对高考数学试题的研究例谈

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例谈“数学文化”在高考中的应用

作者：曾子斌

来源：《学校教育研究》2018年第17期

摘要：在近几年高考中，特别强调数学文化的理念，增加了中华优秀传统文化的考核内容，在教学过程中要将数学文化与教学实践有机结合，而不仅仅是作为课堂教学的附加物，是实现素质教育目标必不可少的途径。遵循继承、弘扬、创新的发展路径，注重传统文化在现实中的创造性转化和创新性发展，体现中国传统科技文化对人类发展和社会进步的贡献，践行社会主义核心价值观。

关键词：高考 数学文化 探究

在近几年高考中，特别强调数学文化的理念，增加了中华优秀传统文化的考核内容，认为在教学过程中要将数学文化与教学实践有机结合，而不仅仅是作为课堂教学的附加物，也是实现素质教育目标必不可少的途径。张奠宙先生说：“数学文化是理性文明的火车头。”那么，对于“数学文化”在高考中是如何应用呢？下面通过对近几年的高考“数学文化”试题的探究，以求抛砖引玉之效。

一、数学文化试题特征

随着教育改革的深入，数学文化在高考中也日益受重视，现结合近三年全国高考数学文化试题，探究如下表：

从上表可以看出，题型以选择题和填空题为主，考查数学文化的人文价值、美学价值、应用价值和科学价值，涉及我国的《九章算术》、《数书九章》、《算法统宗》三本数学名著中的概率、数列、几何与算法等数学知识。这可让学生更了解这三本名著，从这个意义上讲，这些试题的意义和价值已经远远超出了试题本身。

二、研热点，析角度

2018年以前，包括全国卷、湖北卷、浙江卷、山东卷等都对数学文化进行了许多考查，现从以下六个方面对试题命制的数学文化背景进行探究。

热点一：算法中的数学文化

例1（2016·四川卷）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程度框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例。若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（ ）. 龙源期刊网

数学思想方法在高考解题中的应用研究

摘 要：从数学思想方法的内涵出发，论述数学思维方法在高考命题中的重要地位以及给高中数学教学的启示。

关键词：数学思想；解题；运用

数学思想方法与数学知识一样，是人类长期发展的经验总结和智慧结晶，是数学知识所不能代替的；只有数学知识与思想方法并重，数学知识与思想方法相互促进，才能更深刻地理解数学，从整体上认识数学，灵活地运用数学以至实现数学创造。

一、高考中数学思想方法的基本类型

高考命题突出的数学思想包括：数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想、有限与无限思想、或然与必然思想等。这些思想的考查贯穿在数学试卷的始终。

1.数形结合思想

其实质是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识，数形结合的转化，可以培养思维的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体。数学是研究空间形式和数量关系的一门科学，数与形是中学数学中被研究得最多的两个角度，数形结合是一种极富数学特点的信息转换，它把代数方法与几何方法中的精华都集中了起来，既发挥代数方法的一般性、解题过程的程序化、机械化优势，又发挥几何方法的形象直观特征，形成一柄双刃的解题利剑，数轴和坐标系，函数及其图像，曲线及其方程，复数及其复平面、向量以及坐标法、三角法、构造图形法等都是数形结合的辉煌成果。具体解题中的数形结合，是指对问题既进行几何直观的呈现，又进行代数抽象的揭示，两方面相辅相成，而不是简单地代数问题用几何方法、或几何问题用代数方法，这两方面都只是单流向的，信息沟通，惟双流向的信息沟通才是最完整的数形结合。

2.函数与方程思想

函数思想是指运用函数的概念和性质，通过类比、联想、转化，合理地构造函数，然后去分析、研究问题，转化、解决问题。

方程思想是指通过对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程，将问题化归为方程问题，利用方程的性质、定理，实现问题与方程的互相转化接轨，达到解决问题的目的。

研究高考数学试题的几种视角

——摘自网络

高考数学试题是我们学习和研究的好问题。研究高考数学试题能学习命题教师的创新思维，体会“能力立意”的命题指导思想，准确把握《考试大纲》的要求。研究高考试题对精选例题、习题、考题有用，对抑制题海战术有利，对提高教学效率有益。在历年的高考试卷中，特别是在《考试大纲》的说明样题中，教师可以选择一些构思精巧、立意新明、背景深刻、情境新颖、设问巧妙的试题作为研究对象，一些优秀试题可以作为教学的例题、练习的习题、测试的考题，有的好题目可以作为研究性教学的问题。研究高考试题应选好视角，所谓视角是指从不同的角度、不同的方向看待和研究问题。选好视角是从事任何研究工作的前提和基本策略。研究高考数学试题的视角很多，一般可从试卷的布局、试题的立意、试题的解法、试题的背景、试题的推广、试题的改编和试题的评价等角度进行。

视角1：试卷的布局

研究试卷的布局主要应包括研究题型的种类及分值，各章知识点所占的比重，试题的难度要求和分布情况，双向细目表等，其中双向细目表应是研究试卷的布局的重中之重。研究试卷的布局有得于教师把握高考的重点、难点与热点，减少新课教学和高三复习的盲目性、随意性和无效性，从而提高教学效率。研究试卷的布局应高度重视全国卷的榜样作用，课改实验区的导向作用。

视角2：试题的立意

立意是试题的考查目的。高考试题的命制一般以立意为中心，以能力立意命题就是首和先确定试题在能力方面的考查目的，然后根据能力考查的要求，选择适当的考查内容，设计恰当的设问方式。高考数学试题根据以能力立意的命题指导思想，把具有发展能力价值、富有发展潜力、再生性强的能力、方法和知识作为切入点，从测量考生的发展性学力和创造性学力着手突出能力考查。能力立意的试题以基础知识、基本方法和数学思想为载体，它体现了考试的目的和内容。试题立意的角度很多，如考查基础知识的灵活运用，考查数学思想方法，考查以数学思维能力为重点的五大能力（思维能力、运算能力、空间想象能力、实践能力和创新能力），考查三种数学意识（应用意识、探究意识、创新意识）等。高考数学考试的重点是考查运用知识分析问题的方法和解决问题的能力，通过数学科的考试，不仅要考查出考生数学知识的积累是否达到进入高校学习的基本水平，而且要以数学知识为载体，测量出考生将知识迁移到不同情景的能力，从而检测出考生已有的和潜在的学习能力。这就要求我们的教学要突出对学生思维能力的训练，对学生迁移能力、应变能力、创新能力的培养，全面提高学生的数学素质。高考数学简单地讲是三考：考基础知识、考思想方法、考能力素质。

—　堂　——一ｗｗｗ　ｈｍ　ｔ　¨ｍ　＼。／　２０１３年第１１期（上旬）　

认真研究高考试题，活化高考试题，进一步开发高考试题，　展其教育功能，使高三课堂教学丰富、鲜活　高效，精彩纷呈．　

高考数学试题的　五种　

ｌ，Ｊ，２　０　１　３年高考数学江苏卷第１　７题为例　高妻箩委道　

胡国生（江苏省洪泽中学）　张　琥（江苏省泗阳中学数学教育实验室）　

美国著名作家海明威在谈到阅读欣赏时，曾经讲　

过“冰山理论”．他认为人们看到的小说只是冰山露在　

海面上的八分之一，即海面下的八分之七得让读者自　

己去揣摩，小说表象后面包含极为丰富的内涵，它们　

是小说广阔的背景材料，要真正读懂小说，就必须掌　

握和了解这些材料．这也说明了在高考复习教学时，　

教师研究高考试题的意义之所在．高考试题情境新　

颖，构思独特，设问别致．这其中包含了命题者的大量　

心血，但命题者研究设计的路径却隐藏于题外，若解　

后不注意反思、总结，则很难捕捉高考命题的基本走　

向，试题考查的深度与广度也不易被发掘，久而久之，　

只能是广种薄收．研究高考试题，不仅是命题者的事，　

也是教师一项常态化的工作，要认真去感知问题的发　

生、发展过程，明晰问题的来龙去脉，寻求问题的解决　

方法，探求问题的拓展延伸，揭示问题的本质特征，才　

能领悟高考命题的意图，向学生讲清楚试题的实质，　

发挥试题的最大功能．　

现以２０１３年高考数学江苏卷第１７题为例，笔者　

结合自己的教学实践与体会．谈谈高考数学复习教学　

中，对高考试题研究的几种视角．　

如图１，在平面直角坐标系　

Ｔ０　中，点Ａ（０，３），直线ｌ：　＝＝＝２ｘ　

４．设圆Ｃ的半径为１，圆心在ｚ　

上．　

（Ｉ）若圆心Ｃ也在直线　—ｚ　

１上，过点Ａ作圆ｃ的切线，求　

切线的方程；　＿　＿

．　４　２　

０　—２　

一　图１　

（ＩＩ）若圆ｃ上存在点Ｍ，使ＭＡ一２ＭＯ，求圆心　

Ｃ的横坐标ｎ的取值范围．　视角一：研究试题的立意．　试题的立意主要包括知识立意和能力立意两个