《概率论与数理统计》习题答案(复旦大学出版社)4

概率论与数理统计课后习题答案____复旦版2.设A，B，C为三个事件，试⽤A，B，C的运算关系式表⽰下列事件：（1）A发⽣，B，C都不发⽣；（2）A与B发⽣，C不发⽣；（3）A，B，C都发⽣；（4）A，B，C⾄少有⼀个发⽣；（5）A，B，C都不发⽣；（6）A，B，C不都发⽣；（7）A，B，C⾄多有2个发⽣；（8）A，B，C⾄少有2个发⽣.【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC（4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC(5) ABC=A B C(6) ABC(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3. 略.见教材习题参考答案4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）.【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)]=1-[0.7-0.3]=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1）在什么条件下P（AB）取到最⼤值？（2）在什么条件下P（AB）取到最⼩值？【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最⼤值为0.6.（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最⼩值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0， P（AC）=1/12，求A，B，C⾄少有⼀事件发⽣的概率.【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=14+14+13-112=347. 从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张⿊桃，3张红⼼，3张⽅块，2张梅花的概率是多少？【解】p=5332131313131352C C C C/C12. 50只铆钉随机地取来⽤在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件⽤3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在⼀个部件上，则这个部件强度就太弱.求发⽣⼀个部件强度太弱的概率是多少？【解】设A ={发⽣⼀个部件强度太弱} 133103501()C C /C 1960P A == 13. ⼀个袋内装有⼤⼩相同的7个球，其中4个是⽩球，3个是⿊球，从中⼀次233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A ====故 232322()()()35P A A P A P A =+=14. 有甲、⼄两批种⼦，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种⼦中各随机取⼀粒，求：（1）两粒都发芽的概率；（2）⾄少有⼀粒发芽的概率；（3）恰有⼀粒发芽的概率.【解】设A i ={第i 批种⼦中的⼀粒发芽}，（i =1,2）(1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==?= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-?= (3) 2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =?+?= 15. 掷⼀枚均匀硬币直到出现3次正⾯才停⽌.（1）问正好在第6次停⽌的概率；（2）问正好在第6次停⽌的情况下，第5次也是出现正⾯的概率.【解】（1） 223151115()()22232p C == (2) 1342111C ()()22245/325p == 16. 甲、⼄两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每⼈各投了3次，求⼆⼈进球数相等的概率.【解】设A i ={甲进i 球}，i =0,1,2,3,B i ={⼄进i 球},i =0,1,2,3,则33312123330()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+??+ 2222333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)=0.32076 17．从5双不同的鞋⼦中任取4只，求这4只鞋⼦中⾄少有两只鞋⼦配成⼀双的概率.【解】 4111152222410C C C C C 131C 21p =-=18. 某地某天下雪的概率为0.3，下⾬的概率为0.5，既下雪⼜下⾬的概率为0.1,求：（1）在下⾬条件下下雪的概率；（2）这天下⾬或下雪的概率. 【解】设A ={下⾬}，B ={下雪}.（1） ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A === （2） ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=21. 两⼈约定上午9∶00~10∶00在公园会⾯，求⼀⼈要等另⼀⼈半⼩时以上的概率.题21图题22图【解】设两⼈到达时刻为x,y ,则0≤x ,y ≤60.事件“⼀⼈要等另⼀⼈半⼩时以上”等价于|x -y |>30.如图阴影部分所⽰.22301604P ==23. 设P （A ）=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5，求P （B ｜A ∪B ）【解】 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B A B P A B P A P B P AB -==+- 0.70.510.70.60.54-==+-24. 在⼀个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第⼀次⽐赛中任意取出3个球，⽐赛后放回原盒中；第⼆次⽐赛同样任意取出3个球，求第⼆次取出的3个球均为新球的概率.【解】设A i ={第⼀次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第⼆次取出的3球均为新球}由全概率公式，有30()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =?+?+?+?0.089= 33. 三⼈独⽴地破译⼀个密码，他们能破译的概率分别为15，13，14，求将此密码破译出的概率.【解】设A i ={第i ⼈能破译}（i =1,2,3），则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-??=3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.458习题⼆1.⼀袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表⽰取出的3只球中的最⼤号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】353524353,4,51(3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6C X P X P X P X ==========故所求分布律为 X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.62.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表⽰取出的次品个数，求：（1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图； (3)133{},{1},{1},{12}222P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.【解】313315122133151133150,1,2.C 22(0).C 35C C 12(1).C 35C 1(2).C 35X P X P X P X ========== 故X 的分布律为X 0 1 2 P2235 1235 135（2）当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)=2235当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数0,022,0135()34,12351,2x x F x x x(3)1122()(),2235333434(1)()(1)02235353312(1)(1)(1)2235341(12)(2)(1)(2)10.设X 表⽰击中⽬标的次数.则X =0，1，2，3.31232233(0)(0.2)0.008(1)C 0.8(0.2)0.096(2)C (0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512P X P X P X P X ============故X 的分布律为X0 1 2 3 P0.0080.0960.3840.512分布函数0,00.008,01()0.104,120.488,231,3x x F x x x x=≤≥??(2)(2)(3)0.896P X P X P X ≥==+==4.（1）设随机变量X 的分布律为P {X =k }=!k akλ，其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a .（2）设随机变量X 的分布律为P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，试确定常数a . 【解】（1）由分布律的性质知1()e !kk k P X k a a k λλ∞∞======∑∑故 e a λ-=(2) 由分布律的性质知111()NNk k aP X k a N======∑∑即 1a =.5.甲、⼄两⼈投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：（1）两⼈投中次数相等的概率; （2）甲⽐⼄投中次数多的概率.【解】分别令X 、Y 表⽰甲、⼄投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7)(1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+(3,3)P X Y ==33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++2222333C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+ 0.3207633C 0.6(0.4)(0.3)C (0.6)0.4(0.3)=++ 33221233(0.6)(0.3)C (0.6)0.4C 0.7(0.3)++ 31232233(0.6)C 0.7(0.3)(0.6)C (0.7)0.3+=0.2437.有⼀繁忙的汽车站，每天有⼤量汽车通过，设每辆车在⼀天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不⼩于2的概率是多少（利⽤泊松定理）？【解】设X 表⽰出事故的次数，则X ~b （1000，0.0001）(2)1(0)(1)P X P X P X ≥=-=-=0.10.1e0.1e --=--? 8.已知在五重贝努⾥试验中成功的次数X 满⾜P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}.【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则1422355C (1)C (1)p p p p -=-故 13p =所以 4451210(4)C ()33243P X ===.9.设事件A 在每⼀次试验中发⽣的概率为0.3，当A 发⽣不少于3次时，指⽰灯发出信号，（1）进⾏了5次独⽴试验，试求指⽰灯发出信号的概率；（2）进⾏了7次独⽴试验，试求指⽰灯发出信号的概率. 【解】（1）设X 表⽰5次独⽴试验中A 发⽣的次数，则X ~6（5，0.3）5553(3)C (0.3)(0.7)0.16308kk k k P X -=≥==∑(2) 令Y 表⽰7次独⽴试验中A 发⽣的次数，则Y~b （7，0.3）7773(3)C (0.3)(0.7)0.35293k k k k P Y -=≥==∑10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，⽽与时间间隔起点⽆关（时间以⼩时计）. （1）求某⼀天中午12时⾄下午3时没收到呼救的概率；（2）求某⼀天中午12时⾄下午5时⾄少收到1次呼救的概率. 【解】（1）32(0)e P X -== (2) 52(1)1(0)1e P X P X -≥=-==-11.设P {X =k }=k k k p p --22)1(C , k =0,1,2 P {Y =m }=m m m p p --44)1(C , m =0,1,2,3,4 分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=59，试求P {Y ≥1}.【解】因为5(1)9P X ≥=，故4(1)9P X <=.⽽ 2(1)(0)(1)P X P X p <===- 故得 24(1),9p -=即 1.3p =从⽽ 465(1)1(0)1(1)0.8024781P Y P Y p ≥=-==--=≈15.已知随机变量X 的密度函数为f (x )=A e -|x |, -∞求：（1）A 值；（2）P {0=?得||1e d 2e d 2x x A x A x A ∞011(01)e d (1e )22x p X x --<<==-? (3) 当x <0时，11()e d e 22x x x F x x -∞==? 当x ≥0时，0||0111()e d e d e d 222x x x x x F x x x x ---∞-∞==+ 11e 2x -=-故 1e ,02()11e 02xx x F x x -?-≥ 16.设某种仪器内装有三只同样的电⼦管，电⼦管使⽤寿命X 的密度函数为f (x )=<≥.100,0,100,1002x x x求：（1）在开始150⼩时内没有电⼦管损坏的概率；（2）在这段时间内有⼀只电⼦管损坏的概率；（3） F （x ）. 【解】（1） 150********(150)d .3P X x x ≤==? 33128[(150)]()327p P X =>==(2) 1223124C ()339p == (3) 当x <100时F （x ）=0当x ≥100时()()d x F x f t t -∞=?100100()d ()d x f t t f t t -∞=+??2100100100d 1xt t x==-?故 1001,100()0,0x F x xx ?-≥?=??在［0，a ］中任意⼩区间内的概率与这⼩区间长度成正⽐例，试求X 的分布函数.【解】由题意知X ~∪[0,a ]，密度函数为1,0()0,x af x a≤≤=其他故当x <0时F （x ）=0 当0≤x ≤a 时01()()d ()d d x x xx F x f t t f t t t a a-∞====当x >a 时，F （x ）=1即分布函数18.设随机变量X 在[2，5]上服从均匀分布.现对X 进⾏三次独⽴观测，求⾄少有两次的观测值⼤于3的概率. 【解】X ~U [2,5]，即1,25()30,x f x ?≤≤?=其他 5312(3)d 33P X x >==?故所求概率为22333321220C ()C ()33327p =+= 习题三1.将⼀硬币抛掷三次，以X 表⽰在三次中出现正⾯的次数，以Y 表⽰三次中出现正⾯次数与出现反⾯次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 0 1 2 31 0131113C 2228??= 23111C 3/8222= 0 31811112228=2.盒⼦⾥装有3只⿊球、2只红球、2只⽩球，在其中任取4只球，以X 表⽰取到⿊球的只数，以Y 表⽰取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 0 1 2 3 X YX Y0 0 0223247C C 3C 35= 313247C C 2C 35= 1 011232247C C C 6C 35= 21132247C C C 12C 35= 313247C C 2C 35= 2P (0⿊,2红,2⽩)= 2242271C C /C 35= 12132247C C C 6C 35= 223247C C 3C 35= 03.设⼆维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为F （x ，y ）=≤≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ{0,}(3.2)463P X Y <≤<≤公式ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636F F F F --+ππππππsin sin sin sin sin 0sin sin 0sin4346362(31).4=--+=-题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。

概率论与数理统计习题及答案习题一1.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC（4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC(5) ABC=A B C(6) ABC(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3..4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）.【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)]=1-[0.7-0.3]=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,（1）在什么条件下P（AB（2）在什么条件下P（AB【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=14+14+13-112=3423.P（A）=0.3,P(B)=0.4,P(A B)=0.5，求P（B｜A∪B）【解】 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B A B P A B P A P B P AB -==+- 0.70.510.70.60.54-==+-33.15，13，14，求将此密码破译出的概率.【解】 设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯= 34.分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3由全概率公式，得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.458.习题二1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】353524353,4,51(3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6C X P X P X P X ==========故所求分布律为 X 3 4 5 P 0.10.30.62.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图； (3)133{},{1},{1},{12}222P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.【解】313315122133151133150,1,2.C 22(0).C 35C C 12(1).C 35C 1(2).C 35X P X P X P X ========== 故X 的分布律为 X 012P2235 1235 135（2） 当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)=2235当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数0,022,0135()34,12351,2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩(3)1122()(),2235333434(1)()(1)02235353312(1)(1)(1)2235341(12)(2)(1)(2)10.3535P X F P X F F P X P X P X P X F F P X ≤==<≤=-=-=≤≤==+<≤=<<=--==--=3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3.31232233(0)(0.2)0.008(1)C 0.8(0.2)0.096(2)C (0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512P X P X P X P X ============故X 的分布律为 X 0 1 2 3 P0.0080.0960.3840.512分布函数0,00.008,01()0.104,120.488,231,3x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩(2)(2)(3)0.896P X P X P X ≥==+==4.（1） 设随机变量X 的分布律为P {X =k }=!k akλ，其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a .（2） 设随机变量X 的分布律为P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知1()e !kk k P X k a a k λλ∞∞======∑∑故 ea λ-=(2) 由分布律的性质知111()NNk k aP X k a N======∑∑即 1a =.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7)(1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+(3,3)P X Y ==33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++22223333C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+0.32076=(2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ (2,1)(3,1)(3,2)P X Y P X Y P X Y ==+==+==12322333C 0.6(0.4)(0.3)C (0.6)0.4(0.3)=++ 33221233(0.6)(0.3)C (0.6)0.4C 0.7(0.3)++ 31232233(0.6)C 0.7(0.3)(0.6)C (0.7)0.3+=0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，则有()0.01P X N ><即 2002002001C (0.02)(0.98)0.01k k kk N -=+<∑利用泊松近似2000.02 4.np λ==⨯=41e 4()0.01!kk N P X N k -∞=+≥<∑ 查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000，0.0001）(2)1(0)(1)P X P X P X ≥=-=-=0.10.11e0.1e --=--⨯8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则1422355C (1)C (1)p p p p -=-故 13p =所以 4451210(4)C ()33243P X ===. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3）5553(3)C (0.3)(0.7)0.16308kk k k P X -=≥==∑(2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3）7773(3)C (0.3)(0.7)0.35293k k k k P Y -=≥==∑10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）32(0)eP X -== (2) 52(1)1(0)1e P X P X -≥=-==-11.设P {X =k }=kkkp p --22)1(C , k =0,1,2P {Y =m }=mmmp p --44)1(C , m =0,1,2,3,4分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=59，试求P {Y ≥1}.【解】因为5(1)9P X ≥=，故4(1)9P X <=. 而 2(1)(0)(1)P X P X p <===-故得 24(1),9p -=即 1.3p =从而 465(1)1(0)1(1)0.8024781P Y P Y p ≥=-==--=≈ 12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X 为2000册书中错误的册数，则X~b (2000,0.001).利用泊松近似计算,20000.0012np λ==⨯=得 25e 2(5)0.00185!P X -=≈= 13.进行某种试验，成功的概率为34，失败的概率为14.以X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率. 【解】1,2,,,X k =113()()44k P X k -==(2)(4)(2)P X P X P X k =+=++=+321131313()()444444k -=++++213141451()4==- 14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： （1） 保险公司亏本的概率;（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X ，则X~b (2500,0.002)，则所求概率为(200030000)(15)1(14)P X P X P X >=>=-≤由于n 很大，p 很小，λ=np =5，故用泊松近似，有514e 5(15)10.000069!kk P X k -=>≈-≈∑(2) P (保险公司获利不少于10000)(30000200010000)(10)P X P X =-≥=≤510e 50.986305!kk k -=≈≈∑ 即保险公司获利不少于10000元的概率在98%P （保险公司获利不少于20000）(30000200020000)(5)P X P X =-≥=≤55e 50.615961!kk k -=≈≈∑ 即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量X 的密度函数为f (x )=A e -|x |, -∞<x <+∞,求：（1）A 值；（2）P {0<X <1}; (3) F (x ). 【解】（1） 由()d 1f x x ∞-∞=⎰得||1e d 2e d 2x x A x A x A ∞∞---∞===⎰⎰故 12A =. (2) 11011(01)e d (1e )22x p X x --<<==-⎰(3) 当x <0时，11()e d e 22x x x F x x -∞==⎰当x ≥0时，0||0111()e d e d e d 222x x x x x F x x x x ---∞-∞==+⎰⎰⎰11e 2x-=-故 1e ,02()11e 02xx x F x x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥.100,0,100,1002x x x求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率； （2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率；（3） F （x ）. 【解】（1） 15021001001(150)d .3P X x x ≤==⎰ 33128[(150)]()327p P X =>==(2) 1223124C ()339p ==(3) 当x <100时F （x ）=0当x ≥100时()()d xF x f t t -∞=⎰100100()d ()d x f t t f t t -∞=+⎰⎰2100100100d 1xt t x==-⎰ 故 1001,100()0,0x F x xx ⎧-≥⎪=⎨⎪<⎩ 17.在区间［0，a ］上任意投掷一个质点，以X 表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a ］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数. 【解】 由题意知X ~∪[0,a ]，密度函数为1,0()0,x af x a⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 故当x <0时F （x ）=0 当0≤x ≤a 时01()()d ()d d xx xx F x f t t f t t t a a-∞====⎰⎰⎰当x >a 时，F （x ）=1即分布函数0,0(),01,x x F x x a a x a<⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩ 18.设随机变量X 在[2，5]上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率. 【解】X ~U [2,5]，即1,25()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他5312(3)d 33P X x >==⎰故所求概率为22333321220C ()C ()33327p =+= 19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从指数分布1()5E .某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求P {Y ≥1}. 【解】依题意知1~()5X E ，即其密度函数为51e ,0()50,xx f x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩x 0 该顾客未等到服务而离开的概率为25101(10)e d e 5x P X x -∞->==⎰2~(5,e )Y b -,即其分布律为225525()C (e )(1e ),0,1,2,3,4,5(1)1(0)1(1e )0.5167kk k P Y k k P Y P Y ----==-=≥=-==--=20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服从N （40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从N （50，42）. （1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解】（1） 若走第一条路，X~N （40，102），则406040(60)(2)0.977271010x P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭若走第二条路，X~N （50，42），则506050(60)(2.5)0.993844X P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭++故走第二条路乘上火车的把握大些.（2） 若X~N （40，102），则404540(45)(0.5)0.69151010X P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭若X~N （50，42），则504550(45)( 1.25)44X P X P Φ--⎛⎫<=<=- ⎪⎝⎭1(1.25)0.1056Φ=-= 故走第一条路乘上火车的把握大些. 21.设X ~N （3，22），（1） 求P {2<X ≤5}，P {-4<X ≤10}，P {｜X ｜＞2}，P {X ＞3}; （2） 确定c 使P {X ＞c }=P {X ≤c }. 【解】（1） 23353(25)222X P X P ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭11(1)(1)1220.841310.69150.5328ΦΦΦΦ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+=433103(410)222X P X P ----⎛⎫-<≤=<≤ ⎪⎝⎭770.999622ΦΦ⎛⎫⎛⎫=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(||2)(2)(2)P X P X P X >=>+<-323323222215151122220.691510.99380.6977X X P P ΦΦΦΦ-----⎛⎫⎛⎫=>+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+-=333(3)()1(0)0.522X P X P Φ->=>=-=- (2) c=322.由某机器生产的螺栓长度（cm ）X ~N （10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.060.06X P X P ⎛-⎫->=>⎪⎝⎭1(2)(2)2[1(2)]0.0456ΦΦΦ=-+-=-=23.一工厂生产的电子管寿命X （小时）服从正态分布N （160，σ2），若要求P {120＜X ≤200}≥0.8，允许σ最大不超过多少？ 【解】120160160200160(120200)X P X P σσσ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭404040210.8ΦΦΦσσσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-≥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故4031.251.29σ≤= 24.设随机变量X 分布函数为F （x ）=e ,0,(0),00.xt A B x ,x λ-⎧+≥>⎨<⎩（1） 求常数A ，B ；（2） 求P {X ≤2}，P {X ＞3}； （3） 求分布密度f （x ）.【解】（1）由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞→+→-=⎧⎪⎨=⎪⎩得11A B =⎧⎨=-⎩（2） 2(2)(2)1eP X F λ-≤==-33(3)1(3)1(1e)e P X F λλ-->=-=--=(3) e ,0()()0,0x x f x F x x λλ-⎧≥'==⎨<⎩25.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x 求X 的分布函数F （x ），并画出f （x ）及F （x ）.【解】当x <0时F （x ）=0当0≤x <1时0()()d ()d ()d x xF x f t t f t t f t t -∞-∞==+⎰⎰⎰20d 2xx t t ==⎰当1≤x<2时()()d xF x f t t -∞=⎰1011122()d ()d ()d d (2)d 132222212xx f t t f t t f t tt t t tx x x x -∞==+=+-=+--=-+-⎰⎰⎰⎰⎰当x ≥2时()()d 1xF x f t t -∞==⎰故 220,0,012()21,1221,2x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩26.设随机变量X 的密度函数为（1） f (x )=a e -|x |,λ>0;(2) f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<.,0,21,1,10,2其他x x x bx 试确定常数a ,b ，并求其分布函数F （x ）. 【解】（1） 由()d 1f x x ∞-∞=⎰知||021e d 2e d x x aa x a x λλλ∞∞---∞===⎰⎰故 2a λ=即密度函数为 e ,02()e 02xx x f x x λλλλ-⎧>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩当x ≤0时1()()d e d e 22xxx x F x f x x x λλλ-∞-∞===⎰⎰当x >0时0()()d e d e d 22xxxx F x f x x x x λλλλ--∞-∞==+⎰⎰⎰11e 2xλ-=-故其分布函数11e ,02()1e ,02xx x F x x λλ-⎧->⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩(2) 由12201111()d d d 22b f x x bx x x x ∞-∞==+=+⎰⎰⎰得 b =1即X 的密度函数为2,011(),120,x x f x x x<<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎩其他当x ≤0时F （x ）=0 当0<x <1时0()()d ()d ()d xxF x f x x f x x f x x -∞-∞==+⎰⎰⎰2d 2xx x x ==⎰当1≤x <2时012011()()d 0d d d x xF x f x x x x x x x-∞-∞==++⎰⎰⎰⎰312x=- 当x ≥2时F （x ）=1 故其分布函数为20,0,012()31,1221,2x x x F x x x x ≤⎧⎪⎪<<⎪=⎨⎪-≤<⎪⎪≥⎩27.求标准正态分布的上α分位点， （1）α=0.01，求z α; （2）α=0.003，求z α，/2z α. 【解】（1） ()0.01P X z α>=即 1()0.01z αΦ-= 即 ()0.09z αΦ= 故 2.33z α= （2） 由()0.003P X z α>=得1()0.003z αΦ-=即 ()0.997z αΦ= 查表得 2.75z α=由/2()0.0015P X z α>=得/21()0.0015z α-Φ=即 /2()0.9985z αΦ= 查表得 /2 2.96z α= 28.设随机变量X 的分布律为 X -2 -1 0 1 3 P k1/5 1/6 1/5 1/15 11/30求Y =X 2的分布律.【解】Y 可取的值为0，1，4，91(0)(0)5117(1)(1)(1)615301(4)(2)511(9)(3)30P Y P X P Y P X P X P Y P X P Y P X =======-+==+====-=====故Y 的分布律为Y 0 1 4 9 P k1/5 7/30 1/5 11/3029.设P {X =k }=(12)k, k =1,2,…,令 1,1,.X Y X ⎧=⎨-⎩当取偶数时当取奇数时求随机变量X 的函数Y 的分布律. 【解】(1)(2)(4)(2)P Y P X P X P X k ===+=++=+242111()()()222111()/(1)443k =++++=-=2(1)1(1)3P Y P Y =-=-==30.设X ~N （0，1）.（1） 求Y =e X 的概率密度； （2） 求Y =2X 2+1的概率密度； （3） 求Y =｜X ｜的概率密度.【解】（1） 当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时，()()(e )(ln )xY F y P Y y P y P X y =≤=≤=≤ln ()d yX f x x -∞=⎰故 2/2ln d ()111()(ln )e ,0d 2πy Y Y x F y f y f y y y y y -===> (2)2(211)1P Y X =+≥=当y ≤1时()()0Y F y P Y y =≤=当y >1时2()()(21)Y F y P Y y P X y =≤=+≤2111222y y y P X P X ⎛⎫---⎛⎫=≤=-≤≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)/2(1)/2()d y X y f x x ---=⎰故 d 1211()()d 4122Y Y XX y y f y F y f f y y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--==+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦(1)/4121e ,1212πy y y --=>-(3) (0)1P Y ≥=当y ≤0时()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时()(||)()Y F y P X y P y X y =≤=-≤≤ ()d yX yf x x -=⎰故d()()()()d Y Y X X f y F y f y f y y==+- 2/22e ,02πy y -=>31.设随机变量X ~U （0,1），试求：（1） Y =e X 的分布函数及密度函数； （2） Z =-2ln X 的分布函数及密度函数. 【解】（1） (01)1P X <<=故 (1e e )1XP Y <=<=当1y ≤时()()0Y F y P Y y =≤=当1<y <e 时()(e )(ln )XY F y P y P X y =≤=≤ln 0d ln yx y ==⎰当y ≥e 时()(e )1XY F y P y =≤=即分布函数0,1()ln ,1e 1,e Y y F y y y y ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩故Y 的密度函数为11e ,()0,Y y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 （2） 由P （0<X <1）=1知(0)1P Z >=当z ≤0时，()()0Z F z P Z z =≤=当z >0时，()()(2ln )Z F z P Z z P X z =≤=-≤/2(ln )(e)2z zP X P X -=≤-=≥/21/2e d 1e z z x --==-⎰即分布函数-/20,0()1-e ,Z z z F z z ≤⎧=⎨>⎩0 故Z 的密度函数为/21e ,0()20,z Z z f z z -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩032.设随机变量X 的密度函数为f (x )=22,0π,π0,.xx ⎧<<⎪⎨⎪⎩其他试求Y =sin X 的密度函数. 【解】(01)1P Y <<=当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当0<y <1时，()()(sin )Y F y P Y y P X y =≤=≤(0arcsin )(πarcsin π)P X y P y X =<≤+-≤<arcsin π220πarcsin 22d d ππyy x x x x -=+⎰⎰222211arcsin 1πarcsin ππy y =+--（）（）2arcsin πy =当y ≥1时，()1Y F y = 故Y 的密度函数为221,01π()10,Y y f y y⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其他 33.设随机变量X 的分布函数如下：⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=.)3(,)2(,)1(,11)(2x x x x F试填上(1),(2),(3)项.【解】由lim ()1x F x →∞=知②填1。

习 题 一1.设A ，B ，C 为三个事件，用A ，B ，C 的运算式表示下列事件： （1） A 发生而B 与C 都不发生； （2） A ，B ，C 至少有一个事件发生； （3） A ，B ，C 至少有两个事件发生； （4） A ，B ，C 恰好有两个事件发生； （5） A ，B 至少有一个发生而C 不发生； （6） A ，B ，C 都不发生. 解：（1）A C B 或A -B -C 或A -（B ∪C ）. （2）A ∪B ∪C . （3）（AB ）∪（AC ）∪（BC ）. （4）（AB C ）∪（AC B ）∪（BC A ）. （5）（A ∪B ）C . （6）C B A 或C B A .2.对于任意事件A ，B ，C ，证明下列关系式： （1）(A +B ) (A +B )(A + B )(A +B )= ∅； （2）AB +A B +A B +A B AB -= AB ；（3）A -(B +C )= (A-B )-C . 证明：略.3.设A ，B 为两事件，P （A ）=0.5,P (B )=0.3,P (AB )=0.1，求： （1） A 发生但B 不发生的概率； （2） A ，B 都不发生的概率；（3） 至少有一个事件不发生的概率.解（1） P （A B ）=P （A -B ）=P （A -AB ）=P （A ）-P （AB ）=0.4； (2) P (B A )=P (B A )=1-P (A ∪B )=1-0.7=0.3； (3) P (A ∪B ）=P (AB ）=1-P (AB )=1-0.1=0.9.4.调查某单位得知。

购买空调的占15％，购买电脑占12％，购买DVD 的占20%；其中购买空调与电脑占6%，购买空调与DVD 占10%，购买电脑和DVD 占5％，三种电器都购买占2％。

求下列事件的概率。

（1）至少购买一种电器的； （2）至多购买一种电器的； （3）三种电器都没购买的.解：（1） 0.28, （2）0.83, （3） 0.725.10把钥匙中有3把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。

概率论与数理统计第四章课后习题及参考答案1．在下列句子中随机地取一个单词，以X 表示取到的单词包含的字母的个数，试写出X 的分布律，并求)(X E ．Have a good time解：本题的随机试验属于古典概型．所给句子共4个单词，其中有一个单词含一个字母，有3个单词含4个字母，则X 的所有可能取值为1，4，有41)1(==X P ，43)4(==X P ，从而413434411)(=⋅+⋅=X E ．2．在上述句子的13个字母中随机地取一个字母，以Y 表示取到的字母所在的单词所含的字母数，写出Y 的分布律，并求)(Y E ．解：本题的随机试验属于古典概型．Y 的所有可能取值为1，4，样本空间Ω由13个字母组成，即共有13个样本点，则131)1(==Y P ，1312)4(==Y P ，从而1349131241311)(=⋅+⋅=Y E ．3．一批产品有一、二、三等品及废品4种，所占比例分别为60%，20%，10%和10%，各级产品的出厂价分别为6元、8.4元、4元和2元，求产品的平均出厂价．解：设产品的出厂价为X (元)，则X 的所有可能取值为6，8.4，4，2，由题设可知X 的分布律为X 68.442P6.02.01.01.0则16.51.021.042.08.46.06)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E (元)．4．设随机变量X 具有分布：51)(==k X P ，5,4,3,2,1=k ，求)(X E ，)(2X E 及2)2(+X E ．解：3)54321(51)(=++++=X E ，11)54321(51)(222222=++++=X E ，274)(4)()44()2(222=++=++=+X E X E X X E X E ．5．设离散型随机变量X 的分布列为k k kk X P 21)!2)1((=-=， ,2,1=k ，问X 是否有数学期望．解：因为∑∑∞=∞==⋅-111212)1(k k k k kkk 发散，所以X 的数学期望不存在．6．设随机变量X 具有密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他．,0,22,cos 2)(2πππx x x f 求)(X E 及)(X D ．解：因为x x 2cos 在]2,2[ππ-上为奇函数，所以0d cos 2d )()(222=⋅==⎰⎰-∞+∞-πππx x x x x f x X E ，2112d cos 2d )()(2222222-=⋅==⎰⎰-∞+∞-ππππx x x x x f x X E ，故2112)]([)()(222-=-=πX E X E X D ．7．设随机变量X 具有密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤<=其他．,0,21,2,10,)(x x x x x f 求)(X E 及)(X D ．解：1d )2(d d )()(2112=-+==⎰⎰⎰∞+∞-x x x x x x x f x X E ，67d )2(d d )()(2121322=-+==⎰⎰⎰∞+∞-x x x x x x x f x X E ，61)]([)()(22=-=X E X E X D ．8．设随机变量X 在)21,21(-上服从均匀分布，求)sin(X Y π=的数学期望与方差．解：由题可知X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他．,0,2121,1)(x x f 则0d 1sin d )(sin )][sin()(2121=⋅===⎰⎰-∞+∞-x x x x f x X E Y E πππ，21d 1sin d )(sin )]([sin )(21212222=⋅===⎰⎰-∞+∞-x x x x f x X E Y E πππ，21)]([)()(22=-=Y E Y E Y D ．9．某正方形场地，按照航空测量的数据，它的边长的数学期望为350m ，又知航空测量的误差随机变量X 的分布列为X (m)30-20-10-0102030P05.008.016.042.016.008.005.0而场地边长随机变量Y 等于边长的数学期望与测量误差之和，即X Y +=350，求场地面积的数学期望．解：设场地面积为S ，则2Y S =，16.01042.0016.0)10(08.0)20(05.030)(⨯+⨯+⨯-+⨯-+⨯-=X E 005.03008.020=⨯+⨯+，16.01042.0016.0)10(08.0)20(05.0)30()(222222⨯+⨯+⨯-+⨯-+⨯-=X E 18605.03008.02022=⨯+⨯+，故)350700(])350[()()(2222++=+==X X E X E Y E S E 122686350)(700)(22=++=X E X E ．10．A ，B 两台机床同时加工零件，每生产一批较大的产品时，出次品的概率如下表所示：A 机床次品数X 0123概率P7.02.006.004.0B 机床次品数X 0123概率P8.006.004.010.0问哪一台机床加工质量较好．解：44.004.0306.022.017.00)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ，8.004.0306.022.017.00)(22222=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ，6064.0)]([)()(22=-=X E X E X D ，44.010.0304.0206.018.00)(=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E ，12.110.0304.0206.018.00)(22222=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E ，9264.0)]([)()(22=-=Y E Y E Y D ，)()(Y E X E =，但)()(Y D X D <，故A 机床加工质量较好．11．设随机变量X 与Y 相互独立，且方差存在，试证：22)]()[()()]([)()()(Y E X D Y D X E Y D X D XY D ++=，由此得出)()()(Y D X D XY D ≥．证：22)]([])[()(XY E XY E XY D -=222)]()([)(Y E X E Y X E -=2222)]([)]([)()(Y E X E Y E X E -=2222)]([)]([})]([)(}{)]([)({Y E X E Y E Y D X E X D -++=22)]()[()()]([)()(Y E X D Y D X E Y D X D ++=．因为)(X D ，)(Y D ，2)]([X E ，2)]([Y E 非负，所以)()()(Y D X D XY D ≥．12．已知随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤++=其他．,010,)(2x c bx x a x f又已知5.0)(=X E ，15.0)(=X D ，求a ，b ，c ．解：c b a x c bx x a x x f ++=++==⎰⎰∞+∞-2131d )(d )(1102，c b a x c bx x a x x x f x X E 213141d )(d )()(5.0102++=++===⎰⎰∞+∞-，⎰⎰++-=-==∞+∞-1222d )()5.0(d )()]([)(15.0xc bx x a x x x f X E x X D 41314151-++=c b a ，解之得12=a ，12-=b ，3=c ．13．设),(Y X 的分布律为(1)求)(X E 及)(Y E ；(2)设XYZ =，求)(Z E ；(3)设2)(Y X Z -=，求)(Z E ．解：(1)2)13.00(3)1.001.0(2)1.01.02.0(1)(=++⨯+++⨯+++⨯=X E ，0)1.01.01.0(1)3.001.0(0)01.02.0()1()(=++⨯+++⨯+++⨯-=Y E ，(2)1.01)3.001.0(00)31(1.021(2.01)(⨯+++⨯+⨯-+⨯-+⨯-=Z E 1511.0311.021-=⨯+⨯+，(3)1.0)01(0)]1(3[1.0)]1(2[2.0)]1(1[)(2222⨯-+⨯--+⨯--+⨯--=Z E 51.0)13(1.0)12(1.0)11(3.0)03(0)02(22222=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+．14．设随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其他．,0,10,20,3),(y x yx y x f求)(X E ，)(Y E ，)(Y X E +及)(22Y X E +．解：⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x f x X E d d ),()(911d d 31020=+⋅=⎰⎰y x y x x ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x yf Y E d d ),()(95d d 31020=+⋅=⎰⎰y x y x y ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-+=+y x y x f y x Y X E d d ),()()(916d d 3)(1020=+⋅+=⎰⎰y x y x y x ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-+=+y x y x f y x Y X E d d ),()()(2222613d d 3)(102022=+⋅+=⎰⎰y x y x y x ．15．),(Y X 在区域}1,0,0|),{(≤+≥≥=y x y x y x D 上服从均匀分布，求)(X E ，)23(Y X E -及)(XY E ．解：由题可知),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧≤≤-≤≤=其他．,0,10,10,2),(y y x y x f ⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x f x X E d d ),()(31d d 21010==⎰⎰-yy x x ，⎰⎰∞+∞-∞+∞--=-y x y x f y x Y X E d d ),()23()23(31d d )23(21010=-=⎰⎰-yy x y x ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x xyf XY E d d ),()(121d d 21010==⎰⎰-y y x xy ．16．设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=．1,0,1,1),(2222y x y x y x f π证明：随机变量X 与Y 不相关，也不相互独立．证：⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=∞+∞-∞+∞-πθθππ201d d cos 1d d 1)(r r r y x x X E ，同理，0)(=Y E ，⎰⎰⎰⎰⋅⋅=⋅=∞+∞-∞+∞-πθθθππ201d d sin cos 1d d 1)(r r r r y x xy XY E ，0)()()(),cov(=-=Y E X E XY E Y X ，故随机变量X 与Y 不相关．当11≤≤-x 时，ππ21112d 1d ),()(22x y y y x f x f x x X -===⎰⎰---∞+∞-，其他，0)(=x f X ，故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其他．,0,11,12)(2x x x f X π同理，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其他．,0,11,12)(2y y y f Y π易得)()(),(y f x f y x f Y X ≠，故随机变量X 与Y 不相互独立．17．设随机变量1X ，2X 的概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 2)(21x x x f x ，⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 4)(42y y y f y 试用数学期望的性质求：(1))(21X X E +及)32(221X X E -；(2)又设1X ，2X 相互独立，求)(21X X E ．解：由题可知1X ～)2(E ，2X ～)4(E ，则21)(1=X E ，41)(2=X E ，161)(2=X D ，81)]([)()(22222=+=X E X D X E ．(1)43)()()(2121=+=+X E X E X X E ，85)(3)(2)32(221221=-=-X E X E X X E ．(2)81)()()(2121==X E X E X X E ．18．(1)设1X ，2X ，3X 及4X 独立同在)1,0(上服从均匀分布，求)51(41∑=k k kX D ；(2)已知随机变量X ，Y 的方差分别为25和36，相关系数为4.0，求Y X U 23+=的方差．解：(1)由题易得121)(=i X D ，)51(41∑=k k kX D )(5141∑==k kkX D )](4)(3)(2)([514321X D X D X D X D +++=21)4321(121512222=+++⋅=．(2)由已知25)(=X D ，36)(=Y D ，4.0)()(),cov(==Y D X D Y X XY ρ，得12),cov(=Y X ，)2,3cov(2)2()3()23()(Y X Y D X D Y X D U D ++=+=513),cov(232)(2)(322=⋅⋅++=Y X Y D X D ．19．一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如果到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X 表示停车的次数，求)(X E (设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立)．解：引入随机变量⎩⎨⎧=站无人下车．，在第站有人下车；，在第i i X i 01，10,,2,1 =i ．易知1021X X X X +++= ．按题意，任一旅客在第i 站不下车的概率为9.0，因此20位旅客都不在第i 站下车的概率为209.0，在第i 站有人下车的概率为209.01-，也就是209.0)0(==i X P ，209.01)1(-==i X P ，10,,2,1 =i ．由此209.01)(-=i X E ，10,,2,1 =i ．进而)()()()()(10211021X E X E X E X X X E X E +++=+++= 784.8)9.01(1020=-=(次)．20．将n 只球(1～n 号)随机地放进n 只盒子(1～n 号)中去，一只盒子装一只球．若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X 为总的配对数，求)(X E ．解：引入随机变量⎩⎨⎧=号盒子．号球未放入第第号盒子号球放入第第i i i i X i ,0,,1，n i ,,2,1 =，则n X X X X +++= 21，显然n X P i 1)1(==，则nX P i 11)0(-==，n i ,,2,1 =，从而nX E i 1)(=，n i ,,2,1 =，于是1)()()()()(2121=+++=+++=n n X E X E X E X X X E X E ．21．设随机变量),(Y X 的分布律为试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的．证：0)25.00(2)025.0(1)025.0()1()25.00(2)(=+⨯++⨯++⨯-++⨯-=X E ，5)25.00025.0(4)025.025.00(1)(=+++⨯++++⨯=Y E ，0)4(25.0)8(0225.0125.0)1(02)(⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯-+⨯-=XY E 025.0804=⨯+⨯+，所以0)()()(),cov(=-=Y E X E XY E Y X ，故X 与Y 不相关．易知25.025.00)2(=+=-=X P ，5.0025.025.00)1(=+++==Y P ，0)1,2(==-=Y X P ，有)1()2()1,2(=-=≠=-=Y P X P Y X P ，故X 与Y 不相互独立．22．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤+=其他．,0,10,10,),(y x y x y x f 求)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D ，)(XY E ，),cov(Y X 及XY ρ．解：127d d )(d d ),()(1010=+==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ，125d d )(d d ),()(1010222=+==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ，14411)]([)()(22=-=X E X E X D ，由轮换对称性，得127)(=Y E ，14411)(=Y D ，31d d )(d d ),()(1010=+==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x xy y x y x xyf XY E ，1441)()()(),cov(-=-=Y E X E XY E Y X ，111)()(),cov(-==Y D X D Y X XY ρ．23．设X ～),(2σμN ，Y ～),(2σμN ，且X ，Y 相互独立．求Y X Z βα+=1和Y X Z βα-=2的相关系数(α，β是不为0的常数)．解：由题可知μ==)()(Y E X E ，2)()(σ==Y D X D ，则2222)]([)()(σμ+=+=X E X D X E ，2222)]([)()(σμ+=+=Y E Y D Y E ，μβαβα)()()(1+=+=Y X E Z E ，μβαβα)()()(2-=-=Y X E Z E ，222221)()()()()(σβαβαβα+=+=+=Y D X D Y X D Z D ，222222)()()()()(σβαβαβα+=+=-=Y D X D Y X D Z D ，)()])([()(222221Y X E Y X Y X E Z Z E βαβαβα-=-+=))(()()(22222222σμβαβα+-=-=Y E X E ，222212121)()()()(),cov(σβα-=-=Z E Z E Z Z E Z Z ，22222121)()(),cov(21βαβαρ+-==Z D Z D Z Z Z Z ．24．设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤--=.,0,10,10,2),(其他y x y x y x f (1)求),cov(Y X ，XY ρ和)32(Y X D -；11(2)X 与Y 是否独立？解：(1)125d d )2(d d ),()(1010=--==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ，41d d )2(d d ),()(1010222=--==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ，61d d )2(d d ),()(1010=--==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x xy y x y x xyf XY E ，14411)]([)()(22=-=X E X E X D ，由轮换对称性，125)(=Y E ，14411)(=Y D ，1441)()()(),cov(-=-=Y E X E XY E Y X ，111)()(),cov(-==Y D X D Y X XY ρ，)3,2cov(2)3()2()32(Y X Y D X D Y X D -+-+=-144155),cov(12)(3)(222=-+=Y X Y D X D ．(2)当10≤≤x 时，x y y x y y x f x f X -=--==⎰⎰∞+∞-23d )2(d ),()(10，其他，0)(=x f X ，故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他．,0,10,23)(x x x f X 同理，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他．,0,10,23)(y y y f Y 因为)()(),(y f x f y x f Y X ≠，故X 与Y 不相互独立．。

概率论与数理统计习题答案详解版（廖茂新复旦版）习题一1. 设A，B，C 为三个事件，用A，B，C 的运算式表示下列事件：（1）A 发生而B与 C 都不发生；（2）A，B，C 至少有一个事件发生；（3）A，B，C 至少有两个事件发生；（4）A，B，C 恰好有两个事件发生；（5）A，B至少有一个发生而 C 不发生；（6）A，B，C 都不发生.解：（1）A BC或 A B C或 A （B∪C）.（2）A∪B∪C.（3）（AB）∪（AC）∪（BC）.（4）（AB C ）∪（AC B ）∪（BC A）.（5）（A∪B）C.（6） A B C 或ABC.2. 对于任意事件A，B，C，证明下列关系式：（1）（A+B）（A+B ）（ A + B）（ A + B ）= ；（2）AB+A B +A B+A B AB= AB；(3)A-(B+C)= (A-B)-C. 证明：略.3.设A，B为两事件，P（A）=0.5,P（B）=0.3,P（AB）=0.1，求：（1）A发生但B不发生的概率；（2）A，B 都不发生的概率；（3）至少有一个事件不发生的概率.解（1）P（A B ）=P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）=0.4；（2） P（AB）=P（ A B）=1-P（A∪B）=1-0.7=0.3；（3） P（A∪B）=P（AB ）=1-P（AB）=1-0.1=0.9.4.调查某单位得知。

购买空调的占15％，购买电脑占12％，购买DVD 的占20%；其中购买空调与电脑占6%，购买空调与DVD占10%，购买电脑和DVD占5％，三种电器都购买占2％。

求下列事件的概率。

（1）至少购买一种电器的；（2）至多购买一种电器的；（3）三种电器都没购买的.解：（1）0.28, （2）0.83, （3）0.725.10 把钥匙中有 3 把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。

解：8/156. 任意将10 本书放在书架上。

其中有两套书，一套 3 本，另一套4 本。

概率论与数理统计复旦大学此答案非常详细非常全，可供大家在平时作业或考试前使用，预祝大家考试成功习题一1．略.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC（4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC(5) ABC=A B C (6) ABC(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3.略.见教材习题参考答案4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A B)=0.3，求P（AB）.【解】P（AB）=1P（AB）=1[P(A)P(A B)]=1[0.70.3]=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？【解】（1） 当AB =A 时，P （AB ）取到最大值为0.6.（2） 当A ∪B =Ω时，P （AB ）取到最小值为0.3.6.设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0，P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率.【解】 P （A ∪B ∪C ）=P (A )+P (B )+P (C )P (AB )P (BC )P (AC )+P (ABC )=14+14+13112=347.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】 p =5332131313131352C C C C /C8.对一个五人学习小组考虑生日问题：（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率；（3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】（1） 设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故P （A 1）=517=（17）5 （亦可用独立性求解，下同） （2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故P （A 2）=5567=(67)5 (3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}P （A 3）=1P (A 1)=1(17)5 9.略.见教材习题参考答案.10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n <N ）.试求其中恰有m 件（m ≤M ）正品（记为A ）的概率.如果：（1） n 件是同时取出的；（2） n 件是无放回逐件取出的；（3） n 件是有放回逐件取出的.【解】（1） P （A ）=C C /C m n m n M N M N --(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有P n N 种，n 次抽取中有m次为正品的组合数为C m n 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M 件正品中取m 件的排列数有P m M 种，从NM 件次品中取n m 件的排列数为P n m N M --种，故P （A ）=C P P P mm n m n M N M n N -- 由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成P （A ）=C C C mn m M N M n N-- 可以看出，用第二种方法简便得多.（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N 种取法，故所有可能的取法总数为N n 种，n 次抽取中有m 次为正品的组合数为C mn 种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m 次取得正品，都有M 种取法，共有M m 种取法，nm 次取得次品，每次都有N M 种取法，共有（N M ）n m 种取法，故()C ()/m m n m n n P A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型，共做了n 重贝努里试验，每次取得正品的概率为M N，则取得m 件正品的概率为()C 1m n m mn M M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.略.见教材习题参考答案.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A == 【解】 设A i ={甲进i 球}，i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则33312123330()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯=0.3207617．从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】 4111152222410C C C C C 131C 21p =-= 18.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率.【解】 设A ={下雨}，B ={下雪}.（1） ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A === （2） ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=19.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】 设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故 ()6/86()()7/87P AB P B A P A === 或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.6()7P B A = 20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.【解】 设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯ 21.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图 题22图【解】设两人到达时刻为x,y ,则0≤x ,y ≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|xy |>30.如图阴影部分所示.22301604P == 22.从（0，1）中随机地取两个数，求：（1） 两个数之和小于65的概率； （2） 两个数之积小于14的概率. 【解】 设两数为x ,y ，则0<x ,y <1.（1） x +y <65. 11441725510.68125p =-== (2) xy =<14. 1111244111d d ln 242x p x y ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭⎰⎰ 23.设P （A ）=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5，求P （B ｜A ∪B ）【解】 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B A B P A B P A P B P AB -==+- 0.70.510.70.60.54-==+- 24.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式，有30()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =•+•+•+•0.089=25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【解】设A ={被调查学生是努力学习的}，则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P（A ）=0.8，P （A ）=0.2，又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P （B |A ）=0.9，P （B |A ）=0.9，故由贝叶斯公式知（1）()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯ 即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%(2) ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯ 即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ，试问原发信息是A 的概率是多少？【解】 设A ={原发信息是A }，则={原发信息是B }C ={收到信息是A }，则={收到信息是B }由贝叶斯公式，得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+ 2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯ 27.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种）【解】设A i ={箱中原有i 个白球}（i =0,1,2），由题设条件知P （A i ）=13,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知 111120()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑ 2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯ 28.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设A ={产品确为合格品}，B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯ 29.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？ 【解】 设A ={该客户是“谨慎的”}，B ={该客户是“一般的”}，C ={该客户是“冒失的”}，D ={该客户在一年内出了事故}则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++ 0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯ 30.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.【解】设A i ={第i 道工序出次品}（i =1,2,3,4）.412341()1()i i P A P A A A A ==-12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.970.124=-⨯⨯⨯=31.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进行n 次独立射击.1(0.8)0.9n -≥即为 (0.8)0.1n ≤故 n ≥11至少必须进行11次独立射击.32.证明：若P （A ｜B ）=P (A ｜B )，则A ，B 相互独立.【证】 (|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B = 亦即 ()()()()P AB P B P AB P B =()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=-因此 ()()()P AB P A P B =故A 与B 相互独立.33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为15，13，14，求将此密码破译出的概率.【解】 设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则 31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯= 34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3由全概率公式，得30()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7=0.45835.已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：（1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.（2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.【解】（1） 3101100C(0.35)(0.65)0.5138k k k k p -===∑(2) 10102104C(0.25)(0.75)0.2241k k k k p -===∑36.一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：（1） A =“某指定的一层有两位乘客离开”；（2） B =“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”；（3） C =“恰有两位乘客在同一层离开”；（4） D =“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.（1） 2466C 9()10P A =，也可由6重贝努里模型： 224619()C ()()1010P A = （2） 6个人在十层中任意六层离开，故6106P ()10P B = （3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有110C 种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有26C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有131948C C C 种可能结果；②4人同时离开，有19C 种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有49P 种可能结果，故1213114610694899()C C (C C C C P )/10P C =++ （4） D=B .故6106P ()1()110P D P B =-=- 37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：（1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；（2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3） 如果n 个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.【解】 （1） 111p n =- (2) 23!(3)!,3(1)!n p n n -=>- (3) 12(1)!13!(2)!;,3!!n n p p n n n n --''===≥ 38.将线段[0，a ]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】 设这三段长分别为x ,y ,a x y .则基本事件集为由0<x <a ,0<y <a ,0<a x y <a 所构成的图形，有利事件集为由()()x y a x y x a x y y y a x y x+>--⎡⎢+-->⎢⎢+-->⎣ 构成的图形，即02022a x a y a x y a ⎡<<⎢⎢⎢<<⎢⎢⎢<+<⎢⎣ 如图阴影部分所示，故所求概率为14p =. 39. 某人有n 把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.证明试开k 次（k =1,2,…,n ）才能把门打开的概率与k 无关.【证】 11P 1,1,2,,P k n k n p k n n--===40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有i 面涂有颜色的概率P （A i ）（i =0,1,2,3）.【解】 设A i ={小立方体有i 面涂有颜色}，i =0,1,2,3.在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为01512384()0.512,()0.38410001000P A P A ====, 24968()0.096,()0.00810001000P A P A ====. 41.对任意的随机事件A ，B ，C ，试证P （AB ）+P （AC ）P （BC ）≤P (A ). 【证】 ()[()]()P A P A B C P AB AC ≥=()()()P AB P AC P ABC =+-()()()P AB P AC P BC ≥+-42.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率.【解】 设i A ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故 3413C 3!3()48P A == 而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C 1()416P A == 因此 213319()1()()181616P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()416P A == 43.将一枚均匀硬币掷2n 次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2n 次硬币，可能出现：A ={正面次数多于反面次数}，B ={正面次数少于反面次数}，C ={正面次数等于反面次数}，A ，B ，C 两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P （A ）=P （B ）.所以1()()2P C P A -= 由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为211()()()22n n nn P C C =故 2211()[1C ]22nn n P A =-44.掷n 次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A ={出现正面次数多于反面次数}，B ={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知P（A ）=P （B ）（1） 当n 为奇数时，正、反面次数不会相等.由P （A ）+P （B ）=1得P （A ）=P （B ）=0.5(2) 当n 为偶数时，由上题知211()[1C ()]22nn n P A =-45.设甲掷均匀硬币n +1次，乙掷n 次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有>正正（甲乙）=（甲正≤乙正）=（n +1甲反≤n乙反）=（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）由对称性知P （甲正>乙正）=P （甲反>乙反） 因此P (甲正>乙正)=1246.证明“确定的原则”（Surething ）：若P （A |C ）≥P (B |C ),P (A |C )≥P (B |C )，则P （A ）≥P (B ).【证】由P （A |C ）≥P (B |C ),得()(),()()P AC P BC P C P C ≥即有 ()()P AC P BC ≥ 同理由 (|)(|),P A C P B C ≥ 得 ()(),P AC P BC ≥故 ()()()()()()P A P AC P AC P BC P BC P B =+≥+= 47.一列火车共有n 节车厢，有k (k ≥n )个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】 设A i ={第i 节车厢是空的}，（i =1,…,n ）,则121(1)1()(1)2()(1)1()(1)n k ki kki j ki i i n P A n nP A A n n P A A A n--==-=--=-其中i 1,i 2,…,i n 1是1，2，…，n 中的任n 1个.显然n 节车厢全空的概率是零，于是2112111122111111123111()(1)C (1)2()C (1)1()C (1)0()(1)n n nk ki ni ki j n i j nn kn i i i n i i i nn nn i ni S P A n n n S P A A n n S P A A A nS P A S S S S --=≤<≤--≤<<≤+===-=-==--==-==-+-+-∑∑∑121121C (1)C (1)(1)C (1)kkn n kn n n n nnn--=---++--故所求概率为121121()1C (1)C (1)nk i i n ni P A n n=-=--+--+111(1)C (1)n n kn n n+----48.设随机试验中，某一事件A 出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A 迟早会出现的概率为1. 【证】在前n 次试验中，A 至少出现一次的概率为1(1)1()n n ε--→→∞49.袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解】设A ={投掷硬币r 次都得到国徽}B ={这只硬币为正品} 由题知 (),()m nP B P B m n m n==++ 1(|),(|)12r P A B P A B ==则由贝叶斯公式知()()(|)(|)()()(|)()(|)P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B ==+121212rrr m m m n m n m n m n m n+==++++ 50.巴拿赫（Banach ）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r 根的概率又有多少？ 【解】以B 1、B 2记火柴取自不同两盒的事件，则有121()()2P B P B ==.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r 根，说明已取了2n r 次，设n 次取自B 1盒（已空），n r 次取自B 2盒，第2n r +1次拿起B 1，发现已空。

概率论与数理统计习题及答案习题一1.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC（4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC(5) ABC=A B C(6) ABC(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3..4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）.【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)]=1-[0.7-0.3]=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,（1）在什么条件下P（AB（2）在什么条件下P（AB【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】 P （A ∪B ∪C ）=P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC )=14+14+13-112=347.52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】 p =5332131313131352C C C C /C 8.（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）=517=（17）5（亦可用独立性求解，下同） （2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故P （A 2）=5567=(67)5(3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}P （A 3）=1-P (A 1)=1-(17)59..见教材习题参考答案.10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n <N ）.试求其中恰有m 件（m ≤M ）正品（记为A ）的概率. （1） n 件是同时取出的； （2）n （3） n 件是有放回逐件取出的.【解】（1） P （A ）=C C /C m n m nM N M N --(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有P nN 种，n 次抽取中有m次为正品的组合数为C mn 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M 件正品中取m 件的排列数有P mM 种，从N -M 件次品中取n -m 件的排列数为P n mN M --种，故P （A ）=C P PP m m n mn M N M n N --由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成P （A ）=C C C m n mM N Mn N--可以看出，用第二种方法简便得多.（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N 种取法，故所有可能的取法总数为N n 种，n次抽取中有m 次为正品的组合数为C mn 种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m 次取得正品，都有M 种取法，共有M m 种取法，n -m 次取得次品，每次都有N -M 种取法，共有（N -M ）n -m 种取法，故()C ()/m m n mn n P A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型，共做了n 重贝努里试验，每次取得正品的概率为MN，则取得m 件正品的概率为()C 1m n mm n M M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11..见教材习题参考答案.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A ==13.7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设A i ={恰有i 个白球}（i =2,3），显然A 2与A 3互斥.213434233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A ====故 232322()()()35P A A P A P A =+=14.0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：（1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率.【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽}，（i =1,2）(1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==⨯= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-⨯=(3) 2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =⨯+⨯=15.3次正面才停止.（1） 问正好在第6次停止的概率；（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.【解】（1） 223151115()()22232p C ==(2) 1342111C ()()22245/325p ==16.0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率.【解】 设A i ={甲进i 球}，i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则3331212333()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+ 22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯=0.32076175双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】 4111152222410C C C C C 131C 21p =-= 18.0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A ={下雨}，B ={下雪}.（1） ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A === （2） ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=19.3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】 设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故()6/86()()7/87P AB P B A P A ===或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.6()7P B A =20.5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.【解】 设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯21.9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图题22图【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x-y|>30.如图阴影部分所示.22301604P==22.0，1）中随机地取两个数，求：（1）两个数之和小于65的概率；（2）两个数之积小于14的概率.【解】设两数为x,y，则0<x,y<1.（1）x+y<65.11441725510.68125p=-==(2) xy=<14.1111244111d d ln242xp x y⎛⎫=-=+⎪⎝⎭⎰⎰23.P（A）=0.3,P(B)=0.4,P(A B)=0.5，求P（B｜A∪B）【解】()()()()()()()()P AB P A P ABP B A BP A B P A P B P AB-==+-0.70.510.70.60.54-==+-24.15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式，有3()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =∙+∙+∙+∙0.089=25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？ 【解】设A ={被调查学生是努力学习的}，则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P（A ）=0.8，P （A ）=0.2，又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P （B |A ）=0.9，P （B |A ）=0.9，故由贝叶斯公式知（1）()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2) ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ，试问原发信息是A 的概率是多少？【解】 设A ={原发信息是A }，则={原发信息是B }C ={收到信息是A }，则={收到信息是B } 由贝叶斯公式，得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯27.【解】设A i ={箱中原有i 个白球}（i =0,1,2），由题设条件知P （A i ）=13,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知11112()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑ 2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯28.96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设A ={产品确为合格品}，B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯29..统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？【解】 设A ={该客户是“谨慎的”}，B ={该客户是“一般的”}，C ={该客户是“冒失的”}，D ={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯30.0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率. 【解】设A i ={第i 道工序出次品}（i =1,2,3,4）.412341()1()i i P A P A A A A ==-12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.970.124=-⨯⨯⨯= 31.0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进行n 次独立射击.1(0.8)0.9n -≥即为 (0.8)0.1n≤ 故 n ≥11 至少必须进行11次独立射击. 32.P （A ｜B ）=P (A ｜B )，则A ，B 相互独立.【证】 (|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B =亦即 ()()()()P AB P B P AB P B =()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=-因此 ()()()P AB P A P B = 故A 与B 相互独立. 33.15，13，14，求将此密码破译出的概率.【解】 设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯= 34.0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3由全概率公式，得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.45835.25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求： （1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.（2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 【解】（1） 310110C(0.35)(0.65)0.5138k k k k p -===∑(2) 10102104C(0.25)(0.75)0.2241kk k k p -===∑36.6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：（1） A =“某指定的一层有两位乘客离开”；（2） B =“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （3） C =“恰有两位乘客在同一层离开”； （4） D =“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.（1） 2466C 9()10P A =，也可由6重贝努里模型：224619()C ()()1010P A =（2） 6个人在十层中任意六层离开，故6106P ()10P B =（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有110C 种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有26C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有131948C C C 种可能结果；②4人同时离开，有19C 种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有49P 种可能结果，故1213114610694899()C C (C C C C P )/10P C =++（4） D=B .故6106P ()1()110P D P B =-=-37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3） 如果n 个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率. 【解】 （1） 111p n =-(2) 23!(3)!,3(1)!n p n n -=>-(3) 12(1)!13!(2)!;,3!!n n p p n n n n --''===≥ 38.[0，a ]【解】 设这三段长分别为x ,y ,a -x -y .则基本事件集为由0<x <a ,0<y <a ,0<a -x -y <a 所构成的图形，有利事件集为由()()x y a x y x a x y y y a x y x+>--⎡⎢+-->⎢⎢+-->⎣ 构成的图形，即02022a x a y ax y a ⎡<<⎢⎢⎢<<⎢⎢⎢<+<⎢⎣如图阴影部分所示，故所求概率为14p =. 39. 某人有n 把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.证明试开k 次（k =1,2,…,n ）才能把门打开的概率与k 无关.【证】 11P 1,1,2,,P k n k n p k n n--=== 40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有i 面涂有颜色的概率P （A i ）（i =0,1,2,3）. 【解】 设A i ={小立方体有i 面涂有颜色}，i =0,1,2,3.在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000-（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为01512384()0.512,()0.38410001000P A P A ====, 24968()0.096,()0.00810001000P A P A ====.41.对任意的随机事件A ，B ，CP （AB ）+P （AC ）-P （BC ）≤P (A). 【证】 ()[()]()P A P A BC P AB AC ≥=()()()P AB P AC P ABC =+-()()()P AB P AC P BC ≥+- 42.3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率.【解】 设i A ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故3413C 3!3()48P A ==而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C 1()416P A ==因此 213319()1()()181616P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()416P A == 43.2n 次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2n 次硬币，可能出现：A ={正面次数多于反面次数}，B ={正面次数少于反面次数}，C ={正面次数等于反面次数}，A ，B ，C 两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P （A ）=P （B ）.所以1()()2P C P A -=由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为211()()()22n n nn P C C =故 2211()[1C ]22nn n P A =-44.n 次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A ={出现正面次数多于反面次数}，B ={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知P （A ）=P （B ）（1） 当n 为奇数时，正、反面次数不会相等.由P （A ）+P （B ）=1得P （A ）=P （B ）=0.5(2) 当n 为偶数时，由上题知211()[1C ()]22nn n P A =-45.n +1次，乙掷n 次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有>正正（甲乙）=（甲正≤乙正）=（n +1-甲反≤n -乙反）=（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）由对称性知P （甲正>乙正）=P （甲反>乙反） 因此P (甲正>乙正)=1246.Sure -thing ）：若P （A |C ）≥P (B |C ),P (A |C )≥P (B |C )，则P （A ）≥P (B ).【证】由P （A |C ）≥P (B |C ),得()(),()()P AC P BC P C P C ≥即有 ()()P AC P BC ≥ 同理由 (|)(|),P A C P B C ≥ 得 ()(),P AC P BC ≥故 ()()()()()()P A P AC P AC P BC P BC P B =+≥+= 47.一列火车共有n 节车厢，有k (k ≥n )个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】 设A i ={第i 节车厢是空的}，（i =1,…,n ）,则121(1)1()(1)2()(1)1()(1)n k ki k ki j ki i i n P A n nP A A n n P A A A n--==-=--=-其中i 1,i 2,…,i n -1是1，2，…，n 中的任n -1个. 显然n 节车厢全空的概率是零，于是2112111122111111123111()(1)C (1)2()C (1)1()C (1)0()(1)n n nk ki ni ki j n i j nn kn i i i n i i i nn nn i ni S P A n n n S P A A n n S P A A A nS P A S S S S --=≤<≤--≤<<≤+===-=-==--==-==-+-+-∑∑∑121121C (1)C (1)(1)C (1)k kn n kn n n n nnn--=---++--故所求概率为121121()1C (1)C (1)nk i i n ni P A n n=-=--+--+111(1)C (1)n n kn n n+----48.设随机试验中，某一事件A 出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A 迟早会出现的概率为1. 【证】在前n 次试验中，A 至少出现一次的概率为1(1)1()n n ε--→→∞49.袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解】设A ={投掷硬币r 次都得到国徽}B ={这只硬币为正品} 由题知 (),()m nP B P B m n m n==++ 1(|),(|)12r P A B P A B ==则由贝叶斯公式知()()(|)(|)()()(|)()(|)P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B ==+ 121212r rr m m m n m n m nm n m n+==++++ 50.巴拿赫（Banach ）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r 根的概率又【解】以B 1、B 2记火柴取自不同两盒的事件，则有121()()2P B P B ==.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r 根，说明已取了2n -r 次，设n 次取自B 1盒（已空），n -r 次取自B 2盒，第2n -r +1次拿起B 1，发现已空。

概率论与数理统计复旦大学此答案非常详细非常全，可供大家在平时作业或考试前使用，预祝大家考试成功习题一1．略.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC（4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC(5) ABC=A B C (6) ABC(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3.略.见教材习题参考答案4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A B)=0.3，求P（AB）.【解】P（AB）=1P（AB）=1[P(A)P(A B)]=1[0.70.3]=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？【解】（1） 当AB =A 时，P （AB ）取到最大值为0.6.（2） 当A ∪B =Ω时，P （AB ）取到最小值为0.3.6.设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0，P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率.【解】 P （A ∪B ∪C ）=P (A )+P (B )+P (C )P (AB )P (BC )P (AC )+P (ABC )=14+14+13112=347.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】 p =5332131313131352C C C C /C8.对一个五人学习小组考虑生日问题：（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率；（3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】（1） 设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故P （A 1）=517=（17）5 （亦可用独立性求解，下同） （2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故P （A 2）=5567=(67)5 (3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}P （A 3）=1P (A 1)=1(17)5 9.略.见教材习题参考答案.10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n <N ）.试求其中恰有m 件（m ≤M ）正品（记为A ）的概率.如果：（1） n 件是同时取出的；（2） n 件是无放回逐件取出的；（3） n 件是有放回逐件取出的.【解】（1） P （A ）=C C /C m n m n M N M N --(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有P n N 种，n 次抽取中有m次为正品的组合数为C m n 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M 件正品中取m 件的排列数有P m M 种，从NM 件次品中取n m 件的排列数为P n m N M --种，故P （A ）=C P P P mm n m n M N M n N -- 由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成P （A ）=C C C mn m M N M n N-- 可以看出，用第二种方法简便得多.（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N 种取法，故所有可能的取法总数为N n 种，n 次抽取中有m 次为正品的组合数为C mn 种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m 次取得正品，都有M 种取法，共有M m 种取法，nm 次取得次品，每次都有N M 种取法，共有（N M ）n m 种取法，故()C ()/m m n m n n P A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型，共做了n 重贝努里试验，每次取得正品的概率为M N，则取得m 件正品的概率为()C 1m n m mn M M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.略.见教材习题参考答案.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A == 【解】 设A i ={甲进i 球}，i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则33312123330()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯=0.3207617．从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】 4111152222410C C C C C 131C 21p =-= 18.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率.【解】 设A ={下雨}，B ={下雪}.（1） ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A === （2） ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=19.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】 设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故 ()6/86()()7/87P AB P B A P A === 或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.6()7P B A = 20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.【解】 设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯ 21.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图 题22图【解】设两人到达时刻为x,y ,则0≤x ,y ≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|xy |>30.如图阴影部分所示.22301604P == 22.从（0，1）中随机地取两个数，求：（1） 两个数之和小于65的概率； （2） 两个数之积小于14的概率. 【解】 设两数为x ,y ，则0<x ,y <1.（1） x +y <65. 11441725510.68125p =-== (2) xy =<14. 1111244111d d ln 242x p x y ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭⎰⎰ 23.设P （A ）=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5，求P （B ｜A ∪B ）【解】 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B A B P A B P A P B P AB -==+- 0.70.510.70.60.54-==+- 24.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式，有30()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =•+•+•+•0.089=25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【解】设A ={被调查学生是努力学习的}，则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P（A ）=0.8，P （A ）=0.2，又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P （B |A ）=0.9，P （B |A ）=0.9，故由贝叶斯公式知（1）()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯ 即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%(2) ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯ 即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ，试问原发信息是A 的概率是多少？【解】 设A ={原发信息是A }，则={原发信息是B }C ={收到信息是A }，则={收到信息是B }由贝叶斯公式，得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+ 2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯ 27.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种）【解】设A i ={箱中原有i 个白球}（i =0,1,2），由题设条件知P （A i ）=13,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知 111120()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑ 2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯ 28.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设A ={产品确为合格品}，B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯ 29.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？ 【解】 设A ={该客户是“谨慎的”}，B ={该客户是“一般的”}，C ={该客户是“冒失的”}，D ={该客户在一年内出了事故}则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++ 0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯ 30.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.【解】设A i ={第i 道工序出次品}（i =1,2,3,4）.412341()1()i i P A P A A A A ==-12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.970.124=-⨯⨯⨯=31.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进行n 次独立射击.1(0.8)0.9n -≥即为 (0.8)0.1n ≤故 n ≥11至少必须进行11次独立射击.32.证明：若P （A ｜B ）=P (A ｜B )，则A ，B 相互独立.【证】 (|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B = 亦即 ()()()()P AB P B P AB P B =()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=-因此 ()()()P AB P A P B =故A 与B 相互独立.33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为15，13，14，求将此密码破译出的概率.【解】 设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则 31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯= 34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3由全概率公式，得30()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7=0.45835.已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：（1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.（2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.【解】（1） 3101100C(0.35)(0.65)0.5138k k k k p -===∑(2) 10102104C(0.25)(0.75)0.2241k k k k p -===∑36.一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：（1） A =“某指定的一层有两位乘客离开”；（2） B =“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”；（3） C =“恰有两位乘客在同一层离开”；（4） D =“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.（1） 2466C 9()10P A =，也可由6重贝努里模型： 224619()C ()()1010P A = （2） 6个人在十层中任意六层离开，故6106P ()10P B = （3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有110C 种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有26C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有131948C C C 种可能结果；②4人同时离开，有19C 种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有49P 种可能结果，故1213114610694899()C C (C C C C P )/10P C =++ （4） D=B .故6106P ()1()110P D P B =-=- 37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：（1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；（2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3） 如果n 个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.【解】 （1） 111p n =- (2) 23!(3)!,3(1)!n p n n -=>- (3) 12(1)!13!(2)!;,3!!n n p p n n n n --''===≥ 38.将线段[0，a ]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】 设这三段长分别为x ,y ,a x y .则基本事件集为由0<x <a ,0<y <a ,0<a x y <a 所构成的图形，有利事件集为由()()x y a x y x a x y y y a x y x+>--⎡⎢+-->⎢⎢+-->⎣ 构成的图形，即02022a x a y a x y a ⎡<<⎢⎢⎢<<⎢⎢⎢<+<⎢⎣ 如图阴影部分所示，故所求概率为14p =. 39. 某人有n 把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.证明试开k 次（k =1,2,…,n ）才能把门打开的概率与k 无关.【证】 11P 1,1,2,,P k n k n p k n n--===40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有i 面涂有颜色的概率P （A i ）（i =0,1,2,3）.【解】 设A i ={小立方体有i 面涂有颜色}，i =0,1,2,3.在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为01512384()0.512,()0.38410001000P A P A ====, 24968()0.096,()0.00810001000P A P A ====. 41.对任意的随机事件A ，B ，C ，试证P （AB ）+P （AC ）P （BC ）≤P (A ). 【证】 ()[()]()P A P A B C P AB AC ≥=()()()P AB P AC P ABC =+-()()()P AB P AC P BC ≥+-42.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率.【解】 设i A ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故 3413C 3!3()48P A == 而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C 1()416P A == 因此 213319()1()()181616P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()416P A == 43.将一枚均匀硬币掷2n 次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2n 次硬币，可能出现：A ={正面次数多于反面次数}，B ={正面次数少于反面次数}，C ={正面次数等于反面次数}，A ，B ，C 两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P （A ）=P （B ）.所以1()()2P C P A -= 由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为211()()()22n n nn P C C =故 2211()[1C ]22nn n P A =-44.掷n 次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A ={出现正面次数多于反面次数}，B ={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知P（A ）=P （B ）（1） 当n 为奇数时，正、反面次数不会相等.由P （A ）+P （B ）=1得P （A ）=P （B ）=0.5(2) 当n 为偶数时，由上题知211()[1C ()]22nn n P A =-45.设甲掷均匀硬币n +1次，乙掷n 次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有>正正（甲乙）=（甲正≤乙正）=（n +1甲反≤n乙反）=（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）由对称性知P （甲正>乙正）=P （甲反>乙反） 因此P (甲正>乙正)=1246.证明“确定的原则”（Surething ）：若P （A |C ）≥P (B |C ),P (A |C )≥P (B |C )，则P （A ）≥P (B ).【证】由P （A |C ）≥P (B |C ),得()(),()()P AC P BC P C P C ≥即有 ()()P AC P BC ≥ 同理由 (|)(|),P A C P B C ≥ 得 ()(),P AC P BC ≥故 ()()()()()()P A P AC P AC P BC P BC P B =+≥+= 47.一列火车共有n 节车厢，有k (k ≥n )个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】 设A i ={第i 节车厢是空的}，（i =1,…,n ）,则121(1)1()(1)2()(1)1()(1)n k ki kki j ki i i n P A n nP A A n n P A A A n--==-=--=-其中i 1,i 2,…,i n 1是1，2，…，n 中的任n 1个.显然n 节车厢全空的概率是零，于是2112111122111111123111()(1)C (1)2()C (1)1()C (1)0()(1)n n nk ki ni ki j n i j nn kn i i i n i i i nn nn i ni S P A n n n S P A A n n S P A A A nS P A S S S S --=≤<≤--≤<<≤+===-=-==--==-==-+-+-∑∑∑121121C (1)C (1)(1)C (1)kkn n kn n n n nnn--=---++--故所求概率为121121()1C (1)C (1)nk i i n ni P A n n=-=--+--+111(1)C (1)n n kn n n+----48.设随机试验中，某一事件A 出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A 迟早会出现的概率为1. 【证】在前n 次试验中，A 至少出现一次的概率为1(1)1()n n ε--→→∞49.袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解】设A ={投掷硬币r 次都得到国徽}B ={这只硬币为正品} 由题知 (),()m nP B P B m n m n==++ 1(|),(|)12r P A B P A B ==则由贝叶斯公式知()()(|)(|)()()(|)()(|)P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B ==+121212rrr m m m n m n m n m n m n+==++++ 50.巴拿赫（Banach ）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r 根的概率又有多少？ 【解】以B 1、B 2记火柴取自不同两盒的事件，则有121()()2P B P B ==.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r 根，说明已取了2n r 次，设n 次取自B 1盒（已空），n r 次取自B 2盒，第2n r +1次拿起B 1，发现已空。

1 概率论与数理统计习题及答案习题一1．略.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC（4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC(5) ABC=A B C (6) ABC(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3.略.见教材习题参考答案4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A B)=0.3，求P（AB）.【解】P（AB）=1P（AB）=1[P(A)P(A B)]=1[0.70.3]=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)=14+14+13112=347.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】 p =5332131313131352C C C C /C8.对一个五人学习小组考虑生日问题： （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】（1） 设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）=517=（17）5（亦可用独立性求解，下同） （2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故P （A 2）=5567=(67)5(3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}P （A 3）=1P (A 1)=1(17)59.略.见教材习题参考答案. 10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n <N ）.试求其中恰有m 件（m ≤M ）正品（记为A ）的概率.如果： （1） n 件是同时取出的；（2） n 件是无放回逐件取出的； （3） n 件是有放回逐件取出的.【解】（1） P （A ）=C C /C m n m nM N M N --(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有P nN 种，n 次抽取中有m次为正品的组合数为C m n 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M 件正品中取m 件的排列数有P m M 种，从N M 件次品中取n m 件的排列数为P n mN M --种，故P （A ）=C P PP m m n mn M N M n N--由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成P （A ）=C C C m n mM N Mn N--可以看出，用第二种方法简便得多.（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N 种取法，故所有可能的取法总数为N n种，n次抽取中有m 次为正品的组合数为C m n 种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m 次取得正品，都有M 种取法，共有M m种取法，nm 次取得次品，每次都有N M 种取法，共有（N M ）n m种取法，故()C ()/m m n mn n P A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型，共做了n 重贝努里试验，每次取得正品的概率为MN，则取得m 件正品的概率为()C 1m n mm n M M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.略.见教材习题参考答案.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A ==13.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设A i ={恰有i 个白球}（i =2,3），显然A 2与A 3互斥.213434233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A ====故 232322()()()35P A A P A P A =+=14.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：（1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率.【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽}，（i =1,2）(1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==⨯= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-⨯=(3) 2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =⨯+⨯=15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.（1） 问正好在第6次停止的概率；（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.【解】（1） 223151115()()22232p C == (2) 1342111C ()()22245/325p ==16.甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率.【解】 设A i ={甲进i 球}，i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则33312123330()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯=0.3207617．从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】 4111152222410C C C C C 131C 21p =-= 18.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A ={下雨}，B ={下雪}.（1） ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A ===（2） ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=19.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】 设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故()6/86()()7/87P AB P B A P A ===或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.6()7P B A =20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.【解】 设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯21.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图 题22图【解】设两人到达时刻为x,y ,则0≤x ,y ≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x y |>30.如图阴影部分所示.22301604P ==22.从（0，1）中随机地取两个数，求：（1） 两个数之和小于65的概率； （2） 两个数之积小于14的概率.【解】 设两数为x ,y ，则0<x ,y <1. （1） x +y <65. 11441725510.68125p =-==(2) xy =<14.1111244111d d ln 242x p x y ⎛⎫=-=+⎪⎝⎭⎰⎰ 23.设P （A ）=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5，求P （B ｜A ∪B ） 【解】 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B AB P A B P A P B P AB -==+-0.70.510.70.60.54-==+-24.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式，有3()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =•+•+•+•0.089=25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？ 【解】设A ={被调查学生是努力学习的}，则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P（A ）=0.8，P （A ）=0.2，又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P （B |A ）=0.9，P （B |A ）=0.9，故由贝叶斯公式知（1）()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2) ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ，试问原发信息是A 的概率是多少？【解】 设A ={原发信息是A }，则={原发信息是B }C ={收到信息是A }，则={收到信息是B } 由贝叶斯公式，得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯27.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种） 【解】设A i ={箱中原有i 个白球}（i =0,1,2），由题设条件知P （A i ）=13,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知11112()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑ 2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯28.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设A ={产品确为合格品}，B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯29.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？【解】 设A ={该客户是“谨慎的”}，B ={该客户是“一般的”}，C ={该客户是“冒失的”}，D ={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯30.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率. 【解】设A i ={第i 道工序出次品}（i =1,2,3,4）.412341()1()i i P A P A A A A ==-12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.970.124=-⨯⨯⨯=31.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进行n 次独立射击.1(0.8)0.9n -≥即为 (0.8)0.1n ≤ 故 n ≥11 至少必须进行11次独立射击.32.证明：若P （A ｜B ）=P (A ｜B )，则A ，B 相互独立.【证】 (|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B =亦即 ()()()()P AB P B P AB P B =()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=-因此 ()()()P AB P A P B = 故A 与B 相互独立.33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为15，13，14，求将此密码破译出的概率.【解】 设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯= 34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3由全概率公式，得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.45835.已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求： （1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.（2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 【解】（1） 3101100C(0.35)(0.65)0.5138kk k k p -===∑(2) 10102104C(0.25)(0.75)0.2241k k k k p -===∑36.一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：（1） A =“某指定的一层有两位乘客离开”；（2） B =“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （3） C =“恰有两位乘客在同一层离开”； （4） D =“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.（1） 2466C 9()10P A =，也可由6重贝努里模型：224619()C ()()1010P A =（2） 6个人在十层中任意六层离开，故6106P ()10P B =（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有110C 种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有26C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有131948C C C 种可能结果；②4人同时离开，有19C 种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有49P 种可能结果，故1213114610694899()C C (C C C C P )/10P C =++（4） D=B .故6106P ()1()110P D P B =-=-37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3） 如果n 个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.【解】 （1） 111p n =- (2) 23!(3)!,3(1)!n p n n -=>-(3) 12(1)!13!(2)!;,3!!n n p p n n n n --''===≥ 38.将线段[0，a ]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】 设这三段长分别为x ,y ,a x y .则基本事件集为由0<x <a ,0<y <a ,0<a x y <a 所构成的图形，有利事件集为由()()x y a x y x a x y y y a x y x+>--⎡⎢+-->⎢⎢+-->⎣ 构成的图形，即02022a x a y ax y a ⎡<<⎢⎢⎢<<⎢⎢⎢<+<⎢⎣ 如图阴影部分所示，故所求概率为14p =. 39. 某人有n 把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.证明试开k 次（k =1,2,…,n ）才能把门打开的概率与k 无关.【证】 11P 1,1,2,,P k n k n p k n n--===40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有i 面涂有颜色的概率P （A i ）（i =0,1,2,3）. 【解】 设A i ={小立方体有i 面涂有颜色}，i =0,1,2,3.在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为01512384()0.512,()0.38410001000P A P A ====, 24968()0.096,()0.00810001000P A P A ====.41.对任意的随机事件A ，B ，C ，试证 P （AB ）+P （AC ）P （BC ）≤P (A ).【证】 ()[()]()P A P A BC P ABAC ≥=()()()P AB P AC P ABC =+- ()()()P AB P AC P BC ≥+-42.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 【解】 设i A ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故3413C 3!3()48P A ==而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C 1()416P A ==因此 213319()1()()181616P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()416P A == 43.将一枚均匀硬币掷2n 次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2n 次硬币，可能出现：A ={正面次数多于反面次数}，B ={正面次数少于反面次数}，C ={正面次数等于反面次数}，A ，B ，C 两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P （A ）=P （B ）.所以1()()2P C P A -=由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为211()()()22n n nn P C C =故 2211()[1C ]22nn n P A =-44.掷n 次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A ={出现正面次数多于反面次数}，B ={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知P（A ）=P （B ）（1） 当n 为奇数时，正、反面次数不会相等.由P （A ）+P （B ）=1得P （A ）=P （B ）=0.5(2) 当n 为偶数时，由上题知211()[1C ()]22nn n P A =-45.设甲掷均匀硬币n +1次，乙掷n 次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数.显然有>正正（甲乙）=（甲正≤乙正）=（n +1甲反≤n 乙反） =（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）由对称性知P （甲正>乙正）=P （甲反>乙反） 因此P (甲正>乙正)=1246.证明“确定的原则”（Sure thing ）：若P （A |C ）≥P (B |C ),P (A |C )≥P (B |C )，则P （A ）≥P (B ).【证】由P （A |C ）≥P (B |C ),得()(),()()P AC P BC P C P C ≥即有 ()()P AC P BC ≥ 同理由 (|)(|),P A C P B C ≥ 得 ()(),P AC P BC ≥故 ()()()()()()P A P AC P AC P BC P BC P B =+≥+= 47.一列火车共有n 节车厢，有k (k ≥n )个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】 设A i ={第i 节车厢是空的}，（i =1,…,n ）,则121(1)1()(1)2()(1)1()(1)n k ki kki j ki i i n P A n nP A A n n P A A A n--==-=--=-其中i 1,i 2,…,i n 1是1，2，…，n 中的任n 1个. 显然n 节车厢全空的概率是零，于是2112111122111111123111()(1)C (1)2()C (1)1()C (1)0()(1)n n nk ki ni k i j ni j nn kn i i i n i i i nn nn i ni S P A n n n S P A A n n S P A A A nS P A S S S S --=≤<≤--≤<<≤+===-=-==--==-==-+-+-∑∑∑121121C (1)C (1)(1)C (1)kkn n kn n n n nnn--=---++--故所求概率为121121()1C (1)C (1)nk i i n n i P A n n=-=--+--+111(1)C (1)n n kn n n+----48.设随机试验中，某一事件A 出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A 迟早会出现的概率为1. 【证】在前n 次试验中，A 至少出现一次的概率为1(1)1()n n ε--→→∞49.袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解】设A ={投掷硬币r 次都得到国徽}B ={这只硬币为正品} 由题知 (),()m nP B P B m n m n==++ 1(|),(|)12r P A B P A B ==则由贝叶斯公式知()()(|)(|)()()(|)()(|)P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B ==+121212r rrm m m n m nm n m n m n+==++++ 50.巴拿赫（Banach ）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r 根的概率又有多少？【解】以B 1、B 2记火柴取自不同两盒的事件，则有121()()2P B P B ==.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r 根，说明已取了2n r 次，设n 次取自B 1盒（已空），n r 次取自B 2盒，第2n r +1次拿起B 1，发现已空。

概率论与数理统计习题及答案习题一1． 略.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC（4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC(6) ABC(5) ABC=A B C(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3. 略.见教材习题参考答案4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）.【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)]=1-[0.7-0.3]=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】 P （A ∪B ∪C ）=P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC )=14+14+13-112=347. 从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？ 【解】 p =5332131313131352C C C C /C8. 对一个五人学习小组考虑生日问题： （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）=517=（17）5（亦可用独立性求解，下同） （2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故P （A 2）=5567=(67)5(3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}P （A 3）=1-P (A 1)=1-(17)59. 略.见教材习题参考答案.10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n <N ）.试求其中恰有m 件（m ≤M ）正品（记为A ）的概率.如果： （1） n 件是同时取出的；（2） n 件是无放回逐件取出的； （3） n 件是有放回逐件取出的. 【解】（1） P （A ）=C C /C m n m nM N M N --(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有P nN 种，n 次抽取中有m次为正品的组合数为C mn 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M 件正品中取m 件的排列数有P m M 种，从N -M 件次品中取n -m 件的排列数为P n mN M --种，故P （A ）=C P P P m m n mn M N MnN-- 由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成P （A ）=C C C m n mM N Mn N--可以看出，用第二种方法简便得多.（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N 种取法，故所有可能的取法总数为N n 种，n次抽取中有m 次为正品的组合数为C mn 种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m 次取得正品，都有M 种取法，共有M m 种取法，n -m 次取得次品，每次都有N -M 种取法，共有（N -M ）n -m 种取法，故()C ()/m m n mn n P A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型，共做了n 重贝努里试验，每次取得正品的概率为MN，则取得m 件正品的概率为()C 1m n mm n M M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11. 略.见教材习题参考答案.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A ==13. 一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设A i ={恰有i 个白球}（i =2,3），显然A 2与A 3互斥.213434233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A ====故 232322()()()35P A A P A P A =+=14. 有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：（1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率.【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽}，（i =1,2）(1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==⨯= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-⨯= (3) 2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =⨯+⨯=15. 掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.（1） 问正好在第6次停止的概率；（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.【解】（1） 223151115()()22232p C ==(2) 1342111C ()()22245/325p ==16. 甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率.【解】 设A i ={甲进i 球}，i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则33312123330()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+ 22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯=0.3207617． 从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】 4111152222410C C C C C 131C 21p =-= 18. 某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A ={下雨}，B ={下雪}.（1） ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A === （2） ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=19. 已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】 设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故()6/86()()7/87P AB P B A P A === 或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.6()7P B A =20. 已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.【解】 设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯ 21. 两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图题22图【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x-y|>30.如图阴影部分所示.22301604P==22. 从（0，1）中随机地取两个数，求：（1）两个数之和小于65的概率；（2）两个数之积小于14的概率.【解】设两数为x,y，则0<x,y<1.（1）x+y<65.11441725510.68125p=-==(2) xy=<14.1111244111d d ln242xp x y⎛⎫=-=+⎪⎝⎭⎰⎰23. 设P（A）=0.3,P(B)=0.4,P(A B)=0.5，求P（B｜A∪B）【解】()()()()()()()()P AB P A P ABP B A BP A B P A P B P AB-==+-0.70.510.70.60.54-==+-24. 在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式，有3()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =∙+∙+∙+∙0.089=25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？ 【解】设A ={被调查学生是努力学习的}，则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P（A ）=0.8，P （A ）=0.2，又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P （B |A ）=0.9，P （B |A ）=0.9，故由贝叶斯公式知（1）()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2) ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ，试问原发信息是A 的概率是多少？【解】 设A ={原发信息是A }，则={原发信息是B }C ={收到信息是A }，则={收到信息是B } 由贝叶斯公式，得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯27. 在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种） 【解】设A i ={箱中原有i 个白球}（i =0,1,2），由题设条件知P （A i ）=13,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知111120()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯28. 某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设A ={产品确为合格品}，B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯29. 某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？【解】 设A ={该客户是“谨慎的”}，B ={该客户是“一般的”}，C ={该客户是“冒失的”}，D ={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++ 0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯30. 加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率. 【解】设A i ={第i 道工序出次品}（i =1,2,3,4）.412341()1()i i P A P A A A A ==-12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.970.124=-⨯⨯⨯= 31. 设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进行n 次独立射击.1(0.8)0.9n -≥即为 (0.8)0.1n≤ 故 n ≥11 至少必须进行11次独立射击.32. 证明：若P （A ｜B ）=P (A ｜B )，则A ，B 相互独立.【证】 (|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B =亦即 ()()()()P AB P B P AB P B =()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=-因此 ()()()P AB P A P B = 故A 与B 相互独立.33. 三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为15，13，14，求将此密码破译出的概率.【解】 设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯= 34. 甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3由全概率公式，得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.45835. 已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求： （1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.（2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 【解】（1） 310110C(0.35)(0.65)0.5138k k k k p -===∑(2) 10102104C(0.25)(0.75)0.2241kk k k p -===∑36. 一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：（1） A =“某指定的一层有两位乘客离开”；（2） B =“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （3） C =“恰有两位乘客在同一层离开”； （4） D =“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.（1） 2466C 9()10P A =，也可由6重贝努里模型： 224619()C ()()1010P A =（2） 6个人在十层中任意六层离开，故6106P ()10P B =（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有110C 种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有26C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有131948C C C 种可能结果；②4人同时离开，有19C 种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有49P 种可能结果，故1213114610694899()C C (C C C C P )/10P C =++（4） D=B .故6106P ()1()110P D P B =-=-37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3） 如果n 个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率. 【解】 （1） 111p n =-(2) 23!(3)!,3(1)!n p n n -=>-(3) 12(1)!13!(2)!;,3!!n n p p n n n n --''===≥ 38. 将线段[0，a ]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】 设这三段长分别为x ,y ,a -x -y .则基本事件集为由0<x <a ,0<y <a ,0<a -x -y <a 所构成的图形，有利事件集为由()()x y a x y x a x y y y a x y x+>--⎡⎢+-->⎢⎢+-->⎣ 构成的图形，即02022a x a y ax y a ⎡<<⎢⎢⎢<<⎢⎢⎢<+<⎢⎣ 如图阴影部分所示，故所求概率为14p =. 39. 某人有n 把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.证明试开k 次（k =1,2,…,n ）才能把门打开的概率与k 无关.【证】 11P 1,1,2,,P k n k n p k n n--=== 40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有i 面涂有颜色的概率P （A i ）（i =0,1,2,3）. 【解】 设A i ={小立方体有i 面涂有颜色}，i =0,1,2,3.在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000-（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为01512384()0.512,()0.38410001000P A P A ====, 24968()0.096,()0.00810001000P A P A ====.41.对任意的随机事件A ，B ，C ，试证P （AB ）+P （AC ）-P （BC ）≤P (A ). 【证】 ()[()]()P A P A B C P AB AC ≥= ()()()P AB P AC P ABC =+-()()()P AB P AC P BC ≥+-42. 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 【解】 设i A ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故3413C 3!3()48P A ==而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C 1()416P A ==因此 213319()1()()181616P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()416P A ==43. 将一枚均匀硬币掷2n 次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2n 次硬币，可能出现：A ={正面次数多于反面次数}，B ={正面次数少于反面次数}，C ={正面次数等于反面次数}，A ，B ，C 两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P （A ）=P （B ）.所以1()()2P C P A -=由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为211()()()22n n nn P C C =故 2211()[1C ]22nn n P A =-44. 掷n 次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A ={出现正面次数多于反面次数}，B ={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知P （A ）=P （B ）（1） 当n 为奇数时，正、反面次数不会相等.由P （A ）+P （B ）=1得P （A ）=P （B ）=0.5(2) 当n 为偶数时，由上题知211()[1C ()]22nn n P A =-45. 设甲掷均匀硬币n +1次，乙掷n 次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有>正正（甲乙）=（甲正≤乙正）=（n +1-甲反≤n -乙反）=（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）由对称性知P （甲正>乙正）=P （甲反>乙反） 因此P (甲正>乙正)=1246. 证明“确定的原则”（Sure -thing ）：若P （A |C ）≥P (B |C ),P (A |)≥P (B |)，则P （A ）≥P (B ).【证】由P （A |C ）≥P (B |C ),得()(),()()P AC P BC P C P C ≥即有 ()()P AC P BC ≥ 同理由 (|)(|),P A C P B C ≥ 得 ()(),P AC P BC ≥故 ()()()()()()P A P AC P AC P BC P BC P B =+≥+= 47.一列火车共有n 节车厢，有k (k ≥n )个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】 设A i ={第i 节车厢是空的}，（i =1,…,n ）,则121(1)1()(1)2()(1)1()(1)n k ki k ki j ki i i n P A n nP A A nn P A A A n--==-=--=-其中i 1,i 2,…,i n -1是1，2，…，n 中的任n -1个. 显然n 节车厢全空的概率是零，于是2112111122111111123111()(1)C (1)2()C (1)1()C (1)0()(1)n n nk ki ni k i j ni j nn kn i i i n i i i nn nn i ni S P A n n n S P A A n n S P A A A nS P A S S S S --=≤<≤--≤<<≤+===-=-==--==-==-+-+-∑∑∑121121C (1)C (1)(1)C (1)k k n n kn n n n n n n--=---++--故所求概率为121121()1C (1)C (1)nk i i n n i P A n n =-=--+--+ 111(1)C (1)n n k nn n+---- 48.设随机试验中，某一事件A 出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A 迟早会出现的概率为1. 【证】在前n 次试验中，A 至少出现一次的概率为1(1)1()n n ε--→→∞49.袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解】设A ={投掷硬币r 次都得到国徽}B ={这只硬币为正品} 由题知 (),()m nP B P B m n m n==++ 1(|),(|)12r P A B P A B ==则由贝叶斯公式知()()(|)(|)()()(|)()(|)P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B ==+ 121212rrr m m m n m nm n m n m n+==++++ 50.巴拿赫（Banach ）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r 根的概率又有多少？ 【解】以B 1、B 2记火柴取自不同两盒的事件，则有121()()2P B P B ==.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r 根，说明已取了2n -r 次，设n 次取自B 1盒（已空），n -r 次取自B 2盒，第2n -r +1次拿起B 1，发现已空。

2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC（4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC(5) ABC=A B C(6) ABC(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3.略.见教材习题参考答案4.设A，B为随机事件，且P（A）=,P(A-B)=，求P（AB）.【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)]=1-[-]=5.设A，B是两事件，且P（A）=,P(B)=,求：（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为.（2） 当A ∪B =Ω时，P （AB ）取到最小值为.6.设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P（BC ）=0，P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率. 【解】 P （A ∪B ∪C ）=P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC )=14+14+13-112=347.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】 p =5332131313131352C C C C /C12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A == 13.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设A i ={恰有i 个白球}（i =2,3），显然A 2与A 3互斥.213434233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A ====故 232322()()()35P A A P A P A =+=14.有甲、乙两批种子，发芽率分别为和，在两批种子中各随机取一粒，求：（1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率.【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽}，（i =1,2） (1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==⨯= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-⨯=(3) 2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =⨯+⨯=15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.（1） 问正好在第6次停止的概率；（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.【解】（1） 223151115()()22232p C == (2) 1342111C ()()22245/325p == 16.甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为及，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率.【解】 设A i ={甲进i 球}，i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则3331212333()(0.3)(0.4)C0.7(0.3)C0.6(0.4)i iiP A B==+⨯⨯+22223333C(0.7)0.3C(0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯=17．从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】4111152222410C C C C C131C21p=-=18.某地某天下雪的概率为，下雨的概率为，既下雪又下雨的概率为,求：（1）在下雨条件下下雪的概率；（2）这天下雨或下雪的概率.【解】设A={下雨}，B={下雪}.（1）()0.1()0.2()0.5P ABp B AP A===（2）()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB=+-=+-=21.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图题22图【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x-y|>30.如图阴影部分所示.22301604P==23.设P（A）=,P(B)=,P(A B)=，求P（B｜A∪B）【解】 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B A B P A B P A P B P AB -==+- 0.70.510.70.60.54-==+-24.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式，有 30()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =•+•+•+•0.089=33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为15，13，14，求将此密码破译出的概率.【解】 设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯=34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是,,，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为；若有两人击中，则飞机被击落的概率为；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3由全概率公式，得30()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=××+××+××+××+××+××+×× =习题二1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】353524353,4,51(3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6C X P X P X P X ==========2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图； (3)133{},{1},{1},{12}222P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.【解】313315122133151133150,1,2.C 22(0).C 35C C 12(1).C 35C 1(2).C 35X P X P X P X ==========（2） 当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)=2235当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数0,022,0135()34,12351,2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩(3)1122()(),2235333434(1)()(1)02235353312(1)(1)(1)2235341(12)(2)(1)(2)10.3535P X F P X F F P X P X P X P X F F P X ≤==<≤=-=-=≤≤==+<≤=<<=--==--=3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3.31232233(0)(0.2)0.008(1)C 0.8(0.2)0.096(2)C (0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512P X P X P X P X ============0,00.008,01()0.104,120.488,231,3x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩(2)(2)(3)0.896P X P X P X ≥==+==4.（1） 设随机变量X 的分布律为P {X =k }=!k akλ，其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a .（2） 设随机变量X 的分布律为P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知1()e !kk k P X k a a k λλ∞∞======∑∑故 e a λ-=(2) 由分布律的性质知111()NNk k aP X k a N======∑∑即 1a =.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为,,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，）,Y~b (3,(1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+(3,3)P X Y ==33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++22223333C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+ 0.32076=(2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ (2,1)(3,1)(3,2)P X Y P X Y P X Y ==+==+==12322333C 0.6(0.4)(0.3)C (0.6)0.4(0.3)=++ 33221233(0.6)(0.3)C (0.6)0.4C 0.7(0.3)++ 31232233(0.6)C 0.7(0.3)(0.6)C (0.7)0.3+=7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000，）(2)1(0)(1)P X P X P X ≥=-=-=0.10.11e 0.1e --=--⨯8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则1422355C (1)C (1)p p p p -=-故 13p =所以 4451210(4)C ()33243P X ===. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号，（1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，）5553(3)C (0.3)(0.7)0.16308kk k k P X -=≥==∑(2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，）7773(3)C (0.3)(0.7)0.35293k k k k P Y -=≥==∑10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）. （1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）32(0)e P X -== (2) 52(1)1(0)1e P X P X -≥=-==-11.设P {X =k }=k k k p p --22)1(C , k =0,1,2 P {Y =m }=m m m p p --44)1(C , m =0,1,2,3,4 分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=59，试求P {Y ≥1}.【解】因为5(1)9P X ≥=，故4(1)9P X <=.而 2(1)(0)(1)P X P X p <===-故得 24(1),9p -=即 1.3p =从而 465(1)1(0)1(1)0.8024781P Y P Y p ≥=-==--=≈15.已知随机变量X 的密度函数为f (x )=A e -|x |, -∞<x <+∞,求：（1）A 值；（2）P {0<X <1}; (3) F (x ). 【解】（1） 由()d 1f x x ∞-∞=⎰得||01e d 2e d 2x x A x A x A ∞∞---∞===⎰⎰故 12A =. (2) 11011(01)e d (1e )22x p X x --<<==-⎰(3) 当x <0时，11()e d e 22x x x F x x -∞==⎰当x ≥0时，0||0111()e d e d e d 222x x x x x F x x x x ---∞-∞==+⎰⎰⎰11e 2x -=-故 1e ,02()11e 02xx x F x x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥.100,0,100,1002x x x求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率；（2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率； （3） F （x ）. 【解】（1） 150********(150)d .3P X x x ≤==⎰33128[(150)]()327p P X =>==(2) 1223124C ()339p == (3) 当x <100时F （x ）=0当x ≥100时()()d x F x f t t -∞=⎰100100()d ()d x f t t f t t -∞=+⎰⎰2100100100d 1xt t x==-⎰故 1001,100()0,0x F x xx ⎧-≥⎪=⎨⎪<⎩ 17.在区间［0，a ］上任意投掷一个质点，以X 表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a ］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数.【解】 由题意知X ~∪[0,a ]，密度函数为1,0()0,x af x a⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 故当x <0时F （x ）=0 当0≤x ≤a 时01()()d ()d d x x xxF x f t t f t t t a a-∞====⎰⎰⎰当x >a 时，F （x ）=1即分布函数0,0(),01,x x F x x a a x a<⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩ 18.设随机变量X 在[2，5]上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率. 【解】X ~U [2,5]，即1,25()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 5312(3)d 33P X x >==⎰故所求概率为22333321220C ()C ()33327p =+= 习题三1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222⨯⨯222⨯⨯=3 180 0 11112228⨯⨯=2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.0 1 2 30 0 0 223247C C3C35=313247C C2C35=1 0 11232247C C C6C35=21132247C C C12C35=313247C C2C35=2 P(0黑,2红,2白)=2242271C C/C35=12132247C C C6C35=223247C C3C35=3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F（x，y）=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤.,020,2,sinsin其他ππyxyx求二维随机变量（X，Y）在长方形域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<36,4πππyx内的概率. 【解】如图πππ{0,}(3.2)463P X Y<≤<≤公式ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636F F F F--+ππππππsin sin sin sin sin0sin sin0sin4346362(31).4=--+=-题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。

1 概率论与数理统计习题及答案习题一1．略.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC（4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC(5) ABC=A B C (6) ABC(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3.略.见教材习题参考答案4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A B)=0.3，求P（AB）.【解】P（AB）=1P（AB）=1[P(A)P(A B)]=1[0.70.3]=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)=14+14+13112=347.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】 p =5332131313131352C C C C /C8.对一个五人学习小组考虑生日问题： （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】（1） 设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）=517=（17）5（亦可用独立性求解，下同） （2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故P （A 2）=5567=(67)5(3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}P （A 3）=1P (A 1)=1(17)59.略.见教材习题参考答案. 10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n <N ）.试求其中恰有m 件（m ≤M ）正品（记为A ）的概率.如果： （1） n 件是同时取出的；（2） n 件是无放回逐件取出的； （3） n 件是有放回逐件取出的.【解】（1） P （A ）=C C /C m n m nM N M N --(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有P nN 种，n 次抽取中有m次为正品的组合数为C m n 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M 件正品中取m 件的排列数有P m M 种，从N M 件次品中取n m 件的排列数为P n mN M --种，故P （A ）=C P PP m m n mn M N M n N--由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成P （A ）=C C C m n mM N Mn N--可以看出，用第二种方法简便得多.（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N 种取法，故所有可能的取法总数为N n种，n次抽取中有m 次为正品的组合数为C m n 种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m 次取得正品，都有M 种取法，共有M m种取法，nm 次取得次品，每次都有N M 种取法，共有（N M ）n m种取法，故()C ()/m m n mn n P A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型，共做了n 重贝努里试验，每次取得正品的概率为MN，则取得m 件正品的概率为()C 1m n mm n M M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.略.见教材习题参考答案.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A ==13.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设A i ={恰有i 个白球}（i =2,3），显然A 2与A 3互斥.213434233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A ====故 232322()()()35P A A P A P A =+=14.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：（1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率.【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽}，（i =1,2）(1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==⨯= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-⨯=(3) 2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =⨯+⨯=15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.（1） 问正好在第6次停止的概率；（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.【解】（1） 223151115()()22232p C == (2) 1342111C ()()22245/325p ==16.甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率.【解】 设A i ={甲进i 球}，i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则33312123330()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯=0.3207617．从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】 4111152222410C C C C C 131C 21p =-= 18.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A ={下雨}，B ={下雪}.（1） ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A ===（2） ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=19.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】 设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故()6/86()()7/87P AB P B A P A ===或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.6()7P B A =20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.【解】 设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯21.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图 题22图【解】设两人到达时刻为x,y ,则0≤x ,y ≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x y |>30.如图阴影部分所示.22301604P ==22.从（0，1）中随机地取两个数，求：（1） 两个数之和小于65的概率； （2） 两个数之积小于14的概率.【解】 设两数为x ,y ，则0<x ,y <1. （1） x +y <65. 11441725510.68125p =-==(2) xy =<14.1111244111d d ln 242x p x y ⎛⎫=-=+⎪⎝⎭⎰⎰ 23.设P （A ）=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5，求P （B ｜A ∪B ） 【解】 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B AB P A B P A P B P AB -==+-0.70.510.70.60.54-==+-24.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式，有3()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =•+•+•+•0.089=25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？ 【解】设A ={被调查学生是努力学习的}，则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P（A ）=0.8，P （A ）=0.2，又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P （B |A ）=0.9，P （B |A ）=0.9，故由贝叶斯公式知（1）()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2) ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ，试问原发信息是A 的概率是多少？【解】 设A ={原发信息是A }，则={原发信息是B }C ={收到信息是A }，则={收到信息是B } 由贝叶斯公式，得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯27.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种） 【解】设A i ={箱中原有i 个白球}（i =0,1,2），由题设条件知P （A i ）=13,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知11112()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑ 2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯28.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设A ={产品确为合格品}，B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯29.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？【解】 设A ={该客户是“谨慎的”}，B ={该客户是“一般的”}，C ={该客户是“冒失的”}，D ={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯30.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率. 【解】设A i ={第i 道工序出次品}（i =1,2,3,4）.412341()1()i i P A P A A A A ==-12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.970.124=-⨯⨯⨯=31.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进行n 次独立射击.1(0.8)0.9n -≥即为 (0.8)0.1n ≤ 故 n ≥11 至少必须进行11次独立射击.32.证明：若P （A ｜B ）=P (A ｜B )，则A ，B 相互独立.【证】 (|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B =亦即 ()()()()P AB P B P AB P B =()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=-因此 ()()()P AB P A P B = 故A 与B 相互独立.33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为15，13，14，求将此密码破译出的概率.【解】 设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯= 34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3由全概率公式，得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.45835.已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求： （1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.（2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 【解】（1） 3101100C(0.35)(0.65)0.5138kk k k p -===∑(2) 10102104C(0.25)(0.75)0.2241k k k k p -===∑36.一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：（1） A =“某指定的一层有两位乘客离开”；（2） B =“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （3） C =“恰有两位乘客在同一层离开”； （4） D =“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.（1） 2466C 9()10P A =，也可由6重贝努里模型：224619()C ()()1010P A =（2） 6个人在十层中任意六层离开，故6106P ()10P B =（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有110C 种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有26C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有131948C C C 种可能结果；②4人同时离开，有19C 种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有49P 种可能结果，故1213114610694899()C C (C C C C P )/10P C =++（4） D=B .故6106P ()1()110P D P B =-=-37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3） 如果n 个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.【解】 （1） 111p n =- (2) 23!(3)!,3(1)!n p n n -=>-(3) 12(1)!13!(2)!;,3!!n n p p n n n n --''===≥ 38.将线段[0，a ]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】 设这三段长分别为x ,y ,a x y .则基本事件集为由0<x <a ,0<y <a ,0<a x y <a 所构成的图形，有利事件集为由()()x y a x y x a x y y y a x y x+>--⎡⎢+-->⎢⎢+-->⎣ 构成的图形，即02022a x a y ax y a ⎡<<⎢⎢⎢<<⎢⎢⎢<+<⎢⎣ 如图阴影部分所示，故所求概率为14p =. 39. 某人有n 把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.证明试开k 次（k =1,2,…,n ）才能把门打开的概率与k 无关.【证】 11P 1,1,2,,P k n k n p k n n--===40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有i 面涂有颜色的概率P （A i ）（i =0,1,2,3）. 【解】 设A i ={小立方体有i 面涂有颜色}，i =0,1,2,3.在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为01512384()0.512,()0.38410001000P A P A ====, 24968()0.096,()0.00810001000P A P A ====.41.对任意的随机事件A ，B ，C ，试证 P （AB ）+P （AC ）P （BC ）≤P (A ).【证】 ()[()]()P A P A BC P ABAC ≥=()()()P AB P AC P ABC =+- ()()()P AB P AC P BC ≥+-42.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 【解】 设i A ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故3413C 3!3()48P A ==而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C 1()416P A ==因此 213319()1()()181616P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()416P A == 43.将一枚均匀硬币掷2n 次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2n 次硬币，可能出现：A ={正面次数多于反面次数}，B ={正面次数少于反面次数}，C ={正面次数等于反面次数}，A ，B ，C 两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P （A ）=P （B ）.所以1()()2P C P A -=由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为211()()()22n n nn P C C =故 2211()[1C ]22nn n P A =-44.掷n 次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A ={出现正面次数多于反面次数}，B ={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知P（A ）=P （B ）（1） 当n 为奇数时，正、反面次数不会相等.由P （A ）+P （B ）=1得P （A ）=P （B ）=0.5(2) 当n 为偶数时，由上题知211()[1C ()]22nn n P A =-45.设甲掷均匀硬币n +1次，乙掷n 次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数.显然有>正正（甲乙）=（甲正≤乙正）=（n +1甲反≤n 乙反） =（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）由对称性知P （甲正>乙正）=P （甲反>乙反） 因此P (甲正>乙正)=1246.证明“确定的原则”（Sure thing ）：若P （A |C ）≥P (B |C ),P (A |C )≥P (B |C )，则P （A ）≥P (B ).【证】由P （A |C ）≥P (B |C ),得()(),()()P AC P BC P C P C ≥即有 ()()P AC P BC ≥ 同理由 (|)(|),P A C P B C ≥ 得 ()(),P AC P BC ≥故 ()()()()()()P A P AC P AC P BC P BC P B =+≥+= 47.一列火车共有n 节车厢，有k (k ≥n )个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】 设A i ={第i 节车厢是空的}，（i =1,…,n ）,则121(1)1()(1)2()(1)1()(1)n k ki kki j ki i i n P A n nP A A n n P A A A n--==-=--=-其中i 1,i 2,…,i n 1是1，2，…，n 中的任n 1个. 显然n 节车厢全空的概率是零，于是2112111122111111123111()(1)C (1)2()C (1)1()C (1)0()(1)n n nk ki ni k i j ni j nn kn i i i n i i i nn nn i ni S P A n n n S P A A n n S P A A A nS P A S S S S --=≤<≤--≤<<≤+===-=-==--==-==-+-+-∑∑∑121121C (1)C (1)(1)C (1)kkn n kn n n n nnn--=---++--故所求概率为121121()1C (1)C (1)nk i i n n i P A n n=-=--+--+111(1)C (1)n n kn n n+----48.设随机试验中，某一事件A 出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A 迟早会出现的概率为1. 【证】在前n 次试验中，A 至少出现一次的概率为1(1)1()n n ε--→→∞49.袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解】设A ={投掷硬币r 次都得到国徽}B ={这只硬币为正品} 由题知 (),()m nP B P B m n m n==++ 1(|),(|)12r P A B P A B ==则由贝叶斯公式知()()(|)(|)()()(|)()(|)P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B ==+121212r rrm m m n m nm n m n m n+==++++ 50.巴拿赫（Banach ）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r 根的概率又有多少？【解】以B 1、B 2记火柴取自不同两盒的事件，则有121()()2P B P B ==.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r 根，说明已取了2n r 次，设n 次取自B 1盒（已空），n r 次取自B 2盒，第2n r +1次拿起B 1，发现已空。

概率论与数理统计习题答案详解版（廖茂新复旦版）1•设A, B, C为三个事件，用A, B, C的运算式表示下列事件: A发生而B与C都不发生;A, B，C至少有一个事件发生;A，B，C至少有两个事件发生;A，B，C恰好有两个事件发生;A，B至少有一个发生而C不发生;A, B，C都不发生.解: (1) A BC或A-B-C 或A- ( BU C).AU BU C.(AB)U( AC)U( BC).(AB C )U( AC B )U( BC A ).(A U B) C.A UB fTC 或ABC .2.对于任意事件A, B, C,证明下列关系式:(1) (A+B) (A+B)(A+B)(A +B)=0 ;(2) AB+A B +A B + AB-AB二AB;(3) A-(B+C)= (A-B)-C.证明：略.B 为两事件，P (A) =0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.1，求:3•设A,A发生但B不发生的概率;A, B都不发生的概率;至少有一个事件不发生的概率.(1)P (A B)二P (A-B)二P (A-AB)二P (A)-P (AB)=0.4;⑵ P(AB)= P(；m B)=1-P(AU B)=1-0.7=0.3;(3) P(A U B )二P(X B ) =1-P(AB)=1-0.1=094.调查某单位得知。

购买空调的占15%,购买电脑占12%,购买DVD的占20%其中购买空调与电脑占6%购买空调与DVD占10%购买电脑和DVD占5%,三种电器都购买占2%。

求下列事件的概率。

(1)至少购买一种电器的;(2)至多购买一种电器的;(3)三种电器都没购买的.解：(1) 0.28, (2) 0.83, (3) 0.725.10把钥匙中有3把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。

解：8/156.任意将10本书放在书架上。

其中有两套书，一套3本，另一套4 本。

求下列事件的概率。

(1)3本一套放在一起;(2)两套各自放在一起;(3)两套中至少有一套放在一起.解： (1) 1/15, (2) 1/210, (3) 2/217.12名新生中有3名优秀生，将他们随机地平均分配到三个班中去,试求:(1)每班各分配到一名优秀生的概率;(2)3名优秀生分配到同一个班的概率.解12名新生平均分配到三个班的可能分法总数为4 4 4 12!GCG =荷3(1)设A表示“每班各分配到一名优秀生”3名优秀生每一个班分配一名共有3!种分法，而其他9名学生平均分配到3个班共有(3殳种分法’由乘法原理，A包含基本事件数为故有P（A）=静斶=16/55(2)设B表示“ 3名优秀生分到同一班”，故3名优秀生分到同一班共有3种分法，其他9名学生分法总数为。

1 概率论与数理统计习题及答案习题一1．略.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC（4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC(5) ABC=A B C (6) ABC(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3.略.见教材习题参考答案4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A B)=0.3，求P（AB）.【解】P（AB）=1P（AB）=1[P(A)P(A B)]=1[0.70.3]=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)=14+14+13112=347.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】 p =5332131313131352C C C C /C8.对一个五人学习小组考虑生日问题： （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】（1） 设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）=517=（17）5（亦可用独立性求解，下同） （2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故P （A 2）=5567=(67)5(3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}P （A 3）=1P (A 1)=1(17)59.略.见教材习题参考答案. 10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n <N ）.试求其中恰有m 件（m ≤M ）正品（记为A ）的概率.如果： （1） n 件是同时取出的；（2） n 件是无放回逐件取出的； （3） n 件是有放回逐件取出的.【解】（1） P （A ）=C C /C m n m nM N M N --(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有P nN 种，n 次抽取中有m次为正品的组合数为C m n 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M 件正品中取m 件的排列数有P m M 种，从N M 件次品中取n m 件的排列数为P n mN M --种，故P （A ）=C P PP m m n mn M N M n N--由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成P （A ）=C C C m n mM N Mn N--可以看出，用第二种方法简便得多.（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N 种取法，故所有可能的取法总数为N n种，n次抽取中有m 次为正品的组合数为C m n 种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m 次取得正品，都有M 种取法，共有M m种取法，nm 次取得次品，每次都有N M 种取法，共有（N M ）n m种取法，故()C ()/m m n mn n P A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型，共做了n 重贝努里试验，每次取得正品的概率为MN，则取得m 件正品的概率为()C 1m n mm n M M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.略.见教材习题参考答案.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A ==13.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设A i ={恰有i 个白球}（i =2,3），显然A 2与A 3互斥.213434233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A ====故 232322()()()35P A A P A P A =+=14.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：（1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率.【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽}，（i =1,2）(1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==⨯= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-⨯=(3) 2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =⨯+⨯=15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.（1） 问正好在第6次停止的概率；（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.【解】（1） 223151115()()22232p C == (2) 1342111C ()()22245/325p ==16.甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率.【解】 设A i ={甲进i 球}，i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则33312123330()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯=0.3207617．从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】 4111152222410C C C C C 131C 21p =-= 18.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A ={下雨}，B ={下雪}.（1） ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A ===（2） ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=19.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】 设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故()6/86()()7/87P AB P B A P A ===或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.6()7P B A =20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.【解】 设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯21.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图 题22图【解】设两人到达时刻为x,y ,则0≤x ,y ≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x y |>30.如图阴影部分所示.22301604P ==22.从（0，1）中随机地取两个数，求：（1） 两个数之和小于65的概率； （2） 两个数之积小于14的概率.【解】 设两数为x ,y ，则0<x ,y <1. （1） x +y <65. 11441725510.68125p =-==(2) xy =<14.1111244111d d ln 242x p x y ⎛⎫=-=+⎪⎝⎭⎰⎰ 23.设P （A ）=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5，求P （B ｜A ∪B ） 【解】 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B AB P A B P A P B P AB -==+-0.70.510.70.60.54-==+-24.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式，有3()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =•+•+•+•0.089=25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？ 【解】设A ={被调查学生是努力学习的}，则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P（A ）=0.8，P （A ）=0.2，又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P （B |A ）=0.9，P （B |A ）=0.9，故由贝叶斯公式知（1）()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2) ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ，试问原发信息是A 的概率是多少？【解】 设A ={原发信息是A }，则={原发信息是B }C ={收到信息是A }，则={收到信息是B } 由贝叶斯公式，得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯27.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种） 【解】设A i ={箱中原有i 个白球}（i =0,1,2），由题设条件知P （A i ）=13,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知11112()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑ 2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯28.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设A ={产品确为合格品}，B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯29.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？【解】 设A ={该客户是“谨慎的”}，B ={该客户是“一般的”}，C ={该客户是“冒失的”}，D ={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯30.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率. 【解】设A i ={第i 道工序出次品}（i =1,2,3,4）.412341()1()i i P A P A A A A ==-12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.970.124=-⨯⨯⨯=31.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进行n 次独立射击.1(0.8)0.9n -≥即为 (0.8)0.1n ≤ 故 n ≥11 至少必须进行11次独立射击.32.证明：若P （A ｜B ）=P (A ｜B )，则A ，B 相互独立.【证】 (|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B =亦即 ()()()()P AB P B P AB P B =()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=-因此 ()()()P AB P A P B = 故A 与B 相互独立.33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为15，13，14，求将此密码破译出的概率.【解】 设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯= 34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3由全概率公式，得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.45835.已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求： （1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.（2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 【解】（1） 3101100C(0.35)(0.65)0.5138kk k k p -===∑(2) 10102104C(0.25)(0.75)0.2241k k k k p -===∑36.一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：（1） A =“某指定的一层有两位乘客离开”；（2） B =“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （3） C =“恰有两位乘客在同一层离开”； （4） D =“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.（1） 2466C 9()10P A =，也可由6重贝努里模型：224619()C ()()1010P A =（2） 6个人在十层中任意六层离开，故6106P ()10P B =（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有110C 种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有26C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有131948C C C 种可能结果；②4人同时离开，有19C 种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有49P 种可能结果，故1213114610694899()C C (C C C C P )/10P C =++（4） D=B .故6106P ()1()110P D P B =-=-37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3） 如果n 个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.【解】 （1） 111p n =- (2) 23!(3)!,3(1)!n p n n -=>-(3) 12(1)!13!(2)!;,3!!n n p p n n n n --''===≥ 38.将线段[0，a ]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】 设这三段长分别为x ,y ,a x y .则基本事件集为由0<x <a ,0<y <a ,0<a x y <a 所构成的图形，有利事件集为由()()x y a x y x a x y y y a x y x+>--⎡⎢+-->⎢⎢+-->⎣ 构成的图形，即02022a x a y ax y a ⎡<<⎢⎢⎢<<⎢⎢⎢<+<⎢⎣ 如图阴影部分所示，故所求概率为14p =. 39. 某人有n 把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.证明试开k 次（k =1,2,…,n ）才能把门打开的概率与k 无关.【证】 11P 1,1,2,,P k n k n p k n n--===40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有i 面涂有颜色的概率P （A i ）（i =0,1,2,3）. 【解】 设A i ={小立方体有i 面涂有颜色}，i =0,1,2,3.在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为01512384()0.512,()0.38410001000P A P A ====, 24968()0.096,()0.00810001000P A P A ====.41.对任意的随机事件A ，B ，C ，试证 P （AB ）+P （AC ）P （BC ）≤P (A ).【证】 ()[()]()P A P A BC P ABAC ≥=()()()P AB P AC P ABC =+- ()()()P AB P AC P BC ≥+-42.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 【解】 设i A ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故3413C 3!3()48P A ==而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C 1()416P A ==因此 213319()1()()181616P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()416P A == 43.将一枚均匀硬币掷2n 次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2n 次硬币，可能出现：A ={正面次数多于反面次数}，B ={正面次数少于反面次数}，C ={正面次数等于反面次数}，A ，B ，C 两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P （A ）=P （B ）.所以1()()2P C P A -=由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为211()()()22n n nn P C C =故 2211()[1C ]22nn n P A =-44.掷n 次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A ={出现正面次数多于反面次数}，B ={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知P（A ）=P （B ）（1） 当n 为奇数时，正、反面次数不会相等.由P （A ）+P （B ）=1得P （A ）=P （B ）=0.5(2) 当n 为偶数时，由上题知211()[1C ()]22nn n P A =-45.设甲掷均匀硬币n +1次，乙掷n 次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数.显然有>正正（甲乙）=（甲正≤乙正）=（n +1甲反≤n 乙反） =（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）由对称性知P （甲正>乙正）=P （甲反>乙反） 因此P (甲正>乙正)=1246.证明“确定的原则”（Sure thing ）：若P （A |C ）≥P (B |C ),P (A |C )≥P (B |C )，则P （A ）≥P (B ).【证】由P （A |C ）≥P (B |C ),得()(),()()P AC P BC P C P C ≥即有 ()()P AC P BC ≥ 同理由 (|)(|),P A C P B C ≥ 得 ()(),P AC P BC ≥故 ()()()()()()P A P AC P AC P BC P BC P B =+≥+= 47.一列火车共有n 节车厢，有k (k ≥n )个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】 设A i ={第i 节车厢是空的}，（i =1,…,n ）,则121(1)1()(1)2()(1)1()(1)n k ki kki j ki i i n P A n nP A A n n P A A A n--==-=--=-其中i 1,i 2,…,i n 1是1，2，…，n 中的任n 1个. 显然n 节车厢全空的概率是零，于是2112111122111111123111()(1)C (1)2()C (1)1()C (1)0()(1)n n nk ki ni k i j ni j nn kn i i i n i i i nn nn i ni S P A n n n S P A A n n S P A A A nS P A S S S S --=≤<≤--≤<<≤+===-=-==--==-==-+-+-∑∑∑121121C (1)C (1)(1)C (1)kkn n kn n n n nnn--=---++--故所求概率为121121()1C (1)C (1)nk i i n n i P A n n=-=--+--+111(1)C (1)n n kn n n+----48.设随机试验中，某一事件A 出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A 迟早会出现的概率为1. 【证】在前n 次试验中，A 至少出现一次的概率为1(1)1()n n ε--→→∞49.袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解】设A ={投掷硬币r 次都得到国徽}B ={这只硬币为正品} 由题知 (),()m nP B P B m n m n==++ 1(|),(|)12r P A B P A B ==则由贝叶斯公式知()()(|)(|)()()(|)()(|)P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B ==+121212r rrm m m n m nm n m n m n+==++++ 50.巴拿赫（Banach ）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r 根的概率又有多少？【解】以B 1、B 2记火柴取自不同两盒的事件，则有121()()2P B P B ==.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r 根，说明已取了2n r 次，设n 次取自B 1盒（已空），n r 次取自B 2盒，第2n r +1次拿起B 1，发现已空。