线性代数复习

线性代数复习一、行列式1、概念：余子式，代数余子式（对方阵而言）2、重要性质：|k A|=k n|A|（A为n阶矩阵）；行列式的倍加行（列）变换其值不变；3、克拉默法则：※方程组Ax=B，x j=D j/D（D是系数矩阵行列式，D j是常数项替换系数矩阵第j列后得到的矩阵的行列式）二、矩阵1、概念：系数矩阵、增广矩阵、单位矩阵（I、E）、对角矩阵、上（下）三角矩阵、转置矩阵、（反）对称矩阵、伴随矩阵、逆矩阵2、重要性质：(k A)-1=k-1A-1|A-1|=|A|-1(A*)*=|A|n-2A A*A=|A|E矩阵的初等变换：初等矩阵前乘为行变换；后乘为列变换。

初等倍乘矩阵E i(c)，表示将A的第i行（列）乘c。

初等倍加矩阵E ij(c)，表示将A的第i行（列）乘c加至第j行（列）。

初等对换矩阵E ij表示将A的第i和第j行互换。

A可逆，（A,E）--------对A,E同时做同样的初等行变换--------（E,A-1）3、分块矩阵求行列式A 0 其中A，B为方阵。

|Q|=|A||B|。

0 B0 A 其中A，B为m，n阶方阵。

|Q|=(-1)mn|A||B|。

B 0A B |Q|=|A||D-CA-1B|。

C D三、线性方程组1、概念：线性相关（线性无关）、秩、极大线性无关组、自由未知量2、重要性质：①判断多个向量间的线性相关关系：系数k i不全为零，∑k i a i=0（定义）向量组有一部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关。

各向量组成的矩阵A=(a T1,a T2,…,a T n)的行列式为0。

向量组b1,b2,…,b t能被a1,a2,…,a s线性表示且t>s，则b1,b2,…,b t线性相关。

②a4能否被a1,a2,a3（或更多向量）向量组线性表示？(a T1,a T2,a T3)(x1,x2,x3)T= a T4，有解即能线性表示，解即为对应各向量系数。

③矩阵的秩矩阵A m*n的秩等于行秩、等于列秩、恒不大于min{m,n}。

行列式1. 行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等T D D =.性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号.推论1 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零.性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式.如111213111213212223212223313233313233a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论2 如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零．性质4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和.如111213111213111213212122222323212223212223313233313233313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''''''+++=+ 性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.如111213111213212223212223313233311132123313a a a a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka =+++例1 已知，那么（ ）A.-24B.-12C.-6D.12 答案 B解析2. 余子式与代数余子式在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M ，i jij ij A (1)M +=-叫做元素ij a 的代数余子式．3. 行列式按行（列）展开法则定理1 行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122i i i i in in D a A a A a A =+++或 1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++()1,2,,;1,2i n j n ==定理2 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即12120,j j i i jn i n a A a A a A +++=或,11220.j j j j nj nj a A a A a A i j +++=≠()1,2,,;1,2i n j n ==例.设3阶矩阵()ij A a =的行列式12A =,ij A 为ij a 的代数余子式.那么313132323333a A a A a A ++=___12____; 213122322333a A a A a A ++=___0___.4. 行列式的计算（1）二阶行列式1112112212212122a a a a a a a a =- （3）对角行列式1212n nλλλλλλ=，n(m 1)21212n n(1)λλλλλλ-=-（4）三角行列式1111121n 2122222n 1122nn n1n2nnnna a a a a a a a a a a a a a a ==（5）消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值.（6）降阶法：利用行列式的性质，化某行（列）(一般选择有0元素的行或列)只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低行列式的阶数求出行列式的值.（7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行），再提出公因式，进而求出行列式的值.例：思路：将有0的第三行化为只有一个非0元素a 33=1，按该行展开,D=a 33A 33,不用忘记a 33。

§2 线性代数的“解析理论” §3 线性代数的“几何理论” 线性 代 数 总 复 习§4 线性代数典型证明题§1 线性代数概况1. 线性代数的解析理论——矩阵理论行列式的定义、性质、计算、证明；1/3/4.1行列式、矩阵、线性方程组、二次型 矩阵的定义、性质、运算、初等变换、秩、特征值、特征向量、相似对角化、正交对角化； 方程组的Gauss 消元法、初等变换、基础解系、 通解、特解；二次型的标准化、规范化、惯性指数、正定负定；§1 线性代数概况向量、向量的线性运算；向量间的线性关系；向量组间的关系； 向量与向量组的关系；向量空间；2/3/4.1向量欧氏空间、线性方程组解空间、二次型主轴定理 空间与空间的转换关系：过渡矩阵2. 线性代数的几何理论——空间理论内积运算、欧氏空间；向量的长度、夹角、正交、规范正交向量组； 规范正交基、Schmidt 正交化；线性方程组解空间的结构、二次型的主轴定理； 空间为体，矩阵为用几何是脑力劳动，代数是体力劳动.3/3/4.13. 线性代数主线 ——教学名师 中国科技大学 李尚志1/12/4.2解析理论第一大块：行列式11121 21222 12 n n n n nna a a a a a a a a L L MMOML D =n nnj j j j j nj j j j a a a 12 12 12 ()12 (1)t L L L =- å §2 线性代数的解析理论——矩阵理论11 1122 1122 ,1 ,1,1 i i i i in in j j j j nj nj a n D a A a A a A n a A a A a A n ì = ï =+++> í ï ++> îL L 行列式的性质：（辅导P2） 1.行列式等于0；（4点） 2.行列式的值不变；（4点）3.行列式的值改变；（2点）4.特殊行列式的值。

第一部分、复习纲要1、行列式：掌握行列式的计算：①利用行列式的性质②按行（列）展开③利用已知特征值．2、矩阵及其运算：熟练掌握矩阵的运算（线性运算及矩阵乘法），会用伴随矩阵求逆阵，知道矩阵分块的运算律．3、矩阵的初等变换与线性方程组：熟练掌握用矩阵的初等行变换把矩阵化成行阶梯形和行最简形；掌握用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵的方法（包括求B A 1-）；熟练掌握用矩阵的初等变换求解线性方程组的方法；会讨论带参数的方程组的解的情况．4、向量组的线性相关性：熟悉一个向量能由一个向量组线性表示这一概念与线性方程组的联系；知道两向量组等价的概念；熟悉向量驵线性相关、线性无关的概念与齐次线性方程组的联系；会用初等变换求向量组的秩和最大无关组；掌握齐次方程组的秩与解空间的维数之间的关系，熟悉基础解系的求法；会求向量组生成的向量空间的维数，会求从旧基到新基的过渡矩阵及向量的一个基下的坐标．5、相似矩阵及二次型：了解内积、长度、正交、规范正交基、正交阵、特征值与特征向量的概念；掌握特征值与特征向量的求法，熟悉特征值的性质；知道矩阵相似、合同的概念及性质，熟悉二次型及其矩阵表示，掌握用正交变换把二次型化为标准型的方法；知道对称阵的性质、可对角化的条件，二次型的正定性及判别法等．第二部分、典型题型一、填空题1、设4阶矩阵A 的秩()2R A =，S 是齐次线性方程组0Ax =的解空间，则S 的维数为__2_____，A 的伴随矩阵*A 的秩是______0_______．2、 已知3阶方阵A 的特征值为1，2，-3，则A 的迹t r A =___0_____，det A =___-6_____，*|32|A A E ++=_____25________，3、n 阶矩阵A 可对角化的充分必要条件是_____A 有n 个线性无关的特征向量_________________.对称阵A 为正定的充分必要条件是________ A 合同于单位矩阵E__________.4、向量组123451122102151,,,,.2031311041ααααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦它的秩是__3_______，一个最大无关组是_____321,,ααα_______________________．5、 实二次型22212312133924f x x x x x x x =++-+的秩r = ，正惯性指数p = ，它是 定的． 6、设1200250000250038A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则||A = 1 ，1A -= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2300580000120025 ． 7、设n 元线性方程组Ax b =的系数矩阵A 的秩为r ，若此方程组有解，则当 r =n 时，方程组有惟一解；当 r <n 时方程组有无穷多解． 8、矩阵00A C B ⎛⎫=⎪⎝⎭的伴随矩阵*C =___⎪⎪⎭⎫⎝⎛A B 00___________． 9、向量123α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，321β⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，矩阵T A αβ=，则6A =___A 510___________．10、设A 为n 阶矩阵（n ≥2）,*A 为A 的伴随阵，则当()R A n =时，)(*A R = n ___；当()1R A n =-时，)(*A R ＝ _1 _ ；当()1R A n <- 时，)(*A R = 0 ．11、设3阶矩阵A 的特征值为2,1,3-，*2B E A =-（其中*A 是A 的伴随矩阵），则B 的行列式||B =__-385____．12、设12243311A t-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，并且A 的列向量组线性相关，则t = 3 ． 13、已知4维列向量组123451122102151,,,,.2031311041ααααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦所生成的向量空间为V ，则V的维数dim V = _3____．二、解答题1、设3112513420111533D ---=---，D 的(,)i j 元的代数余子式记作ij A ，求31323334322A A A A +-+． 2、计算n 阶行列式121212333nn n n x x x x x x D x x x ++=+4、设112201102P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，500010005-⎛⎫ ⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭，并且AP P =Λ,求100A ．5、设202010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 200010002⎛⎫ ⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭，并且AP P =Λ，求100A ．6、非齐次线性方程组123123212322,2,2.x x x x x x x x x λλ-++=-⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩当λ取何值时有解？并求出它的通解．7、非齐次线性方程组13123123,421,642 3.x x x x x x x x λλλ+=⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩当λ取何值时有解？并求出它的通解．8、设方阵A 满足：220A A E --=，证明A 及2A E +都可逆，并求1A -及1(2)A E -+9、设n 阶矩阵A 和B 满足AB A B =+，（i ）证明A E -为可逆矩阵；（ii ）若350120002A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求B ．10、已知向量11010α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2222a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，，33111α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，416b β⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， （a ）问a ，b 取何值时，β不能由向量组123,,ααα线性表示？（b ）问a ，b 取何值时，β能由向量组123,,ααα线性表示？并且写出其一般表示式．、D 、之和的值求第四行各元素余子式设行列式22350070222204033--=11、求向量组1133α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2121α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3112α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，4213α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的一个最大无关组与秩，并把其余向量用最大无关组线性表示．12、已知二次型为 222123232334f x x x x x =+++(1)写出二次型f 的矩阵表达式；(2)求一个正交变换x Py =，把二次型f 化为标准形，并写出该标准形．．、ax x x x b x x a x x x x x x x x b a 、通解并在有无穷多解时求其无解或有无穷多解有惟一解线性方程组为何值时问?.123,2)3(,122,0,,1343214324324321⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=--+-=++=+++．AP P P ，a a A 、Λ=Λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1,,6002802214使并求可逆矩阵的值试求常数相似于对角阵若矩阵。

线性代数复习总结大全第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。

（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。

推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。

③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。

推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。

④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij ji ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。

克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。

化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式: 行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵n *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=矩阵：对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 注：把分出来的小块矩阵看成是元素阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的， B A=-1(非|A|=0、伴随矩阵)2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另 初等矩阵都可逆倍乘阵 倍加阵） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr 矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n nija k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。

线性代数复习提纲第一章行列式本章重点是行列式的计算，对于n阶行列式的定义只需了解其大概的意思。

要注重学会利用行列式的各条性质及按行（列）展开等基本方法来简化行列式的计算，对于计算行列式的技巧毋需作过多的探索。

1、行列式的性质（1）行列式与它的转置行列式相等，即D = D T。

（2）互换行列式的两行（列），行列式变号。

（3）行列式中如有两行（列）相同或成比例，则此行列式为零。

（4）行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式；换句话说，若行列式的某一行（列）的各元素有公因子k，则k可提到行列式记号之外。

（5）把行列式某一行（列）的各元素乘以同一数k，然后加到另一行（列）上，行列式的值不变。

（6）若行列式的某一行（列）的各元素均为两项之和，则此行列式等于两个行列式之和2、行列式的按行（按列）展开（1）代数余子式：把n 阶行列式中i , j 元a .j 所在的 第i 行和第j 列划掉后所剩的n -1阶行列式称为i , j _i + j元3ij 的余子式，记作M ij ;记Aj 二-1 M ij ，则称 Aj 为i , j 元a ij 的代数余子式。

（2）按行（列）展开定理：n 阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与 对应于它们的代数余子式的乘积之和 ，即可按第i 行 展开：D = a i i Ai a i 2A 2 …a^A n , （1 = 1,2,...,n ） 也可按第j 列展开：…a nj A nj , （j = 1,2,..., n ）（3）行列式中任意一行（列）的各元素与另一行的 对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 a i 1 A j 1 a i 2 A j 2…a in A jn = 0, （i = j ）； 或 a 1i A 1 j a 2i A 2 j …a ni A , （i = j ）D3、 克拉默法则：X 厂一L , （i = 1,2,..., n ），其中D j 是D把D 中第i 列元素用方程右端项替代后所得到的行列 式。