北京四中高中数学高考综合复习专题二十六立体几何平行与垂直

高中数学难点26 垂直与平行垂直与平行是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定与性质，并能利用它们解决一些问题.●难点磁场(★★★★)已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，A1C1=B1C1=2，D、D1分别是AB、A1B1的中点，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，异面直线AB1和C1B互相垂直.(1)求证：AB1⊥C1D1；(2)求证：AB1⊥面A1CD；(3)若AB1=3，求直线AC与平面A1CD所成的角●案例探究［例1］两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证：MN∥平面BCE.命题意图：本题主要考查线面平行的判定，面面平行的判定与性质，以及一些平面几何的知识，属★★★★级题目.知识依托：解决本题的关键在于找出面内的一条直线和该平面外的一条直线平行，即线∥线(外)⇒线(外)∥面.或转化为证两个平面平行.(内)错解分析：证法二中要证线面平行，通过转化证两个平面平行，正确的找出MN所在平面是一个关键.技巧与方法：证法一利用线面平行的判定来证明.证法二采用转化思想，通过证面面平行来证线面平行.证法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，则MP∥AB，NQ∥AB.∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF，∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45°∴Rt△MCP≌Rt△NBQ∴MP=NQ,故四边形MPQN为平行四边形∴MN∥PQ∵PQ⊂平面BCE，MN在平面BCE外，∴MN∥平面BCE.证法二：如图过M作MH⊥AB于H，则MH∥BC，∴ABAHAC AM =连结NH ，由BF =AC ，FN =AM ，得ABAHBF FN =∴MN ∥平面BCE .［例2］在斜三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，底面是等腰三角形，AB =AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC .(1)若D 是BC 的中点，求证：AD ⊥CC 1；(2)过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ，若AM =MA 1，求证：截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ；(3)AM =MA 1是截面MBC 1⊥平面BB 1C 1C 的充要条件吗？请你叙述判断理由.命题意图：本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质，属★★★★★级题目. 知识依托：线面垂直、面面垂直的判定与性质.错解分析：(3)的结论在证必要性时，辅助线要重新作出.技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙作辅助线.(1)证明：∵AB =AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ∵底面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，∴AD ⊥侧面BB 1C 1C ∴AD ⊥CC 1.(2)证明：延长B 1A 1与BM 交于N ，连结C 1N ∵AM =MA 1，∴NA 1=A 1B 1∵A 1B 1=A 1C 1，∴A 1C 1=A 1N =A 1B 1 ∴C 1N ⊥C 1B 1∵底面NB 1C 1⊥侧面BB 1C 1C ，∴C 1N ⊥侧面BB 1C 1C ∴截面C 1NB ⊥侧面BB 1C 1C ∴截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C.(3)解：结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性. 过M 作ME ⊥BC 1于E ，∵截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ∴ME ⊥侧面BB 1C 1C ，又∵AD ⊥侧面BB 1C 1C. ∴ME ∥AD ，∴M 、E 、D 、A 共面 ∵AM ∥侧面BB 1C 1C ，∴AM ∥DE ∵CC 1⊥AM ，∴DE ∥CC 1∵D 是BC 的中点，∴E 是BC 1的中点∴AM =DE =21211=CC AA 1，∴AM =MA 1.●锦囊妙计垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系： 1.平行转化2.垂直转化每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的. 例如：有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离是( )A.38 B.83 C.34 D.43 2.(★★★★)在直二面角α—l —β中，直线a ⊂α,直线b ⊂β,a 、b 与l 斜交，则( ) A.a 不和b 垂直，但可能a ∥b B.a 可能和b 垂直，也可能a ∥b C.a 不和b 垂直，a 也不和b 平行 D.a 不和b 平行，但可能a ⊥b 二、填空题3.(★★★★★)设X 、Y 、Z 是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X ⊥Z 且Y ⊥Z ⇒X ∥Y ”为真命题的是_________(填序号).①X 、Y 、Z 是直线 ②X 、Y 是直线，Z 是平面 ③Z 是直线，X 、Y 是平面 ④X 、Y 、Z 是平面4.(★★★★)设a ,b 是异面直线，下列命题正确的是_________. ①过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交 ②过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直 ③过a 一定可以作一个平面与b 垂直 ④过a 一定可以作一个平面与b 平行 三、解答题5.(★★★★)如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱P A 垂直于底面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点.(1)求证：CD ⊥PD ; (2)求证：EF ∥平面P AD ;(3)当平面PCD 与平面ABCD 成多大角时，直线EF ⊥平面PCD ？6.(★★★★)如图，在正三棱锥A —BCD 中，∠BAC =30°，AB =a ,平行于AD 、BC 的截面EFGH 分别交AB 、BD 、DC 、CA 于点E 、F 、G 、H .(1)判定四边形EFGH 的形状，并说明理由.(2)设P 是棱AD 上的点，当AP 为何值时，平面PBC ⊥平面EFGH ，请给出证明.7.(★★★★)如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都相等，D 、E 分别是CC 1和AB 1的中点，点F 在BC 上且满足BF ∶FC =1∶3.(1)若M 为AB 中点，求证：BB 1∥平面EFM ； (2)求证：EF ⊥BC ；(3)求二面角A 1—B 1D —C 1的大小.8.(★★★★★)如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形且∠C 1CB = ∠C 1CD =∠BCD =60°,(1)证明：C 1C ⊥BD ；(2)假定CD =2，CC 1=23，记面C 1BD 为α,面CBD 为β,求二面角α—BD —β的平面角的余弦值；(3)当1CC CD的值为多少时，可使A 1C ⊥面C 1BD ？参考答案难点磁场1.(1)证明：∵A 1C 1=B 1C 1，D 1是A 1B 1的中点，∴C 1D 1⊥A 1B 1于D 1， 又∵平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1，∴C 1D 1⊥平面A 1B 1BA ， 而AB 1 平面A 1ABB 1，∴AB 1⊥C 1D 1. (2)证明：连结D 1D ，∵D 是AB 中点，∴DD 1CC 1，∴C 1D 1∥CD ，由(1)得CD ⊥AB 1，又∵C 1D 1⊥平面A 1ABB 1，C 1B ⊥AB 1，由三垂线定理得BD 1⊥AB 1，又∵A 1D ∥D 1B ，∴AB 1⊥A 1D 而CD ∩A 1D =D ，∴AB 1⊥平面A 1CD .(3)解：由(2)AB 1⊥平面A 1CD 于O ，连结CO 1得∠ACO 为直线AC 与平面A 1CD 所成的角，∵AB 1=3，AC =A 1C 1=2，∴AO =1，∴sin OCA =21=AC AO ， ∴∠OCA =6π. 歼灭难点训练 一、1.解析：如图，设A 1C 1∩B 1D 1=O 1，∵B 1D 1⊥A 1O 1，B 1D 1⊥AA 1，∴B 1D 1⊥平面AA 1O 1，故平面AA 1O 1⊥AB 1D 1，交线为AO 1，在面AA 1O 1内过A 1作A 1H ⊥AO 1于H ，则易知A 1H 长即是点A 1到平面AB 1D 1的距离，在Rt △A 1O 1A 中，A 1O 1=2，AO 1=32，由A 1O 1·A 1A =h ·AO 1,可得A 1H =34.答案：C2.解析：如图，在l 上任取一点P ，过P 分别在α、β内作a ′∥a ,b ′∥b ,在a ′上任取一点A ，过A 作AC ⊥l ，垂足为C ，则AC ⊥β,过C 作CB ⊥b ′交b ′于B ，连AB ，由三垂线定理知AB ⊥b ′，∴△APB 为直角三角形,故∠APB 为锐角. 答案：C二、3.解析：①是假命题，直线X 、Y 、Z 位于正方体的三条共点棱时为反例，②③是真命题，④是假命题，平面X 、Y 、Z 位于正方体的三个共点侧面时为反例.答案：②③ 4.④三、5.证明：(1)∵P A ⊥底面ABCD ，∴AD 是PD 在平面ABCD 内的射影， ∵CD ⊂平面ABCD 且CD ⊥AD ，∴CD ⊥PD . (2)取CD 中点G ，连EG 、FG ，∵E 、F 分别是AB 、PC 的中点，∴EG ∥AD ，FG ∥PD ∴平面EFG ∥平面P AD ，故EF ∥平面P AD(3）解：当平面PCD 与平面ABCD 成45°角时，直线EF ⊥面PCD 证明：G 为CD 中点，则EG ⊥CD ,由(1)知FG ⊥CD ，故∠EGF 为平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的平面角.即∠EGF =45°，从而得∠ADP =45°，AD =AP由Rt △P AE ≌Rt △CBE ,得PE =CE又F 是PC 的中点，∴EF ⊥PC ，由CD ⊥EG ，CD ⊥FG ，得CD ⊥平面EFG ，CD ⊥EF 即EF ⊥CD ，故EF ⊥平面PCD .6.(1)证明：同理EF ∥FG ，∴EFGH 是平行四边形∵A —BCD 是正三棱锥，∴A 在底面上的射影O 是△BCD 的中心， ∴DO ⊥BC ，∴AD ⊥BC ，∴HG ⊥EH ，四边形EFGH 是矩形.(2)作CP ⊥AD 于P 点，连结BP ，∵AD ⊥BC ，∴AD ⊥面BCP∵HG ∥AD ，∴HG ⊥面BCP ，HG ⊂面EFGH .面BCP ⊥面EFGH ，在Rt △APC 中，∠CAP =30°，AC =a ,∴AP =23a . 7.(1)证明：连结EM 、MF ，∵M 、E 分别是正三棱柱的棱AB 和AB 1的中点， ∴BB 1∥ME ，又BB 1⊄平面EFM ，∴BB 1∥平面EFM .(2)证明：取BC 的中点N ，连结AN 由正三棱柱得：AN ⊥BC ， 又BF ∶FC =1∶3，∴F 是BN 的中点，故MF ∥AN ， ∴MF ⊥BC ，而BC ⊥BB 1，BB 1∥ME .∴ME ⊥BC ，由于MF ∩ME =M ，∴BC ⊥平面EFM ， 又EF 平面EFM ，∴BC ⊥EF .(3)解：取B 1C 1的中点O ，连结A 1O 知，A 1O ⊥面BCC 1B 1，由点O 作B 1D 的垂线OQ ，垂足为Q ，连结A 1Q ，由三垂线定理，A 1Q ⊥B 1D ，故∠A 1QD 为二面角A 1—B 1D —C 的平面角，易得∠A 1QO =arctan 15.8.(1)证明：连结A 1C 1、AC ，AC 和BD 交于点O ，连结C 1O ， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，BC =CD又∵∠BCC 1=∠DCC 1，C 1C 是公共边，∴△C 1BC ≌△C 1DC ，∴C 1B =C 1D ∵DO =OB ，∴C 1O ⊥BD ，但AC ⊥BD ，AC ∩C 1O =O ∴BD ⊥平面AC 1，又C 1C ⊂平面AC 1，∴C 1C ⊥BD .(2)解：由(1)知AC ⊥BD ，C 1O ⊥BD ，∴∠C 1OC 是二面角α—BD —β的平面角. 在△C 1BC 中，BC =2，C 1C =23，∠BCC 1=60°，∴C 1B 2=22+(23)2－2×2×23×cos60°=413. ∵∠OCB =30°,∴OB =21,BC =1,C 1O =23,即C 1O =C 1C . 作C 1H ⊥OC ，垂足为H ，则H 是OC 中点且OH =23，∴cos C 1OC =33(3)解：由(1)知BD ⊥平面AC 1，∵A 1O ⊂平面AC 1，∴BD ⊥A 1C ，当1CC CD=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同理可证BC 1⊥A 1C ，又∵BD ∩BC 1=B ，∴A 1C ⊥平面C 1BD .。

高中数学高考总复习专题二十六立体几何——平行与垂直二、高考考点1、空间直线，空间直线与平面，空间两个平面的平行与垂直的判定或性质.其中，线面垂直是历年高考试题涉及的内容.2、上述平行与垂直的理论在以多面体为载体的几何问题中的应用；求角；求距离等.其中，三垂线定理及其逆定理的应用尤为重要.3、解答题循着先证明后计算的原则，融推理于计算之中，主要考察学生综合运用知识的能力，其中，突出考察模型法等数学方法，注重考察转化与化归思想；立体问题平面化；几何问题代数化.三、知识要点（一）空间直线1、空间两条直线的位置关系（1）相交直线——有且仅有一个公共点；（2）平行直线——在同一个平面内，没有公共点；（3）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点.2、平行直线（1）公理4（平行直线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示：设a,b,c为直线，（2）空间等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两条直线所成的锐角（或直角）相等.3、异面直线（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.（2）有关概念：（ⅰ）设直线a,b为异面直线，经过空间任意一点O作直线ａ＇，ｂ＇，并使ａ＇//a，ｂ＇//b,则把ａ＇和ｂ＇所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角.特例：如果两条异面直线所成角是直角，则说这两条异面直线互相垂直.认知：设为异面直线a，b所成的角，则.（ⅱ）和两条异面直线都垂直相交的直线（存在且唯一），叫做两条异面直线的公垂线.（ⅲ）两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线的距离.（二）空间直线与平面（1）直线在平面内——直线与平面有无数个公共点；（2）直线和平面相交——直线与平面有且仅有一个公共点；（3）直线和平面平行——直线与平面没有公共点.其中，直线和平面相交或直线和平面平行统称为直线在平面外.1、直线与平面平行（1）定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，则说这条直线和这个平面平行，此为证明直线与平面平行的原始依据.（2）判定判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.认知：应用此定理证题的三个环节：指出.（3）性质性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.2、直线与平面垂直（1）定义：如果直线l和平面内的任何一条直线都垂直，则说直线l和平面互相垂直，记作l⊥.（2）判定：判定定理1：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.判定定理2：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.符号表示：.（3）性质性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.符号表示：（4）概念（ⅰ）点到平面的距离：从平面外一点引这个平面的垂线，则这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.（ⅱ）直线和平面的距离：当一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离.（三）空间两个平面1、两个平面的位置关系（1）定义：如果两个平面没有公共点，则说这两个平面互相平行.（ⅰ）两个平面平行——没有公共点；（ⅱ）两个平面相交——有一条公共直线.2、两个平面平行（1）判定判定定理1：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.判定定理2：（线面垂直性质定理）：垂直于同一条直线的两个平面平行.（2）性质性质定理1：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.性质定理2（定义的推论）：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都平行于另一个平面.3、有关概念（1）和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.（2）两个平行平面的公垂线段都相等.（3）公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.4、认知：两平面平行的判定定理的特征：线面平行面面平行，或线线平行面面平行；两平面平行的性质定理的特征：面面平行线面平行，或面面平行线线平行.它们恰是平行范畴中同一事物的相互依存和相互贯通的正反两个方面.四、经典例题例1、在正方体中，E、F、G、H分别为棱BC、、、的中点，求证：（1）；（2）分析：直面线面平行或面面平行的证明，一般是运用相应的判定定理.为此，需要在有关平面内寻找相关直线的平行线.寻找平行线的平面几何方法主要有：（ⅰ）构造平行四边形；（ⅱ）构造三角形中位线或三角形中的成比例线段；（ⅲ）构造梯形注意到已知某些棱的中点，想到找取相关线段的中点，配合原来线段的中点构造上述平面图形.对于（1）适合条件的三角形难以构造，故首选构造平行四边形；对于（2），则由不同图形的构造引出不同的证法.证明：（1）连接，并设，则分别为两底面的中心.取OB中点为M，则由EM为△BOC的中位线得①②注意到为正方形∴∴四边形为矩形∴③∴由①②③得∴四边形为平行四边形∴又∴（2）证明（构造平行四边形）：取中点为N，连接，则由为平行四边形，∴④又连结知四边形为平行四边形∴⑤∴由④⑤得注意到∴⑥同理可得⑦于是由⑥⑦得。

高中数学重难点归纳：立体几何中的平行与垂直
题型一：线线、线面位置关系的证明
（1）证明立体几何问题的主要方法是定理法，解题时必须按照定理成立的条件进行推理。

（2）证明立体几何问题，要精密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此需要多画出一些图形辅助使用。

题型二：两平面之间位置关系的证明
（1）证明面面平行依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行。

（2）证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直。

题型三：空间线面位置关系的综合问题
与平行、垂直有关的存在性问题注意解题的步骤。

立体几何平行垂直问题专题复习一、平面平行问题1. 平行线基础定义平行线是在同一平面内不相交的两条直线。

两条平行线之间的距离是它们之间所有直线段中最短的。

平行线符号为“||”。

2. 垂直平分线垂直平分线是将一条线段分成两个相等的部分，并且垂直于线段的线。

3. 平行四边形平行四边形是指两组相互平行的边构成的四边形，它的对边长度相等，对边平等，对角线互相平分。

4. 平行线判定定理对于两条直线l, m以及平面内的任意一条直线n，若n与l平行，则n与m 平行；若n与l垂直，则n与m垂直。

5. 平行线和对角线的关系平行线所构成的平行四边形的对角线互相平分。

二、垂直问题1. 垂线基础定义垂线是指与一条直线或平面呈直角的线段。

2. 垂线距离垂线距离是垂线所代表的点到直线的最短距离。

3. 垂心垂心是指在三角形的一个顶点下，作该点到对边的垂线并与对边相交的点。

4. 直角三角形直角三角形是指三角形中有一角为90度的。

5. 正方体中垂直面的距离正方体中两个垂直面的距离为边长。

三、立体几何应用问题1. 立方体立方体的六个面都是正方形。

每个面都有相同的面积，边长相等。

2. 长方体长方体是指六个面中有一个面是长方形，其余五个面都是正方形。

3. 圆柱体圆柱体是指由一个矩形和两个相等的圆所组成的立体，其中矩形是圆柱体的腰，两个圆为圆柱体的顶底面。

4. 圆锥体圆锥体是由一个圆和一个尖端共同组成的立体，圆锥体的侧面是一条射线和圆的切线。

圆锥体中心角为360度。

5. 球体球体是由一个半径相等的圆旋转所得到的立体，其表面上所有点到球心的距离都是相等的。

以上就是关于立体几何中的平行垂直问题专题复习的内容，包括了平面平行问题、垂直问题、立体几何应用问题，希望对大家在学习立体几何时有所帮助。

直线、平面平行的判定和性质【考纲要求】1、掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；2、掌握两个平面平行的判定定理和性质定理．3、能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题。

【知识网络】【考点梳理】考点一、直线与平面平行的判定 1、判定定理：（1）内容： 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．（2）符号语言：2、判定直线与平面平行，主要有三种方法： （1）利用定义（常用反证法）；（2）利用判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直线。

可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直直线、平面平行判定定理性质定理 线面平行面面平行判定定理性质定理线作一平面找其交线。

（3）利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个平面内的任一直线平行于另一平面。

要点诠释：线面平行关系没有传递性，即平行线中的一条平行于一平面，另一条不一定平行于该平面。

考点二、直线与平面平行的性质1、性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.2、符号语言：．考点三、平面与平面平行的判定1、面面平行的定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行．2、图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的．3、平行平面的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．4、符号语言：5、判定平面与平面平行的常用方法：①利用定义（常用反证法）；②利用判定定理：转化为判定一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面。

客观题中，也可直接利用一个平面内的两条相交线分别平行于另一个平面的两条相交线来证明两平面平行；③利用面面平行的传递性：////. //αβαγγβ⎫⇒⎬⎭④利用线面垂直的性质：//l l ααββ⊥⎫⇒⎬⊥⎭。

立体几何的概念、公理、定理（一）立体几何三公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．,A a A a公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

A、B、C不在同一直线上有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

A a 有且只有一个平面，使推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

a∩b＝A有且只有一个平面，使推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

a∥b＝A有且只有一个平面，使（二）空间直线公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

a∥bb∥c等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

cbaaA∈a，B∈aA∈，B∈aA∈aababcba//a c////////AB A BAC A C///BAC B A CA∈PP（三）直线和平面直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和 这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

定理 ：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面。

定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面， 它也垂直于另一个平面。

直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面， 那么这两条直线平行。

射影定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中， （1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长； （2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长； （3）垂线段比任何一条斜线段都短。

直线.平面平行的判定与性质北京四中吕宝珠一、知识要点1 •直线与平面垂直的判定和性质（1）直线和平面垂直的判定①（定义）如果一条直线和平面内 __________ 垂直9那么这条直线和这个平面垂直.②（判定定理1）如果一条直线和一个平面内的_________ 垂直，那么这条直线垂直于这个平而•用符号语言表示为 _____ .③（判定定理2）如果两条平行直线中的一条____________ -个平面，那么另-条也垂直于这个平面・用符号语言表示为: _______________________④（面面垂直的性质定理）如果两个平面垂直•那么在一个平而内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平而.⑤（两平面平行的性质泄理）如果两个平面平行•那么与其屮•个平面垂直的直线也与另一个平面垂直.⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面•那么它们的交线也垂直于第三个平面.⑦如果三条共点直线两两垂直•那么其中•条直线乖直于另两条直线确定的平面.（2）直线与平面垂直的性质如果两条直线同垂直于一个平面•那么这两条直线平行.用符号语言表示为：(3)斜线在平面内的射影①过一点向平面引垂线，___________ 叫做这点在这个平面内的射影.从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过的直线叫做斜线在这个平面内的射影.②射影氏定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中.a. 射影相等的两条斜线段____________ ,射影较氏的斜线段 __________ ;b. 相等的斜线段的射影____________ ，较长的斜线段的射影 _________ ;G垂线段比______________ 都短.2.两个平面垂直的判定和性质(1)两平而垂直的判定①两个平面相交，如果它们所成的二面角是____________ 二面角，那么这两个平面互相垂直.②如果一个平面______________ 另一个平面的一条_________ ,那么这两个平面互相垂直.即a丄0, =>a丄直(2)两平而垂直的性质①如果两个平面垂直，那么在一个平面____________ 垂直于它们 __________ 的直线垂直于另一个平面•即a丄A 0• = 2, a 丄Z, a _________ 丄0・②如果两个平面垂直，那么经过______________ 垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.即a丄伤P e a. 9a _L a U a.二、基础练习1、在空间，下列命题正确的是()A.平行直线的平行投影重合B.平行于同一直线的两个平面平行C・垂直于同一平面的两个平面平行0.垂直于同-平面的两条直线平行2、如右图，已知六凌锥P-ABCDEF的底面是正六边形丄平面ABC, PA = 2AT3,则下列结论正确的足（）A. PB 丄ADII平面PAB丄平面PBC：C.直线BC //平面PAED.直线PD与平ABC所成的角为45°3.（2009 •宁夏、海南）如右图，正方体ABCD- A】町G 0的棱长为1 , 线段B1D1上有两个动点E、F,且EF = #，则下列结论中错误的是（）A.AC 丄BEB.EF //平面ABCDC.三棱锥A— BEF的体积为定值D异面直线AE、BF所成的角为定值4、如下图，在长方形ABCD 中，AB = Z BC = 1, E 为DC 的中点，F 为线段EC (端点除外)上一动点.现将 AAFI)沿AF 折起，使平面ABI)丄平面ABC.在平面ABD 内过点D 作DK 丄AB,K 为垂足•设AK =人则2的取值范三、典型例题位置关系的判定【例1】 关于直线〃、72与平而a 、0,有下列四个命题: ① 若小〃血门〃 0且a 〃 /?,则rn //小② 若加丨o> “丨0曰-a 丨伕则m J_ n;③ 若力2丄a •口〃 0且a 〃伕则rn J_ H ;其中真命题的序号是A.①②C. ①④ 题型二线面垂直【例2】如图，正方形 ABCD 和四边形ACEF 所在的平面 互相垂直，CE 丄 AC,EF//AC,AB 二 CE =EF = l.(1) 求证MF 〃平面BDE ；(2) 求证:CF 丄平面BDE ；④若山〃 a, H 丨0冃-a 丨/3・则?n // tuB.③④ D.②③E BD理冒面面垂直问题【例3】如右图9在直三棱柱ABC—Al B] C] 中，ZBAC = 90°, AB = BB],直线B】C 与平而ABC成30°角.(I )求证：平而B] AC丄平面ABE】A】；(U)求直线A】C与平面AC所成角的正弦值；。

高考数学复习历年考点题型专题讲解20立体几何中的平行与垂直问题一、题型精讲解题方法与技巧题型一、线面平行与垂直知识点拨：证明直线与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆直线与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。

直线与平面的平行有两种方法：一是在面内找线；二是通过面面平行转化。

直线与平面垂直关键是找两条相交直线例1、(2019南通、泰州、扬州一调）如图，在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点．已知侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP.求证：(1)MN∥平面PBC；MD⊥平面PAB.【证明】(1)在四棱锥P－ABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点，所以MN ∥AD.(2分)又底面ABCD是矩形，所以BC∥AD.所以MN∥BC.(4分)又BC⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，所以MN∥平面PBC. (6分)(2)因为底面ABCD是矩形，所以AB⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，AB⊂底面ABCD，所以AB⊥侧面PAD.(8分)又MD⊂侧面PAD，所以AB⊥MD.(10分)因为DA＝DP，又M为AP的中点，从而MD⊥PA. (12分)又PA，AB在平面PAB内，PA∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB.(14分)例2、(2019扬州期末）如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B⊥平面ABC，点E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点．(1) 求证：EF∥平面ABC；(2) 求证：BB1⊥AC.规范解答 (1)在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B，四边形BB1C1C均为平行四边形，E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点，所以E，F分别是AB1，CB1的中点，所以EF∥AC.(4分)因为EF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(8分)(2)因为四边形AA1B1B为矩形，所以BB1⊥AB.因为平面AA1B1B⊥平面ABC，且平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，BB1⊂平面AA1B1B，所以BB1⊥平面ABC.(12分)因为AC⊂平面ABC，所以BB1⊥AC.(14分)例3、(2019南京、盐城二模）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，D，E分别是AB1和BC的中点．求证：(1)DE∥平面ACC1A1；(2)AE⊥平面BCC1B1.规范解答 (1)连结A1B，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1∥BB1且AA1＝BB1，所以四边形AA1B1B是平行四边形．又因为D是AB1的中点，所以D也是BA1的中点．(2分)在△BA1C中，D和E分别是BA1和BC的中点，所以DE∥A1C.又因为DE⊄平面ACC1A1，A1C⊂平面ACC1A1，所以DE∥平面ACC1A1.(6分)(2)由(1)知DE∥A1C，因为A1C⊥BC1，所以BC1⊥DE.(8分)又因为BC1⊥AB1，AB1∩DE＝D，AB1，DE⊂平面ADE，所以BC1⊥平面ADE.又因为AE⊂平在ADE，所以AE⊥BC1.(10分)在△ABC中，AB＝AC，E是BC的中点，所以AE⊥BC.(12分)因为AE⊥BC1，AE⊥BC，BC1∩BC＝B，BC1，BC⊂平面BCC1B1，所以AE⊥平面BCC1B1.(14分)例4、(2019苏锡常镇调研）如图，三棱锥DABC中，已知AC⊥BC，AC⊥DC，BC＝DC，E，F分别为BD，CD的中点．求证：(1) EF∥平面ABC；(2) BD⊥平面ACE..规范解答(1)三棱锥DABC中，因为E为DB的中点，F为DC的中点，所以EF∥BC，(3分)因为BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，所以EF∥平面ABC.(6分)(2)因为AC⊥BC，AC⊥DC，BC∩DC＝C，BC，DC⊂平面BCD所以AC⊥平面BCD，(8分)因为BD⊂平面BCD，所以AC⊥BD，(10分)因为DC＝BC，E为BD的中点，所以CE⊥BD，(12分)因为AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面ACE，所以BD⊥平面ACE.(14分)例5、(2019苏州三市、苏北四市二调）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1⊥B1C1.设A1C与AC1交于点D，B1C与BC1交于点E.求证：(1) DE∥平面ABB1A1；(2) BC1⊥平面A1B1C.规范解答 (1)因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以侧面ACC1A1为平行四边形．又A1C与AC1交于点D，所以D为AC1的中点，同理，E为BC1的中点．所以DE∥AB.(3分)又AB⊂平面ABB1A1，DE⊄平面ABB1A1，所以DE∥平面ABB1A1.(6分)(2)因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1.又因为A1B1⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1B1.(8分)又A1B1⊥B1C1，BB1，B1C1⊂平面BCC1B1，BB1∩B1C1＝B1，所以A1B1⊥平面BCC1B1.(10分)又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1.(12分)又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B1C.又A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C⊂平面A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C.(14分)例6、(2017苏北四市一模）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知D，E分别为BC，B1C1的中点，点F在棱CC1上，且EF⊥C1D.求证：(1) 直线A1E∥平面ADC1；(2) 直线EF⊥平面ADC1.规范解答(1) 证法1连结ED，因为D，E分别为BC，B1C1的中点，所以B1E∥BD且B1E ＝BD，所以四边形B1BDE是平行四边形，(2分)所以BB1∥DE且BB1＝DE.又BB1∥AA1且BB1＝AA1，所以AA1∥DE且AA1＝DE，所以四边形AA1ED是平行四边形，所以A1E∥AD.(4分)又因为A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，所以直线A1E∥平面ADC1.(7分)证法2连结ED，连结A1C，EC分别交AC1，DC1于点M，N，连结MN，则因为D，E分别为BC，B1C1的中点，所以C1E∥CD且C1E＝CD，所以四边形C1EDC是平行四边形，所以N是CE的中点．(2分)因为A1ACC1为平行四边形，所以M是A1C的中点，(4分)所以MN∥A1E.又因为A1E⊄平面ADC1，MN⊂平面ADC1，所以直线A1E∥平面ADC1.(7分)(2) 在正三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB1.又△ABC是正三角形，且D为BC的中点，所以AD⊥BC.(9分)又BB1，BC⊂平面B1BCC1，BB1∩BC＝B，所以AD⊥平面B1BCC1，又EF⊂平面B1BCC1，所以AD⊥EF.(11分)又EF⊥C1D，C1D，AD⊂平面ADC1，C1D∩AD＝D，所以直线EF⊥平面ADC1.(14分)题型二、线面与面面平行与垂直证明平面与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆平面与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。

高三数学专题复习-立体几何（2）位置关系-平行与垂直立体几何中平行问题证明直线和平面平行的方法有：①利用定义采用反证法；②判定定理；③利用面面平行，证线面平行。

主要方法是②、③两法，在使用判定定理时关键是确定出面内的与面外直线平行的直线.常用具体方法：中位线和相似例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.求证：PC∥面BDQ.证明：如图，连结AC交BD于点O.∵ABCD是平行四边形，∴A O=O C.连结O Q，则O Q在平面BDQ 内，且O Q是△APC的中位线，∴PC∥O Q.∵PC在平面BDQ外，∴PC∥平面BDQ. 例2、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证：(1)E、F、B、D四点共面；（2）面AMN∥面EFBD.证明:(1)分别连结B1D1、ED、FB，如图，则由正方体性质得B1D1∥BD.∵E、F分别是D1C1和B1C1的中点，∴EF∥21B1D1.∴EF∥21BD.∴E、F、B、D对共面.（2）连结A1C1交MN于P点，交EF于点Q，连结AC交BD于点O，分别连结PA、Q O.∵M、N为A1B1、A1D1的中点，∴MN∥EF，EF⊂面EFBD.∴MN∥面EFBD.∵PQ∥A O,∴四边形PA O Q为平行四边形.∴PA∥O Q.而O Q⊂平面EFBD，∴PA ∥面EFBD.且PA∩MN=P ，PA 、MN ⊂面AMN ，∴平面AMN ∥平面EFBD.3如图（1），在直角梯形P 1DCB 中，P 1D//BC ，CD ⊥P 1D ，且P 1D=8，BC=4，DC=46，A 是P 1D 的中点，沿AB 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置（如图（2）），使二面角P —CD —B 成45°，设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点. 求证：AF//平面PEC；证明：如图，设PC 中点为G ，连结FG ， 则FG//CD//AE ，且FG=21CD=AE ，∴四边形AEGF 是平行四边形 ∴AF//EG ，又∵AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ， ∴AF//平面PEC例4、 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP=DQ.求证：PQ ∥面BCE.证法一：如图（1），作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N,连接MN,因为面ABCD∩面ABEF=AB,则AE=DB. 又∵AP=DQ, ∴PE=QB.又∵PM ∥AB ∥QN,∴AE PE AB PM =,BDBQDC QN =. ∴DCQNAB PM =. ∴PM ∥QN.即四边形PMNQ 为平行四边形.∴PQ ∥MN.又∵MN ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE ， ∴PQ ∥面BCE.证法二：如图(2)，连结AQ 并延长交BC 或BC 的延长线于点K ，连结EK.∵AD ∥BC, ∴QKAQQB DQ =.又∵正方形ABCD 与正方形ABEF 有公共边AB ，且AP=DQ ，∴PEAP QK AQ =.则PQ ∥EK. ∴EK ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE. ∴PQ ∥面BCE.例5、正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB （如图所示）M 、N 在对角线AC 、FB 上且AM= FN 。

高中数学高考总复习立体几何各种平行与垂直的判断习题及详解一、选择题1．设b 、c 表示两条不重合的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题是真命题的是( )A.⎭⎪⎬⎪⎫b ⊂αc ∥α⇒b ∥c B.⎭⎪⎬⎪⎫b ⊂αb ∥c ⇒c ∥α C.⎭⎪⎬⎪⎫c ∥αc ⊥β⇒α⊥βD.⎭⎪⎬⎪⎫c ∥αα⊥β⇒c ⊥β [答案] C[解析] 选项A 中的条件不能确定b ∥c ；选项B 中条件的描述也包含着直线c 在平面α内，故不正确；选项D 中的条件也包含着c ⊂β，c 与β斜交或c ∥β，故不正确．[点评] 线线、线面、面面平行或垂直的性质定理和判定定理是解决空间图形位置关系推理的重要依据，在推理中容易把平面几何中的一些结论引用到立体几何中造成错误．对空间中位置关系的考虑不周，也是造成判断错误的因素，所以做这类题目应当考虑全面．2．定点A 和B 都在平面α内，定点P ∉α，PB ⊥α，C 是α内异于A 和B 的动点，且PC ⊥AC .那么，动点C 在平面α内的轨迹是( )A ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点 [答案] B[解析] 连接BC ，∵PB ⊥α，∴AC ⊥PB . 又∵PC ⊥AC ，∴AC ⊥BC .∴C 在以AB 为直径的圆上．故选B. 3．设α、β、γ为平面，给出下列条件： ①a 、b 为异面直线，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α； ②α内不共线的三点到β的距离相等； ③α⊥γ，β⊥γ.其中能使α∥β成立的条件的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[答案] B[解析]对于②，三个点不一定在同侧；对于③，面面的垂直关系不具有传递性．对于①，过b作平面γ∩α＝b′，则b∥b′，∵a与b异面，∴a与b′相交，容易证明b′∥β，又∵a∥β，∴α∥β，故只有①正确．4．a、b、c是三条直线，α、β是两个平面，b⊂α，c⊄α，则下列命题不成立的是() A．若α∥β，c⊥α，则c⊥βB．“若b⊥β，则α⊥β”的逆命题C．若a是c在α内的射影，b⊥a，则b⊥cD．“若b∥c，则c∥α”的逆否命题[答案] B[解析]一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则垂直于另一个，故A正确；若c∥α，∵a是c在α内的射影，∴c∥a，∵b⊥a，∴b⊥c；若c与α相交，则c与a相交，由线面垂直的性质与判定定理知，若b⊥a，则b⊥c，故C正确；∵b⊂α，c⊄α，b∥c，∴c∥α，因此原命题“若b∥c，则c∥α”为真，从而其逆否命题也为真，故D正确．如图，α⊥β，α∩β＝l，b⊂α，b与l不垂直，则b与β不垂直，∴B不成立．5．(文)(2010·天津河东区)已知直线a⊂平面α，直线AO⊥α，垂足为O，P A∩α＝P，若条件p：直线OP不垂直于直线a，条件q：直线AP不垂直于直线a，则条件p是条件q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C故OP⊥a⇔AP⊥a，从而p⇔q.(理)(2010·河南新乡调研)设α、β、γ为平面，l、m、n为直线，则m⊥β的一个充分条件为()A．α⊥β，α∩β＝l，m⊥lB．n⊥α，n⊥β，m⊥αC．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γD．α⊥γ，β⊥γ，m⊥α[答案] B[解析]如图①知A错；如图②知C错；如图③在正方体中，两侧面α与β相交于l，都与底面γ垂直，γ内的直线m⊥α，但m与β不垂直，故D错．6．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC[答案] D[解析]∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD ⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB.又AD⊥AB，故AB⊥平面ADC.∴平面ABC⊥平面ADC.7．(文)(2010·重庆文)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点()A．只有1个B．恰有3个C ．恰有4个D ．有无穷多个[答案] D[解析] 过两条互相垂直的异面直线的公垂线段中点且与两条直线都成45°角的直线上所有点到两条直线的距离都相等，故选D.(理)(2010·全国Ⅱ理)与正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的三条棱AB 、CC 1、A 1D 1所在直线的距离相等的点( )A ．有且只有1个B ．有且只有2个C ．有且只有3个D ．有无数个[答案] D[解析] 如图连结B 1D ，可知B 1D 上的点到AB 、CC 1、A 1D 1的距离均相等，故选D.8．(文)平行四边形ABCD 的对角线交点为O ，点P 在平面ABCD 之外，且P A ＝PC ，PD ＝PB ，则PO 与平面ABCD 的关系是( )A ．斜交B ．平行C ．垂直D ．无法确定[答案] C[解析] ∵P A ＝PC ，∴PO ⊥AC ，∵PB ＝PD ，∴PO ⊥BD ，∵AC ∩BD ＝O ，∴PO ⊥平面ABCD .(理)棱长都为2的直平行六面体(底面为平行四边形的棱柱)ABCD －A 1B 1C 1D 1中，∠BAD ＝60°，则对角线A 1C 与侧面DCC 1D 1所成角的正弦值为( )A.12B.22C.34D.38 [答案] C[解析] 如图所示，过点A 1作直线A 1M ⊥D 1C 1，交D 1C 1延长线于点M ，连结MC ，A 1C ，则可得A 1M ⊥面DD 1C 1C ，∠A 1CM 就是直线A 1C 与面DD 1C 1C 所成的角．∵所有棱长均为2，∠A 1D 1C 1＝120°，∴A 1M ＝A 1D 1sin60°＝3，又A 1C ＝AC 12＋CC 12＝(23)2＋22＝4， ∴sin ∠A 1CM ＝A 1M A 1C ＝34，故应选C.[点评] 求直线与平面所成角时，一般要先观察分析是否可以找(或作)出直线上一点到平面的垂线，若能找出则可以将线面角归结到一个直角三角形中求解．若不容易找出线面角，则可以考虑能否进行转化或借助于空间向量求解，请再练习下题：(2010·全国Ⅰ文)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( ) A.23B.33C.23D.63[答案] D[解析] 解法1：设BD 与AC 交于点O ，连结D 1O ，∵BB 1∥DD 1，∴DD 1与平面ACD 1所成的角就是BB 1与平面ACD 1成的角．∵AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1，DD 1∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面DD 1B ，平面DD 1B ∩平面ACD 1＝OD 1，∴OD 1是DD 1在平面ACD 1内的射影，故∠DD 1O 为直线DD 1与平面ACD 1所成的角，设正方体的棱长为1，则DD 1＝1，DO ＝22，D 1O ＝62，∴cos ∠DD 1O ＝DD 1D 1O ＝63，∴BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为63. 解法2：因为BB 1∥DD 1，所以BB 1与平面ACD 1所成角和DD 1与平面ACD 1所成角相等，设DO ⊥平面ACD 1，由等体积法得VD －ACD 1＝VD 1－ACD ，即13S △ACD 1·DO ＝13S △ACD ·DD 1.设DD 1＝a ，则S △ACD 1＝12AC ·AD 1sin60°＝12×(2a )2×32＝32a 2，S △ACD ＝12AD ·CD ＝12a 2.所以DO ＝S △ACD ·DD 1S △ACD 1＝a 33a 2＝33a ，设DD 1与平面ACD 1所成角为θ，则sin θ＝DO DD 1＝33， 所以cos θ＝63.解法3：建立如图所示空间直角坐标系D －xyz ，设边长为1，BB 1→＝(0,0,1)，平面ACD 1的一个法向量n ＝(1,1,1)，∴cos 〈BB 1→，n 〉＝13·1＝33，∴BB 1与面ACD 1所成角的余弦值为63. 9．(文)(2010·鞍山一中模拟)已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题： ①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α⊥β，其中正确的是( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．②④ D ．①③ [答案] D∵m ⊂β，∴此时推不出l ∥m ，故②错，排除A ，故选D. (理)若平面α与平面β相交，直线m ⊥α，则( ) A ．β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直 B ．β内不一定存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直 C ．β内不一定存在直线与m 平行，但必存在直线与m 垂直 D ．β内必存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直 [答案] C[解析] 若β内存在直线与m 平行，则必有β⊥α，但α与β不一定垂直，故否定A 、D ；在β内必存在与m 在β内射影垂直的直线，从而此线必与m 垂直，否定B ，故选C.10．(文)(2010·芜湖十二中)已知两条不同的直线m 、n ，两个不同的平面α、β，则下列命题中的真命题是( )A ．若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥nB ．若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥nC ．若m ⊥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥nD ．若m ∥α，n ⊥β，α⊥β，则m ∥n[答案] A[解析]如图(1)，m⊥α，n⊥α满足n∥β，但m∥n，故C错；如图(2)知B错；如图(3)正方体中，m∥α，n⊥β，α⊥β，知D错．(理)(2010·浙江金华十校模考)设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中真命题是()A．若a，b与α所成角相等，则a∥bB．若a∥α，b∥β，α⊥β，则a⊥bC．若a⊂α，b⊂β，a⊥b，则α⊥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b[答案] D[解析]正四棱锥P－ABCD中，P A、PC与底面ABCD所成角相等，但P A与PC相交，∴A错；如图(1)正方体中，a∥b∥c，满足a∥α，b∥β，α⊥β，故B错；图(2)正方体中，上、下底面为β、α，a、b为棱，满足a⊂α，b⊂β，a⊥b，但α∥β，故C错；二、填空题11．对于四面体ABCD，给出下列四个命题：①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，则BC ⊥AD ； ④若AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，则BC ⊥AD .其中真命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上) [答案] ①④[解析] 本题考查四面体的性质，取BC 的中点E ，则BC ⊥AE ，BC ⊥DE ，∴BC ⊥面ADE ，∴BC ⊥AD ，故①正确．设O 为A 在面BCD 上的射影，依题意OB ⊥CD ，OC ⊥BD ，∴O 为垂心，∴OD ⊥BC ，∴BC ⊥AD ，故④正确，②③易排除，故答案为①④.12．(文)P 为△ABC 所在平面外一点，P A 、PB 、PC 与平面ABC 所成角均相等，又P A 与BC 垂直，那么△ABC 形状可以是________．①正三角形 ②等腰三角形 ③非等腰三角形 ④等腰直角三角形(将你认为正确的序号全填上) [答案] ①②④[解析] 设点P 在底面ABC 上的射影为O ，由P A 、PB 、PC 与平面ABC 所成角均相等，得OA ＝OB ＝OC ，即点O 为△ABC 的外心，又由P A ⊥BC ，得OA ⊥BC ，即AO 为△ABC 中BC 边上的高线，∴AB ＝AC ，即△ABC 必为等腰三角形，故应填①②④.(理)如图将边长为1的正方形纸板ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ACB ⊥平面ACD ，然后放在桌面上，使点B 、C 、D 落在桌面，这时点A 到桌面的距离为________．[答案]63[解析] 取AC 中点O ，∵OB ⊥AC ，OD ⊥AC ，OB ∩OD ＝O ，∴AC ⊥平面BOD ，∴∠BOD ＝90°.又∵BO ＝OD ＝22，∴BD ＝1，S △BOD ＝14， ∴V A －BCD ＝13S △BOD ·AC ＝212，设A 到桌面距离为h ，V A －BCD ＝13S △BCD ·h ＝13×34×h ＝212，∴h ＝63，即A 到桌面距离为63. 13．(2010·安徽淮北一中)已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，则①棱AB 与PD 所在的直线垂直； ②平面PBC 与平面ABCD 垂直； ③△PCD 的面积大于△P AB 的面积；④直线AE与直线BF是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)[答案]①③[解析]由条件可得AB⊥平面P AD，所以AB⊥PD，故①正确；∵P A⊥平面ABCD，∴平面P AB、平面P AD都与平面ABCD垂直，故平面PBC不可能与平面ABCD垂直，②错；S△PCD＝12CD·PD，S△P AB＝12AB·P A，由AB＝CD，PD>P A知③正确；由E、F分别是棱PC、PD的中点可得EF∥CD，又AB∥CD，所以EF∥AB，故AE与BF共面，故④错．14．(文)(2010·河北唐山)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，∠ADC＝90°，且AA1＝AD＝DC＝2，M∈平面ABCD，当D1M⊥平面A1C1D时，DM＝________.[答案]2 2[解析]∵DA＝DC＝DD1且DA、DC、DD1两两垂直，故当点M使四边形ADCM为正方形时，D1M⊥平面A1C1D，∴DM＝2 2.(理)(2010·安徽巢湖市质检)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别是AB，BC，B1C1的中点．下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形；②P在直线FG上运动时，AP⊥DE；③Q在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1QC的体积不变；④M是正方体的面A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是一条线段．[答案]②③④[解析]三棱锥A1－ABC的四个面都是Rt△，故①错；F在FG上运动时，PF⊥平面ABCD，∴PF⊥DE，又在正方体ABCD中，E、F为AB、BC中点，∴AF⊥DE，∴DE⊥平面P AF，∴DE⊥P A，故②真；VA－D1QC＝VQ－AD1C，∵BC1∥AD1，∴BC1∥平面AD1C，∴无论点Q在BC1上怎样运动，Q到平面AD1C距离都相等，故③真；到点D和C1距离相等的点在经过线段C1D的中点与DC1垂直的平面α上，故点M为平面α与正方体的面A1B1C1D1相交线段上的点，这条线段即A1D1.三、解答题15．(文)(2010·江苏，16)如图，四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°(1)求证：PC ⊥BC(2)求点A 到平面PBC 的距离．[解析] (1)∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC . 由∠BCD ＝90°知，BC ⊥DC ， ∵PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PDC ， ∴BC ⊥PC .(2)设点A 到平面PBC 的距离为h ， ∵AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴∠ABC ＝90°， ∵AB ＝2，BC ＝1，∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝1，∵PD ⊥平面ABCD ，PD ＝1， ∴V P －ABC ＝13S △ABC ·PD ＝13，∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥DC ， ∵PD ＝DC ＝1，∴PC ＝2， ∵PC ⊥BC ，BC ＝1， ∴S △PBC ＝12PC ·BC ＝22，∵V A －PBC ＝V P －ABC ， ∴13S △PBC ·h ＝13，∴h ＝2， ∴点A 到平面PBC 的距离为 2.(理)如图，已知三棱锥A －BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 的中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形．(1)求证：DM ∥平面APC ； (2)求证：平面ABC ⊥平面APC ；(3)若BC ＝4，AB ＝20，求三棱锥D －BCM 的体积．[解析] (1)∵M 为AB 中点，D 为PB 中点，∴DM ∥AP ，又DM ⊄平面APC ，AP ⊂平面APC .∴DM ∥平面APC .(2)∵△PMB 为正三角形，且D 为PB 中点，∴MD ⊥PB ，又由(1)知MD ∥AP ，∴AP ⊥PB又已知AP ⊥PC ，∴AP ⊥平面PBC ，∴AP ⊥BC ，又∵AC ⊥BC∴BC ⊥平面APC∴平面ABC ⊥平面APC .(3)∵AB ＝20，∴MP ＝10，∴PB ＝10又BC ＝4，PC ＝100－16＝221∴S △BDC ＝12S △PBC ＝14PC ·BC ＝14×4×221 ＝221又MD ＝12AP ＝12202－102＝5 3 ∴V D －BCM ＝V M －BCD ＝13S △BDC ·DM ＝13×221×5 3 ＝107.16．(文)如图，已知在直四棱柱ABCD －A1B 1C 1D 1中，AD ⊥DC ，AB ∥DC ，DC ＝DD 1＝2AD ＝2AB ＝2.(1)求证：DB ⊥平面B 1BCC 1；(2)设E 是DC 上一点，试确定E 的位置，使得D 1E ∥平面A 1BD ，并说明理由．[解析] (1)证明：∵AB ∥DC ，AD ⊥DC ，∴AB ⊥AD ，在Rt △ABD 中，AB ＝AD ＝1，∴BD ＝2，易求BC ＝2，又∵CD ＝2，∴BD ⊥BC .又BD ⊥BB 1，B 1B ∩BC ＝B ，∴BD ⊥平面B 1BCC 1.(2)DC 的中点即为E 点．∵DE ∥AB ，DE ＝AB ，∴四边形ABED 是平行四边形．∴AD 綊BE .又AD 綊A 1D 1，∴BE 綊A 1D 1，∴四边形A 1D 1EB 是平行四边形．∴D 1E ∥A 1B .∵D 1E ⊄平面A 1BD ，A 1B ⊂平面A 1BD .∴D 1E ∥平面A 1BD .(理)在三棱锥P －ABC 中，△P AC 和△PBC 是边长为2的等边三角形，AB ＝2，O 是AB 中点．(1)在棱P A 上求一点M ，使得OM ∥平面PBC ；(2)求证：平面P AB ⊥平面ABC ；(3)求二面角P －BC －A 的余弦值．[解析] (1)当M 为棱P A 的中点时，OM ∥平面PBC .证明如下：∵M 、O 分别为P A 、AB 中点，∴OM ∥PB又PB ⊂平面PBC ，OM ⊄平面PBC∴OM ∥平面PBC .(2)连结OC 、OP∵AC ＝CB ＝2，O 是AB 中点，AB ＝2，∴OC ⊥AB ，OC ＝1.同理，PO ⊥AB ，PO ＝1.又PC ＝2，∴PC 2＝OC 2＋PO 2＝2，∴∠POC ＝90°，∴PO ⊥OC .∵PO ⊥OC ，PO ⊥AB ，AB ∩OC ＝O ，∴PO ⊥平面ABC .∵PO ⊂平面P AB ，∴平面P AB ⊥平面ABC .(3)如图，建立空间直角坐标系O －xyz .则B (1,0,0)，C (0,1,0)，P (0,0,1)，∴BC →＝(－1,1,0)，PB →＝(1,0，－1)．由(2)知OP →＝(0,0,1)是平面ABC 的一个法向量．设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BC →＝0n ·PB →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0x －z ＝0， 令z ＝1，则x ＝1，y ＝1，∴n ＝(1,1,1)．∴cos 〈OP →，n 〉＝OP →·n |OP →|·|n |＝11×3＝33. ∵二面角P －BC －A 的平面角为锐角，∴所求二面角P －BC －A 的余弦值为33. 17．(文)如图，在△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且AE AC ＝AF AD ＝λ(0<λ<1)．(1)判断EF 与平面ABC 的位置关系并给予证明；(2)是否存在λ，使得平面BEF ⊥平面ACD ，如果存在，求出λ的值，如果不存在，说明理由．[分析] (1)EF 与平面ABC 相交于点E ，故其关系只能是垂直或斜交，由条件AE AC ＝AF AD＝λ易知，EF ∥CD ，由∠BCD ＝90°及AB ⊥平面BCD ，易证CD ⊥平面ABC .(2)∵EF ∥CD ，故问题相当于过点B 作一个平面与ACD 垂直，这样的平面一定存在，故只须计算出λ即可，由条件不难得到BE ⊥CD ，故只须BE ⊥AC .[解析] (1)EF ⊥平面ABC .证明：因为AB ⊥平面BCD ，所以AB ⊥CD ，又在△BCD 中，∠BCD ＝90°，所以BC ⊥CD ，又AB ∩BC ＝B ，所以CD ⊥平面ABC ，又在△ACD 中，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且AEAC ＝AF AD＝λ(0<λ<1)，∴EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC .(2)∵CD ⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ，∴BE ⊥CD ，在Rt △ABD 中，∠ADB ＝60°，∴AB ＝BD tan60°＝6，则AC ＝AB 2＋BC 2＝7，当BE ⊥AC 时，BE ＝AB ×BC AC ＝67，AE ＝AB 2－BE 2＝367， 则AE AC ＝3677＝67，即λ＝AE AC ＝67时，BE ⊥AC ， 又BE ⊥CD ，AC ∩CD ＝C ，∴BE ⊥平面ACD ，∵BE ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面ACD . 所以存在λ，且当λ＝67时，平面BEF ⊥平面ACD . [点评] 高考整体降低了对立体几何的考查要求，故线线、线面、面面的位置关系成了主要的考查点，其中平行、垂直的证明题与探索题是重点，同时也要注意由三视图与几何体的结合进行表面积与体积的计算等问题．(理)已知四棱锥P－ABCD 的三视图如下图所示，E 是侧棱PC 上的动点．(1)求四棱锥P －ABCD 的体积；(2)是否不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ？证明你的结论；(3)若点E 为PC 的中点，求二面角D －AE －B 的大小．[解析] (1)由三视图可知，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC ＝2.∴V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PC ＝13×12×2＝23， 即四棱锥P－ABCD 的体积为23.(2)不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE .证明如下：连结AC ，∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC .∵PC ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PC .又∵AC ∩PC ＝C ，∴BD ⊥平面P AC .∵不论点E 在何位置，都有AE ⊂平面P AC .∴不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE .(3)解法1：在平面DAE 内过点D 作DF ⊥AE 于F ，连结BF .∵AD ＝AB ＝1，DE ＝BE ＝12＋12＝2，AE ＝AE ＝3，∴Rt △ADE ≌Rt △ABE ，从而△ADF ≌△ABF ，∴BF ⊥AE .∴∠DFB 为二面角D －AE －B 的平面角．在Rt △ADE 中，DF ＝AD ·DE AE ＝1×23＝63， ∴BF ＝63. 又BD ＝2，在△DFB 中，由余弦定理得cos ∠DFB ＝DF 2＋BF 2－BD 22DF ·BF ＝－12， ∴∠DFB ＝2π3， 即二面角D －AE －B 的大小为2π3. 解法2：如图，以点C 为原点，CD ，CB ，CP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则D (1,0,0)，A (1,1,0)，B (0,1,0)，E (0,0,1)，从而DA →＝(0,1,0)，DE →＝(－1,0,1)，BA→＝(1,0,0)，BE →＝(0，－1,1)．设平面ADE 和平面ABE 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝0n 1·DE →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＝0－x 1＋z 1＝0，取n 1＝(1,0,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BA →＝0n 2·BE →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝0－y 2＋z 2＝0，取n 2＝(0，－1，－1)． 设二面角D －AE －B 的平面角为θ，则 cos θ＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－12·2＝－12， ∴θ＝2π3，即二面角D －AE －B 的大小为2π3.。

高中数学知识点总结及公式大全立体几何中的平行与垂直问题高中数学知识点总结及公式大全：立体几何中的平行与垂直问题在高中数学中，几何是一个重要的分支，而立体几何更是其中的重要内容之一。

在立体几何中，平行和垂直是我们经常遇到的问题。

本文将对高中数学中的立体几何知识点进行总结，并提供一些常用的公式。

一、平行与垂直的概念在几何中，平行和垂直是两个基本的关系。

平行指的是两条直线永远不会相交的情况，可以想象成两条铁轨永远平行。

垂直则指的是两条直线相互成直角，可以想象成两根彼此垂直的木棍。

二、平行与垂直的判定方法1. 平行关系的判定方法：(1) 同位角相等定理：如果两条直线被一组相交线段所切割，且这些相交线段的对应角相等，则这两条直线是平行的。

(2) 平行线的性质定理：如果一条直线上的两个点分别与另一条直线上的两个点相连，且相连的线段互相平行，则这两条直线是平行的。

(3) 平行线的判定定理：如果两条直线的斜率相等且不相交，则这两条直线是平行的。

2. 垂直关系的判定方法：(1) 两条直线相交且相交角为90度，则这两条直线是垂直的。

(2) 垂直线的性质定理：如果一条直线与另一条直线相互垂直，且这两条直线各自还与第三条直线相交，则第三条直线与这两条直线也是垂直的。

(3) 垂直线的判定定理：如果两条直线的斜率互为负倒数，则这两条直线是垂直的。

三、常用公式在立体几何中，我们经常使用一些公式来求解问题。

下面是一些常用的公式：1. 立方体的表面积公式：立方体的表面积等于6倍的边长平方。

2. 立方体的体积公式：立方体的体积等于边长的立方。

3. 正方体的表面积公式：正方体的表面积等于6倍的边长平方。

4. 正方体的体积公式：正方体的体积等于边长的立方。

5. 圆柱体的表面积公式：圆柱体的表面积等于2πr² + 2πrh，其中r为底面半径，h为高。

6. 圆柱体的体积公式：圆柱体的体积等于πr²h，其中r为底面半径，h为高。

直线、平面垂直的判定和性质【考纲要求】1、掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；2、掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．3、能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题。

【知识网络】【考点梳理】考点一、直线与平面垂直的判定1、定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α垂直；2、判定定理：（1）内容：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直； （2）符合语言：l a l b a b l a b ααα⊥⎫⎪⊥⎪⎪⋂⇒⊥⎬⎪⊂⎪⊂⎪⎭3、证明直线和平面垂直的常用方法有： （1）利用判定定理；（2）利用平行线垂直于平面的传递性（3）利用面面平行的性质（4）利用面面垂直的性质。

直线、平面垂直判定定理性质定理 线面垂直面面垂直判定定理性质定理要点诠释：当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线，常用来证明线线垂直。

考点二、直线与平面垂直的性质1、如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。

2、如果两条平行线中有一条垂直于一个平面，那么另外一条也垂直于这个平面。

考点三、平面与平面垂直的判定1、二面角的有关概念（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；（2）二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

2、平面与平面垂直（1）定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直；（2）判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直；（3）符号语言：aaααββ⊂⎫⇒⊥⎬⊥⎭3、证明面面垂直的主要方法是：①利用判定定理。

在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线，充分利用等腰三角形底边的中线垂直于底边，勾股定理等结论。

②用定义证明。

只需判定两平面所成二面角为直二面角。

③客观题中，也可应用：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面。