2019届人教A版(理科数学) 平行关系 单元测试

培优点十五 平行垂直关系的证明1．平行关系的证明例1：如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱BC ，1CC ，11C D ，1AA 的中点． 求证：（1）EG ∥平面11BB D D ； （2）平面BDF ∥平面11B D H ．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】证明（1）如图，取11B D 的中点O ，连接GO ，OB ，因为1112OG B C BE ∥∥，所以BE OG ∥，所以四边形BEGO 为平行四边形，故OB EG ∥， 因为OB ⊂平面11BB D D ，EG ⊄平面11BB D D ，所以EG ∥平面11BB D D ． （2）由题意可知11BD B D ∥．连接HB ，1D F ，因为1BH D F ∥，所以四边形1HBFD 是平行四边形，故1HD BF ∥ 又1111=B D HD D I ，=BD BF B I ，所以平面BDF ∥平面11B D H ．2．垂直关系的证明例2：如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，M 为棱AC 的中点．=AB BC ，=2AC ，1AA ．（1）求证：1B C ∥平面1A BM ； （2）求证：1AC ⊥平面1A BM ；（3）在棱1BB 上是否存在点N ，使得平面1AC N ⊥平面11AA C C ？如果存在，求此时1BNBB 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，12． 【解析】（1）证明：连接1AB 与1A B ，两线交于点O ，连接OM ．在1B AC △中，∵M ，O 分别为AC ，1AB 的中点，∴1OM B C ∥， 又∵OM ⊂平面1A BM ，1B C ⊄平面1A BM ，∴1B C ∥平面1A BM ． （2）证明：∵侧棱1AA ⊥底面ABC ，BM ⊂平面ABC ，∴1AA BM ⊥， 又∵M 为棱AC 的中点，=AB BC ，∴BM AC ⊥． ∵1=AA AC A ，1AA ，AC ⊂平面11ACC A ，∴BM ⊥平面11ACC A ，∴1BM AC ⊥∵=2AC ，∴=1AM．又∵1AA 1Rt ACC △和1Rt A AM △中，11tan tan AC C A MA ∠== ∴11AC C A MA ∠∠＝，即111190AC C C AC A MA C AC ∠+∠=∠+∠=︒，∴11A M AC ⊥ ∵1BMA M M =，BM ，1A M ⊂平面1A BM ，∴1AC ⊥平面1A BM ．（3）解：当点N 为1BB 的中点，即112BN BB =时，平面1AC N ⊥平面11AA C C证明如下：设1AC 的中点为D ，连接DM ，DN ，∵D ，M 分别为1AC ，AC 的中点，∴1DM CC ∥，且112DM CC =．又∵N 为1BB 的中点，∴DM BN ∥，且DM BN =，∴四边形BNDM 为平行四边形，∴BM DN ∥，∵BM ⊥平面11ACC A ，∴DN ⊥平面11AA C C ．又∵DN ⊂平面1AC N ， ∴平面1AC N ⊥平面11AA C C ．一、单选题1．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是1m 和1n ，给出下列四个命题：①11m n m n ⊥⇒⊥；②11m n m n ⊥⇒⊥；③1m 与1n 相交m ⇒与n 相交或重合；④1m 与1n 平行m ⇒与n 平行或重合；其中不正确的命题个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】结合题意逐一分析所给的四个说法，在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中：对于说法①：若取平面α为ABCD ，1m ，1n 分别为AC ，BD ，m n ，分别为11A C BD ，，满足11m n ⊥，但是不满足m n ⊥，该说法错误；对于说法②：若取平面α为11ADD A ，1m ，1n 分别为111A D AD ，，m n ，分别为111A C BD ，，满足m n ⊥，但是不满足11m n ⊥，该说法错误；对于说法③：若取平面α为ABCD ，1m ，1n 分别为AC BD ，，m n ，分别为11AC BD ，， 满足1m 与1n 相交，但是m 与n 异面，该说法错误；对于说法④：若取平面α为11ADD A ，1m 、1n 分别为11A D AD ，，m 、n 分别为11A C BC ，，满足1m 与1n 平行，但是m 与n 异面，该说法错误；综上可得：不正确的命题个数是4．本题选择D 选项． 2．已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若l m ⊥，l n ⊥，且m n α⊂，，则l α⊥B ．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则αβ∥C ．若m α⊥，m n ⊥，则n α∥D ．若m n ∥，n α⊥，则m α⊥对点增分集训【答案】D【解析】对于选项A ，若l m ⊥，l n ⊥，且m n α⊂，，则l 不一定垂直平面α，∵m 有可能和n 平行， ∴该选项错误；对于选项B ，若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α、β可能相交或平行，∴该选项错误； 对于选项C ，若m m n α⊥⊥，，则n 有可能在平面α内，∴该选项错误；对于选项D ，由于两平行线中有一条垂直平面α，则另一条也垂直平面α，∴该选项正确，故答案为D ． 3．给出下列四种说法：①若平面αβ∥，直线a b αβ⊂⊂，，则a b ∥； ②若直线a b ∥，直线a α∥，直线b β∥，则αβ∥； ③若平面αβ∥，直线a α⊂，则a β∥；④若直线a α∥，a β∥，则αβ∥．其中正确说法的个数为（ ） A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个【答案】D【解析】若平面αβ∥，直线a b αβ⊂⊂，，则a b ，可异面；若直线a b ∥，直线a α∥，直线b β∥，则αβ，可相交，此时a b ，平行两平面的交线； 若直线a α∥，a β∥，则αβ，可相交，此时a b ，平行两平面的交线； 若平面αβ∥，直线a α⊂，则a β与无交点，即a β∥；故选D ．4．已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（ ）（1）m α⊂，n α⊂，m β∥，n βαβ⇒∥∥ （2）n m ∥，n m αα⊥⇒⊥（3）αβ∥，m α⊂，n m n β⊂⇒∥（4）m α⊥，m n n α⊥⇒∥ A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3【答案】B【解析】由m α⊂，n α⊂，m β∥，n β∥，若a b ，相交，则可得αβ∥，若a b ∥，则α与β可能平行也可能相交，故（1）错误；若m n ∥，n α⊥根据线面垂直的第二判定定理可得m α⊥，故（2）正确； 若αβ∥，m α⊂，n β⊂，则m n ∥或m n ，异面，故（3）错误； 若m α⊥，m n ⊥，则n α∥或n α⊂，故（4）错误；故选B ．5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M N P ，，分别是1111C D BC A D ，，的中点，则下列命题正确的是（ ）A ．MN AP ∥B ．1MN BD ∥C ．11MN BBD D ∥平面 D ．MN BDP ∥平面【答案】C【解析】A ：MN 和AP 是异面直线，故选项不正确； B ：MN 和1BD 是异面直线，故选项不正确；C ：记AC BD O =I ．∵正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别11C D BC ，是的中点，∴1ON D M CD ∥∥，112ON D M CD ==，∴1MNOD 为平行四边形，∴1MN OD ∥，∵MN ⊄平面1BD D ，1OD ⊂平面1BD D ，∴MN ∥平面1BD D ．D ：由C 知11MN BB D D ∥平面，而面11BB D D 和面BDP 相交，故选项不正确；故选C ． 6．已知m n ，是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若αβ，垂直于同一平面，则αβ与平行 B ．若m n ，平行于同一平面，则m n 与平行C ．若αβ，不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m n ，不平行，则m n 与不可能垂直于同一平面 【答案】D【解析】垂直于同一平面的两平面相交或平行，A 不正确； 平行于同一平面的两直线可相交、平行或异面，B 不正确；平面不平行即相交，在一个平面内平行两平面交线的直线与另一平面平行，C 不正确； D 为直线与平面垂直性质定理的逆否命题，故D 正确．故选D ．7．已知m n ，是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题： ①若m m αβ⊥⊥，，则αβ∥； ②若αγβγ⊥⊥，，则αβ∥； ③若m n m n αβ⊂⊂，，∥，则αβ∥；④若m n ，是异面直线，m m n n αββα⊂⊂，∥，，∥，则αβ∥．其中真命题是（ ） A ．①和② B ．①和③C ．③和④D ．①和④【答案】D【解析】逐一考查所给的命题：①由线面垂直的性质定理可得若m m αβ⊥⊥，，则αβ∥，命题正确；②如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，取平面αβγ，，分别为平面1111ABB A ADD A ABCD ，，， 满足αγβγ⊥⊥，，但是不满足αβ∥，命题错误；③如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，取平面αβ，分别为平面1111ABB A ADD A ，， 直线m n ，分别为11BB DD ，，满足m n m n αβ⊂⊂，，∥，但是不满足αβ∥，命题错误；④若m n ，是异面直线，m m n n αββα⊂⊂，∥，，∥，由面面平行的性质定理易知αβ∥，命题正确； 综上可得，真命题是①和④，本题选择D 选项．8．如图，正方体的棱长为1，线段11A C 上有两个动点E F ，，且2EF =；则下列结论错误的是（ ）．A ．BD CE ⊥B ．EF ABCD ∥平面C ．三棱锥E FBC -的体积为定值D ．BEF △的面积与CEF △的面积相等【答案】D【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，BD ⊥平面11A ACC ， 而CE ⊂平面11A ACC ，故BD CE ⊥，故A 正确．又11A C ∥平面ABCD ，因此EF ∥平面ABCD ，故B 正确．当EF 变化时，三角形CEF 的面积不变，点B 到平面CEF 的距离就是B 到平面11A CCC 的距离，它是一个定值，故三棱锥E FBC -的体积为定值（此时可看成三棱锥B CEF -的体积），故C 正确．在正方体中，点B 到EF ，而C 到EF 的距离为1，D 是错误的，故选D ． 9．如图所示，AB 是圆O 的直径，VA 垂直于圆O 所在的平面，点C 是圆周上不同于A B ，的任意一点，M N ，分别为VA VC ，的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．MN AB ∥ B ．MN 与BC 所成的角为45︒ C ．OC ⊥平面VACD ．平面VAC ⊥平面VBC【答案】D【解析】对于A 项，MN 与AB 异面，故A 项错；对于B 项，可证BC ⊥平面VAC ，故BC MN ⊥，∴所成的角为90︒，因此B 项错； 对于C 项，OC 与AC 不垂直，∴OC 不可能垂直平面VAC ，故C 项错； 对于D 项，由于BC AC ⊥，VA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴VA BC ⊥，∵=AC VA A I ，∴BC ⊥平面VAC ，BC ⊂平面VBC ，∴平面VAC ⊥平面VBC ，故选D ．10．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）A ．1CC 与1B E 是异面直线B ．AC ⊥平面11ABB A C ．AE ，11B C 为异面直线且11AE B C ⊥D ．11A C ∥平面1AB E【答案】C【解析】对于A 项，1CC 与1B E 在同一个侧面中，故不是异面直线，∴A 错；对于B 项，由题意知，上底面是一个正三角形，故AC ⊥平面11ABB A 不可能，∴B 错；对于C 项，∵AE ，11B C 为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，∴C 正确； 对于D 项，∵11A C 所在的平面与平面1AB E 相交，且11A C 与交线有公共点，故11A C ∥平面1AB E 不正确，∴D 项不正确；故选C ．11．设E F ，分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱DC 上两点，且21AB EF ==，，给出下列四个命题： ①三棱锥11D B EF -的体积为定值；②异面直线11D B 与EF 所成的角为45︒；③11D B ⊥平面1B EF ；④直线11D B 与平面1B EF 所成的角为60︒．其中正确的命题为（ ） A ．①② B ．②③C ．①②④D ．①④【答案】A【解析】由题意得，如图所示，①中，三棱锥的体积的为11111111112223323D B EF B D EF D EF V V S B C EF --==⨯⋅=⨯⨯⨯⨯=△，∴体积为定值；②中，在正方体中，11EF C D ∥，∴异面直线11D B 与EF 所成的角就是直线11D B 与11C D 所成的角， 即11145B D C ∠=︒，∴这正确的；③中，由②可知，直线11D B 与EF 不垂直，∴11D B ⊥面1B EF 不成立，∴是错误的；④中，根据斜线与平面所成的角，可知11D B 与平面1B EF 所成的角，即为11145B D C ∠=︒，∴不正确． 12．如下图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，145AD AB AD AB BCD ==⊥∠=︒，，，将ABD △沿对角线BD 折起．设折起后点A 的位置为A '，并且平面A BD '⊥平面BCD ．给出下面四个命题：①A D BC '⊥；②三棱锥A BCD '-；③CD ⊥平面A BD '； ④平面A BC '⊥平面A DC '．其中正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④【答案】B【解析】①∵90BAD AD AB ∠=︒=，，∴45ADB ABD ∠=∠=︒， ∵45AD BC BCD ∠=︒∥，，∴BD DC ⊥，∵平面A BD '⊥平面BCD ，且平面A BD 'I 平面BCD BD =，∴CD ⊥平面A BD '， ∵A D '⊂平面A BD '，∴CD A D ⊥'，故A D BC '⊥不成立，故①错误；②棱锥A BCD '-的体积为1132⋅=③由①知CD ⊥平面A BD '，故③正确；④由①知CD ⊥平面A BD '，又∵A B '⊂平面A BD '，∴CD A B ⊥'， 又A B A D '⊥'，且A D '、CD ⊂平面A DC '，A D CD D '=， ∴A B '⊥平面A DC '，又A B '⊂平面A BC '， ∴平面A BC '⊥平面A DC '，故④正确．故选B ．二、填空题13．设m n ，是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，则下列命题正确的是________．(填序号) ①若m α∥，n α∥，则m n ∥；②若m α∥，m β∥，则αβ∥； ③若m n ∥，m α⊥，则n α⊥；④若m α∥，αβ⊥，则m β⊥． 【答案】③【解析】m α∥，n α∥，则m n ∥，m 与n 可能相交也可能异面，∴①不正确；m α∥，m β∥，则αβ∥，还有α与β可能相交，∴②不正确； m n ∥，m α⊥，则n α⊥，满足直线与平面垂直的性质定理，故③正确；m α∥，αβ⊥，则m β⊥，也可能m β∥，也可能m A β=，∴④不正确；故答案为③．14．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论①AB EF ⊥；②AB 与CM 所成的角为60︒；③EF 与MN 是异面直线；④MN CD ∥． 以上四个命题中，正确命题的序号是_________． 【答案】①③【解析】把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图：则AB EF ⊥，EF 与MN 异面，AB CM MN CD ⊥∥，，只有①③正确．故答案为①③． 15．若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB CD AC BD AD BC ===，，，给出下列结论： ①四面体ABCD 每组对棱相互垂直； ②四面体ABCD 每个面的面积相等；③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大90︒而小于180︒； ④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分． 其中正确结论的序号是__________．(写出所有正确结论的序号） 【答案】②④【解析】①将四面体ABCD 的三组对棱分别看作平行六面体的对角线，由于三组对棱分别相等， ∴平行六面体为长方体．由于长方体的各面不一定为正方形，∴同一面上的面对角线不一定垂直，从而每组对棱不一定相互垂直．①错误；②四面体ABCD 的每个面是全等的三角形，面积是相等的．②正确；③由②，四面体ABCD 的每个面是全等的三角形，从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角能够等量代换为同一个三角形内的三个内角，它们之和为180︒．③错误；④连接四面体ABCD 每组对棱中点构成菱形，线段互垂直平分④正确，故答案为②④．16．如图，一张矩形白纸ABCD ，10AB =，AD =E F ，分别为AD BC ，的中点，现分别将ABE △，CDF △沿BE DF ，折起，且A C 、在平面BFDE 同侧，下列命题正确的是____________（写出所有正确命题的序号）．①当平面ABE ∥平面CDF 时，AC ∥平面BFDE ②当平面ABE ∥平面CDF 时，AE CD ∥ ③当A C 、重合于点P 时，PG PD ⊥④当A C 、重合于点P 时，三棱锥P DEF -的外接球的表面积为150π 【答案】①④【解析】在ABE △中，tan ABE ∠=，在ACD △中，tan CAD ∠，∴ABE DAC ∠=∠，由题意，将ABE CDF △，△沿BE DF ，折起， 且A C ，在平面BEDF 同侧，此时A C G H ，，，四点在同一平面内，平面ABE I 平面AGHC AG =， 平面CDF I 平面AGHC CH =，当平面ABE ∥平面CDF 时，得到AG CH ∥， 显然AG CH =，∴四边形AGHC 是平行四边形，∴AC GH ∥， 进而得到AC ∥平面BFDE ，∴①正确的；由于折叠后，直线AE 与直线CD 为异面直线，∴AE 与CD 不平行，∴②错误的；折叠后，可得PG =10PD =，其中10GD =，222PG PD GD +≠， ∴PG 和PD 不垂直，∴③不正确；当,A C 重合于点P 时，在三棱锥P DEF -中，EFD △和FCD △均为直角三角形，∴DF 为外接球的直径，即2DF R =，则三棱锥P DEF -的外接球的表面积为2244150R π=π⨯=π⎝⎭，∴④是正确，综上正确命题的序号为①④．三、解答题17．如图，四棱锥P ABCD -中，22AB AD BC ===，BC AD ∥，AB AD ⊥，PBD △为正三角形．且PA =（1）证明：平面PAB ⊥平面PBC ；（2）若点P 到底面ABCD 的距离为2，E 是线段PD 上一点，且PB ∥平面ACE ，求四面体A CDE -的体积．【答案】（1）见解析；（2）89．【解析】（1）证明：∵AB AD ⊥，且2AB AD ==，∴BD =，又PBD △为正三角形，∴PB PD BD ===，又∵2AB =，PA =AB PB ⊥， 又∵AB AD ⊥，BC AD ∥，∴AB BC ⊥，PB BC B =，∴AB ⊥平面PBC ，又∵AB ⊆平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面PBC ．（2）如图，连接BD ，AC 交于点O ，∵BC AD ∥，且2AD BC =，∴2OD OB =，连接OE ， ∵PB ∥平面ACE ，∴PB OE ∥，则2DE PE =， 由（1）点P 到平面ABCD 的距离为2，∴点E 到平面ABCD 的距离为24233h =⨯=，∴111482233239A CDE E ACD ACD V V S h --⎛⎫==⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△，即四面体A CDE -的体积为89．18．如图，四边形ABCD 为正方形，EA ⊥平面ABCD ，EF AB ∥，4AB =，2AE =，1EF =．（1）求证：BC AF ⊥；（2）若点M 在线段AC 上，且满足14CM CA =，求证：EM ∥平面FBC ；（3）求证：AF ⊥平面EBC ．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】（1）∵EF AB ∥，∴EF 与AB 确定平面EABF ，∵EA ⊥平面ABCD ，∴EA BC ⊥．由已知得AB BC ⊥且=EA AB A I ， ∴BC ⊥平面EABF ．又AF ⊂平面EABF ，∴BC AF ⊥． （2）过M 作MN BC ⊥，垂足为N ，连接FN ，则MN AB ∥． 又14CM AC =，∴MN AB =．又EF AB ∥且14EF AB =，∴EF MN ∥且EF MN =，∴四边形EFNM 为平行四边形，∴EM FN ∥． 又FN ⊂平面FBC ，EM ⊄平面FBC ，∴EM ∥平面FBC ． （3）由（1）可知，AF BC ⊥．在四边形ABFE 中，4AB =，2AE =，1EF =，90BAE AEF ∠=∠=︒， ∴1tan tan 2EBA FAE ∠=∠=，则EBA FAE ∠=∠． 设AF BE P =I ，∵90PAE PAB ∠+∠=︒，故90PBA PAB ∠+∠=︒，则90APB ∠=︒，即EB AF ⊥． 又∵EB BC B =I ，∴AF ⊥平面EBC ．。

单元质检十二概率(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.若随机变量X~B(100,p),X的均值E(X)=24,则p的值是()A. B. C. D.2.(2017湖北武汉二月调考)从装有除颜色外其他都完全相同的3个红球和2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有2个红球的概率是()A. B.C. D.3.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为0.6和0.7,在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为()A. B.C. D.4.(2017全国Ⅰ,理2)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是()A.B.C.D.5.已知X~N(μ,σ2),P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 5,某次全市20 000人参加的考试,数学成绩大致服从正态分布N(100,100),则本次考试120分以上的学生人数约有()A.1 587B.228C.455D.3 1736.体育课的排球发球项目考试的规则:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p≠0),发球次数为X,若X的均值E(X)>1.75,则p的取值范围是()A. B.C. D.二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.一只碗内有五个汤圆,其中两个花生馅,三个黑芝麻馅.某人从碗内随机取出两个,记事件A 为“取到的两个为同一种馅”,事件B为“取到的两个都是黑芝麻馅”,则P(B|A)=. 8.甲、乙等5名志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.设随机变量X为这5名志愿者中参加A岗位服务的人数,则X的均值为.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)根据国家《环境空气质量》规定:居民区中的PM2.5(PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称可入肺颗粒物)年平均浓度不得超过35微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24(1)写出该样本的众数和中位数(不必写出计算过程);(2)求该样本的平均数,并根据样本估计总体的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境是否需要改进?说明理由;(3)将频率视为概率,监测去年的某2天,记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为ξ,求ξ的分布列及均值E(ξ)和方差D(ξ).10.(15分)某小学对五年级的学生进行体能测试,已知五年级一班共有学生30人,测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如右(单位:cm):男生成绩在175 cm以上(包括175 cm)定义为“合格”,成绩在175 cm以下(不包括175 cm)定义为“不合格”;女生成绩在165 cm以上(包括165 cm)定义为“合格”,成绩在165 cm以下(不包括165 cm)定义为“不合格”.(1)在五年级一班男生中任意选取3人,求至少有2人的成绩是“合格”的概率;(2)若从五年级一班成绩“合格”的学生中选取2人参加复试,用X表示其中男生的人数,写出X 的分布列,并求X的均值.11.(15分)在某次飞镖比赛中,规定每人至多发射三镖.在M处每射中一镖得3分,在N处每射中一镖得2分,前两次得分之和超过3分即停止发射,否则发射第三镖.某选手在M处的命中率q1=0.25,在N处的命中率为q2.该选手选择先在M处发射一镖,以后都在N处发射,用X表示该选手比赛结束后所得的总分,其分布列为(1)求随机变量X的分布列;(2)试比较该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分的概率与选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率的大小.答案：1.C解析∵X~B(100,p),∴E(X)=100p.又E(X)=24,∴24=100p,即p=.2.C解析从装有除颜色外其他都完全相同的3个红球和2个白球的袋中任取3个球,基本事件总数n=10,所取的3个球中至少有2个红球包含的基本事件个数m=7,∴所取的3个球中至少有2个红球的概率P=.3.A解析(方法一)设“目标被击中”为事件B,“甲、乙同时击中目标”为事件A,则P(A)=0.6×0.7=0.42,P(B)=0.6×0.7+0.4×0.7+0.6×0.3=0.88,得P(A|B)=.(方法二)记“甲击中目标”为事件A,“乙击中目标”为事件B,“目标被击中”为事件C, 则P(C)=1-P()P()=1-(1-0.6)×(1-0.7)=0.88.故在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为.故选A. 4.B解析不妨设正方形边长为2,则圆半径为1,正方形的面积为2×2=4,圆的面积为π×12=π.由图形的对称性,可知图中黑色部分的面积为圆面积的一半,即πr2=π,所以此点取自黑色部分的概率为.5.C解析依题意可知μ=100,σ=10.由于P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 5,所以P(80<X≤120)=0.954 5,因此本次考试120分以上的学生约有20 000×=455(人).6.C解析X的可能取值为1,2,3.∵P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)·p,P(X=3)=(1-p)2,∴E(X)=p+2p(1-p)+3(1-p)2=p2-3p+3.由E(X)>1.75,即p2-3p+3>1.75,解得p<.故0<p<.7.解析依题意可得P(AB)=,P(A)=,故P(B|A)=.8.解析根据题意,5名志愿者被随机分配到A,B,C,D四个不同岗位,每个岗位至少一人,共有=240种,而X=1,2,则P(X=1)=,P(X=2)=,故E(X)=1×+2×.9.解(1)众数为22.5微克/立方米,中位数为37.5微克/立方米.(2)去年该居民区PM2.5的年平均浓度为7.5×0.1+22.5×0.3+37.5×0.2+52.5×0.2+67.5×0.1+82.5×0.1=40.5(微克/立方米).∵40.5>35,∴去年该居民区PM2.5的年平均浓度不符合环境空气质量标准,故该居民区的环境需要改进.(3)记事件A表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”,则P(A)=.随机变量ξ的可能取值为0,1,2,且ξ~B.∴P(ξ=k)=(k=0,1,2),即∴E(ξ)=0×+1×+2×=1.8,或E(ξ)=np=2×=1.8,D(ξ)=np(1-p)=2×=0.18.10.解(1)设“仅有2人的成绩合格”为事件A,“有3人的成绩合格”为事件B,至少有2人的成绩是“合格”的概率为P,则P=P(A)+P(B).因为男生有12人,其中有8人的成绩是“合格”,从而P(A)=,P(B)=,所以P=P(A)+P(B)=.(2)女生共有18人,其中有10人“合格”,故“合格”的有18人.依题意,X的可能取值为0,1,2,则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,因此,X的分布列为故E(X)=0×+1×+2×.11.解(1)设“该选手在M处射中”为事件A,“在N处射中”为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25,P()=0.75,P(B)=q2,P()=1-q2.根据分布列知:当X=0时,P()=P()P()P()=0.75(1-q2)2=0.03,所以1-q2=0.2,q2=0.8.当X=2时,P1=P(B B)=P()P(B)P()+P()P()P(B)=0.75q2(1-q2)×2=0.24,当X=3时,P2=P(A)=P(A)P()P()=0.25(1-q2)2=0.01,当X=4时,P3=P(BB)=P()P(B)P(B)=0.75=0.48,当X=5时,P4=P(A B∪AB)=P(A B)+P(AB)=P(A)P()P(B)+P(A)P(B)=0.25q2(1-q2)+0.25q2=0.24.所以随机变量X的分布列为(2)该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.该选手选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率为P(BB∪B B∪BB)=P(BB)+P(B B)+P(BB)=2(1-q2)=0.896.故该选手选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率大.。

一、选择题1．直线l∥平面α，直线m∥平面α，直线l与m相交于点P，且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．不确定2．α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同的直线，则在下列条件下，可判定α∥β的是() A．α、β都平行于直线a、bB．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．a，b是α内两条直线，且a∥β，b∥βD．a，b是两条异面直线且a∥α，b∥α，α∥β，b∥β3．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，有以下命题：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．34．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱A1D1的动点，O为底面ABCD的中心，E、F分别是A1B1、C1D1的中点，下列平面中与OM扫过的平面平行的是()A．面ABB1A1B．面BCC1B1C．面BCFE D．面DCC1D15．六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有() A．1对B．2对C．3对D．4对6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：D1D；②EF∥平面BC1D1；①FG∥平面AA③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1.其中推断正确的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④7．如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为P A，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②平面P AD∥BC；③平面PCD∥AB；④平面P AD∥平面P AB.其中正确的有()A．①③B．①④C．①②③D．②③二、填空题8．已知平面α、β和直线a、b、c，且a∥b∥c，a⊂α，b、c⊂β，则α与β的关系是________．9．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是________．10．已知a和b是异面直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，a∥β，b∥α，则平面α与β的位置关系是________．三、解答题11．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面PMN∥平面A1BD.12．已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在P A，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.13．如图，在四棱锥C－ABED中，四边形ABED是正方形，G，F分别是线段EC，BD的中点．(1)求证：GF∥平面ABC；(2)若点P为线段CD的中点，平面GFP与平面ABC有怎样的位置关系？并证明．四、探究与拓展14．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下面四个命题：①若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；②若l⊂α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；③若α∥β，l∥α，则l∥β；④若l∥α，m∥l，则m∥α.其中所有真命题的序号是________．15．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥ADD1A1？若存在，求点F的位置，若不存在，请说明理由．答案精析1．B 2.D 3.B 4.C 5.D 6.A7.C8．相交或平行9.平行10.平行11．证明连接B1D1，B1C.∵P，N分别是D1C1，B1C1的中点，∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD，∴PN∥BD.又PN⊄平面A1BD，BD⊂平面A1BD，∴PN∥平面A1BD.同理，MN∥平面A1BD.又PN∩MN＝N，∴平面PMN∥平面A1BD.12．解∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，∴MQ∥AD，NQ∥BP，而BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，∴NQ∥平面PBC.又∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，∴MQ∥BC，而BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，∴MQ∥平面PBC.易知MQ∩NQ＝Q，根据平面与平面平行的判定定理，可知平面MNQ∥平面PBC.13．(1)证明如图，连接AE，由F是线段BD的中点得F为AE的中点，∴GF为△AEC的中位线，∴GF∥AC.又∵AC⊂平面ABC，GF⊄平面ABC，∴GF∥平面ABC.(2)解平面GFP∥平面ABC，证明如下：在CD上取中点P，连接FP，GP.∵F，P分别为BD，CD的中点，∴FP为△BCD的中位线，∴FP∥BC.又∵BC⊂平面ABC，FP⊄平面ABC，∴FP∥平面ABC，又GF∥平面ABC，FP∩GF＝F，FP⊂平面GFP，GF⊂平面GFP，∴平面GFP∥平面ABC.14．②15．解当F为AB的中点时，平面C1CF∥ADD1A1.理由如下：∵在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，F为AB的中点，∴CD綊AF綊C1D1，∴AFCD是平行四边形，且AFC1D1是平行四边形，∴CF∥AD，C1F∥AD1.又CF∩C1F＝F，CF，C1F都在平面C1CF内，∴平面C1CF∥平面ADD1A1.。

精英同步卷：8.5空间直线、平面的平行1、如图，正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心， M 为棱1BB 的中点，则下列结论中错误的是( )A ．1//D O 平面11A BCB ．异面直线1BC 与AC 所成的角等于60° C ．二面角M AC B --等于90°D ．MO ⊥平面11A BC2、如图，A 是平面BCD 外一点，E F G 、、分别是BD DC CA 、、的中点，设过这三点的平面为α，则在图中的6条直线AB AC AD BC CD DB 、、、、、中，与平面α平行的直线有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条3、如果平面α外有两点,A B ，它们到平面α的距离都是 a ，则直线 AB 和平面α 的位置 关系一定是（ ） A ．平行B ．相交C ．AB α⊂D ．平行或相交4、已知直线//a 平面α，直线b ⊂平面α，则（ ）． A ．//a bB ．a 与b 异面C ．a 与b 相交D ．a 与b 无公共点5、如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别是棱1,,AB BC CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，则三角形1PBB 的面积的最小值为( )A ．2B ．1C ．2D ．26、若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ,满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥,则下列结论一定正确的是( )A. 14l l ⊥B. 14//l lC. 1l 与4l 既不垂直也不平行D. 1l 与4l 的位置关系不确定7、如果直线//a 平面α,那么直线a 与平面α内的( )A.—条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线都不相交 8、已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么( ) A ．//αβ B ．α与β相交C ．α与β重合D ．//αβ或α与β相交9、如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为（ ）A ．AC BD ⊥B ．//AC 截面PQMNC ．AC BD ＝D ．异面直线PM 与BD 所成的角为45︒10、设,,αβγ为两两不重合的平面，,,l m n 为两两不重合的直线，给出下列三个说法： ①若,αγβγ⊥⊥，则//αβ；②若//,l αβα⊂，则//l β；③若,,,//l m n l αββγγαγ⋂=⋂=⋂=，则//m n .其中正确的说法个数是( ) A ．3B ．2C ．1D ．011、如图，在长方体1111ABCD A B C D =中，12,AB BC B B AC BD O ===I E 是1B C （含端点）上一动点，则以下命题中，正确的序号是___________.① 11//OE AC D 平面 ； ②OE 与平面11BCC B 所成角最小为45︒； ③三棱锥1A BDE -体积为定值 ； ④OE 与11A C 所成的最大角为90︒。

§8.4直线、平面平行的判定与性质考纲解读分析解读 1.理解空间直线和平面位置关系的定义;了解直线和平面的位置关系;掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理.2.会运用直线与平面及平面与平面的位置关系,以及它们平行的判定定理和性质定理解决简单的应用问题与证明问题.3.推理和证明要严谨、合理、充分.4.高考对本节内容的考查,一般通过对图形或几何体的认识,考查线线平行、线面平行、面面平行之间的转化思想,题型以解答题为主,分值约为5分,属中档题.五年高考考点一直线与平面平行的判定与性质1.(2015安徽,5,5分)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是( )A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行C.若α,β,则在α内与β平行的直线D.若m,n,则m与n垂直于同一平面答案 D2.(2017江苏,15,14分)如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E 与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.证明(1)在平面ABD内,因为AB⊥AD,EF⊥AD,所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,BC⊂平面BCD,BC⊥BD,所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD,所以BC⊥AD.又AB⊥AD,BC∩AB=B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC,所以AD⊥AC.3.(2016江苏,16,14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B 上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC.在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.又因为DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.4.(2016四川,18,12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD,E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90°.(1)在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由;(2)若二面角P-CD-A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.解析(1)在梯形ABCD中,AB与CD不平行.延长AB,DC,相交于点M(M∈平面PAB),点M即为所求的一个点.理由如下:由已知,BC∥ED,且BC=ED.所以四边形BCDE是平行四边形.从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE,CM⊄平面PBE,所以CM∥平面PBE.(说明:延长AP至点N,使得AP=PN,则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)解法一:由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以∠PDA=45°.设BC=1,则在Rt△PAD中,PA=AD=2.过点A作AH⊥CE,交CE的延长线于点H,连接PH.易知PA⊥平面ABCD,又CE⊂平面ABCD,从而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.过A作AQ⊥PH于Q,则AQ⊥平面PCE.所以∠APH是PA与平面PCE所成的角.在Rt△AEH中,∠AEH=45°,AE=1,所以AH=.在Rt△PAH中,PH==,所以sin∠APH==.解法二:由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD.从而∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以∠PDA=45°.由PA⊥AB,可得PA⊥平面ABCD.设BC=1,则在Rt△PAD中,PA=AD=2.作Ay⊥AD,以A为原点,以,的方向分别为x轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,1,0),E(1,0,0),所以=(1,0,-2),=(1,1,0),=(0,0,2).设平面PCE的法向量为n=(x,y,z),由得设x=2,解得n=(2,-2,1).设直线PA与平面PCE所成角为α,则sin α===.所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.教师用书专用(5—13)5.(2013广东,6,5分)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.下列命题中正确的是( )A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥nB.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥nC.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥βD.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β答案 D6.(2013安徽,15,5分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).①当0<CQ<时,S为四边形②当CQ=时,S为等腰梯形③当CQ=时,S与C1D1的交点R满足C1R=④当<CQ<1时,S为六边形⑤当CQ=1时,S的面积为答案①②③⑤7.(2015山东,17,12分)如图,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.(1)求证:BD∥平面FGH;(2)若CF⊥平面ABC,AB⊥BC,CF=DE,∠BAC=45°,求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.解析(1)证法一:连接DG,CD,设CD∩GF=O,连接OH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DF∥GC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形. 则O为CD的中点,又H为BC的中点,所以OH∥BD,又OH⊂平面FGH,BD⊄平面FGH,所以BD∥平面FGH.证法二:在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BH∥EF,BH=EF,所以四边形BHFE为平行四边形,可得BE∥HF.在△ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GH∥AB.又GH∩HF=H,所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED,所以BD∥平面FGH.(2)解法一:设AB=2,则CF=1.在三棱台DEF-ABC中,G为AC的中点,由DF=AC=GC,可得四边形DGCF为平行四边形,因此DG∥FC.又FC⊥平面ABC,所以DG⊥平面ABC.在△ABC中,由AB⊥BC,∠BAC=45°,G是AC中点,所以AB=BC,GB⊥GC,因此GB,GC,GD两两垂直. 以G为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.所以G(0,0,0),B(,0,0),C(0,,0),D(0,0,1).可得H,F(0,,1),故=,=(0,,1).设n=(x,y,z)是平面FGH的法向量,则由可得可得平面FGH的一个法向量n=(1,-1,).因为是平面ACFD的一个法向量,=(,0,0),所以cos<,n>===.所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60°.解法二:作HM⊥AC于点M,作MN⊥GF于点N,连接NH.由FC⊥平面ABC,得HM⊥FC,又FC∩AC=C,所以HM⊥平面ACFD.因此GF⊥NH,所以∠MNH即为所求的角.在△BGC中,MH∥BG,MH=BG=,由△GNM∽△GCF,可得=,从而MN=.由HM⊥平面ACFD,MN⊂平面ACFD,得HM⊥MN,因此tan∠MNH==,所以∠MNH=60°.所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60°.8.(2015安徽,19,13分)如图所示,在多面体A1B1D1DCBA中,四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,E为B1D1的中点,过A1,D,E的平面交CD1于F.(1)证明:EF∥B1C;(2)求二面角E-A1D-B1的余弦值.解析(1)证明:由正方形的性质可知A1B1∥AB∥DC,且A1B1=AB=DC,所以四边形A1B1CD为平行四边形,从而B1C∥A1D,又A1D⊂面A1DE,B1C⊄面A1DE,于是B1C∥面A1DE.又B1C⊂面B1CD1,面A1DE∩面B1CD1=EF,所以EF∥B1C.(2)因为四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,所以AA1⊥AB,AA1⊥AD,AB⊥AD且AA1=AB=AD,以A 为原点,分别以,,为x轴,y轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系,可得点的坐标A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),D1(0,1,1),而E点为B1D1的中点,所以E点的坐标为(0.5,0.5,1).设面A1DE的法向量n1=(r1,s1,t1),而该面上向量=(0.5,0.5,0),=(0,1,-1),由n1⊥,n1⊥得r1,s1,t1应满足的方程组(-1,1,1)为其一组解,所以可取n1=(-1,1,1).设面A1B1CD的法向量n2=(r2,s2,t2),而该面上向量=(1,0,0),=(0,1,-1),由此同理可得n2=(0,1,1).所以结合图形知二面角E-A1D-B1的余弦值为==.评析本题考查直线与直线的平行关系以及二面角的求解,考查空间想象能力、逻辑推理能力以及运算求解能力.正确求解各点坐标以及平面法向量是解决问题的关键.9.(2015江苏,16,14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1,设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E.求证:(1)DE∥平面AA1C1C;(2)BC1⊥AB1.证明(1)由题意知,E为B1C的中点,又D为AB1的中点,因此DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C,AC⊂平面AA1C1C,所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC,所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC,CC1⊂平面BCC1B1,BC⊂平面BCC1B1,BC∩CC1=C,所以A C⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1,所以BC1⊥AC.因为BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,因此BC1⊥B1C.因为AC,B1C⊂平面B1AC,AC∩B1C=C,所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC,所以BC1⊥AB1.10.(2015天津,17,13分)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB⊥AC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=,且点M和N分别为B1C和D1D的中点.(1)求证:MN∥平面ABCD;(2)求二面角D1-AC-B1的正弦值;(3)设E为棱A1B1上的点.若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为,求线段A1E的长.解析如图,以A为原点建立空间直角坐标系,依题意可得A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,-2,0),A1(0,0,2),B1(0,1,2),C1(2,0,2),D1(1,-2,2).又因为M,N分别为B1C和D1D的中点,得M,N(1,-2,1).(1)证明:依题意,可得n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量.=.由此可得·n=0,又因为直线MN⊄平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.(2)=(1,-2,2),=(2,0,0).设n1=(x,y,z)为平面ACD1的法向量,则即不妨设z=1,可得n1=(0,1,1).设n2=(x,y,z)为平面ACB1的法向量,则又=(0,1,2),得不妨设z=1,可得n2=(0,-2,1).因此有cos<n1,n2>==-,于是sin<n1,n2>=.所以,二面角D1-AC-B1的正弦值为.(3)依题意,可设=λ,其中λ∈[0,1],则E(0,λ,2),从而=(-1,λ+2,1).又n=(0,0,1)为平面ABCD 的一个法向量,由已知,得cos<,n>===,整理得λ2+4λ-3=0,又因为λ∈[0,1],解得λ=-2.所以,线段A1E的长为-2.11.(2014课标Ⅱ,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB∥平面AEC;(2)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=,求三棱锥E-ACD的体积.解析(1)证明:连接BD交AC于点O,连接EO.因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EO∥PB.又EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,所以PB∥平面AEC.(2)因为PA⊥平面ABCD,ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.如图,以A为坐标原点,的方向为x轴的正方向,||为单位长,建立空间直角坐标系A-xyz,则D(0,,0),E,=.设B(m,0,0)(m>0),则C(m,,0),=(m,,0).设n1=(x,y,z)为平面ACE的法向量,则即可取n1=.又n2=(1,0,0)为平面DAE的法向量,由题设得|cos<n1,n2>|=,即=,解得m=.因为E为PD的中点,所以三棱锥E-ACD的高为.三棱锥E-ACD的体积V=××××=.12.(2014湖北,19,12分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2).(1)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ;(2)是否存在λ,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.解析解法一:(几何方法)(1)证明:如图1,连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知BC1∥AD1.当λ=1时,P是DD1的中点,又F是AD的中点,所以FP∥AD1.所以BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图2,连接BD.因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD,且EF=BD.又DP=BQ,DP∥BQ,所以四边形PQBD是平行四边形,故PQ∥BD,且PQ=BD,从而EF∥PQ,且EF=PQ.在Rt△EBQ和Rt△FDP中,因为BQ=DP=λ,BE=DF=1,于是EQ=FP=,所以四边形EFPQ是等腰梯形.同理可证四边形PQMN是等腰梯形.分别取EF,PQ,MN的中点,记为H,O,G,连接OH,OG,则GO⊥PQ,HO⊥PQ,而GO∩HO=O,故∠GOH是面EFPQ与面PQMN所成的二面角的平面角.若存在λ,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角,则∠GOH=90°.连接EM,FN,则由EF∥MN,且EF=MN,知四边形EFNM是平行四边形.连接GH,因为H,G是EF,MN的中点,所以GH=ME=2.在△G OH中,GH2=4,OH2=1+λ2-=λ2+,OG2=1+(2-λ)2-=(2-λ)2+,由OG2+OH2=GH2,得(2-λ)2++λ2+=4,解得λ=1±,故存在λ=1±,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角.解法二:(向量方法)以D为原点,射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标系D-xyz. 由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,λ).=(-2,0,2),=(-1,0,λ),=(1,1,0).(1)证明:当λ=1时,=(-1,0,1),因为=(-2,0,2),所以=2,即BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)设平面EFPQ的法向量为n=(x,y,z),则由可得于是可取n=(λ,-λ,1).同理可得平面MNPQ的法向量为m=(λ-2,2-λ,1).若存在λ,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角,则m·n=(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得λ=1±.故存在λ=1±,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角.13.(2013山东,18,12分)如图所示,在三棱锥P-ABQ中,PB⊥平面ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,AQ=2BD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连接GH.(1)求证:AB∥GH;(2)求二面角D-GH-E的余弦值.解析(1)证明:因为D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,所以EF∥AB,DC∥AB.所以EF∥DC.又EF⊄平面PCD,DC⊂平面PCD,所以EF∥平面PCD.又EF⊂平面EFQ,平面EFQ∩平面PCD=GH,所以EF∥GH.又EF∥AB,所以AB∥GH.(2)解法一:在△ABQ中,AQ=2BD,AD=DQ,所以∠ABQ=90°,即AB⊥BQ.因为PB⊥平面ABQ,所以AB⊥PB.又BP∩BQ=B,所以AB⊥平面PBQ.由(1)知,AB∥GH,所以GH⊥平面PBQ.又FH⊂平面PBQ,所以GH⊥FH.同理可得GH⊥HC,所以∠FHC为二面角D-GH-E的平面角.设BA=BQ=BP=2,连接FC,在Rt△FBC中,由勾股定理得FC=,在Rt△PBC中,由勾股定理得PC=.又H为△PBQ的重心,所以HC=PC=.同理,FH=.在△FHC中,由余弦定理得cos∠FHC==-.即二面角D-GH-E的余弦值为-.解法二:在△ABQ中,AQ=2BD,AD=DQ,所以∠ABQ=90°.又PB⊥平面ABQ,所以BA,BQ,BP两两垂直.以B为坐标原点,分别以BA,BQ,BP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设BA=BQ=BP=2,则E(1,0,1),F(0,0,1),Q(0,2,0),D(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,2). 所以=(-1,2,-1),=(0,2,-1),=(-1,-1,2),=(0,-1,2).设平面EFQ的法向量为m=(x1,y1,z1),由m·=0,m·=0,得取y1=1,得m=(0,1,2).设平面PDC的法向量为n=(x2,y2,z2),由n·=0,n·=0,得取z2=1,得n=(0,2,1),所以cos<m,n>==.因为二面角D-GH-E为钝角,所以二面角D-GH-E的余弦值为-.考点二平面与平面平行的判定与性质1.(2016课标全国Ⅱ,14,5分)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)答案②③④2.(2013江苏,16,14分)如图,在三棱锥S-ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB.过A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证:(1)平面EFG∥平面ABC;(2)BC⊥SA.证明(1)因为AS=AB,AF⊥SB,垂足为F,所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点,所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC,且交线为SB,又AF⊂平面SAB,AF⊥SB,所以AF⊥平面SBC,因为BC⊂平面SBC,所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC,AF∩AB=A,AF,AB⊂平面SAB,所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB,所以BC⊥SA.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一直线与平面平行的判定与性质1.(人教A必2,二,2-2A,3,变式)如图,在四面体ABCD中,若截面PQMN是正方形,则在下列命题中,错误的为( )A.AC⊥BDB.AC=BDC.AC∥截面PQMND.异面直线PM与BD所成的角为45°答案 B2.(2018江苏无锡模拟,18)如图,在四面体PABC中,已知PA⊥平面ABC,PA=AC,∠ACB=90°,D为PC 的中点.(1)求证:AD⊥BD;(2)若M为PB的中点,点N在直线AB上,且AN∶NB=1∶2,求证:直线AD∥平面CMN.证明(1)∵PA=AC,D为PC的中点,∴AD⊥PC.∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC.∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC,又PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,∴BC⊥平面PAC.∵AD⊂平面PAC,∴BC⊥AD.又∵AD⊥PC,BC∩PC=C,PC,BC⊂平面PBC,∴AD⊥平面PBC.∵BD⊂平面PBC,∴AD⊥BD.(2)连接DM,设BD与CM交于点G,连接NG.∵D、M分别为PC和PB的中点,∴DM∥BC且DM=BC,∴DG∶GB=DM∶BC=1∶2.∵AN∶NB=1∶2,∴AN∶NB=DG∶GB.∴△BNG∽△BAD,∴AD∥NG.∵AD⊄平面CMN,NG⊂平面CMN,∴直线AD∥平面CMN.3.(2017广东六校联盟联考,19)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,底面ABC是直角三角形,PA=AB=BC=4,O是棱AC的中点,G是△AOB的重心,D是PA的中点.(1)求证:BC⊥平面PAB;(2)求证:DG∥平面PBC;(3)求二面角A-PC-B的大小.解析(1)证明:∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,∵底面ABC是直角三角形,AB=BC,∴BC⊥AB,又∵PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB.(2)证明:如图,连接OG并延长交AB于点E,连接DO,DE,∵G是△AOB的重心,∴OE为AB边上的中线,∴E为AB的中点,又D为PA的中点,∴DE∥PB,同理可得DO∥PC,又DE∩DO=D,PB∩PC=P,∴平面DOE∥平面PBC,又DG⊂平面DOE,∴DG∥平面PBC.(3)过点O作OQ⊥PC于点Q,连接BQ,∵AB=BC且O是棱AC的中点,∴BO⊥AC.∵PA⊥平面ABC,∴平面PAC⊥平面ABC.又平面PAC∩平面ABC=AC,且BO⊂平面ABC,∴BO⊥平面PAC,∴BO⊥PC,又OQ⊥PC,BO∩OQ=O,∴PC⊥平面BOQ,∴BQ⊥PC,∴∠OQB为二面角A-PC-B的平面角.由已知得OB=OC=2,PC==4,∵△PAC∽△OQC,∴=,即=,∴OQ=,∴tan∠OQB==,∴∠OQB=60°,即二面角A-PC-B的大小为60°.考点二平面与平面平行的判定与性质4.(2017豫西五校4月联考,6)已知m,n,l1,l2表示不同直线,α、β表示不同平面,若m⊂α,n⊂α,l1⊂β,l2⊂β,l1∩l2=M,则α∥β的一个充分条件是( )A.m∥β且l1∥αB.m∥β且n∥βC.m∥β且n∥l2D.m∥l1且n∥l2答案 D5.(2017江西九江模拟,19)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB⊥AC,AC=AA1,E、F分别是棱BC、CC1的中点.(1)若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1,试确定点D的位置,并说明理由;(2)证明:EF⊥A1C.解析(1)∵面DEF∥面ABC1,面ABC∩面DEF=DE,面ABC∩面ABC1=AB,∴AB∥DE,(4分)∵在△ABC中,E是BC的中点,∴D是线段AC的中点.(6分)(2)证明:∵在三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=AA1,∴侧面A1ACC1是菱形,∴A1C⊥AC1,(7分)又易得AB⊥A1C,∵AB∩AC1=A,∴A1C⊥面ABC1,(9分)∴A1C⊥BC1.(10分)又∵E、F分别为棱BC、CC1的中点,∴EF∥BC1,(11分)∴EF⊥A1C.(12分)B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:60分时间:60分钟)一、选择题(共5分)1.(2016浙江金华十校联考,8)如图,在四面体ABCD中,AB=CD=2,AD=BD=3,AC=BC=4,点E,F,G,H分别在棱AD,BD,BC,AC上,若直线AB,CD都平行于平面EFGH,则四边形EFGH面积的最大值是( )A. B. C.1 D.2答案 C二、填空题(共5分)2.(2017山西太原五中月考,14)过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有_____ 条.答案 6三、解答题(共50分)3.(2018江苏无锡检测,18)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AD∥BC,AD=2AB=2BC,M为AD的中点,CB1⊥底面ABCD.求证:(1)C1M∥平面A1ABB1;(2)平面B1BM⊥平面ACB1.证明(1)因为ABCD-A1B1C1D1为四棱柱,所以B1C1∥BC且B1C1=BC.又M为AD的中点,所以BC∥AM,所以B1C1∥AM,又AD=2BC,所以BC=AM,所以B1C1=AM,所以四边形B1C1MA为平行四边形,所以C1M∥B1A,又B1A⊂平面A1ABB1,C1M⊄平面A1ABB1,所以C1M∥平面A1ABB1.(2)连接CM.由(1)知四边形BCMA为平行四边形,又BC=AB,所以AM=AB,所以四边形BCMA为菱形,所以BM⊥AC,又CB1⊥底面ABCD,所以CB1⊥BM.因为AC∩CB1=C,所以BM⊥平面ACB1.又BM⊂平面B1BM,所以平面B1BM⊥平面ACB1.4.(2018安徽合肥一中模拟,18)如图,四棱锥P-ABCD中,E为AD的中点,PE⊥平面ABCD,底面ABCD 为梯形,AB∥CD,AB=2DC=2,AC∩BD=F,且△PAD与△ABD均为正三角形,G为△PAD的重心.(1)求证:GF∥平面PDC;(2)求三棱锥G-PCD的体积.解析(1)证明:连接AG交PD于H,连接CH.在梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2DC,可得=.又正△PAD中,G为△PAD的重心,∴=.在△A HC中,==,故GF∥HC.又HC⊂平面PCD,GF⊄平面PCD,∴GF∥平面PDC.(2)∵PE⊥平面ABCD,且易求PE=3,又由(1)知GF∥平面PDC,∴V G-PCD=V F-PCD=V P-CDF=×PE×S△CDF.又由AB∥CD,且AB=2DC=2,△ABD为正三角形,知DF=BD=.又∠CDF=∠ABD=60°,∴S△CDF=×CD×DF×sin∠BDC=,∴V P-CDF=×PE×S△CDF=,∴三棱锥G-PCD的体积为.5.(2018山西太原质检,19)如图,四边形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=2AB=4,E,F分别在BC,AD上,EF∥AB,现将四边形ABCD沿EF折起,使BE⊥EC.(1)若BE=1,在折叠后的线段AD上是否存在一点P,使得CP∥平面ABEF?若存在,求出的值;若不存在,说明理由;(2)求三棱锥A-CDF的体积的最大值,并求出此时点F到平面ACD的距离.解析(1)AD上存在一点P,使得CP∥平面ABEF,此时=.理由如下:当=时,=,过点P作MP∥FD交AF于点M,连接EM,CP,则有==.∵BE=1,∴F D=5,故MP=3.又EC=3,MP∥FD∥EC,故有MP EC,故四边形MPCE为平行四边形,∴CP∥ME.又∵CP⊄平面ABEF,ME⊂平面ABEF,故CP∥平面ABEF.(2)设BE=x(0<x≤4),∴AF=x,FD=6-x,故V A-CDF=××2·(6-x)·x=(-x2+6x),∴当x=3时,V A-CDF有最大值,且最大值为3,此时EC=1,AF=3,FD=3,DC=2,由BE⊥EC,BE⊥EF,且EC∩EF=E,得BE⊥平面ECDF,又AF∥BE,故AF⊥平面ECDF.∴AF⊥FD,∴AD==3,同理可求AC=.在△ACD中,由余弦定理得cos∠ADC===,∴sin∠ADC=,∴S△ADC=·DC·DA·sin∠ADC=3.设点F到平面ADC的距离为h,∵V A-CDF=V F-ACD,即3=·h·S△ADC,∴h=,即三棱锥A-CDF的体积最大时,点F到平面ADC的距离为.6.(2017河北石家庄二模,18)如图,在三棱柱ABC-DEF中,侧面ABED是边长为2的菱形,且∠ABE=,BC=.四棱锥F-ABED的体积为2,点F在平面ABED内的正投影为点G,且点G在AE上,点M 在线段CF上,且CM=CF.(1)证明:直线GM∥平面DEF;(2)求二面角M-AB-F的余弦值.解析(1)证明:因为四棱锥F-ABED的体积为2,所以V F-ABED=××2×2×FG=2,所以FG=.又BC=EF=,所以EG=,易知AE=2,则点G是AE的靠近点A的四等分点.(2分)过点G作GK∥AD交DE于点K,连接FK,则GK=AD=CF.又MF=CF,所以MF=GK,又MF∥GK,所以四边形MFKG为平行四边形,(4分)所以GM∥FK,又FK⊂平面DEF,GM⊄平面DEF,所以直线GM∥平面DEF.(6分)(2)连接BD,设AE,BD的交点为O,以OB所在直线为x轴,OE所在直线为y轴,过点O的平面ABED 的垂线为z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则A(0,-1,0),B(,0,0),F,M,=(-,-1,0),=,=.(8分)设平面ABM,平面ABF的法向量分别为m=(x1,y1,z1),n=(x2,y2,z2),则得不妨取x1=x2=1,则m=(1,-,-1),n=,(10分)所以cos<m,n>==,易知二面角M-AB-F是锐二面角,故二面角M-AB-F的余弦值为.(12分)C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 证明直线与平面平行的常用方法1.(2018湖北武汉汉阳一中模拟,19)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC是等边三角形,且AA1⊥平面ABC,D为AB的中点.(1)求证:直线BC1∥平面A1CD;(2)若AB=BB1=2,E是BB1的中点,求三棱锥A1-CDE的体积.解析(1)证明:连接AC1,交A1C于点F,连接DF,则F为AC1的中点,又D为AB的中点,所以BC1∥DF.又BC1⊄平面A1CD,DF⊂平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD.(2)三棱锥A1-CDE的体积==·h.其中三棱锥C-A1DE的高h等于点C到平面ABB1A1的距离,可知h=CD=.又=2×2-×1×2-×1×1-×1×2=,所以==·h=××=.2.(2017河南新乡调研,19)如图①所示,四边形ABCD为等腰梯形,AD∥BC,且AD=BC=a,∠BAD=135°,AE⊥BC于点E,F为BE的中点.将△ABE沿AE折起至△AB'E的位置,得到如图②所示的四棱锥B'-ADCE.(1)求证:AF∥平面B'CD;(2)若平面AB'E⊥平面AECD,求二面角B'-CD-E的余弦值.解析(1)证明:如图,取B'C的中点G,连接FG,DG.∵F为B'E的中点,∴FG∥EC,且FG=EC,(2分)∵题图①中四边形ABCD为等腰梯形,AD∥BC,且AD=BC=a,AE⊥BC,∠BAD=135°,∴BC=3a,AD∥EC,AD=EC.∴AD∥FG,AD=FG,∴四边形ADGF为平行四边形,∴AF∥DG,(5分)∵AF⊄平面B'CD,DG⊂平面B'CD,∴AF∥平面B'CD.(6分)(2)易证EA,EB',EC两两垂直,故以点E为原点,直线EB'为x轴,直线EC为y轴,直线EA为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B'(a,0,0),D(0,a,a),C(0,2a,0),所以=(-a,2a,0),=(0,-a,a),设平面B'CD的法向量为n=(x,y,z),则令z=1,得n=(2,1,1),(10分)显然=(a,0,0)为平面AECD的一个法向量,所以cos<,n>==,(11分)由图知平面B'CD与平面AECD所成的二面角为锐角,所以所求的余弦值为.(12分)方法2 证明平面与平面平行的常用方法3.(2018安徽合肥一中模拟,18)如图,四边形ABCD与ADEF均为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF 的中点.(1)求证:BE∥平面DMF;(2)求证:平面BDE∥平面MNG.证明(1)如图,连接AE,则AE必过DF与GN的交点O,连接MO,则MO为△ABE的中位线,所以BE∥MO,又BE⊄平面DMF,MO⊂平面DMF,所以BE∥平面DMF.(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,所以DE∥GN.又DE⊄平面MNG,GN⊂平面MNG,所以DE∥平面MNG.又M为AB的中点,所以MN为△ABD的中位线,所以BD∥MN,又BD⊄平面MNG,MN⊂平面MNG,所以BD∥平面MNG,又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线,所以平面BDE∥平面MNG.4.(2017河南中原名校联考,20)如图,在矩形ABCD中,AB=1,AD=a,PA⊥平面ABCD,且PA=1,E,F分别为AD,PA的中点,在BC上有且只有一个点Q,使得PQ⊥QD.(1)求证:平面BEF∥平面PDQ;(2)求二面角E-BF-Q的余弦值.解析(1)证明:如图,以点A为原点,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,a,0),P(0,0,1),设Q(1,x,0),则=(1,x,-1),=(-1,a-x,0),(2分)若PQ⊥QD,则·=-1+x(a-x)=0,即x2-ax+1=0,Δ=(-a)2-4,∵在BC上有且只有一个点Q,使得PQ⊥QD,∴Δ=0,∴a=2,x=1.(4分)∴Q(1,1,0),=(-1,1,0),又E是AD的中点,∴E(0,1,0),=(-1,1,0),∴=,∴BE∥DQ,又BE⊄平面PDQ,DQ⊂平面PDQ,∴BE∥平面PDQ,又F是PA的中点,∴EF∥PD,∵EF⊄平面PDQ,PD⊂平面PDQ,∴EF∥平面PDQ,∵BE∩EF=E,BE,EF⊄平面PDQ,∴平面BEF∥平面PDQ.(6分) (2)设平面BFQ的法向量n1=(x,y,z),则n1·=0,n1·=0,易知=,=(0,1,0),∴-x+z=0,y=0,取z=2,得n1=(1,0,2),同理,可得平面BEF的一个法向量n2=(1,1,2),∴cos<n1,n2>==,又易知二面角E-BF-Q为锐角,∴二面角E-BF-Q的余弦值为.(12分)。

课时规范练A组基础对点练1．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若m，n⊂α，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，n⊂α，m∥β且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件．答案：A2．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是()A．m∥l1且n∥l2B．m∥β且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且l1∥α解析：由m∥l1，m⊂α，l1⊂β，得l1∥α，同理l2∥α，又l1，l2相交，所以α∥β，反之不成立，所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件．答案：A3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若m⊂α且m∥β，则平面α与平面β不一定平行，有可能相交；而m⊂α且α∥β一定可以推出m∥β，所以“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．答案：B4．(2018·江西赣中南五校联考)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α，则n∥α解析：对于A，若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或γ与β相交；对于B，若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α与β相交；易知C正确；对于D，若m∥n，m∥α，则n∥α或n在平面α内．故选C.答案：C5．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1，下列结论中，正确的结论是________(只填序号)． ①AD 1∥BC 1；②平面AB 1D 1∥平面BDC 1；③AD 1∥DC 1；④AD 1∥平面BDC 1.解析：连接AD 1，BC 1，AB 1，B 1D 1，C 1D 1，BD ，因为AB 綊C 1D 1，所以四边形AD 1C 1B 为平行四边形，故AD 1∥BC 1，从而①正确；易证BD ∥B 1D 1，AB 1∥DC 1，又AB 1∩B 1D 1＝B 1，BD ∩DC 1＝D ，故平面AB 1D 1∥平面BDC 1，从而②正确；由图易知AD 1与DC 1异面，故③错误；因AD 1∥BC 1，AD 1⊄平面BDC 1，BC 1⊂平面BDC 1，故AD 1∥平面BDC 1，故④正确． 答案：①②④6.如图所示，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面所在平面中与MN 平行的是________．解析：连接AM 并延长，交CD 于E ，连接BN ，并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E ，F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，连接MN ，由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD . 答案：平面ABC 、平面ABD7．(2018·咸阳模拟)如图所示，在四棱锥O -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA的中点，N 为BC 的中点． (1)求四棱锥O -ABCD 的体积； (2)证明：直线MN ∥平面OCD .解析：(1)∵OA ⊥底面ABCD ，∴OA 是四棱锥O -ABCD 的高．∵四棱锥O -ABCD 的底面是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，∴底面面积S 菱形ABCD ＝22.∵OA ＝2，∴体积V O -ABCD ＝23. (2)证明：取OB 的中点E ，连接ME ，NE (图略)． ∵ME ∥AB ，AB ∥CD ，∴ME ∥CD .又∵NE ∥OC ，ME ∩EN ＝E ，CD ∩OC ＝C ， ∴平面MNE ∥平面OCD .∵MN ⊂平面MNE ，∴MN ∥平面OCD .8．如图，四棱锥P ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝2，点E ，F 分别为AD ，PC 的中点．(1)证明：DF ∥平面PBE ； (2)求点F 到平面PBE 的距离．解析：(1)证明：取PB 的中点G ，连接EG ，FG ，则FG ∥BC ，且FG ＝12BC ，∵DE ∥BC 且DE ＝12BC ，∴DE ∥FG 且DE ＝FG ，∴四边形DEGF 为平行四边形，∴DF ∥EG ，又DF ⊄平面PBE ，EG ⊂平面PBE ，∴DF ∥平面PBE .(2)由(1)知DF ∥平面PBE ，∴点D 到平面PBE 的距离与F 到平面PBE 的距离是相等的，故转化为求点D 到平面PBE 的距离，设为d .连接BD .∵V DPBE ＝V P BDE ，∴13S △PBE ·d ＝13S △BDE ·PD ， 由题意可求得PE ＝BE ＝5，PB ＝23， ∴S △PBE ＝12×23×(5)2－⎝⎛⎭⎫2322＝6，又S △BDE ＝12DE ·AB ＝12×1×2＝1，∴d ＝63.9．(2018·昆明七校模拟)一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N .(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)证明：直线MN ∥平面BDH ；(3)过点M ，N ，H 的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比． 解析：(1)点F ，G ，H 的位置如图所示．(2)证明：连接BD ，设O 为BD 的中点，连接OM ，OH ，AC ，BH ，MN . ∵M ，N 分别是BC ，GH 的中点， ∴OM ∥CD ，且OM ＝12CD ，NH ∥CD ，且NH ＝12CD ，∴OM ∥NH ，OM ＝NH ，则四边形MNHO 是平行四边形， ∴MN ∥OH ，又MN ⊄平面BDH ，OH ⊂平面BDH ， ∴MN ∥平面BDH .(3)由(2)知OM ∥NH ，OM ＝NH ，连接GM ，MH ，过点M ，N ，H 的平面就是平面GMH ，它将正方体分割为两个同高的棱柱，高都是体积比等于底面积之比，即3∶1.B 组 能力提升练1．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥b，a∥α，则b∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b.其中真命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：对于①，若a∥b，b⊂α，则应有a∥α或a⊂α，所以①是假命题；对于②，若a∥b，a ∥α，则应有b∥α或b⊂α，因此②是假命题；对于③，若a∥α，b∥α，则应有a∥b或a与b 相交或a与b异面，因此③是假命题．综上，在空间中，以上三个命题都是假命题．答案：A2．已知直线a，b异面，给出以下命题；①一定存在平行于a的平面α使b⊥α；②一定存在平行于a的平面α使b∥α；③一定存在平行于a的平面α使b⊂α；④一定存在无数个平行于a的平面α与b交于一定点．则其中正确的是()A．①④B．②③C．①②③D．②③④解析：对于①，若存在平面α使得b⊥α，则有b⊥a，而直线a，b未必垂直，因此①不正确；对于②，注意到过直线a，b外一点M分别引直线a，b的平行线a1，b1，显然由直线a1，b1可确定平面α，此时平面α与直线a，b均平行，因此②正确；对于③，注意到过直线b 上的一点B作直线a2与直线a平行，显然由直线b与a2可确定平面α，此时平面α与直线a平行，且b⊂α，因此③正确；对于④，在直线b上取一定点N，过点N作直线c与直线a 平行，经过直线c的平面(除由直线a与c所确定的平面及直线c与b所确定的平面之外)均与直线a平行，且与直线b相交于一定点N，而N在b上的位置任意，因此④正确．综上所述，②③④正确.答案：D3．(2018·温州十校联考)如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE 沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列三种说法中正确的个数是()①存在点E 使得直线SA ⊥平面SBC ； ②平面SBC 内存在直线与SA 平行； ③平面ABCE 内存在直线与平面SAE 平行． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：由题图，得SA ⊥SE ，若存在点E 使得直线SA ⊥平面SBC ，则SA ⊥SB ，SA ⊥SC ，则SC ，SB ，SE 三线共面，则点E 与点C 重合，与题设矛盾，故①错误；因为SA 与平面SBC 相交，所以在平面SBC 内不存在直线与SA 平行，故②错误；显然，在平面ABCE 内，存在直线与AE 平行，由线面平行的判定定理得平面ABCE 内存在直线与平面SAE 平行，故③正确．故选B. 答案：B4．下列命题中，错误的是( )A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B ．平行于同一平面的两个不同平面平行C ．如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．若直线l 不平行平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线解析：A 中，如果假定直线与另一个平面不相交，则有两种情形：在平面内或与平面平行，不管哪种情形都得出这条直线与第一个平面不能相交，出现矛盾，故A 正确；B 是两个平面平行的一种判定定理，B 正确；C 中，如果平面α内有一条直线垂直于平面β，则平面α垂直于平面β(这是面面垂直的判定定理)，故C 正确；D 是错误的，事实上，直线l 不平行平面α，可能有l ⊂α，则α内有无数条直线与l 平行． 答案：D5．(2018·唐山统一考试)在三棱锥P ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△P AC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为________．解析：过点G 作EF ∥AC ，分别交P A 、PC 于点E 、F ，过E 、F 分别作EN ∥PB 、FM ∥PB ，分别交AB 、BC 于点N 、M ，连接MN (图略)，则四边形EFMN 是平行四边形，所以EF 3＝23，即EF ＝MN ＝2，FM PB ＝FM 6＝13，即FM ＝EN ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：86．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1 cm ，过AC 作平行于体对角线BD 1的截面，则截面面积为________cm 2.解析：如图所示，截面ACE ∥BD 1，平面BDD 1∩平面ACE ＝EF ，其中F 为AC 与BD 的交点，∴E 为DD 1的中点，∴S △ACE ＝12×2×32＝64(cm 2)．答案：647．如图，四棱锥P ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明MN ∥平面P AB ； (2)求四面体N -BCM 的体积．解析：(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ， TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，故四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点， 所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE . 由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5， 故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N -BCM 的体积V N -BCM ＝13·S △BCM ·P A 2＝453. 8．如图，四棱锥P ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217 .点G ，E ，F ，H 分别是棱 PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥ 平面ABCD ，BC ∥ 平面GEFH .(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．解析：(1)证明：因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)如图，连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK .因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD . 又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内，所以PO ⊥底面ABCD . 又平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH .因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ， 所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ， 从而GK ⊥EF ，所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2，得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4， 从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点．由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42， PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3.故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18.。

课时规范练41 空间直线、平面的平行关系基础巩固组1.已知平面α,直线m⊄α,n⊂α,则“m∥α”是“m∥n”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知a,b,c为三条不同的直线,α,β,γ为三个不同的平面,则下列说法正确的是( )A.若a∥b,b⊂α,则a∥αB.若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥βC.若α∥β,a∥α,则a∥βD.若α∩β=a,β∩γ=b,α∩γ=c,a∥b,则b∥c3.在三棱柱ABC-A1B1C1中,D为该棱柱的九条棱中某条棱的中点,若A1C∥平面BC1D,则D为( )A.棱AB的中点B.棱A1B1的中点C.棱BC的中点D.棱AA1的中点4.(北京东城二模)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则线段AD1上的动点P到直线A1C1的距离d的最小值为( )A.1B.√22C.√64D.√33①α∥γ,n⊂β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m⊂γ.可以填入的条件有(填所有正确的序号).综合提升组6.(陕西安康二模)如图,在四面体ABCD中,E,F分别为AB,AD的中点,G,H 分别在棱BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.给出下列四个结论:①BD∥平面EGHF;②FH∥平面ABC;③AC∥平面EGHF;④直线GE,HF,AC交于一点.其中正确结论的个数为( )A.1B.2C.3D.47.(陕西西安中学三模)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是侧面四边形BCC1B1内(不含边界)一点,若A1P∥平面AEF,则线段A1P长度的取值范围是.创新应用组8.如图1,直线EF将矩形ABCD分为两个直角梯形ABFE和CDEF,将梯形CDEF沿EF翻折,如图2,在翻折过程中(平面ABFE和平面CDEF不重合),下列说法正确的是( )A.在翻折过程中,恒有直线AD∥平面BCFB.存在某一位置,使得CD∥平面ABFEC.存在某一位置,使得BF∥CDD.存在某一位置,使得DE⊥平面ABFE答案：课时规范练41 空间直线、平面的平行关系1.B 因为m⊄α,n⊂α,当m∥α时,m与n平行或异面,即充分性不成立;当m∥n时,满足线面平行的判定定理,m∥α成立,即必要性成立.所以“m ∥α”是“m∥n”的必要不充分条件.2.D 若a∥b,b⊂α,则a∥α或a⊂α,故A不正确;若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥β或α与β相交,故B不正确;若α∥β,a∥α,则a∥β或a⊂β,故C不正确;如图,由a∥b可得b∥α,易证b∥c,故D正确.3.B 如图,当D为棱A1B1的中点时,取AB的中点E,∵A1E∥BD,DC1∥EC,DC1∩BD=D,∴平面A1CE∥平面BC1D,又A1C⊂平面A1CE,则A1C∥平面BC1D.4.D 如图,连接AC,CD1,A1C,则A1C1∥AC,AC⊂平面AD1C,A1C1⊄平面AD1C,所以A1C1∥平面AD1C,故d的最小值等于A1到平面AD1C的距离.由V A1-AD1C =V C-A1AD1可得,13×√34×(√2)2·d min=13×12×1×1×1,解得d min=√33.5.①或③由面面平行的性质定理可知,①正确;当m∥γ,n∥β时,n和m可能平行或异面,②错误;当n∥β,m⊂γ时,n和m在同一平面内,且没有公共点,所以m∥n,③正确.6.B 因为BG∶GC=DH∶HC=1∶2,所以GH∥BD,且GH=23BD,又E,F分别为AB,AD的中点,所以EF∥BD,且EF=12BD,则EF∥GH.又BD⊄平面EGHF,GH⊂平面EGHF,所以BD∥平面EGHF,故①正确;因为F为AD的中点,H为CD的一个三等分点,所以FH与AC为相交直线,故FH与平面ABC必不平行,AC也不平行于平面EGHF,故②③错误;因为四边形EFHG为梯形,所以EG与FH 必相交,设交点为M,又EG⊂平面ABC,FH⊂平面ACD,则M是平面ABC与平面ACD的一个交点,所以M∈AC,即直线GE,HF,AC交于一点,故④正确.故选B.7.3√22,√5如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,分别取B1C1,BB1的中点M,N,连接A1M,MN,A1N,ME,BC1,又E,F分别是棱BC,CC1的中点,∴MN∥BC1∥EF,EF⊂平面AEF,MN⊄平面AEF,∴MN∥平面AEF.显然四边形BEMB1为矩形,有ME∥BB1∥AA1,ME=BB1=AA1,即有四边形AEMA1为平行四边形,则A1M∥AE,而AE⊂平面AEF,A1M⊄平面AEF, ∴A1M∥平面AEF.又A1M∩MN=M,∴平面A1MN∥平面AEF.∵A1P∥平面AEF,∴A1P⊂平面A1MN,又点P在四边形BCC1B1内,平面A1MN∩平面BCC1B1=MN,从而得点P在线段MN上(不含端点),在△A1MN中,A1M=A1N=√5,MN=√2,△A1MN底边MN上的高h=√A1M2-(12MN)2=3√22,于是得3√22≤A1P<√5.8.A 对于A,由题意得DE∥CF,AE∥BF.∵AE∩DE=E,BF∩CF=F,∴平面ADE∥平面BCF,∵AD⊂平面ADE,∴在翻折过程中,恒有直线AD∥平面BCF,故A正确;对于B,∵直线EF将矩形ABCD 分为两个直角梯形ABFE和CDEF,∴CD与EF相交,∴不存在某一位置,使得CD∥平面ABFE,故B错误;对于C,∵点B不在平面CDEF中,点F在平面CDEF 中,∴直线BF与平面CDEF相交,又CD⊂平面CDEF,∴不存在某一位置,使得BF∥CD,故C错误;对于D,∵四边形CDEF是梯形,DE⊥CD,∴DE与EF不垂直,∴不存在某一位置,使得DE⊥平面ABFE,故D错误.。

单元质检六数列(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a3=5,S6=36,则a6=()A.9B.10C.11D.122.在单调递减的等比数列{a n}中,若a3=1,a2+a4=,则a1=()A.2B.4C.D.23.设a n=-n2+9n+10,则数列{a n}前n项和最大时n的值为()A.9B.10C.9或10D.124.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+5a1,a7=2,则a5=()A. B.- C.2 D.-25.(2017宁夏银川一中二模)公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n.若a4是a3与a7的等比中项,S8=16,则S10等于()A.18B.24C.30D.606.(2017辽宁沈阳三模)数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n+a n+1=3×2n-1,则S2 017=()A.22 018-1B.22 018+1C.22 017-1D.22 017+1二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.在3和一个未知数之间填上一个数,使三数成等差数列,若中间项减去6,则三数成等比数列,则此未知数是.8.(2017河北石家庄二中模拟)已知数列{a n}满足:a1=1,a n=+2a n-1(n≥2),若b n=(n∈N*),则数列{b n}的前n项和S n=.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)已知数列{a n}的前n项和为S n,首项为a1,且,a n,S n成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)数列{b n}满足b n=(log2a2n+1)×(log2a2n+3),求数列的前n项和T n.10.(15分)已知数列{a n}和{b n}满足a1=2,b1=1,2a n+1=a n,b1+b2+b3+…+b n=b n+1-1.(1)求a n与b n;(2)记数列{a n b n}的前n项和为T n,求T n.11.(15分)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=1-,其中n∈N*.(1)设b n=,求证:数列{b n}是等差数列,并求出{a n}的通项公式.(2)设c n=,数列{c n c n+2}的前n项和为T n,是否存在正整数m,使得T n<对于n∈N*恒成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明理由.答案：1.C解析∵S6=×6=×6=36,又a3=5,∴a4=7.∴a6=a4+(6-4)×(7-5)=11.故选C.2.B解析由已知,得a1q2=1,a1q+a1q3=,∴,q2-q+1=0,∴q=(q=2舍去),∴a1=4.3.C解析令a n≥0,得n2-9n-10≤0,∴1≤n≤10.令a n+1≤0,即n2-7n-18≥0,∴n≥9.∴9≤n≤10.∴前9项和等于前10项和,它们都最大.4.A解析由条件,得∴∴a5=a1q4=×42=.5.C解析设等差数列{a n}的公差为d≠0.由题意得(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d),化为2a1+3d=0,①∵S8=16,∴8a1+×d=16,②联立①②解得a1=-,d=1.则S10=10××1=30.6.C解析由a1=1和a n+1=3×2n-1-a n,可知数列{a n}唯一确定,并且a2=2,a3=4,a4=8,猜测a n=2n-1,经验证a n=2n-1是满足题意的唯一解.∴S2 017==22 017-1.7.3或27解析设此三数为3,a,b,则解得故这个未知数为3或27.8.1-解析当n≥2时,a n+1=+2a n-1+1=(a n-1+1)2>0,两边取以2为底的对数可得log2(a n+1)=log2(a n-1+1)2=2log2(a n-1+1),则数列{log2(a n+1)}是以1为首项,2为公比的等比数列,log2(a n+1)=2n-1,a n=-1,又a n=+2a n-1(n≥2),可得a n+1=+2a n(n∈N*),两边取倒数可得,即,因此b n=,所以S n=b1+…+b n==1-,故答案为1-.9.解(1)∵,a n,S n成等差数列,∴2a n=S n+.当n=1时,2a1=S1+,即a1=;当n≥2时,a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1,即=2,故数列{a n}是首项为,公比为2的等比数列,即a n=2n-2.(2)∵b n=(log2a2n+1)×(log2a2n+3)=(log222n+1-2)×(log222n+3-2)=(2n-1)(2n+1),∴=.∴T n==.10.解(1)∵2a n+1=a n,∴{a n}是公比为的等比数列.又a1=2,∴a n=2·.∵b1+b2+b3+…+b n=b n+1-1,①∴当n=1时,b1=b2-1,故b2=2.当n≥2时,b1+b2+b3+…+b n-1=b n-1, ②①-②,得b n=b n+1-b n,得,故b n=n.(2)由(1)知a n b n=n·.故T n=+…+,则T n=+…+.以上两式相减,得T n=+…+, 故T n=8-.11.解(1)∵b n+1-b n====2(常数),∴数列{b n}是等差数列.∵a1=1,∴b1=2,因此b n=2+(n-1)×2=2n.由b n=,得a n=.(2)由c n=,a n=,得c n=,∴c n c n+2==2,∴T n=2+…+=2<3,依题意要使T n<对于n∈N*恒成立,只需≥3,即≥3, 解得m≥3或m≤-4.又m为正整数,∴m的最小值为3.。

专题十一 立体几何考点33：空间几何体的结构特征、三视图、直观图表面积和体积(1-8题,13-15题，17-19题)考点34：空间点、线、面的位置关系（9,10题） 考点35：直线、平面平行的判定与性质(16,20题）考点36：直线、平面垂直的判定与性质（17-19,21,22题） 考点37：与空间角和距离有关的计算（11,12题，20-22题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题1.如图,三棱锥V ABC -的底面ABC 是等腰直角三角形, AB BC =,侧面VAC 与底面垂直,已知其正视图的面积为3,则其侧视图的面积为( )A.B. 32C. 34D.2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.4B.6C.20 3D.22 33某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )A.10B.12C.14D.164.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.7B.15 2C.23 3D.47 65某几何体三视图如图1示,则此几何体的表面积为( )A.B.C.D.6.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为( )A. 1B.C.D. 27.如图,正方体1111ABCD A B C D 以顶点A 为球心, 2为半径作一个球,则图中球面与正方体的表面相交得到的两段弧长之和等于( )A. 56πB. 23πC. πD.76π8.如图为某几何体的三视图,求该几何体的内切球的表面积为( )A.14π B. 3π C. 4πD. 43π9.已知m ,n 是两条不同的直线, α,β,γ是三个不同的平面,下列命题中正确的是( )A.若m α⊥,m β⊥,则αβ⊥B.若αγ⊥,βγ⊥,则//αβC.若//m α,//m β,则//αβD.若m α⊥,//n α,则m n ⊥10.如图,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别是BC ,AD 的中点,将ABF ∆沿BF 所在直线进行翻折,将CDE ∆沿DE 所在直线进行翻折,在翻折过程中( )A.点A 与点C 在某一位置可能重合B.点A 与点CC.直线AB 与直线CD 可能垂直D.直线AF 与直线CE 可能垂直11.已知三棱柱111ABC A B C -,侧棱与底面垂直,1112AA AB BC ===,AB BC ⊥,点,,?P M N 分别是棱1111,,BB CC AC 的中点,则异面直线AP 与MN 所成角的余弦值为( )A.B.C.D.12.已知直二面角,,,l A AC l C αβα--∈⊥为垂足,,,B BD l D β∈⊥为垂足.若2,1AB AC BD ===,则D 到平面ABC 的距离等于( )A.B.C.D.二、填空题13.一个几何体的三视图如图所示(单位: m ),则该几何体的体积为 3m 。

单元质检四三角函数、解三角形(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.为了得到函数y=sin的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有的点()A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动个单位长度D.向右平行移动个单位长度2.“α=”是“sin(α-β)=cos β”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=,则φ=()A. B.C. D.4.已知函数y=sin与y=cos的图象关于直线x=a对称,则a的值可能是()A. B.C. D.5.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,c=2(b-cos C),则△ABC周长的取值范围是()A.(1,3]B.[2,4]C.(2,3]D.[3,5]6.(2017山东,理9)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin A·cos C+cos A sin C,则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=.8.(2017浙江,14)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是,cos∠BDC=.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知cos 2A-3cos(B+C)=1.(1)求角A的大小;(2)若△ABC的面积S=5,b=5,求sin B sin C的值.10.(15分)已知函数f(x)=sin 2ωx-cos 2ωx的图象关于直线x=对称,其中ω∈. (1)求函数f(x)的解析式;(2)在△ABC中,a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,锐角B满足f,b=,求△ABC面积的最大值.11.(15分)(2017江苏无锡一模)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边.若a cos B=3,b cos A=1,且A-B=.(1)求c的值;(2)求角B的大小.答案：1.D解析由题意,为得到函数y=sin=sin,只需把函数y=sin 2x的图象上所有点向右平行移动个单位长度,故选D.2.A解析若α=,则sin(α-β)=cos β.反之不成立,例如,取α=2π+,也有sin(α-β)=cos β.故“α=”是“sin(α-β)=cos β”的充分不必要条件.3.D解析由题意可知,g(x)=sin(2x-2φ).由|f(x1)-g(x2)|=2,可知f(x1)和g(x2)分别为f(x)和g(x)的最大值和最小值(或最小值和最大值).不妨令2x1=+2kπ(k∈Z),2x2-2φ=-+2mπ(m∈Z),则x1-x2=-φ+(k-m)π(k∈Z,m∈Z).因为|x1-x2|min=,0<φ<,所以当k-m=0,即k=m时,有-φ=,解得φ=.故选D.4.A解析因为函数y=sin的图象关于直线x=a的对称的图象对应的函数为y=sin,即y=cos=cos,又因为函数y=sin与y=cos的图象关于直线x=a对称, 所以y=cos=cos,所以a可以为,故选A.5.C解析在△ABC中,由余弦定理可得2cos C=.∵a=1,2cos C+c=2b,∴+c=2b,∴(b+c)2-1=3bc.∵bc≤,∴(b+c)2-1≤3×,即b+c≤2,当且仅当b=c时,取等号.故a+b+c≤3.∵b+c>a=1,∴a+b+c>2.故△ABC的周长的取值范围是(2,3].6.A解析∵sin B(1+2cos C)=2sin A cos C+cos A sin C,∴sin B+2sin B cos C=(sin A cos C+cos A sin C)+sin A cos C,∴sin B+2sin B cos C=sin B+sin A cos C,∴2sin B cos C=sin A cos C,又△ABC为锐角三角形,∴2sin B=sin A,由正弦定理,得a=2b.故选A.7.解析因为cos A=,cos C=,且A,C为△ABC的内角,所以sin A=,sin C=,sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C=.又因为,所以b=.8.解析如图,取BC中点E,DC中点F,由题意知AE⊥BC,BF⊥CD.在Rt△ABE中,cos∠ABE=,∴cos∠DBC=-,sin∠DBC=.∴S△BCD=×BD×BC×sin∠DBC=.∵cos∠DBC=1-2sin2∠DBF=-,且∠DBF为锐角,∴sin∠DBF=.在Rt△BDF中,cos∠BDF=sin∠DBF=.综上可得,△BCD的面积是,cos∠BDC=.9.解(1)由cos 2A-3cos(B+C)=1,得2cos2A+3cos A-2=0,即(2cos A-1)(cos A+2)=0,解得cos A=(cos A=-2舍去).因为0<A<π,所以A=.(2)由S=bc sin A=bc=5,可得bc=20.由b=5,解得c=4.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bc cos A=25+16-20=21,故a=.由正弦定理,得sin B sin C=sin A·sin A=sin2A=.10.解(1)因为f(x)=sin 2ωx-cos 2ωx=2sin的图象关于直线x=对称,所以2ω×=kπ+(k∈Z),所以ω=+1(k∈Z).因为ω∈,所以-+1<(k∈Z),所以-1<k<1(k∈Z),所以k=0,ω=1,所以f(x)=2sin.(2)因为f=2sin B=,所以sin B=.因为B为锐角,所以0<B<,所以cos B=.因为cos B=,所以,所以ac=a2+c2-2≥2ac-2,所以ac≤3,当且仅当a=c=时,ac取到最大值3,所以△ABC面积的最大值为×3×.11.解(1)∵a cos B=3,∴a×=3,化为a2+c2-b2=6c, ①b cos A=1,b×=1,化为b2+c2-a2=2c.②解由①②组成的方程组得2c2=8c,即c=4.(2)由(1)可得a2-b2=8.由正弦定理可得,又A-B=,∴A=B+,C=π-(A+B)=π-,可得sin C=sin.∴a=,b=.∴16sin2-16sin2B=8sin2, ∴1-cos-(1-cos 2B)=sin2,即cos 2B-cos=sin2,∴-2sin sin=sin2,∴sin=0或sin=1,B∈,解得B=.。