下载文档原格式
自主招生考试数学试题一、选择题（每小题3分）1、已知81cos sin =⋅αα，且︒<<︒9045α，则ααsin cos -的值为（ ） A. 23 B. 23- C. 43 D. 23± 2、若c b a ，，为正数，已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实根，则方程()()01212=+++++c x b x a 的根的情况是（ ）A.没有实根B.有两个相等的实根C.有两个不等的实根D.根的情况不确定3、已知半径为1和2的两个圆外切与点P ，则点P 到两圆外公切线的距离为（ ）A. 43B. 34C. 23 D. 3 4、下图的长方体是由A ，B ，C ，D 四个选项中所示的四个几何体拼接而成的，而且这四个几何体都是由4个同样大小的小正方体组成的，那么长方体中，第四部分所对应的几何体应是（ ）二、填空题（每小题4分）5、某次数学测验共有20题，每题答对得5分，不答得0分，答错得－2分，若小丽这次测验得分是质数，则小丽这次最多答对 题6、已知⊙O 的直径AB=20，弦CD 交AB 于G ，AG>BG ，CD=16，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F ，则 AE －BF=7、如图，两个反比例函数x k y 1=和xk y 2=在第一象限内的图像依次是1C 和2C ，设点P 在1C 上，PC ⊥x 轴于点C ，交2C 于点A ，PD ⊥x 轴于点D ，交2C 于点B ，则四边形PAOB 的面积为8、若二次方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-==-1)2(122x k y y x 有唯一解，则k 的所有可能取值为 9、设正△ABC 的边长为2，M 是AB 中点，P 是BC 边上任意一点，PA+PM 的最大值和最小值分别为s 和t ，则22t s -=10、在△ABC 中， AC=2011，BC=2010，AB=20112010+，则C A cos sin ⋅=11、已知c b a ，，为实数，且514131=+=+=+c a ac c b bc b a ab ，，，则=++cabc ab abc 12、已知Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2x y =上，且斜边AB 平行于x 轴，设斜边上的高为h ，则h 的取值为13、方程xx x 222=-的正根个数为 14、已知，124=+=+ab n b a ，，若221914919b ab a ++的值为2011，则n=15、任意选择一个三位正整数，其中恰好为2的幂的概率为16、勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣。
电路一、电路的基本知识【例1】为了使一圆柱形导体棒电阻不随温度变化，可将两根截面积相同的碳棒和铁棒串联起来，已知碳的电阻率为m ⋅Ω⨯=-50105.3碳ρ，电阻率温度系数4105-⨯-=碳α℃1-，而铁m ⋅Ω⨯=-80109.8铁ρ，3105-⨯=铁α℃1-求这两棒的长度之比是多少？解： 各种材料的长度和截面积都会随温度变化而变化，但它们电阻率的变化比线度的变化要明显得多（一般相差两个数量级），因此可以忽略线度的变化。
将()t αρρ+=10代入S L R /ρ=，得()t R R α+=10式中0R 为材料0℃时电阻将碳棒和铁棒串联，总电阻为 t R t R R R R R R 铁铁碳碳铁碳铁碳αα0000+++=+=要R 不随温度变化，必须有 000=+t R t R 铁铁碳碳αα 由S L R /ρ=，可知截面积相同的两棒长度之比为()3845105109.8105105.3----⨯⨯⨯⨯-⨯⨯-==铁铁碳碳碳铁αραρL L1:3.39=二、纯电阻电路的简化和等效在复杂电路中，当导体间串、并联的组合关系不很规则时，要进行电路的简化，简化电路方法较多，这里介绍几种常用的方法： 1．分支法：【例2】画出图(甲)的等效电路。
【解析】第一支线：以A 经电阻R 1到B (原则上以最简便直观的支路为第一支线)．第二支线：以A 经由电阻R 2到C 到B ． 第三支线：以A 经电阻R 3到D 再经R 4到B以上三支线并联，且C 、D 间接有S ．简化图(乙)所示． 2．等势缩点法：将电路中电势相等的点缩为一点，是电路简化的途径之一。
至于哪些点的电势相等，则需要具体问题具体分析—— 【例3】在图甲所示的电路中，R 1 = R 2 = R 3 = R 4 = R 5 = R ，试求A 、B 两端的等效电阻R AB 。
【模型分析】这是一个基本的等势缩点的事例，用到的是物理常识是：导线是等势体，用导线相连的点可以缩为一点。
2023年初中物理培优（竞赛）及高中自主招生专题训练引言2023年即将到来，对于即将参加初中物理培优（竞赛）和高中自主招生的学生来说，专题训练显得格外重要。
在这个文档中，我们将介绍2023年初中物理培优（竞赛）和高中自主招生的相关内容，并提供一些有用的训练方法和技巧。
初中物理培优（竞赛）初中物理培优（竞赛）是为优秀的初中物理学生提供的一个展示自己的平台，同时也是提高物理学习水平的好机会。
以下是一些可以帮助你在竞赛中取得好成绩的建议：1. 夯实基础知识在参加竞赛之前，首先要夯实物理的基础知识。
这包括掌握各个物理概念的定义、公式的推导以及典型物理问题的解决方法。
建议学生在参加竞赛之前仔细学习教材，并进行针对性的习题训练。
2. 积极参加讨论和实验参加物理讨论和实验是提高物理水平的重要途径。
通过与同学们的讨论和实验操作，可以加深对物理概念的理解，并提高解决问题的能力。
在参加竞赛前，建议学生积极参与学校或社区组织的物理讨论活动和实验课程。
3. 多做模拟题和题库练习模拟题和题库练习是提高竞赛成绩的有效方法。
通过做大量的模拟题和题库练习，可以熟悉竞赛题型和解题思路，并找到自己的不足之处。
建议学生定期进行模拟考试，并及时总结、分析和改正错误。
高中自主招生专题训练高中自主招生是一种选拔优秀学生的方式，对于想要进入理想高中的学生来说，专题训练是必不可少的。
以下是一些建议，可以帮助你在自主招生中脱颖而出：1. 提前了解学校要求不同学校的自主招生要求可能不同，有的注重学术成绩，有的注重综合素质。
因此，提前了解目标学校的要求非常重要。
学生可以通过学校的官方网站、咨询老师或往届学生了解自主招生的具体要求，并针对性地进行准备。
2. 注重学科竞赛和科研实践学科竞赛和科研实践是展示学生学术能力和科研潜力的重要途径。
参加相关的学科竞赛和科研项目，可以培养学生的科研思维和动手能力，同时也能给招生官员留下深刻的印象。
3. 增强综合素质和附加技能除了学术成绩外，学生的综合素质和附加技能也是自主招生中重要的考察内容。
电路一、电路的基本知识【例1】为了使一圆柱形导体棒电阻不随温度变化，可将两根截面积相同的碳棒和铁棒串联起来，已知碳的电阻率为m ⋅Ω⨯=-50105.3碳ρ，电阻率温度系数4105-⨯-=碳α℃1-，而铁m ⋅Ω⨯=-80109.8铁ρ，3105-⨯=铁α℃1-求这两棒的长度之比是多少？解： 各种材料的长度和截面积都会随温度变化而变化，但它们电阻率的变化比线度的变化要明显得多（一般相差两个数量级），因此可以忽略线度的变化。
将()t αρρ+=10代入S L R /ρ=，得 ()t R R α+=10式中0R 为材料0℃时电阻将碳棒和铁棒串联，总电阻为 t R t R R R R R R 铁铁碳碳铁碳铁碳αα0000+++=+=要R 不随温度变化，必须有 000=+t R t R 铁铁碳碳αα由S L R/ρ=，可知截面积相同的两棒长度之比为()3845105109.8105105.3----⨯⨯⨯⨯-⨯⨯-==铁铁碳碳碳铁αραρL L1:3.39=二、纯电阻电路的简化和等效在复杂电路中，当导体间串、并联的组合关系不很规则时，要进行电路的简化，简化电路方法较多，这里介绍几种常用的方法： 1．分支法：【例2】画出图(甲)的等效电路。
【解析】第一支线：以A 经电阻R 1到B (原则上以最简便直观的支路为第一支线)．第二支线：以A 经由电阻R 2到C 到B ． 第三支线：以A 经电阻R 3到D 再经R 4到B以上三支线并联，且C 、D 间接有S ．简化图(乙)所示． 2．等势缩点法：将电路中电势相等的点缩为一点，是电路简化的途径之一。
至于哪些点的电势相等，则需要具体问题具体分析—— 【例3】在图甲所示的电路中，R 1 = R 2 = R 3 = R 4 = R 5 = R ，试求A 、B 两端的等效电阻R AB 。
【模型分析】这是一个基本的等势缩点的事例，用到的是物理常识是：导线是等势体，用导线相连的点可以缩为一点。
初中物理竞赛及自主招生专题讲义:第二节 机械能自然界中的能量有很多，诸如电能、内能、化学能、核能等。
机械能是重力势能、弹性势能和动能的总称。
一、重力势能1．重力做功的特点当物体上升或者下降时，重力就会对物体做功，重力所做的功对应着物体与地球之间能量的变化。
如图5.28所示，我们分别计算物体m 沿不同路径从1h 高度运动至2h 高度时，重力做的功。
物体沿AB 下落时，有()12AB W mg h h =-。
物体沿AC 下落时，设AC 与水平方向夹角为α，则()cos 90AC AC W mg s α=⋅⋅︒-，因为()21cos 90sin AC AC s s h h αα⋅-=-︒=，因此()12AC W mg h h =-。
可见，AB AC W W =，无论物体沿着竖直方向下落，还是沿着倾斜直线下落，重力所做的功都等于重力大小与下降高度的乘积。
这个结论可以用来求解沿AD 下降时重力的功AD W 。
将曲线AD 分割成无限多的微元段，则每一个微元段可以视为倾斜的直线，微元段的竖直高度分别为1h ∆，2h ∆，3h ∆，…，则()()12312312AD W mg h mg h mg h mg h h h mg h h =∆+∆+∆+⋅⋅⋅=∆+∆+∆+⋅⋅⋅=-综上可知，重力做功与物体的移动路径无关，只与物体的初、末位置的高度差有关，可以用AB W mg h =∆来计算重力做的功，其中h ∆表示物体在初、末位置的高度差，如果物体有一定的形状和大小，则h ∆表示物体的重心在初、末位置的高度差。
2．重力势能的定义重力做功时，对应着物体能量的变化。
这种能量是由于物体与地球之间存在引力作用，而该种引力（重力）做功又与路径无关，只与初、末位置有关，物体和地球间的这种由相对位置决定的能叫做重力势能。
重力势能是物体和地球所共有的，为了叙述方便，可以说成是某一物体的重力势能。
重力势能的计算公式为p E mgh =，在国际单位制中，重力势能的单位是焦（J ）。
A A 3自主招生考试辅导讲义第一部分：磁场类型一：有确定的磁场边界和确定的单一入射方向1．一个质量为m 电荷量为q 的带电粒子从x 轴上的P (a ，0)点以速度v ，沿与x 正方向成60º的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y 轴射出第一象限。
求匀强磁场的磁感应强度B 和射出点S 的坐标。
2．如图直线MN 上方有磁感应强度为B 的匀强磁场。
正、负电子同时从同一点O 以与MN 成30°角的同样速度v 射入磁场（电子质量为m ，电荷为e ），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？（不考虑正、负电子间的相互作用）3．如图所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径A 2A 4为边界的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ中，A 2A 4与A 1A 3的夹角为60º。
一质量为m 、带电量为+q 的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点A 1处沿与A 1A 3成30º角的方向射入磁场，随后该粒子以垂直于A 2A 4的方向经过圆心O 进入Ⅱ区，最后再从A 4处射出磁场。
已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t ，求Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小（忽略粒子重力）。
xBv4. 在以坐标原点O 为圆心、半径为r 的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B 、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。
一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x 轴的交点A 处以速度v 沿-x 方向射入磁场，飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60º角，求该带电粒子的荷质比。
5．如图所示，在x <0与x>0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B 1与B 2的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面向里，且B 1>B 2。
一个带负电荷的粒子从坐标原点O 以速度v 沿x 轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O 点，B 1与B 2的比值应满足什么条件？类型二：有确定的磁场边界，但入射速度不单一确定6．如图所示，MN 是一荧光屏，当带电粒子打到荧光屏上时，荧光屏能够发光。
自主招生培训10:功与能一．多过程作用问题的处理例1. 如图所示，质量为2kg 的物块A （可看作质点），开始放在长木板B 的左端，B 的质量为1kg ，可在水平面上无摩擦滑动，两端各有一竖直挡板MN ，现A 、B 以相同的速度v 0=6m ／s 向左运动并与挡板M 发生碰撞．B 与M 碰后速度立即变为零，但不与M 粘接；A 与M 碰撞没有能量损失，碰后接着返向N 板运动，且在与N 板碰撞之前，A 、B 均能达到共同速度并且立即被锁定，与N 板碰撞后A 、B 一并原速反向，并且立刻解除锁定．A 、B 之间的动摩擦因数μ=0.1．通过计算回答下列问题：（1）A 与挡板M 能否发生第二次碰撞? （2）A 和最终停在何处?（3）A 在B 上一共通过了多少路程? 要点分析:反思与总结: 例2.如图所示，劲度系数为k =200N/m 的轻弹簧一端固定在墙上，另一端连一质量为M =8kg 的小车a ，开始时小车静止，其左端位于O 点，弹簧没有发生形变，质量为m =1kg 的小物块b 静止于小车的左侧，距O 点s =3m ，小车与水平面间的摩擦不计，小物块与水平面间的动摩擦系数为μ=0.2，取g =10m/s 2．今对小物块施加大小为F=8N 的水平恒力使之向右运动，并在与小车碰撞前的瞬间撤去该力，碰撞后小车做振幅为A =0.2m 的简谐运动，已知小车做简谐运动周期公式为T =2πM k，弹簧的弹性势能公式为E p =12kx 2（x 为弹簧的形变量），求：（1）小物块与小车磁撞前瞬间的速度是多大？（2）小车做简谐运动过程中弹簧最大弹性势能是多少？小车的最大速度为多大？（3）小物块最终停在距O 点多远处？当小物块刚停下时小车左端运动到O 点的哪一侧？要点分析:二．弹簧作用过程分析方法例3.物块A 与竖直轻弹簧相连，放在水平地面上，一个物块B 由距弹簧上端O 点H 高处自由落下，落到弹簧上端后将弹簧压缩．为了研究物块B 下落的速度随时间变化的规律和物块A 对地面的压力随时间变化的规律，某位同学在物块A 的正下方放置一个压力传感器，测量物块A 对地面的压力，在物块B 的正上方放置一个速度传感器，测量物块B 下落的速度．在实验中测得：物块A 对地面的最小压力为P 1，当物块B 有最大速度时，物块A 对地面的压力为P 2．已知弹簧的劲度系数为k ，物块B 的最大速度为v ，重力加速度为g ，不计弹簧的质量．（1）物块A 的质量．（2）物块B 在压缩弹簧开始直到B 达到最大速度的过程中，它对弹簧做的功．（3）若用T 表示物块B 的速度由v 减到零所用的时间，用P 3表示物块A 对地面的最大压力，试推测：物块的速度由v 减到零的过程中，物块A 对地面的压力P 随时间t 变化的规律可能是下列函数中的（要求说明推测的依据）A ．232()()t P P P P T =+-B ．131()()tP P P P T=+- C ．232()sin()2tP P P P Tπ=+-D ．131()sin()2tP P P P Tπ=+- 要点分析:反思与总结: 三．碰撞过程中的动量与能量例4.如图所示，n 个相同的木块（可视为质点），每块的质量都是m ，从右向左沿同一直线排列在水平桌面上，相邻木块间的距离均为l ，第n 个木块到桌边的距离也是l ，木块与桌面间的动摩擦因数为µ．开始时，第1个木块以初速度v 0向左滑行，其余所有木块都静止，在每次碰撞后，发生碰撞的木块都粘在一起运动．最后第n 个木块刚好滑到桌边而没有掉下． （1）求在整个过程中因碰撞而损失的总动能．（2）求第i 次（i ≤n －1）碰撞中损失的动能与碰撞前动能之比．（3）若n ＝4，l ＝0.10m ，v 0＝3.0m/s ，重力加速度g ＝10m/s 2，求µ的数值． 要点分析:反思与总结:自主招生培训10:功与能例1.解析：（1）第一次碰撞后A 以v O =6m ／s 速度向右运动，B 的初速度为0，与N 板碰前达共同速度v 1，则m A v 0=(m A +m B )v 1，解得v 1=4m/s系统克服阻力做功损失动能2021111()362412J 22A AB E m v m m v ∆=-+=-= 因与N 板的碰撞没有能量损失，A 、B 与N 板碰后返回向左运动，此时A 的动能2112416J 2AE E '=⨯⨯=>∆，因此，当B 先与M 板碰撞停住后，A 还有足够能量克服阻力做功，并与M 板发生第二次碰撞．所以A 可以与挡板M 发生第二次碰撞．（2）设第i 次碰后A 的速度为v i ，动能为E Ai ，达到共同速度后A 的速度为v i ′、动能为E Ai ′，同理可求得23i i v v '=49Ai Ai E E '= 1229BiAiAi E E E ''==单程克服阻力做功13fi Ai Ai Bi Ai Ai W E E E E E '''=--=< 因此每次都可以返回到M 板，最终停靠在M 板处．（3）由（2）的讨论可知，在每完成一个碰撞周期中损失的总能量均能满足12282399i i fi B Ai Ai Ai E W E E E E +∆=+∆=+= （即剩余能量为119i A Ai E E +=）其中用以克服阻力做功与损失总能量之比238934fi i i W E E '=∆=∆碰撞中能量损失所占的比例114i B E E +∆=∆因此，当初始A 的总动能损失完时，克服摩擦力做的总功为327J 4f A W E =总＝ f mgs W μ=总所以s ＝27/2＝13.5m例2.【答案】（1）6m/s ； （2）4J ，1m/s ；（3）1m ，小车a 在小物块b 解析：（1）设磁撞前瞬间，小物块b 的速度为v 1小物块从静止开始运动到刚要与Fs-μmgs= 21mv 1①解得v 1=6m/s ②（2）由于小车简谐振动的振幅是0.2m ，所以弹簧的最大形变量为x=A=0.2m 根据弹性势能的表达式可知最大弹性势能E pm = 21kA 2③解得E pm =4J ④ 根据机械能守恒定律可知小车的最大动能应等于弹簧的最大弹性势能 所以 21kA 2= 21Mv m 2⑤解得小车的最大速度v m =1m/s ⑥（3）小物块b 与小车a 碰撞后，小车a 的速度为v m ，设此时小物块的速度为v 1/，设向右为正方向，由动量守恒定律有 mv 1=mv /1+Mv m ⑦接着小物块向左匀减速运动一直到停止，设位移是s 1，所经历的时间为t 1，根据动能定理可知－μmgs 1=0－ 21mv 1/2⑨解得s 1=1m⑩ 物块作匀减速运动时的加速度为 a =2mmgμ=μg =2m/s 2⑾t 1=/10- v a=1s ⑿小车a 振动的周期T=2 1.26 ≈s⒀由于T ＞t 1＞34T ，所以小车a 在小物块b 停止时在O 点的左侧，并向右运动．例3. 【答案】（1）1P g ；（2）2212121()()()2P P P P P P H v k g---+-；（3）C 解析：（1）物块B 没有落到弹簧上时，物块A 对地面的压力为最小压力，此时物块A 受重力m A g 和地面的支持力（大小等于P 1）处于平衡P 1=m A g ． 物块A 的质量1A P m g=①（2）物块B 落到弹簧上，将弹簧压缩，当物块B 的重力等于弹簧的弹力时，物块B 有最大速度．则有：1B kx m g =②此时，由物块A 受弹簧的压力（大小等于1kx ）、重力和地面的支持力（大小等于2P ）处于平衡，有2A B P m g m g =+物块B 由静止开始落下，到达最大速度的过程中，重力做功1()B m g H x +，克服弹簧的弹力做功W ，动能增加，有：211()2B B m v m g H x W =+- ④将①②③式代入④式，得物块B 对弹簧做功2212121()()()2P P P P W P P H v k g--=-+- （3）应为232()sin()2tP P P P Tπ=+-物块B 与弹簧接触后，在重力和弹力作用下，在竖直方向上做简谐运动，周期为4T ．物块A对地面的压力大小P 等于A 的重力与弹簧的弹力之和．则P 随时间变化的关系只可能是正弦函数，A 、B 选项都不正确． 当t =0时，压力P =P 2；当t =T 时，压力最大为P 3． 只有选项C 正确． 另解：物块B 与弹簧接触后，在重力和弹力作用下，在竖直方向上做简谐运动．其平衡位置在物块B 具有最大速度处，设为O 1，建立O 1x 坐标系，以竖直向下为正方向，有：B m g F kx -=-弹⑤物块B 做简谐运动的周期为4T ，在速度由最大变到零的四分之一周期内，设最大位移为m x ，振动位移为sin()2m tx x T π= ⑥sin()2B m tF m g kx Tπ=+弹物块A 对地面的压力为：sin()2A B m tP m g m g kx Tπ=++代入③式得：2sin()2m tP P kx Tπ=+ ⑦当t =T 时，压力最大为P 3即32sin()2m TP P kx Tπ=+，解得32m kx P P =-压力P 随时间t 变化的规律为：232()sin()2tP P P P Tπ=+-例4.【答案】（1）220011(1)222f n n mv W mv mgl μ+-=-；（2）11i +；（3）0.15 解析：（1）整个过程中系统克服摩擦力做的总功为W f ＝µmgl （1＋2＋3＋…＋n ）＝mgl n n μ2)1(+整个过程中因碰撞而损失的总动能为mgl n n mv W mv E f k μ2)1(21212020+-=-=∆ （2）设第i 次（i ≤n －1）碰撞前瞬间，前i 个木块粘合在一起的速度为v i ，动能为221i Ki imv E =与第i ＋１个（i ≤n －1）木块碰撞粘合在一起后瞬间的速度为v i ＇，由动量守恒定律得i i v m i imv '+=)1(，则i i v i i v 1+=' 第i 次（i ≤n －1）碰撞中损失的动能为121])1)(1([21)1(2121222222+⋅=++-='+-=∆i i mv v i i i iv m v m i imv E i i i i i Ki 则第i 次（i ≤n －1）碰撞中损失的动能与碰撞前动能之比为11+=∆i E E ki ki （i ≤n －1） （3）n ＝4时，共发生了i ＝3次碰撞．第1次碰前瞬间的速度为gl v v μ22021-=，碰撞中动量守恒112v m mv '= 第1次碰后瞬间的速度为22212011gl v v v μ-=='第2次碰前瞬间的速度为410242220202122glv gl gl v gl v v μμμμ-=--=-'=碰撞中动量守恒2232v m mv '= 第2次碰后瞬间的速度为310322022gl v v v μ-=='第3次碰前瞬间的速度为9282910220202223glv gl gl v gl v v μμμμ-=--=-'=碰撞中动量守恒3343v m mv '= 第3次碰后瞬间的速度为428432033gl v v v μ-=='最后滑行到桌边，速度恰好为零，则0223=-'gl v μ 即02162820=--gl glv μμ 整理后得06020=-gl v μ，代入数据解得15.0=μ。
