线性代数复习

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线性代数复习要点

2
2、初等变换的性质 (1) 对调变换使得行列式的值反号； (2) 倍乘变换只是放大或缩小行列式的值； (3) 倍加变换不改变行列式的值． 3、加法原理：若行列式的某一行（或列）的元都是两数之和，则此行列式等于两个行列式的和． 4、乘积法则：对任何 n 阶矩阵 A 和 B ，均有 | AB | | Α | | B | ． 5、转置运算不改变行列式的值．三、行列式的计算 1、典型方法：三角化方法、降阶法、归纳法、递推法、分拆法、升阶法． 2、设 A 为 n 阶矩阵， k 为任意数，则 kA k A ．
1 * * 1 * T T *
4、 ( A ) ( A ) , ( A ) ( A ) , ( A ) ( A ) ．
T 1
AT A 5、 B
T
， T B B
1
A T A
T
BT ；
A1 A 当 A, B 可逆时，有 B
一、行列式的概念
n 阶行列式 A 或 det A 是 n 阶矩阵 A [aij ] 按下述运算法则得到的一个算式：当 n 1 时， A a11 a11 ；当 n 2 时，
A a11 A11 a12 A12
这里 A1 j (1)
三、分块矩阵的求逆公式当 A, B 可逆时，有
， 1 B B
A 1 A
1
B 1 ．
A 1 A C 0 B 0
四、重要结论
1
A1 A1CB 1 A 0 ， 1 1 B 1 C B B CA
(5) rank
A 0 0 rankA rankB ， rank 0 B B

线性代数重点复习(16页)

齐次线性方程组给出系数矩阵，
1
非齐次线性方程组给出增广矩阵。
对矩阵进行初等行变换得到行最
2
简形。
3
把行最简形矩阵写回线性方程组的形式。
4
给出方程组的通解。
若线性方程组的系数带有未知数，需分各种情况讨论，灵活处理。
相似矩阵与二次型 05 Guidance for Final Exams at XXX University in 2025 2025
交向量组，由此便可得到相应的正交变换矩阵和相似对
角矩阵。
2025
马到成功！
XXX大学2025年期末考试指导
2025
公众号:安全生产管理
线性代数复习重点
第一章行列式 01 Guidance for Final Exams at XXX University in 2025 2025
容易出选择填空题的内容：
(1)求逆序数； (2)含某个因子的项（注意正负号）； (3)与余子式或代数余子式相关的内容； (4)已知 |A| 求某个与A相关的行列式。。
第三章向量空间 03 Guidance for Final Exams at XXX University in 2025 2025
向量空间
本章提到的的性质和定理较多，需要灵活运用。
容易出选择填空题的内容：二 (1)向量的加法、数乘和内积运算； (2)线性相关和线性无关的定义，以及它们与向量组秩的关系（线性无关意
容易出大题的内容：行列式的计算。其中，若已知行列式的阶数和每个元素的数值，则问题很简单，但要注意，对于2阶和3阶行列式，可用划斜线的方式（对角线法则）来计算。而对于4 阶或更高阶的行列式，不能采用对角线法则计算，此时必须利用行列式的性质将其化为上三角行列式从而得出结果，或者当某一行（列）非零元很少时，运用展开定理将该行（列）展开从而得到经过降阶的行列式计算。对于n阶行列式的情形或者行列式元素中出现未知数，求解的难度较大，需要灵活的结合运用行列式的性质和展开定理。一般来说，考试中都会出课本中已有的例题、习题，或者非常相似的题目。

线性代数--总复习

1 λ + 2 1 −4 − 5λ 1 −2
可见, 当λ=-4/5时, R(A)=2, R(A|b)=3, 方程组无解. 当λ≠-4/5, 且λ≠-1时 R(A)=R(A|b)=3, 方程组有唯一解.
当λ=-1时, 有
1 −1 −2 1 1 −1 0 3 ( A | b) → 0 0 1 1 → 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0
第三章向量线性关系秩
1. 理解n维向量的概念以及向量的线性运算; 2. 理解向量组的线性组合与线性表示的概念; 3. 理解向量组线性相关, 线性无关的定义, 了解并会用向量组线性相关, 线性无关的有关性质及判别法; 4. 理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念, 会求向量组的极大无关组和秩，理解向量组等价的概念; 5. 理解矩阵秩的概念及与向量组秩的关系及其计算．
0 2/3 0 B = 6 0 3/ 4 0 0 0 6/ 7
−1
0 3 0 0 1/ 3 0 = 0 2 0 0 1/ 4 0 0 0 1/ 7 0 0 1
49页：10, 11, 12, 18
第六章矩阵的特征值与特征向量
1. 了解矩阵的特征值和特征向量的概念及其求法; 2. 了解矩阵的特征值和特征向量的性质; 3. 了解相似矩阵的概念及性质; 4. 掌握将(实对称)矩阵(正交)相似对角化的方法.
第七章二次型
1. 掌握二次型及其矩阵表示, 了解二次型秩的概念, 了解合同变换与合同矩阵的概念, 了解二次型的标准形和规范形的概念以及惯性定理; 2. 掌握用正交变换化二次型为标准形的方法, 会用配方法化二次型为标准形; 3. 理解正定二次型和正定矩阵的概念, 掌握其判别法.

线性代数复习

线性代数复习一、行列式1、概念：余子式，代数余子式（对方阵而言）2、重要性质：|k A|=k n|A|（A为n阶矩阵）；行列式的倍加行（列）变换其值不变；3、克拉默法则：※方程组Ax=B，x j=D j/D（D是系数矩阵行列式，D j是常数项替换系数矩阵第j列后得到的矩阵的行列式）二、矩阵1、概念：系数矩阵、增广矩阵、单位矩阵（I、E）、对角矩阵、上（下）三角矩阵、转置矩阵、（反）对称矩阵、伴随矩阵、逆矩阵2、重要性质：(k A)-1=k-1A-1|A-1|=|A|-1(A*)*=|A|n-2A A*A=|A|E矩阵的初等变换：初等矩阵前乘为行变换；后乘为列变换。

初等倍乘矩阵E i(c)，表示将A的第i行（列）乘c。

初等倍加矩阵E ij(c)，表示将A的第i行（列）乘c加至第j行（列）。

初等对换矩阵E ij表示将A的第i和第j行互换。

A可逆，（A,E）--------对A,E同时做同样的初等行变换--------（E,A-1）3、分块矩阵求行列式A 0 其中A，B为方阵。

|Q|=|A||B|。

0 B0 A 其中A，B为m，n阶方阵。

|Q|=(-1)mn|A||B|。

B 0A B |Q|=|A||D-CA-1B|。

C D三、线性方程组1、概念：线性相关（线性无关）、秩、极大线性无关组、自由未知量2、重要性质：①判断多个向量间的线性相关关系：系数k i不全为零，∑k i a i=0（定义）向量组有一部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关。

各向量组成的矩阵A=(a T1,a T2,…,a T n)的行列式为0。

向量组b1,b2,…,b t能被a1,a2,…,a s线性表示且t>s，则b1,b2,…,b t线性相关。

②a4能否被a1,a2,a3（或更多向量）向量组线性表示？(a T1,a T2,a T3)(x1,x2,x3)T= a T4，有解即能线性表示，解即为对应各向量系数。

③矩阵的秩矩阵A m*n的秩等于行秩、等于列秩、恒不大于min{m,n}。

线性代数复习课

(i)λi 为 A 的特征值 ⇔ λi E − A 不可逆 ⇔ λi E − A = 0；
(ii) 设 λi 为 A 的特征值，ηi (ηi ≠ 0) 为 A 属于 λi 的特征向量，则 Aηi =λiηi；
n
n
∑ ∑ (iii)= A λ1λ2λn，tr= ( A) = aii λi；
=i 1=i 1
A= A* A= * A A E、A* = A n−1 、A* = A A−1
(3) r( A) 与 r( A* ) 的关系
n 当 r( A) = n； r( A* )= 1 当 r( A)= n − 1；
0 当 r( A) < n − 1.
6. 可逆矩阵 (1) 定义； (2) 矩阵可逆的等价命题；
(i) 计算 A的全部特征值；
(ii) 对每一个不同的特征值 λi，求出属于 λi 的线性
无关的特征向量 (即求出齐次线性方程组
(λi E − A)X = 0 的一个基础解系)；
λ1
(iii)令 U
(η= 1 η2 ηn )，则 U −1 AU
λ2
.
λn
A 属于不同特征值的特征向量必线性无关.
(1) 化三角形法 (行列式的性质)； (2) 行列式按行、列展开定理及推论； *(3) 数学归纳法.
*3. 克莱姆法则
二、线性方程组 1. n 维向量 (1)向量定义及运算 (加法、数量乘法、内积)； (2)向量组线性组合、线性表出及等价 (判定定理)； (3)向量组线性相关及线性无关 (判定定理)； (4)向量组的秩及极大线性无关组；
n 阶矩阵 A 可逆 ⇔ A ≠ 0 ⇔ 存在 n 阶矩阵 B 使= AB E (= 或 BA E) ⇔ r( A) = n ⇔ A的行 (列)向量组线性无关 ⇔ A的标准形为En ⇔ A的所有特征值均大于0

线性代数-要点考点复习

六、行列式的计算
1.基本计算方法 (1)化三角形法 (2)展开法(降阶法)
展开前尽量化 0 按特殊的一行、列展开按0多的一行、列展开
2.常见行列式的计算方法
(1)各行(列)和相等
b a"a
a b"a
# #%#
a a"b
a1 + b a2 " an
a1 a2 + b " an
#
#%#
a1
a2 " an + b
2.向量的长度及其性质向量的单位化 (标准化 ) 3.向量的正交 (1)夹角 (2)正交 (3)求与一个或几个向量均正交的向量解齐次方程组由部分特征向量求实对称矩阵的其余特征向量
(4)正交向量组与标准正交向量组
4.施密特正交化方法
向量组的正交化
向量组的标准正交化
六、正交矩阵
1.定义 AT A = I
QT AQ = Λ QT AkQ = Λk Ak = QΛkQT
( ) AX = 0与 AT A X = 0同解 : ( ) AX = 0 ⇒ AT A X = AT ( AX ) = 0 ( ) ( ) AT A X = 0 ⇒ XT AT A X = 0
⇒ ( AX )T ( AX ) = 0
⇒ AX = 0
第一章行列式
复习要点 :
一、排列及其逆序
τ (i1"in ) = a,
τ
(in " i1 )
=
n(n − 2
1)
a.
二、2、3阶行列式的对角线原理
三、行列式的定义
D
=| aij
|=
p1
∑
p2"

线性代数期末复习

二、相似矩阵 1、相似矩阵的定义与性质。、相似矩阵的定义与性质。性质 2、区分矩阵相似、矩阵等价（P.54 定义 1. 15）、矩阵合、区分矩阵相似、矩阵等价（等价）同的概念。同的概念。
三、矩阵的对角化 1、矩阵可以对角化的判定（定理 4 . 9 及其推论、、矩阵可以对角化的判定（判定定理 4 . 10 ）。 2、当矩阵 A 可以对角化时，求出可逆矩阵 P、对角矩阵、可以对角化时，、 Λ，使 P −1 A P = Λ 。进而，可以对角化时，进而，当矩阵 A 可以对角化时，r ( A ) = 矩阵 A 的非零特征值的个数。征值的个数。 3、实对称矩阵 A 的对角化：求出正交矩阵 Q、对角矩阵、实对称矩阵对角化：、 Λ ，使 Q− 1 A Q = Λ 。 4、当矩阵 A 可以对角化时，利用矩阵 A 的特征值和特征、可以对角化时，向量，向量，求出矩阵 A 以及 A k 。
9、练习1. 6 的 3、求解下列矩阵方程：、练习求解下列矩阵方程：
2 1 0 5 1 1 （3*）X 1 1 2 = 0 0 − 6 3*） 1 2 5 1 0 − 1
0 0 1 （ − 1 2 − 1 ）、 0 2 − 1
16、习题二的 8 ：、考题有时会更难；注：① 考题有时会更难； ② 题中方程组的两个解 γ1 ，γ2 可能会以另一种形式给出：设 4 × 3 矩阵 A 分块为 A = ( α1 ，α2 ，α3 ) ，其中 α i ∈ R4 ，i = 1，2，3，− α1 + α2 = β ，α1 + α3 = β ，且线性，，，方程组 A x = β 满足 r ( A ) = r (A ) = 2 ，试求出该方程组的全部解。的全部解。 17、习题二的 10 ；、 18、习题二的 12 。、

线性代数期末复习知识点参考

行列式1. 行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等T D D =.性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号.推论1 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零.性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式.如111213111213212223212223313233313233a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论2 如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零．性质4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和.如111213111213111213212122222323212223212223313233313233313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''''''+++=+ 性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.如111213111213212223212223313233311132123313a a a a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka =+++例1 已知，那么（）A.-24B.-12C.-6D.12 答案 B解析2. 余子式与代数余子式在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M ，i jij ij A (1)M +=-叫做元素ij a 的代数余子式．3. 行列式按行（列）展开法则定理1 行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122i i i i in in D a A a A a A =+++或 1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++()1,2,,;1,2i n j n ==定理2 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即12120,j j i i jn i n a A a A a A +++=或,11220.j j j j nj nj a A a A a A i j +++=≠()1,2,,;1,2i n j n ==例.设3阶矩阵()ij A a =的行列式12A =,ij A 为ij a 的代数余子式.那么313132323333a A a A a A ++=___12____; 213122322333a A a A a A ++=___0___.4. 行列式的计算（1）二阶行列式1112112212212122a a a a a a a a =- （3）对角行列式1212n nλλλλλλ=，n(m 1)21212n n(1)λλλλλλ-=-（4）三角行列式1111121n 2122222n 1122nn n1n2nnnna a a a a a a a a a a a a a a ==（5）消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值.（6）降阶法：利用行列式的性质，化某行（列）(一般选择有0元素的行或列)只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低行列式的阶数求出行列式的值.（7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行），再提出公因式，进而求出行列式的值.例：思路：将有0的第三行化为只有一个非0元素a 33=1，按该行展开,D=a 33A 33,不用忘记a 33。

线性代数复习

三、向量 1、定义： α = ( a1 , a 2 ,L a n ) 、
2、运算及运算律：α 、
(行、列、零、负向量行向量)
±β
kα α T β = [α , β ]
3、线性关系：组合、相关、无关。、组合、相关、无关。
4、相关性的判别：、
1) 定义与数线性组合为零向量时，系数不全为零。与数线性组合为零向量时，系数不全为零。向量个数 2) 构成矩阵 A = (α 1α 2 Lα s ) r ( A) < s (向量个数 ) 3) 个数维数时个数=维数时
A −1 =
(AB = BA = E)
A ≠0
a
−1
二阶(三阶二阶三阶) 三阶
1 * A A
r
1 = a
A* = ( Aij )T
三阶,三阶以上三阶三阶以上 ( A, E ) → L → ( E , A−1 )
5、矩阵的秩：、定义： A中不为 0 的子式的最高阶数定义：中不为求法：求法：求各阶子式的值初等变换化为标准形D，中数中数1的个数初等变换化为标准形，D中数的个数初等变换化为阶梯形B，中非零行的行数初等变换化为阶梯形，B中非零行的行数 6、分块矩阵的运算规律与技巧：、分块三角阵，分块对角阵分块三角阵，
n
i
= A
对角化的充要条件：有对角化的充要条件：A有n 个线性无关的特征向量熟练掌握：求可逆阵，使方阵对角化的方法。熟练掌握：求可逆阵P，使方阵对角化的方法。
3、实对称阵A 必能找到正交矩阵使UTAU＝Λ 、实对称阵必能找到正交矩阵U,使＝掌握求此正交阵的方法。掌握求此正交阵的方法。向量的正交化和单位化

线性代数复习

例1
a x L x x a L x Dn = , Dn = M M M x x L a
a1 + b a2
M L an + bn
a1 − a1 a2 − a2 Dn+1 = O O an − an 1 1 L 1 1
0 a12 L a1n a b 0 L a2n a O , D = − a12 Dn = (n为奇数) n M M M O b − a1n − a2n L 0 a b
阶方阵，维列向量，例1 设A是n阶方阵，x 是n维列向量，若存在一正整数是阶方阵维列向量 k使得 Ak-1x≠0，Akx=0，证明向量组 Ax, …,Ak-1x 向量组x, ≠ ，，使得线性无关. 线性无关是三阶方阵，的两个互异特征值，例2 设A是三阶方阵，λ1,λ2是A的两个互异特征值，x1 是三阶方阵的两个互异特征值是对应的特征向量，与x2是对应的特征向量，又Ax3= x2+ λ2 x3, 证明向量组 x1, x2, x3线性无关。线性无关。例3 设向量空间 V={(x1,x2,…xn)|x1-2x2=0, x2+x3-x4=0, x1-x2+x3-x4=0}, 则dimV=_______ 例4 设A,B分别是 ×n与n×p 矩阵，且AB=0，证明分别是m 与矩阵，，分别是 rankA+rankB≤n ≤
设矩阵A,B 都是阶方阵，证明：若都是n阶方阵证明：阶方阵，例5 设矩阵 rankA+rankB<n, 则Ax=0与Bx=0必有公共非零解。必有公共非零解。与必有公共非零解若方阵A,B满足 A-B=AB，例6 若方阵满足证明: 不是的特征值（不是B的特征值可逆）证明 1不是的特征值（B-E可逆）；可逆正交矩阵的实特征值只能是正负1. 例7 正交矩阵的实特征值只能是正负

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可以表示为两个初等
矩阵P与Q的乘积，求P与Q。
6、设线性方程组
x1 x 2 x 3 0 x1 2 x 2 ax 3 0 2 x1 4 x 2 a x 3 0
与方程
x1 2 x 2 x 3 a 1
有公共解，求a的值及所有公
共解。 7、设n阶方阵A可逆，n维列向量b0，向量组b,Ab 线性无关，而向量组b，Ab，A2b线性相关。证明：线性方程组Ax=b的唯一解x*可由向量组b，Ab线性表示。 8、设向量组(I) 1 , 2 , , r 可由向量组（II）线性表示，当r与s的大小满足___时，向量组（I）必线性相关。
例7 设A是3阶方阵，rankA=1, det(A+3E)=0,问A 是否可对角化?说明理由.
例8 证明：若n阶方阵A满足A2=A,则
rank(A-E)+rankA=n，且A可对角化。例9 设A为n阶方阵，证明：
n rankA n * rankA 1 rankA n 1 0 rankA n 1
1 A 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1
（1）求A的特征值与特征向量；（2）求矩阵A。
四. 应用
1. 线性方程组Ax=b有解rank(A b)=rankA；当rank(A b)=rankA<n, 有无穷多解；当rank(A b)=rankA=n, 有唯一解； 2. 求An； 3. 二次曲面xTAx=1 为椭球面 A是正定矩阵.
例1 设A是n阶方阵，x 是n维列向量，若存在一正整数 k使得 Ak-1x0，Akx=0，证明向量组x, Ax, ,Ak-1x 线性无关. 例2 设A是三阶方阵，1,2是A的两个互异特征值，x1 与x2是对应的特征向量，又Ax3= x2+ 2 x3, 证明向量组 x1, x2, x3线性无关。
线性代数复习
一. 行列式
1. 定义
aij (1)
( p1 , pn )
a1 p1 a2 p2 anpn
2. 性质
ri r j （1）detA=detAT, (2)若 A B, 则 det A det B
kri （3）若 A B, 则 det B k det A
例3 设向量空间
V={(x1,x2,xn)|x1-2x2=0, x2+x3-x4=0, x1-x2+x3-x4=0}, 则dimV=_______ 例4 设A,B分别是mn与np 矩阵，且AB=0，证明 rankA+rankBn
例5 设矩阵A,B 都是n阶方阵，证明：若 rankA+rankB<n, 则Ax=0与Bx=0必有公共非零解。例6 若方阵A,B满足 A-B=AB，证明: 1不是B的特征值（B-E可逆）；例7 设正交矩阵A的行列式detA=-1，证明：-1是A 的特征值.
例3 已知3阶方阵A的行列式det(A)=2, 求det(A-1-2A*)
例4 求例1中的第一行代数余子式之和.
二.矩阵 1. 矩阵的定义
2. 矩阵的运算
3. 矩阵的初等变换及初等矩阵(E(i,j),E(i(k),E(i,j(k)))
矩阵的等价变换（矩阵的秩）
4. 矩阵的相似变换(特征值，特征向量，对角化，
A 2 1 b a a ,x 1 3 2
是A的伴随
矩阵A*的一个特征向量，求a，b的值。
11、设3阶实对称矩阵A的特征值1=1，2=2，3=-2，
1=(1,-1,1)T是A的属于1的一个特征向量。记
B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵。验证1是矩阵B的特征向量，并求矩阵B的全部特征值的特征向量。 12、A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且
4、设
A 0 1
1
1
1
1 a 0 ,b 1 . 1
已知线性方程组
Ax=b存在两个不同的解。
（1）求，a；（2）求方程组Ax=b的通解。
0 A 0 1 0 1 0 1 0 2
5、已知矩阵
1、设若f(x)有n+1个不同的根，那么f(x)是零多项式。
3 A 0 0 0 3 0 1 0 3
f x c 0 c1 x c n x 用线性方程组理论证明：
n
2、设
求Ak.
3、设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵。若A3=0,则有 (a)E-A不可逆， E+A不可逆； (b) E-A不可逆， E+A可逆；(c) E-A可逆， E+A可逆； (d) E-A可逆， E+A不可逆；
三.向量空间
1. 定义 2.向量组的线性关性线性相关一个向量可由其余向量线性表示；矩阵的秩小于向量的个数. 向量组(I)可由向量组(II)线性表示(I)秩≦ (II)秩 3. 基（标准正交基）与坐标 4. 基变换与坐标变换 5. 向量空间 V={xAx=0}或V=L(1,2,,n)
（4）
a i1 c i1

a in c in
ain
ain ci1
（5）
A B, 则 det A det B
ri kr j
（6）若A，B是n阶方阵，则det(AB)=det(A)det(B)
（7）若A是n阶方阵，det(kA)=kndet(A)
3. 按一行（列）展开
ai1Aj1+ai2Aj2++ainAjn= det A (i j )
0 (i j )
4. 算法（1）每行（列）和相等的行列式；
（2）箭形行列式；
（3）三对角行列式；
（4）范德蒙行列式；
（5）块上（下）三角行列式；
（6）升阶法；
（7）数学归纳法(证明).
例1
0 a12 , Dn b a1n a
a12 0 a2 n

a1n a2 n ( n为奇数)

0
例2 已知3阶方阵A=(a1,a2,a3), det(A)=2, 3阶方阵
B=(a1-a2+2a3,a2+a3,a2-a3), 求det(B).
注：利用矩阵运算；
实对称矩阵正交相似对角阵)
5. 矩阵的合同变换(二次型，正交变换化二次型为标准形，正定二次型，正定矩阵）
例1 22方阵X 满足 AXB=2AX+C, 其中A, B, C是
已知二阶方阵，求X; (A+E)-1(A2-2A+3E)
例2 三阶方阵P,A, A=(a1,a2,a3), 如果
AP=(2a1,a1+a2,a3-a1) ,则P=______
a Dn x x x a x
a1 Dn1

x x a
a1 a2
a1 b1 , Dn a1 a1
a2 a2 b2 a2

an an an bn

a2 an an 1
1
1

1
a Dn b
b a
例3 设A是mn的矩阵，且m>n，则det(AAT)=___
例4 设A 是列满秩矩阵，证明:det(ATA)>0
例5 设A是实对称矩阵，证明：对于x0,都有 xTAx/xTxmax (A) 例6 求f=x2+y2+z2-2xy-2yz-2xz在满足x2+y2+z2=1的条件下的最大值与最小值。
1 , 2 , , s
9、设A为mn矩阵，B为nm矩阵，E为m阶单位矩阵。若AB=E,则_____.
（a）rankA=m，rankB=m；（b）rankA=m， rankB=n ；（c）rankA=n，rankB=m ；（d）rankA=n， rankB=m 2 1 2 1 10、已知方阵

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