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2010年全国初中数学联赛试题

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2010年全国初中数学联赛试题

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.

第一试

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）

1. 若,,abc均为整数且满足1010()()1abac，则||||||abbcca

（ ）

A．1. B．2. C．3. D．4.

【答】B.

因为,,abc均为整数，所以ab和ac均为整数，从而由1010()()1abac可得

||1,||0abac或||0,||1.abac

若||1,||0,abac则ac，从而|||abbcc|||abbaaa.

若||0,||1,abac则ab，从而||||||abbcca||||||2||2aaaccaac.

因此，||||||abbcca2.

2．若实数,,abc满足等式23||6ab，49||6abc，则c可能取的最大值为

（ ）

A．0. B．1. C．2. D．3.

【答】C.

由两个已知等式可得32(3),||(2)55acbc，而||0b，所以2c.

当2c时，可得9,0ab，满足已知等式.

所以c可能取的最大值为2.

3．若ba,是两个正数，且 ,0111abba 则

（ ）

A．103ab. B．113ab. C．413ab. D．423ab.

【答】C.

由1110abba可得bababa22，则

2()()()(1)ababababab

①

由于ba,是两个正数，所以,0ab 0ab，所以10ab，从而.1ba

另一方面，由22()()44abababab可得4)(2baab，结合①式可得14abab，所以.34ba

因此，413ab.

4．若方程2310xx的两根也是方程420xaxbxc的根，则2abc的值为 （ ）

A．－13. B．－9. C．6. D． 0.

【答】A.

设m是方程2310xx的一个根，则2310mm，所以231mm.

由题意，m也是方程420xaxbxc的根，所以420mambmc，把231mm代入此式，得22(31)0mambmc，整理得2(9)(6)10ambmc.

从而可知：方程2310xx的两根也是方程2(9)(6)10axbxc的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，从而有22(9)(6)1(31)axbxckxx（其中k为常数），故961131abc，所以333,10baca. 2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第1页（共7页） 因此，2(333)2(10)13abcaaa.

5．在△ABC中，已知60CAB，D，E分别是边AB，AC上的点，且60AED，CEDBED，CDECDB2,则DCB

( )

A．15°. B．20°. C．25°. D．30°.

【答】 B.

如图，延长AB到F，使BF=ED，连CF，EF．

∵ 60AEDEAB，∴60EDA，120CEDEDB，

BFEDAEAD，DFBFDBDBEDCE，

于是，AFAC，60AFCACF．

又∵120EDB，CDECDB2，

∴ 80,40CDBCDE,20180EDCCEDECD．

在△CDA和△CBF中，CA=CF，60CFBCAD，AD=BF，∴ △CDA≌△CBF，

∴ 20ACDFCB．

于是，2060FCBCDEDCB．

6．对于自然数n，将其各位数字之和记为na，如2009200911a，201020103a，则123aaaa

（ ）

A．28062. B．28065. C．28067. D．28068.

【答】D.

把1到2010之间的所有自然数均看作四位数（如果n不足四位，则在前面加0，补足四位，这样做不会改变na的值）.

1在千位上出现的次数为310，1在百位上出现的次数为2210，1在十位和个位上出现的次数均为22101，因此，1出现的总次数为3210210321602.

2在千位上出现的次数为11，2在百位和十位上出现的次数均为2210，2在个位上出现的次数为22101，因此，2出现的总次数为21121031612.

类似的，可求得(3,4,5,6,7,8,9)kk出现的总次数均为221031601.

因此11aa＝2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第2页（共7页） 28068.

二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）

1．已知实数,xy满足方程组3319,1,xyxy则22xy .

【答】 13.

由3319xy得2()[()3]19xyxyxy，把1xy代入，可得6xy.

因此，,xy是一元二次方程260tt的两个实数根，易求得这两个实数根分别为3和2，所以22223(2)13xy.

2．二次函数cbxxy2的图象与x轴正方向交于A，B两点，与y轴正方向交于点C．已知ACAB3，30CAO，则c ．

【答】 19．

由题意知，点C的坐标为),0(c，cOC．

设BA,两点的坐标分别为)0,(1x，)0,(2x，则21,xx是方程02cbxx的两根．

由根与系数的关系得cxxbxx2121,．

又30CAO，则cACABcAC323,2．

于是，cACOAx330cos1，cABOAOBx332．

由ccxx2219，得91c．

3．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA＝5，PC＝5，则PB＝______．

【答】 10.

作PE⊥AB，交AB于点E，作PF⊥BC，交BC于点F，设,PEmPFn，分别在△PAE、△PCF中利用勾股定理，得 2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第3页（共7页） 22(5)5mn ①

22(5)25mn ②

②－①，得10()20nm，所以2mn，

代入①中，得27120nn，解得13n，24n.

当3n时，21mn，在Rt△PAE中，由勾股定理可得22PB10mn.

当4n时，22mn，此时PEAE，所以点P在△ABC的外面，不符合题意，舍去.

因此PB10.

4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放_______个球.

【答】 15.

将这些球的位置按顺序标号为1，2，3，4，…….

由于1号球与7号球中间夹有5个球，1号球与12号球中间夹有10个球，12号球与6号球中间夹有5个球，7号球与13号球中间夹有5个球，13号球与2号球中间夹有10个球，2号球与8号球中间夹有5个球，8号球与14号球中间夹有5个球，14号球与3号球中间夹有10个球，3号球与9号球中间夹有5个球，9号球与15号球中间夹有5个球，15号球与4号球中间夹有10个球，4号球与10号球中间夹有5个球，因此，编号为1，7，12，6, 13，2，8，14，3，9，15，4，10的球颜色相同，编号为5，11的球可以为另外的一种颜色.因此，可以按照要求摆放15个球.

如果球的个数多于15个，则一方面，16号球与10号球应同色，另一方面，5号球与16号球中间夹有10个球，所以5号球与16号球同色，从而1到16号球的颜色都相同，进一步可以知道：所有的球的颜色都相同，与要求不符.

因此，按这种要求摆放，最多可以摆放15个球.

第二试 （A）

一．（本题满分20分）设整数,,abc（abc）为三角形的三边长，满足22213abcabacbc，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.

解 由已知等式可得

222()()()26abbcac

①

令,abmbcn，则acmn，其中,mn均为自然数. EFPACB于是，等式①变为222()26mnmn，即

2213mnmn

②

由于,mn均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,mn只有两组：3,1mn和1,3.mn …………10分

（1）当3,1mn时，1bc，34abc.又,,abc为三角形的三边长，所以bca，即(1)4ccc，解得3c.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30abcccc，解得253c.因此2533c，所以c可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形. …………15分

（2）当1,3mn时，3bc，14abc.又,,abc为三角形的三边长，所以bca，即(3)4ccc，解得1c.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30abcccc，解得233c.因此2313c，所以c可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.

综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11. ……………………20分

二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C的平分线与AB边交于点P，M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点，作MD//AC，交⊙I于点D.证明：PD是⊙I的切线.

证明 过点P作⊙I的切线PQ（切点为Q）并延长，交BC于点N.

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初中数学奥林匹克竞赛全真试题(全国联赛卷)(详解版)

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一、填空题

1. 如果函数 f(x)=x^2-2x+1的根为 a,b，那么a + b 等于_____.

答案：-1

2. 已知正整数 m、n 满足 mx+ny=1（m、n 都不为 0），若 m + n 等于 8，则 m - n 等于_____.

答案：7

3. 若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1=3，Sn=15，则 n 的值是_____.

答案：6

4. 在△ABC 中，已知 a=4，b=4，c=8，若 AB+AC=9，则∠B =_____.

答案：45°

二、选择题

5. 已知 A、B 两点的坐标分别为（3，1）、（5，-1），则 AB 是_______.

A. 水平的直线

B. 斜率为 1 的直线

C. 斜率为 -1/3 的直线

D. 竖直的直线

答案：B

6. 若正方形的边长为 x，周长为 5x，则 x 的值等于_______.

A. 4

B. 5

C. 8

D. 10

答案：A

7. 已知 tanα=2，cotβ=-3，则 tan（α-β）等于_______.

A. 5

B. -5

C. -1/5

D. 1/5

答案：B

8. 把一个正整数分成 K 份，第一份的数量是剩下的 K-1 份的总和的（ ）

A. 1/2

B. 3/2

C. 2/3

D. 3/4

答案：B

三、解答题

9. 已知函数 f(x)=2x+1，若直线 4x+3y=37 与曲线 f(x) 相切，求该曲线上点 P 的坐标

答：设点 P 的坐标为 (x,y)，因为直线 4x+3y=37 与曲线 f(x) 相切，所以曲线上点 P 的 y 值可由 4x+3y=37 中求得，即 y=12-4/3x，由函数 f(x)

可得 12-4/3x=2x+1，故 x=7，代入 y=12-4/3x 可得 y=12-4/3(7)=8。点 P

2003年初中数学联赛试题

2003年初中数学联赛试题

2003

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

1.等于

A.B.C.5 D.1

2.在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是

A.0

B.1

C.3

D.5

3.若函数与函数的图象相交于A，C两点，AB垂直x轴于B，则△ABC的面积为

A.1 B.2

C.kD.

4.满足等式的正整数对的个数是

A.1 B.2

C.3 D.4

5.设△ABC的面积为1，D是边AB上一点，且．若在边AC上取一点E，使四边形DECB的面积为，则的值为

A.B.C.D.

6.如图，在□ABCD中，过A，B，C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB=4，BE=5，则DE的长为

A.3 B.4 C.D.

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

1.抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若△ABC是直角三角形，则ac=__________．

2.设m是整数，且方程的两根都大于而小于，则m=____________．

3.如图，，分别是∠EAB，∠DBC的平分线．若，则∠BAC的度数为_____________．

4.已知正整数a，b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a，b中较大的数是_________．

2003年全国初中数学联合竞赛试卷

第二试（A）（4月13日上午10:00—11:30）

考生注意：本试三大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分．

一、（本题满分20分）

试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数．

二、（本题满分25分）

在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA，CB到点E，F，使DE=DF；过E，2322171225424210ykxk1yx2k2003200320032003xyxyxyxyxy，13ADAB34CEEA121314151541652yaxbxc2320xmx9537'AA'BB''AABBAB D C

历年全国初中数学联赛试题总汇

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精品资料分享 1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题

第一试

一、选择题

本题共有8个小题，每小题都给出了（A）、（B）（C）、（D）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．

１． 设等式yaaxayaaxa)()(在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不同的实数，则22223yxyxyxyx的值是

（A）3 ； （B）31； （C）2； （D）35．

答（ ）

２． 如图，AB‖EF‖CD，已知AB=20，CD=80，BC=100，那么EF的值是

（A） 10； （B）12；

（C） 16； （D）18．

答（ ）

３． 方程012xx的解是

（A）251； （B）251；

（C）251或251； （D）251．

答（ ）

４． 已知：)19911991(2111nnx（n是自然数）．那么nxx)1(2，的值是

（Ａ）11991； （Ｂ）11991；

（Ｃ）1991)1(n； （Ｄ）11991)1(n．

答（ ）

５． 若Mn1210099321，其中Ｍ为自然数，n为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ

（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；

（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；

（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；

（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． {{{{{{{{

精品资料分享 答（ ）

６． 若a，c，d是整数，b是正整数，且满足cba，dcb，adc，那么

dcba的最大值是

（Ａ）1；（Ｂ）5；（Ｃ）0；（Ｄ）１．

答（ ）

７． 如图，正方形OPQR内接于ΔABC．已知ΔAOR、ΔBOP和ΔCRQ的面积分别是11S，32S和13S，那么，正方形OPQR的边长是

2012年全国初中数学联合竞赛试题

2012年全国初中数学联合竞赛试题

2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

第一试

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）

1．已知21a，32b，62c，那么,,abc的大小关系是 （ ）

A. abc B. acb C. bac D.bca

2．方程222334xxyy的整数解(,)xy的组数为 （ ）

A．3. B．4. C．5. D．6.

3．已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE＝1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为 （ ）

A．63 B．53 C．263 D．253

4．已知实数,ab满足221ab，则44aabb的最小值为 （ ）

A．18. B．0. C．1. D．98.

5．若方程22320xpxp的两个不相等的实数根12,xx满足232311224()xxxx，则实数p的所有可能的值之和为 （ ）

A．0. B．34. C．1. D．54.

6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd（数字可重复使用），要求满足acbd.这样的四位数共有 （ ）

A．36个. B．40个. C．44个. D．48个.