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线性规划及非线性规划算法以及软件求解 PPT课件

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线性规划PPT课件

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线性规划的基本定理
线性规划的解存在性
对于任何线性规划问题，都存在至少一个最优解。
最优解的唯一性
在某些情况下，线性规划问题的最优解是唯一的，这取决于目标函 数和约束条件的形状和位置。
解的稳定性
线性规划问题的最优解是稳定的，即使目标函数或约束条件略有变 化，最优解也不会发生大的变化。
03
线性规划的求解方法
优缺点：内点法具有全局收敛性和对初始点不敏 感的优点，但计算量较大，需要较高的计算资源 。
椭球法
01
总结词：几何方法
02
03
04
详细描述：椭球法是一种基 于几何方法的线性规划算法。 它将可行解的边界表示为椭 球，通过迭代移动椭球中心
来逼近最优解。
算法步骤：椭球法的基本步 骤包括初始化、构建椭球和 迭代更新。在每次迭代中， 根据当前椭球的位置和方向 来更新中心和半径，直到满
运输问题
总结词
运输问题是线性规划在物流和供应链管理中的重要应用，旨在优化运输成本、 运输时间和运输量等目标。
详细描述
运输问题通常需要考虑多个出发地、目的地、运输方式和运输成本等因素。通 过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输成本最低、运输时间 最短，同时满足运输量和运输路线的限制。
投资组合优化问题
03
单纯形法
单纯形法是线性规划的标 准算法，通过迭代和优化， 找到满足约束条件的最大 或最小目标函数值。
初始解
在应用单纯形法之前，需 要先找到一个初始解，这 可以通过手动计算或使用 软件工具来实现。
迭代过程
单纯形法通过不断迭代和 优化，逐步逼近最优解， 每次迭代都需要重新计算 目标函数值和最优解。
线性规划的几何意义

MATLAB求解线性规划问题ppt课件

MATLAB求解线性规划问题ppt课件
一、实验目的
1、了解无约束规划问题的求解原理与方法 ； 2、会用Matlab软件求解无约束规划问题。
二、实验原理和方法
无约束规划问题的解法一般按目标函数的形式分为两大类： 一类是一元函数的一维搜索法，如黄金分割法、插值法等； 另一类是求解多元函数的下降迭代法。
11
迭代的基本思想和步骤大致可分为以下四步：
然后建立函数文件fun703.m
function f fun703(x) f (x(1)^2 x(2) 1)^2 ((x(1) 2)^2
(x(2) 0.5)^2 1)^2
16
在命令窗口输入： x0=[0;0]; x=fminunc(‘fun703’,x0)
Matlab程序： ch701.m
9
以ch701作为文件名保存此M文件后，在命令窗口 输入ch701后即可得到结果：
x = 4.0000 1.0000 9.0000
同时返回fval=-2
对应到原来的线性规划中即知目标函数的最大值为2，此时 x1=4,x2=1,x3=9。
10
第二节 无约束规划计算方法
min
f cTx
s.t.
Ax b, x 0
3
线性规划的可行解是满足约束条件的解；线性规划 的最优解是使目标函数达到最优的可行解。 线性规划关于解的情况可以是： 1、无可行解，即不存在满足约束条件的解； 2、有唯一最优解，即在可行解中有唯一的最有解； 3、有无穷最优解，即在可行解中有无穷个解都可使目
x= 1.0000 1.0000
即极小值为-1，是x1=1,x2=1时取得。
Matlab程序： ch702.m
15
【例 3】 解非线性方程组
x12
( x1

非线性规划问题的求解方法[优质ppt]

非线性规划问题的求解方法[优质ppt]

3、问题：
4.1、外点法（外部惩罚函数法）：
如何将此算法模块化？
外点法框图： kk1
初始 x(0),1 0,1 0,k1
以x(k)为初始点 , 解
min f ( x) k p( x)
得到 x (k 1)
No
k1k
kp(x(k1)) yes
停 x (k 1) f22=subs(fx2x2); if(double(sqrt(f1^2+f2^2))<=0.002)
a(k+1)=double(x1);b(k+1)=double(x2);f0(k+1)=double(subs(f)); break; else X=[x1 x2]'-inv([f11 f12;f21 f22])*[f1 f2]'; x1=X(1,1);x2=X(2,1); end end if(double(sqrt((a(k+1)-a(k))^2+(b(k+1)b(k))^2))<=0.001)&&(double(abs((f0(k+1)-f0(k))/f0(k)))<=0.001) a(k+1) b(k+1) k f0(k+1) break; else m(k+1)=c*m(k);
非线性规划问题的求解方法
Content
无约束非线性规划问题 有约束非线性规划问题 Matlab求解有约束非线性规划问题
一.无约束问题
• 一维搜索
指寻求一元函数在某区间上的最优值点的方法。这类方法不仅有实用 价值，而且大量多维最优化方法都依赖于一系列的一维最优化。
逐次插值逼近法 近似黄金分割法（又称0.618法） • 无约束最优化

非线性规划ppt课件

非线性规划ppt课件

g3(x) x1 x2 x3 0
;
20
一维搜索方法
目标函数为单变量的非线性
规划问题称为一维搜索问题
min t0 (0ttmax )
其中 t R 。
(t)
➢精确一维搜索方法 0.618法 Newton法
➢非精确一维搜索方法 Goldstein法 Armijo法
;
21
0.618法（近似黄金分割法）
定义 4.1.2 对于非线性规划(MP)，若 x* X ，并且存在 x* 的一个
领域 N ( x* ) x Rn x x* ( 0, R) ，使
f (x* ) f (x), x N (x* ) X ，
则称 x* 是(MP)的局部最优解或局部极小点，称 f ( x* ) 是(MP)的局部
函数(t) 称为在[a,b]上是单谷的，如果存在一个 t * [a, b] ，使得(t) 在[a, t * ]上严格递减，且在[t * , b] 上严格递增。区间[a,b]称为(t) 的单 谷区间。
第 1 步 确定单谷区间[a,b]，给定最后区间精度 0 ;
第 2 步 计算最初两个探索点
t1 a 0.382(b a) b 0.618(b a)
;
22
0.618法例题
• 例4.3.1 用0.618法求解
min(t) t3 2t 1 t0
(t) 的单谷区间为[0,3]， 0.5
解答
例4.3.1解答 • 迭换换代tbtb 过程0311..62..∧✓18可0036145436481由-00下101.2.∧...0✓871110650431表48611 给0-0100.2.∨...0✓1470出2064308168821 --000100...∨...00✓4178376340791868681 01..7140486 a2112a

《运筹学》课件 第一章 线性规划

《运筹学》课件 第一章 线性规划

10
解：令
xi=
1， Si被选中
min z= ci xi i 1 10
0， Si没被选中
xi 5
i 1
x1 x8 1 x7 x8 1
称为技术系数
b= (b1,b2, …, bm) 称为资源系数
2、非标准型
标准型
（1）Min Z = CX
Max Z' = -CX
（2）约束条件
• “≤”型约束，加松弛变量；
松弛变量
例如： 9 x1 +4x2≤360
9 x1 +4x2+ x3=360
• “≥”型约束，减松弛变量；
例、将如下问题化为标准型
数据模型与决策 (运筹学）
课程教材：
吴育华,杜纲. 《管理科学基础》，天津大学出版社。
绪论
一、运筹学的产生与发展
运筹学（Operational Research) 直译为“运作研究”。
• 产生于二战时期 • 60年代，在工业、农业、社会等各领域得到广泛应用 • 在我国，50年代中期由钱学森等引入
Min z x1 2x2 3x3
x1 x2 x3 7
s.t
.
x1 x2 x3 3x1 x2 2
x3
2
5
x1, x2 , x3 0
解：令 Min z Max z' (z' z) ，第一个约束加松弛变量x5，
第二个约束减松弛变量x6，得标准型：
Max z' x1 2x2 +3x3
x1 x2 x3 x4 7
s.t .
x1 x2 3x1
x3 x2
x5 2 2x3 5
x1 , , x5 0

运筹学课件PPT课件

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整数规划的解法
总结词
整数规划的解法可以分为精确解法和近似解法两大类。
详细描述
整数规划的解法可以分为两大类，一类是精确解法，另一类是近似解法。精确解法包括割平面法、分支定界法等， 这些方法可以找到整数规划的精确最优解。而近似解法包括启发式算法、元启发式算法等，这些方法可以找到整 数规划的近似最优解，但不一定能保证找到最优解。
模拟退火算法采用Metropolis准则来 判断是否接受一个较差解，即如果新 解的能量比当前解的能量低，或者新 解的能量虽然较高但接受的概率足够 小，则接受新解。
模拟退火算法的应用
01
模拟退火算法在旅行商问题中得到了广泛应用。通过模拟退火算 法，可以求解旅行商问题的最优解，即在给定一组城市和每对城 市之间的距离后，求解访问每个城市恰好一次并返回出发城市的 最短路径。
动态规划的解法
确定问题的阶段和状态
首先需要确定问题的阶段和状态，以便将问 题分解为子问题。
建立状态转移方程
根据问题的特性，建立状态转移方程，描述 状态之间的转移关系。
求解子问题
求解每个子问题，并存储其解以供将来使用。
递推求解
从最后一个阶段开始，通过递推方式向前求 解每个阶段的最优解。
动态规划的应用
线性规划的解法
单纯形法
01
单纯形法是求解线性规划问题的经典方法，通过迭代过程逐步
找到最优解。
对偶理论
02
对偶理论是线性规划的一个重要概念，它通过引入对偶问题来
简化求解过程。
分解算法
03
分解算法是将大规模线性规划问题分解为若干个小问题，分别
求解后再综合得到最优解。
线性规划的应用
生产计划
线性规划可以用于生产计划问题， 通过优化资源配置和生产流程， 提高生产效率和利润。

第1讲线性规划基本概念.ppt


凸集：设集合 X Rn ，如果 X 中任意两点的凸组合 仍然属于X ，则称 X 为凸集.
定义 1 集合 D Rn称为凸的，如果对于任意 x, y D ,有
x (1 ) y D 0 1
则称 D 是Rn中的凸集（convex set）.
结论： （1） 空集和全空间Rn是凸集. （2） 设a Rn,a 0, R，则超平面（hyper plane）
X


x
Rn
g（i x） h（j x）
0 0
i 1,, p j 1,,q

若X是凸集, f 是D上的凸函数,称(MP)为非线性 凸规划,简称凸规划.
凸规划性质：
定理
线性函数
对于非线性规划(MP),
min f（x）
s.t. g（i x） 0

h（j x） 0
第1讲 基本概念 Basic conceptions
一．最优化问题简介
二．凸集和凸函数
三．非线性规划方法概述
一．最优化问题简介.
定义：在一切可能的方案中选择一个最好的方案，以 达到最优目标.
（凡是准求最优目标的数学问题都属于最优化问题， Optimization Problems,OP）.
三要素： （1）目标； （2）方案； （3）限制条件.
指标集.
解：
c1(x)
2 2
2 ( 2 )2 0, 2
c2 (x) 1 (
2 )2 ( 2
2 )2 0, 2
c3(x)
2 0. 2
A {1,2}. x
x2
c2 (x) 0
c3(x) 0
x
O
c1(x) 0

《LINGO简介》课件


某些复杂的数学表达可能无法直接在 LINGO中表示。用户可以通过混合编 程或使用其他建模语言（如GAMS） 来解决这一问题。
对于特定行业或领域的定制化需求， LINGO可能无法直接提供相应的功能 。在这种情况下，用户可以通过扩展 LINGO的API或与其他软件的集成来 实现定制化需求。
感谢您的观看
目标函数的设置
目标函数定义
在LINGO中，需要定义一个目标函数来描述决策变量 的优化目标。
目标函数类型
目标函数可以是最大化或最小化形式，根据实际问题 的需求进行选择。
目标函数编辑器
LINGO提供了一个目标函数编辑器，用户可以在其中 方便地定义和编辑目标函数。
求解操作
求解器选择
在LINGO中，可以选择不同的求解器 来求解模型，根据模型的规模和复杂
LINGO软件广泛应用于生产计划、资源分配 、工艺流程优化等方面。
物流运输
LINGO软件用于运输路线规划、车辆调度、 仓储优化等问题求解。
金融投资
LINGO软件用于投资组合优化、风险管理、 信贷决策等问题求解。
科研领域
LINGO软件在数学建模、统计分析、机器学 习等领域有广泛应用。
02
LINGO软件的基本操作
物流配送问题
总结词
物流配送问题是一个复杂的优化问题，LINGO软件能够通过建立有效的数学模型，优化配送路线和成本。
详细描述
物流配送问题涉及到如何合理规划配送路线、分配运输资源，以最小化运输成本并确保及时送达。LINGO软件通 过构建配送问题的数学模型，帮助企业找到最优的配送方案，降低运输成本、提高运输效率。
LINGO软件与其他软件的比较与选择
MATLAB
MATLAB在科学计算和数据分析领域具有广泛的应用，但 相比之下，LINGO在求解优化问题方面更加专业和高效。

管理运筹学ppt课件


最小生成树问题
要点一
总结词
最小生成树问题是网络优化中的另一类重要问题，旨在寻 找一个子图，该子图包含图中所有节点且边的总权重最小 。
要点二
详细描述
最小生成树问题是网络优化中的另一类重要问题。在一个 加权图中，我们希望找到一个子图，该子图包含图中所有 节点且边的总权重最小。这个子图被称为最小生成树。 Kruskal算法和Prim算法是最著名的最小生成树问题的求 解方法。这些算法可以帮助我们在加权图中找到一个最小 生成树，从而在实际应用中实现最小成本的网络设计或路 由选择。
决策变量
整数规划的决策变量是整数类型的变量，用于表 示决策结果。
ABCD
约束条件
整数规划的约束条件可以是等式或不等式，例如 资源限制、时间限制等。
整数约束
整数规划的约束条件要求决策变量取整数值，以 确保问题的可行解是整数解。
整数规划的求解方法
枚举法
枚举法是一种暴力求解方法，通 过列举所有可能的决策变量组合 来找到最优解。
约束条件
非线性规划的约束条件可以是等式或不等式， 限制决策变量的取值范围。
决策变量
非线性规划的决策变量可以是连续的或离散的，根据问题的具体情况而定。
非线性规划的求解方法
梯度法
通过计算目标函数的梯度，逐步逼近最优解。
牛顿法
利用目标函数的二阶导数信息，迭代逼近最优解。
拟牛顿法
通过构造一个近似于目标函数的二次函数，迭代 逼近最优解。
07 决策分析
决策分析的基本概念
决策分析
指在面临多种可能的选择时，基于一 定的目标，通过分析、比较和评估，
选择最优方案的过程。
决策要素
包括决策者、决策对象、决策信息、 决策目标、决策方案和决策评价。

《非线性规划》课件

非线性规划的优化目标是找到使目标函数达到最大值或最小值的最优解。这些目标可以是经济、社会或 科学领域中的实际问题。
非线性规划的约束条件
非线性规划的约束条件是指限制问题解的一组方程或不等式。这些约束条件可以包括物理限制、资源约 束和行为限制等。
非线性规划的求解方法
线性化方法
将非线性问题转化为等价的 线性问题，然后使用线性规 划方法求解。
牛顿法
使用牛顿迭代法逐步逼近最 优解。
拟牛顿法
使用近似Hessian矩阵的方法 优化牛顿法。
变尺度法、全局优化方法
1
变尺度法
通过改变尺度，将问题转化为更易求解的形式。
2
全局优化方法
使用启发式算法寻找全局最优解。
非线性规划的应用领域
生产计划问题
优化生产计划，提高效率和利润。
交通运输问题
优化交通网络和运输流程。
优化电力系统
使电力系统运行更加高效和可靠。
决策支持系统
为决策者提供优化建议和决策支持。
医资源分配和治疗方案。
非线性规划的挑战
复杂的问题结构和求解困难。
未来的研究方向
未来的研究方向包括改进算法性能、适用于大规模问题的方法和考虑不确定性的优化模型等。
《非线性规划》PPT课件
在这个《非线性规划》PPT课件中，我们将深入探讨非线性规划的各个方面， 并介绍其在不同领域的应用。让我们一起开启这个激动人心的学习之旅！
什么是非线性规划？
非线性规划是一种在优化问题中寻找最优解的数学方法。它处理的是有非线 性约束条件和目标函数的优化问题。
非线性规划的优化目标
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最优解 决策变量
x 4, x 2,
* 1 * 2
z 14 .
*
最优值
一般形式
max(min) Z c1 x1 c2 x2 ... cn xn
目标函数
线 性 规 划 的 数 学 模 型
s.t. a 11x1 a 12 x2 ... a 1n xn ()b1 a 21x1 a 22 x2 ... a 2 n xn ()b2 .......... .......... .......... .......... .......... ...... a m1 x1 a m 2 x2 ... a mn xn ()bm x1 , x2 ,..., xn 0.
max Z 2 x1 3x2 0 x3 0 x4 0 x5
目标函数
线 性 规 划 的 数 学 模 型
s.t.
x1 2 x2 x3 x4 4 x2
8 16 x5 12
约束条件
4 x1
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
若x*满足 ，
则称x* 为稳定点（平稳点）。
Remarkห้องสมุดไป่ตู้
多元函数的二阶导数----Hesse矩阵
Jacobian矩阵
Jacobian矩阵
Jacobian矩阵
Jacobian矩阵
基本概念 最优性条件 线性规划问题的求解 非线性规划问题的求解
最优性条件
无约束最优化问题的最优性条件
Questions
一元函数有一阶导数，二阶导数（假设存在）， 多元函数的一阶导数、二阶导数（假设存在）又 是什么呢？
多元函数的一阶导数----梯度
多元函数的一阶导数----梯度
梯 度 的 几 何 意 义
多元函数的一阶导数----梯度
梯 度 的 几 何 意 义
多元函数的一阶导数----梯度
Definition
2 0 B4 1 1
x1 2 x 2 8 x3 x2 2 x4 x1 8 2 x 2 x3 x4 2 x2 2 x 2 x3 8 x1 x2 2 x4
2 x 2 8 x1 x3 x2 x4 2
决策变量 约束条件
标准形式
min （m ax）Z c1 x1 c2 x2 ... cn xn
线 性 规 划 的 数 学 模 型
s.t.
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a 21 x1 a 22 x2 ... a 2 n xn b2 ........................................................ a m1 x1 a m 2 x2 ... a mn xn bm x1 , x2 ,..., xn 0.
（凸函数极值的最优性条件）
约束最优化问题的最优性条件
无约束优化问题的一阶必要性条件
约束优化问题的一阶必要性 条件
（**）
Kuhn-Tucker 条件
Kuhn-Tucker 条件
等式和不等式约束下的Kuhn-Tucker 条件
等式和不等式约束下的Kuhn-Tucker 条件
Lagrange函数 vs 广义Lagrange函数
例 1 某工厂在计划期内要安排生产 I、 II 两种产品。 已知生产单位产品所需要的设备台时及 A、 B 两种 原材料的消耗如表所示。 该工厂每生产一公斤产品 I 可获利 2 元，每生产一公斤产品 II 可获利 3 元。 问应如何制定生产计划使该厂获利最多？ I 设备 原材料 A 原材料 B 1 4 0 II 2 0 4 8 台时 16Kg 12Kg
2 1 2 2
最优化问题的基本概念
最优化问题的基本概念
最优化问题的基本概念
f 0 f 0.298 f 0.298
多局部极小
x 2 f ( x1 , x2 ) 2 x1 1.05x1 x1 x2 x2 6
2 4
6 1
最优化问题的基本概念
预备知识---多元函数的导数
Example
非 标 准 形 式 化 为 标 准 形 式
非 标 准 形 式 化 为 标 准 形 式
单 纯 形 算
min Z 5 x1 3 x2 s.t. x1 2 x2 8 x2 2 x1 , x2 0
法
x2
单 纯 形 算
(0,2) (0,4) (4,2)
x2 2
标准形式
线 性 规 划 的 数 学 模 型
min(max) z CX s.t. AX b X 0.
如果矩阵A的秩小于m,怎么办？ 如果（增广）矩阵的秩小于m，则行向量 组线性相关，可以通过方程组的的初等变 换把相关的方程组去掉，仅剩下线性无关 的行向量组．
非 标 准 形 式 化 为 标 准 形 式
(8,0) (0,0)
Z=0 Z=6 Z=12 Z=26 Z=40
法
x1
x1 2 x2 8
解：
1 2 1 0 A 0 1 0 1
基 解 基 可 行 解
1 2 B1 0 1 1 0 B2 0 1 2 1 B3 1 0
最优化方法
优化问题的分类
线性规划问题
非线性规划问题 非约束优化问题
约束优化问题
基本概念 最优性条件 线性规划问题的求解 非线性规划问题的求解
最优化问题的数学模型
最优化问题的数学模型
(*)
最优化问题的基本概念
最优化问题的基本概念
全局极小 (唯一极小）
f ( x1 x2 ) 2x 2x1x2 x 3x1 x2
（***）
等式和不等式约束下的Kuhn-Tucker 条件
等式和不等式约束下的Kuhn-Tucker 条件
基本概念 最优性条件 线性规划问题的求解 非线性规划问题的求解
线性规划及其软件实现
数学模型 如何求解（单纯形算法） 灵敏度分析 软件实现（LINGO、MATLAB）
线 性 规 划 的 数 学 模 型