定积分的计算方法
- 格式：pdf
- 大小：159.18 KB
- 文档页数：9
定积分的计算⽅法
定积分的计算⽅法
摘要
定积分是积分学中的⼀个基本问题，计算⽅法有很多，常⽤的计算⽅法有四种：（1）
定义法、（2）⽜顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分
法。以及其他特殊⽅法和技巧。本论⽂通过经典例题分析探讨定积分计算⽅法，并在系
统总结中简化计算⽅法！并注重在解题中⽤的⽅法和技巧。
关键字：定积分，定义法，莱布尼茨公式，换元法Calculation method of definite integral
Abstract
the integral is the integral calculus is a fundamental problem, its calculation method is a lot of, (1)definition method,(2)Newton - Leibniz formula, (3)integral subsection integral method, (4) substitute method.This paper, by classic examplesdefinite integral analysis method, and in the system of simplified, summarized the approximate calculation method! And payattention to problem in using the methods and skills.
Key words:definite integral ,definition method, Newton - Leibniz, substitute method
⽬录
⽬录 (2)1绪论 (3)
1.1定积分的定义 (3)
1.2定积分的性质 (4)
2 常⽤计算⽅法 (5)
2.1定义法 (5)
2.2⽜顿-莱布尼茨公式 (6)
2.3定积分的分部积分法 (7)
2.4定积分的换元积分法 (7)
3 简化计算⽅法............................................................................................. 错误！未定义书签。
3.1含参变量的积分............................................................................... 错误！未定义书签。
3.2有理积分和可化为有理积分的积分............................................... 错误！未定义书签。4总结 .. (9)
致谢 (10)
参考⽂献 (10)1绪论
1.1定积分的定义
定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的⾯积，如图1.1所⽰。即由y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的⾯积[1]。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三⾓形。设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个⼦区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (x n-1,x n]，其中x0=a，x n=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0, △x2=x2-x1, …, △x n=x n-x n-1。在每个⼦区间(x i-1,x i]中任取⼀点ξi（1,2,...,n），作和式
设λ=max{△x1, △x2, …, △x n}（即λ是最⼤的区间长度），则当λ→0时，该和式⽆限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分[2]，记为
其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。
之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是⼀个数，⽽不是⼀个函数。
根据上述定义，若函数f(x)在区间[a,b]上可积分，则有n等分的特殊分法：
特别注意，根据上述表达式有，当[a,b]区间恰好为[0,1]区间时，则[0,1]区间积分表达式为：
1.2定积分的性质
性质1 dx x g a bdx x f a b dx x g x f a b )()()]()([±=±
性质2 )k (,)()(为常数dx x f ab
k dx x kf a b ??=
性质3 假设ab
dx x f a c dx x f a b )()()(+=
性质4 如果在区间[,]a b 上，恒有)()(x g x f ≤,则dx x g ab
dx x f a b
)()(??≤
性质5 如果在区间[,]a b 上，0)(≥x f ,则.0)(≥?dx x f ab
(a
性质6 设M 及m 分别是函数()f x 在区间[,]a b 上的最⼤值及最⼩值，
则 )()()(a b M dx x f a ba b m -≤≤-? ,()a b
围[3]。
性质7 若f(x)在[a,b]上可积，则∣f(x)∣在[a,b]上也可积， 且dx x f a b
dx x f a b )()(??≤
性质8（积分第⼀中值定理） 设函数f(x)在[a,b]上连续，g(x)在[a,b]上可积，且在[a,b]上不变号，则在[a,b]上⾄少存在⼀点ξ，使得：dx x g a
b
f dx x
g x f a b )()()()(??=ξ
2 常⽤计算⽅法
2.1定义法
定积分的定义法计算是运⽤极限的思想,简单的来说就是分割求和取极限。以()b
a
I f x dx =?为例：任意分割,任意选取k ξ作积分和再取极限。任意分割任意取k ξ所计算
出的I 值如果全部相同的话，则定积分存在。如果在某种分法或者某种k ξ的取法下极限值不存在或者与其他的分法或者k ξ的取法下计算出来的值不相同，那么则说定积分不存在。如果在不知道定积分是否存在的情况下⽤定义法计算定积分是相当困难的，涉及到怎样才是任意分割任意取k ξ。但是如果根据上述三类可积函数判断出被积函数可积，那么就可以根据积分和的极限唯⼀性可作[],a b 的特殊分法，选取特殊的k ξ，计算出定积分[4]
。
第⼀步：分割.
将区间[],a b 分成n 个⼩区间，⼀般情况下采取等分的形式。b ah n
-=
，那么分割点的坐标为(),0a ，(),0a h +，()2,0a h +......()(1),0a n h +-，(),0b ，k ξ在[]1,k k x x -任意选取，但是我们在做题过程中会选取特殊的k ξ，即左端点，右端点或者中点。经过分割将曲边梯形分成n 个⼩曲边梯形。我们近似的看作是n 个⼩长⽅形。
第⼆步：求和.
计算n 个⼩长⽅形的⾯积之和，也就是()1n
k
k f h ξ=∑。
第三步：取极限.()()0
1
1
lim lim n n
k k h h k k I f h h f ξξ→→====∑∑，0h →即n →∞，也就是说分的越细，
那么⼩曲边梯形就越接近⼩长⽅形，当n 趋于⽆穷之时，⼩曲边梯形也就是⼩长⽅形，那么⼩长⽅形的⾯积和即为曲边梯形的⾯积，也就是定积分的积分值。 例1、⽤定义法求定积分1
xdx ?
。
解：因为()f x x =在[]0,1连续
所以()f x x =在[]0,1可积 令101h n n
-=
= 将[]0,1等分成n 个⼩区间，分点的坐标依次为02...1h h nh <<<<= 取k ξ是⼩区间[](1),k h kh -的右端点，即k kh ξ=于是
2
10(1)1lim lim 2n n n n xdx khh n →∞→∞+??== 211(1)1lim lim 222
n n n n n n →∞→∞+
+=== 所以，
1
1
2
xdx =
2.2⽜顿-莱布尼茨公式
⽜顿-莱布尼茨公式很好的把定积分与不定积分联系在⼀起。利⽤此公式，可以根据不定积分的计算计算出定积分。这个公式要求函数()f x 在区间[],a b 内必须连续。求连续函数()f x 的定积分只需求出()f x 的⼀个原函数，再按照公式计算即可。
定理：若函数()f x 在区间[],a b 连续，且()F x 是()f x 的原函数，则()()()b
a
f x dx F b F a =-?
。
证明：因为()F x 是()f x 的原函数，即[],x a b ?∈有'()()F x f x = 积分上限函数()x
a
f t dt ?
也是()f x 的原函数
所以()
'
()()x
af t dt f x =?
所以()()x
a
f t dt F x C -=?
令x a =有()()a
a
f t dt F a C -=?
即()C F a =-
再令x b =有()()()b
a
f x dx F b F a =-?
我们知道，不定积分与定积分是互不相关的，独⽴的。但是在连续的条件下，微积分基本定理把这两个互不相关的概念联系起来，这不仅给定积分的计算带来极⼤的⽅便，在理论
上把微分学与积分学沟通起来，这是数学分析的卓越成果，有着重⼤的意义。
例1、⽤⽜顿莱布尼茨公式计算定积分1
xdx ?
。
解： 原式=12011
22
x =
同样的⼀道题⽬，⽤⽜顿-莱布尼茨公式明显⽐定义法简单，容易计算。2.3定积分的分部积分法
公式：函数()u x ，()v x 在[],a b 有连续导数则()()()()()()b
b
b
a a
a
u x dv x u x v x v x du x =-?
证明：因为()u x ，()v x 在[],a b 有连续导函数
