2012年高考文科数学上海卷有答案
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数学试卷 第1页（共16页） 数学试卷 第2页（共16页） 绝密★启用前
2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷(文史类)
考生注意：
1.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚,并在规定的区域内贴上条形码.
2.本试卷共有23道试题,满分150分.考试时间120分钟.
一、填空题（本大题共有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1.计算：3i1i－＋=
（i为虚数单位）.
2.若集合{|21Axx＞0},{|||Bxx＜1},则AB .
3.函数sin2()1cosxfxx的最小正周期是 .
4.若=(2,1)d是直线l的一个方向向量,则l的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.
5.一个高为2的圆柱,底面周长为2π.该圆柱的表面积为 .
6.方程14230xx的解是 .
7.有一列正方体,棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列,体积分别记为
12,,,,nVVV则12lim()nxVVV .
8.在61()xx的二项展开式中,常数项等于 .
9.已知()yfx是奇函数.若()()2gxfx且(1)1g,则(1)g .
10.满足约束条件||2||2xy＋≤的目标函数zyx的最小值是 . 11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目,则有且仅有两人选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）.
12.在矩形ABCD中,边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足||||||||BMCNBCCD,则AMAN的取值范围是 .
13.已知函数()yfx的图象是折线段ABC,其中(0,0)A、1(,1)2B、(1,0)C.函数
()(01)yxfxx≤≤的图象与x轴围成的图形的面积为 .
14.已知1()1fxx.各项均为正数的数列{}na满足11a,2()nnafa.若20102012aa,则2021aa的值是 .
二、选择题（本大题共有4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
15.若12i＋是关于x的实系数方程20xbxc的一个复数根,则 （ ）
A.2,3bc B.2,1bc
C.2,1bc D.2,3bc
16.对于常数m、n,“0mn＞”是“方程221mxny的曲线是椭圆”的 （ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
17.在ABC△中,若222sin+sinsinABC＜,则ABC△的形状是 （ ）
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.不能确定
18.若*π2ππ=sinsinsin()777nnSnN,则在12100,,,SSS中,正数的个数是
（ ）
A.16 B.72 C.86 D.100 --------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------
姓名________________ 准考证号_____________
数学试卷 第3页（共16页） 数学试卷 第4页（共16页） 三、解答题（本大题共5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.（本题满分12分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.
如图,在三棱锥PABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中点.已知
π2BAC,2AB,23AC,2PA.求：
（Ⅰ）三棱锥PABC的体积；
（Ⅱ）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.
20.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
已知()lg(1)fxx.
（Ⅰ）若(12)()1fxfx0＜＜,求x的取值范围；
（Ⅱ）若()gx是以2为周期的偶函数,且当01x≤≤时,有()()gxfx,求函数()([1,2])ygxx的反函数.
21.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y轴
正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度）,则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处,如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249yx；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后,失事船所在位置的横坐标为7t.
（Ⅰ）当0.5t时,写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向；
（Ⅱ）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？
22.（本题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分5分,第3小题满分6分.
在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线22:2=1Cxy－.
（Ⅰ）设F是C的左焦点,M是C右支上一点.若|22|MF,求过M点的坐标；
（Ⅱ）过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积；
（Ⅲ）设斜率为(||2)kk＜的直线l交C于P、Q两点.若l与圆221xy相切,求证：OPOQ.
23.（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
对于项数为m的有穷数列数集{}na,记12max{,,,}(1,2,,)kkbaaakm,即kb为12,,,kaaa中的最大值,并称数列{}nb是{}na的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.
（Ⅰ）若各项均为正整数的数列{}na的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的{}na；
（Ⅱ）设{}nb是{}na的控制数列,满足1kmkabC（C为常数,(1,2,,)km）.
求证：kkab(1,2,,)km；
（Ⅲ）设m=100,常数1(,1)2a.若(122(1)nnnaann）,{}nb是{}na的控制数列,
求1122100100()()()bababa.
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数学试卷（文史类）答案解析
一、填空题
1.【答案】12i
【解析】3i(3i)(1i)24i12i1i(1i)(1i)2
【提示】由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1i，再由进行计算即可得到答案。
【考点】复数代数形式的乘除运算。
2.【答案】1,12
【解析】由题意得，1{|21}=|2Axxxx＞0，1{|21}=|2Axxxx0，
∴AB1,12，故答案为：1,12
【提示】由题意，可先化简两个集合A，B，再求两个集合的交集得到答案。
【考点】交集及其运算。
3.【答案】π
【解析】解：sin21()sincos2sin221cos2xfxxxxx
∴2ππ2T
∴函数sin2()1cosxfxx的最小正周期是π。
【提示】先根据二阶行列式的公式求出函数的解析式，然后利用二倍角公式进行化简，最后根据正弦函数的周期公式进行求解即可。
【考点】二阶矩阵，三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法。
4.【答案】1arctan2
【解析】设直线的倾斜角为，则11tanarctan22，。
【提示】根据直线的方向向量的坐标一般为(1,)k可得直线的斜率，根据tank，最后利用反三角可求出倾斜角。
【考点】直线的方向向量，直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示。 5.【答案】6π
【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为1r，所以该圆柱的表面积为：22π2π4π2π6πSrlr圆柱表。
【提示】求出圆柱的底面半径，然后直接求出圆柱的表面积即可。
【考点】空间几何体的表面积公式。
6.【答案】2log3
【解析】根据方程：14230xx，化简得2(2)2230xx，令2(0)xtt，则原方程可化为：2230tt，解得3t或1()t舍，即223,log3xx。所以原方程的解为2log3。
【提示】根据指数幂的运算性质可将方程14230xx--变形为222230xx（）然后将2x看作整体，解关于2x的一元二次方程即可。
【考点】指数型方程，指数的运算，指数与对数形式的互化，换元法在求解数学问题中的运用。
7.【答案】87
【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，12为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，
18为公比的等比数列，因此，1218lim()1718nnVVV。
【提示】由题意可得，正方体的体积1318nnnVa是以1为首项，以18为公比的等比数，由等不数列的求和公式可求。
【考点】无穷递缩等比数列的极限，等比数列的通项公式，等比数列的定义。
8.【答案】20
【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是333461C20Txx。
【提示】对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成。
【考点】二项式定理。
