下载文档原格式
课后训练1．集合{x ∈N |x ＝5－2n ，n ∈N }的子集的个数是( )A ．9B ．8C ．7D ．62．若集合P ＝{x |x ＜4}，Q ＝{x |－2＜x ＜2，x ∈Z }，则( )A ．Q ∈PB ．Q PC ．P QD ．P ＝Q3．已知集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＜0，xy ＞0}，P ＝{(x ，y )|x ＜0，y ＜0}，那么集合M ，P 之间的关系为( )A ．P MB ．M PC ．M ＝PD ．M P4．有六个关系式：①{a ，b }{a ，b }；②{a ，b }＝{b ，a }；③{0}；④0∈{0}；⑤∈{0}；⑥＝{0}．其中正确的个数为( )A ．6B ．5C ．4D ．小于45．非空集合S {1,2,3,4,5}，且满足“若a ∈S ，则(6－a )∈S ”，这样的S 共有( )A ．6个B ．7个C ．16个D ．17个6．已知A ＝{a,0，－1}，11B c b a b ⎧⎫=+⎨⎬+⎩⎭，，，且A ＝B ，则a ＝__________，b ＝__________，c ＝__________.7．下图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，则A ，B ，C ，D ，E 分别代表的图形的集合为____________________．8．设S 为实数集R 的非空子集．若对任意x ，y ∈S ，都有x ＋y ，x －y ，xy ∈S ，则称S 为封闭集．下列命题：①集合S ＝{3a b +|a ，b 为整数}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0∈S ；③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S T R 的任意集合T 也是封闭集．其中的真命题是______．(写出所有真命题的序号)9．已知集合A ＝{x |0＜x ＜3}，集合B ＝{x |m ＜x ＜4－m }，且B A ，求实数m 应满足的条件．10．集合P ＝{x |x 2－3x ＋b ＝0，x ∈R }，Q ＝{x |(x ＋1)·(x 2＋3x －4)＝0，x ∈R }．(1)若b ＝4，存在集合M 使得P M Q ，求出这样的集合M .(2)P 能否成为Q 的一个子集？若能，求b 的取值或取值范围；若不能，请说明理由．参考答案 1. 答案：B ∵x ∈N ，n ∈N ，∴x ＝5－2n 的值为5,3或1.∴集合{x ∈N |x ＝5－2n ，n ∈N }＝{1,3,5}．∴其子集的个数是23＝8.2. 答案：B ∵Q ＝{x |－2＜x ＜2，x ∈Z }＝{－1,0,1}，P ＝{x |x ＜4}，∴Q P .3. 答案：C 集合M 和集合P 中的元素是点，满足x ＋y ＜0，xy ＞0的点在第三象限，同时满足x ＜0，y ＜0的点也为第三象限的点，所以集合M 和集合P 中的元素都为第三象限内的点，因此M ＝P .4. 答案：C ①②③④都正确；⑤⑥错误，应改为{0}．故选C.5. 答案：B 由题意知S 是{1,2,3,4,5}的子集．又由“若a ∈S ，则(6－a )∈S ”可知S ＝{1,5}或{2,4}或{3}或{1,3,5}或{2,3,4}或{1,2,4,5}或{1,2,3,4,5}，共7种情况．故选B.6. 答案：1 －2 2 由A ＝B ，可知b ＋c ＝0，a ＝1，11a b=-+， 解得a ＝1，b ＝－2，c ＝2.7. 答案：A ＝{四边形}，B ＝{梯形}，C ＝{平行四边形}，D ＝{菱形}，E ＝{正方形}由以上概念之间的包含关系可知：集合A ＝{四边形}，集合B ＝{梯形}，集合C ＝{平行四边形}，集合D ＝{菱形}，集合E ＝{正方形}．8. 答案：①② 对于①，取x ＝a 1＋b 13，y ＝a 2＋b 23，a 1，b 1，a 2，b 2∈Z ， 则x ＋y ＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)3，且a 1＋a 2∈Z ，b 1＋b 2∈Z ，所以x ＋y ∈S ；又x －y ＝(a 1－a 2)＋(b 1－b 2)3，且a 1－a 2∈Z ，b 1－b 2∈Z ，所以x －y ∈S ；同理xy ＝(a 1a 2＋3b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)3，而a 1，b 1，a 2，b 2∈Z ，所以xy ∈S ，故①为真命题；当x ＝y 时，有0∈S ，故②为真命题；当S ＝{0}时，S 为封闭集，故③为假命题；对于④，若S ＝{a ＋b 3|a ，b ∈Z }，T 中有元素a ＋b 3(a ，b ∈Z )，3，S 为封闭集，但T 不为封闭集，故④为假命题．9. 答案：分析：集合B 是关于x 的不等式m ＜x ＜4－m 的解集，需要对集合B 是否为空集分类讨论．解：∵B A ，∴B ＝或B ≠.当B ＝时，A ，满足题意，则有m ≥4－m ，此时m ≥2；当B ≠时，则有4,0,43,m m m m <-⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩解得1≤m ＜2.综上，实数m 满足的条件是1≤m ＜2或m ≥2，即m ≥1.10. 答案：分析：第(1)问要求的集合M 有两个限制条件：P M 且M Q ，可用列举法写出集合M ；第(2)问实质是一个存在性问题，解决这类问题的一般方法是先假设存在性成立，然后从已知出发，进行运算化简或推理论证，若出现矛盾，则存在性不成立，否则存在性成立．解：(1)当b＝4时，方程x2－3x＋b＝0的判别式∆＝(－3)2－4×1×4＜0，故P＝，而Q＝{－4，－1,1}．由P M Q知M应是一个非空集合且是Q的一个真子集，用列举法可得这样的集合M共有6个，分别为{－4}，{－1}，{1}，{－4，－1}，{－4,1}，{－1,1}．(2)①当P＝时，P显然是Q的一个子集，此时∆＝9－4b＜0，∴94 b>.②当P≠时，Q＝{－4，－1,1}，可以通过假设存在性成立，逐一验证来判断b的取值．当－1∈P时，(－1)2－3×(－1)＋b＝0，∴b＝－4，∴P＝{x|x2－3x－4＝0}＝{4，－1}，∵4Q，∴P不是Q的子集；当－4∈P时，b＝－28，P＝{7，－4}，也不是Q的子集；当1∈P时，b＝2，P＝{1,2}，也不是Q的子集．综上可知，b的取值范围是{b|b＞94 }．。
抓住元素是关键
集合是元素的总体，所以认识集合的关键是先认清元素，特别是用描述法表示的集合，这一点尤为重要.因此大家在学习过程中要注意养成先看元素再定集合的习惯.本文就探讨一下元素在解答集合问题中的重要性.
一、集合的辨别
例1 已知{}1|+==x y x A ，{}
1|+==x y y B ，则=B A I . 解析：集合A 中的元素为x ，由x 易知0≥x ，∴}0|{≥=x x A ； 集合B 的元素是y ，由0≥x 得1≥y ，∴}1|{≥=y y B . ∴}1|{}1|{}0|{≥=≥≥=x x y y x x B A I I .
评注：虽然集合A 、B 元素的一般符号不同，但它们的本质是相同的，即都是数集，所以它们之间可进行运算，集合B A I 元素的一般符号用x 或y 都可以.
例2 ①已知集合A ={圆}，集合B ={直线}，则B A I 的元素个数是 . ②已知集合{}是圆上的点P P A |=，集合{}是直线上的点P P B |=，则B A I 的元素个数是 .
解析：①中的两个集合都是图形的集合，它们的元素一个是圆，一个是直线，二者没有公共元素，所以交集应为空集，答案为0；②中的两个集合都是点集，它们的元素都是点，故B A I 是直线和圆的交点组成的集合，根据直线和圆相离、相切和相交的位置关系，答案应为0或1或2.
评注：①、②中的集合十分类似，但分析元素后，二者却大相径庭.
例3 设集合}|{},31|{A C C B x x A ⊆=≤<-=，则A 、B 之间的关系为（ ）
A ．
B A ∈
B ．B A ⊆
C ．A B ∈
D ．A B ⊆
解析：集合A 是数集，集合B 元素的一般符号是集合，所以它是集合的集合，是集合A 所有子集组成的集合，其中包括集合A ，所以A 、B 之间的关系为B A ∈.选A ．
评注：1、对于有些集合（如集合B ）要认清它，只看元素是不够的，还要看竖线后面元素的共同特征，方可确定；2、元素和集合的关系是相对的，集合也可作为元素. 二、集合关系的证明例2 已知全集为I ，求证(
A I
)Y (
B I
)=
)(B A I
I .
分析：根据集合相等的定义，要证明(A I
)Y (
B I
)=
)(B A I
I ，只需证明
(
A I
)Y (
B I
)⊆
)(B A I
I 且
)(B A I
I ⊆ (A I
)Y (B I
)，再根据子集定义通过
元素证明.
证明：设∈x (
A I
)Y (
B I
)，则∈
x A I
或∈
x B I
，则B x A x ∉∉且，即B A x I ∉，
所以∈x )(B A I
I ，因此(
A I
)Y (
B I
)⊆
)(B A I
I ；
又设∈
x )(B A I
I ，则B A x I ∉，则B x A x ∉∉且，则∈
x A I
或∈
x B I
，所以
∈x (
A I
)Y (B I
)，因此
)(B A I
I ⊆ (
A I
)Y (
B I
).
评注：1、证明集合之间的关系往往通过论证元素和集合的关系实现；2、还有一个和本题结论类似的结论(
A I
)I (
B I
)=
)(B A I
Y ，这两个结论合称“德摩根法则”
，通过这个法则，我们可以把求两个集合补集的交集或并集问题转化成求它们并集或交集的补集问
题，这样处理可简化运算，同学们可在相应问题中尝试使用.。
