使|CM|+|CN|为定值，则4﹣，解得，此时，（x≠±2），即时，点C的轨迹曲线E的方程为，（x≠±2），（2）联立，消x得（3m2+4）y2+24my+36=0，判别式△=（24m）2﹣4×36（3m2+4）=144（m2﹣4）＞0，即m2＞4设Q（x1，y1），R（x2，y2，则Q′（x1，﹣y1），由韦达定理有直线RQ的方程为y=，令y=0，得x===将①②代人上式得x=1，又====当时取得．点评：本题主要考查直线和圆以及直线和圆锥曲线的位置关系，考查学生的运算能力．22．（14分）已知函数f（x）=ax++（1﹣2a）（a＞0）（1）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（2）证明：1+++…+≥ln（n+1）+（n≥1）；（3）已知S=1+++…+，求S的整数部分．（lnxx≈7.6079，lnxx≈7.6084）考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）利用f（x）≥lnx，构造g（x）=f（x）﹣lnx，问题转化为g（x）=f（x）﹣lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，利用导数求出函数在[1，+∞）上的最小值大于0，求a的取值范围；（2）由（1）可知a≥时，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，则当a=时，（x﹣）≥lnx 在[1，+∞）上恒成立，对不等式的左侧每一项裂项，然后求和，即可推出要证结论；（3）运用（2）的结论和S=1+++…+＜1×2++…+×28=9，即可得到整数部分．解答：解：（1）∵函数f（x）=ax++（1﹣2a），f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，设g（x）=f（x）﹣lnx，则g（x）=f（x）﹣lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，∴g（x）min≥0，又∵g′（x）=a﹣﹣=，而当=1，即a=时，①当≤1即a时，g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，∴g（x）min=g（1）=0≥0；②当＞1即0＜a＜时，g′（x）=0时x=；且1≤x＜时，g′（x）＜0，当x＞时，g′（x）＞0；则g（x）min=g（）≥0①，又∵g（）≤g（1）=2a﹣1＜0与①矛盾，不符题意，故舍．∴综上所述，a的取值范围为：[，+∞）．（2）证明：由（1）可知a时，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，则当a=时，（x﹣）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，令x依次取，，，…，时，则有×（﹣）≥ln ，×（﹣）≥ln ，…×（﹣）≥ln ，由同向不等式可加性可得[（+++…+）﹣（+++…+）]≥ln（n+1），即 [（1+++…++n）﹣（n﹣﹣﹣﹣…﹣）]≥ln（n+1），也即 [2（1+++…+）+﹣1]≥ln（n+1），也即1+++…+＞ln（n+1）+（n≥1）．（3）由（2）的结论，可得，S=1+++…+≥lnxx+∈（8，9），又S=1+++…+＞dx=lnx|=lnxx≈7.6，则有S的整数部分为9．点评：本题是难题，考查函数与导数的关系，曲线切线的斜率，恒成立问题的应用，累加法与裂项法的应用，数学归纳法的应用等知识，知识综合能力强，方法多，思维量与运算量以及难度大，需要仔细审题解答，还考查分类讨论思想．39680 9B00 鬀•31643 7B9B 箛37086 90DE 郞b<29857 74A1 璡21012 5214 刔36108 8D0C 贌0d25839 64EF 擯-32621 7F6D 罭26285 66AD 暭。

绝密★启用前 命题：高三数学组2020学年第一学期期初教学质量监测高三年级 数学 试题卷考生须知：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域内填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷. 参考公式：第Ⅰ卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}220,A x x x x N =-≤∈∣，10x B xx -⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭∣，则A B =（ ） A.[1,2]B.(0,1]C.{1,2}D.{1}2.已知(0,)θπ∈，1sin cos 3θθ+=，则cos2θ=（ ）A.9-B.9±C.3-D.3±3.若实数x ，y 满足约束条件20400,0y x x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪>>⎩，则3z x y =-的取值范围为（ ）A.44,3⎛⎤- ⎥⎝⎦B.4,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.(0,12)D.[0,12]4.下列命题中，（1）若OA ME ∥，OB MF ∥，则AOB EMF ∠=∠；（2）空间中，α，β为平面，m ，n 为直线，若m α⊆，n α⊆，m β∥，n β∥，则αβ∥； （3）空间中，α，β为平面，m ，n 为直线，若αβ⊥，m αβ=，n A α=，n m ⊥，则n β⊥；其中正确的个数为（ ） A.0个B.1个C.2个D.3个5.在第一象限内，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C分别在函数y x =，12y x =，2xy ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭的图像上，且矩形的边AB x ∥轴，BC y ∥轴，若A 的纵坐标为2，则D 点的坐标为（ ）A.2)B.19,216⎛⎫⎪⎝⎭C.819,25616⎛⎫⎪⎝⎭D.13,24⎛⎫⎪⎝⎭6.已知||||2a b a b ==⋅=，||3a c -=，则b c ⋅的取值范围为（ ）A.1]B.[1+C.2,2]D.[22-+7.若正三棱锥底面的一个顶点与其所对侧面的重心距离为4，则这个正三棱锥体积的最大值为（ ） A.8B. C.18D.8.设1F ，2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，P ，Q 分别是双曲线的左右支上的点，若213QF PF =，120F P PF ⋅=，则双曲线的离心率为（ ）9.已知关于x 的方程42232132||3303x ax a x a a a ⎛⎫+++++--= ⎪⎝⎭有唯一实数解，则实数a =（ ） A.1±，-3B.1±C.1，-3D.-1，-310.已知a ，b 是正实数，数列{}()n x n N ∈，0x a =，1x b =，11112n n n x x x +-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若这个数列是周期数列，则a ，b 必须满足条件（ ） A.12ab =B.1ab =C.32ab =D.2ab =第Ⅱ卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分. 11.知ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若3sin 5A =，2213()1336a b c ab +=+，则cos A =________，sin B =________.12.已知222log ()log log x y x y +=+，则11x y+=________，2x y +的最小值为________. 13.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积为________，表面积为________.14.已知圆22:(7)16C x y -+=，过点(5,0)M 作直线交圆于A ，B 两点，则||AB 的最小值为________；若(2,5)P ，则||PA PB +的最小值为________.15.已知,a b R ∈，若函数()|sin cos 1||sin cos |f x a x b x b x a x =+-+-的最大值为5，则22a b +=________. 16.抛物线218y x =-的准线与对称轴交于点A ，过点A 作直线交抛物线于M ，N 两点，点B 在抛物线对称轴上，且02MN BM MN ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，则||OB 的取值范围为________.17.数列{}()n a n N ∈满足：对任意非负整数(,)m n m n ≥，均有()2213()22m n m n m n a a n m a a +-++--=+.若17a =，则该数列中小于2019的最大的一项等于________.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本小题14分）在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin sin A b cB C a c-=+-. （Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若b =ABC △的周长取值范围.19.正三棱锥O ABC -的底面正三角形ABC 的边长为侧棱2OA =，E ，F 分别为AB ，AC 中点，H 为EF 中点，棱OA 上有一点1A （不为中点），直线1A E 与直线OB 交于1B ，直线1A F 与直线OC 交于1C .（1）证明：11B C ⊥平面OAH ； （2）若132OA =，求直线1OC 与平面111A B C 所成角的正弦值. 20.已知数列{}n b 的前n 项和22n S n n =-，正项数列{}n a 满足()322n b n a -+=，数列{}n c 满足()*n n n c a b n N =∈.（1）求通项n a ，n b 的通项公式； （2）求数列{}n c 的前n 项和n T ； （3）若2114n c m m ≤+-对任意*n N ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 21.已知椭圆22:195x y C +=，过左焦点F 的动直线交椭圆于A ，B 两点，P 为直线92x =-上一定点（不是与x 轴的交点），直线PA ，PF ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，3k .（1）判断1k ，2k ，3k 是否恒为等差数列，若是，给出证明；若不是，请说明理由；（2）对任意给定的点P ，是否都存在一条过点F 的直线AB ，使得1k ，2k ，3k 为等比数列？请说明理由. 22.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，()00,M x y 为抛物线上一定点，抛物线上两动点A ，B （与M 不重合），线段AB 的中垂线交对称轴于点Q ，且||FA ，||FM ，||FB 成等差数列.（1）求Q 点坐标； （2）若||3OQ =，5||2FM =，A ，B 两点在抛物线的准线上的投影分别为1A ，1B ，求四边形11ABB A 的面积取值范围.1、最困难的事就是认识自己。