2013年北京高考数学试题及答案(教研室真题)

2013年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．，但是B根据函数，函数满足=5．（5分）（2013•北京）在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=（）BsinA=，=．6．（5分）（2013•北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）的值为7．（5分）（2013•北京）双曲线的离心率大于的充分必要条件是（）Bb=．利用离心率建立解：双曲线，说明b=，等价于∴双曲线的离心率大于的充分必要条件是8．（5分）（2013•北京）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（）=，=到各顶点的距离的不同取值有，，二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（2013•北京）若抛物线y2=2px的焦点坐标为（1，0），则p=2；准线方程为x=﹣1．=1=110．（5分）（2013•北京）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为3．所以体积11．（5分）（2013•北京）若等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=2；前n 项和S n=2n+1﹣2．项和公式即可得出，∴12．（5分）（2013•北京）设D为不等式组表示的平面区域，区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为．=故答案为：13．（5分）（2013•北京）函数的值域为（﹣∞，2）．所以函数14．（5分）（2013•北京）已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为3．，根据，，，，解之得坐标满足不等式组|CF|=，d==×三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）（2013•北京）已知函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及最大值；（Ⅱ）若α∈（，π），且f（α）=，求α的值．（Ⅱ）通过，且T=，函数的最大值为：，，，又∵16．（13分）（2013•北京）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）P=17．（13分）（2013•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证：（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；（Ⅱ）BE∥平面PAD；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．18．（13分）（2013•北京）已知函数f（x）=x2+xsinx+cosx．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（a，f（a））处与直线y=b相切，求a与b的值；（Ⅱ）若曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同交点，求b的取值范围．，19．（14分）（2013•北京）直线y=kx+m（m≠0）与椭圆相交于A，C两点，O是坐标原点．（Ⅰ）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长；（Ⅱ）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．，（与椭圆的交点，从而解得y=代入椭圆方程得±，）AC=2与椭圆（20．（14分）（2013•北京）给定数列a1，a2，…，a n．对i=1，2，…，n﹣1，该数列前i项的最大值记为A i，后n﹣i项a i+1，a i+2，…，a n的最小值记为B i，d i=A i﹣B i．（Ⅰ）设数列{a n}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；（Ⅱ）设a1，a2，…，a n﹣1（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a1＞0．证明：d1，d2，…，d n﹣1是等比数列；（Ⅲ）设d1，d2，…，d n﹣1是公差大于0的等差数列，且d1＞0．证明：a1，a2，…，a n﹣1是等差数列．从而可证时，。

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷满分150分，考试时120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效， 第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{x |－1≤x <1}，则A ∩B 等于( )．A ．{0}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{－1,0,1}答案 B解析 ∵－1,0∈B,1∉B ，∴A ∩B ＝{－1,0}．2．设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( )．A ．ac >bc B.1a <1bC ．a 2>b 2D ．a 3>b 3 答案 D解析 当a >b 时，a 3>b 3成立．A 中对c ＝0不成立．B 项取a ＝1，b ＝－1，则1a <1b不成立；C 项取a ＝1，b ＝－2，则a 2>b 2不成立．3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )．A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg |x | 答案 C解析 A 中为奇函数，B 中y ＝e －x 非奇非偶函数．y ＝－x 2＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上递减．4．在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A解析 i(2－i)＝2i ＋1对应点(1,2)在第一象限．5．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B 等于( )． A.15 B.59 C.53 D ．1 答案 B解析 由正弦定理，a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b a sin A ＝53×13＝59. 6．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )．A ．1 B.23 C.1321 D.610987 答案 C解析 执行一次循环后S ＝23，i ＝1，执行第二次循环后，S ＝1321，i ＝2≥2， 退出循环体，输出S 的值为1321. 7．双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )．结束开始A ．m >12B ．m ≥1C ．m >1D ．m >2 答案 C 解析 由x 2－y 2m ＝1知，a ＝1，b ＝m ，∴c 2＝a 2＋b 2＝1＋m ，e 2＝c 2a 2＝1＋m ，由e >2，得1＋m >2，∴m >1.8. 如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，P 为对角线BD 1的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有( )．A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 答案 B解析 设正方体边长为1，不同取值为P A ＝PC ＝PB 1＝63， P A 1＝PD ＝PC 1＝1，PB ＝33，PD 1＝233共有4个．第二部分 二、填空题9．若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________；准线方程为________．答案 2 x ＝－1解析 y 2＝2px 的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0.∴p ＝2，准线l ：x ＝－p 2＝－1.10．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为_____________．答案 3解析 由三视图知，四棱锥的高h ＝1，底面是边长为3的正方形，∴四棱锥的体积V ＝13S ·h ＝13×32×1＝3.11．若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.答案 2 2n ＋1－2解析 设等比数列的公比为q ，由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40.∴20q ＝40，且a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得q ＝2，且a 1＝2.因此S n ＝a 1(1－q n )1－2＝2n ＋1－2.12．设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0表示的平面区域．区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．答案 255 解析A 1A作不等式组表示的平面区域，如图所示(△OAB 及其内部)，易观察知，所求最小值为点P (1,0)到2x －y ＝0的距离d ＝|2×1－0|22＋(－1)2＝255. 13．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________． 答案 (－∞，2)解析 当x ≥1时，log 12x ≤0；当x <1时，0<2x <2，∴f (x )的值域为(－∞，0]∪(0,2)＝(－∞，2)．14．已知点A (1，－1)，B (3,0)，C (2,1)．若平面区域D 由所有满足 AP →＝λAB →＋μAC →(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为________．答案 3解析 设P (x ，y )，且AB →＝(2,1)，AC →＝(1,2)∴OP →＝OA →＋AP →＝(1，－1)＋λ(2,1)＋μ(1,2)∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋2λ＋μy ＝－1＋λ＋2μ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3μ＝2y －x ＋33λ＝2x －y －3 又1≤λ≤2,0≤μ≤1∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤x －2y ≤36≤2x －y ≤9表示的可行域是平行四边形及内部． 可求其面积S ＝3.三、解答题（共6小题，共80分。

2013年普通高等学校招生全国统一考试第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合{}1,0,1A =-，{}|11B x x =-≤<，则AB =（ ）A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1- 2．设a ，b ，c R ∈，且a b >，则（ ）A ．ac bc >B ．11a b< C ．22a b > D ．33a b > 3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）A ．1y x=B ．x y e -=C ．21y x =-+ D ．lg y x = 4．在复平面内，复数(2)i i -对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．在ABC ∆中，3a =，5b =，1sin 3A =，则sin B =（ ）A ．15 B ．59 C D ．16．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．1B ．23C ．1321D ．6109877．双曲线221y x m-= A ．12m >B ．1m ≥C ．1m >D ．2m >8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点，则P 到各顶点的距离的不同取值有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个第二部分（选择题 共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)，则p = ，准线方程为 。

10．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 。

11．若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q = ；前n 项和n S = 。

12．设D 为不等式组02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为 。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学（文）带答案本试卷共5页，150分.考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。

考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。

第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每个小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}1,0,1A =-，{}|1B x x =-≤{}|11B x x =-≤＜,则A B =（A ）{}0（B ）{}-1,0（C ）{}0,1（D ）{}-1,0,1（2）设,,a b c R ∈,且a b >,则（A ）bc ac > （B ）11a b<（C ）22a b <（D ）33a b >（3）下列函数中，既是偶函数又在区间()0+∞，上单调递减的是（A ）1yx=(B)x y e-=（C ）21y x =-+ (D)lg y x =（4）在复平面内，复数()2i i -对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（5）在ABC ∆中，3a =，5b =,1sin 3A =,则sinB =（A ）15 错误！未找到引用源。

（B ）59（C （D ）1（6）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）11（B ）23（C ）321（D ）610987（7）双曲线221y x m-=C1A1C俯视图侧（左）视图正（主）视图（A）12m＞（B）1m≥（C）1m＞（D）2m＞(8)如图，在正方体1111ABCD A B C D- 1中，P为对角线1BD的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（A）3个（B）4个（C）5个（D）6个第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）若抛物线22y px=的焦点坐标为()1,0则p=____;准线方程为_____(10)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为__________.(11)若等比数列{}n a满足2420a a+=，3540a a+=，则公比q=__________;前n项nS=_____.(12)设D为不等式组0,2030xx yx y≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，表示的平面区域，区域D上的点与点{}1,0之间的距离的最小值为___________.(13)函数()f x=12,12,1xx xx≥⎧⎪⎨⎪<⎩㏒的值域为_________.（14）已知点()1,1A-，()3,0B，()2,1C.若平面区域D由所有满足AP AB ACλμ=+()12,01λμ≤≤≤≤的点P组成，则D的面积为__________.三、解答题共6小题，共80分。

2013 年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．1．（5 分）（2013?北京）已知会合A={ ﹣1，0，1} ，B={ x| ﹣1≤x＜1} ，则 A∩B=（）A．{ 0}B．{ ﹣1，0}C．{ 0，1}D．{ ﹣1，0，1}【剖析】找出 A 与 B 的公共元素，即可确立出两会合的交集．【解答】解：∵ A={ ﹣1，0， 1} ，B={ x| ﹣1≤x＜1} ，∴A∩B={ ﹣1，0} ．应选： B．2．（5 分）（2013?北京）在复平面内，复数（ 2﹣i）2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【剖析】化简复数为代数形式，求出复数对应点的坐标，即可判断复数对应点所在象限．【解答】解：复数（ 2﹣i）2=4﹣ 4i+i2=3﹣ 4i，复数对应的点（ 3，﹣ 4），所以在复平面内，复数（2﹣ i）2对应的点位于第四象限．应选： D．3．（5 分）（2013?北京）“φ =是π”“曲线 y=sin（ 2x+φ）过坐标原点”的（）A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件【剖析】依照充要条件的定义从两个方面去求①曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点，求出φ的值，② φ=π时，曲线 y=sin（ 2x+φ）过坐标原点．【解答】解：φ=π时，曲线 y=sin（2x+φ）=﹣sin2x，过坐标原点．可是，曲线 y=sin（2x+φ）过坐标原点，即O（0，0）在图象上，将（ 0，0）代入分析式整理即得sin φ=0，φ=kπ，k∈Z，不必定有φ=π．故“φ =π”是“曲线 y=sin（ 2x+φ）过坐标原点”的充足而不用要条件．应选： A．4．（5 分）（2013?北京）履行以下图的程序框图，输出的S 值为（）A．1B．C．D．【剖析】从框图赋值下手，先履行一次运算，而后判断运算后的i 的值与 2 的大小，知足判断框中的条件，则跳出循环，不然持续履行循环，直到条件知足为止．【解答】解：框图第一给变量i 和 S 赋值 0 和 1．履行，i=0+1=1；判断 1≥2 不行立，履行，i=1+1=2；判断 2≥2 成立，算法结束，跳出循环，输出S 的值为．应选： C．5．（5 分）（2013?北京）函数 f（x）的图象向右平移1 个单位长度，所得图象与曲线 y=e x对于 y 轴对称，则 f （x） =（）D．e A．e x 1B．e x 1C．e x 1x 1 +﹣﹣+﹣﹣【剖析】第一求出与函数y=e x的图象对于 y 轴对称的图象的函数分析式，而后换x 为 x+1 即可获得要求的答案．【解答】解：函数 y=e x的图象对于 y 轴对称的图象的函数分析式为y=e﹣x，而函数 f（x）的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象与曲线y=e x的图象对于 y 轴对称，﹣（x+1）﹣x﹣1﹣x﹣1所以函数 f（ x）的分析式为 y=e=e．即f（x）=e．6．（5 分）（2013?北京）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=± 2x B．C．D．【剖析】经过双曲线的离心率，推出a、 b关系，而后直接求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：由双曲线的离心率，可知c=a，又 a2+b2=c2，所以 b= a，所以双曲线的渐近线方程为：y==±x．应选： B．7．（5 分）（2013?北京）直线 l 过抛物线 C： x2=4y 的焦点且与 y 轴垂直，则 l 与C 所围成的图形的面积等于（）A．B．2C．D．【剖析】先确立直线的方程，再求出积分区间，确立被积函数，由此利用定积分可求直线 l 与抛物线围成的关闭图形面积．【解答】解：抛物线 x2=4y 的焦点坐标为（ 0，1），2∴直线 l 的方程为 y=1，由，可得交点的横坐标分别为﹣2，2．∴直线l 与抛物线围成的关闭图形面积为（= x﹣）|= ．应选： C．＞，8．（5 分）（2013?北京）设对于 x，y 的不等式组＜，表示的平面区＞域内存在点 P（x0，y0），知足 x0﹣2y0，求得m 的取值范围是（）=2A．，B．，C．，D．，＞，【剖析】先依据拘束条件＜，画出可行域．要使可行域存在，必有＞m＜﹣ 2m+1，要求可行域包括直线y= x﹣1 上的点，只需界限点（﹣ m，1﹣2m）在直线 y= x﹣1 的上方，且（﹣ m，m）在直线 y= x﹣ 1 的下方，从而建立对于 m 的不等式组，解之可得答案．＞，【解答】解：先依据拘束条件＜，画出可行域，＞要使可行域存在，必有m＜﹣ 2m+1，要求可行域包括直线 y= x﹣1 上的点，只要界限点（﹣ m，1﹣2m）在直线 y= x﹣1 的上方，且（﹣ m，m）在直线 y= x﹣1 的下方，＜故得不等式组＞，＜解之得： m＜﹣．应选： C．二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．（5 分）（2013?北京）在极坐标系中，点（2，）到直线ρsin θ的=2距离等于1．【剖析】先将点的极坐标化成直角坐标，极坐标方程化为直角坐标方程，而后用点到直线的距离来解．【解答】解：在极坐标系中，点，化为直角坐标为（，1），直线ρ sinθ =2化为直角坐标方程为y=2，（，1），到 y=2 的距离 1，即为点，到直线ρ sinθ的=2距离1，故答案为： 1．10．（ 5 分）（2013?北京）若等比数列 { a n} 知足 a2+a4=20， a3+a5 =40，则公比q= 2；前 n 项和 S n = 2n+1﹣2 ．【剖析】利用等比数列的通项公式和已知即可得出，解出即可获得 a1及 q，再利用等比数列的前n 项和公式即可得出．【解答】解：设等比数列 { a n} 的公比为 q，∵a2+a4=a2（1+q2） =20①a3+a5=a3（1+q2）=40②∴①②两个式子相除，可获得==2即等比数列的公比 q=2，将 q=2 带入①中可求出 a2=4则 a1= ==2∴数列 { a n} 时首项为 2，公比为 2 的等比数列．∴数列 { a n} 的前 n 项和为： S n ===2n+1﹣ 2．故答案为： 2，2n+1﹣2．11．（ 5 分）（2013?北京）如图， AB 为圆 O 的直径， PA为圆 O 的切线， PB 与圆O 订交于 D，若 PA=3，PD：DB=9：16，则 PD=，AB=4．【剖析】由 PD：DB=9：16，可设 PD=9x，DB=16x．利用切割线定理可得PA2=PD?PB，即可求出 x，从而获得 PD，PB． AB 为圆 O 的直径， PA 为圆 O 的切线，利用切线的性质可得 AB⊥PA．再利用勾股定理即可得出 AB．【解答】解：由 PD： DB=9： 16，可设 PD=9x，DB=16x．∵PA为圆 O 的切线，∴ PA2=PD?PB，∴ 32=9x?（ 9x+16x），化为，∴．∴PD=9x= ， PB=25x=5．∵ AB为圆 O 的直径， PA为圆 O 的切线，∴ AB⊥PA．∴==4．故答案分别为，4．12．（ 5 分）（2013?北京）将序分别为1，2，3，4，5 的 5 张观光券所有分给 4 人，每人起码 1 张，假如分给同一人的 2 张观光券连，那么不一样的分法种数是96．【剖析】求出 5 张观光券所有分给 4 人，每人起码 1 张，假如分给同一人的2张观光券连的组数，而后分给 4 人摆列即可．【解答】解：5 张观光券所有分给1和 2，2和3，3和 4，4和4 人，分给同一人的 2 张观光券连，方法数为：5，四种连，其余码各为一组，分给 4 人，共有4×=96 种．故答案为： 96．13．（5 分）（ 2013?北京）向量，，在正方形格中的地点以下图，若（λ，μ∈R），则= 4．【剖析】以向量、的公共点为坐标原点，成立如图直角坐标系，获得向量、、的坐标，联合题中向量等式成立对于λ、μ的方程组，解之得λ=﹣2且μ=﹣，即可获得的值．【解答】解：以向量、的公共点为坐标原点，成立如图直角坐标系可得 =（﹣ 1，1）， =（6，2）， =（﹣ 1，﹣ 3）∵，∴，解之得λ=﹣2 且μ=﹣所以，= =4故答案为： 414．（ 5分）（北京）如图，在棱长为2的正方体 1 1 11中，E为2013?ABCD﹣A B C DBC的中点，点 P 在线段 D1E 上，点 P 到直线 CC1的距离的最小值为．【剖析】以下图，取 B1C1的中点 F，连结 EF，ED1，利用线面平行的判断即可获得 C1C∥平面 D1EF，从而获得异面直线D1E 与 C1C 的距离．【解答】解：以下图，取B1C1的中点 F，连结 EF， ED1，∴CC1∥ EF，又 EF? 平面 D1EF，CC1?平面 D1EF，∴ CC1∥平面 D1 EF．∴直线 C1C 上任一点到平面 D1EF的距离是两条异面直线 D1E 与 CC1的距离．过点 C1作 C1M⊥D1F，∵平面 D1EF⊥平面 A1 B1C1D1．∴C1M ⊥平面 D1EF．过点 M 作 MP∥EF交 D1E 于点 P，则 MP∥C1C．取 C1N=MP，连结 PN，则四边形 MPNC1是矩形．可得 NP⊥平面 D1EF，在 Rt△D中，，得=．1C1F C1M?D1F=D1C1?C1 F∴点 P 到直线 CC 的距离的最小值为．1故答案为三、解答题共 6 小题，共 50 分．解答应写出文字说明，演算步骤15．（ 13 分）（ 2013?北京）在△ ABC中， a=3， b=2，∠ B=2∠A．（Ⅰ）求cosA 的值；（Ⅱ）求 c 的值．【剖析】（Ⅰ）由条件利用正弦定理和二倍角公式求得cosA 的值．（Ⅱ）由条件利用余弦定理，解方程求得 c 的值，再进行查验，从而得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由条件在△ ABC中， a=3，，∠ B=2∠A，利用正弦定理可得，即=．解得 cosA=．（Ⅱ）由余弦定理可得a2 =b2+c2﹣2bc?cosA，即 9=+c2﹣2×2×c×，即 c2﹣ 8c+15=0．解方程求得 c=5，或 c=3．当 c=3 时，此时 a=c=3，依据∠ B=2∠A，可得 B=90°，A=C=45°，△ ABC是等腰直角三角形，但此时不知足 a2+c2=b2，故舍去．当 c=5 时，求得 cosB== ， cosA==，2∴ cos2A=2cosA﹣1= =cosB，∴ B=2A，知足条件．综上， c=5．16．（ 13 分）（ 2013?北京）如图是展望到的某地5 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋向图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优秀，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染，某人随机选择 5 月 1 日至 5 月 13 日中的某一天抵达该市，并逗留 2天（Ⅰ）求这人抵达当天空气质量优秀的概率；（Ⅱ）设 X 是这人逗留时期空气质量优秀的天数，求X 的散布列与数学希望（Ⅲ）由判断从哪天开始三天的空气量指数方差最大？（不要求明）【剖析】（Ⅰ）由出 13 天内空气量指数小于100 的天数，直接利用古典概型概率算公式获得答案；（Ⅱ）由意可知 X 所有可能取0，1，2，得出 P（X=0），P（X=1），p（x=2）及散布列与数学希望；（Ⅲ）因方差越大，明三天的空气量指数越不定，由直接看出答案．【解答】解： A i表示事件“这人于 5 月 i 日抵达地”（ i=1， 2，⋯，13）依照意 P（A i）=，A i∩A j=?（i≠j）（Ⅰ） B 表示事件“这人抵达当天空气量良”，P（B）=⋯（3分）（Ⅱ） X 的所有可能取0，1，2P（X=0） =，P（X=1）=，P（X=2）=⋯（6分）∴ X 的散布列X012P⋯（8 分）∴ X 的数学希望 E（ X） =⋯（11分）（Ⅲ）从 5 月 5 日开始三天的空气量指数方差最大．⋯（13 分）17．（ 14 分）（2013?北京）如，在三棱柱ABC A1B1C1中， AA1C1C 是 4的正方形．平面 ABC⊥平面 AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求： AA1⊥平面 ABC；（Ⅱ）求二面角 A BC B 的余弦；111（Ⅲ）明：在段 BC 上存在点 D，使得 AD⊥A，并求的．B11【剖析】（I）利用 AA1C1C 是正方形，可得 AA1⊥AC，再利用面面垂直的性质即可证明；（II）利用勾股定理的逆定理可得 AB⊥AC．经过成立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可获得二面角；（III）设点 D 的竖坐标为 t，（0＜t ＜4），在平面 BCC1B1中作 DE⊥ BC于 E，可得D，，，利用向量垂直于数目积得关系即可得出．【解答】（I）证明：∵ AA1C1C 是正方形，∴ AA1⊥AC．又∵平面 ABC⊥平面 AA1C1C，平面 ABC∩平面 AA1 C1C=AC，∴AA1⊥平面 ABC．（II）解：由 AC=4，BC=5，AB=3．222∴ AC+AB =BC，∴ AB⊥AC．成立以下图的空间直角坐标系，则A1（ 0， 0， 4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），∴，，，，，，，，．设平面 A1 1 的法向量为，，，平面11的法向量为（ 2，y2，BC B BC= x z2）．则，令 y1，解得1，1，∴，，．=4x =0 z =3，令 x2，解得2，2，∴，，．=3y =4 z =0＜，＞===．∴二面角 A1﹣BC1﹣ B1的余弦值为．（ III）设点 D 的竖坐标为t，（0＜t ＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥ BCE，可得于D，，，∴= ，，，=（0，3，﹣ 4），∵，∴，∴，解得 t= ．∴．18．（ 13 分）（ 2013?北京）设 l 为曲线 C：y=在点（1，0）处的切线．（Ⅰ）求 l 的方程；（Ⅱ）证明：除切点（ 1，0）以外，曲线 C 在直线 l 的下方．【剖析】（Ⅰ）求出切点处切线斜率，代入代入点斜式方程，能够求解；（Ⅱ）利用导数剖析函数的单一性，从而剖析出函数图象的形状，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵∴∴l 的斜率 k=y′|x=1=1∴l 的方程为 y=x﹣1证明：（Ⅱ）令 f （x） =x（x﹣1）﹣ lnx，（x＞ 0）曲线 C 在直线 l 的下方，即 f（ x） =x（x﹣1）﹣ lnx＞0，则 f ′（x） =2x﹣1﹣ =∴ f（x）在（ 0， 1）上单一递减，在（ 1，+∞）上单一递加，又f（ 1） =0∴ x∈（ 0， 1）时， f（x）＞ 0，即＜x﹣ 1x∈（ 1，+∞）时， f （x）＞ 0，即＜x﹣ 1即除切点（1，0）以外，曲线 C 在直线l 的下方19．（ 14 分）（ 2013?北京）已知A， B，C 是椭圆W：上的三个点，O 是坐标原点．（Ⅰ）当点 B 是 W 的右极点，且四边形 OABC为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ）当点 B 不是 W 的极点时，判断四边形 OABC能否可能为菱形，并说明理由．【剖析】（I）依据 B 的坐标为（ 2， 0）且 AC 是 OB 的垂直均分线，联合椭圆方程算出 A、C 两点的坐标，从而获得线段 AC的长等于．再联合OB的长为2并利用菱形的面积公式，即可算出此时菱形OABC的面积；（ II）若四边形OABC为菱形，依据| OA| =| OC| 与椭圆的方程联解，算出A、C 的横坐标知足=r2﹣ 1，从而获得A、C的横坐标相等或互为相反数．再分两种状况加以议论，即可获得当点 B 不是 W 的极点时，四边形 OABC不行能为菱形．【解答】解：（I）∵四边形 OABC为菱形， B 是椭圆的右极点（ 2，0）∴直线 AC是 BO 的垂直均分线，可得AC方程为 x=1设 A（1，t），得，解之得t=（舍负）∴ A 的坐标为（ 1，），同理可得C的坐标为（1，﹣）所以， | AC| =，可得菱形OABC的面积为S= | AC| ?| BO| =；（II）∵四边形 OABC为菱形，∴ | OA| =| OC| ，设 | OA| =| OC| =r（r ＞1），得 A、 C 两点是圆 x2+y2 =r2与椭圆：的公共点，解之得=r2﹣1设 A、C 两点横坐标分别为x1、x2，可得 A、 C 两点的横坐标知足x1=x2=?，或1=?且x 2=﹣?，x①当 x12?时，可得若四边形为菱形，则B点必然是右极点=x =OABC（2，0）；②若 x1=?且x2=?，x1+x2=0，可得 AC的中点必然是原点O，所以 A、O、C 共，可得不存在足条件的菱形OABC上所述，可适当点 B 不是 W 的点，四形OABC不行能菱形．20．（ 13 分）（ 2013?北京）已知 { a n} 是由非整数成的无数列，数列前n的最大 A n，第 n 以后各 a n+1，a n+2⋯的最小 B n，d n =A n B n．（Ⅰ）若 { a n} 2，1，4，3，2，1，4，3⋯，是一个周期 4 的数列（即随意n∈N*， a n+4=a n），写出 d1， d2，d3，d4的；（Ⅱ） d 是非整数，明： d n = d（n=1，2，3⋯）的充足必需条件 { a n}是公差 d 的等差数列；（Ⅲ）明：若a1=2， d n=1（n=1， 2， 3，⋯）， { a n} 的只好是 1 或许 2，且有无多 1．【剖析】（Ⅰ）依据条件以及 d n =A n B n的定，直接求得 d1，d2，d3，d4的．（Ⅱ） d 是非整数，若 { a n} 是公差 d 的等差数列， a n=a1+（ n 1） d，从而得 d n=A n B n= d，（n=1，2，3，4⋯）．若 d n=A n B n= d，（ n=1，2，3，4⋯）．可得 { a n} 是一个不减的数列，求得 d n=A n B n = d，即 a n+1 a n =d，即 { a n} 是公差 d 的等差数列，命得．（Ⅲ）若a1=2， d n=1（n=1， 2， 3，⋯）， { a n } 的不可以等于零，再用反法得到{ a n} 的不可以超 2，从而得命．【解答】解：（Ⅰ）若 { a n } 2，1，4，3， 2，1， 4， 3⋯，是一个周期 4 的数列，∴ d1=A1B1=2 1=1，d2=A2B2 =2 1=1， d3=A3B3=4 1=3，d4=A4B4=4 1=3．（Ⅱ）充足性： d 是非整数，若 { a n} 是公差 d 的等差数列，a n=a1+（n 1）d，∴A n=a n=a1+（n 1）d，B n=a n+1=a1+nd，∴ d n=A n B n = d，（n=1， 2， 3， 4⋯）．必需性：若 d n =A n B n= d，（ n=1，2， 3，4⋯）．假 a k是第一个使 a k a k﹣1＜0的，d k=A k B k=a k﹣1 B k≥ a k﹣1 a k＞ 0，与 d n= d≤0 相矛盾，故 { a n} 是一个不减的数列．∴d n=A n B n=a n a n+1= d，即 a n+1 a n=d，故 { a n} 是公差 d 的等差数列．（Ⅲ）明：若 a1=2，d n=1（n=1， 2， 3，⋯），第一， { a n} 的不可以等于零，否d1=2 0=2，矛盾．并且能获得 { a n} 的不可以超 2，用反法明以下：假 { a n} 的中，有超 2 的， a m是第一个大于 2 的，因为 { a n} 的中必定有 1，否与 d1=1 矛盾．当 n≥m ， a n≥2，否与 d m=1 矛盾．所以，存在最大的 i 在 2 到 m 1 之，使 a i=1，此，d i =A i B i=2 B i≤2 2=0，矛盾．上， { a n} 的不可以超 2，故 { a n} 的只好是 1 或许 2．下边用反法明 { a n } 的中，有无多1．若 a k是最后一个 1， a k是后的各的最小都等于 2，故 d k=A k B k=2 2=0，矛盾，故 { a n} 的中，有无多1．上可得， { a n} 的只好是 1 或许 2，且有无多1．。

2013年高考理数真题试卷（北京卷）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（）A.{0}B.{﹣1，0}C.{0，1}D.{﹣1，0，1}2.“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.若双曲线x2a2−y2b2=1的离心率为√3，则其渐近线方程为（）A.y=±2xB.y=±√2xC.y=±12xD.y=±√22x4.设关于x，y的不等式组{2x−y+1＞0x+m＜0y−m＞0表示的平面区域内存在点P（x， y），满足x﹣2y=2，求得m的取值范围是（）A.(−∞,43)B.(−∞,13)C.(−∞,−23)D.(−∞,−53)第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题（题型注释）答案第2页，总12页……装…………○…………订………○…………线……※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题……装…………○…………订………○…………线……5.在极坐标系中，点（2， π6 ）到直线ρsinθ=2的距离等于 ．6.若等比数列{a n }满足a 2+a 4=20，a 3+a 5=40，则公比q= ；前n 项和S n = ．7.如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若PA=3，PD ：DB=9：16，则PD= ， AB= ．8.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 ．9.向量 a →， b →， c → 在正方形网格中的位置如图所示，若 c →=λa →+μb →（λ，μ∈R），则 λμ = ．10.如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为 ．三、解答题（题型注释）11.在△ABC 中，a=3，b=2 √6 ，∠B=2∠A．（1）求cosA 的值； （2）求c 的值．12.如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天…………○…………订…………○…………线…………○…：___________班级：___________考号：___________…………○…………订…………○…………线…………○…（1）求此人到达当日空气质量优良的概率；（2）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） 13.如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA 1C 1C ，AB=3，BC=5．（1）求证：AA 1⊥平面ABC ；（2）求证二面角A 1﹣BC 1﹣B 1的余弦值；（3）证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD⊥A 1B ，并求 BDBC 1的值．14.设l 为曲线C ：y=lnxx在点（1，0）处的切线． （1）求l 的方程；（2）证明：除切点（1，0）之外，曲线C 在直线l 的下方． 15.已知A ，B ，C 是椭圆W ： x 24+y 2=1 上的三个点，O 是坐标原点．（1）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；（2）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．16.已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ， 第n 项之后各项a n+1 ， a n+2…的最小值记为B n ， d n =A n ﹣B n ． （1）若{a n }为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N * ， a n+4=a n ），写出d 1 ， d 2 ， d 3 ， d 4的值；（2）设d 是非负整数，证明：d n =﹣d （n=1，2，3…）的充分必要条件为{a n }是公差为d 的等差数列；（3）证明：若a 1=2，d n =1（n=1，2，3，…），则{a n }的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．答案第4页，总12页…………线……………线…参数答案1.B【解析】1.解：∵A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}， ∴A∩B={﹣1，0}． 故选B【考点精析】认真审题，首先需要了解集合的交集运算(交集的性质：（1）A∩B A ，A∩B B ，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，则AB ，反之也成立)．2.A【解析】2.解：φ=π时，曲线y=sin （2x+φ）=﹣sin2x ，过坐标原点． 但是，曲线y=sin （2x+φ）过坐标原点，即O （0，0）在图象上，将（0，0）代入解析式整理即得sinφ=0，φ=kπ，k∈Z，不一定有φ=π． 故“φ=π”是“曲线y=sin （2x+φ）过坐标原点”的充分而不必要条件． 故选A ． 3.B【解析】3.解：由双曲线的离心率 √3 ，可知c= √3 a ， 又a 2+b 2=c 2 ， 所以b= √2 a ，所以双曲线的渐近线方程为：y= ±ba x =± √2 x ．故选B ． 4.C【解析】4.解：先根据约束条件 {2x −y +1＞0x +m ＜0y −m ＞0画出可行域，要使可行域存在，必有m ＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y= 12 x ﹣1上的点，只要边界点（﹣m ，1﹣2m ）在直线y= 12 x ﹣1的上方，且（﹣m ，m ）在直线y= 12 x ﹣1的下方，故得不等式组 {m ＜−2m +11−2m ＞−12−1m ＜−12m −1，解之得：m ＜﹣ 23 ．…外…………○…………装………○…………订………○…………线…………○…学校:___________姓名_________班级：___________考号：_______…内…………○…………装………○…………订………○…………线…………○…故选C ．5.1【解析】5.解：在极坐标系中，点 (2,π6) 化为直角坐标为（ √3 ，1），直线ρsinθ=2化为直角坐标方程为y=2，（ √3 ，1），到y=2的距离1，即为点 (2,π6) 到直线ρsinθ=2的距离1，所以答案是：1．【考点精析】关于本题考查的点到直线的距离公式，需要了解点到直线的距离为：才能得出正确答案．6.2；2n+1﹣2【解析】6.解：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2+a 4=20，a 3+a 5=40，∴ {a 1q +a 1q 3=20a 1q 2+a 1q 4=40，解得 {a 1=2q =2 ．∴ S n =a (q n −1)1q−1= 2×(2n −1)2−1 =2n+1﹣2．所以答案是：2，2n+1﹣2．【考点精析】本题主要考查了等比数列的通项公式（及其变式）和等比数列的前n 项和公式的相关知识点，需要掌握通项公式：；前项和公式：才能正确解答此题．7.95；4【解析】7.解：由PD ：DB=9：16，可设PD=9x ，DB=16x ． 2答案第6页，总12页外…………○…………装…………○…………订※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内内…………○…………装…………○…………订∴32=9x•（9x+16x ），化为 x 2=125 ，∴ x =15．∴PD=9x= 95 ，PB=25x=5．∵AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，∴AB⊥PA． ∴ AB =√PB 2−PA 2 = √52−32=4． 故答案分别为 95 ，4．8.96【解析】8.解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4× A 44=96种．所以答案是：96． 9.4【解析】9.解：以向量 a →、 b →的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系 可得 a →=（﹣1，1）， b →=（6，2）， c →=（﹣1，﹣3） ∵ c →=λa →+μb (λ,μ∈R)→ ∴ {−1=−λ+6μ−3=λ+2μ，解之得λ=﹣2且μ=﹣ 12因此， λμ = −2−12=4 所以答案是：4【考点精析】通过灵活运用平面向量的基本定理及其意义，掌握如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使即可以解答此题．10.2√55【解析】10.解：如图所示，取B 1C 1的中点F ，连接EF ，ED 1 ， ∴CC 1∥EF，又EF ⊂平面D 1EF ，CC 1⊄平面D 1EF ，………订…………○…………线…………○…___________考号：___________………订…………○…………线…………○…∴CC 1∥平面D 1EF ．∴直线C 1C 上任一点到平面D 1EF 的距离是两条异面直线D 1E 与CC 1的距离． 过点C 1作C 1M⊥D 1F ，∵平面D 1EF⊥平面A 1B 1C 1D 1 ． ∴C 1M⊥平面D 1EF ．过点M 作MP∥EF 交D 1E 于点P ，则MP∥C 1C ． 取C 1N=MP ，连接PN ，则四边形MPNC 1是矩形． 可得NP⊥平面D 1EF ，在Rt△D 1C 1F 中，C 1M•D 1F=D 1C 1•C 1F ，得 C 1M =√22+11=2√55． ∴点P 到直线CC 1的距离的最小值为 2√55． 所以答案是2√5511.（1）解：由条件在△ABC 中，a=3， b =2√6 ，∠B=2∠A， 利用正弦定理可得 a sinA =b sinB ，即 3sinA =2√6sin2A = 2√62sinAcosA ． 解得cosA= √63 ．（2）解：由余弦定理可得 a 2=b 2+c 2﹣2bc•cosA，即 9= (2√6)2+c 2﹣2×2 √6×c× √63 ， 即 c 2﹣8c+15=0．解方程求得 c=5，或 c=3．当c=3时，此时a=c=3，根据∠B=2∠A，可得 B=90°，A=C=45°， △ABC 是等腰直角三角形，但此时不满足a 2+c 2=b 2，故舍去． 当c=5时，求得cosB= a 2+c 2−b 22ac = 13 ，cosA= b 2+c 2−a 22bc = √63 ，∴cos2A=2cos 2A ﹣1= 13 =cosB ，∴B=2A，满足条件．综上，c=5．【解析】11.（1）由条件利用正弦定理和二倍角公式求得cosA 的值．（2）由条件利用余弦定理，解方程求得c 的值，再进行检验，从而得出结论．【考点精析】认真审题，首先需要了解正弦定理的定义(正弦定理:答案第8页，总12页…………○线…………○)，还要掌握余弦定理的定义(余弦定理:;;)的相关知识才是答题的关键．12.（1）解：设A i 表示事件“此人于5月i 日到达该地”（i=1，2，…，13） 依据题意P （A i ）= 113 ，A i ∩A j =∅（i≠j）设B 表示事件“此人到达当日空气质量优良”，则P （B ）= 613（2）解：X 的所有可能取值为0，1，2 P （X=0）= 513 ，P （X=1）= 413 ，P （X=2）= 413 ∴X 的数学期望为E （X ）= 1213（3）解：从5月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大【解析】12.（1）由图查出13天内空气质量指数小于100的天数，直接利用古典概型概率计算公式得到答案；（2）由题意可知X 所有可能取值为0，1，2，得出P （X=0），P （X=1），p （x=2）及分布列与数学期望；（3）因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图直接看出答案．【考点精析】通过灵活运用极差、方差与标准差，掌握标准差和方差越大，数据的离散程度越大；标准差和方程为0时，样本各数据全相等，数据没有离散性；方差与原始数据单位不同，解决实际问题时，多采用标准差即可以解答此题． 13.（1）证明：∵AA 1C 1C 是正方形，∴AA 1⊥AC．又∵平面ABC⊥平面AA 1C 1C ，平面ABC∩平面AA 1C 1C=AC ， ∴AA 1⊥平面ABC ．（2）解：由AC=4，BC=5，AB=3． ∴AC 2+AB 2=BC 2，∴AB⊥AC．建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1（0，0，4），B （0，3，0），B 1（0，3，4），C 1（4，0，4），∴ BC 1→=(4,−3,4) ， BA 1→=(0,−3,4) ， BB 1→=(0,0,4) ．设平面A 1BC 1的法向量为 n 1→=(x 1,y 1,z 1) ，平面B 1BC 1的法向量为 n 2→=（x 2，y 2，z 2）．………○…………装…………○学校:___________姓名：___________班………○…………装…………○则 {n 1→⋅BC 1→=4x 1−3y 1+4z 1=0n 1→⋅BA 1→=−3y 1+4z 1=0，令y 1=4，解得x 1=0，z 1=3，∴ n 1→=(0,4,3) ．{n 2→⋅BC 1→=4x 2−3y 2+4z 2=0n 2→⋅BA 1→=4z 2=0，令x 2=3，解得y 2=4，z 2=0，∴ n 2→=(3,4,0) ．cos〈n 1→⋅n 2→〉 = n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→|= √25⋅√25 = 1625 ．∴二面角A 1﹣BC 1﹣B 1的余弦值为 1625 ．（3）证明：设点D 的竖坐标为t ，（0＜t ＜4），在平面BCC 1B 1中作DE⊥BC 于E ，可得D (t,34(4−t),t) ，∴ AD → = (t,34(4−t),t) ， A 1B →=（0，3，﹣4），∵ AD →⊥A 1B → ，∴ AD →⋅A 1B →=0 ， ∴ 0+94(4−t)−4t =0 ，解得t= 3625 ．∴ BD BC 1=DE CC 1=925 ．【解析】13.（1）利用AA 1C 1C 是正方形，可得AA 1⊥AC，再利用面面垂直的性质即可证明；（2）利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC．通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；（3）设点D 的竖坐标为t ，（0＜t ＜4），在平面BCC 1B 1中作DE⊥BC 于E ，可得D (t,34(4−t),t) ，利用向量垂直于数量积得关系即可得出．【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一条直线与答案第10页，总12页相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能正确解答此题． 14.（1）解：∵ y =lnx x∴ y ′=1−lnxx 2∴l 的斜率k=y′|x=1=1 ∴l 的方程为y=x ﹣1（2）证明：令f （x ）=x （x ﹣1）﹣lnx ，（x ＞0）曲线C 在直线l 的下方，即f （x ）=x （x ﹣1）﹣lnx ＞0，则f′（x ）=2x ﹣1﹣ 1x =(2x+1)(x−1)x∴f（x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又f （1）=0 ∴x∈（0，1）时，f （x ）＞0，即 lnxx＜x ﹣1 x∈（1，+∞）时，f （x ）＞0，即lnxx＜x ﹣1 即除切点（1，0）之外，曲线C 在直线l 的下方【解析】14.（1）求出切点处切线斜率，代入代入点斜式方程，可以求解；（2）利用导数分析函数的单调性，进而分析出函数图象的形状，可得结论． 15.（1）解：∵四边形OABC 为菱形，B 是椭圆的右顶点（2，0） ∴直线AC 是BO 的垂直平分线，可得AC 方程为x=1 设A （1，t ），得 124+t 2=1 ，解之得t= √32 （舍负）∴A 的坐标为（1， √32 ），同理可得C 的坐标为（1，﹣ √32 ） 因此，|AC|= √3 ，可得菱形OABC 的面积为S= 12 |AC|•|B0|= √3 ；（2）解：∵四边形OABC 为菱形，∴|OA|=|OC|， 设|OA|=|OC|=r （r ＞1），得A 、C 两点是圆x 2+y 2=r 2 与椭圆W: x 24+y 2=1 的公共点，解之得 3x 24 =r 2﹣1设A 、C 两点横坐标分别为x 1、x 2，可得A 、C 两点的横坐标满足 x 1=x 2=2√33• √r 2−1 ，或x 1=2√33• √r 2−1 且x 2=﹣2√33• √r 2−1 ，①当x 1=x 2= 2√33• √r 2−1 时，可得若四边形OABC 为菱形，则B 点必定是右顶点（2，0）；②若x 1=2√33• √2−1 且x 2=﹣ 2√33• √2−1 ，则x 1+x 2=0，第11页，总12页…………线……………………线…………可得AC 的中点必定是原点O ，因此A 、O 、C 共线，可得不存在满足条件的菱形OABC 综上所述，可得当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能为菱形．【解析】15.（1）根据B 的坐标为（2，0）且AC 是OB 的垂直平分线，结合椭圆方程算出A 、C 两点的坐标，从而得到线段AC 的长等于 √3 ．再结合OB 的长为2并利用菱形的面积公式，即可算出此时菱形OABC 的面积；（2）若四边形OABC 为菱形，根据|OA|=|OC|与椭圆的方程联解，算出A 、C的横坐标满足 3x 24 =r 2﹣1，从而得到A 、C 的横坐标相等或互为相反数．再分两种情况加以讨论，即可得到当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能为菱形． 16.（1）解：若{a n }为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列，∴d 1=A 1﹣B 1=2﹣1=1，d 2=A 2﹣B 2=2﹣1=1，d 3=A 3﹣B 3=4﹣1=3，d 4=A 4﹣B 4=4﹣1=3．（2）证明：充分性：设d 是非负整数，若{a n }是公差为d 的等差数列，则a n =a 1+（n ﹣1）d ， ∴A n =a n =a 1+（n ﹣1）d ，B n =a n+1=a 1+nd ，∴d n =A n ﹣B n =﹣d ，（n=1，2，3，4…）．必要性：若 d n =A n ﹣B n =﹣d ，（n=1，2，3，4…）．假设a k 是第一个使a k ﹣a k ﹣1＜0的项， 则d k =A k ﹣B k =a k ﹣1﹣B k ≥a k ﹣1﹣a k ＞0，这与d n =﹣d≤0相矛盾，故{a n }是一个不减的数列． ∴d n =A n ﹣B n =a n ﹣a n+1=﹣d ，即 a n+1﹣a n =d ，故{a n }是公差为d 的等差数列．（3）证明：若a 1=2，d n =1（n=1，2，3，…），首先，{a n }的项不能等于零，否则d 1=2﹣0=2，矛盾．而且还能得到{a n }的项不能超过2，用反证法证明如下：假设{a n }的项中，有超过2的，设a m 是第一个大于2的项，由于{a n }的项中一定有1，否则与d 1=1矛盾．当n≥m 时，a n ≥2，否则与d m =1矛盾．因此，存在最大的i 在2到m ﹣1之间，使a i =1，此时，d i =A i ﹣B i =2﹣B i ≤2﹣2=0，矛盾． 综上，{a n }的项不能超过2，故{a n }的项只能是1或者2． 下面用反证法证明{a n }的项中，有无穷多项为1．若a k 是最后一个1，则a k 是后边的各项的最小值都等于2，故d k =A k ﹣B k =2﹣2=0，矛盾， 故{a n }的项中，有无穷多项为1．综上可得，{a n }的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．答案第12页，总12页………○…………线………※※题※※………○…………线………【解析】16.（1）根据条件以及d n =A n ﹣B n 的定义，直接求得d 1 ， d 2 ， d 3 ， d 4的值．（2）设d 是非负整数，若{a n }是公差为d 的等差数列，则a n =a 1+（n ﹣1）d ，从而证得d n =A n ﹣B n =﹣d ，（n=1，2，3，4…）．若d n =A n ﹣B n =﹣d ，（n=1，2，3，4…）．可得{a n }是一个不减的数列，求得d n =A n ﹣B n =﹣d ，即 a n+1﹣a n =d ，即{a n }是公差为d 的等差数列，命题得证．（3）若a 1=2，d n =1（n=1，2，3，…），则{a n }的项不能等于零，再用反证法得到{a n }的项不能超过2，从而证得命题．【考点精析】关于本题考查的等差关系的确定和等比关系的确定，需要了解如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N ）那么这个数列就叫做等差数列；等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n 项和法进行判断才能得出正确答案．。

2013年高考真题——理科数学(北京卷)解析版2013北京高考理科数学试题及答案解析第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题。

每小题5分，共40分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合A={－1，0，1}，B={x|－1≤x＜1}，则A∩B= ( )A.{0}B.{－1，0}C.{0，1}D.{－1,0,1}2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x＋φ)过坐标原点的”A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为A.1B.23 C.1321D.610987值范围是A.4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D. 5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分. 9.在极坐标系中，点(2，6π)到直线ρsin θ=2的距离等于10.若等比数列{a n }满足a 2＋a 4=20，a 3＋a 5=40，则公比q = ；前n 项和S n = . 11.如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，PA=3，916PD DB =，则PD= ，AB= .12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 .13.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa＋μb(λ，μ∈R)，则λ=μ14.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 .三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演2013年普通高等学校招生统一考试算步骤或证明过程15. (本小题共13分)在△ABC中，a=3，b6，∠B=2∠A.(I)求cos A的值，(II)求c的值16.(本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率 （Ⅱ）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望。

2013北京高考理科数学试题第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题。

每小题5分，共40分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合A={－1，0，1}，B={x|－1≤x＜1}，则A∩B= ( )A.{0}B.{－1，0}C.{0，1}D.{－1,0,1}【答案】B【难度】容易【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系.在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算.在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解.2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。

在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。

在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。

3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x＋φ)过坐标原点的” ( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】. 【难度】容易【点评】本题考察简易逻辑关系，.在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，例题中有完全相同类型题目的计算.在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合、简易逻辑相关知识的总结讲解.4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为 ( )A.1B.23 C.1321D.610987【答案】C【解析】【难度】中等【点评】本题算法初步。

在高二数学（理）强化提高班上学期，第一章《算法初步》有详细讲解，其中第02讲有完全相似的题目。

在高考精品班数学（理）强化提高班中有对程序框图题目相关的总结讲解。

5.函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y=e x关于y 轴对称，则f(x)= ( )A.1e x +B. 1e x -C. 1e x -+D. 1e x -- 【答案】D 【解析】【难度】中等【点评】本题考查分段函数值域求解。

绝密★启封前 机密★使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合{}101A =-，，，{}|11B x x =-<≤，则A B = 【 】 A ．{}0 B ．{}10-，C ．{}01，D ．{}101-，， （2）在复平面内，复数()22i -对应的点位于【 】A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（3）“πϕ=”是“曲线()sin 2y x ϕ=+过坐标原点”的【 】A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为【 】A ．1B ．23C ．1321 D ．610987（5）函数()f x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x =【 】A ．1e x +B ．1e x -C ．1e x -+D ．1e x --（6）若双曲线22221x y a b-=的离心率为3，则其渐近线方程为【 】A ．2y x =±B ．2y x =±C ．12y x =±D ．22y x =±（7）直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于【 】否是结束输出S i ≥2i =i +1S =S 2+12S +1i =0, S =1开始A ．43B ．2C ．83D ．1623（8）设关于x ，y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩，，表示的平面区域内存在点()00P x y ，，满足0022x y -=，求得m 的取值范围是【 】A ．43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，B ．13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， C ．23⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭， D ．53⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）在极坐标系中，点π26⎛⎫ ⎪⎝⎭，到直线sin 2ρθ=的距离等于 ．（10）若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q = ；前n 项和n S = ．（11）如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若3PA =，:9:16PD DB =，则PD = ，AB = ．（12）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 ．（13）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若()c a b λμλμ=+∈R ，，则λμ= ． （14）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点P 到直线1CC 的距离的最小值为 ．三、解答题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤（15）本小题共（13分）BAPD OabcEP D CB AC 1B 1A 1D 1在ABC △中，3a =，26b =，2B A ∠=∠． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求c 的值．（16）（本小题共13分）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天．空气质量指数日期14日13日12日11日10日9日8日7日6日5日4日3日2日1日03779861581211602174016022014357258650100150200250（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；（Ⅱ）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望； （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） （17）（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA C C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面11AA C C ，3AB =，5BC =．（Ⅰ）求证：1AA ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求证二面角111A BC B --的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥，并求1BDBC 的值.（18）（本小题共13分） 设l 为曲线ln :xC y x=在点()1,0处的切线． （Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）证明：除切点()1,0之外，曲线C 在直线l 的下方．C 1B 1A 1ABC（19）（本小题共14分）已知,,A B C 是椭圆22:14x W y +=上的三个点，O 是坐标原点.（Ⅰ）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积; （Ⅱ）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由.（20）（本小题共13分）已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项12,n n a a ++ 的最小值记为n B ，n n n d A B =-．（Ⅰ）若{}n a 为2,1,4,3,2,1,4,3…，是一个周期为4的数列（即对任意*n ∈N ，4n n a a +=），写出1234,,,d d d d 的值;（Ⅱ）设d 是非负整数，证明：()1,2,3n d d n =-= 的充分必要条件为{}n a 是公差为d 的等差数列;（Ⅲ）证明：若12a =，()11,2,3,n d n == ，则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.要使可行域存在，必有m<－2m+1，要求可行域内包含直线112y x=-上的点，只要边界点(－m，1－2m)在直线112y x=-上方，且(-m，m)在直线112y x=-下方，解不等式组1211212112m mm mm m⎧⎪<-⎪⎪->--⎨⎪⎪<--⎪⎩得m＜23-绝密★启封前 机密★使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

2013年北京市高考数学文科试卷（有答案）绝密★启用并使用完毕2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学（文）本试卷共5页，150分.考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。

考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题。

每小题5分，共40分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

（1）已知集合A=｛-1，0，1｝，B=｛x|-1≤x（A）｛0｝（B）｛-1，,0｝（C）{0，1}（D）｛-1，,0，1}（2）设a,b,c∈R,且a（A）ac>bc（B）b2（D）a3>b3（3）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是（A）y=(B)y=e-3（C）y=x2+1(D)y=lg∣x∣（4）在复平面内，复数i（2-i）对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（5）在△ABC中，a=3,b=5,sinA=,则sinB（A）（B）（C）（D）1（6）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（A）1（B）（C）（D）（7）双曲线x²-=1的离心率大于的充分必要条件是（A）m＞（B）m≥1（C）m大于1（D）m＞2(8)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（A）3个（B）4个（C）5个（D）6个第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分。

（9）若抛物线y2=2px的焦点坐标为（1,0）则p=____;准线方程为_____(10)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为__________.(11)若等比数列｛an｝满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=__________;前n项sn=_____.(12)设D为不等式组，表示的平面区域，区域D上的点与点（L，0）之间的距离的最小值为___________.(13)函数f（x）=的值域为_________.（14）已知点A（1，-1），B（3，0），C（2，1）.若平面区域D由所有满足AP=λAB+μAC（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为__________.三、解答题共6小题，共80分。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(北京卷)第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．(2013北京，文1)已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x＜1}，则A∩B＝( )．A．{0} B．{－1,0} C．{0,1} D．{－1,0,1}2．(2013北京，文2)设a，b，c∈R，且a＞b，则( )．A．ac＞bc B．11<a b C．a2＞b2 D．a3＞b33．(2013北京，文3)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )．A．1yxB．y＝e－x C．y＝－x2＋1 D．y＝lg |x|4．(2013北京，文4)在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( )．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．(2013北京，文5)在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝13，则sin B＝( )．A．15 B．59 C．3 D．16．(2013北京，文6)执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )．A．1 B．23 C．1321 D．6109877．(2013北京，文7)双曲线x2－2ym＝1的充分必要条件是( )．A．m＞12 B．m≥1 C．m＞1 D．m＞28．(2013北京，文8)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有( )．A．3个 B．4个 C．5个 D．6个第二部分(非选择题共110分) 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．(2013北京，文9)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝__________；准线方程为__________．10．(2013北京，文10)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为__________．11．(2013北京，文11)若等比数列{a n}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝__________；前n项和S n＝__________.12．(2013北京，文12)设D为不等式组0,20,30xx yx y≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为__________．13．(2013北京，文13)函数f(x)＝12log,1,2,1,xx xx≥⎧⎪⎨⎪<⎩的值域为__________．14．(2013北京，文14)已知点A(1，－1)，B(3,0)，C(2,1)．若平面区域D由所有满足AP＝λAB ＋μAC(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成，则D的面积为__________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．(2013北京，文15)(本小题共13分)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋12cos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，且f(α)＝2，求α的值．16．(2013北京，文16)(本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；(2)求此人在该市停留时间只有1天空气重度污染的概率；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结果不要求证明)17．(2013北京，文17)(本小题共14分)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.19．(2013北京，文19)(本小题共14分)直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：24x＋y2＝1相交于A，C两点，O是坐标原点．(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．20．(2013北京，文20)(本小题共13分)给定数列a1，a2，…，a n，对i＝1,2，…，n－1，该数列的前i 项的最大值记为A i，后n－i项a i＋1，a i＋2，…，a n的最小值记为B i，d i＝A i－B i.(1)设数列{a n}为3,4,7,1，写出d1，d2，d3的值；(2)设a1，a2，…，a n(n≥4)是公比大于1的等比数列，且a1＞0.证明：d1，d2，…，d n－1是等比数列；(3)设d1，d2，…，d n－1是公差大于0的等差数列，且d1＞0.证明：a1，a2，…，a n－1是等差数列．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(北京卷)第一部分(选择题 共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．答案：B解析：集合A 中的元素仅有－1,0,1三个数，集合B 中元素为大于等于－1且小于1的数，故集合A ，B 的公共元素为－1,0，故选B.2．答案：D解析：A 选项中若c 小于等于0则不成立，B 选项中若a 为正数b 为负数则不成立，C 选项中若a ，b 均为负数则不成立，故选D.3．答案：C解析：A 选项为奇函数，B 选项为非奇非偶函数，D 选项虽为偶函数但在(0，＋∞)上是增函数，故选C. 4．答案：A解析：i(2－i)＝1＋2i ，其在复平面上的对应点为(1,2)，该点位于第一象限，故选A.5．答案：B解析：根据正弦定理，sin sin a b A B =，则sin B ＝b a sin A ＝515339⋅=，故选B. 6．答案：C 解析：i ＝0时，向下运行，将212213S S +=+赋值给S ，i 增加1变成1，经判断执行否，然后将21132121S S +=+赋值给S ，i 增加1变成2，经判断执行是，然后输出1321S =，故选C. 7．答案：C解析：该双曲线离心率1e =m ＞1，故选C.8．答案：B解析：设正方体的棱长为a .建立空间直角坐标系，如图所示．则D (0,0,0)，D 1(0,0，a )，C 1(0，a ，a )，C (0，a,0)，B (a ，a,0)，B 1(a ，a ，a )，A (a,0,0)，A 1(a,0，a )，P 221,,333a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则|PB |=，|PD |a =，|1PD |=，|1PC |＝|1PA |a =，|PC |＝|PA |3a =， |1PB |=， 故共有4个不同取值，故选B.第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．答案：2 x ＝－1解析：根据抛物线定义12p =，∴p ＝2，又准线方程为x ＝2p -＝－1，故填2，x ＝－1. 10．答案：3解析：由三视图知该四棱锥底面为正方形，其边长为3，四棱锥的高为1，根据体积公式V ＝13×3×3×1＝3，故该棱锥的体积为3.11．答案：2 2n ＋1－2解析：根据等比数列的性质知a 3＋a 5＝q (a 2＋a 4)，∴q ＝2，又a 2＋a 4＝a 1q ＋a 1q 3，故求得a 1＝2， ∴S n ＝21212n (-)-＝2n ＋1－2. 12．答案：5解析：区域D 表示的平面部分如图阴影所示：根据数形结合知(1,0)到D 的距离最小值为(1,0)到直线2x －y ＝0的距离=13．答案：(－∞，2)解析：当x ≥1时，1122log log 1x ≤，即12log 0x ≤，当x ＜1时，0＜2x ＜21，即0＜2x＜2；故f (x )的值域为(－∞，2)．14．(2013北京，文14)已知点A (1，－1)，B (3,0)，C (2,1)．若平面区域D 由所有满足AP ＝λAB ＋μAC (1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为__________．答案：3解析：AP ＝λAB ＋μAC ，AB ＝(2,1)，AC ＝(1,2)．设P (x ，y )，则AP ＝(x －1，y ＋1)． ∴12,12,x y λμλμ-=+⎧⎨-=+⎩得23,323,3x y y x λμ--⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩∵1≤λ≤2,0≤μ≤1，可得629,023,x y x y ≤-≤⎧⎨≤-≤⎩如图．可得A 1(3,0)，B 1(4,2)，C 1(6,3)，|A 1B 1|=，两直线距离d ==， ∴S ＝|A 1B 1|·d ＝3.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．解：(1)因为f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x ＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x ＝12(sin 4x ＋cos 4x )＝π424x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为2.(2)因为f (α)＝2，所以πsin 414α⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 因为α∈π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以4α＋π4∈9π17π,44⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以π5π442α+=.故9π16α=. 16．解：(1)在3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是613. (2)根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”． 所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为413. (3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．17．证明：(1)因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且PA 垂直于这两个平面的交线AD ，所以PA ⊥底面ABCD .(2)因为AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点，所以AB ∥DE ，且AB ＝DE .所以ABED 为平行四边形．所以BE ∥AD .又因为BE ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以BE ∥平面PAD .(3)因为AB ⊥AD ，而且ABED 为平行四边形，所以BE ⊥CD ，AD ⊥CD .由(1)知PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD .所以CD ⊥平面PAD .所以CD ⊥PD .因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点，所以PD ∥EF .所以CD ⊥EF .所以CD ⊥平面BEF .所以平面BEF ⊥平面PCD .18．解：由f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x ，得f ′(x )＝x (2＋cos x )．(1)因为曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，所以f ′(a )＝a (2＋cos a )＝0，b ＝f (a )．解得a ＝0，b ＝f (0)＝1.(2)令f ′(x )＝0，得x ＝0.f (x )与f ′(x )所以函数f (x )在区间(＝1是f (x )的最小值． 当b ≤1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 最多只有一个交点；当b ＞1时，f (－2b )＝f (2b )≥4b 2－2b －1＞4b －2b －1＞b ，f (0)＝1＜b ，所以存在x 1∈(－2b,0)，x 2∈(0,2b )，使得f (x 1)＝f (x 2)＝b. 由于函数f (x )在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，所以当b ＞1时曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有且仅有两个不同交点．综上可知，如果曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，那么b 的取值范围是(1，＋∞)． 19．解：(1)因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设A 1,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得21144t +=，即t =所以|AC |＝(2)假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0.由2244,x y y kx m⎧+=⎨=+⎩消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 则1224214x x km k +=-+，121222214y y x x m k m k++=⋅+=+. 所以AC 的中点为M 224,1414km m k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0，所以直线OB 的斜率为14k -. 因为k ·14k ⎛⎫- ⎪⎝⎭≠－1，所以AC 与OB 不垂直． 所以四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．20．解：(1)d 1＝2，d 2＝3，d 3＝6.(2)因为a 1＞0，公比q ＞1，所以a 1，a 2，…，a n 是递增数列．因此，对i ＝1,2，…，n －1，A i ＝a i ，B i ＝a i ＋1.于是对i ＝1,2，…，n －1，d i ＝A i －B i ＝a i －a i ＋1＝a 1(1－q )q i －1.因此d i ≠0且1i id q d +=(i ＝1,2，…，n －2)， 即d 1，d 2，…，d n －1是等比数列．(3)设d 为d 1，d 2，…，d n －1的公差．对1≤i ≤n －2，因为B i ≤B i ＋1，d ＞0，所以A i＋1＝B i＋1＋d i＋1≥B i＋d i＋d＞B i＋d i＝A i.又因为A i＋1＝max{A i，a i＋1}，所以a i＋1＝A i＋1＞A i≥a i.从而a1，a2，…，a n－1是递增数列．因此A i＝a i(i＝1,2，…，n－1)．又因为B1＝A1－d1＝a1－d1＜a1，所以B1＜a1＜a2＜…＜a n－1.因此a n＝B1.所以B1＝B2＝…＝B n－1＝a n.所以a i＝A i＝B i＋d i＝a n＋d i.因此对i＝1,2，…，n－2都有a i＋1－a i＝d i＋1－d i＝d，即a1，a2，…，a n－1是等差数列．。

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷满分150分，考试时120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合{}1,0,1A =-，{}|11B x x =-≤<，则A B =（ ）A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．设a ，b ，c R ∈，且a b >，则（ ）A ．ac bc >B ．11a b< C ．22a b > D ．33a b > 3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）A ．1y x= B ．x y e -= C ．21y x =-+ D ．lg y x = 4．在复平面内，复数(2)i i -对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．在ABC ∆中，3a =，5b =，1sin 3A =，则sinB =（ ）A ．15B ．59C D ．1 6．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．1B ．23C ．1321D ．6109877．双曲线221y x m -=的充分必要条件是A ．12m > B ．1m ≥ C ．1m > D ．2m >8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点，则P 到各顶点的距离的不同取值有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个第二部分（选择题 共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)，则p = ，准线方程为 。

10．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 。

11．若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q = ；前n 项和n S = 。