2012年高考理科数学北京卷(含详细答案)

数学试卷 第1页（共36页） 数学试卷 第2页（共36页） 数学试卷 第3页（共36页） 绝密★启用前

2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合{1,0,1}A，{|11}Bxx≤＜，则AB ( )

A.{0} B.{1,0}

C.{0,1} D.{1,0,1}

2.在复平面内，复数2(2i)对应的点位于 ( )

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

3.“π”是“曲线sin2yx过坐标原点”的 ( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为 ( )

A.1

B.23

C.1321

D.610987 5.函数()fx的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线xye关于y轴对称，则()fx ( )

A.1xe B.1xe

C.1xe D.1xe

6.若双曲线22221xyab的离心率为3，则其渐近线方程为 ( )

A.2yx B.2yx

C.12yx D.22yx

7.直线l过抛物线2:4Cxy的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于

( )

A.43 B.2 C.83 D. 1623

8.设关于x，y的不等式组210,0,0,xyxmym表示的平面区域内存在点00(,)Pxy，满足0022xy，求得m的取值范围是 ( )

A. 4(,)3 B. 1(,)3

C. 2(,)3 D. 5(,)3

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中的横线上.

9.在极坐标系中，点π(2,)6到直线sin2的距离等于___________.

10.若等比数列{}na满足2420aa，3540aa，则公比q____；前n项和nS____.

11.如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若3PA，:PD9:16DB，则PD___________；AB___________.

12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张.如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是___________.

13.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa+μb（λ，μ∈R），则________.

14.如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，E为BC的中点，点P在线段1DE上.点P到直线1CC的距离的最小值为___________.

--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------

姓名________________ 准考证号_____________ 数学试卷 第4页（共36页） 数学试卷 第5页（共36页） 数学试卷 第6页（共36页） 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

在ABC△中，3a，26b，2BA.

（Ⅰ）求cosA的值；

（Ⅱ）求c的值.

16.（本小题满分13分）

下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图.空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.

（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；

（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；

（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

17.（本小题满分14分）

如图，在三棱柱111ABCABC中，11AACC是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面11AACC，3AB，5BC.

（Ⅰ）求证：1AA⊥平面ABC；

（Ⅱ）求证二面角111ABCB的余弦值；

（Ⅲ）证明：在线段1BC上存在点D，使得1ADAB⊥，并求1BDBC的值.

18.（本小题满分13分）

设L为曲线ln:xCyx在点(1,0)处的切线.

（Ⅰ）求L的方程；

（Ⅱ）证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方.

19.（本小题满分14分）

已知A，B，C是椭圆22:14xWy上的三个点，O是坐标原点.

（Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；

（Ⅱ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.

20.（本小题满分13分）

已知{}na是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为nA，第n项之后各项1na，2na，…的最小值记为nB，nnndAB.

（Ⅰ）若{}na为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列（即对任意*nN，4nnaa），写出1d，2d，3d，4d的值；

（Ⅱ）设d是非负整数，证明：1,2,3,nddn的充分必要条件是{}na是公差为d的等差数列；

（Ⅲ）证明：若12a，1(1,2,3,)ndn，则{}na的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.

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2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学（理科）答案解析

第Ⅰ卷

一、选择题

1.【答案】D

【解析】2|3Axx，利用二次不等式的解法可得|3Bxx或1x，易得|3ABxx．

【提示】求出集合B，然后直接求解AB．

【考点】集合间的基本运算．

2.【答案】D

【解析】题目中0202xy表示的区域表示正方形区域，而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此2122π24π4224P，故选D．

【提示】本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可．

【考点】不等式组，平面区域与几何概率．

3.【答案】B

【解析】当0a时，如果0b，此时i0ab是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果iab已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到0a，因此是必要条件，故选B．

【提示】利用前后两者的因果关系,即可判断充要条件．

【考点】复数的概念，充分、必要条件．

4.【答案】C

【解析】0,11,12,23,8ksksksks，循环结束，输出的s为8，故选C．

【提示】列出循环过程中s与k的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．

【考点】循环结构的程序框图．

5.【答案】A

【解析】由切割线定理可知2CECBCD，在直角ABC△中90,ACBCDAB，则由射影定理可知2CDADDB，所以CECBADDB．

数学试卷 第10页（共36页）

数学试卷 第11页（共36页）

数学试卷 第12页（共36页） 【提示】由题中三角形和圆的位置关系，通过条件求解即可．

【考点】几何证明选讲．

6.【答案】B

【解析】由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析3种选择，之后二位，有2种选择，最后百位2种选择，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有一种选择，共6种，因此总共12618种，选B．

【提示】选择数字进行排列，判断奇偶性即可．

【考点】排列组合．

7.【答案】B

【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和．利用垂直关系和三角形面积公式，可得：10,10,10,65SSSS后右底左，因此该几何体表面积3065S，故选B．

【提示】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．

【考点】由三视图求几何体的表面积．

8.【答案】C

【解析】由图可知6，7，8，9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C．

【提示】由已知中图像表示某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系，结合图像可得答案．

【考点】函数图像的应用．

第Ⅱ卷

二、填空题

9.【答案】2

【解析】直线转化为1xy，曲线转化为圆229xy，圆心(0,0)到直线1xy的距离132d，所以有两个交点．

【提示】将参数方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离与半径比较，即可得到结论．

【考点】直线和圆的位置关系．

10.【答案】1

【解析】23Sa，所以111211212aadaddaad．