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专题三数列与不等式
．已知等差数列{}，{}的前项和分别为，，且＝，则使得
为整数的正整数的个数是( )
．．．．
．已知等差数列{}的公差≠，且，，成等比数列，若＝，为数列{}的前项和，则
的最小值为( )
．．．－
．(年新课标Ⅱ)设是数列{}的前项和，且＝－，＋＝＋，则＝.
．设数列{}的前项和为，且满足＋＝，则的取值范围是( )
．() ．(，＋∞)
．(年广东调研)设是等比数列{}的前项的积，若(＋)＝，＝，则当取最小值时，＝.．(年新课标
Ⅰ)几名大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列，…，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推．求满足如下条件的最小整数：>且该数列的前项和为的整数幂．那么该款软件的激活码是(
)
．．．．
．(年新课标Ⅲ)已知各项都为正数的数列{}满足＝，－(＋－)－＋＝.
()求，；
()求{}的通项公式．
．(年广东揭阳一模)设等差数列{}的前项和为，且＝，＝＋－.
()求数列{}的通项公式；
()设数列{}满足＋＋…＋＝－，求{}的前项和.
．(年广东汕头一模)已知数列{}的前项和为，＝，＋＝＋.
()求数列{}的通项公式；
()已知＝，求数列的前项和.
．(年天津)已知{}为等差数列，前项和为(∈
*)，{}是首项为的等比数列，且公比大于，＋＝，＝－，＝.
()求{}和{}的通项公式；
()求数列{－}的前项和(∈*)．。
专题三 数列与不等式1．已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝7n ＋45n －3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．62．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16a n ＋3的最小值为( )A ．4B ．3C ．2 3－2 D.923．(2015年新课标Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n＝________.4．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1，则S n 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 5．(2017年广东调研)设R n 是等比数列{a n }的前n 项的积，若25(a 1＋a 3)＝1，a 5＝27a 2，则当R n 取最小值时，n ＝______.6．(2017年新课标Ⅰ)几名大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )A ．440B ．330C ．220D ．1107．(2016年新课标Ⅲ)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．8．(2017年广东揭阳一模)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝3－2n ＋32n ，求{b n }的前n 项和T n .9．(2017年广东汕头一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，a n ＋1＝S n ＋2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知b n ＝log 2a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n .10．(2017年天津)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N *)．专题三 数列与不等式1．B 解析：a n b n ＝2a n 2b n ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2n －1＝S 2n －1T 2n －1＝14n ＋382n －4＝7n ＋19n －2＝7＋33n －2，∴n －2＝－1或1或3或11或33，∴n ＝1或3或5或13或35.当n ＝3时，S n T n ＝T n ＋45n －3中分母为零，所以舍去．2．A 解析：由a 1，a 3，a 13成等比数列，得a 23＝a 1a 13⇒(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋12d )⇒4d2＝8a 1d .因为d ≠0，因此d ＝2a 1＝2，S n ＝n 2，a n ＝2n －1，从而2S n ＋16a n ＋3＝n 2＋8n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－2≥2n ＋9n ＋1－2＝4，当且仅当n ＝2时取等号．故选A. 3．－1n解析：由已知，得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝S n ＋1·S n ，两边同时除以－S n ＋1·S n ，得1S n ＋1－1S n＝－1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列．则1S n＝－1－(n －1)＝－n .所以S n ＝－1n.4．C 解析：当n ＝1时，a 1＝12.当n ≥2时，a n －1＋S n －1＝1，得a n －a n －1＋a n ＝0，即2a n ＝a n －1.∴数列{}a n 是首项为12，公比为12的等比数列．∴S n ＝12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.∴S n ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. 5．6 解析：设公比为q ，则q 3＝a 5a 2＝27.所以q ＝3.由25(a 1＋a 3)＝1，得25(a 1＋a 1·32)＝1，解得a 1＝1250.则a n ＝3n －1250.则要使R n 取得最小值，必有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤1，a n ＋1>1，即⎩⎪⎨⎪⎧3n －1250≤1，3n250>1，所以250<3n≤750，解得n ＝6.6．A 解析：由题意，得数列如下： 1， 1,2， 1,2,4， …则该数列的前1＋2＋…＋k ＝k k ＋2项和为S ⎝ ⎛⎭⎪⎫k k ＋2＝1＋(1＋2)＋…＋(1＋2＋…＋2k )＝2k ＋1－k －2. 要使k k ＋2>100，有k ≥14，此时k ＋2<2k ＋1.所以k ＋2是之后的等比数列1,2，…，2k ＋1的部分和，即k ＋2＝1＋2＋…＋2t －1＝2t－1.所以k ＝2t －3≥14，则t ≥5，此时k ＝25－3＝29.对应满足的最小条件为N ＝29×302＋5＝440.故选A.7．解：(1)由题意，得a 2＝12，a 3＝14.(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0，得 2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)．因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12.故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列．因此a n ＝12n －1.8．解：(1)设{a n }的公差为d ，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝a 1＋d ，a 1＋n －d ＝a 1＋nd －3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(2)a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝3－2n ＋32n ， ①当n ＝1时，a 1b 1＝12，所以b 1＝12.当n ≥2时，a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝3－2n ＋12n －1. ②①式减去②式，得a n b n ＝2n －12n .求得b n ＝12n ，易知当n ＝1时也成立，所以数列{b n }为等比数列．其前n 项和T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.9．解：(1)∵a n ＋1＝S n ＋2，∴a n ＝S n －1＋2(n ≥2)． 两式作差，得a n ＋1－a n ＝S n －S n －1＝a n .∴a n ＋1＝2a n ，即a n ＋1a n＝2(n ≥2)． 又当n ＝1时，a 2＝S 1＋2＝4，∴a 2a 1＝2成立．∴数列{a n }是公比为2，首项为2的等比数列．∴a n ＝a 1q n －1＝2n (n ∈N *)．(2)由(1)，可得b n ＝log 2a n ＝n .∴1b n b n ＋1＝1n n ＋＝1n －1n ＋1.∴T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 10．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12.因为b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0.又因为q >0，解得q ＝2.所以b n ＝2n. 由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8.① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16.②联立①②，解得a 1＝1，d ＝3.由此可得a n ＝3n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n. (2)设数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为T n ，因为a 2n ＝6n －2，b 2n －1＝2×4n －1，所以a 2n b 2n －1＝(3n －1)×4n.故T n ＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n －1)×4n，4T n ＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n －4)×4n ＋(3n －1)×4n ＋1，上述两式相减，得－3T n ＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n －(3n －1)×4n ＋1＝－4n 1－4－4－(3n －1)×4n ＋1＝－(3n －2)×4n ＋1－8.得T n ＝3n －23×4n ＋1＋83.所以数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为3n －23×4n ＋1＋83.。
第五章 数列、推理与证明第1讲 数列的概念与简单表示法1．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．642．在数列{a n }中，已知a 1＝1，且当n ≥2时，a 1·a 2·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝( ) A.73 B.6116 C.3115 D.1143．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图X5-1-1.图X5-1-1他们研究过图X5-1-1(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图X5-1-1(2)中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．289B ．1024C ．1225D ．13784．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，其前n 项积为T n ，则T 2017＝( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2 5．(2015年辽宁大连模拟)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n ＝( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n6．(2014年新课标Ⅱ)若数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝________.7．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2009＝________，a 2014＝________.8．已知递增数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋kn ＋2，则实数k 的取值范围为________．9．(2013年新课标Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式是a n＝________.10．(2016年上海)无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和．若对任意n ∈N *，S n ∈{2,3}，则k 的最大值为________．11．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n (n ∈N *)，则当n 为多大时，a n 最大？12．(2012年大纲)已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n.(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．第2讲 等差数列1．(2017年江西南昌二模)已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，2a 7－a 8＝5，则S 11＝( )A ．110B ．55C ．50D ．不能确定2．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－123．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 7＋a 13的值是一个确定的常数，则下列各式：①a 21；②a 7；③S 13；④S 14；⑤S 8－S 5. 其结果为确定常数的是( ) A ．②③⑤ B ．①②⑤ C ．②③④ D ．③④⑤ 4．(2017年新课标Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则数列{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8 5．(2017年湖北七市4月联考)在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？( )A ．9日B ．8日C ．16日D ．12日6．已知等差数列{a n }的公差为d ，关于x 的不等式d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x ＋c ≥0的解集是[0,22]，则使得数列{a n }的前n 项和最大的正整数n 的值是( )A ．11B ．11或12C ．12D ．12或137．(2017年广东揭阳一模)已知数列{a n }对任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a n －2a n ＋1a n ，若a 1＝12，则a 8＝__________. 8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________.9．(2016年新课标Ⅱ)在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.10．(2014年大纲)数列{a n}满足a1＝1，a2＝2，a n＋2＝2a n＋1－a n＋2.(1)设b n＝a n＋1－a n，证明{b n}是等差数列；(2)求{a n}的通项公式．11．(2014年新课标Ⅰ)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n－1，其中λ为常数．(1)证明：a n＋2－a n＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．第3讲 等比数列1．对任意的等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列2．(2016年河北衡水模拟)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n＝14，则S 4n ＝( )A ．80B ．30C ．26D ．163．(2013年新课标Ⅰ)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n4．(2017年广东深圳一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·3n －1＋b ，则a b＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．35．(2016年河南模拟)已知等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，其前n 项和为S n ，则S n 的最大值为( )A.34B.23C.43D.326．(2017年北京)若等差数列{a n }和等比数列{}b n 满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝__________.7．(2017年江西南昌二模)在等比数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，满足S 7－4S 6＋3S 5＝0，则S 4＝________.8．(2017年广东深圳第二次调研)《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果墙足够厚，S n 为前n 天两只老鼠打洞长度之和，则S n ＝__________尺．9．(2016年新课标Ⅰ)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a nb n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．10．(2016年新课标Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式；(2)若S 5＝3132，求λ.11．(2017年广东广州一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{S n }的前n 项和T n .第4讲 数列的求和1．(2017年辽宁鞍山一中统测)数列{a n }的通项公式为a n ＝14n 2－1，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( )A.2n 2n ＋1B.n 2n ＋1C.2n 4n ＋1D.n 4n ＋12．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12 D ．－153．已知等差数列{a n }满足a 1>0，5a 8＝8a 13，则当前n 项和S n 取最大值时，n ＝( ) A ．20 B ．21 C ．22 D ．234．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则数列{|a n |}的前n 项和T n 等于( ) A ．6n －n 2 B ．n 2－6n ＋18C.⎩⎪⎨⎪⎧ 6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ＋18，n ＞3D.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ，n ＞3 5．(2016年湖北七校2月联考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里6．(2015年江苏)已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前10项和为________．7．如图X5-4-1，它满足：①第n 行首尾两数均为n ；②图中的递推关系类似杨辉三角，则第n (n ≥2)行的第2个数是______________．1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5……图X5-4-18．(2017年安徽合肥第二次质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －2n ，则S n＝__________.9．(2016年浙江金华模拟)设数列{a n }的前n 项和S n 满足6S n ＋1＝9a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝1a n，求数列{b n }的前n 项和T n .b n是各项均为正数的等比数列，且10．(2017年广东佛山二模)已知{a n}是等差数列，{}b1＝a1＝1，b3＝a4，b1＋b2＋b3＝a3＋a4.b n的通项公式；(1)求数列{a n}，{}c n的前n项和T n.(2)设c n＝a n b n，求数列{}11．(2017年广东湛江二模)观察下列三角形数表，数表(1)是杨辉三角数表，数表(2)是与数表(1)有相同构成规律(除每行首末两端的数外)的一个数表．对于数表(2)，设第n行第二个数为a n.(n∈N*)(如a1＝2，a2＝4，a3＝7)(1)归纳出a n与a n－1(n≥2，n∈N*)的递推公式(不用证明)，并由归纳的递推公式求出{a n}的通项公式a n；(2)数列{b n}满足：(a n－1)·b n＝1，求证：b1＋b2＋…＋b n<2.第5讲 合情推理和演绎推理1．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P -ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( )A.18B.19C.164D.127 2．(2017年广东惠州三模)我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．类比祖暅原理，如图X5-5-1，在平面直角坐标系中，图X5-5-1(1)是一个形状不规则的封闭图形，图X5-5-1(2)是一个上底为1的梯形，且当实数t 取[0,3]上的任意值时，直线y ＝t 被图X5-5-1(1)和图X5-5-1(2)所截得的两线段长始终相等，则图(1)的面积为 __________.(1) (2) 图X5-5-13．(2017年北京)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： ①男学生人数多于女学生人数； ②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数．(1)若教师人数为4，则女学生人数的最大值为_____________； (2)该小组人数的最小值为__________． 4．观察下列等式： 12＝112－22＝－3 12－22＋32＝612－22＋32－42＝－10照此规律，第n 个等式为_____________________________________． 5．如图X5-5-2，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，则截下的一个直角三角形按如图X5-5-2(1)所标边长，由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2.设想把正方形换成正方体，把截线换成如图X5-5-2(2)所示的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O -ABC ，若用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，则可以类比得到的结论是__________________．(1) (2)图X5-5-26．已知cos π3＝12，cos π5·cos 2π5＝14，cos π7·cos 2π7·cos 3π7＝18，…，根据以上等式，可猜想出的一般结论是___________________________________．7．(2017年东北三省四市一联)在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说“甲没有得优秀”，乙说“我得了优秀”，甲说“丙说的是真话”．事实证明，在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是__________．8．已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －man －m.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝________.9．某同学在一次研究性学习中发现，以下5个式子的值都等于同一个常数． ①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述5个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．10．在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＝5，a 3＝7，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为S n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，n ，且1<m <n ，使得S 1，S m ，S n 成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m ，n 的值；若不存在，请说明理由．第6讲 直接证明与间接证明1．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要作的假设是( )A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<03．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 的形状为__________三角形．4．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)存在有理数根，则a ，b ，c 中至少有一个是偶数．下列假设正确的是________．①假设a ，b ，c 都是偶数； ②假设a ，b ，c 都不是偶数； ③假设a ，b ，c 至多有一个偶数； ④假设a ，b ，c 至多有两个偶数．5．凸函数的性质定理：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .已知函数y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________．6．α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及β之外的两条不同的直线，给出下列四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中的三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_________________________________________________________________________________________________________________________.78．已知集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③c ≠0有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c ＝__________.9．已知等差数列{a n }的公差d >0，设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36. (1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65成立．10．(2016年湖北武汉调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝5，S 8＝64. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：1S n －1＋1S n ＋1>2S n(n ≥2，n ∈N *)．第7讲 数学归纳法1．用数学归纳法证明：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)，从“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”左端需乘的代数式是( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3k ＋12．用数学归纳法证明：12＋22＋…＋n 2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3，第二步证明由“k 到k ＋1”时，左边应加( )A ．k 2B ．(k ＋1)2C ．k 2＋(k ＋1)2＋k 2D ．(k ＋1)2＋k 23．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＝1－a n ＋11－a(a ≠1，n ∈N *)时，当验证n ＝1时，左边计算所得的式子是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 44．用数学归纳法证明等式：1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22(n ∈N *)，则从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边应添加的项为( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)25．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋25n －1是31的整数倍时，当n ＝1时，上式等于( )A ．1＋2B ．1＋2＋22C ．1＋2＋22＋23D ．1＋2＋22＋23＋246．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n ＝2n －1＋22n －1(n ∈N ＋)时，假设当n ＝k 时命题成立，则当n ＝k ＋1时，左端增加的项数是( )A ．1项B ．k －1项C ．k 项D ．2k 项7．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，利用归纳法假设证明当n ＝k ＋1时，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)38．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由k 推导到k ＋1时，不等式左边增加的式子是________________．9．是否存在常数a ，b ，c ，使等式1×22＋2×32＋…＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)12(an 2＋bn ＋c )对一切正整数n 都成立？证明你的结论．10．(2017年浙江)已知数列{x n }满足：x 1＝1，x n ＝x n ＋1＋ln (1＋x n ＋1)(n ∈N *)． 证明：当n ∈N *时， (1)0＜x n ＋1＜x n ；(2)2x n ＋1－x n ≤x n x n ＋12；(3)12n ＋1≤x n ≤12n ＋2.第五章 数列、推理与证明 第1讲 数列的概念与简单表示法1．A 解析：a 8＝S 8－S 7＝82－72＝64－49＝15. 2．B3．C 解析：第n 个三角形数可表示为12n (n ＋1)，第n 个四边形数可表示为n 2.故选C.4．C 解析：由a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，得a n ＋1＝1＋a n1－a n ，而a 1＝2，则有a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2.故数列{a n }是以4为周期的周期数列，且a 1a 2a 3a 4＝1.所以T 2017＝(a 1a 2a 3a 4)504a 1＝1504×2＝2.5．A 解析：由已知，得a n ＋1－a n ＝ln(n ＋1)－ln n .所以a 2－a 1＝ln 2－ln 1，a 3－a 2＝ln 3－ln 2，a 4－a 3＝ln 4－ln 3，…，a n －a n －1＝ln n －ln(n －1)，以上(n －1)个式子左、右分别相加，得a n －a 1＝ln n ．所以a n ＝2＋ln n ．故选A.6.12 解析：由已知，得a n ＝1－1a n ＋1，a 8＝2， ∴a 7＝1－1a 8＝12，a 6＝1－1a 7＝－1，a 5＝1－1a 6＝2.同理，a 4＝12，a 3＝－1，a 2＝2，a 1＝12.7．1 0 解析：a 2009＝a 4×503－3＝1，a 2014＝a 2×1007＝a 1007＝a 4×252－1＝0.8．(－3，＋∞) 解析：由{a n }为递增数列，得a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋2－n 2－kn －2＝2n ＋1＋k >0恒成立，即k >－(2n ＋1)恒成立，即k >[－(2n ＋1)]max ＝－3.9．(－2)n －1 解析：当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1，故a n a n －1＝－2，故a n ＝(－2)n －1. 当n ＝1时，也符合a n ＝(－2)n －1. 综上所述，a n ＝(－2)n －1.10．4 解析：从研究S n 与a n 的关系入手，推断数列的构成特点，解题时应特别注意“数列{a n }由k 个不同的数组成”的“不同”和“k 的最大值”．本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等．当n ＝1时，a 1＝2或a 1＝3；当n ≥2时，若S n ＝2，则S n －1＝2，于是a n ＝0，若S n ＝3，则S n －1＝3，于是a n ＝0.从而存在k ∈N *，当n ≥k 时，a k ＝0.其中数列{a n }：2,1，－1，0,0,0，…满足条件，所以k max ＝4.11．解：∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n＝⎝⎛⎭⎫1011n ·9－n 11，而⎝⎛⎭⎫1011n >0， ∴当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a 10＝a 9； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 因此a 1<a 2<…<a 9＝a 10>a 11>a 12>….∴当n ＝9或n ＝10时，数列{a n }有最大项，最大项为a 9或a 10. 12．解：(1)由a 1＝1与S n ＝n ＋23a n可得 S 2＝2＋23a 2＝a 1＋a 2⇒a 2＝3a 1＝3，S 3＝3＋23a 3＝a 1＋a 2＋a 3⇒23a 3＝a 1＋a 2＝4⇒a 3＝6.故所求a 2，a 3的值分别为3,6. (2)当n ≥2时，S n ＝n ＋23a n ，①S n －1＝n ＋13a n －1，②①－②，可得S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，即a n ＝n ＋23a n －n ＋13a n －1⇔n －13a n ＝n ＋13a n －1⇔a n a n －1＝n ＋1n －1.故有a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×…×a 2a 1×a 1＝n ＋1n －1×n n －2×…×31×1＝n 2＋n 2.而12＋12＝1＝a 1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋n2.第2讲 等差数列1．B 解析：设公差为d ，则2a 7－a 8＝2(a 1＋6d )－(a 1＋7d )＝a 1＋5d ＝a 6＝5，S 11＝11×a 1＋a 112＝11a 6＝55.故选B.2．D 解析：因为S 1，S 2，S 4成等比数列，有S 22＝S 1S 4，即(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12.3．A 解析：由a 1＋a 7＋a 13是一个确定的常数，得3a 7是确定的常数，故②正确；S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7是确定的常数，故③正确；S 8－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＝3a 7是确定的常数，故⑤正确．4．A 解析：设等差数列的公差为d ，由a 2，a 3，a 6成等比数列，可得a 23＝a 2a 6，即(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )．整理，可得d 2＋2d ＝0.∵d ≠0，∴d ＝－2.则{a n }前6项的和为S 6＝6a 1＋6×52d ＝6×1＋6×52×(－2)＝－24.5．A 解析：根据题意，显然良马每日行程构成一个首项a 1＝103，公差d 1＝13的等差数列．前n 天共跑的里程为S ′＝na 1＋n (n －1)2d 1＝103n ＋132n (n －1)＝6.5n 2＋96.5n ；驽马每日行程也构成一个首项b 1＝97，公差d 2＝－0.5的等差数列，前n 天共跑的里程为S ′＝nb 1＋n (n －1)2d 2＝97n －0.52n (n －1)＝－0.25n 2＋97.25n .两马相逢时，共跑了一个来回．设其第n 天相逢，则有6.5n 2＋96.5n －0.25n 2＋97.25n ＝1125×2，解得n ＝9.即它们第9天相遇．故选A.6．A 解析：∵关于x 的不等式d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x ＋c ≥0的解集是[0,22]，∴⎩⎨⎧d <0，－a 1－d2d2＝22，解得a 1＝－21d2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－21d2＋(n －1)d ＝⎝⎛⎭⎫n －232d . 可得a 11＝⎝⎛⎭⎫11－232d ＝－12d >0，a 12＝⎝⎛⎭⎫12－232d ＝12d <0. 故使得数列{a n }的前n 项和最大的正整数n 的值是11.7.116 解析： 由a n ＋1＝a n －2a n ＋1a n ，得1a n ＋1－1a n＝2，故数列{1a n }是首项1a 1＝2，公差d ＝2的等差数列，则1a n ＝2＋2(n －1)＝2n .故a 8＝116.8．130 解析：由a n ＝2n －10(n ∈N *)，知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列．令a n ＝2n －10≥0，得n ≥5.所以当n <5时，a n <0；当n ≥5时，a n ≥0.所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝S 15－2(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＝90＋40＝130.9．解：(1)设{a n }的公差为d ，由题意，得 2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3.解得a 1＝1，d ＝25.所以a n ＝2n ＋35.(2)由(1)知，b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋35. 当n ＝1,2,3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1；当n ＝4,5时，2<2n ＋35<3，b n ＝2；当n ＝6,7,8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3；当n ＝9,10时，4<2n ＋35<5，b n ＝4.所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.10．(1)证明：由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，得 a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2，即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是以首项为1，公差为2的等差数列． (2)解：由(1)，得b n ＝1＋2(n －1)， 即a n ＋1－a n ＝2n －1. 于是1(nk =∑ak ＋1－a k )＝1(nk =∑2k －1)，所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2.11．(1)证明：由题意，得a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1. 两式相减，得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 因为a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)解：由题意，得a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1. 令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4. 故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．第3讲 等比数列1．D 解析：因为数列{a n }是等比数列，a 26＝a 3a 9，所以a 3，a 6，a 9成等比数列． 2．B 解析：由等比数列性质，得S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n 成等比数列，则(S 2n－S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )．所以(S 2n －2)2＝2×(14－S 2n )．又S 2n >0，得S 2n ＝6.又(S 3n －S 2n )2＝(S 2n －S n )(S 4n －S 3n )，所以(14－6)2＝(6－2)(S 4n －14)，解得S 4n ＝30.3．D 解析：方法一，在等比数列{a n }中，S n ＝a 1－a n q 1－q ＝1－a n ·231－23＝3－2a n .方法二，在等比数列{a n }中，a 1＝1，q ＝23，∴a n ＝1×⎝⎛⎭⎫23n －1＝⎝⎛⎭⎫23n －1.∴S n ＝1×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n 1－23＝3⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n＝3⎣⎡⎦⎤1－23⎝⎛⎭⎫23n －1＝3－2a n . 4．A 解析：因为a 1＝S 1＝a ＋b ，a 2＝S 2－S 1＝2a ，a 3＝S 3－S 2＝6a ，由等比数列，得公比q ＝a 3a 2＝3.又a 2＝a 1q ，所以2a ＝3(a ＋b )，解得ab＝－3.5．D 解析：∵等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，∴S n ＝32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1－⎝⎛⎭⎫－12＝1－⎝⎛⎭⎫－12n .当n 取偶数时，S n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n <1；当n 取奇数时，S n ＝1＋⎝⎛⎭⎫12n ≤1＋12＝32.∴S n的最大值为32.故选D. 6．1 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由a 4＝b 4＝8，得－1＋3d ＝－q 3＝8，解得q ＝－2，d ＝3.则a 2b 2＝－1＋32＝1.7．40 解析：设{a n }的公比为8，由S 7－4S 6＋3S 5＝0，可得S 7－S 6－3(S 6－S 5)＝0⇒a 7－3a 6＝0，所以q ＝3.所以S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝1－341－3＝40.8．2n －12n －1＋1 解析：依题意，得大老鼠每天打洞的距离构成以1为首项，2为公比的等比数列，所以前n 天大老鼠打洞的距离共为1×(1－2n )1－2＝2n－1；同理可得前n 天小老鼠打洞的距离共为1×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝2－12n －1.所以S n ＝2n －1＋2－12n －1＝2n －12n －1＋1.9．解：(1)由a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2.所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)和a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，得b n ＋1＝b n3.因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列．记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝32－12×3n －1. 10．解：(1)由题意，得a 1＝S 1＝1＋λa 1.故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n . 由a 1≠0，λ≠0，得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)由(1)，得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n.由S 5＝3132，得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132， 解得λ＝－1.11. 解：(1)当n ＝1时，S 1＝2a 1－2，即a 1＝2a 1－2. 解得a 1＝2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －2)－(2a n －1－2)＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1. 所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 所以a n ＝2×2n －1＝2n (n ∈N *)． (2)因为S n ＝2a n －2＝2n ＋1－2,所以T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n ＝22＋23＋…＋2n ＋1－2n ＝4×(1－2n )1－2－2n ＝2n ＋2－4－2n .第4讲 数列的求和1．B 解析：由题意，得数列{a n }的通项公式为a n ＝14n 2－1＝1(2n ＋1)(2n －1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝12⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－13＋⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.故选B. 2．A3．B 解析：设公差为d .由5a 8＝8a 13，得5(a 1＋7d )＝8(a 1＋12d )．解得d ＝－361a 1.由a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a 1＋(n －1)·⎝⎛⎭⎫－361a 1≥0⇒n ≤643＝2113. ∴数列{a n }的前21项都是正数，以后各项都是负数． 故S n 取最大值时，n 的值为21.故选B.4．C 解析：由S n ＝n 2－6n ，得{a n }是等差数列， 且首项为－5，公差为2. ∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7. ∴当n ≤3时，a n <0；当n >3时，a n >0.∴T n＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 21≤n ≤3，n 2－6n ＋18，n ＞3.5．B 解析：由题意，知每天所走路程形成以a 1为首项，公比为12的等比列，则a 1⎝⎛⎭⎫1－1261－12＝378.解得a 1＝192，则a 2＝96，即第二天走了96里路．故选B.6.2011 解析：由题意，得a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋(a n －2－a n －3)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋n －1＋n －2＋…＋1＝n (n ＋1)2.所以1a n ＝2n (n ＋1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. S 10＝2×⎝⎛⎭⎫11－12＋12－13＋…＋110－111＝2×⎝⎛⎭⎫1－111＝2011. 7.n 2－n ＋22 解析：设第n (n ≥2)行的第2个数构成数列{a n }，则有a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝3，a 5－a 4＝4，…，a n －a n －1＝n －1，相加，得a n －a 2＝2＋3＋…＋(n －1)＝2＋n －12×(n－2)＝(n ＋1)(n －2)2，a n ＝2＋(n ＋1)(n －2)2＝n 2－n ＋22.8．n ·2n (n ∈N *) 解析：由S n ＝2a n －2n ，得当n ＝1时，S 1＝a 1＝2；当n ≥2时，S n ＝2(S n－S n －1)－2n ，即S n 2n －S n －12n －1＝1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 2n 是首项为1，公差为1的等差数列，则S n2n ＝n ，S n ＝n ·2n (n ≥2)．当n ＝1时，也符合上式，所以S n ＝n ·2n (n ∈N *)．9．解：(1)当n ＝1时，由6a 1＋1＝9a 1，得a 1＝13.当n ≥2时，由6S n ＋1＝9a n ，得6S n －1＋1＝9a n －1， 两式相减，得6(S n －S n －1)＝9(a n －a n －1)，即6a n ＝9(a n －a n －1)．∴a n ＝3a n －1.∴数列{a n }是首项为13，公比为3的等比数列，其通项公式为a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)∵b n ＝1a n ＝⎝⎛⎭⎫13n －2，∴{b n }是首项为3，公比为13的等比数列．∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝92⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n .10．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋3d ＝q 2，1＋q ＋q 2＝2＋5d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.所以a n ＝1＋(n －1)＝n ，b n ＝1×2n －1＝2n －1. (2)由(1)知，c n ＝a n b n ＝n ·2n －1，则：T n ＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1， ① 2T n ＝1×21＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ，② ①－②，得－T n ＝20＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝1×(1－2n )1－2－n ·2n ＝(1－n )·2n －1.所以T n ＝(n －1)·2n ＋1.11．(1)解：依题意，当n ≥2，可归纳出a n ＝a n －1＋n . 所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1. a n ＝n ＋(n －1)＋…＋2＋2＝(n ＋2)(n －1)2＋2＝12(n 2＋n )＋1. 检验当n ＝1时，上式也成立．所以通项公式为a n ＝12(n 2＋n )＋1.(2)证明：∵(a n －1)·b n ＝1，∴b n ＝1a n －1＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.∴b 1＋b 2＋…＋b n＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫11－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1. 又1－1n ＋1<1，∴b 1＋b 2＋…＋b n <2. 第5讲 合情推理和演绎推理1．D 解析：正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3.故V 1V 2＝127.2.92 解析：类比祖暅原理，可得两个图形的面积相等，梯形面积为S ＝12(1＋2)×3＝92，所以图X5-5-1(1)的面积为92.3．(1)6 (2)124．12－22＋32－…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n＋1n (n ＋1)25．S 24＝S 21＋S 22＋S 236．cosπ2n ＋1·cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n ，n ∈N * 7．丙 解析：如果丙说的是假话，则“甲得优秀”是真话，又乙说“我得了优秀”是真话，所以矛盾；若甲说的是假话，即“丙说的是真话”是假的，则说明“丙说的是假的”，即“甲没有得优秀”是假的，也就是说“甲得了优秀”是真的，这与乙说“我得了优秀”是真话矛盾；若乙说的是假话，即“乙没得优秀”是真的，而丙说“甲没得优秀”为真，则说明“丙得优秀”，这与甲说“丙说的是真话”符合．所以三人中说假话的是乙，得优秀的同学是丙．8.n 解析：方法一，设数列{a n }的公差为d 1，则d 1＝a n －a m n －m ＝b －a n －m.所以a m ＋n ＝a m ＋nd 1＝a ＋n ·b －a n －m ＝bn －amn －m.类比推导方法可知：设数列{b n }的公比为q ，由b n ＝b m q n －m ，可知d ＝cq n －m .所以q ＝n所以b m ＋n ＝b m q n＝c ·n ＝n . 方法二，(直接类比)设数列{a n }的公差为d 1，数列{b n }的公比为q ，则a n ＝a 1＋(n －1)d 1，b n ＝b 1qn －1.因为a m ＋n ＝nb －ma n －m，所以b m ＋n ＝n . 9．解：(1)选择②，由sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝34.故这个常数是34.(2)推广，得到三角恒等式sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.10．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＝5，a 3＝7，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝3.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋3(n －1)＝3n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2(n ∈N *)．(2)因为1a n a n ＋1＝1(3n －2)(3n ＋1)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和S n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋…＋1a n －1a n ＋1a n a n ＋1＝13⎝⎛⎭⎫1－14＋13⎝⎛⎭⎫14－17＋13⎝⎛⎭⎫17－110＋…＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －5－13n －2＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1 ＝13⎝⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1＝n 3n ＋1. 假设存在正整数m ，n ，且1<m <n ，使S 1，S m ，S n 成等比数列，则S 2m ＝S 1S n ， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3m ＋12＝14×n 3n ＋1. 所以n ＝－4m 23m 2－6m －1.因为n >0，所以3m 2－6m －1<0.因为m >1，所以1<m <1＋2 33<3.因为m ∈N *，所以m ＝2. 此时n ＝－4m 23m 2－6m －1＝16.故存在满足题意的正整数m ，n ，且只有一组值， 即m ＝2，n ＝16.第6讲 直接证明与间接证明1．A 解析：反证法的步骤第一步是假设命题的反面成立，而“至少有一个实根”的否定是“没有实根”．故选A.2．C 解析：由题意，知b 2－ac <3a ⇐b 2－ac <3a 2⇐(a ＋c )2－ac <3a 2⇐a 2＋2ac ＋c 2－ac－3a 2<0⇐－2a 2＋ac ＋c 2<0⇐2a 2－ac －c 2>0⇐(a －c )(2a ＋c )>0⇐(a －c )(a －b )>0.3．等边 解析：由题意，得2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.又b 2＝ac ，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac .∴a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －c )2＝0.∴a ＝c .∴A ＝C .∴A＝B ＝C ＝π3.∴△ABC 为等边三角形．4．② 5.3 32解析：∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A ，B ，C ∈(0，π)．∴f (A )＋f (B )＋f (C )3≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3＝f ⎝⎛⎭⎫π3. 即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝3 32.∴sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为3 32.6．若①③④，则②(或若②③④，则①) 解析：依题意可得以下四个命题：(1)m ⊥n ，α⊥β，n ⊥β⇒m ⊥α；(2)m ⊥n ，α⊥β，m ⊥α⇒n ⊥β； (3)m ⊥n ，n ⊥β，m ⊥α⇒α⊥β；(4)α⊥β，n ⊥β，m ⊥α⇒m ⊥n .不难发现，命题(3)(4)为真命题，而命题(1)(2)为假命题．7．lg 15＝3a －b ＋c 解析：如果lg 3＝2a －b 是正确的，那么lg 9＝2lg 3＝2(2a －b )＝4a －2b ；如果lg 3＝2a －b 是错误的，那么lg 9＝4a －2b 也是错误的，这与题意矛盾．反过来，lg 9＝4a －2b 也不是错误的，否则lg 3＝2a －b 是错误的．同样，如果lg 5＝a ＋c ，那么lg 8＝3lg 2＝3(1－lg 5)＝3(1－a －c )，如果lg 5＝a ＋c 是错误的，那么lg 8＝3－3a －3c ，也错误，这与题意矛盾；显然lg 8＝3－3a －3c 也不是错误的，否则lg 5＝a ＋c 也是错误的．∴lg 15＝lg(3×5)＝lg 3＋lg 5＝(2a －b )＋(a ＋c )＝3a －b ＋c .∴应将最后一个改正为lg 15＝3a －b ＋c .8．201 解析：由已知，若a ≠2正确，则a ＝0或a ＝1，即a ＝0，b ＝1，c ＝2或a ＝0，b ＝2，c ＝1或a ＝1，b ＝0，c ＝2或a ＝1，b ＝2，c ＝0均与“三个关系有且只有一个正确”矛盾；若b ＝2正确，则a ≠2正确，不符合题意；所以c ≠0正确，a ＝2，b ＝0，c ＝1，故100a ＋10b ＋c ＝201.9．解：(1)S 2·S 3＝(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36， 将a 1＝1代入上式，解得d ＝2或d ＝－5. ∵公差d >0，∴d ＝2.∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. ∴S n ＝(1＋2n －1)n 2＝n 2(n ∈N *)．(2)由(1)知，a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝[2m －1＋2(m ＋k )－1](k ＋1)2＝(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65.∵m ，k ∈N *，∴2m ＋k －1>1，k ＋1>1.∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋k －1＝5，k ＋1＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－3，k ＝12，(舍去)． 或⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4.综上所述，m ＝5，k ＝4.10．(1)解：设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝a 1＋2d ＝5，S 8＝8a 1＋28d ＝64，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.故所求的通项公式为a n ＝2n －1. (2)证明：由(1)可知，S n ＝n 2， 要证原不等式成立，只需证1(n －1)2＋1(n ＋1)2>2n2， 只需证[(n ＋1)2＋(n －1)2]n 2>2(n 2－1)2. 只需证(n 2＋1)n 2>(n 2－1)2. 只需证3n 2>1.而3n 2>1在n ≥1时恒成立，从而不等式1S n －1＋1S n ＋1>2S n(n ≥2，n ∈N *)恒成立．第7讲 数学归纳法1．B 2.D3．B 解析：n ＝1时，左边的最高次数为1，即最后一项为a ，左边是1＋a . 4．D 解析：n ＝k 时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k 2，n ＝k ＋1时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.比较上述两个式子，当n ＝k ＋1时，等式的左边是在假设n ＝k 时等式成立的基础上，等式的左边加上了(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.5．D 解析：原等式共有5n 项，当n ＝1时，25－1＝24.故选D.6．D 解析：运用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n ＝2n －1＋22n －1(n ∈N ＋)，当n ＝k 时，则有1＋2＋3＋…＋2k ＝2k －1＋22k －1(k ∈N ＋)，左边表示的为2k ＋1项的和． 当n ＝k ＋1时，则左边＝1＋2＋3＋…＋2k ＋(2k ＋1)＋…＋2k ＋1，表示的为2k ＋1＋1项的和，因此，增加了2k ＋1－2k ＝2k 项．7．A 解析：假设n ＝k 时，原式k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除，当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3，为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3.8.1(2k ＋1)(2k ＋2) 解析：求f (k ＋1)－f (k )即可．当n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k .当n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)＋(k ＋1).故左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1，即1(2k ＋1)(2k ＋2). 9．解：把n ＝1,2,3代入，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝24，4a ＋2b ＋c ＝44，9a ＋3b ＋c ＝70，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝11，c ＝10.猜想：等式1×22＋2×32＋…＋n (n ＋1)2＝ n (n ＋1)12(3n 2＋11n ＋10)对一切n ∈N *都成立． 下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，由上面可知等式成立． (2)假设n ＝k 时等式成立， 即1×22＋2×32＋…＋k (k ＋1)2＝k (k ＋1)12(3k 2＋11k ＋10)，则1×22＋2×32＋…＋k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)2 ＝k (k ＋1)12(3k 2＋11k ＋10)＋(k ＋1)(k ＋2)2 ＝k (k ＋1)12(3k ＋5)(k ＋2)＋(k ＋1)(k ＋2)2＝(k ＋1)(k ＋2)12[k (3k ＋5)＋12(k ＋2)]＝(k ＋1)(k ＋2)12[3(k ＋1)2＋11(k ＋1)＋10]．∴当n ＝k ＋1时，等式也成立． 综合(1)(2)，对n ∈N *等式都成立． 10．证明：(1)用数学归纳法证明x n >0， 当n ＝1时，x 1＝1>0. 假设当n ＝k 时，x k >0，那么当n ＝k ＋1时，若x k ＋1≤0，则0<x k <x k ＋1＋ln(1＋x k ＋1)≤0，矛盾，故x k ＋1>0. 因此x n >0(n ∈N *)，所以x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)>x n ＋1. 所以0<x n ＋1<x n (n ∈N *)．(2)由x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)>x n ＋1，得x n x n ＋1－4x n ＋1＋2x n ＝x 2n ＋1－2x n ＋1＋(x n ＋1＋2)·ln(1＋x n ＋1)． 记函数f (x )＝x 2－2x ＋(x ＋2)ln(1＋x )(x ≥0)， 又f ′(x )＝2x 2＋x x ＋1＋ln(1＋x )>0，函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增， 所以f (x )≥f (0)＝0.因此x 2n ＋1－2x n ＋1＋(x n ＋1＋2)ln(1＋x n ＋1)＝f (x n ＋1)≥0， 所以2x n ＋1－x n ≤x n x n ＋12(n ∈N *)．(3)因为x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)≤x n ＋1＋x n ＋1，所以x n ≥12n －1.由x n x n ＋12≥2x n ＋1－x n ，得 1x n ＋1－12≥2⎝⎛⎭⎫1x n －12>0， 1x n －12≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n －1－12≥…≥2n －1⎝⎛⎭⎫1x 1－12＝2n －2， 故x n ≤12n －2.1 2n－2(n∈N*)综上所述，12n－1≤x n≤。
第一章 集合与逻辑用语第1讲 集合的含义与基本关系1．(2017年北京)若集合A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |x <－1，或x >3}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－2<x <－1} B ．{x |－2<x <3} C ．{x |－1<x <1} D ．{x |1<x <3} 2．(2017年天津)设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{1,2,3,4}，则(A ∪B )∩C ＝( ) A ．{2} B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{1,2,3,4,6}3．(2016年浙江)已知集合P ＝{x ∈R |1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R |x 2≥4}, 则P ∪(∁R Q )＝( )A ．[2,3]B ．(－2,3 ]C ．[1,2)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)4．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫5，ba，a －b ，B ＝{b ，a ＋b ，－1}，若A ∩B ＝{2，－1}，则A ∪B ＝( )A ．{2,3}B ．{－1,2,5}C ．{2,3,5}D ．{－1,2,3,5} 5．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝log 2x }，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2－2x }，则A ∩B 的元素有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．对任意两个正整数m ，n ，定义某种运算⊕：m ⊕n ＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ，m 与n 奇偶性相同，mn ，m 与n 奇偶性不同，则集合P ＝{(a ，b )|a ⊕b ＝8，a ，b ∈N *}中元素的个数为( )A ．5个B ．7个C ．9个D ．11个 7．若集合A 具有以下性质： (1)0∈A,1∈A ；(2)若x ∈A ，y ∈A ，则x －y ∈A ，且x ≠0时，1x∈A .则称集合A 是“好集”．下列命题正确的个数是( ) ①集合B ＝{－1,0,1}是“好集”； ②有理数集Q 是“好集”；③设集合A 是“好集”，若x ∈A ，y ∈A ，则x ＋y ∈A . A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个8．对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )．设A ＝{y |y ＝3x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－(x －1)2＋2，x ∈R }，则A ⊕B ＝( )A ．[0,2)B ．(0,2]C ．(－∞，0]∪(2，＋∞) D．(－∞，0)∪[2，＋∞)9．某校高三(1)班50名学生选择选修模块课程，他们在A ，B ，C 3个模块中进行选模块 选择人数/人模块 选择人数/人A 28 A 与B 11 B 26 A 与C 12 C 26 B 与C 13则3A ．7人 B ．6人 C ．5人 D ．4人10．已知集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}，若A ∩B ＝B ，则a ＝______________.11．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0，a∈R}．(1)若A是空集，求实数a的取值范围；(2)若A中只有一个元素，求a的值，并写出A中的元素；(3)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．12．已知集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|x2－3x≤10}．(1)若a＝3，求(∁R P)∩Q；(2)若P∪Q＝Q，求实数a的取值范围．第2讲 命题、量词与简单的逻辑联结词1．(2015年浙江)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *，且f (n )≤n ”的否定形式是( )A ．∀n ∈N *，f (n )∈N *，且f (n )>nB ．∀n ∈N *，f (n )∈N *，或f (n )>nC ．∃n 0∈N *，f (n 0)∈N *，且f (n 0)>n 0D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *，或f (n 0)>n 02．(2017年山东)已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≥0；命题q ：若a 2<b 2，则a <b .下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧綈qC ．綈p ∧qD ．綈p ∧綈q3．命题“和为偶数的两个整数都为偶数”的否定是( ) A ．和不为偶数的两个整数都为偶数 B ．和为偶数的两个整数都不为偶数 C ．和不为偶数的两个整数不都为偶数 D ．和为偶数的两个整数不都为偶数4．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞) B．[1,4] C ．[e,4] D ．(－∞，1]5．(2016年广东广州一模)已知下列四个命题：p 1：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α； p 2：若f (x )＝2x －2－x ，则∀x ∈R ，f (－x )＝－f (x )；p 3：若f (x )＝x ＋1x ＋1，则∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)＝1；p 4：在△ABC 中，若A >B ，则sin A >sin B . 其中真命题的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．(2017年广东汕头一模)若命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．0<a <3B ．a <0，或a ≥3C ．a <0，或a >3D ．a ≤0，或a ≥37．(2017年山东)已知命题p ：∀x >0，ln(x ＋1)>0；命题q ：若a ＞b ，则a 2>b 2，下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧綈qC ．綈p ∧qD ．綈p ∧綈q8．(2016年河南郑州质量预测)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∃x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1 B．a ≥1 C．a ≤2 D．a ≥29．(2015年山东)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．10．(2017年湖南长沙质检)已知下面四个命题：①“若x 2－x ＝0，则x ＝0或x ＝1”的逆否命题为“若x ≠0，且x ≠1，则x 2－x ≠0”；②“x ＜1”是“x 2－3x ＋2＞0”的充分不必要条件；③命题p ：∃x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1＜0，则綈p ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1≥0；④若p且q为假命题，则p，q均为假命题．其中为真命题的是________．(填序号)11．设函数f(x)＝x2－2x＋m.(1)若∀x∈[0,3]，f(x)≥0恒成立，求m的取值范围；(2)若∃x0∈[0,3]，f(x0)≥0成立，求m的取值范围．12．设命题p：函数y＝kx＋1在R上是增函数，命题q：∃x0∈R，x20＋(2k－3)x0＋1＝0，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．第3讲充分条件与必要条件1．(2015年天津)设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．(2016年四川)设p：实数x，y满足x>1，且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．(2016年天津)设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的( )A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．(2015年福建)若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．(2016年山东)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．(2015年陕西)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．(2017年北京)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m·n <0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．(2014年江西)下列叙述中正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0”B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2>cb 2”的充要条件是“a >c ”C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x 0∈R ，有x 20≥0”D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β9．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α，则“m ∥β” 是“α∥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．(2015年重庆)“x >1”是“log 12(x ＋2)<0”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件11．已知(x ＋1)(2－x )≥0的解为条件p ，关于x 的不等式x 2＋mx －2m 2－3m －1<0⎝⎛⎭⎪⎫m >－23的解为条件q . (1)若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围； (2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．12．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A ，B 两点．(1)求证：命题“如果直线l 过点T (3,0)，那么OA →·OB →＝3”是真命题； (2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．习题集部分第一章 集合与逻辑用语 第1讲 集合的含义与基本关系1．A 解析：利用数轴可知A ∩B ＝{x |－2<x <－1}．故选A.2．B 解析：(A ∪B )∩C ＝{1,2,4,6}∩{1,2,3,4}＝{1,2,4}．故选B.3．B 解析：∁R Q ＝{x ∈R |x 2<4}＝{x ∈R |－2<x <2}，P ∪(∁R Q )＝[1,3]∪(－2,2)＝(－2,3]．故选B.4．D 解析：由A ∩B ＝{2，－1}，可得⎩⎪⎨⎪⎧b a＝2，a －b ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2.当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，此时B ＝{2,3，－1}，则A ∪B ＝{－1,2,3,5}；当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，不符合题意，舍去．故A ∪B ＝{－1,2,3,5}．5．B 解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝log 2x 与y ＝x 2－2x 的图象，如图D87，由图可知y ＝log 2x 与y ＝x 2－2x 的图象有2个交点，则A ∩B 的元素有2个．图D876．C 解析：当a ，b 奇偶性相同时，a ⊕b ＝a ＋b ＝1＋7＝2＋6＝3＋5＝4＋4；当a ，b 奇偶性不同时，a ⊕b ＝ab ＝1×8.由于(a ，b )有序，故共有元素4×2＋1＝9(个)．7．C 解析：(1)集合B 不是“好集”，假设集合B 是“好集”，因为－1∈B,1∈B ，所以－1－1＝－2∈B ，这与－2∉B 矛盾．(2)有理数集Q 是“好集”，因为0∈Q ，1∈Q ，对任意的x ∈Q ，y ∈Q ，有x －y ∈Q ，且x ≠0时，1x∈Q ，所以有理数集Q 是“好集”．(3)因为集合A 是“好集”，所以0∈A ，若x ∈A ，y ∈A ，则0－y ∈A ，即－y ∈A ，所以x －(－y )∈A ，即x ＋y ∈A .8．C 解析：由题意知，集合A ＝{y |y ＞0}，B ＝{y |y ≤2}． 所以A －B ＝{y |y ＞2}，B －A ＝{y |y ≤0}． 所以A ⊕B ＝(2，＋∞)∪(－∞，0]．故选C.9．B 解析：方法一，设三个模块都选择的学生人数为x ，由韦恩图D88，得5＋x ＋2＋x ＋1＋x ＋11－x ＋12－x ＋13－x ＋x ＝50.得x ＝6.图D88方法二，由题意，得28＋26＋26－11－12－13＋x ＝50.得x ＝6.10．－12或1或0 解析：依题意，可得A ∩B ＝B ⇔B ⊆A.集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}＝{－2,1}，当x ＝－2时，－2a ＝1，解得a ＝－12；当x ＝1时，a ＝1；又B 是空集时也符合题意，这时a ＝0.11．解：集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0在实数范围内的解组成的集合．(1)若A 是空集，即方程ax 2－3x ＋2＝0无解，当a ＝0时，x ＝23，不合题意；则⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝－32－8a <0.∴a >98，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫98，＋∞.(2)当a ＝0时，方程只有一个解23，此时A 中只有一个元素23；当a ≠0时，应有Δ＝0，∴a ＝98.此时方程有两个相等的实数根．当a ＝98时，解得x 1＝x 2＝43，A 中只有一个元素43.∴当a ＝0或a ＝98时，A 中只有一个元素，分别是23或43.(3)A 中至多有一个元素，包括A 是空集和A 中只有一个元素两种情况，根据(1)(2)的结果，得a ＝0或a ≥98，即实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＝0，或a ≥98.12．解：(1)因为a ＝3，所以P ＝{x |4≤x ≤7}， ∁R P ＝{x |x <4，或x >7}．又Q ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |－2≤x ≤5}，所以(∁R P )∩Q ＝{x |x <4，或x >7}∩{x |－2≤x ≤5}＝{x |－2≤x <4}． (2)当P ≠∅时，由P ∪Q ＝Q ，得P ⊆Q .所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－2，2a ＋1≤5，2a ＋1≥a ＋1.解得0≤a ≤2.当P ＝∅，即2a ＋1<a ＋1时，有P ⊆Q ，得a <0. 综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，2]．第2讲 命题、量词与简单的逻辑联结词1．D 解析：根据全称命题的否定是特称命题．故选D.2．B 解析：显然命题p 为真命题， 命题q 为假命题， 即p ，綈q 均是真命题， p ∧綈q 为真命题．故选B.3．D 解析：命题“和为偶数的两个整数都为偶数”的否定是：和为偶数的两个整数不都为偶数．故选D.4．C 解析：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，即a ≥(e x )max ＝e 1＝e ；∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0，即Δ＝16－4a ≥0，a ≤4.命题“p ∧q ”是真命题，即p 真q 真．故选C.5．B 解析：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α，或l ∥α，或l ⊂α，或l 与α相交，所以p 1是假命题；f (－x )＝2－x －2x ＝－(2x －2－x )＝－f (x )，所以p 2是真命题；由x ＋1x ＋1＝1，得x ＝0.所以p 3是假命题；Α>Β⇒a >b ⇒2R sin Α>2R sin Β⇒sin Α>sin Β，所以p 4是真命题．故选B.6．B 解析：命题“ax 2－2ax ＋3＞0恒成立”是假命题，即∃x 0∈R ，使ax 20－2ax 0＋3≤0，当a ＝0时，不符合题意；当a ＜0时，符合题意；当a ＞0时，Δ＝4a 2－12a ≥0⇒a ≥3.综上所述，实数a 的取值范围是a ＜0，或a ≥3.故选B.7．B 解析：当x >0时，x ＋1>1，ln(x ＋1)>0，即p 为真命题；当－1>－2时，而(－1)2<(－2)2，即q 为假命题，即p ，綈q 均是真命题， p ∧綈q 为真命题．故选B.8．A 解析：由题意知，f (x )min ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤121≥g (x )min (x ∈[2,3])，因为f (x )min ＝5，g (x )min＝4＋a ，所以5≥4＋a ，即a ≤1.故选A.9．1 解析：若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 大于或等于函数y＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值．因为函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为增函数，所以函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为tan π4＝1.所以m ≥1.则实数m 的最小值为1.10．①②③ 解析：①正确．②中，x 2－3x ＋2＞0⇔x ＞2或x ＜1，所以“x ＜1”是“x 2－3x ＋2＞0”的充分不必要条件，②正确．由于特称命题的否定为全称命题，所以③正确．若p 且q 为假命题，则p ，q 至少有一个是假命题，所以④的推断不正确．11．解：(1)若对∀x ∈[0,3]，f (x )≥0恒成立，即f (x )min ≥0. f (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1， f (x )min ＝f (1)＝m －1≥0，即m ≥1.(2)若∃x 0∈[0,3]，f (x 0)≥0成立，即f (x )max ≥0. f (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1， f (x )max ＝f (3)＝m ＋3≥0，即m ≥－3.12．解：∵函数y ＝kx ＋1在R 上是增函数，∴k >0.由∃x 0∈R ，x 20＋(2k －3)x 0＋1＝0，得关于x 的方程x 2＋(2k －3)x ＋1＝0有解，∴Δ＝(2k －3)2－4≥0.解得k ≤12或k ≥52.∵p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题， ∴命题p ，q 一真一假．①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧k >0，12<k <52.∴12<k <52； ②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≤0，k ≤12或k ≥52.∴k ≤0.综上所述，k 的取值范围为(－∞，0]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.第3讲 充分条件与必要条件1．A 解析：由|x －2|＜1⇒－1＜x －2＜1⇒1＜x ＜3，可知“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的充分不必要条件．故选A.2．A 解析：由x >1，且y >1，得x ＋y >2，而当x ＋y >2时，不能得出x >1且y >1.故p 是q 的充分不必要条件．故选A.3．C 解析：由a 2n －1＋a 2n <0⇒a 1(q 2n －2＋q 2n －1)<0⇒q 2(n －1)(q ＋1)<0⇒q ∈(－∞，－1)，故是必要不充分条件．故选C.4．B 解析：若l ⊥m ，因为m 垂直于平面α，则l ∥α，或l ⊂α；若l ∥α，又m垂直于平面α，则l ⊥m ，所以“ l ⊥m ”是“l ∥α”的必要不充分条件．故选B.5．A 解析：直线a 与直线b 相交，则α，β一定相交，若α，β相交，则a ，b 可能相交，也可能平行或异面．故选A.6．A 解析：cos 2α＝0⇒cos 2α－sin 2α＝0⇒(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)＝0，所以sin α＝cos α或sin α＝－cos α.故选A.7．A 解析：若∃λ<0，使m ＝λn ，即两向量反向，夹角是180°，那么m ·n ＝|m ||n |cos 180°＝－|m ||n |<0，若m ·n <0，那么两向量的夹角为(90°，180°]，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得m ＝λn ，所以是充分不必要条件．故选A.8．D 解析：当a <0时，由“b 2－4ac ≤0”推不出“ax 2＋bx ＋c ≥0”，A 错误；当b＝0时，由“a >c ”推不出“ab 2>cb 2”，B 错误；命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x 0∈R ，有x 20<0”，C 错误；因为与同一条直线垂直的两个平面平行，所以D 正确．9．B 解析：由m ⊂α，m ∥β，得不到α∥β，因为α，β可能是相交的，只要m 和α，β的交线平行即可得到m ∥β；∵α∥β，m ⊂α，∴m 和β没有公共点．∴m ∥α，即由α∥β可推得m ∥β.∴m ∥β是α∥β的必要不充分条件．10．B 解析：log 12(x ＋2)<0⇔x ＋2>1⇔x >－1.故选B.11．解：(1)设条件p 的解集为集合A ， 则A ＝{x |－1≤x ≤2}． 设条件q 的解集为集合B ， 则B ＝{x |－2m －1<x <m ＋1}．若p 是q 的充分不必要条件，则A B .⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1>2，－2m －1<－1，m >－23.解得m >1.(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则B A .⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2，－2m －1≥－1，m >－23.解得－23<m ≤0.12．(1)证明：设过点T (3,0)的直线l 交抛物线y 2＝2x 于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝3，此时，直线l 与抛物线相交于点A (3，6)，B (3，－6)． ∴OA →·OB →＝3.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，其中k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k x －3得ky 2－2y －6k ＝0.则y 1y 2＝－6. 又x 1＝12y 21，x 2＝12y 22，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝14(y 1y 2)2＋y 1y 2＝3.综上所述，命题“如果直线l 过点T (3,0)，那么OA →·OB →＝3”是真命题．(2)解：逆命题：如果OA →·OB →＝3，那么直线l 过点T (3,0)． 该命题是假命题，理由如下：例如：取抛物线上的点A (2,2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫121，此时OA →·OB →＝3，直线AB 的方程为y ＝23(x ＋1)，而T (3,0)不在直线AB 上．则逆命题是假命题．。
第六章 不等式第1讲 不等式的概念与性质1．(2017年河北承德实验中学统测)若a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ，则下列不等式正确的个数是( )①1a <1b ；②a 2>b 2；③ac 4>bc 4；④a c 2＋1>b c 2＋1. A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．(2016年北京)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0 B ．sin x －sin y >0 C.⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y <0 D ．ln x ＋ln y >03．已知下列不等式：①x 2＋3>2x ；②a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2(a ，b ∈R ＋)；③a 2＋b 2≥2(a －b －1)．其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．34．(2015年湖北)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )A ．对任意的a ，b ，e 1<e 2B ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2C ．对任意的a ，b ，e 1>e 2D ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 25．(2015年上海)记方程①：x 2＋a 1x ＋1＝0，方程②：x 2＋a 2x ＋2＝0，方程③：x 2＋a 3x ＋4＝0，其中a 1，a 2，a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是( )A ．方程①有实根，且②有实根B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根6．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，则ca的取值范围为__________．7．(2016年山东滨州模拟)A 杯中有浓度为a 的盐水x g ，B 杯中有浓度为b 的盐水y g ，其中A 杯中的盐水更咸一些．若将A ，B 两杯盐水混合在一起，其浓度可用不等式表示为______________．8．用若干辆载重为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装8吨，则最后一辆汽车不满也不空．则有汽车________辆．9．设a ，b 为正实数．现有下列命题： ①若a 2－b 2＝1，则a －b ＜1；②若1b －1a＝1，则a －b ＜1；③若|a －b |＝1，则|a －b |＜1； ④若|a 3－b |＝1，则|a －b |＜1.其中的真命题有__________．(写出所有真命题的编号)10．(2016年湖南怀化模拟)某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．11．已知a ＞0，b ＞0，求证：⎝⎛⎭⎫a 2b 12＋⎝⎛⎭⎫b 2a 12≥a 12＋b 12.12．已知α∈(0，π)，比较2sin 2α与sin α1－cos α的大小．第2讲 一元二次不等式及其解法1．(2016年湖北模拟)若关于x 的不等式ax －b >0的解集是(－∞，1)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(－1,3)C ．(1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)2．如果kx 2＋2kx －(k ＋2)<0恒成立，那么实数k 的取值范围是( ) A ．－1≤k ≤0 B ．－1≤k <0 C ．－1<k ≤0 D ．－1<k <03．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x ＞0，则不等式f (x )≥x 2的解集是( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]4．(2016年江西九江一模)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)5．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集是A ∩B ，则a ＋b ＝( )A ．－3B ．1C ．－1D ．36．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ，则不等式f (x ＋2)<3的解集是_________．7．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是________．8．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为⎝⎛⎭⎫－13，2，对于系数a ，b ，c ，有如下结论：①a <0；②b ＞0；③c ＞0；④a ＋b ＋c ＞0；⑤a －b ＋c ＞0.其中正确的结论的序号是________．9．(2016年北京朝阳统一考试)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R .(1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x(x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．10．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)＝72，问是否存在a ，b ，c ∈R ，使得不等式x 2＋12≤f (x )≤2x 2＋2x ＋32对一切实数x 都成立？证明你的结论．第3讲 算术平均数与几何平均数1．下列命题正确的是( )A ．函数y ＝x ＋1x 的最小值为2B ．函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为2C ．函数y ＝2－3x －4x (x ＞0)的最小值为2－4 3D ．函数y ＝2－3x －4x (x ＞0)的最大值为2－4 32．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取得最小值，则a ＝( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．43．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当zxy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A ．0 B.98 C ．2 D.944．若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 35．(2015年湖南)若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．46．(2015年陕西)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12[f (a )＋f (b )]，则下列关系式正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q7．已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．08．(2017年河南郑州第二次质量预测)已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是__________．9．(1)设x ＞－1，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值为________．(2)已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________；10．(1)(2016年湖北七市联考)已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，若不等式2a ＋1b≥m 恒成立，则m 的最大值等于( )A ．10B ．9C ．8D ．7(2)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．第4讲 简单的线性规划1．(2017年北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2y ≤x ，，则x ＋2y 的最大值为( )A ．1B ．3C ．5D ．92．(2017年新课标Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]3．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤3，2x －3y ≤6，3x ＋4y ≤12，则z ＝x ＋y －2x ＋1的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－4，716 B ．[－4,1] C.⎣⎡⎦⎤14，716 D.⎣⎡⎦⎤14，1 4．(2014年新课标Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－35．设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －19≥0，x －y －8≤0，x ＋2y －14≤0所表示的平面区域为M ，则使函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A ．[1,3]B ．[2，10]C ．[2,9]D ．[10，9]6．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－17．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤0，x －y －4≤0表示的平面区域的面积是________．8．(2016年江苏) 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．9．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．10．已知函数g (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋b ＋1，两个零点可分别作为一个椭圆和一个双曲线的离心率．求ba的取值范围．第5讲 不等式的应用1．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析：每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x 的函数关系为y ＝－(x －6)2＋11(x ∈N *)，要使每辆客车运营的年平均利润最大，则每辆客车营运的最佳年数为( )A ．3年B ．4年C ．5年D ．6年2．(2017年广东惠州三模)设z ＝4x ·2y ，变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，则z 的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．163．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，若将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，则楼房应建为( )A ．10层B ．15层C ．20层D ．30层4．(2016年山东烟台诊断)已知在等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)5．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩(1亩≈666.7平方米)，投入资金不超过54植面积(单位：亩)分别为( )A ．50,0B ．30,20C ．20,30D ．0,506．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元7．(2017年江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储之和最小，则x 的值是__________．8．某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其关系式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，那么最大车流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，那么最大车流量比(1)中的最大车流量增加______辆/时．9．(2017年湖北孝感一模)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (单位：升)与速度x (单位：千米/时)(50≤x ≤120)的关系可近似表示为：y ＝⎩⎨⎧175(x 2－130x ＋4900)，x ∈[50，80)，12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？(2)已知A，B两地相距120千米，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？10．(2017年天津)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？第六章 不等式第1讲 不等式的概念与性质1．A 解析：①a ＝1，b ＝－1，1a ＜1b不成立；②a ＝1，b ＝－1，a 2＞b 2不成立； ③c ＝0，ac 4＞bc 4 不成立；④因为c 2＋1＞0，a ＞b ，所以a c 2＋1＞bc 2＋1成立．2．C 解析：由x >y >0，得1x <1y ，即1x －1y<0，A 不正确；由x >y >0及函数y ＝sin x 的单调性，可知sin x －sin y >0不一定正确，B 不正确；由0<12<1，x >y >0，得⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫12y ，即⎝⎛⎭⎫12x－⎝⎛⎭⎫12y <0，C 正确；由x >y >0，得xy >0，但不一定大于1，故ln x ＋ln y ＝ln xy >0不一定成立，D 不正确．3．D 解析：∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0，∴x 2＋3>2x .∵a 3＋b 3－a 2b －ab 2＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a ＋b )(a －b )2≥0，∴a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2.∵a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，∴a 2＋b 2≥2(a －b －1)．4．B 解析：e 1＝1＋b 2a 2，e 2＝1＋(b ＋m )2(a ＋m )2.不妨令e 1<e 2，化简，得b a <b ＋ma ＋m (m >0)，得bm <am ，得b <a .所以当b >a 时，有b a >b ＋m a ＋m ，即e 1>e 2；当b <a 时，有b a <b ＋ma ＋m，即e 1<e 2.故选B.5．B 解析：当方程①有实根，且②无实根时，a 21≥4，a 22<8，从而a 3＝a 22a 1<82＝4，∴a 23<16，即方程③：x 2＋a 3x ＋4＝0无实根．故选B.而A ，D 由于不等式方向不一致，不可推；C 推出③有实根．6.⎝⎛⎭⎫－2，－12 解析：因为f (1)＝0，所以a ＋b ＋c ＝0.所以b ＝－(a ＋c )． 又a >b >c ，所以a >－(a ＋c )>c ，且a >0，c <0.所以1>－a ＋c a >c a ，即1>－1－c a >ca .所以⎩⎨⎧2ca <－1，ca>－2，解得－2<c a <－12.7．b <ax ＋by x ＋y <a 解析：依题意，知a >b ，将A ，B 两杯盐水混合后，盐水的浓度变为ax ＋by x ＋y .则有ax ＋by x ＋y >bx ＋by x ＋y ＝b ，ax ＋by x ＋y <ax ＋ay x ＋y ＝a .故有b <ax ＋by x ＋y <a .8．6 解析：设有x 辆汽车，则货物重为(4x ＋20)吨．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧8(x －1)＜4x ＋20，8x ＞4x ＋20，x ∈N *.解得5＜x ＜7，且x ∈N *.故只有x ＝6才满足要求．9．①④ 解析：①中，∵a 2－b 2＝1，∴a －b ＝1a ＋b.∵a ＞0，b ＞0，又a 2＝b 2＋1＞1，∴a ＞1.从而1a ＋b＜1，即a －b ＜1.∴①正确．②中，取a ＝5，b ＝56，验证知②错误．③中，取a ＝4，b ＝1，验证知③错误． ④∵a ，b 是正实数，不妨设a ＞b >0， ∴a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋b 2＋ab )．∴a －b ＝a 3－b 3a 2＋ab ＋b 2＝1a 2＋ab ＋b 2. ∵a 3＝1＋b 3＞1，∴a 2＞1.∴a 2＋ab ＋b 2＞1.∴0＜1a 2＋ab ＋b 2＜1.∴0<a －b ＝1a 2＋ab ＋b 2＜1.即|a －b |＜1.同理，设0<a ＜b ，也能得到|a －b |＜1的结论．故④正确． 10．解：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元， 坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元．则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34nx ，y 2＝45nx .因为y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx＝14x －120nx ＝14x ⎝⎛⎭⎫1－n 5. 当n ＝5时，y 1＝y 2； 当n >5时，y 1<y 2； 当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．11．证明：方法一，左边－右边＝(a )3＋(b )3ab－(a ＋b )＝(a ＋b )(a －ab ＋b )－ab (a ＋b )ab＝(a ＋b )(a －2 ab ＋b )ab ＝(a ＋b )(a －b )2ab≥0.∴原不等式成立．方法二，左边>0，右边>0. 左边右边＝(a ＋b )(a －ab ＋b )ab (a ＋b ) ＝a －ab ＋b ab ≥2 ab －ab ab＝1.∴原不等式成立．12．解：2sin 2α－sin α1－cos α＝4sin αcos α(1－cos α)－sin α1－cos α＝sin α1－cos α(－4cos 2α＋4cos α－1)＝－sin α1－cos α(2cos α－1)2.∵α∈(0，π)，∴sin α＞0,1－cos α＞0，(2cos α－1)2≥0.∴－sin α1－cos α(2cos α－1)2≤0，即2sin 2α－sin α1－cos α≤0.∴2sin 2α≤sin α1－cos α，当且仅当α＝π3时取等号．第2讲 一元二次不等式及其解法1．B 解析：由题意关于x 的不等式ax －b >0的解集是(－∞，1)，可得ba＝1，且a <0.则(ax ＋b )(x －3)>0可变形为(x －3)⎝⎛⎭⎫x ＋ba <0，即得(x －3)(x ＋1)<0.所以－1<x <3.所以不等式的解集是(－1,3)．故选B.2．C 解析：当k ＝0时，原不等式等价于－2＜0，显然恒成立，∴k ＝0符合题意．当k ≠0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，(2k )2－4k ·[－(k ＋2)]＜0.解得－1<k <0.∴－1＜k ≤0. 3．A 解析：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x ＋2≥x 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x ＋2≥x 2⇒－1≤x ≤0或0＜x ≤1⇒－1≤x ≤1. 4．A 解析：不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max .令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2.∴a <－2.5．A 解析：由题意，得A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}．A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2.∴a ＋b ＝－3.6．{x |－5<x <1} 解析：设x ≥0，因为f (x )是定义域为R 的偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝x 2－2x .又f (x ＋2)＝f (|x ＋2|)，所以f (x ＋2)<3⇔f (|x ＋2|)＝(|x ＋2|)2－2|x ＋2|<3.所以(|x ＋2|－3)(|x ＋2|＋1)<0.所以0≤|x ＋2|<3，解得－5<x <1.所以原不等式的解集为{x |－5<x <1}．7．21 解析：设f (x )＝x 2－6x ＋a ，其图象是开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，图象如图D115.图D115关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧f (2)≤0，f (1)＞0即⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝4－12＋a ≤0，f (1)＝1－6＋a ＞0， 解得5<a ≤8.又a ∈Z ，所以a ＝6,7,8，则所有符合条件的a 的值之和是6＋7＋8＝21.8．①②③④ 解析：∵不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为⎝⎛⎭⎫－13，2，∴a <0；－13，2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，－13＋2＝－ba>0，∴b >0；f (0)＝c >0，f (1)＝a ＋b ＋c >0，f (－1)＝a－b ＋c <0.故正确结论的序号为①②③④.9．解：(1)依题意，得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4.因为x >0，所以x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立，所以y ≥－2.所以当x ＝1时，y ＝f (x )x 的最小值为－2.(2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)≤0，g (2)≤0.即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0. 解得a ≥34.故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 10．解：由f (1)＝72，得a ＋b ＋c ＝72.令x 2＋12＝2x 2＋2x ＋32⇒x ＝－1.由f (x )≤2x 2＋2x ＋32推得f (－1)≤32.由f (x )≥x 2＋12推得f (－1)≥32.∴f (－1)＝32.∴a －b ＋c ＝32.故a ＋c ＝52，且b ＝1.∴f (x )＝ax 2＋x ＋52－a .依题意ax 2＋x ＋52－a ≥x 2＋12对一切x ∈R 都成立，∴a ≠1，且Δ＝1－4(a －1)(2－a )≤0.由a －1>0，得a ＝32.∴f (x )＝32x 2＋x ＋1.证明如下： ∵32x 2＋x ＋1－2x 2－2x －32 ＝－12x 2－x －12＝－12(x ＋1)2≤0.∴32x 2＋x ＋1≤2x 2＋2x ＋32对x ∈R 都成立． ∴存在实数a ＝32，b ＝1，c ＝1，使得不等式x 2＋12≤f (x )≤2x 2＋2x ＋32对一切x ∈R 都成立．第3讲 算术平均数与几何平均数1．D 解析：y ＝x ＋1x的定义域为{x |x ≠0}，当x ＞0时，有最小值2，当x ＜0时，有最大值－2.故A 项不正确；y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2，∵x 2＋2≥2，∴取不到“＝”．故B 项不正确；∵当x ＞0时，3x ＋4x ≥2·3x ·4x ＝4 3，当且仅当3x ＝4x ，即x ＝2 33时取“＝”．∴y ＝2－⎝⎛⎭⎫3x ＋4x 有最大值2－4 3.故C 项不正确，D 项正确． 2．C 解析：∵x ＞2，∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 (x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时取等号．3．C 解析：z ＝x 2－3xy ＋4y 2，z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ≥2x ·2y －3xy xy ＝xy xy＝1. 当且仅当x ＝2y 时，zxy取最小值，此时z ＝2y 2.x ＋2y －z ＝4y －2y 2＝－2(y 2－2y )＝－2(y －1)2＋2，最大值为2.故选C.4．D 解析：由题意知，ab >0，且3a ＋4b >0，所以a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以3a ＋4b ＝ab .所以4a ＋3b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫4a ＋3b ＝7＋4b a ＋3a b ≥7＋2 4b a ·3a b ＝7＋4 3.当且仅当4b a ＝3ab，即a ＝4＋2 3，b ＝3＋2 3时，等号成立．故选D.5．C 解析：∵1a ＋2b ＝ab ，∴a ＞0，b ＞0.∵ab ＝1a ＋2b ≥2 1a ·2b ＝2 2ab，∴ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)，∴ab 的最小值为2 2.故选C.6．C 解析：p ＝f (ab )＝ln ab ＝12ln(ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＝ln a ＋b 2，r ＝12[f (a )＋f (b )]＝12ln(ab )．因为a ＋b 2＞ab ，由f (x )＝ln x 在区间(0，＋∞)内是增函数，可知f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＞f (ab )，所以q ＞p ＝r .故选C.7．A 解析：方法一，由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y＝1，且x >0，y >0.∴x ＋2y ＝(x ＋2y )·⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4y x ＋xy＋4≥4＋4＝8(当且仅当x ＝4，y ＝2等号成立)． 方法二，由x ＋2y ＝xy ＝12x ·2y ≤12⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22＝()x ＋2y 28，∴x ＋2y ≥8(当且仅当x ＝2y 时取等号)．8．3 解析：由x 2＋2xy －3＝0，得y ＝3－x 22x ＝32x －12x .则2x ＋y ＝2x ＋32x －12x ＝3x 2＋32x ≥2 3x 2·32x＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立．所以(2x＋y )min ＝3.9．(1)9 (2)1解析：(1)因为x ＞－1，所以x ＋1＞0，所以y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥2 (x ＋1)·4x ＋1＋5＝9.当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时等号成立．故函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值为9.(2)因为x ＜54，所以5－4x ＞0.则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.10．(1)B (2)6解析：2a ＋1b ＝2(2a ＋b )a ＋2a ＋b b ＝4＋2b a ＋2a b ＋1＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋2×2 b a ·a b＝9. 当且仅当a ＝b ＝13时取等号．∵2a ＋1b ≥m ，∴m ≤9，即m 的最大值等于9.故选B.(2)由已知，得x ＝9－3y1＋y.方法一，(消元法)∵x >0，y >0，∴0<y <3.∴x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝121＋y ＋(3y ＋3)－6≥2 121＋y ·(3y ＋3)－6＝6.当且仅当121＋y＝3y ＋3，即y ＝1，x ＝3时，取等号，故(x ＋3y )min ＝6.方法二，∵x >0，y >0，9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时等号成立．设x ＋3y ＝t >0，则t 2＋12t －108≥0. ∴(t －6)(t ＋18)≥0. 又t >0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6.第4讲 简单的线性规划1．D 解析：如图D116，画出可行域．图D116z ＝x ＋2y 表示斜率为－12的一组平行线，当过点C (3，3)时，目标函数取得最大值z max＝3＋2×3＝9.2．B 解析：将点(0,0)，(2,0)，(0,3)代入z ＝x －y 解得0,2，－3.所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]．故选B.3．B 解析：作出不等式组表示的平面区域(如图D117)，因为z ＝x ＋y －2x ＋1＝y －3x ＋1＋1表示平面区域内的点与点(－1，3)之间连线的斜率k 与1的和．由图知，当x ＝0，y ＝－2时，k 取得最小值k min ＝－2－30＋1＝－5；当x ＝0，y ＝3时，k 取得最大值k max ＝3－30＋1＝0.所以z ∈[－4，1]．故选B.图D1174．B 解析：根据题中约束条件可画出可行域如图D118.两直线交点坐标为A ⎝⎛⎭⎫a －12，a ＋12.又由z ＝x ＋ay 知，当a ＝0时，A ⎝⎛⎭⎫－12，12，z 的最小值为－12，不合题意；当a ≥1时，y ＝－1a x ＋za 过点A 时，z 有最小值，即z ＝a －12＋a ×a ＋12＝a 2＋2a －12＝7，解得a ＝3或a ＝－5(舍去)；当a <1时，z 无最小值．故选B.图D1185．C 解析：区域M 是一个三角形区域，三个顶点的坐标分别是(8,3)，(10,2)，(9,1)，结合图形检验，可知：当a ∈[2,9]时，符合题目要求．6．D 解析：如图D119，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.图D1197．1 解析：不等式组表示的区域如图D120所示的阴影部分，图D120由x ＝1，x ＋y ＝0，得A (1，－1)； 由x ＝1，x －y －4＝0，得B (1，－3)； 由x ＋y ＝0，x －y －4＝0，得C (2，－2)．∴|AB |＝2.∴S △ABC ＝12×2×1＝1.8.⎣⎡⎦⎤45，13 解析：由图D121知，原点到直线2x ＋y －2＝0的距离平方为x 2＋y 2的最小值，为⎝⎛⎭⎫ 252＝45；原点到点(2,3)距离平方为x 2＋y 2的最大值，为13.因此x 2＋y 2的取值范围为⎣⎡⎦⎤45，13.图D1219．解：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图D122所示的阴影部分．图D122由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎫1，225. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． (1)∵z ＝y x ＝y －0x －0，∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方． 结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中， d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29. 故z 的取值范围是[2,29]．(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中， d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝(－3－5)2＋(2－2)2＝8. 故z 的取值范围是[16,64]．10．解：g (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋b ＋1，两个零点为方程x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋b ＋1＝0的两根，且一根大于1，另一根大于0且小于1，由根的分布画图，得⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)>0，g (1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋1>0，2a ＋b ＋3<0.作出可行域如图D123.图D123而b a ＝b －0a －0表示可行域中的点(a ，b )与原点连线的斜率k ，直线OA 的斜率k 1＝－12，直线2a ＋b ＋3＝0的斜率k 2＝－2.所以k ∈⎝⎛⎭⎫－2，－12，即ba ∈⎝⎛⎭⎫－2，－12. 第5讲 不等式的应用1．C 解析：yx＝－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ＋12≤－2 x ×25x ＋12，当且仅当x ＝25x，即x ＝5时取等号．2．C 解析：作出不等式组对应的平面区域，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －4y ＝－3，x ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，设A (1,1)，由图可知，直线2x ＋y ＝m 经过点A 时，m 取最小值，同时z ＝4x ·2y ＝22x ＋y 取得最小值．所以z min ＝22×1＋1＝23＝8.故选C.3．B 解析：设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2160×10 0002000x＝560＋48x ＋10 800x＝560＋48⎝⎛⎭⎫x ＋225x ≥560＋48×2 x ·225x＝2000(x ≥10，x ∈N *)．当且仅当x ＝225x，即x ＝15时，f (x )取得最小值为f (15)＝2000.4．D 解析：设公比为q .因为a 2＝1＝a 1q ，所以S 3＝a 1＋1＋a 1q 2＝1q＋q ＋1.当q >0时，1q ＋q ≥2；当q <0时，1q＋q ≤－2.所以S 3≥3或S 3≤－1.故选D. 5．B 解析：设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x ，y 亩，种植总利润为z 万元，则目标函数z ＝(0.55×4x －1.2x )＋(0.3×6y －0.9y )＝x ＋0.9y .作出约束条件如图D124所示的阴影部分．易求得点A (0,50)，B (30,20)，C (45,0)．平移直线x ＋0.9y ＝0，当直线x ＋0.9y ＝0经过点B (30,20)时，z 取得最大值为48.故选B.图D124 图D1256．C 解析：设旅行社租用A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，租金为z 元，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x ，y ∈N ，目标函数为z ＝1600x ＋2400y .画出可行域：如图D125所示的阴影部分，可知当目标函数过点(5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．7．30 解析：总费用4x ＋600x ×6＝4⎝⎛⎭⎫x ＋900x ≥4×2900＝240.当且仅当x ＝900x，即x ＝30时等号成立．8．(1)1900 (2)100解析：(1)当l ＝6.05时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l ＝76 000v ＋121v ＋18≤76 0002 v ·121v ＋18＝76 00022＋18＝1900，当且仅当v ＝121v ，即v ＝11时，等号成立．(2)当l ＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l ＝76 000v ＋100v ＋18≤76 0002 v ·100v ＋18＝76 00020＋18＝2000，当且仅当v ＝100v ，即v ＝10时，等号成立．此时车流量比(1)中的最大车流量增加100辆/时． 9．解：(1)①当x ∈[50,80)时，y ＝175(x 2－130x ＋4900)＝175[(x －65)2＋675] 当x ＝65时，y 有最小值175×675＝9.②当x ∈[80,120]时，函数单调递减，故当x ＝120时，y 有最小值10. 因为9<10，故当x ＝65时每小时耗油量最低．(2)设总耗油量为l ，由题意，可知l ＝y ·120x .①当x ∈[50,80)时，l ＝y ·120x ＝85⎝⎛⎭⎫x ＋4900x －130≥85⎝⎛⎭⎫2 x ×4900x －130＝16. 当且仅当x ＝4900x ，即x ＝70时，l 取得最小值16.②当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤80120时，l ＝y ·120x ＝1440x －2为减函数，当x ＝120时，l 取得最小值10.因为10<16，所以当速度为120时，总耗油量最少．10．解：(1)由已知，x ，y满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为如图D126中的阴影部分．图D126 图D127 (2)设总收视人次为z 万， 则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线.z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图D127可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0得点M 的坐标为(6,3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多。
第五章 数列、推理与证明第1讲 数列的概念与简单表示法1．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．642．在数列{a n }中，已知a 1＝1，且当n ≥2时，a 1·a 2·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝( ) A.73 B.6116 C.3115 D.1143．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图X5-1-1.图X5-1-1他们研究过图X5-1-1(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图X5-1-1(2)中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．289B ．1024C ．1225D ．13784．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，其前n 项积为T n ，则T 2017＝( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2 5．(2015年辽宁大连模拟)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n ＝( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n6．(2014年新课标Ⅱ)若数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝________.7．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2009＝________，a 2014＝________.8．已知递增数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋kn ＋2，则实数k 的取值范围为________．9．(2013年新课标Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式是a n＝________.10．(2016年上海)无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和．若对任意n ∈N *，S n ∈{2,3}，则k 的最大值为________．11．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n (n ∈N *)，则当n 为多大时，a n 最大？12．(2012年大纲)已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n.(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．第2讲 等差数列1．(2017年江西南昌二模)已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，2a 7－a 8＝5，则S 11＝( )A ．110B ．55C ．50D ．不能确定2．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－123．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 7＋a 13的值是一个确定的常数，则下列各式：①a 21；②a 7；③S 13；④S 14；⑤S 8－S 5. 其结果为确定常数的是( ) A ．②③⑤ B ．①②⑤ C ．②③④ D ．③④⑤4．(2017年新课标Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则数列{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．85．(2017年湖北七市4月联考)在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？( )A ．9日B ．8日C ．16日D ．12日6．已知等差数列{a n }的公差为d ，关于x 的不等式d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x ＋c ≥0的解集是[0,22]，则使得数列{a n }的前n 项和最大的正整数n 的值是( )A ．11B ．11或12C ．12D ．12或137．(2017年广东揭阳一模)已知数列{a n }对任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a n －2a n ＋1a n ，若a 1＝12，则a 8＝__________. 8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________.9．(2016年新课标Ⅱ)在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.10．(2014年大纲)数列{a n}满足a1＝1，a2＝2，a n＋2＝2a n＋1－a n＋2.(1)设b n＝a n＋1－a n，证明{b n}是等差数列；(2)求{a n}的通项公式．11．(2014年新课标Ⅰ)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n－1，其中λ为常数．(1)证明：a n＋2－a n＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．第3讲 等比数列1．对任意的等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列2．(2016年河北衡水模拟)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n＝14，则S 4n ＝( )A ．80B ．30C ．26D ．163．(2013年新课标Ⅰ)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n4．(2017年广东深圳一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·3n －1＋b ，则a b＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．35．(2016年河南模拟)已知等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，其前n 项和为S n ，则S n 的最大值为( )A.34B.23C.43D.326．(2017年北京)若等差数列{a n }和等比数列{}b n 满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝__________.7．(2017年江西南昌二模)在等比数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，满足S 7－4S 6＋3S 5＝0，则S 4＝________.8．(2017年广东深圳第二次调研)《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果墙足够厚，S n 为前n 天两只老鼠打洞长度之和，则S n ＝__________尺．9．(2016年新课标Ⅰ)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a nb n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．10．(2016年新课标Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式；(2)若S 5＝3132，求λ.11．(2017年广东广州一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{S n }的前n 项和T n .第4讲 数列的求和1．(2017年辽宁鞍山一中统测)数列{a n }的通项公式为a n ＝14n 2－1，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( )A.2n 2n ＋1B.n 2n ＋1C.2n 4n ＋1D.n 4n ＋12．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12 D ．－153．已知等差数列{a n }满足a 1>0，5a 8＝8a 13，则当前n 项和S n 取最大值时，n ＝( ) A ．20 B ．21 C ．22 D ．234．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则数列{|a n |}的前n 项和T n 等于( ) A ．6n －n 2 B ．n 2－6n ＋18C.⎩⎪⎨⎪⎧ 6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ＋18，n ＞3D.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ，n ＞3 5．(2016年湖北七校2月联考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里6．(2015年江苏)已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前10项和为________．7．如图X5-4-1，它满足：①第n 行首尾两数均为n ；②图中的递推关系类似杨辉三角，则第n (n ≥2)行的第2个数是______________．1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5…… 图X5-4-18．(2017年安徽合肥第二次质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －2n ，则S n＝__________.9．(2016年浙江金华模拟)设数列{a n }的前n 项和S n 满足6S n ＋1＝9a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝1a n，求数列{b n }的前n 项和T n .b n是各项均为正数的等比数列，且10．(2017年广东佛山二模)已知{a n}是等差数列，{}b1＝a1＝1，b3＝a4，b1＋b2＋b3＝a3＋a4.b n的通项公式；(1)求数列{a n}，{}c n的前n项和T n.(2)设c n＝a n b n，求数列{}11．(2017年广东湛江二模)观察下列三角形数表，数表(1)是杨辉三角数表，数表(2)是与数表(1)有相同构成规律(除每行首末两端的数外)的一个数表．对于数表(2)，设第n行第二个数为a n.(n∈N*)(如a1＝2，a2＝4，a3＝7)(1)归纳出a n与a n－1(n≥2，n∈N*)的递推公式(不用证明)，并由归纳的递推公式求出{a n}的通项公式a n；(2)数列{b n}满足：(a n－1)·b n＝1，求证：b1＋b2＋…＋b n<2.第5讲 合情推理和演绎推理1．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P -ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( )A.18B.19C.164D.1272．(2017年广东惠州三模)我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．类比祖暅原理，如图X5-5-1，在平面直角坐标系中，图X5-5-1(1)是一个形状不规则的封闭图形，图X5-5-1(2)是一个上底为1的梯形，且当实数t 取[0,3]上的任意值时，直线y ＝t 被图X5-5-1(1)和图X5-5-1(2)所截得的两线段长始终相等，则图(1)的面积为 __________.(1) (2) 图X5-5-13．(2017年北京)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： ①男学生人数多于女学生人数； ②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数．(1)若教师人数为4，则女学生人数的最大值为_____________； (2)该小组人数的最小值为__________． 4．观察下列等式： 12＝112－22＝－3 12－22＋32＝612－22＋32－42＝－10照此规律，第n 个等式为_____________________________________． 5．如图X5-5-2，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，则截下的一个直角三角形按如图X5-5-2(1)所标边长，由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2.设想把正方形换成正方体，把截线换成如图X5-5-2(2)所示的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O -ABC ，若用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，则可以类比得到的结论是__________________．(1) (2)图X5-5-26．已知cos π3＝12，cos π5·cos 2π5＝14，cos π7·cos 2π7·cos 3π7＝18，…，根据以上等式，可猜想出的一般结论是___________________________________．7．(2017年东北三省四市一联)在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说“甲没有得优秀”，乙说“我得了优秀”，甲说“丙说的是真话”．事实证明，在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是__________．8．已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －man －m.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝________.9．某同学在一次研究性学习中发现，以下5个式子的值都等于同一个常数． ①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述5个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．10．在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＝5，a 3＝7，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为S n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，n ，且1<m <n ，使得S 1，S m ，S n 成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m ，n 的值；若不存在，请说明理由．第6讲 直接证明与间接证明1．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要作的假设是( )A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<03．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 的形状为__________三角形．4．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)存在有理数根，则a ，b ，c 中至少有一个是偶数．下列假设正确的是________．①假设a ，b ，c 都是偶数； ②假设a ，b ，c 都不是偶数； ③假设a ，b ，c 至多有一个偶数； ④假设a ，b ，c 至多有两个偶数．5．凸函数的性质定理：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .已知函数y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________．6．α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及β之外的两条不同的直线，给出下列四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中的三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_________________________________________________________________________________________________________________________.78．已知集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③c ≠0有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c ＝__________.9．已知等差数列{a n }的公差d >0，设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36. (1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65成立．10．(2016年湖北武汉调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝5，S 8＝64. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：1S n －1＋1S n ＋1>2S n(n ≥2，n ∈N *)．第7讲 数学归纳法1．用数学归纳法证明：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)，从“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”左端需乘的代数式是( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3k ＋12．用数学归纳法证明：12＋22＋…＋n 2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3，第二步证明由“k 到k ＋1”时，左边应加( )A ．k 2B ．(k ＋1)2C ．k 2＋(k ＋1)2＋k 2D ．(k ＋1)2＋k 23．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＝1－a n ＋11－a(a ≠1，n ∈N *)时，当验证n ＝1时，左边计算所得的式子是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 44．用数学归纳法证明等式：1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22(n ∈N *)，则从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边应添加的项为( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)25．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋25n －1是31的整数倍时，当n ＝1时，上式等于( )A ．1＋2B ．1＋2＋22C ．1＋2＋22＋23D ．1＋2＋22＋23＋246．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n ＝2n －1＋22n －1(n ∈N ＋)时，假设当n ＝k 时命题成立，则当n ＝k ＋1时，左端增加的项数是( )A ．1项B ．k －1项C ．k 项D ．2k 项7．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，利用归纳法假设证明当n ＝k ＋1时，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)38．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由k 推导到k ＋1时，不等式左边增加的式子是________________．9．是否存在常数a ，b ，c ，使等式1×22＋2×32＋…＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)12(an 2＋bn ＋c )对一切正整数n 都成立？证明你的结论．10．(2017年浙江)已知数列{x n }满足：x 1＝1，x n ＝x n ＋1＋ln (1＋x n ＋1)(n ∈N *)． 证明：当n ∈N *时， (1)0＜x n ＋1＜x n ；(2)2x n ＋1－x n ≤x n x n ＋12；(3)12n ＋1≤x n ≤12n ＋2.第五章 数列、推理与证明 第1讲 数列的概念与简单表示法1．A 解析：a 8＝S 8－S 7＝82－72＝64－49＝15. 2．B3．C 解析：第n 个三角形数可表示为12n (n ＋1)，第n 个四边形数可表示为n 2.故选C.4．C 解析：由a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，得a n ＋1＝1＋a n1－a n ，而a 1＝2，则有a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2.故数列{a n }是以4为周期的周期数列，且a 1a 2a 3a 4＝1.所以T 2017＝(a 1a 2a 3a 4)504a 1＝1504×2＝2.5．A 解析：由已知，得a n ＋1－a n ＝ln(n ＋1)－ln n .所以a 2－a 1＝ln 2－ln 1，a 3－a 2＝ln 3－ln 2，a 4－a 3＝ln 4－ln 3，…，a n －a n －1＝ln n －ln(n －1)，以上(n －1)个式子左、右分别相加，得a n －a 1＝ln n ．所以a n ＝2＋ln n ．故选A.6.12 解析：由已知，得a n ＝1－1a n ＋1，a 8＝2， ∴a 7＝1－1a 8＝12，a 6＝1－1a 7＝－1，a 5＝1－1a 6＝2.同理，a 4＝12，a 3＝－1，a 2＝2，a 1＝12.7．1 0 解析：a 2009＝a 4×503－3＝1，a 2014＝a 2×1007＝a 1007＝a 4×252－1＝0.8．(－3，＋∞) 解析：由{a n }为递增数列，得a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋2－n 2－kn －2＝2n ＋1＋k >0恒成立，即k >－(2n ＋1)恒成立，即k >[－(2n ＋1)]max ＝－3.9．(－2)n －1 解析：当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1，故a n a n －1＝－2，故a n ＝(－2)n －1. 当n ＝1时，也符合a n ＝(－2)n －1.综上所述，a n ＝(－2)n －1. 10．4 解析：从研究S n 与a n 的关系入手，推断数列的构成特点，解题时应特别注意“数列{a n }由k 个不同的数组成”的“不同”和“k 的最大值”．本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等．当n ＝1时，a 1＝2或a 1＝3；当n ≥2时，若S n ＝2，则S n －1＝2，于是a n ＝0，若S n ＝3，则S n －1＝3，于是a n ＝0.从而存在k ∈N *，当n ≥k 时，a k ＝0.其中数列{a n }：2,1，－1，0,0,0，…满足条件，所以k max ＝4.11．解：∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ·9－n 11，而⎝⎛⎭⎫1011n >0， ∴当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a 10＝a 9； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 因此a 1<a 2<…<a 9＝a 10>a 11>a 12>….∴当n ＝9或n ＝10时，数列{a n }有最大项，最大项为a 9或a 10.12．解：(1)由a 1＝1与S n ＝n ＋23a n可得 S 2＝2＋23a 2＝a 1＋a 2⇒a 2＝3a 1＝3，S 3＝3＋23a 3＝a 1＋a 2＋a 3⇒23a 3＝a 1＋a 2＝4⇒a 3＝6.故所求a 2，a 3的值分别为3,6.(2)当n ≥2时，S n ＝n ＋23a n，①S n －1＝n ＋13a n －1，②①－②，可得S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，即a n ＝n ＋23a n －n ＋13a n －1⇔n －13a n ＝n ＋13a n －1⇔a n a n －1＝n ＋1n －1.故有a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×…×a 2a 1×a 1＝n ＋1n －1×n n －2×…×31×1＝n 2＋n 2.而12＋12＝1＝a 1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋n 2.第2讲 等差数列1．B 解析：设公差为d ，则2a 7－a 8＝2(a 1＋6d )－(a 1＋7d )＝a 1＋5d ＝a 6＝5，S 11＝11×a 1＋a 112＝11a 6＝55.故选B.2．D 解析：因为S 1，S 2，S 4成等比数列，有S 22＝S 1S 4，即(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12.3．A 解析：由a 1＋a 7＋a 13是一个确定的常数，得3a 7是确定的常数，故②正确；S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7是确定的常数，故③正确；S 8－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＝3a 7是确定的常数，故⑤正确．4．A 解析：设等差数列的公差为d ，由a 2，a 3，a 6成等比数列，可得a 23＝a 2a 6，即(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )．整理，可得d 2＋2d ＝0.∵d ≠0，∴d ＝－2.则{a n }前6项的和为S 6＝6a 1＋6×52d ＝6×1＋6×52×(－2)＝－24.5．A 解析：根据题意，显然良马每日行程构成一个首项a 1＝103，公差d 1＝13的等差数列．前n 天共跑的里程为S ′＝na 1＋n (n －1)2d 1＝103n ＋132n (n －1)＝6.5n 2＋96.5n ；驽马每日行程也构成一个首项b 1＝97，公差d 2＝－0.5的等差数列，前n 天共跑的里程为S ′＝nb 1＋n (n －1)2d 2＝97n －0.52n (n －1)＝－0.25n 2＋97.25n .两马相逢时，共跑了一个来回．设其第n 天相逢，则有6.5n 2＋96.5n －0.25n 2＋97.25n ＝1125×2，解得n ＝9.即它们第9天相遇．故选A.6．A 解析：∵关于x 的不等式d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x ＋c ≥0的解集是[0,22]，∴⎩⎪⎨⎪⎧d <0，－a 1－d2d 2＝22，解得a 1＝－21d2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－21d2＋(n －1)d ＝⎝⎛⎭⎫n －232d . 可得a 11＝⎝⎛⎭⎫11－232d ＝－12d >0，a 12＝⎝⎛⎭⎫12－232d ＝12d <0. 故使得数列{a n }的前n 项和最大的正整数n 的值是11. 7.116 解析： 由a n ＋1＝a n －2a n ＋1a n ，得1a n ＋1－1a n＝2，故数列{1a n }是首项1a 1＝2，公差d ＝2的等差数列，则1a n ＝2＋2(n －1)＝2n .故a 8＝116.8．130 解析：由a n ＝2n －10(n ∈N *)，知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列．令a n ＝2n －10≥0，得n ≥5.所以当n <5时，a n <0；当n ≥5时，a n ≥0.所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝S 15－2(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＝90＋40＝130.9．解：(1)设{a n }的公差为d ，由题意，得 2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3.解得a 1＝1，d ＝25.所以a n ＝2n ＋35.(2)由(1)知，b n ＝⎣⎡⎦⎤2n ＋35.当n ＝1,2,3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1；当n ＝4,5时，2<2n ＋35<3，b n ＝2；当n ＝6,7,8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3；当n ＝9,10时，4<2n ＋35<5，b n ＝4.所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24. 10．(1)证明：由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，得 a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2，即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是以首项为1，公差为2的等差数列． (2)解：由(1)，得b n ＝1＋2(n －1)， 即a n ＋1－a n ＝2n －1.于是1(nk =∑ak ＋1－a k )＝1(nk =∑2k －1)，所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2.11．(1)证明：由题意，得a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1. 两式相减，得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 因为a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)解：由题意，得a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1.令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4. 故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．第3讲 等比数列1．D 解析：因为数列{a n }是等比数列，a 26＝a 3a 9，所以a 3，a 6，a 9成等比数列． 2．B 解析：由等比数列性质，得S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n 成等比数列，则(S 2n－S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )．所以(S 2n －2)2＝2×(14－S 2n )．又S 2n >0，得S 2n ＝6.又(S 3n －S 2n )2＝(S 2n －S n )(S 4n －S 3n )，所以(14－6)2＝(6－2)(S 4n －14)，解得S 4n ＝30.3．D 解析：方法一，在等比数列{a n }中，S n ＝a 1－a n q1－q＝1－a n ·231－23＝3－2a n .方法二，在等比数列{a n }中，a 1＝1，q ＝23，∴a n ＝1×⎝⎛⎭⎫23n －1＝⎝⎛⎭⎫23n －1.∴S n ＝1×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n 1－23＝3⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n＝3⎣⎡⎦⎤1－23⎝⎛⎭⎫23n －1＝3－2a n . 4．A 解析：因为a 1＝S 1＝a ＋b ，a 2＝S 2－S 1＝2a ，a 3＝S 3－S 2＝6a ，由等比数列，得公比q ＝a 3a 2＝3.又a 2＝a 1q ，所以2a ＝3(a ＋b )，解得ab＝－3.5．D 解析：∵等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，∴S n ＝32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1－⎝⎛⎭⎫－12＝1－⎝⎛⎭⎫－12n .当n 取偶数时，S n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n <1；当n 取奇数时，S n ＝1＋⎝⎛⎭⎫12n ≤1＋12＝32.∴S n的最大值为32.故选D. 6．1 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由a 4＝b 4＝8，得－1＋3d ＝－q 3＝8，解得q ＝－2，d ＝3.则a 2b 2＝－1＋32＝1.7．40 解析：设{a n }的公比为8，由S 7－4S 6＋3S 5＝0，可得S 7－S 6－3(S 6－S 5)＝0⇒a 7－3a 6＝0，所以q ＝3.所以S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝1－341－3＝40.8．2n －12n －1＋1 解析：依题意，得大老鼠每天打洞的距离构成以1为首项，2为公比的等比数列，所以前n 天大老鼠打洞的距离共为1×(1－2n )1－2＝2n－1；同理可得前n 天小老鼠打洞的距离共为1×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝2－12n －1.所以S n ＝2n －1＋2－12n －1＝2n －12n －1＋1.9．解：(1)由a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2.所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)和a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，得b n ＋1＝b n3.因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列．记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝32－12×3n －1. 10．解：(1)由题意，得a 1＝S 1＝1＋λa 1.故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0，得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)由(1)，得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n .由S 5＝3132，得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132，解得λ＝－1.11. 解：(1)当n ＝1时，S 1＝2a 1－2，即a 1＝2a 1－2. 解得a 1＝2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －2)－(2a n －1－2)＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1. 所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．所以a n ＝2×2n －1＝2n (n ∈N *)．(2)因为S n ＝2a n －2＝2n ＋1－2,所以T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n ＝22＋23＋…＋2n ＋1－2n ＝4×(1－2n )1－2－2n ＝2n ＋2－4－2n .第4讲 数列的求和1．B 解析：由题意，得数列{a n }的通项公式为a n ＝14n 2－1＝1(2n ＋1)(2n －1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝12⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－13＋⎦⎤⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.故选B. 2．A3．B 解析：设公差为d .由5a 8＝8a 13，得5(a 1＋7d )＝8(a 1＋12d )．解得d ＝－361a 1.由a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a 1＋(n －1)·⎝⎛⎭⎫－361a 1≥0⇒n ≤643＝2113. ∴数列{a n }的前21项都是正数，以后各项都是负数． 故S n 取最大值时，n 的值为21.故选B.4．C 解析：由S n ＝n 2－6n ，得{a n }是等差数列， 且首项为－5，公差为2.∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7.∴当n ≤3时，a n <0；当n >3时，a n >0.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 21≤n ≤3，n 2－6n ＋18，n ＞3.5．B 解析：由题意，知每天所走路程形成以a 1为首项，公比为12的等比列，则a 1⎝⎛⎭⎫1－1261－12＝378.解得a 1＝192，则a 2＝96，即第二天走了96里路．故选B.6.2011解析：由题意，得a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋(a n －2－a n －3)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝n ＋n －1＋n －2＋…＋1＝n (n ＋1)2.所以1a n ＝2n (n ＋1)＝2×⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1.S 10＝2×⎝⎛⎭⎫11－12＋12－13＋…＋110－111＝2×⎝⎛⎭⎫1－111＝2011. 7.n 2－n ＋22解析：设第n (n ≥2)行的第2个数构成数列{a n }，则有a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝3，a 5－a 4＝4，…，a n －a n －1＝n －1，相加，得a n －a 2＝2＋3＋…＋(n －1)＝2＋n －12×(n－2)＝(n ＋1)(n －2)2，a n ＝2＋(n ＋1)(n －2)2＝n 2－n ＋22.8．n ·2n (n ∈N *) 解析：由S n ＝2a n －2n ，得当n ＝1时，S 1＝a 1＝2；当n ≥2时，S n ＝2(S n－S n －1)－2n ，即S n 2n －S n －12n －1＝1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 2n 是首项为1，公差为1的等差数列，则S n2n ＝n ，S n ＝n ·2n (n ≥2)．当n ＝1时，也符合上式，所以S n ＝n ·2n (n ∈N *)．9．解：(1)当n ＝1时，由6a 1＋1＝9a 1，得a 1＝13.当n ≥2时，由6S n ＋1＝9a n ，得6S n －1＋1＝9a n －1， 两式相减，得6(S n －S n －1)＝9(a n －a n －1)， 即6a n ＝9(a n －a n －1)．∴a n ＝3a n －1.∴数列{a n }是首项为13，公比为3的等比数列，其通项公式为a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)∵b n ＝1a n ＝⎝⎛⎭⎫13n －2，∴{b n }是首项为3，公比为13的等比数列．∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝92⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n .10．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋3d ＝q 2，1＋q ＋q 2＝2＋5d ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.所以a n ＝1＋(n －1)＝n ，b n ＝1×2n －1＝2n －1.(2)由(1)知，c n ＝a n b n ＝n ·2n －1，则：T n ＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1， ①2T n ＝1×21＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ，②①－②，得－T n ＝20＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝1×(1－2n)1－2－n ·2n ＝(1－n )·2n －1.所以T n ＝(n －1)·2n＋1.11．(1)解：依题意，当n ≥2，可归纳出a n ＝a n －1＋n . 所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1.a n ＝n ＋(n －1)＋…＋2＋2＝(n ＋2)(n －1)2＋2＝12(n 2＋n )＋1.检验当n ＝1时，上式也成立．所以通项公式为a n ＝12(n 2＋n )＋1.(2)证明：∵(a n －1)·b n ＝1，∴b n ＝1a n －1＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1.∴b 1＋b 2＋…＋b n＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫11－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1.又1－1n ＋1<1，∴b 1＋b 2＋…＋b n <2.第5讲 合情推理和演绎推理1．D 解析：正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3.故V 1V 2＝127.2.92 解析：类比祖暅原理，可得两个图形的面积相等，梯形面积为S ＝12(1＋2)×3＝92，所以图X5-5-1(1)的面积为92.3．(1)6 (2)124．12－22＋32－…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)25．S 24＝S 21＋S 22＋S 236．cos π2n ＋1·cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n ，n ∈N *7．丙 解析：如果丙说的是假话，则“甲得优秀”是真话，又乙说“我得了优秀”是真话，所以矛盾；若甲说的是假话，即“丙说的是真话”是假的，则说明“丙说的是假的”，即“甲没有得优秀”是假的，也就是说“甲得了优秀”是真的，这与乙说“我得了优秀”是真话矛盾；若乙说的是假话，即“乙没得优秀”是真的，而丙说“甲没得优秀”为真，则说明“丙得优秀”，这与甲说“丙说的是真话”符合．所以三人中说假话的是乙，得优秀的同学是丙．8.n 解析：方法一，设数列{a n }的公差为d 1，则d 1＝a n －a m n －m ＝b －a n －m .所以a m ＋n ＝a m ＋nd 1＝a ＋n ·b －a n －m ＝bn －amn －m.类比推导方法可知：设数列{b n }的公比为q ，由b n ＝b m q n －m ，可知d ＝cq n －m .所以q ＝n所以b m ＋n ＝b m q n＝c ·n ＝n 方法二，(直接类比)设数列{a n }的公差为d 1，数列{b n }的公比为q ，则a n ＝a 1＋(n －1)d 1，b n ＝b 1qn －1.因为a m ＋n ＝nb －ma n －m ，所以b m ＋n ＝n .9．解：(1)选择②，由sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝34.故这个常数是34.(2)推广，得到三角恒等式sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.10．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＝5，a 3＝7，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝3. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋3(n －1)＝3n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2(n ∈N *)．(2)因为1a n a n ＋1＝1(3n －2)(3n ＋1)＝13⎝⎛⎭⎫13n －2－13n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和S n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋…＋1a n －1a n ＋1a n a n ＋1＝13⎝⎛⎭⎫1－14＋13⎝⎛⎭⎫14－17＋13⎝⎛⎭⎫17－110＋…＋13⎝⎛⎭⎫13n －5－13n －2＋13⎝⎛⎭⎫13n －2－13n ＋1 ＝13⎝⎛⎭⎫1－13n ＋1＝n3n ＋1.假设存在正整数m ，n ，且1<m <n ，使S 1，S m ，S n 成等比数列，则S 2m ＝S 1S n ，即⎝⎛⎭⎫m 3m ＋12＝14×n 3n ＋1.所以n ＝－4m 23m 2－6m －1.因为n >0，所以3m 2－6m －1<0.因为m >1，所以1<m <1＋2 33<3.因为m ∈N *，所以m ＝2.此时n ＝－4m 23m 2－6m －1＝16.故存在满足题意的正整数m ，n ，且只有一组值， 即m ＝2，n ＝16.第6讲 直接证明与间接证明1．A 解析：反证法的步骤第一步是假设命题的反面成立，而“至少有一个实根”的否定是“没有实根”．故选A.2．C 解析：由题意，知b 2－ac <3a ⇐b 2－ac <3a 2⇐(a ＋c )2－ac <3a 2⇐a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇐－2a 2＋ac ＋c 2<0⇐2a 2－ac －c 2>0⇐(a －c )(2a ＋c )>0⇐(a －c )(a －b )>0.3．等边 解析：由题意，得2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.又b 2＝ac ，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac .∴a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －c )2＝0.∴a ＝c .∴A ＝C .∴A ＝B ＝C ＝π3.∴△ABC 为等边三角形．4．② 5.3 32解析：∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A ，B ，C ∈(0，π)．∴f (A )＋f (B )＋f (C )3≤f⎝⎛⎭⎫A ＋B ＋C 3＝f ⎝⎛⎭⎫π3.即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝3 32.∴sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为3 32.6．若①③④，则②(或若②③④，则①) 解析：依题意可得以下四个命题：(1)m ⊥n ，α⊥β，n ⊥β⇒m ⊥α；(2)m ⊥n ，α⊥β，m ⊥α⇒n ⊥β； (3)m ⊥n ，n ⊥β，m ⊥α⇒α⊥β；(4)α⊥β，n ⊥β，m ⊥α⇒m ⊥n . 不难发现，命题(3)(4)为真命题，而命题(1)(2)为假命题．7．lg 15＝3a －b ＋c 解析：如果lg 3＝2a －b 是正确的，那么lg 9＝2lg 3＝2(2a －b )＝4a －2b ；如果lg 3＝2a －b 是错误的，那么lg 9＝4a －2b 也是错误的，这与题意矛盾．反过来，lg 9＝4a －2b 也不是错误的，否则lg 3＝2a －b 是错误的．同样，如果lg 5＝a ＋c ，那么lg 8＝3lg 2＝3(1－lg 5)＝3(1－a －c )，如果lg 5＝a ＋c 是错误的，那么lg 8＝3－3a －3c ，也错误，这与题意矛盾；显然lg 8＝3－3a －3c 也不是错误的，否则lg 5＝a ＋c 也是错误的．∴lg 15＝lg(3×5)＝lg 3＋lg 5＝(2a －b )＋(a ＋c )＝3a －b ＋c .∴应将最后一个改正为lg 15＝3a －b ＋c .8．201 解析：由已知，若a ≠2正确，则a ＝0或a ＝1，即a ＝0，b ＝1，c ＝2或a ＝0，b ＝2，c ＝1或a ＝1，b ＝0，c ＝2或a ＝1，b ＝2，c ＝0均与“三个关系有且只有一个正确”矛盾；若b ＝2正确，则a ≠2正确，不符合题意；所以c ≠0正确，a ＝2，b ＝0，c ＝1，故100a ＋10b ＋c ＝201.9．解：(1)S 2·S 3＝(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36， 将a 1＝1代入上式，解得d ＝2或d ＝－5.∵公差d >0，∴d ＝2.∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.∴S n ＝(1＋2n －1)n 2＝n 2(n ∈N *)．(2)由(1)知，a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝[2m －1＋2(m ＋k )－1](k ＋1)2＝(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65.∵m ，k ∈N *，∴2m ＋k －1>1，k ＋1>1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋k －1＝5，k ＋1＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，k ＝12，(舍去)．或⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4.综上所述，m ＝5，k ＝4.10．(1)解：设等差数列{a n }的公差为d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝a 1＋2d ＝5，S 8＝8a 1＋28d ＝64，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2. 故所求的通项公式为a n ＝2n －1. (2)证明：由(1)可知，S n ＝n 2，要证原不等式成立，只需证1(n －1)2＋1(n ＋1)2>2n 2， 只需证[(n ＋1)2＋(n －1)2]n 2>2(n 2－1)2. 只需证(n 2＋1)n 2>(n 2－1)2. 只需证3n 2>1.而3n 2>1在n ≥1时恒成立，从而不等式1S n －1＋1S n ＋1>2S n(n ≥2，n ∈N *)恒成立．第7讲 数学归纳法1．B 2.D3．B 解析：n ＝1时，左边的最高次数为1，即最后一项为a ，左边是1＋a .4．D 解析：n ＝k 时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k 2，n ＝k ＋1时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.比较上述两个式子，当n ＝k ＋1时，等式的左边是在假设n ＝k 时等式成立的基础上，等式的左边加上了(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.5．D 解析：原等式共有5n 项，当n ＝1时，25－1＝24.故选D.6．D 解析：运用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n ＝2n －1＋22n －1(n ∈N ＋)，当n ＝k 时，则有1＋2＋3＋…＋2k ＝2k －1＋22k －1(k ∈N ＋)，左边表示的为2k ＋1项的和．当n ＝k ＋1时，则左边＝1＋2＋3＋…＋2k ＋(2k ＋1)＋…＋2k ＋1，表示的为2k ＋1＋1项的和，因此，增加了2k ＋1－2k ＝2k 项．7．A 解析：假设n ＝k 时，原式k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除，当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3，为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3.8.1(2k ＋1)(2k ＋2) 解析：求f (k ＋1)－f (k )即可．当n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k.当n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)＋(k ＋1).故左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1，即1(2k ＋1)(2k ＋2). 9．解：把n ＝1,2,3代入，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝24，4a ＋2b ＋c ＝44，9a ＋3b ＋c ＝70，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝11，c ＝10.猜想：等式1×22＋2×32＋…＋n (n ＋1)2＝ n (n ＋1)12(3n 2＋11n ＋10)对一切n ∈N *都成立．下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，由上面可知等式成立． (2)假设n ＝k 时等式成立， 即1×22＋2×32＋…＋k (k ＋1)2 ＝k (k ＋1)12(3k 2＋11k ＋10)，则1×22＋2×32＋…＋k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)2 ＝k (k ＋1)12(3k 2＋11k ＋10)＋(k ＋1)(k ＋2)2＝k (k ＋1)12(3k ＋5)(k ＋2)＋(k ＋1)(k ＋2)2＝(k ＋1)(k ＋2)12[k (3k ＋5)＋12(k ＋2)]＝(k ＋1)(k ＋2)12[3(k ＋1)2＋11(k ＋1)＋10]．∴当n ＝k ＋1时，等式也成立． 综合(1)(2)，对n ∈N *等式都成立．10．证明：(1)用数学归纳法证明x n >0， 当n ＝1时，x 1＝1>0. 假设当n ＝k 时，x k >0，那么当n ＝k ＋1时，若x k ＋1≤0，则0<x k <x k ＋1＋ln(1＋x k ＋1)≤0，矛盾，故x k ＋1>0. 因此x n >0(n ∈N *)，所以x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)>x n ＋1. 所以0<x n ＋1<x n (n ∈N *)．(2)由x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)>x n ＋1，得 x n x n ＋1－4x n ＋1＋2x n ＝x 2n ＋1－2x n ＋1＋(x n ＋1＋2)·ln(1＋x n ＋1)． 记函数f (x )＝x 2－2x ＋(x ＋2)ln(1＋x )(x ≥0)，又f ′(x )＝2x 2＋xx ＋1＋ln(1＋x )>0，函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增， 所以f (x )≥f (0)＝0. 因此x 2n ＋1－2x n ＋1＋(x n ＋1＋2)ln(1＋x n ＋1)＝f (x n ＋1)≥0，所以2x n ＋1－x n ≤x n x n ＋12(n ∈N *)．(3)因为x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)≤x n ＋1＋x n ＋1，所以x n ≥12n －1.由x n x n ＋12≥2x n ＋1－x n ，得1x n ＋1－12≥2⎝⎛⎭⎫1x n －12>0， 1x n －12≥2⎝⎛⎭⎫1x n －1－12≥…≥2n －1⎝⎛⎭⎫1x 1－12＝2n －2， 故x n ≤12n －2.综上所述，12n －1≤x n ≤12n －2(n ∈N *)。
第四章 平面向量第1讲 平面向量及其线性运算1．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．52．(2014年新课标Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.AD →B.12AD →C.BC →D.12BC →3．已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上4．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c 5．如图X4-1-1所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )图X4-1-1A.FO →B.OG →C.OH →D.EO →6．设点M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，点O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝( )A.OM → B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM →7．P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λP A →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( ) A ．△ABC 内部 B ．AC 边所在直线上C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上8．(2015年新课标Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.9．(2017年湖南长沙长郡中学统测)如图X4-1-2，在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN →＝12NC →，P 是BN 上一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为________．图X4-1-210．向量e 1，e 2不共线，AB →＝3(e 1＋e 2)，CB →＝e 2－e 1，CD →＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线．其中所有正确结论的序号为__________．11．设两个非零向量e 1和e 2不共线 ．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A ，C ，D 三点共线；(2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－k e 2，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值．12．如图X4-1-3，在△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于点F ，设AB →＝a ，AC→＝b ，AF →＝x a ＋y b ，求数对(x ，y )的值．图X4-1-3第2讲 平面向量基本定理及坐标表示1．(2015年辽宁沈阳质检)已知在▱ABCD 中，AD →＝(2,8)，AB →＝(－3,4)，则AC →＝( ) A ．(－1，－12) B ．(－1,12) C ．(1，－12) D ．(1,12)2．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)3．如图X4-2-1，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2P A →，则( )图X4-2-1A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝144．若向量α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2) 5．(2016年湖南怀化一模)如图X4-2-2，在△ABC 中，D 为AB 的中点，F 在线段CD 上，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则1x ＋2y的最小值为( )图X4-2-2A ．8＋2 2B ．8C ．6D ．6＋2 26．(2016年山西晋中四校联考)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.7．(2017年江苏)如图X4-2-3，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1,1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R ), 则m ＋n ＝________.图X4-2-38．如图X4-2-4，A ，B 分别是射线OM ，ON 上的点，给出下列以O 为起点的向量：①OA →＋2OB →；②12OA →＋13OB →；③34OA →＋13OB →；④34OA →＋15OB →；⑤34OA →＋BA →＋23OB →.其中终点落在阴影区域内的向量的序号是__________(写出满足条件的所有向量的序号)．图X4-2-49．如图X4-2-5，已知点A (1,0)，B (0,2)，C (－1，－2)，求以A ，B ，C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标．图X4-2-510．(2016年广西南宁模拟)如图X4-2-6，已知△OCB 中，A 是CB 的中点，D 是将OB →分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．图X4-2-6第3讲 平面向量的数量积1．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．2 3 B.3 C ．0 D ．－ 32．(2015年广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2,1)，则AD →·AC →＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5 3．(2017年浙江)如图X4-3-1，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )图X4-3-1A ．I 1<I 2<I 3B ．I 1<I 3<I 2C ．I 3<I 1<I 2D ．I 2<I 1<I 3 4．如图X4-3-2，已知在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝( )图X4-3-2A ．1 B. 3 C. 5 D.75．(2016年辽宁大连模拟)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 6．(2016年新课标Ⅰ)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m ＝____________.7．已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是____________________．8．(2017年广东深圳一模)已知向量p ＝()1，2，q ＝()x ，3，若p ⊥q ，则|p ＋q |＝__________.9．(2016年山东)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)．若a ⊥(t a ＋b )，则实数t 的值为________．10．(2017年山东)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．11．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |和|a －b |；(3)若AB →＝a ，AC →＝b ，作△ABC ，求△ABC 的面积．12．已知平面上有三点A ，B ，C ，且向量BC →＝(2－k,3)，AC →＝(2,4)． (1)若点A ，B ，C 不能构成三角形，求实数k 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，求k 的值．第4讲 平面向量的应用举例1．(2016年湖北优质高中联考)已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k ，－2)，若(a －c )∥b ，则向量a 与向量c 的夹角的余弦值是( )A.55B.15 C ．－55 D. －15 2．(2017年广西南宁第二次适应性测试)线段AD ，BE 分别是边长为2的等边三角形ABC在边BC ，AC 边上的高，则AD →·BE →＝( )A ．－32 B.32 C ．－3 32 D.3 323．在平行四边形ABCD 中，AD ＝2，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AD →·BE →＝1，则AB 的长为________．4．(2014年新课标Ⅰ)已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为__________．5．(2014年江苏)如图X4-4-1，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →＝______.图X4-4-16．(2015年安徽)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是__________．(写出所有正确结论的序号)①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC →. 7．(2015年天津)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →， 则AE →·AF →的值为________．8．(2015年上海)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⊥b ，且{|a|，|b|，|c|}＝{1,2,3}，则|a ＋b＋c|的最大值是____________．9．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a·b . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．10．如图X4-4-2，已知点P (4,4)，圆C ：(x －m )2＋y 2＝5(m <3)与椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)有一个公共点A (3,1)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C 相切．(1)求m 的值与椭圆E 的方程；(2)设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AP →·AQ →的取值范围．图X4-4-2第四章 平面向量第1讲 平面向量及其线性运算1．B 解析：由MA →＋MB →＋MC →＝0可知，点M 为△ABC 的重心，故AM →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)．所以AB →＋AC →＝3AM →，即m ＝3. 2．A 解析：设AB →＝a ，AC →＝b ，则EB →＝－12b ＋a ，FC →＝－12a ＋b ，从而EB →＋FC →＝⎝⎛⎭⎫－12b ＋a ＋⎝⎛⎭⎫－12a ＋b ＝12(a ＋b )＝AD →.故选A. 3．B 解析：因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →.所以点P 在线段AB 的反向延长线上．故选B.4．A 解析：∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝2(AC →－AD →)．∴3AD →＝2AC →＋AB →.∴AD →＝23AC →＋13AB→＝23b ＋13c . 5．A 解析：如图D108，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形，OP →＋OQ →＝OA →＝FO →.图D1086．D 解析：如图D109，∵点M 为AC ，BD 的中点，∴OA →＋OC →＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →.∴OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OM →.图D1097．B 解析：∵CB →＝PB →－PC →，CB →＝λP A →＋PB →， ∴PB →－PC →＝λP A →＋PB →.∴－PC →＝λP A →. ∴PC →∥P A →，即PC →与P A →共线．∴点P 一定在AC 边所在直线上．故选B.8.12 解析：因为向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以λa ＋b ＝k (a ＋2b )．则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，1＝2k .所以λ＝12. 9.13 解析：由AN →＝12NC →，知N 是AC 的三等分点． ∵AP →＝mAB →＋29AC →＝mAB →＋23AN →，∵B ，P ，N 三点共线，∴m ＋23＝1，即m ＝13.10．④ 解析：由AC →＝AB →－CB →＝4e 1＋2e 2＝2CD →，且AB →与CB →不共线，可得A ，C ，D 共线，且B 不在此直线上．11．(1)证明：∵AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，∴AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2＝－12(－8e 1－2e 2)＝－12C D →.∴AC →与CD →共线．∵AC →与CD →有公共点C ，∴A ，C ，D 三点共线．(2)解：AC →＝AB →＋BC →＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2.∵A ，C ，D 三点共线，∴AC →与CD →共线．从而存在实数λ使得AC →＝λCD →，即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)．∴⎩⎨⎧3＝2λ，－2＝－λk .解得⎩⎨⎧λ＝32，k ＝43.12．解：方法一，令BF →＝λBE →，由题意知，AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ⎝⎛⎭⎫12AC →－AB →＝(1－λ)AB →＋12λAC →.同理，令CF →＝μCD →，则AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋μCD →＝AC →＋μ⎝⎛⎭⎫12AB →－AC →＝12μAB →＋(1－μ)AC →. ∴⎩⎨⎧1－λ＝12μ，12λ＝1－μ.解得⎩⎨⎧λ＝23，μ＝23.∴AF →＝13AB →＋13AC →.故⎝⎛⎭⎫13，13为所求． 方法二，设CF →＝λCD →，∵E ，D 分别为AC ，AB 的中点，∴BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋12b ，BF →＝BC →＋CF →＝(b －a )＋λ⎝⎛⎭⎫12a －b ＝⎝⎛⎭⎫12λ－1a ＋(1－λ)b . ∵BE →与BF →共线，a ，b 不共线， ∴12λ－1－1＝1－λ12.∴λ＝23.∴AF →＝AC →＋CF →＝b ＋23CD →＝b ＋23⎝⎛⎭⎫12a －b ＝13a ＋13b . 故x ＝13，y ＝13.则⎝⎛⎭⎫13，13即为所求． 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示1．B 解析：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →＝(－1,12)． 2．B 解析：由题意知，A 选项中e 1＝0，C ，D 选项中两向量均共线，都不符合基底条件．故选B.3．A 解析：由题意知，OP →＝OB →＋BP →.又BP →＝2P A →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →.所以x ＝23，y ＝13.4．D 解析：∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)， 即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)．令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)．5．B 解析：因为D 为AB 的中点，所以AB →＝2AD →.因为AF →＝x a ＋y b ，所以AF →＝2xAD →＋yAC →.因为F 在线段CD 上，所以2x ＋y ＝1.又x ，y >0，所以1x ＋2y ＝(2x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＝4＋y x ＋4x y ≥4＋2 y x ·4x y ＝8，当且仅当y ＝2x ＝12时取等号，所以1x ＋2y 的最小值为8.6.43解析：选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底， 则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →.又AC →＝λAE →＋μAF →＝⎝⎛⎭⎫12λ＋μAB →＋⎝⎛⎭⎫λ＋12μAD →， 于是⎩⎨⎧12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1.解得⎩⎨⎧λ＝23，μ＝23.所以λ＋μ＝43.7．3 解析：由tan α＝7，得sin α＝7 210，cos α＝210.根据向量的分解，易得⎩⎪⎨⎪⎧n cos 45°＋m cos α＝2，n sin 45°－m sin α＝0，⎩⎨⎧22n ＋210m ＝2，22n －7 210m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧5n ＋m ＝10，5n －7m ＝0，解得⎩⎨⎧m ＝54，n ＝74，所以m ＋n ＝3.8．①③ 解析：作图，OA →＋2OB →终点显然落在阴影区域内；12OA →＋12OB →终点落在AB上，故12OA →＋13OB →终点落在△OAB 内；34OA →＋14OB →终点落在AB 上，故34OA →＋13OB →终点落在阴影区域内，34OA →＋15OB →终点落在△OAB 内；34OA →＋BA →＋23OB →＝74OA →－13OB →，终点显然落在阴影区域外．9．解：如图D110，以A ，B ，C 为顶点的平行四边形可以有三种情况：图D110①▱ABCD ；②▱ADBC ；③▱ABDC . 设D 的坐标为(x ，y )，①若是▱ABCD ，则由AB →＝DC →，得 (0,2)－(1,0)＝(－1，－2)－(x ，y )， 即(－1,2)＝(－1－x ，－2－y )．∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1－x ＝－1，－2－y ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－4.∴点D 的坐标为(0，－4)(如图D110所示的点D 1)．②若是▱ADBC ，由CB →＝AD →，得 (0,2)－(－1，－2)＝(x ，y )－(1,0)， 即(1,4)＝(x －1，y )，解得x ＝2，y ＝4. ∴点D 的坐标为(2,4)(如图中所示的点D 2)．③若是▱ABDC ，则由AB →＝CD →，得 (0,2)－(1,0)＝(x ，y )－(－1，－2)， 即(－1,2)＝(x ＋1，y ＋2)． 解得x ＝－2，y ＝0.∴点D 的坐标为(－2,0)(如图D110所示的D 3)．∴以A ，B ，C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标为(0，－4)或(2,4)或(－2,0)．10．解：(1)由题意，知A 是CB 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →.所以OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由题意，知EC →∥DC →，故设EC →＝xDC →.因为EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b ，所以(2－λ)a －b ＝x ⎝⎛⎭⎫2a －53b . 因为a 与b 不共线，由平面向量基本定量，得⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2x ，－1＝－53x .解得⎩⎨⎧x ＝35，λ＝45.故λ＝45.第3讲 平面向量的数量积1．B 解析：由题意，得cos π6＝a ·b |a||b|＝3＋3m 232＋m 2＝32.解得m ＝ 3.故选B.2．D 解析：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)．所以AD →·AC →＝2×3＋1×(－1)＝5.故选D. 3．C 解析：因为∠AOB ＝∠COD >90°，所以OB →·OC →>0>OA →·OB →>OC →·OD →(理由OA <OC ，OB <OD )．故选C.4．A 解析：AE →·BD →＝(AD →＋DE →)·(AD →－AB →)＝⎝⎛⎭⎫AD →＋12AB →·(AD →－AB →)＝AD →2－12AB →·AD →－12AB →2＝22－12×2×2×12－12×22＝1.5．C 解析：∵|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |， ∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝4a 2. ∴a ⊥b ，b 2＝3a 2.∴cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝a 2－b 2|a ＋b ||a －b |＝－12.∴向量a ＋b 与a －b 的夹角是2π3.故选C.6．－2 解析：由|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a ⊥b .所以m ×1＋1×2＝0.解得m ＝－2.7．(－∞，－6)∪⎝⎛⎭⎫－6，32 解析：由a ·b <0，得2λ－3<0，解得λ<32.由a ∥b ，得6＝－λ，即λ＝－6.因此λ的取值范围是λ<32，且λ≠－6.8．5 2 解析：因为p ⊥q ，所以，x ＋6＝0，即x ＝－6. 因为p ＋q ＝(－5,5)，所以|p ＋q |＝5 2.9．－5 解析：t a ＋b ＝(6＋t ，－4－t )，(t a ＋b )·a ＝(6＋t ，－4－t )·(1，－1)＝2t ＋10＝0，解得t ＝－5.10.33解析：(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)＝3e 21＋3λe 1·e 2－e 1·e 2－λe 22＝3－λ，|3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝2，|e 1＋λe 2|＝(e 1＋λe 2)2＝e 21＋2λe 1·e 2＋λ2e 22＝1＋λ2，∴3－λ＝2×1＋λ2×cos 60°＝1＋λ2.解得λ＝33.11．解：(1)由(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， 得4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.∵|a |＝4，|b |＝3，代入上式，求得a ·b ＝－6. ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12.又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°. (2)可先平方转化为向量的数量积． |a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a ＋b |＝13. 同理，|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝37.(3)先计算a ，b 夹角的正弦，再用面积公式求值．由(1)知∠BAC ＝θ＝120°，|AB →|＝|a |＝4，|AC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12×|AC →|×|AB →|×sin ∠BAC ＝12×3×4×sin 120°＝3 3.12．解：(1)由点A ，B ，C 不能构成三角形，得A ，B ，C 在同一条直线上，即向量BC →与AC →平行．∵BC →∥AC →，∴4(2－k )－2×3＝0，解得k ＝12.(2)∵BC →＝(2－k,3)，∴CB →＝(k －2，－3)． ∴AB →＝AC →＋CB →＝(k,1)．∵△ABC 为直角三角形，则①当∠BAC 是直角时，AB →⊥AC →，即AB →·AC →＝0. ∴2k ＋4＝0.解得k ＝－2.②当∠ABC 是直角时，AB →⊥BC →，即AB →·BC →＝0. ∴k 2－2k －3＝0.解得k ＝3或k ＝－1.③当∠ACB 是直角时，AC →⊥BC →，即AC →·BC →＝0. ∴16－2k ＝0.解得k ＝8.综上所述，k ∈{－2，－1,3,8}．第4讲 平面向量的应用举例1．A 解析：a －c ＝(3－k,3)，因为(a －c )∥b ，所以(3－k )×3＝3×1.解得k ＝2.当k ＝2时，cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝410×2 2＝55.故选A.2．A 解析：由等边三角形的性质，得|AD →|＝|BE →|＝3，〈AD →，BE →〉＝120°，所以AD →·BE→＝|AD →||BE →|·cos 〈AD →，BE →〉＝3×3×⎝⎛⎭⎫－12＝－32.故选A. 3．6 解析：BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12AB →，AD →·BE →＝AD →·⎝⎛⎭⎫AD →－12AB →＝AD →2－12AD →·AB →＝|AD →|2－12|AD →|×|AB →|cos 60°＝4－12×2|AB →|×cos 60°＝1，则AB 的长为6.4．90° 解析：AO →＝12(AB →＋AC →)，则O 为BC 的中点，直角三角形斜边的中线长等于斜边长的一半，所以AB →与AC →垂直．5．22 解析：由题意，得AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →，所以AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋14AB →·⎝⎛⎭⎫AD →－34AB → ＝AD →2－12AD →·AB →－316AB →2，即2＝25－12AD →·AB →－316×64.解得AB →·AD →＝22.6．①④⑤ 解析：∵△ABC 是边长为2的等边三角形，AB →＝2a ，|AB →|＝2|a |＝2，|a |＝1，故①正确；AC →＝AB →＋BC →＝2a ＋b ，∵AB →＝2a ，∴BC →＝b .∴|b |＝2，故②错误且④正确；∵AB →＝2a ，BC →＝b ，∴a 与b 的夹角为120°，故③错误；(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋b 2＝4×1×2×⎝⎛⎭⎫－12＋22＝0，∴(4a ＋b )⊥BC →，故⑤正确． 7.2918 解析：在等腰梯形ABCD 中，由AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，得AD →·BC →＝12，AB →·AD →＝1，DC →＝12AB →，所以AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·(AD →＋DF →)＝⎝⎛⎭⎫AB →＋23BC →·⎝⎛⎭⎫AD →＋112AB →＝AB →·AD →＋23BC →·AD →＋112AB 2→＋118BC →·AB →＝1＋13＋13－118＝2918.8．3＋5 解析：因为a ⊥b ，设a ＝(1,0)，b ＝(0,2)，c ＝(3cos θ，3sin θ)，θ∈[0,2π)，所以a ＋b ＋c ＝(1＋3cos θ，2＋3sin θ)．所以|a ＋b ＋c|2＝(1＋3cos θ)2＋(2＋3sin θ)2＝14＋6 5sin(θ＋φ)，其中sin φ＝66 5＝55. 所以当sin(θ＋φ)＝1时，|a ＋b ＋c|取得最大值，即14＋6 5＝3＋ 5.9．解：(1)f (x )＝a·b ＝cos x ·3sin x －12cos 2x＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 最小正周期T ＝2π2＝π.所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，最小正周期为π. (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，由函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的图象知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤f (0)，f ⎝⎛⎭⎫π3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－121. 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值分别为1，－12. 10．解：(1)将点A (3,1)代入圆C 方程，得(3－m )2＋1＝5. ∵m ＜3，∴m ＝1，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝5. 设直线PF 1的斜率为k ，则PF 1：y ＝k (x －4)＋4，即kx －y －4k ＋4＝0. ∵直线PF 1与圆C 相切，C (1,0)，∴|k －0－4k ＋4|k 2＋1＝ 5.解得k ＝112或k ＝12.当k ＝112时，直线PF 1与x 轴交点的横坐标为3611，不合题意；当k ＝12时，直线PF 1与x轴交点的横坐标为－4.∴|OF 1|＝c ＝4，即F 1(－4,0)，F 2(4,0)． ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝5 2＋2＝6 2.∴a ＝3 2，a 2＝18，b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆E 的方程为x 218＋y 22＝1.(2)AP →＝(1,3)，设Q (x ，y )，则AQ →＝(x －3，y －1)， AP →·AQ →＝(x －3)＋3(y －1)＝x ＋3y －6. ∵x 218＋y 22＝1，即x 2＋(3y )2＝18. ∴x 2＋(3y )2≥2|x ||3y |，∴－18≤6xy ≤18.则(x ＋3y )2＝x 2＋(3y )2＋6xy ＝18＋6xy ∈[0,36]，即x ＋3y ∈[－6,6]． ∴AP →·AQ →的取值范围是[－12,0]．。
第九章概率与统计第1讲计数原理与排列组合1．(2016年四川)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为() A．24 B．48C．60 D．722．(2016年新课标Ⅱ)如图X9-1-1，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()图X9-1-1A．24条B．18条C．12条D．9条3．(2014年大纲)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A．60种B．70种C．75种D．150种4．(2014年重庆)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72种B．120种C．144种D．168种5．(2015年四川)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A．144个B．120个C．96个D．72个6．(2015年广东)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了____条毕业留言．(用数字作答)7．(2014年北京)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有____________种．8．从3名骨科，4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法有______种．(用数字作答)9．(2017年浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______中不同的选法．(用数字作答) 10．(2017年天津)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有__________个．(用数字作答)第2讲 二项式定理1．(2016年四川)设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4 B ．15x 4 C ．－20i x 4 D ．20i x 42．已知⎝⎛⎭⎫x 2＋1x n 的二项展开式的各项系数之和为32，则二项展开式中x 的系数为( ) A ．5 B ．10 C ．20 D ．40 3．(2015年陕西)二项式(x ＋1)n (n ∈N *)的展开式中x 2的系数为15，则n ＝( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．74．(2013年新课标Ⅱ)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－15．(2013年新课标Ⅰ)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8 6．(2015年湖北)已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．212B ．211C ．210D ．29 7．(2017年广东广州二模)设(x －2y )5(x ＋3y )4＝a 9x 9＋a 8x 8y ＋a 7x 7y 2＋…＋a 1xy 8＋a 0y 9，则a 0＋a 8＝__________.8．(2014年新课标Ⅱ)(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________.(用数字作答)9．(2017年浙江)已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x 1＋a 5，则a 4＝________，a 5＝________.10．(2015年新课标Ⅱ)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.11．(2015年上海)在⎝⎛⎭⎫1＋x ＋1x 201510的展开式中，x 2项的系数为________．(结果用数值表示)12．设(3x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4. (1)求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4； (2)求a 0＋a 2＋a 4； (3)求a 1＋a 3；(4)求a 1＋a 2＋a 3＋a 4；(5)求各项二项式系数的和．第3讲 随机事件的概率1．对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测，数据如下：抽取台数/台50 100 200 300 500 1000 优等品数/台47 92 192 285 478 954 A ．0.92 B ．0.94 C ．0.95 D ．0.962．抽查10件产品，设事件A ：至少有2件次品，则A 的对立事件为( ) A ．至多有2件次品 B ．至多有1件次品 C ．至多有2件正品 D ．至多有1件正品3．(2017年广东惠州三模)甲、乙等4人在微信群中每人抢到一个红包，金额为3个1元，1个5元，则甲、乙的红包金额不相等的概率为( )A.14B.12C.13D.34 4．(2014年新课标Ⅰ)4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18B.38C.58D.785．甲、乙两人玩数字游戏，先由甲任想一数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b ，且a ，b ∈{1,2,3}，若|a －b |≤1，则称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A.13B.59C.23D.796．在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目．若选到女同学的概率为23，则这班参加聚会的同学的人数为( )A ．12B ．18C ．24D ．327．从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取两个数的乘积为6的概率为__________．8．(必修3P121第5题)(1)从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取1张，判断下列给出的每对事件，互斥事件为________，对立事件为________．①“抽出红桃”与“抽出黑桃”； ②“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；③“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．9．(2013年大纲)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率．10．(2015年湖南)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球，则中奖，否则不中奖．(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．11．(2015年新课标Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：6273819295857464537678869566977888827689B地区：7383625191465373648293486581745654766579(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图(如图X9-1-1)比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，得出结论即可)；图X9-1-1(2)户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．12．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔(1)(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．第4讲 古典概型1．(2017年广东茂名一模)在{1,3,5}和{2,4}两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数能被4整除的概率是( )A.13B.12C.16D.14 2．(2016年云南统测)在2,0,1,5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为( )A.34B.58C.12D.14 3．(2014年陕西)从正方形4个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )A.15B.25C.35D.454．一个袋子中有5个大小、质地都相同的球，其中3个白球与2个黑球，现从袋中任意取出1个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出1个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为( )A.35B.310C.12D.625 5．(2014年新课标Ⅱ)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．6．(2016年上海)某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______．7．(2017年广东广州一模)五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为( )A.12B.1532C.1132D.516 8．(2016年四川)从2,3,8,9任取两个不同的数值，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率＝______.9．(2015年山东)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(项目 参加书法社团 未参加书法社团参加演讲社团8 5 未参加演讲社团2 30 (1)(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5,3名女同学B 1，B 2，B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率．10．(2016年山东)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图X9-4-1所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．图X9-4-1第5讲 几何概型1．函数f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈[－1, 3]，则任取一点x 0∈[－1, 3]，使得f (x 0)≥0的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.232．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为( )A.16B.13C.23D.453．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.14B.12C.34D.784．(2015年陕西)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.12＋1π C.14－12π D.12－1π 5．(2015年福建)如图X9-5-1，在矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于( )图X9-5-1A.16B.14C.38D.126．(2016年江西九江模拟)有一个底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.13B.32C.23D.12 7．(2016年山东)在[－1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________．8．如图X9-5-2，∠AOB ＝60°，OA ＝2，OB ＝5，在线段OB 上任取一点C ，则△AOC为钝角三角形的概率为________．图X9-5-2甲商场：顾客转动如图X9-5-3所示的圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计)即为中奖．乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖，问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？10．设事件A表示“关于x的方程x2＋2ax＋b2＝0有实数根”．(1)若a，b∈{1,2,3}，求事件A发生的概率P(A)；(2)若a，b∈[1,3]，求事件A发生的概率P(A)．第6讲 离散型随机变量及其分布列1．随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P (ξ＝k )＝ak (k ＝1,2，…，10)，则a 值为( )A.1110B.155C ．110D ．55 2．若随机变量则当P (X ＜a )A ．(－∞，2] B ．[1,2] C ．(1,2] D ．(1,2)3．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)4．一袋中装有大小、质地都相同，且编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的8个球，从中有放回地每次取1个球，共取2次，则取得2个球的编号之和不小于15的概率为( )A.132B.164C.332D.3645．在一次考试的5道题中，有3道理科题和2道文科题，如果不放回的依次抽取2道题，则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为________．6．某次知识竞赛的规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于______．7．从装有3个红球，2个白球的袋中(所有的球除颜色外都相同)随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的概率分布为____________________．8．在一个口袋中装有黑、白2个球(2个球除颜色外都相同)，从中随机取1球，记下它的颜色，然后放回，再取1球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为________．9．(2016年辽宁沈阳模拟)某学校的三个学生社团的人数分布如下表(每名学生只能参加一个社团)：取18人，结果拳击社被抽出了6人．(1)求拳击社团被抽出的6人中有5人是男生的概率； (2)设拳击社团有X 名女生被抽出，求X 的分布列．10．(2016年辽宁大连质检)某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为12，13，23.(1)求该高中获得冠军个数X的分布列；(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分Y的分布列．第7讲 离散型随机变量的均值与方差1．已知ξ的分布列为：则D (ξ)＝( )A ．0.7B ．0.61C ．－0.3D ．02．(2016年四川)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是________．3．(2015年上海)赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金(单位：元)；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金(单位：元)．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则E (ξ1)－E (ξ2)＝________(元)．4．(2015年广东)已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________.5．(2016年山东济南模拟)现有10张奖券，8张2元的，2张5元的，某人从中随机地、不放回地抽取3张，则此人所得奖金额的数学期望是( )A ．6B ．7.8C ．9D ．126．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表，请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处7.(2017年宁夏大学附中统测)某人射击一次击中目标概率为35，经过3次射击，记X 表示击中目标的次数，则方差D (X )＝( )A.1825B.625C.35D.95 8．(2016年河北石家庄调研)为检测某产品的质量，现抽取5件产品，测量产品中微量元素x ，y 的含量(5件产品中，随机抽取2件，则抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列为______________．9．(2016年新课标Ⅱ)某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为(1)(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．10．(2016年山东潍坊一模)某次数学测验共有10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定；每选对1道题得5分，不选或选错得0分．某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道题能排除两个错误选项，另2道只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响．(1)求该考生本次测验选择题得50分的概率；(2)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望．第8讲 正态分布1．(2015年广东湛江一模)设随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，若P (ξ＜2a －3)＝P (ξ＞a ＋2)，则a 的值为( )A.73B.53C ．5D ．3 2．设随机变量X ～N (3,1)，若P (X ＞4)＝p ，则P (2≤X ≤4)＝( ) A.12＋p B ．1－p C ．1－2p D.12－p 3．已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，P (ξ>3)＝0.023，则P (－3≤ξ≤3)＝( ) A ．0.477 B ．0.628 C ．0.954 D ．0.9774．在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布N (100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则ξ在(0,80)内的概率为( )A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.2 5．(2016年河南郑州质检)已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ≤－2)＝( )A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.84 6．(2015年湖南)在如图X9-8-1所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分[曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线]的点的个数的估计值为( )A ．2386B ．2718C ．3413D ．4772图X9-8-1 图X9-8-27．某个部件由三个元件按图X9-8-2的方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：时)均服从正态分布N (1000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________．8．(2016年江西南昌模拟)某市教育局为了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X 服从正态分布N (80，σ2)(满分为100分)，已知P (X ＜75)＝0.3，P (X ≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取三位同学．(1)求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[80,85)，[85,95)，[95,100]各有一位同学的概率；(2)记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[75,85]的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．9．(2017年广东肇庆一模)某市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N(168,16)．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160 cm和184 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160,164)，第2组[164,168)，…，第6组[180,184]，如图X9-8-4是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)试估计该校高三年级男生的平均身高；(2)求这50名男生中身高在172 cm以上(含172 cm)的人数；(3)从(2)中身高在172 cm以上(含172 cm)的男生里任意抽取2人，将这2人身高纳入全市排名(从高到低)，能进入全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．[参考数据：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝0.9545，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝0.9973]图X9-8-4第9讲 随机抽样1．(2016年河北唐山模拟)在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本：①采用简单随机抽样法，将零件编号为00,01,02，…，99，抽取20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后从每组中随机抽取1个； ③采用分层抽样法，随机从一级品中抽取4个，二级品中抽取6个，三级品中抽取10个．则( )A ．不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是15B ．①②两种抽样方法中，这100个零件每个被抽到的概率都是15，③并非如此C ．①③两种抽样方法中，这100个零件每个被抽到的概率都是15，②并非如此D ．采用不同的抽样方法，这100个零件每个被抽到的概率各不相同 2．(2015年北京)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查( )A.90 B ．100 C ．180 D 3．将参加英语口语测试的1000名学生编号为000,001,002，…，999，从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组编号为000,001,002，…，019，且第一组随机抽取的编号为015，则抽取的第35个编号为( )A ．700B ．669C ．695D ．6764．用系统抽样法(按等距离的规则)，要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按此抽签方法确定的号码是( )A ．7B ．5C ．4D ．35．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270，使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250； ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265； ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254； ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.关于上述样本的下列结论中，正确的是( ) A ．②③都不能为系统抽样 B ．②④都不能为分层抽样 C ．①④都可能为系统抽样D ．①③都可能为分层抽样6．某工厂在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 构成等差数列，则第二车间生产的产品数为( )A ．800B ．1000C ．1200D ．15007．将某班参加社会实践编号为：1,2,3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知5号，21号，29号，37号，45号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是________．8．利用简单随机抽样，从n 个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为13，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为________．9．200名职工年龄分布如图X9-9-1，从中随机抽40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1～200编号为40组，分别为1～5,6～10，…，196～200，第5组抽取号码为22，第8组抽取号码为________．若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取________人．图X9-9-110．一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同．若m ＝8，则在第8组中抽取的号码是________．11．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100(1)(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？(3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．12．(2017年北京)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图X9-9-2：图X9-9-2(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．第10讲用样本估计总体1．(2015年安徽)若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为()A．8 B．15 C．16 D．322．(2016年山东)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图X9-10-1所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20), [20,22.5), [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()图X9-10-1A．56 B．60 C．120 D．1403．(2017年新课标Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图X9-10-2.图X9-10-2根据该折线图，下列结论错误的是()A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．(2017年湖南岳阳一中统测)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图X9-10-3，假设得分的中位数为m e，众数为m o，则()图X9-10-3A．m e＝m o B．m o＜m eC．m e＜m o D．不能确定5．(2015年山东)为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图X9-10-4所示的茎叶图．考虑以下结论：图X9-10-4①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为()A．①③B．①④C．②③D．②④6．某公司10名员工的月工资(单位：元)为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为x和s2，若从下月起每名员工的月工资增加100元，则这10名员工下月工资的均值和方差分别为()A.x，s2＋1002B.x＋100，s2＋1002C.x，20D.x＋100，s27．在样本频率分布直方图中，共有5个小长方形，已知中间一个小长方形的面积是其余4个小长方形面积之和的13，且中间一组的频数为10，则这个样本的容量是________．8．(2016年江苏)已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是____________．9．(2017年湖南长沙雅礼中学质检)已知甲、乙两组数据如茎叶图X9-10-5，若两组数据的中位数相同，平均数也相同，则m＋n＝________.图X9-10-510．(2016年山东济宁二模)在某校统考中，甲、乙两班数学学科前10名的成绩如图X9-10-6.(1)已知甲班10名同学数学成绩的中位数为125，乙班10名同学数学成绩的平均分为130，求x，y的值；(2)设定分数在135分之上的学生为数学尖优生，从甲、乙两班的所有数学尖优生中任取两人，求两人在同一班的概率．图X9-10-611．(2016年四川)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100户居民每户的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5), [0.5,1)，……[4,4.5]分成9组，制成了如图X9-10-7所示的频率分布直方图．图X9-10-7(1)求直方图中的a值；(2)设该市有30万户居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的户数，说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数．12．(2016年北京)某市民用水拟实行阶梯水价，每户用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10 000户居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图X9-10-8所示的频率分布直方图．图X9-10-8(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费．。
四函数、不等式中的恒成立问题1．(2017年广东揭阳二模)已知函数f(x)＝2135214114()log()x x xx x⎧-+-⎪⎪⎨⎪->⎪⎩≤,,g(x)＝|A－2|·sin x(x∈R)，若对任意的x1，x2∈R，都有f(x1)≤g(x2)，则实数A的取值范围为()A.⎝⎛⎦⎤－∞，94 B.⎣⎡⎭⎫74，＋∞C.⎣⎡⎦⎤74，94 D.⎝⎛⎦⎤－∞，74∪⎣⎡⎭⎫94，＋∞2．(2016年河北衡水调研)设过曲线f(x)＝－e x－x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g(x)＝ax＋2cos x上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为()A．[－1,2] B．(－1,2) C．[－2,1] D．(－2,1)3．(2014年辽宁)当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是()A．[－5，－3] B.⎣⎡⎦⎤－6，－98C．[－6，－2] D．[－4，－3]4．设0＜a≤1，函数f(x)＝x＋a2x，g(x)＝x－ln x，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f(x1)≥g(x2)成立，则实数a的取值范围是________．5．(2015年新课标Ⅰ)设函数f(x)＝e2x－a ln x.(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；(2)证明：当a＞0时，f(x)≥2a＋a ln2a.6．已知f(x)＝2ax－bx＋ln x在x＝1与x＝12处都取得极值．(1)求a，b的值；(2)设函数g(x)＝x2－2mx＋m，若对任意的x1∈⎣⎡⎦⎤12，2，总存在x2∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得g(x1)≥f(x2)－ln x2，求实数m的取值范围．7．已知函数f (x )＝ax 2＋ln x (a ∈R )．(1)当a ＝12时，求f (x )在区间[1，e]上的最大值和最小值；(2)如果函数g (x )，f 1(x )，f 2(x )，在公共定义域D 上，满足f 1(x )<g (x )<f 2(x )，那么就称g (x )为f 1(x )，f 2(x )的“活动函数”．已知函数f 1(x )＝⎝⎛⎭⎫a －12x 2＋2ax ＋(1－a 2)ln x ，f 2(x )＝12x 2＋2ax .若在区间(1，＋∞)内，函数f (x )是f 1(x )，f 2(x )的“活动函数”，求实数a 的取值范围．8．(2014年天津)已知函数f (x )＝x 2－23ax 3(a ＞0)，x ∈R .(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)若对于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1.求实数a 的取值范围．．专题四 函数、不等式中的恒成立问题1．C 解析：对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)⇔f (x )max ≤g (x )min .注意到f (x )max ＝f (1)＝－14.又g (x )＝|A －2|sin x ≥－|A －2|，故－|A －2|≥－14⇒|A －2|≤14⇒74≤A ≤94.2．A 解析：由题意，得∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得(－e x 1－1)(a －2sin x 2)＝－1，即函数y ＝11e 1x +的值域为函数y ＝a －2sin x 2的值域的子集，从而(0,1)⊆[a －2，a ＋2]，即a －2≤0，a ＋2≥1⇒－1≤a ≤2.故选A.3．C 解析：关于x 的不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0可变形为ax 3≥x 2－4x －3.当x ＝0时，0≥－3，故实数a 的取值范围是R ；当x ∈(0,1]时，a ≥x 2－4x －3x 3恒成立，记f (x )＝x 2－4x －3x 3，f ′(x )＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－(x ＋1)(x －9)x 4>0成立，故函数f (x )单调递增，f (x )max ＝f (1)＝－6，故a ≥－6；当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－20时，a ≤x 2－4x －3x 3恒成立，记f (x )＝x 2－4x －3x 3，f ′(x )＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－(x ＋1)(x －9)x 4，当x ∈[－2，－1)时，f ′(x )<0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0.故f (x )min ＝f (－1)＝－2，故a ≤－2.综上所述，实数a 的取值范围是[－6，－2]．4．[e －2，1] 解析：f ′(x )＝1－a 2x 2＝x 2－a2x2，当0＜a ≤1，且x ∈[1，e]时，f ′(x )＞0，∴f (x )在区间[1，e]上是增函数，f (x 1)min ＝f (1)＝1＋a 2.又g ′(x )＝1－1x(x ＞0)，易求g ′(x )＞0，∴g (x )在区间[1，e]上是增函数，g (x 2)max ＝g (e)＝e －1.由条件知只需f (x 1)min ≥g (x 2)max .即1＋a 2≥e －1.∴a 2≥e －2.即e －2≤a ≤1.5．(1)解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －ax (x >0)．当a ≤0时，f ′(x )>0，f ′(x )没有零点；当a >0时，设u (x )＝e 2x ，v (x )＝－ax，因为u (x )＝e 2x 在区间(0，＋∞)内单调递增，v (x )＝－ax 在(0，＋∞)内单调递增，所以f ′(x )在(0，＋∞)内单调递增．又f ′(a )>0，当b 满足0<b <a 4且b <14时，f ′(b )<0，故当a >0时，f ′(x )存在唯一零点．(2)证明：由(1)，可设f ′(x )在区间(0，＋∞)内的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在区间(x 0，＋∞)内单调递增，所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0)．由于202e x －ax 0＝0，所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a.故当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a .6．解：(1)∵f (x )＝2ax －bx＋ln x ，∴f ′(x )＝2a ＋b x 2＋1x .∵f (x )＝2ax －b x ＋ln x 在x ＝1与x ＝12处都取得极值，∴f ′(1)＝0，f ′⎝⎛⎭⎫12＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＋1＝0，2a ＋4b ＋2＝0.解得a ＝b ＝－13.当a ＝b ＝－13时，f ′(x )＝－23－13x 2＋1x ＝－2(x －1)⎝⎛⎭⎫x －123x 2.∴函数f (x )在x ＝1与x ＝12处都取得极值．∴a ＝b ＝－13.(2)由(1)知，函数y ＝f (x )－ln x ＝－23x ＋13x在区间⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减， ∴[f (x )－ln x ]min ＝f (2)＝－76.又函数g (x )＝x 2－2mx ＋m 图象的对称轴是x ＝m .①当m <12时，g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝14，依题意有14≥－76成立，∴m <12. ②当12≤m ≤2时，g (x )min ＝g (m )＝m －m 2，∴m －m 2≥－76，即6m 2－6m －7≤0.解得3－516≤m ≤3＋516.又∵12≤m ≤2，∴12≤m ≤3＋516.③当m >2时，g (x )min ＝g (2)＝4－3m ，∴4－3m ≥－76.∴m ≤3118.又m >2，∴m ∈∅.综上所述，m ≤3＋516.7．解：(1)当a ＝12时，∵f (x )＝12x 2＋ln x ，∴f ′(x )＝x ＋1x ＝x 2＋1x.对于x ∈[1，e]，有f ′(x )>0， ∴f (x )在区间[1，e]上为增函数．∴f max (x )＝f (e)＝1＋e 22，f min (x )＝f (1)＝12.(2)①在区间(1，＋∞)内，函数f (x )是f 1(x )，f 2(x )的“活动函数”，则f 1(x )<f (x )<f 2(x )．令p (x )＝f (x )－f 2(x )＝⎝⎛⎭⎫a －12x 2－2ax ＋ln x <0，对x ∈(1，＋∞)恒成立， 且h (x )＝f 1(x )－f (x )＝－12x 2＋2ax －a 2ln x <0对x ∈(1，＋∞)恒成立，∵p ′(x )＝(2a －1)x －2a ＋1x ＝(2a －1)x 2－2ax ＋1x ＝(x －1)[(2a －1)x －1]x， (*)ⅰ)若a >12，令p ′(x )＝0，得极值点x 1＝1，x 2＝12a －1，当x 2>x 1＝1，即12<a <1时，在区间(x 2，＋∞)内有p ′(x )>0，此时p (x )在区间(x 2，＋∞)内是增函数，并且在该区间上有p (x )∈(p (x 2)，＋∞)，不合题意；当x 2<x 1＝1，即a ≥1时，同理可知，p (x )在区间(1，＋∞)内，有p (x )∈(p (1)，＋∞)，也不合题意；ⅱ)若a ≤12，则有2a －1≤0，此时在区间(1，＋∞)内恒有p ′(x )<0，从而p (x )在区间(1，＋∞)内是减函数. 要使p (x )<0在此区间上恒成立，只需满足p (1)＝－a －12≤0⇒a ≥－12，∴－12≤a ≤12.又∵h ′(x )＝－x ＋2a －a 2x ＝－x 2＋2ax －a 2x ＝－(x －a )2x<0，h (x )在区间(1，＋∞)内为减函数，∴h (x )<h (1)＝－12＋2a ≤0，∴a ≤14.综上所述，实数a 的范围是⎣⎡⎦⎤－12，14. 8．解：(1)由已知，有f ′(x )＝2x －2ax 2(a ＞0)．令f ′(x )＝0，解得x ＝0，或x ＝1a .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，0)0 ⎝⎛⎭⎫0，1a 1a ⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞ f ′(x ) － 0 ＋0 －f (x )13a 2所以f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，1a ；单调递减区间是(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞. 当x ＝0时，f (x )有极小值，且极小值f (0)＝0；当x ＝1a时，f (x )有极大值，且极大值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝13a 2. (2)由f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫32a ＝0及(1)知，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32a 时，f (x )＞0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫32a ，＋∞时，f (x )＜0.设集合A ＝{f (x )|x ∈(2，＋∞)}， 集合B ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪1f (x )x ∈(1，＋∞)，f (x )≠0.则“对于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1”等价于A ⊆B .显然，0∉B .下面分三种情况讨论：①当32a ＞2，即0＜a ＜34时，由f ⎝⎛⎭⎫32a ＝0可知， 0∈A ，而0∉B ，所以A 不是B 的子集．②当1≤32a ≤2，即34≤a ≤32时，有f (2)≤0，且此时f (x )在区间(2，＋∞)内单调递减，故A ＝(－∞，f (2))，因而A ⊆(－∞，0)；由f (1)≥0，有f (x )在区间(1，＋∞)内的取值范围包含(－∞，0)，则(－∞，0)⊆B .所以A ⊆B . ③当32a ＜1，即a ＞32时，有f (1)＜0，且此时f (x )在区间(1，＋∞)内单调递减，故B ＝⎝⎛⎭⎫1f (1)，0，A ＝(－∞，f (2))，所以A 不是B 的子集．综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤34，32.。
