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初三数学第十二次课三角形

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三角形的边与角一、选择题1.如图3,在长方形网格中,每个小长方形的长为2,宽为1,A 、B 两点在网格格点上,若点C 也在网格格点上,以A 、B 、C 为顶点的三角形面积为2,则满足条件的点C 个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ． 53.一次数学活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°4.若一个三角形三个内角度数的比为2︰7︰4，那么这个三角形是（ ） A . 直角三角形 B . 锐角三角形 C . 钝角三角形 D . 等边三角形5.如图，DE 是△ABC 的中位线，若BC 的长是3cm ，则DE 的长是（ ）A ．2cmB ．1.5cmC ．1.2cmD ．1cm6.如图(八)，三边均不等长的ABC ∆，若在此三角形内找一点O ，使得OAB ∆、OBC ∆、OCA ∆的面积均相等。

判断下列作法何者正确？A ． 作中线AD ，再取AD 的中点OB ． 分别作中线AD 、BE ，再取此两中线的交点OC ． 分别作AB 、BC 的中垂线，再取此两中垂线的交点OE A BCD 30°45°αAB图3D ． 分别作A ∠、B ∠的角平分线，再取此两角平分线的交点O7.图(五)为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为421平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分？A ． 11B ． 12C ． 13D ． 148.小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（）9.△ABC 的内角和为A.180°B.360°C.540°D.720°10．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是A ．32°B ．58°C ．68°D ．60°11.如图1所示，∠A 、∠1、∠2的大小关系是 A. ∠A>∠1>∠2 B. ∠2>∠1>∠A C. ∠A>∠2>∠1 D. ∠2>∠A>∠113.将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB 的度数为12OBAA．75°B．95°C．105°D．120°14.王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图.要使这个木架不变形，他至少要再钉上几根木条? A．0根 B.1根 C.2根 D.3根15.如图，在△ABC中，D、Ｅ分别是AB、AC的中点，若DE＝5，则BC＝A．6 B．8 C．10 D．1216.一副三角板,如图所示叠放在一起,则图中∠ 的度数是（）A．75 B．60 C．65D．5517.已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为（）A．2 B．3 C．5 D．1318.如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O,点F、G分别是BO、CO的中点，连结AO.若AO=6cm，BC=8cm，则四边形DEFG的周长是( )A.14cmB.18cmC.24cmD.28cm 二、填空题2.如图，在△ABC 中，AB =AC ，︒=∠40A ，则△ABC 的外角∠BCD ＝ 度．3.如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 的内角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．4.如图，在∆ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 是∆ABC 内两点，AD 平分∠BAC ，∠EBC ＝∠E ＝60°，若BE ＝6cm ，DE ＝2cm ，则BC ＝cm6.如图，在△ABC 中，点P 是△ABC 的内心，则∠PBC +∠PCA +∠P AB = 度.第13题图7.如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E F ，分别是AB CD ，的中点ABC PD第8题图（第14题）A BCD18AD BC PEF =∠= ，，则PFE ∠的度数是 ．8. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AC 、BC 的中点，若DE =4, 则AB = .DCABE9.如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点DF 过EC 的中点G 并与BC 的延长线交于点F ，BE 与DF 交于点O 。

若△ADE 的面积为S ，则四边形BOGC 的面积= ．10．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，BC=8，则DE= .ABCD E11.如图， 点B 、C 、D 在同一条直线上，CE //AB ，∠ACB ＝90°，如果∠ECD ＝36°，那么∠A ＝_________．ABCDE G FOCFDBE AP（第15题）12.如图，在△ABC 中，AB = 5cm ，AC = 3cm ，BC 的垂直平分线分别交AB 、BC 于D 、E ，则△ACD 的周长为______________cm ．13.如图，在△ABC 中E 是BC 上的一点，EC=2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC 、△ADF 、△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF ，S △BEF ，且S △ABC =12，则S △ADF －S △BEF =_________．14.如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 的内角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．15.如图所示，在△ABC 中，∠B =90°，AB =3，AC =5，将△ABC 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为DE ，则△ABE 的周长为．ABC PD第8题图第6题图ABCEFD ABCDE （第17题）EDC BA16.如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ，E 是AC 的中点．若DE =5，则AB 的长为 ▲ ．AB CD E17.如图，在△ABC 中，∠A=80°,点D 是BC 延长线上一点，∠ACD=150°，则∠B= .18.如图，在△ABC 中E 是BC 上的一点，EC=2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC 、△ADF 、△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF ，S △BEF ，且S △ABC =12，则S △ADF －S △BEF =_________．19.如图，DE 是△ABC 的中位线，M 、N 分别是BD 、CE 的中点，MN=6，则BC=20．如下图，已知：△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝3，DB ＝6，AE ＝2，则EC ＝_______.直角三角形与勾股定理一、选择题1.在△ABC 中,∠C=90°, ∠C=72°,AB=10,则边AC 的长约为(精确到0.1)（ ）A E CBD第6题图ABCEFD ABC D13题图o150o80A.9.1B.9.5C.3.1D.3.52.如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m 和8m.按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管道，则O 到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O 为点）是（ ）A2m B.3m C.6m D.9m3.已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160公尺，再向东直走80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少公尺后，他与神仙百货的距离为340公尺？A ． 100B ． 180C ． 220D ． 2604.将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm 的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图(3)，则三角板的最大边的长为 A. 3cm B. 6cm C. 32cm D. 62cm5.如图，△ABC 中，∠C =90°，AC =3，∠B =30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能是（第7题图）（A ）3.5 （B ）4.2 （C ）5.8 （D ）76.如图3，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6,D,E 分别在AB,AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为（ ）A ．21 B ．2 C ．3 D ．4O（第7题图）图3A 'CBADE二、填空题1.下列命题中，其逆．命题成立的是______________．（只填写序号） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形．2.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1,S 2，S 3． 若S 1，S 2，S 3＝10，则S 2的值是 ．3. 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH 的边长为2米，坡角∠A ＝30°,∠B ＝90°,BC ＝6米. 当正方形DEFH 运动到什么位置,即当AE ＝ 米时,有DC 2＝AE 2＋BC 2.4.把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222a b c +=”的逆命题改写成“如果……，那么……”的形式：。

5.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，若CD = 5cm ，则EF = _________cm ．6.在直角三角形ABC 中，∠C ＝ 90°，BC ＝ 12，AC ＝ 9，则AB ＝ ▲ ．7.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6cm ，AC =8cm ，按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的C ′点，那么△ADC ′的面积是 ．8.将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB =14cm ，则阴影部分的面积是________cm 2.三、解答题1.某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为6m 、8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形．．．．．．．．．．．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．2.王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔.已知第一条边长为a 米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米. (1)请用a 表示第三条边长；(2)问第一条边长可以为7米吗？为什么?请说明理由，并求出a 的取值范围；(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法;若不能，请说明理由.4.如图,在直角△ABC 中, ∠ACB=90,CD ⊥AB,垂足为D,点E 在AC 上,BE 交CD 于点G ,EF ⊥BE 交AB 于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n 为实数).试探究线段EF 与EG 的数量关系.AC EDB F 30°45°第16题图ACBEFD （第16题）文武个性化教案 - 11 -(1) 如图(14.2),当m=1,n=1时,EF 与EG 的数量关系是证明:(2) 如图(14.3),当m=1,n 为任意实数时,EF 与EG 的数量关系是证明(3) 如图(14.1),当m,n 均为任意实数时,EF 与EG 的数量关系是(写出关系式,不必证明)5. （2011四川乐山18，3分）如图，在直角△ABC 中，∠C=90，∠CAB 的平分线AD 交BC 于D ，若DE 垂直平分AB ，求∠B 的度数。

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三角形知识点归纳总结初中

三角形知识点归纳总结初中

三角形知识点归纳总结初中一、三角形的概念。

1. 定义。

- 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2. 表示方法。

- 三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。

二、三角形的分类。

1. 按角分类。

- 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。

- 直角三角形：有一个角是直角的三角形。

直角三角形可以用符号“Rt△”表示，如Rt△ABC，表示∠C = 90°。

- 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。

2. 按边分类。

- 不等边三角形：三边都不相等的三角形。

- 等腰三角形：有两边相等的三角形。

相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

- 等边三角形：三边都相等的三角形。

等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三个角都相等，并且每个角都等于60°。

三、三角形的三边关系。

1. 定理。

- 三角形两边之和大于第三边。

- 三角形两边之差小于第三边。

2. 应用。

- 判断三条线段能否组成三角形。

例如，三条线段a、b、c（a≤b≤c），若a + b>c，则这三条线段能组成三角形。

四、三角形的高、中线与角平分线。

1. 高。

- 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

- 性质：- 三角形的三条高所在直线相交于一点。

- 锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形的两条直角边互为高，斜边上的高在三角形内部；钝角三角形的高，钝角所对的边上的高在三角形外部，另两条高在三角形内部。

2. 中线。

- 定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。

- 性质：- 三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心。

- 三角形的一条中线把三角形分成两个面积相等的三角形。

因为等底同高的三角形面积相等。

3. 角平分线。

- 定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

第12章 第5课时 三角形全等的判定(4)——HL

第12章 第5课时 三角形全等的判定(4)——HL


数学
证明：∵AC⊥CF，DE⊥CF， ∴∠C＝∠DEF＝90°. 又∵CE＝BF，∴CE＋EB＝BF＋EB，即 BC＝FE. 在 Rt△ACB 和 Rt△DEF 中， ∵BC＝FE，AB＝DF， ∴Rt△ACB≌Rt△DEF(HL)，∴AC＝DE.
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数学 8．如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，BF＝EC.求证：Rt△ ABC≌Rt△DEF.
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数学
巩固训练
4．如图，AC⊥AB 于 A，BD⊥AB 于 B，CE＝DE，E 是 AB
的中点．应用上述条件，可证明△CAE≌△DBE，这是根据
(D ) A．SAS
B．SSA
C．AAS
D．HL
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数学 5．如图，∠A＝90°，AB＝AC，D，E 分别是 AB，AC 上一点， BE 交 CD 于 F.若要补充一个条件，使得△ABE≌△ACD，在 下列条件中，不能补充的条件是( C ) A．AD＝AE B．BE＝CD C．BF＝CF D．∠B＝∠C

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数学
精典范例
【例 1】已知下列语句：
(1)有两个锐角相等的直角三角形全等；
(2)一条斜边对应相等的两个直角三角形全等；
(3)三个角对应相等的两个三角形全等； (4)两个直角三角形全等．
其中正确语句的个数为( A )
A．0
B．1
C．2
D．3
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数学 【例 2】如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL” 判定 Rt△ABC 与 Rt△ABD 全等．以下给出的条件适合的是 (A)
AC＝BF，
∴△ADC≌△BDF(AAS)，∴DF＝DC.
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数学
(2)解：∵△ADC≌△BDF，∴BD＝AD， 即∠ABC＝∠BAD＝45°.
初中数学人教八年级上册(2023年更新)第十二章 全等三角形全等三角形 教案

初中数学人教八年级上册(2023年更新)第十二章 全等三角形全等三角形 教案

全等三角形的判定复题课教学目标：熟练运用适当的方法判定两三角形全等通过探究与交流培养学生几何逻辑思维能力让学生感受和发现数学中的几何图形直观美教学重点：能够判定两个三角形的全等教学难点：能够利用条件熟练的应用适当的方法迅速的解题教学过程：教学环节、内容、步骤师生互动策划备注（活动目的）教师活动学生活动引入展导知识梳理：引导学生复习全等三角形的判定方法1、通常用于判定两三角形全等的一般方法有方法有种,分别简记为____，______，____ ，____2、对于直角三角形(即Rt△),除了一般方法外：当两直角三角形有一组斜边和直角边分别相等时，两三角形______，简记______。

3、全等三角形的______相等，______相等。

回顾旧知，为后面的学习埋下伏笔主题展导1.合作探究2.学生展评证明全等三角形全等的基本思路：一、挖掘“隐含条件”判全等引导学生总结：公共边，公共角，对顶角这些都是隐含的边，角相等的条件思考：（1）已知两边：SSS, SAS, HL（2）已知两角：ASA, AAS（3）已知一边一角：SAS, ASA,AAS, HL1.如图（1），AB=CD，AC=BD，则△ABC≌△DCB吗?说说理由2.如图（2），点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD=AE,AB若∠B=20°,CD=5cm，则∠C= ＿＿,BE=＿＿，说说理由.3.如图（3），AC与BD相交于O,若OB=OD，∠A=∠C，若AB=3cm，则CD= ＿＿. 说说理由.学生通过自己探讨获得新知，使学生成为学习的主体，使学生学会学习，交流与合作。

3. 教师指导4. 反馈练习5.拓展延伸二、熟练转化“间接条件”判全等引导学生总结：等量加等量和相等，等量减等量差相等，都是用来间接找边和角相等的方法！5,AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点,试说明:BF=CF.能力提升：如图,在△ABC中, AC=BC,∠ACB=90°, ∠CAB的角平分线AE交边CB于E点，过E点作EF⊥AB于F,已知AB等于10㎝，求△EFB的周长？课后闯关: 略4.如图在△ABC、△ADE中∠B=∠D，AC=AE, 且∠CAE=∠BAD，1.独立思考2.小组讨论3.展示成果1.独立思考2.小组讨论3.展示成果略在教师的指导下主动构建知识的过程。

人教版初中数学第十二章知识点总结

人教版初中数学第十二章知识点总结

第十二章全等三角形12.1全等三角形1.全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。

2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

重合的顶点叫做对应点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角。

3.全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。

△ABC与△DEF全等，记作：△ABC≌△DEF注意：表示两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

4.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

5.平移、翻折、旋转前后的两个图形全等。

6.找全等三角形对应边、对应角的规律：（1）有公共边的两个三角形全等，公共边一定是对应边；有公共角的两个三角形全等，公共角一定是对应角；有对顶角的两个三角形全等，对顶角一定是对应角；（2）在全等三角形中，最大边与最大边是对应边，最大角与最大角是对应角。

（3）在全等三角形中，对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边。

12.2全等形的判定1.已知：如图△ABC求作：△A´B´C´,使B´C´=BC、B´A´=BAC´A´=CA。

作法：（1）作线段B´C´=BC；（2）分别以点B´、C´为圆心，线段AB、AC长为半径画弧，两弧交于A´；（3）连接´A´B´、A´C´；则△A´B´C´为所求。

2.判定方法1：三边分别相等的两个三角形全等。

（可以简写成“边边边”或“SSS”）。

3.尺规作图2：作一个角等于已知角已知：∠AOB求作;∠A´O´B´,使∠A´O´B´=∠AOB作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA,OB于点C，D；(2)画一条射线O´A´，以点O´为圆心OC长为半径画弧，交O´A´于点C´;(3)以C´为圆心，CD长为半径画弧与第2步中所画的弧相交于点D´；（4）过点D´画射线O´B´,则∠A´O´B´=∠AOB。