2012届高考数学(理)一轮复习定时检测(带详细解析)：2.5对数与对数函数(人教A版)

§2.5 对数与对数函数一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)1．(2009·全国Ⅱ改编)设a ＝log 2π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析 ∵a ＝log 3π>1，b ＝12log 23<1，c ＝12log 32<1， ∴a >b ，a >c .又log 23log 32＝lg 23lg 22>1，∴b >c ， ∴a >b >c .答案 a >b >c2．(2009·福建厦门模拟)函数y ＝lg x ＋lg(x －1)的定义域为A ，y ＝lg(x 2－x )的定义域为B ，则A 、B 的关系是______________．解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x >0x －1>0，∴A ＝{x |x >1}，由x 2－x >0 得x >1或x <0，∴B ＝{x |x >1或x <0}，∴A B .答案 A B3．(2009·广东改编)若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )则f (x )＝__________________.解析 由y ＝a x 得，x ＝log a y ，即f (x )＝log a x ，由于a ＝log a a ＝12，因此f (x )＝log 12x . 答案 log 12x 4．(2009·南京十三中三模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (3a －1)x ＋4a ， x <1，log a x ， x ≥1是R 上的减函数，那么a 的取值范围是________________．解析 由已知⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <13a －1<0(3a －1)＋4a ≥0，解得17≤a <13. 答案 [17，13) 5．(2010·江苏泰州月考)函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的递增区间是__________． 解析 由x 2－3x ＋2>0得x <1或x >2，当x ∈(－∞，1)时，f (x )＝x 2－3x ＋2单调递减，而0<12<1，由复合函数单调性可知y ＝log 12(x 2－3x ＋2)在(－∞，1)上是单调递增的，在(2，＋∞)上是单调递减的．答案 ()－∞，16．(2010·泰州模拟)方程log 3(x 2－10)＝1＋log 3x 的解是________．解析 log 3(x 2－10)＝log 33x .∴x 2－10＝3x .∴x 2－3x －10＝0.∴x ＝－2或x ＝5.检验知x ＝5适合．答案 57．(2009·辽宁改编)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)．则f (2＋log 23)＝________.解析 因为2＋log 23<4，故f (2＋log 23)＝f (2＋log 23＋1)＝f (3＋log 23)．又因为3＋log 23>4，故f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123·13＝124. 答案 1248．(2010·淮北调研)函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为________．解析 ∵y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)具有相同的单调性．∴f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上单调，∴f (0)＋f (1)＝a ，即a 0＋log a 1＋a 1＋log a 2＝a ，化简得1＋log a 2＝0，解得a ＝12. 答案 129．(2009·广东五校联考)设a >0，a ≠1，函数f (x )＝a lg(x 2－2x ＋3)有最大值，则不等式log a (x2 －5x ＋7)>0的解集为________________．解析 设t ＝lg(x 2－2x ＋3)＝lg[(x －1)2＋2]．当x ＝1时，t min ＝lg 2.又函数y ＝f (x )有最大值，所以0<a <1.由log a (x 2－5x ＋7)>0，得0<x 2－5x ＋7<1，解得2<x <3.故不等式解集为{x |2<x <3}．答案 (2,3)二、解答题(本大题共3小题，共46分)10.(14分)(2010·江苏启东中学模拟)已知函数f (x )＝log 12(x 2－ax －a )在区间(－∞，－12)上为增函数，求a 的取值范围．解 令g (x )＝x 2－ax －a .∵f (x )＝log 12g (x )在(－∞，－12)上为增函数， ∴g (x )应在(－∞，－12)上为减函数且g (x )>0 在(－∞，－12)上恒成立．因此⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≥－12g (－12)>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－114＋a 2－a >0. 解得－1≤a <12， 故实数a 的取值范围是－1≤a <12. 11．(16分)(2010·舟山调研)已知函数y ＝log a 2(x 2－2ax －3)在(－∞，－2)上是增函数，求a 的取值范围．解 因为μ(x )＝x 2－2ax －3在(－∞，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数，要使y ＝log a 2(x 2－2ax －3)在(－∞，－2)上是增函数，首先必有0＜a 2＜1，即0＜a ＜1或－1＜a ＜0，且有⎩⎪⎨⎪⎧μ(－2)≥0，a ≥－2，得a ≥－14.综上， 得－14≤a ＜0或0＜a ＜1. 12．(16分)(2010·扬州模拟)已知函数f (x )＝log a x ＋b x －b(a >0，且a ≠1，b >0)． (1)求f (x )的定义域；(2)讨论f (x )的奇偶性；(3)讨论f (x )的单调性．解 (1)由x ＋b x －b>0⇒(x ＋b )(x －b )>0. 解得f (x )的定义域为(－∞，－b )∪(b ，＋∞)．(2)∵f (－x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋b －x －b ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b x ＋b ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b x －b －1＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．(3)令u (x )＝x ＋b x －b ，则u (x )＝1＋2b x －b. 它在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上是减函数．∴当0<a <1时，f (x )分别在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上是增函数； 当a >1时，f (x )分别在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上是减函数．。

2012届高考（理科）数学一轮复习课时作业8对数与对数函数一、选择题1．在同一坐标系内，函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象可能是( )解析：A 图中，由y ＝x ＋a 的图象可知a >1，由y ＝log a x 的图象可知0<a <1，故矛盾； B 图中，由y ＝x ＋a 的图象可知0<a <1，由y ＝log a x 的图象可知a >1，故矛盾； C 图中，由y ＝x ＋a 的图象可知0<a <1，由y ＝log a x 的图象可知0<a <1，故正确； D 图中，由y ＝x ＋a 的图象可知a <0，由y ＝log a x 的图象可知a >1，故矛盾． 答案：C2．已知集合M ＝{x |x 2>1}，N ＝{x |log 2|x |>0}，则( ) A ．M N B ．MNC ．M ＝ND ．M ∩N ＝Ø解析：M ＝{x |x >1或x <－1} N ＝{x ||x |>1}＝{x |x >1或x <－1}，∴M ＝N ，∴选C. 答案：C3．设函数 f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝ f (x )，且当x ≥1时， f (x )＝ln x ，则有( )A ．f (13)<f (2)<f (12)B ．f (12)<f (2)<f (13)C ．f (12)<f (13)<f (2)D ．f (2)<f (12)<f (13)解析：由f (2－x )＝ f (x )得x ＝1是函数 f (x )的一条对称轴，又x ≥1时， f (x )＝ln x 单调递增，∴x <1时，函数单调递减．∴f (12)<f (13)<f (2)．答案：C4．若函数y ＝log 2(x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值X 围是( ) A ．0<a <1B ．－2<a <2 C ．1<a <2 D ．a ≥2或a ≤－2解析：∵y ＝log 2(x 2－ax ＋1)有最小值，∴t ＝x 2－ax ＋1恒大于0，∴a 2－4<0，∴－2<a <2. 答案：B5．(2010年某某高考)设函数 f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12－x ，x <0.若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析：①当a >0时，f (a )＝log 2a ，f (－a )＝log 12a ，f (a )>f (－a )，即log 2a >log 12a ＝log 21a ，∴a >1a，解得a >1.②当a <0时，f (a )＝log 12(－a )，f (－a )＝log 2(－a )，f (a )>f (－a )，即log 12(－a )>log 2(－a )＝log 121－a ， ∴－a <1－a，解得－1<a <0， 由①②得－1<a <0或a >1. 答案：C6．(2011年某某省修水一中高三第一次段考)设函数 f (x )定义域为D ，若满足①f (x )在D 内是单调函数；②存在[a ，b ]D 使 f (x )在[a ，b ]上的值域为[a ，b ]，那么就称y ＝ f (x )为“成功函数”．若函数g (x )＝log a (a 2x＋t )(a >0且a ≠1)是定义域为R 的“成功函数”，则t 的取值X 围为( )A ．(0，＋∞) B．(－∞，0) C ．[0，14] D ．(0，14)解析：依题意，函数g (x )＝log a (a 2x＋t )(a >0，a ≠1)在定义域R 上为单调递增函数，且t ≥0，而t ＝0时，g (x )＝2x 不满足条件②，所以t >0.设存在[m ，n ]，使得g (x )在[m ，n ]上的值域为[m ，n ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧log aa 2m ＋t ＝m ，log a a 2n＋t ＝n ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2m ＋t ＝a m，a 2n ＋t ＝a n，所以m ，n 是方程(a x )2－a x＋t ＝0的两个不等实根，所以△＝1－4t >0，解得0<t <14，故选D.答案：D 二、填空题7．（2011年某某高考） 函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．解析：因为y ＝log 5x 为增函数，故结合原函数的定义域可知原函数的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ 8．已知函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1log 2xx ≤0x >0，则使函数 f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值X 围是________．解析：当x ≤0时，3x ＋1>1⇒x ＋1>0，∴－1<x ≤0；当x >0时，log 2x >1⇒x >2，∴x >2. 综上所述：－1<x ≤0或x >2. 答案：－1<x ≤0或x >29．设a >0且a ≠1，函数 f (x )＝a lg(x 2－2x ＋3)有最大值，则不等式log a (x 2－5x ＋7)>0的解集为________．解析：∵函数y ＝lg(x 2－2x ＋3)有最小值， f (x )＝alg(x 2－2x ＋3)有最大值，∴0<a <1.∴由log a (x 2－5x ＋7)>0，得0<x 2－5x ＋7<1，解得2<x <3. ∴不等式log a (x 2－5x ＋7)>0的解集为(2,3)． 答案：(2,3) 三、解答题10．将下列各数按从大到小的顺序排列：log 89，log 79，log 123，log 1229，⎝ ⎛⎭⎪⎫123，⎝ ⎛⎭⎪⎫12π.解析：log 1229＝(－log 29)2＝log 229，在同一坐标系内作出y ＝log 8x ，y ＝log 7x ，y ＝log 2x 的图象如图所示，当x ＝9时，由图象知log 29>log 79>log 89>1＝log 88，∴log 229>log 79>log 89>1，即log 1229>log 79>log 89>1.∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上是减函数，∴1>⎝ ⎛⎭⎪⎫123>⎝ ⎛⎭⎪⎫12π>0.又log 123<0，综上：log 1229>log 79>log 89>⎝ ⎛⎭⎪⎫123>⎝ ⎛⎭⎪⎫12π>log 123.11．(2011年某某某某高级中学高三第一次月考数学试题)已知函数 f (x )＝log 4(4x＋1)＋kx (k ∈R )是偶函数(1)求k 的值；(2)设g (x )＝log 4(a ·2x－43a )，若函数 f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，某某数a 的取值X 围．解：(1)∵函数 f (x )＝log 4(4x＋1)＋kx (k ∈R )是偶函数∴f (－x )＝log 4(4－x＋1)－kx ＝log 4(1＋4x4x )－kx ＝log 4(4x ＋1)－(k ＋1)x ＝log 4(4x＋1)＋kx 恒成立∴－(k ＋1)＝k ，则k ＝－12(2)g (x )＝log 4(a ·2x－43a )，函数 f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，即方程 f (x )＝g (x )只有一个解 由已知得log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4(a ·2x－43a )∴log 44x＋12x ＝log 4(a ·2x－43a )方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x －43a >04x＋12x＝a ·2x－43a设2x ＝t (t >0)，则(a －1)t 2－43at －1＝0有一解若a －1>0，设h (x )＝(a －1)t 2－43at －1，∵h (0)＝－1<0，∴恰好有一正解∴a >1满足题意若a －1＝0，即a ＝1时，不满足题意若a －1<0，即a <1时，由△＝(－43a )2＋4(a －1)＝0，得a ＝－3或a ＝34当a ＝－3时，t ＝12满足题意当a ＝34时，t ＝－2(舍去)综上所述实数a 的取值X 围是{a |a >1或a ＝－3}．12．若 f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a ≠1)．(1)求 f (log 2x )的最小值及对应的x 值；(2)x 取何值时，f (log 2x )>f (1)，且log 2f (x )<f (1)． 解：(1)∵f (x )＝x 2－x ＋b ， ∴f (log 2a )＝(log 2a )2－log 2a ＋b ，由已知(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ，∴log 2a (log 2a －1)＝0. ∵a ≠1，∴log 2a ＝1，∴a ＝2. 又log 2f (a )＝2，∴f (a )＝4.∴a 2－a ＋b ＝4，∴b ＝4－a 2＋a ＝2.故 f (x )＝x 2－x ＋2. 从而f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2 ＝(log 2x －12)2＋74.∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74.(2)由题意⎩⎪⎨⎪⎧log 2x 2－log 2x ＋2>2log 2x 2－x ＋2<2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >2或0<x <1－1<x <2⇒0<x <1.。

一、选择题1． (2012 高·考安徽卷 )(log 29) ·(log 34)＝ ()1B.1A. 42C ． 2D ． 4 分析： 选 D.(log 29) lg9lg42lg3 2lg2＝ 4.·(log 34)＝ lg2 × lg3 ＝lg2 × lg3x( a ， a)，则 f(x)2．若函数 y ＝ f(x)是函数 y ＝a (a>0，且 a ≠ 1)的反函数，其图象经过点＝ ( )1 A ． log 2xB.2x12C ． log 2xD ． x1 1 ，分析： 选 C.由题意知 f(x)＝ log a x ，∴a ＝log a a＝221∴f(x)＝ log 2x ，应选 C.3．设 2a＝ 5b＝ m ，且 1＋1＝ 2，则 m ＝ ( )a bA. 10B ． 10C ． 20D ． 100 分析： 选 A. 由 2a b 5＝ 5 ＝ m 得 a ＝ogm ， b ＝ log m ，1 1∴ ＋ ＝ log m 2＋log m 5＝ log m 10. a b1 12∵ ＋ ＝ 2，∴log m＝ 10， m ＝ 10.ab10＝ 2，∴m4．(2011 高·考重庆卷 )设 a ＝ log11，b ＝log 12，c ＝ log 34，则 a ，b ，c 的大小关系是 ()32 33 3A ． a<b<cB ． c<b<aC ． b<a<c4131 2 3 D ． b<c<a 1分析： 选 B.c ＝ log 3 ＝ log ，又< < 且函数 f (x )＝log x 在其定义域上为减函数，3 342 3 43111213所以 log 32>log 33>log 34，即 a>b>c. 1时， 4x＜ log a x ，则 a 的取值范围是 () 5． (2012 高·考课标全国卷 )当 0＜x ≤22 2 A ．(0， 2 ) B ．( 2 ，1) C ． (1， 2)D ．( 2， 2)1分析： 选 B.结构函数f(x)＝4x和 g(x)＝ log a x ，画出两个函数在0， 上的草图 (图略 )，2122可知，若 g(x)的图象经过点2， 2 ，则 a ＝ 2 ，所以 a 的取值范围为2 ， 1二、填空题3 36．已知 f( x)＝ |log 2x|，则 f(8)＋ f( 2)＝ ________.3 33 3 ＋ log 23－ 1＝2.分析： f( )＋ f( )＝ |log 2|＋ |log 2 |＝ 3－ log 23 8282答案： 2) 已知函数 f(x)＝ lgx ，若 f( ab)＝ 1，则 f(a 2) ＋f(b 2)＝ ________.7． (2012 ·考北京卷高 分析： 由 f(ab)＝ 1 得 ab ＝10，于是 f(a 2)＋ f( b 2)＝ lga 2＋ lgb 2＝ 2(lg a ＋ lgb)＝ 2lg( ab)＝ 2lg10＝ 2.答案： 28．函数 y ＝ (log 1x) 2－ log 1x ＋5 在区间 [2,4] 上的最小值是 ________．4 2分析： y ＝1 12 1 1 2log 2x － 2log 2x ＋ 5.11令 t ＝ 2log 2x(2≤ x ≤4)，1 2则－ 1≤ t ≤ － 2且 y ＝t－ t ＋ 5，∴当t ＝－ 1时， y min＝1＋1＋ 5＝ 23 . 答案：23 24 2 44三、解答题x ＋ 4xa1＋ 2 ，此中 a ∈ R ，假如当 x ∈ (－∞， 1] 时， f(x)存心义，求 a 的取9．设 f(x)＝ lg 3值范围．解：当 x ∈(－ ∞ ，1]， f(x)存心义，即等价于 1＋2x ＋ 4x ax ∈(－ ∞， 1]时， ＞0 建立．1 x ＋ 1 x 3将不等式变形，分别出 a ＞－ .①4 2原命题等价于 x ∈(－ ∞ ， 1]时， 求使①式建立的 a 的取值范围．令 y ＝－ 1 x 1 x，在 x ∈(－∞ ， 1]时， 4 ＋2 只要 a ＞ y max ，为此需求 y max .而 y ＝－1 x 1 x 在 x ∈(－ ∞， 1]上是增函数．4＋2 故当 x ＝ 1 时，有 y max ＝－ 1＋ 1 ＝－3 .3 4 2 43所以取 a ＞－ 4，即 a 的取值范围是－ 4，＋∞ .10． (2013 深·圳调研 )已知函数 f(x)＝ log 1(a 2 －3a ＋ 3)x .2 (1)判断函数的奇偶性；(2)若 y ＝ f(x) 在(－∞，＋∞ )上为减函数，求 a 的取值范围．解： (1)函数 f(x)＝ log 1 (a 2－ 3a ＋ 3)x的定义域为 R .21 2 x又 f(－ x)＝ log 2(a － 3a ＋ 3)－1 2 x＝－ log 2(a － 3a ＋ 3) ＝－ f(x)，所以函数 f(x)是奇函数．1 2x2x(2)函数 f(x)＝log 2( a－ 3a＋ 3)在 (－∞，＋∞) 上为减函数，则 y＝ (a－ 3a＋3)在 (－∞，＋ ∞ )上为增函数，由指数函数的单一性，有 a 2－ 3a ＋3＞ 1，解得 a ＜ 1 或 a ＞ 2.所以 a 的取值范围是 (－ ∞ ， 1)∪(2，＋ ∞ )．一、选择题 1．设函数 f(x) 定义在实数集上，f(2－ x)＝ f(x)，且当 x ≥ 1 时， f(x)＝ lnx ，则有 ()A ． 1 1f(3)< f(2)< f(2)1 1B ． f(2)<f(2)< f(3)1 1C ． f(2)<f(3)<f(2)1 1D ． f(2)< f(2)<f(3)分析： 选 C.由 f(2－ x)＝ f(x)，得 x ＝ 1 是函数 f(x)的一条对称轴，又x ≥ 1 时， f(x)＝ lnx单一递加，11∴x<1 时，函数单一递减．∴ f( 2)<f(3)<f(2)．－x2． (2013 ·顺检测抚x－a 且 a ≠ 1)在 R上既是奇函数，又是)若函数 f( x)＝ (k － 1) ·a (a ＞ 0 减函数，则 g(x)＝log a (x ＋ k)的图象是 ()分析： 选 A. 由函数 f(x)＝ (k － 1)a x － a －x(a ＞ 0 且 a ≠ 1)在 R 上是奇函数知f(0) ＝ 0，∴k ＝2.f(x)＝a x－ a－x(a ＞ 0 且 a ≠ 1)，又是 R 上的减函数，∴0＜a ＜ 1.g(x)＝ log a ( x ＋ 2)的定义域为 ( －2，＋ ∞ )，由于 0＜ a ＜ 1，故 g(x)＝ log a(－ 1,0)，应选(x ＋ 2)为 (－ 2，＋ ∞ )上的减函数，且恒过定点 A.二、填空题213．若函数 f(x)＝ log a (2x ＋ x)(a ＞ 0，a ≠ 1)在区间0，内恒有 f(x)＞ 0，则 f(x)的单一递增区间是 ________．1 1时，2x 2＋ x ∈(0,1) ，由于 a ＞0，a ≠ 1，分析：定义域为 －∞，－ 2 ∪(0，＋∞ )，当 x ∈ 0， 2设 u＝ 2x2＋ x＞0， y＝ log a u 在 (0,1)上大于 0 恒建立，∴ 0＜a＜ 1，所以函数f(x) ＝ log a(2x2＋ x)(a ＞ 0 ， a≠1) 的单调递增区间是u ＝ 2x2＋1x x∈－∞，－2∪(0，＋∞)的递减区间，即1－∞，－2 .1答案：－∞，－24． (2011 高·考山东卷 )已知函数f(x)＝ log a x＋ x－ b(a＞ 0，且 a≠ 1)．当 2＜ a＜ 3＜ b＜4时，函数 f(x)的零点 x0∈ (n， n＋ 1)， n∈N*，则 n＝ ________.分析：∵2＜ a＜3，∴f(x)＝log a x＋ x－ b 为定义域上的严格单一函数．f(2) ＝log a2＋2－ b，f(3)＝ log a3＋ 3－ b.∵2＜a＜ 3＜ b，∴lg2＜ lga＜ lg3，lg2lg2＜ 1.∴ ＜lg3lga又∵b＞ 3，∴－b＜－ 3，∴2－ b＜－ 1，∴log a2＋ 2－b＜ 0，即 f(2)＜ 0.lg3 lg3∵1＜lga＜lg2， 3＜ b＜ 4，∴－1＜3－ b＜ 0，∴log a3＋ 3－b＞ 0，∴f(3)＞ 0，即 f(2) ·f(3) ＜ 0.由 x0∈(n， n＋ 1)， n∈N*知， n＝ 2.答案： 2三、解答题5． (2013 ·京东城北 1 月检测 )已知函数f(x)＝log a(x＋ 1)－ log a(1－ x)， a＞ 0 且a≠ 1.(1)求 f(x)的定义域；(2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明；(3)若 a＞ 1 时，求使f(x)＞ 0 的 x 的解集．解： (1)f(x) ＝ log a(x＋ 1)－ log a(1－ x)，则 { x＋1＞0，－x＞0，解得－1＜x＜1.故所求函数f(x)的定义域为 { x|－1＜ x＜ 1} ．(2)由 (1)知 f(x)的定义域为 { x|－ 1＜ x＜ 1} ，且 f(－ x)＝ log a(－x＋ 1)－ log a(1＋ x)＝－ [log a(x＋ 1)－ log a(1－ x)] ＝－ f(x)，故 f(x)为奇函数．x＋ 1(3) 由于当 a＞ 1 时， f(x)在定义域 (－ 1,1)内是增函数，所以f(x)＞ 0?＞1.解得0＜x＜1.1－ x所以使 f(x)＞ 0 的 x 的解集是 { x|0＜ x＜1} ．。

单元质量评估二(第二章)时间：120分钟 分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分) 1．已知函数f (x )＝11－x 2的定义域为M ，g (x )＝log 2(1－x )(x ≤－1)的值域为N ，则∁R M ∩N 等于( )A ．{x |x >1}B ．ØC ．{y |y ≥1或y ≤－1}D ．{x |x ≥1}解析：可求得集合M ＝{x |－1<x <1}， 集合N ＝{g (x )|g (x )≥1}， 则∁R M ＝{x |x ≤－1或x ≥1}， ∴∁R M ∩N ＝{x |x ≥1}，故选D. 答案：D2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2，|x |≤111＋x 2，|x |>1，则f (f (12))等于( )A.12 B.413 C ．－95D.2541 解析：∵f (12)＝|12－1|－2＝－32，∴f (f (12))＝f (－32)＝11＋(－32)2＝413. 答案：B3．(2011·福建龙岩模拟)已知函数y ＝f (x )与y ＝e x 互为反函数，函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，若g (a )＝1，则实数a 的值为( )A ．－eB ．－1eC.1eD ．e解析：由y ＝f (x )与y ＝e x 互为反函数， 得f (x )＝ln x (x >0)，因为y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，故有g (x )＝－ln x (x >0)，g (a )＝1⇒ln a ＝－1， ∴a ＝1e .答案：C4．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象如下图，其中a ，b 为常数．则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是( )解析：由f (x )＝log a (x ＋b )为减函数可得0<a <1，y ＝log a (x ＋b )是由y ＝log a x 向左平移b 个单位得到的，且0<b <1，所以g (x )＝a x ＋b 的图象为减函数且是由y ＝a x 向上平移了b 个单位，故选D.答案：D5．已知函数f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)，若实数a ，b 满足f (a )＋f (b －1)＝0，则a ＋b 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．不确定解析：观察得f (x )在定义域内是增函数，而f (－x )＝ln(－x ＋x 2＋1)＝ln 1x ＋x 2＋1＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，则f (a )＝－f (b －1)＝f (1－b )， ∴a ＝1－b ，即a ＋b ＝1. 答案：C6．函数f (x )＝－(cos x )|lg|x ||的部分图象是( )解析：特殊值法，通过分离函数得 f 1(x )＝－cos x ，f 2(x )＝|lg|x ||， 由于f 2(x )＝|lg|x ||≥0，观察函数f 1(x )＝－cos x 的符号即可， 由于x ∈(－π2，0)∪(0，π2)时，f 1(x )＝－cos x <0， 可以得到正确结果． 答案：C7．(2011·皖南八校联考)已知二次函数f (x )的图象如下图所示，则其导函数f ′(x )的图象的大致形状是( )解析：由函数f (x )的图象知：当x ∈(－∞，1]时，f (x )为减函数，∴f ′(x )≤0；当x ∈[1，＋∞)时，f (x )为增函数，∴f ′(x )≥0.结合选项知选C.答案：C8．已知函数f (x )＝x e x ，则f ′(2)等于( ) A ．e 2 B ．2e 2 C ．3e 2D ．2ln2解析：∵f (x )＝x e x ，∴f ′(x )＝e x ＋x e x . ∴f ′(2)＝e 2＋2e 2＝3e 2.故选C. 答案：C9．函数f (x )＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)内是减函数，则( ) A ．a <1 B ．a <13C ．a <0D ．a ≤0 解析：f ′(x )＝3ax 2－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a ≤13x 2在(－∞，＋∞)上恒成立， 而13x 2>0，∴a ≤0.故选D. 答案：D10．将函数y ＝f ′(x )sin x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝1－2sin 2x 的图象，则f (x )是( )A ．2sin xB ．cos xC ．sin xD ．2cos x解析：y ＝1－2sin 2x ＝cos2x ，向右平移π4个单位得cos2(x －π4)＝cos(2x －π2)＝sin2x ＝2cos x ·sin x ，故f ′(x )＝2cos x ，∴f (x )＝2sin x ，故选A.答案：A11．(2010·湖北调研)已知f (x )、g (x )都是定义在R 上的函数，且满足以下条件： ①f (x )＝a x g (x )(a >0，a ≠1)； ②g (x )≠0；③f (x )g ′(x )>f ′(x )g (x )． 若f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，则a 等于( ) A.54B.12C ．2D ．2或12解析：记h (x )＝f (x )g (x )＝a x ，则有h ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )<0，即a x ln a <0，故ln a <0,0<a <1. 由已知得h (1)＋h (－1)＝52，即a ＋a －1＝52，a 2－52a ＋1＝0，故a ＝12或a ＝2，又0<a <1，因此a ＝12，选B.答案：B12．若函数f (x )＝log a (x 3－ax )(a >0，a ≠1)在区间(－12，0)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[14，1)B ．[34，1)C ．(94，＋∞)D ．(1，94)解析：设u (x )＝x 3－ax ，由复合函数的单调性，可分0<a <1和a >1两种情况讨论： ①当0<a <1时，u (x )＝x 3－ax 在(－12，0)上单调递减，即u ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－12，0)上恒成立，∴a ≥34，∴34≤a <1；②当a >1时，u (x )＝x 3－ax 在(－12，0)上单调递增，即u ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－12，0)上恒成立，∴a ≤0，∴a 无解， 综上，可知34≤a <1，故选B.答案：B二、填空题(每小题5分，共20分)13．若函数f (x )＝ax 2＋x ＋1的值域为R ，则函数g (x )＝x 2＋ax ＋1的值域为________． 解析：要使f (x )的值域为R ，必有a ＝0，于是g (x )＝x 2＋1，值域为[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)14．若f (x )是幂函数，且满足f (4)f (2)＝3，则f (12)＝________.解析：设f (x )＝x α，则有4α2α＝3，解得2α＝3，α＝log 23，∴f (12)＝(12)log 23＝2－log 23＝13.答案：1315．(2011·济南模拟)已知a ＝⎠⎛0π(sin t ＋cos t )d t ，则(x －1ax)6的展开式中的常数项为________．解析：a ＝⎠⎛0π(sin t ＋cos t )d t ＝(sin t －cos t )| π＝(sin π－cos π)－(sin0－cos0)＝2，所以(x －1ax )6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r (－12x )r ＝(－1)r 2－r C r 6x 6－2r ，令6－2r ＝0，得r ＝3，故常数项为(－1)32－3C 36＝－52. 答案：－5216．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，－2≤x <0g (x )－log 5(x ＋5＋x 2)，0<x ≤2，若f (x )为奇函数，则当0<x ≤2时，g (x )的最大值是________．解析：由于f (x )为奇函数，当－2≤x <0时，f (x )＝2x 有最小值为f (－2)＝2－2＝14，故当0<x ≤2时，f (x )＝g (x )－log 5(x ＋5＋x 2)有最大值为f (2)＝－14，而当0<x ≤2时，y ＝log 5(x ＋5＋x 2)为增函数，考虑到g (x )＝f (x )＋log 5(x ＋5＋x 2)，结合当0<x ≤2时，f (x )与y ＝log 5(x ＋5＋x 2)在x ＝2时同时取到最大值，故[g (x )]max ＝f (2)＋log 5(2＋5＋22)＝－14＋1＝34.答案：34三、解答题(本大题共6个小题，共计70分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)17．(10分)如下图所示，图1是定义在R 上的二次函数f (x )的部分图象，图2是函数g (x )＝log a (x ＋b )的部分图象．(1)分别求出函数f (x )和g (x )的解析式；(2)如果函数y ＝g (f (x ))在区间[1，m )上单调递减，求m 的取值范围． 解：(1)由题图1得，二次函数f (x )的顶点坐标为(1,2)， 故可设函数f (x )＝a (x －1)2＋2，又函数f (x )的图象过点(0,0)，故a ＝－2， 整理得f (x )＝－2x 2＋4x .由题图2得，函数g (x )＝log a (x ＋b )的图象过点(0,0)和(1,1)，故有⎩⎪⎨⎪⎧ log a b ＝0，log a (1＋b )＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，∴g (x )＝log 2(x ＋1)(x >－1)．(2)由(1)得y ＝g (f (x ))＝log 2(－2x 2＋4x ＋1)是由y ＝log 2t 和t ＝－2x 2＋4x ＋1复合而成的函数，而y ＝log 2t 在定义域上单调递增，要使函数y ＝g (f (x ))在区间[1，m )上单调递减，必须t ＝－2x 2＋4x ＋1在区间[1，m )上单调递减，且有t >0恒成立．由t ＝0得x ＝2±62，又t 的图象的对称轴为x ＝1.所以满足条件的m 的取值范围为1<m <2＋62.18．(12分)已知关于x 的方程9x ＋m ·3x ＋6＝0(其中m ∈R )． (1)若m ＝－5，求方程的解；(2)若方程没有实数根，求实数m 的取值范围． 解：(1)当m ＝－5时，方程即为9x －5·3x ＋6＝0， 令3x ＝t (t >0)，方程可转化为t 2－5t ＋6＝0， 解得t ＝2或t ＝3，由3x ＝2得x ＝log 32，由3x ＝3得x ＝1， 故原方程的解为1，log 32. (2)令3x ＝t (t >0)．方程可转化为t 2＋mt ＋6＝0①要使原方程没有实数根，应使方程①没有实数根，或者没有正实数根． 当方程①没有实数根时，需Δ＝m 2－24<0， 解得－26<m <26；当方程①没有正实数根时，方程有两个相等或不相等的负实数根，这时应有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－24≥0，－m <0，解得m ≥2 6.综上，实数m 的取值范围为m >－2 6.19．(12分)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，且x >0时，f (x )<0，f (1)＝－2.(1)求证f (x )是奇函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值． (1)证明：∵f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )， 令a ＝－b ，得f (0)＝f (a )＋f (－a )； 令a ＝b ＝0，得f (0)＝2f (0)， ∴f (0)＝0.∴f (a )＋f (－a )＝0(a ∈R )． ∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数． (2)解：设x 1<x 2，x 1、x 2∈Rf (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)<0， ∴f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)． ∴函数f (x )在R 上是单调递减的．∴f (x )在[－3,3]上的最大值是f (－3)，最小值是f (3)． ∵f (1)＝－2，∴f (2)＝f (1)＋f (1)＝－4， f (3)＝f (2)＋f (1)＝－6，f (－3)＝－f (3)＝6. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为6，最小值为－6. 20．(12分)(2010·济南模拟)已知函数f (x )＝ln (1＋x )x .(1)确定y ＝f (x )在(0，＋∞)上的单调性；(2)设h (x )＝x ·f (x )－x －ax 3在(0,2)上有极值，求a 的取值范围． 解：(1)由题知f ′(x )＝xx ＋1－ln (1＋x )x 2，设g (x )＝xx ＋1－ln(1＋x )(x >0)，则g ′(x )＝1(x ＋1)2－1x ＋1＝－x (x ＋1)2<0在(0，＋∞)上恒成立， ∴g (x )在(0，＋∞)上单调递减， ∴g (x )<g (0)＝0，∴f ′(x )<0. 因此f (x )在(0，＋∞)上单调递减． (2)由h (x )＝x ·f (x )－x －ax 3可得，h ′(x )＝1x ＋1－1－3ax 2＝－x (3ax 2＋3ax ＋1)x ＋1， 若a ≥0，对任意x ∈(0,2)，h ′(x )<0，∴h (x )在(0,2)上单调递减，则f (x )在(0,2)上无极值．若a <0，h (x )＝x ·f (x )－x －ax 3在(0,2)上有极值的充要条件是φ(x )＝3ax 2＋3ax ＋1在(0,2)上有零点，又φ(x )在(－12，＋∞)上单调，∴φ(0)·φ(2)<0，解得a <－118.综上，a 的取值范围是(－∞，－118)．21．(12分)(2011·东北三校二模)已知f (x )＝x 2ln(ax )(a >0)． (1)若曲线y ＝f (x )在x ＝ea 处的切线斜率为3e ，求a 的值；(2)求f (x )在[1e，e]上的最小值． 解：(1)∵f ′(x )＝2x ln(ax )＋x 2·aax ＝x [2ln(ax )＋1]，∴3e ＝f ′(e a )＝e a [2ln(a ·ea )＋1]，∴a ＝1.(2)由题知x >0，f ′(x )＝x [2ln(ax )＋1]， 令f ′(x )＝0，则2ln(ax )＋1＝0，得x ＝1a e ，①当a ≥1时，1a e ≤1e .当x ∈[1e，e]时，f ′(x )≥0， ∴f (x )在[1e，e]上是增函数， ∴[f (x )]min ＝f (1e )＝1e ln a e ＝1e(ln a －12)；②当1e <a <1时，1e <1a e < e.当x ∈[1e ，1a e)时，f ′(x )<0； 当x ∈[1a e ，e]时，f ′(x )>0，∴f (x )在[1e ，1a e ]上是减函数，在[1a e，e]上为增函数， ∴[f (x )]min ＝f (1a e )＝1a 2e ln 1e ＝－12a 2e ；③当0<a ≤1e 时，1a e≥ e.当x ∈[1e，e]时，f ′(x )<0， ∴f (x )在[1e，e]上是减函数， ∴[f (x )]min ＝f (e)＝eln a e ＝e(ln a ＋12)．22．(12分)已知函数f (x )＝x 3－3ax 2－9a 2x ＋a 3. (1)设a ＝1，求函数f (x )的极值；(2)若a >14，且当x ∈[1,4a ]时，|f ′(x )|≤12a 恒成立，试确定a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，对函数f (x )求导数，得f ′(x )＝3x 2－6x －9.令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3.列表讨论f (x )，f ′(x )的变化情况：(2)f ′(x )＝3x 2－6ax －9a 2的图象是一条开口向上的抛物线，关于x ＝a 对称．若14<a ≤1，则f ′(x )在[1,4a ]上是增函数，从而f ′(x )在[1,4a ]上的最小值是f ′(1)＝3－6a －9a 2，最大值是f ′(4a )＝15a 2.由|f ′(x )|≤12a ，得－12a ≤3x 2－6ax －9a 2≤12a ，于是有f ′(1)＝3－6a －9a 2≥－12a ，且f ′(4a )＝15a 2≤12a .由f ′(1)≥－12a ，得－13≤a ≤1，由f ′(4a )≤12a ，得0≤a ≤45.所以a ∈(14，1]∩[－13，1]∩[0，45]，即a ∈(14，45]．若a >1，则|f ′(a )|＝12a 2>12a .故当x ∈[1,4a ]时|f ′(x )|≤12a 不恒成立．所以使|f ′(x )|≤12a (x ∈[1,4a ])恒成立的a 的取值范围是(14，45]．高.考*试+题╔库。

高考数学（理科）一轮复习对数与对数函数学案带答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案8 对数与对数函数导学目标：1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数y＝ax 与对数函数y＝logax互为反函数，体会对数函数是一类重要的函数模型．自主梳理．对数的定义如果________________，那么数x叫做以a为底N的对数，记作__________，其中____叫做对数的底数，______叫做真数．2．对数的性质与运算法则对数的性质①＝____；②＝____；③＝____；④＝____.对数的重要公式①换底公式：logbN＝________________；②＝，推广＝________.对数的运算法则如果a&gt;0且a≠1，m&gt;0，N&gt;0，那么①loga＝___________________________；②logamN＝______________________；③logamn＝__________；④＝nmlogam.3．对数函数的图象与性质a&gt;10&lt;a&lt;1图象性质定义域：______值域：______过点______，即x＝____时，y＝____当x&gt;1时，______当0&lt;x&lt;1时，______当x&gt;1时，______当0&lt;x&lt;1时，______是上的______函数是上的______函数4.反函数指数函数y＝ax与对数函数____________互为反函数，它们的图象关于直线______对称．自我检测．2log510＋log50.25的值为A．0B．1c．2D．42．设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m的值为A.10B．10c．20D．1003．已知函数f满足：当x≥4时，f＝12x；当x&lt;4时，f＝f．则f的值为A.124B.112c.18D.384．定义在R上的偶函数f在[0，＋∞)上递增，f＝0，则满足&gt;0的x的取值范围是A．B．∪c．∪D．5．已知0&lt;a&lt;b&lt;1&lt;c，m＝logac，n＝logbc，则m与n的大小关系是______.探究点一对数式的化简与求值例1 计算：；12lg3249－43lg8＋lg245；已知2lgx－y2＝lgx＋lgy，求.变式迁移1 计算：log2748＋log212－12log242－1；2＋lg2&#8226;lg50＋lg25.探究点二含对数式的大小比较例2 比较下列各组数的大小．①log323与log565；②log1.10.7与log1.20.7.已知log12b&lt;log12a&lt;log12c，比较2b,2a,2c的大小关系．变式迁移2 设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则A．a&gt;b&gt;cB．a&gt;c&gt;bc．b&gt;a&gt;cD．b&gt;c&gt;a设a，b，c均为正数，且2a＝，b＝，c＝log2c，则A．a&lt;b&lt;cB．c&lt;b&lt;a0c．c&lt;a&lt;bD．b&lt;a&lt;c探究点三对数函数的图象与性质例3 已知f＝logax，如果对于任意的x∈[13，2]都有|f|≤1成立，试求a的取值范围．变式迁移3 已知函数f＝|lgx|，若0&lt;a&lt;b，且f＝f，则a＋2b的取值范围是A．B．[22，＋∞)c．D．[3，＋∞)分类讨论思想的应用例已知函数f＝loga．解关于x的不等式：loga&gt;f；设A，B是f图象上的两点，求证：直线AB的斜率小于0.【答题模板】解∵f＝loga，∴f＝loga．∴1－a&gt;0.∴0&lt;a&lt;1.∴不等式可化为loga&gt;loga．∴1－ax&gt;0，1－ax&lt;1－a.，即ax&lt;1，ax&gt;a.∴0&lt;x&lt;1.∴不等式的解集为．[4分]证明设x1&lt;x2，则f－f＝－＝.∵1－ax&gt;0，∴ax&lt;1.∴a&gt;1时，f的定义域为；[6分]0&lt;a&lt;1时，f的定义域为．当0&lt;a&lt;1时，∵x2&gt;x1&gt;0，∴&lt;.∴&gt;1.∴&lt;0.∴f&lt;f，即y2&lt;y1.同理可证，当a&gt;1时，也有y2&lt;y1.[10分]综上：y2&lt;y1，即y2－y1&lt;0.∴kAB＝y2－y1x2－x1&lt;0.∴直线AB的斜率小于0.[12分]【突破思维障碍】解决含参数的对数问题，不可忽视对底数a的分类讨论，即a&gt;1或0&lt;a&lt;1，其次要看定义域，如果将函数变换，务必保证等价性．．求解与对数函数有关的复合函数的单调性的步骤：确定定义域；弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数y＝f，u＝g；分别确定这两个函数的单调区间；若这两个函数同增或同减，则y＝f)为增函数，若一增一减，则y＝f)为减函数，即“同增异减”．2．用对数函数的性质比较大小同底数的两个对数值的大小比较例如，比较logaf与logag的大小，其中a&gt;0且a≠1.①若a&gt;1，则logaf&gt;logag&#8660;f&gt;g&gt;0.②若0&lt;a&lt;1，则logaf&gt;logag&#8660;0&lt;f&lt;g．同真数的对数值大小关系如图：图象在x轴上方的部分自左向右底逐渐增大，即0&lt;c&lt;d&lt;1&lt;a&lt;b.3．常见对数方程式或对数不等式的解法形如logaf＝logag等价于f＝g，但要注意验根．对于logaf&gt;logag等价于0&lt;a&lt;1时，a&gt;1时，形如F＝0、F&gt;0或F&lt;0，一般采用换元法求解．一、选择题．设m＝{y|y＝x，x∈[0，＋∞)}，N＝{y|y＝log2x，x ∈A．∪[1，＋∞)B．[0，＋∞)c．∪2．设a＝log32，b＝ln2，c＝5－12，则A．a&lt;b&lt;cB．b&lt;c&lt;ac．c&lt;a&lt;bD．c&lt;b&lt;a3．若函数f＝log2x，x&gt;0，log12，x&lt;0，若f&gt;f，则实数a的取值范围是A．∪B．∪c．∪D．∪4．设函数f定义在实数集上，f＝f，且当x≥1时，f ＝lnx，则有A．f&lt;f&lt;fB．f&lt;f&lt;fc．f&lt;f&lt;fD．f&lt;f&lt;f5．已知函数f＝ax＋logax在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为A.12B.14c．2D．4题号2345答案二、填空题6．2lg5＋23lg8＋lg5&#8226;lg20＋lg22＝________.7．已知函数f＝lgax＋a－2x在区间[1,2]上是增函数，则实数a的取值范围是____________．8．已知f＝4xlog23＋233，则f＋f＋f＋…＋f＝________.三、解答题9．已知f＝2＋log3x，x∈[1,9]，求y＝[f]2＋f的最大值及y取最大值时x的值．10．已知函数f＝loga－loga，a&gt;0且a≠1.求f的定义域；判断f的奇偶性并予以证明；若a&gt;1时，求使f&gt;0的x的解集．1．已知函数f＝lg．求y＝f的定义域；在函数y＝f的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴；当a，b满足什么条件时，f在上恒取正值．答案自主梳理．ax＝N x＝logaN a N 2.①N ②0 ③N ④1 ①logaNlogab②logad①logam＋logaN②logam－logaN③nlogam 3.R10y&gt;0y&lt;0y&lt;0 y&gt;0增减 4.y＝logax y＝x自我检测．c 2.A3．A [因为3&lt;2＋log23&lt;4，故f＝f＝f．又3＋log23&gt;4，故f＝123＋log23＝123&#8226;13＝124.] 4．B [由题意可得：f＝f＝f，f&gt;f，f在[0，＋∞)上递增，于是|log18x|&gt;13，解得x的取值范围是∪．] 5．m&gt;n解析∵m&lt;0，n&lt;0，∵mn＝logac&#8226;logcb ＝logab&lt;logaa＝1，∴m&gt;n.课堂活动区例1 解题导引在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化．解方法一利用对数定义求值：设＝x，则x＝2－3＝12＋3＝－1，∴x＝－1.方法二利用对数的运算性质求解：＝＝＝－1.原式＝12－43lg812＋2lg245＝12－43×32lg2＋12＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5＝12lg2＋12lg5＝12lg＝12lg10＝12.由已知得lg2＝lgxy，∴2＝xy，即x2－6xy＋y2＝0.∴2－6＋1＝0.∴xy＝3±22.∵x－y&gt;0，x&gt;0，y&gt;0，∴xy&gt;1，∴xy＝3＋22，∴logxy＝log＝log&#61480;3－22&#61481;13－22＝－1.变式迁移 1 解原式＝log2748＋log212－log242－log22＝log27×1248×42×2＝log2122＝log22－32＝－32.原式＝lg2&#8226;＋lg25＝21g2＋lg25＝lg100＝2.例2 解题导引比较对数式的大小或证明等式问题是对数中常见题型，解决此类问题的方法很多，①当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；②若底数不同，真数相同，可转化为同底或利用对数函数图象，数形结合解得；③若不同底，不同真数，则可利用中间量进行比较．解①∵log323&lt;log31＝0，而log565&gt;log51＝0，∴log323&lt;log565.②方法一∵0&lt;0.7&lt;1,1.1&lt;1.2，∴0&gt;log0.71.1&gt;log0.71.2.∴1log0.71.1&lt;1log0.71.2，由换底公式可得log1.10.7&lt;log1.20.7.方法二作出y＝log1.1x与y＝log1.2x的图象，如图所示，两图象与x＝0.7相交可知log1.10.7&lt;log1.20.7.∵y＝log12x为减函数，且log12b&lt;log12a&lt;log12c，∴b&gt;a&gt;c.而y＝2x是增函数，∴2b&gt;2a&gt;2c.变式迁移 2 A [a＝log3π&gt;1，b＝12log23，则12&lt;b&lt;1，c＝12log32&lt;12，∴a&gt;b&gt;c.]A [∵a，b，c均为正，∴log12a＝2a&gt;1，log12b＝b∈，log2c＝c∈．∴0&lt;a&lt;12，12&lt;b&lt;1,1&lt;c&lt;2.故a&lt;b&lt;c.]例3 解题导引本题属于函数恒成立问题，即对于x ∈[13，2]时，|f|恒小于等于1，恒成立问题一般有两种思路：一是利用图象转化为最值问题；二是利用单调性转化为最值问题．由于本题底数a为参数，需对a分类讨论．解∵f＝logax，则y＝|f|的图象如右图．由图示，可使x∈[13，2]时恒有|f|≤1，只需|f|≤1，即－1≤loga13≤1，即logaa－1≤loga13≤logaa，亦当a&gt;1时，得a－1≤13≤a，即a≥3；当0&lt;a&lt;1时，得a－1≥13≥a，得0&lt;a≤13.综上所述，a的取值范围是．变式迁移3 c[画出函数f＝|lgx|的图象如图所示．∵0&lt;a&lt;b，f＝f，∴0&lt;a&lt;1，b&gt;1，∴lga&lt;0，lgb&gt;0.由f＝f，∴－lga＝lgb，ab＝1.∴b＝1a，∴a＋2b＝a＋2a，又0&lt;a&lt;1，函数t＝a＋2a在上是减函数，∴a＋2a&gt;1＋21＝3，即a＋2b&gt;3.]课后练习区．c [∵x≥0，∴y＝x∈＝log2a，f＝，f&gt;f，即log2a&gt;＝log21a，∴a&gt;1a，解得a&gt;1.②当a&lt;0时，f＝，f＝log2，f&gt;f，即&gt;log2＝，∴－a&lt;1－a，解得－1&lt;a&lt;0，由①②得－1&lt;a&lt;0或a&gt;1.]4．c [由f＝f知f的图象关于直线x＝2－x＋x2＝1对称，又当x≥1时，f＝lnx，所以离对称轴x＝1距离大的x的函数值大，∵|2－1|&gt;|13－1|&gt;|12－1|，∴f&lt;f&lt;f．]5．c [当x&gt;0时，函数ax，logax的单调性相同，因此函数f＝ax＋logax是上的单调函数，f在[1,2]上的最大值与最小值之和为f＋f＝a2＋a＋loga2，由题意得a2＋a ＋loga2＝6＋loga2.即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3．] 6．37．解析因为f＝lga＋a－2x在区间[1,2]上是增函数，所以g＝a＋a－2x在区间[1,2]上是增函数，且g&gt;0，于是a－2&lt;0，且2a－2&gt;0，即1&lt;a&lt;2.8．XX解析令3x＝t，f＝4log2t＋233，∴f＋f＋f＋…＋f＝4×＋8×233＝4×36＋1864＝XX.9．解∵f＝2＋log3x，∴y＝[f]2＋f＝2＋2＋log3x2＝log23x＋6log3x＋6＝2－3.……∵函数f的定义域为[1,9]，∴要使函数y＝[f]2＋f有意义，必须1≤x2≤9，1≤x ≤9，∴1≤x≤3，∴0≤log3x≤1，∴6≤2－3≤13.当log3x＝1，即x＝3时，ymax＝13.∴当x＝3时，函数y＝[f]2＋f取最大值13.………………………………………0．解f＝loga－loga，则x＋1&gt;0，1－x&gt;0，解得－1&lt;x&lt;1.故所求函数f的定义域为{x|－1&lt;x&lt;1}．………………………………………………由知f的定义域为{x|－1&lt;x&lt;1}，且f＝loga－loga＝－[loga－loga]＝－f，故f为奇函数．………………………………………………………………因为当a&gt;1时，f在定义域{x|－1&lt;x&lt;1}内是增函数，所以f&gt;0&#8660;x＋11－x&gt;1.解得0&lt;x&lt;1.所以使f&gt;0的x的解集是{x|0&lt;x&lt;1}．…………………………………1．解由ax－bx&gt;0，得x&gt;1，且a&gt;1&gt;b&gt;0，得ab&gt;1，所以x&gt;0，即f的定义域为．…………………………………………………………………………………………任取x1&gt;x2&gt;0，a&gt;1&gt;b&gt;0，则&gt;&gt;0，，所以&gt;&gt;0，即&gt;．故f&gt;f．所以f在上为增函数．………………………………………………………假设函数y＝f的图象上存在不同的两点A、B，使直线平行于x轴，则x1≠x2，y1＝y2，这与f是增函数矛盾．故函数y＝f的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴．…………因为f是增函数，所以当x∈时，f&gt;f．这样只需f ＝lg≥0，即当a≥b＋1时，f在上恒取正值．……………………………………………。

高考数学一轮复习定时检测 2.5对数与对数函数（带详细解析） 理 新人教A 版一、选择题(每小题7分，共42分) 1．(2009·湖南文，1)log 22的值为( ) A ．－ 2B. 2C ．－12D.12解析 log 22＝log 2212＝12.答案 D2．(2009·广东文，4)若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝ ( ) A.12x B ．2x －2 C ．log 12x D ．log 2x解析 函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a＝2，故f (x )＝log 2x ，故选D. 答案 D3．(2009·辽宁文，6)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；当x <4时，f (x )＝f (x＋1)．则f (2＋log 23)＝ ( ) A.124 B.112 C.18 D.38 解析 因为2＋log 23<4，故f (2＋log 23)＝f (2＋log 23＋1)＝f (3＋log 23)．又3＋log 23>4，故f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123·13＝124.答案 A4．(2009·韶关第一学期期末)已知0<x <y <a <1，m ＝log a x ＋log a y ，则有 ( )A ．m <0B ．0<m <1C ．1<m <2D ．m >2解析 m ＝log a xy ，∵0<x <y <a <1，∴0<xy <a 2<1.∴m >log a a 2＝2. 答案 D5．(2010·烟台一模)函数y ＝f (x )的图象如下图所示，则函数y ＝log 12f (x )的图象大致是( )6．(2010·绍兴模拟)函数y ＝log a |x ＋b | (a >0，a ≠1，ab ＝1)的图象只可能是 ( )解析 由a>0，ab =1可知b>0，又y=log a |x+b|的图象关于x=-b 对称，由图象可知b>1，且0<a<1，由单调性可知，B 正确． 答案 B二、填空题(每小题6分，共18分)7．(2009·江苏，11)已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝__________________________. 解析 ∵log 2x ≤2，∴0<x ≤4.又∵A ⊆B ，∴a >4， ∴c ＝4. 答案 48．(2009·嘉兴第一学期期末)计算：[(－4)3]13＋log 525＝________.解析 原式＝(－4)1＋log 552＝－4＋2＝－2. 答案 －29．(2009·台州第一学期期末)已知0<a <b <1<c ，m ＝log a c ，n ＝log b c ，则m 与n 的大小关系是________．解析 ∵m <0，n <0，m n＝log a c ·log c b ＝log a b <log a a ＝1，∴m >n . 答案 m >n三、解答题(共40分)10．(13分)(2010·巢湖一模)将下列各数按从大到小的顺序排列：log 89，log 79，log 123，log 1229， ⎝ ⎛⎭⎪⎫123，⎝ ⎛⎭⎪⎫12π.解 log 1229＝(－log 29)2＝log 229，在同一坐标系内作出y ＝log 8x ，y ＝log 7x ，y ＝log 2x 的图象如图所示，当x ＝9时，由图象知log 29>log 79>log 89>1＝log 88，∴log 229>log 79>log 89>1，即19log 9log 9log 87221>>>.∵xy )21(=在R 上是减函数， ∴1>3)21(>π)21( >0. 又log 3<0，综上：3log π)2()21(9log 9log 9log 21387221>1>>>.11．(13分)(2009·邵阳模拟)若函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M .当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2 －3×4x的最值及相应的x 的值．解 y ＝lg(3－4x ＋x 2)，∴3－4x ＋x 2>0， 解得x <1或x >3，∴M ＝{x |x <1，或x >3}， f (x )＝2x ＋2－3×4x ＝4×2x －3×(2x )2.令2x＝t ，∵x <1或x >3， ∴t >8或0<t <2.∴f (t )＝4t －3t 2＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋43(t >8或0<t <2)．由二次函数性质可知：当0<t <2时，f (t )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43， 当t >8时，f (x )∈(－∞，－160)，当2x＝t ＝23，即x ＝log 223时，f (x )max ＝43.综上可知：当x ＝log 223时，f (x )取到最大值为43，无最小值．12．(14分)(2009·四平期末)已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x的定义域为[0,1]．(1)求a 的值；(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．解 方法一 (1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a＝2⇒a ＝log 32.(2)由(1)得g (x )＝λ·2x －4x，设0≤x 1<x 2≤1， 因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以g (x 1)－g (x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，即λ<2x 2＋2x 1恒成立．由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2，所以，实数λ的取值范围是λ≤2.方法二 (1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a＝2⇒a ＝log 32.(2)由(1)得g (x )＝λ·2x －4x，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以有g′(x)＝λln 2·2x－ln 4·4x＝ln 2[－2·(2x)2＋λ·2x]≤0成立．设2x＝u∈[1,2]，上式成立等价于－2u2＋λu≤0恒成立．因为u∈[1,2]，只需λ≤2u 恒成立，所以实数λ的取值范围是λ≤2.。

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学及答案详细解析(新课标)注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

(1).已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x-y∈A}，则B中所含元素的个数为A.3B.6C.8D.10解析:集合B中的元素是由A中的元素作差得到的,且得到的差x-y∈A,所以有C52=10.所以选择D。

2.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组有1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有A.12种B.10种C.9种D.8种解析：根据题意，首先将两个老师分组C42/2种，学生分配到每组中有2种方法，再将分好的组分配到甲、乙两地参加社会实践活动方法有2种，根据分步计数原理（C42/2）*2*2=12种，选择A。

(3).下面是关于复数z=21i-+的四个命题P1：z=2 p2：2z=2i P3：z的共轭复数为1+i P4 ：z的虚部为-1其中真命题为A.P2, P3 B. P1 ,P2 C.P2，P4 D. P3，P4解析：化简2−1+i =2（i+1）（−1+i）（i+1）=2（i+1）i−1=−1−i，z=2，不正确，|z|=2；z2=（−1−i）2=2i，正确；z的共轭复数为1+i为−1+i，P3不正确；P4 ：z的虚部为-1正确。

所以选择C(4).设F 1，F 2椭圆E ： 22x a +22y b=1 (a ＞b ＞0)的左、右焦点 ，P 为直线x=3a2上的一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为 A .12 B. 23 C. 34 D. 45解析：由图可知∠PF 2x ＝60°, PF 2=F 1F 2=2c,2ccos60°=3a2-c,解得ac=34，所以选C 。

2012年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2014•大庆二模）复数=（）的分子分母都乘以分母的共轭复数，得=或．C D．轴上，且椭圆的方程为4．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A 1B1C1D1中，AB=2，，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的C DEC=×××BD=2BE=DE==2×=2×h=5．（5分）（2014•重庆三模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为．C D．=∴==6．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（）．C D．，进而可求，从而可求与解：∵•=0∵||=1||=2AB=∴∴∴7．（5分）（2014•宜春模拟）已知α为第二象限角，，则cos2α=（）D．=，两边平方得：=﹣，）×8．（5分）（2014•闸北区三模）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=．C D．，==9．（5分）（2014•湖北）已知x=lnπ，y=log52，，则（），＞，即可得到答案．5=，=＞，即（311．（5分）将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同12．（5分）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的CG=DH=二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）若x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为﹣1．解：作出不等式组14．（5分）（2014•武汉模拟）当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=．﹣cosx cosx=2sinx cosx﹣﹣＜，=，x=．故答案为：）15．（5分）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为56．解：由题意可得，此时系数为16．（5分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．=，，，∵∴（）﹣++=|==|===＜，=所成角的余弦值为三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A﹣C）+cosB=1，a=2c，求C．，sinAsinC=①sinC=18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．，（2），﹣∴2，（，（）∴=﹣=0•=0），（的法向量为，则，=，则，﹣），∴•﹣b=∴，，（﹣，﹣＜，==19．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．1，根据120．（12分）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围．，构造函数）x；②≤﹣时，∵，即x时，有时，，当时，≤≤21．（12分）已知抛物线C：y=（x+1）2与圆（r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．，到该切线的距离为，建立方程，求得，的斜率×=r=|MA|=到该切线的距离为∴﹣﹣﹣的距离为22．（12分）函数f（x）=x2﹣2x﹣3，定义数列{ x n}如下：x1=2，x n+1是过两点P（4，5），Q n（x n，f（x n））的直线PQ n与x轴交点的横坐标．（Ⅰ）证明：2≤x n＜x n+1＜3；（Ⅱ）求数列{ x n}的通项公式．的方程为时，可得，可得，可得是以﹣为首项，的方程为时，∴的方程为时，∴，∴，可得，∴∴∴是以﹣为首项，∴∴∴。