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高中数学研究课题教案一、课题名称：探究数列的本质和规律二、课题背景和意义：数列是数学中非常重要的概念，它在解决实际问题以及推导数学结论中都有着重要的作用。
通过对数列的研究，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高数学思维能力。
通过本课题的学习，学生将能够深入理解数列的本质和规律，掌握数列的常见性质和求和公式，培养学生的逻辑思维和分析能力。
三、课题目标：1. 了解数列的定义和性质；2. 掌握常见数列的求和公式；3. 能够运用数列的思想解决实际问题；4. 提高学生的数学思维和解题能力。
四、教学内容和步骤：1. 数列的概念和表示方法（25分钟）- 引入数列的概念和定义；- 介绍等差数列和等比数列的表示方法；- 给出一些实际问题，引导学生理解数列的概念。
2. 数列的性质和求和公式（30分钟）- 讲解数列的常见性质，如通项公式、前n项和公式等；- 给出一些例题，让学生掌握数列的求和方法；- 指导学生如何根据数列的性质解题。
3. 数列的应用和实践（25分钟）- 分组讨论实际问题，应用数列的方法解决；- 带领学生完成一些综合性的练习题；- 撰写论文或报告，总结数列的应用及发现。
五、教学方法和手段：1. 讲授教学结合课堂互动，鼓励学生提问和讨论；2. 利用多媒体教具展示数列的图像和应用实例；3. 设计小组合作学习任务，培养学生的团队协作能力；4. 鼓励学生参与数学竞赛和研究活动，提高数学实践能力。
六、评价方式和评分标准：1. 平时表现（包括课堂互动、作业完成情况等）：占总分的20%；2. 课堂测验和小组作业：占总分的30%；3. 个人论文或报告：占总分的30%；4. 学习总结和思考：占总分的20%。
七、拓展任务和延伸阅读：1. 带领学生开展数列的进一步研究，探索更多的数列性质和规律；2. 推荐相关数学书籍和期刊，引导学生扩展数学知识和视野；3. 参加数学竞赛和学术交流活动，锻炼学生的数学解题能力和表达能力。
以上为本课题的教案范本，教师可根据实际情况进行适当调整和修改。
等差数列中的三类难点问题解析某某省利津县第一中学 胡彬 257400一.等差数列确定特殊项的序号及和序号的问题例1.已知{a n }为等差数列，公差d ≠0，{a n }中的部分项所组成的数列1k a ，2k a ，3k a ，…，n k a ，…恰为等比数列，其中k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17.(1)求k n ；(2)求证：k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n ＝3n －n －1.分析：(1)易知n k a 是等比数列中的第n 项，于是有n k a ＝a 11-n q ；另一方面，n k a 是等差数列中的第k n 项，又有n k a ＝a 1＋(k n －1)d 。
从而得a 1q n －1＝a 1＋(k n －1)d 。
在上式中除了k n 为所求外，a 1、d 和q 均为待定系数。
虽然a 1、d 和q 不必都求出来，但从式子的结构看，需求出a 1与d 的关系和q 的值。
从何入手呢？注意到k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，我们可以利用等比数列的子数列1k a ，2k a ，3k a ，即a 1，a 5，a 17也成等比数列，据此可以求出d 与a 1的关系和q 的值。
(2)要证明k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n ＝3n －n －1，实质上是求数列{k n }的前n 项的和，而这可以由通项k n 来确定。
解：(1)由题设知1k a ，2k a ，3k a 即a 1，a 5，a 17成等比数列，所以a 52＝a 1a 17，即(a 1＋4d)2＝a 1(a 1＋16d)。
因d ≠0，所以a 1＝2d ，于是公比q ＝15a a ＝3，所以n k a ＝1k a q n －1＝a 1⋅3n －1 又n k a ＝a 1＋(k n －1)d ＝a 1＋(k n －1) ⋅21a ，所以a 1＋(k n －1) ⋅21a ＝ a 1⋅3n －1 因而k n ＝2⋅3n －1－1(2)k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n ＝(2⋅30－1)＋(2⋅3－1)＋…＋(2⋅3n －1－1)＝2(1＋31＋32＋…＋3n －1)－n ＝3n －n －1说明：在求得d ＝21a 和公比q ＝3后，还有如下更为简捷的解法： 因为3112)1(2)1(1111111=++=⋅-+⋅-+=---n n n n k k k k a k a a k a a a n n . 所以{k n ＋1}是首项为k 1＋1＝2，公比为3的等比数列，于是k n ＋1＝ 2⋅3n －1，即k n ＝2⋅3n －1－1。
123神州教育高中数学数列试题的解题方法研究胡铭晟宁波市第二中学摘要：数列是高中数学学习的重要组成部分，在学习的过程中会遇到各种问题，为提高解题效率，本文就高中数学中数列试题的解题方法围绕着两点进行分析：数列在高中数学学习中的重要性，高中数学数列试题的解题方法。
关键词：高中数学；数列试题；解题方法引言：目前，在我国高中数学的教学中，数列是非常重要的学习内容，熟练掌握并应用数列内容，有利于学生提高学习成绩，培养学生自身的素养。
但是在实际的学习过程中，经常会遇到一些问题，为了提高解题效率，本文就高中数列试题的解题方法进行探究。
1数列在高中数学学习中重要性高中阶段的数学学习是非常重要的，其不仅是初中数学知识和高等数学知识之间的过渡，更是培养学生数学素养的重要阶段。
数列在高中数学教材中是独立部分并没有与其它学习内容联系在一起学习，由此就可以看出其在教学中十分重要。
数列内容虽然是独立呈现出来的，但是其与其它数学知识之间具有十分紧密的关系，很多数学知识的练习都是以数列为基础的，如不等式、函数等内容中都涉及到了数列内容，因此在学习的过程中，需要掌握数列知识的学习。
2高中数学数列试题的解题方法在高中数学的学习过程中，数列的解题方法是教师教学的重点，也是学生学习的难点。
为了提升解题效率，在学习的过程中需要对教学内容进行深入的了解，根据自身的学习内容，选择适合的解题方法来解决问题，以此提高学习的质量。
2.1深入学习相关概念在高中数学的学习过程中，涉及到了很多公式定义的学习与记忆，我们在解题的过程中，需要利用公式进行计算。
由于高中数学中所涉及到的公式较多，有部分可以在计算中直接运用，但是有的公式则是需要推导之后才可以应用的。
在数列试题中也是如此，有的问题可以直接运用公式进行计算。
可以直接利用公式计算的问题相对比较简单，只需要学生对数列的相关定义公式可以熟练地应用及理解即可，然后根据题目，将公式代入，就可以得到答案。
例如，已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，S 10=10，S 50=70，则S 40等于多少？解析，在解决这类问题时，首先应该对题目进行分析，然后将所学公式带入，利用基本公式和求和公式进行计算，以此来保证答案的正确性。
专题讲座高中数学“数列的综合问题”教学研究郭洁北京市东城区教师研修中心一、对本专题数学知识的深层次理解（一）数列综合问题的几个重点内容数列的综合问题课标中并没有明确的陈述，但往往是高考考查涉及到的问题，如：数列求和问题；数列与不等式综合问题；关于递推数列的问题等。
这些问题往往涉及数列知识的综合和高考的考查重点，教学中教师要给予关注并较好的把握。
（二）教学内容的重点、难点重点：在解决数列问题中要关注数列的属性、项数，用函数的观点研究数列；掌握数列求和的基本方法及基本的递推数列问题。
难点：数列与不等式综合问题中的放缩问题；解决递推数列问题的策略。
二、“数列综合问题”的教与学的策略（一）解决数列问题的基本思路判断所要求研究的数列是否为特殊数列：等差数列或等比数列，如果是，用公式和性质解决 . 如果不是等差、等比数列，要么转化为等差数列或等比数列，要么寻找其它方法 .因此我们拿到一个数列的问题时，要注意关注数列的属性。
1．关注数列的属性本题的关键是定性，即关注数列的属性。
2．关注数列的项数此题涉及等差、等比数列的综合问题，考查了等比中项，等差数列的通项公式等基本知识，考查了方程思想，关键是利用已知条件找到 K n与 n的关系。
3．用函数的观点认识数列本题的关键是用函数的观点去看待数列问题，此题也涉及到不等式的知识 .以上几个例题从不同角度反映了数列是特殊的函数这一问题，因此解决数列问题，往往可以利用解决函数问题的思考方式。
（二）关注数列求和问题的教学数列求和的问题需要根据数列特点选择解决方法，必须掌握常用的数列求和方法，但数列求和往往和其他知识综合在一起，综合性较强 . 若为等差（比）数列，则直接用公式求和；若非等差（比）数列，则需寻找间接求和的方法 . 常见的有：“倒序相加法”“错位相减法”“裂项相消法”等 .1．用公式求和分析 : 课本上推导等差数列的前项和公式的方法为倒序相加法 , 故设数列求和的问题需要根据数列特点选择解决方法这一点在教学中应该始终坚持。
高中数学中的数列与级数应用在实际问题中的研究数学作为一门学科，不仅仅是理论的探索，也可以应用于实际问题的解决。
在高中数学中，数列与级数是重要的概念，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将探讨数列与级数在实际问题中的研究。
首先，数列与级数在金融领域中有着重要的应用。
例如，我们可以利用等差数列的概念来研究贷款的还款计划。
假设某人向银行贷款10万元，年利率为5%，按照等额本息还款方式，每月还款金额相同。
我们可以建立一个等差数列，其中每一项表示每月还款金额。
通过数学计算，我们可以确定每月还款金额为多少，以及还款周期为多少个月。
这样的研究可以帮助借款人了解贷款的还款情况，合理规划自己的财务状况。
其次，数列与级数也在物理学中有着广泛的应用。
例如，我们可以利用等差数列的概念来研究自由落体运动的位移与时间之间的关系。
根据物理学的定律，自由落体运动的位移与时间之间存在着一种线性关系。
我们可以将位移看作是等差数列的通项公式，时间看作是数列的项数。
通过观察实验数据，我们可以确定等差数列的公差，从而得到自由落体运动的位移与时间之间的具体关系式。
这样的研究有助于我们更好地理解物体自由落体运动的规律。
此外，数列与级数还在经济学中有着重要的应用。
例如，我们可以利用等比数列的概念来研究经济增长的模式。
经济增长通常呈现出一种指数增长的趋势，而等比数列正是可以描述指数增长的数列。
通过分析经济数据，我们可以确定等比数列的首项和公比，从而预测未来的经济增长趋势。
这样的研究对于政府决策和企业发展都具有重要的参考价值。
最后，数列与级数还在生物学中有着应用。
例如，我们可以利用斐波那契数列的概念来研究植物的生长规律。
斐波那契数列是一种特殊的数列，每一项都是前两项的和。
在植物的生长过程中，叶子的排列通常呈现出斐波那契数列的规律。
通过研究斐波那契数列的性质，我们可以更好地理解植物的生长规律，从而改善农业生产和植物育种。
综上所述，数列与级数在高中数学中的学习不仅仅是为了应对考试，更是为了应用于实际问题的解决。
高中数学解数列极限问题的详细分析与实例分析数列极限是高中数学中一个重要的概念，也是学生们经常遇到的难点之一。
在解决数列极限问题时，我们需要掌握一些基本的解题技巧和方法。
本文将详细分析数列极限问题，并通过实例分析来说明解题方法和考点。
一、数列极限的定义和性质数列极限是指当数列的项数无限增加时，数列中的数值趋于一个确定的常数或无穷大。
数列极限的定义可以表述为：对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，数列的第n项与极限之间的差的绝对值小于ε。
在解决数列极限问题时，我们需要掌握一些基本的性质。
首先是数列极限的唯一性，即一个数列只有一个极限。
其次是数列极限的四则运算性质，即两个数列的极限之和、差、积、商仍然是有限的。
二、常见的数列极限问题1. 等差数列的极限问题等差数列是高中数学中最常见的一类数列，其通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
当公差d不为0时，数列的极限为无穷大或无穷小；当公差d为0时，数列的极限为首项a1。
例如，考虑数列{1, 3, 5, 7, ...}，其中首项a1=1，公差d=2。
根据等差数列的通项公式，第n项为an=1+(n-1)2=2n-1。
当n趋于无穷大时，2n-1也趋于无穷大，因此该数列的极限为正无穷。
2. 等比数列的极限问题等比数列是指数列中相邻两项之比为常数的数列，其通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
当公比r的绝对值小于1时，数列的极限为0；当公比r 的绝对值大于1时，数列的极限为无穷大或无穷小。
例如，考虑数列{2, 4, 8, 16, ...}，其中首项a1=2，公比r=2。
根据等比数列的通项公式，第n项为an=2*2^(n-1)=2^n。
当n趋于无穷大时，2^n也趋于无穷大，因此该数列的极限为正无穷。
3. 斐波那契数列的极限问题斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和的数列，其通项公式为an=an-1+an-2，其中a1=1，a2=1。
新课标下高中数学数列问题的研究作者：李梅香来源：《课程教育研究》 2021年第2期李梅香（甘肃省武威第十八中学甘肃武威 733000）【摘要】新课标素质教育理念之下，必然影响高中数学教学方法与教学理念，进而提出新的教学方法，并付之于行动，从而提升高中数学教学有效性与教学质量。
而传统理念之下高中数学教学必然无法发挥应具备的教学功能和教学价值，因此如何开展创新型高中数学教学活动，成为高中数学教师需要思考的问题。
本文主要分析与研究如何在新课标背景之下合理开展高中数学数列教学活动，并以数列问题为中心创新教学方法，将数学数列以最直观、立体、形象的方式展现在学生面前，加强学生对数学数列的理解记忆能力，提升教学水平，也为学生在今后的学习习惯、兴趣养成奠定坚实的基础。
【关键词】新课标高中数学教学数列问题【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A【文章编号】2095-3089（2021）02-0088-03高中数学学科本身是一个具有逻辑性与专业性要求的课程，因而对于学生思维能力有着高标准要求，一般情况下很少有学生能够在课堂之中及时产生对数列问题的理解和把握。
因而，高中数学教师应从多元化角度出发，创设多样性教学内容，以针对性态度来实施教学方法，挖掘数列问题中所包含的客观规律，并采取直观性方式展现在学生面前，提升高中学生对高中数学数列问题的理解水平。
一、新课标下高中数列教学问题1.普遍采用题海战术，学生举一反三能力差新课标之下高中数学数列教学往往需要摒弃传统教学方法，通过引导学生进行复习与预习，以此来掌握、理解数列公式。
对于高中数学数列问题而言，需要高中学生将公式正确导入到问题之中，以此来获取正确答案，除了进行反复复习与预习以外，并没有任何捷径可走。
传统模式之下，高中数学数列教学经常会要求学生进行题海战术，但是如果题型稍微一有变化，学生便会束手无策，无法真正达到学以致用的效果。
而新课标之下，高中数学教师则需要采取多样化教学方法来改善传统教学弊端，帮助学生逐渐寻找适合自己的学习方法与学习习惯，学会举一反三，深刻挖掘数列内在客观规律，并将之掌握与运用，从而解决高中数学教学所存在的问题。
高中数学数列的解题常规方法研究【摘要】数学数列在高中数学学习中起着重要的作用，掌握数列解题的常规方法对学生提高数学成绩至关重要。
本文从等差数列和等比数列的解题方法入手，详细介绍了通项公式的推导、数列求和公式和递推数列的解题方法。
通过对这些常规方法的研究，有助于学生加深对数列概念的理解，提高解题效率。
结论部分总结了高中数学数列解题的常规方法，指出了未来研究的方向，为学生在数列解题中提供了有效的指导和帮助。
该研究旨在帮助学生掌握数列解题的技巧，提高数学学习的效果，为未来的数学研究提供基础和借鉴。
【关键词】高中数学、数列、解题、常规方法、等差数列、等比数列、通项公式、求和公式、递推数列、研究意义、文献综述、总结、展望未来、引言、结论。
1. 引言1.1 背景介绍高中数学数列作为数学中重要的概念之一，在学生学习过程中占据着重要的位置。
数列是一种按照一定规律排列的数的集合，其中包括等差数列、等比数列、递推数列等不同类型。
数列的研究不仅有助于学生理解数学知识，还能够培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
对于高中生来说，掌握数列的解题方法是非常重要的。
通过解题，学生能够更深入地理解数列的性质和规律，进而更好地应用于实际问题中。
研究高中数学数列的解题常规方法具有重要的实际意义和理论价值。
在过去的研究中，有许多关于数列解题方法的文献进行了综述和总结。
这些文献为我们提供了丰富的解题思路和方法，帮助我们更好地理解和掌握数列的解题技巧。
通过对这些文献的研究，可以更好地指导我们在实际问题中应用数列知识。
本文将对高中数学数列的解题常规方法进行深入研究和探讨，以期能够为学生提供更好的学习指导和帮助，同时也可以为数学教育领域的研究提供一定的借鉴和参考。
1.2 研究意义高中数学数列作为数学的基础内容之一，在学生学习阶段占据着重要的地位。
而深入研究数列解题方法的意义在于，能够帮助学生更好地掌握数学知识，提高数学解题能力。
通过研究数列的解题方法，可以帮助学生理清解题思路，掌握解题的技巧，从而更轻松地应对数学考试。
一、概述数列作为数学中的重要概念，在高中阶段的数学教学中占据着重要的地位。
而不同国家的高中数学教材对于数列的教学内容和方法有着不同的呈现和强调，本文将从中、美、英三个国家的高中数学教材中选择数列部分作为研究对象，通过比较分析不同国家的数列教学内容，探讨其异同点，为我国高中数学教学提供一定的借鉴和启示。
二、中、美、英高中数学教材数列内容的比较1. 我国高中数学教材数列内容在我国，高中数学教材通常包括了基本数列的概念、性质和应用、等差数列、等比数列、数列求和等内容。
重点强调数列的各种性质和特点，并结合实际问题进行综合运用。
2. 美国高中数学教材数列内容美国高中数学教材中的数列内容更加强调数列的发现和推导过程，注重培养学生的探究精神和解题能力。
数列的应用也更加注重实际生活和工程问题。
3. 英国高中数学教材数列内容英国高中数学教材中的数列部分注重数学概念的系统性和逻辑性，注重数学思维的培养。
数列的历史和发展也在教学中得到一定的关注。
三、不同教材内容的比较分析1. 教学内容中、美、英三国高中数学教材中数列部分的教学内容在侧重点上有所不同。
中美两国更注重数列的性质和应用，而英国更注重数列的概念和思维方法。
2. 教学方法在教学方法上，美国更注重学生的探究和发现，强调学生的自主性和主动性；中、英两国更注重教师的引导和讲解，同时加强数学思维的培养。
3. 教学目的中美两国高中数学教材数列部分的教学目的更注重数学知识的应用和实际问题的解决，而英国更加注重数学思维和逻辑性的培养。
四、结论与启示在中、美、英三国高中数学教材数列部分内容的比较分析中，可以看出不同国家在数列教学方面的侧重点、方法和目的略有不同。
在我国高中数学教学中，可以借鉴美国的探究性教学方法，英国的数学思维培养方式，结合本国实际情况，更加注重数学应用和实际问题的解决，创设各种类型题目，引导学生探究和发现问题的解决方法，提高学生的数学综合运用能力，培养学生的创新意识和数学思维能力。
A Study of Unit Teaching Design about "Sequence" inSenior High School MathematicsQiang DongNorthwest Normal UniversityNovember, 2016摘要近年来，高中数学单元教学设计成为基础教育研究的热点之一，“数列”在高中数学中占有重要的地位，以“数列”相关内容为线索进行单元教学设计有一定的实践意义。
采用文献法、问卷调查法、访谈法、教材分析法等研究方法研究三个基本问题，第一，“数列”单元学生的先备知识及认知水平如何？学生可能会有哪些方面的学习困难？第二，“数列”在高中数学课程中的地位及“数列”单元的知识网络是怎样的？第三，基于学生已有的认知现状及课程分析，“数列”单元教学设计的教学目标、单元框架、课时安排等如何调整？研究发现，第一，关于数列的学习，学生在不同的学段表现出了不一样的学习特征，越是高年级的学生对数列的学习积极性越低，不同学段的学生对数列的学习有不同的认知水平，学生对数列的函数本质的认识不到位。
第二，数列在整个高中数学课程安排中占有较高的地位，数列与函数、算法、微积分、排列组合、方程、不等式等内容有着密切的联系。
第三，不同版本的教科书呈现“数列”内容的方式有所不同。
第四，从数学思想方法上看，方程与方程组的思想、类比思想、归纳思想、数形结合思想、分类讨论的思想、化归与转化、函数的思想、算法思想等在数列单元均有所体现。
第五，基于学生和教材双方面的思考，对数列单元教学目标及单元框架进行了相应调整，并建议在“数列”单元教学中，整体把握教材、注重数学思想和数学方法的渗透，关注学生的主动参与和知识的发生发展过程等。
关键词：高中数学；数列；单元教学设计ABSTRACTIn recent years, the high school mathematics unit teaching design has become one of hot topics in the study of basic education," sequence" occupies an important position in the high school mathematics, with " sequence " relevant content for clues for unit teaching design has a certain practical significance.Using literature method, questionnaire survey method, interview method, teaching material analysis method etc，to research the three basic questions. First, how about the students' prior knowledge and cognitive level of "the sequence" unit? What are the aspects of learning difficulties students may? Second, the status of "sequence" in high school mathematics curriculum and knowledge network is what kind of? Third, based on the students' cognitive analysis of present situation and the course, how to adjust the teaching aim of "sequence" unit, teaching design, unit frame, teaching scheduling?The study found that first, the study about "sequence", students learn in different period showed different characteristics of learning. Students showed the more senior the lower enthusiasm to sequence study, different classmate of students have different cognitive level of sequence learning, the students’ understanding does not reach the designated position about the sequence' function nature. Second, sequence has a higher place in the high school mathematics curriculum, and sequence has the close relationship with function, algorithm, differential and integral calculus, permutation and combination, equation, inequality and so on. Third, the way of appearing about "sequence" content of different versions of the textbook is different. Fourth, from the point of view of mathematics thinking method,equations and systems of thought, analogy thought,inductive thought,several form combining ideas,classification discussion ideas,reduction and transformation,function thought,algorithm thought and so on all reflected in sequence unit. Fifth, based on the two-sided thinking of students and teaching material,sequence units teaching goal and framework had been adjusted accordingly, and suggesting in the "sequence" unit teaching,to grasp the teaching material as a whole,to pay attention to penetration of mathematical thinking and mathematical method,to focus on the students' active participation and the development of knowledge and so on.Keywords:High school mathematics; Sequence; Unit teaching design目录摘要 (I)ABSTRACT ........................................................................................................................................... I I 一、问题的提出.. (1)（一）研究缘起 (1)（二）研究的问题 (3)（三）研究的目的及意义 (3)二、文献综述 (7)（一）核心概念的界定 (7)（二）数列教学的相关研究 (7)（三）数列单元教学设计的相关研究 (9)（四）文献综述小结 (11)三、研究思路与方法 (13)（一）研究思路 (13)（二）研究方法 (13)四、高中数学“数列”单元教学设计基本要素分析 (15)（一）高中数学“数列”单元学情调研与分析 (15)（二）高中数学“数列”单元教材分析 (21)（三）高中数学“数列”单元教学设计要素分析 (37)五、高中数学“数列”单元教学设计思路及案例分析 (53)（一）单元教学目标设计 (53)（二）单元教学重点设计 (53)（三）单元教学流程设计 (54)（四）单元课时安排调整 (55)（五）教学建议与实施 (56)（六）典型课例设计 (57)六、结论与反思 (65)（一）研究结论 (65)（二）反思与改进 (65)参考文献 (67)附录 (71)致谢 (72)一、问题的提出（一）研究缘起1.新课程要求从整体上把握不同的模块知识在新课程改革的背景下，高中数学教材出现了5种不同的版本，加上上海的独立课本，可以说全国共有6种不同的教材版本。
高中数学数列系列问题研究
摘要：数列问题是高中数学中很重要的一个部分，与函数、方程、三角函数、导函数等问题均有联系，其中的重要的递推思想、放缩思想以及函数思想也在其他的方面有很重要的应用。
数列中最重要的问题就是求通项问题以及求和问题，要解决这两大问题需要我们正确的理解数列的概念以及运用正确的方法。
关键词：求通项、数列求和、方法、
高中数列中最为常见的两个部分就是等比数列以及等差数列，这两种数列的特征很明显，他们的通项公式以及求和公式也都比较容易掌握，但是这两种数列在研究时也有需要注意的地方。
比如等比数列的通项公式中an=a1*q^n-1,这里面的q也就是公比是不能为0的，其求和公式中也应注意q不能为1，当q为1时应用Sn=na1来求解
但是大多数数列问题都不是直接单纯的研究这两个数列，而是将这两种数列和其他不常见的数列放在一起研究的。
下面我们将就这类问题的解决方法进行讨论。
一、求通项问题
求通项一般是解决数列问题的基础问题，如果没有办法求出一个数列的通项，那么研究这个数列的难度也会增加，因此会求一个数列的通项是解决数列问题的基本能力。
1、累加法
当获得类似于an-an-1=f(n)这种形式的递推公式时，可以先写出前面几项，例如：an+1-an=2^n，通过写出前几项：
a2-a1=2,a3-a2=2^2,a4-a3=2^3,……an-an-1=2^(n-1),不难发现，通过加和，可以得到an-a1=2+2^2+2^3+……+2^（n-1），然后根据等比数列求和公式可以得到an的通项公式，所以累加法一般适用于有明显的如an-an-1=f(n)这种特征的数列。
2、累乘法
累乘法与累加法有很多相似之处，累乘法一般适用于符合
an+1/an=f(n)这种递推形式的数列。
例如：nan+1=(n+1)an，通过变形可以得到an+1/an=(n+1)/n,写出前几项后：
a2/a1=2/1,a3/a2=3/2,a4/a3=4/3……an/an-1=n/（n-1）,类似于累加法，将这些式子依次相乘，可以得到an/a1=n/1，然后就可以得到an的通项公式。
3、公式法
当你得到的是一个数列的求和公式Sn时，你可以通过an=Sn-Sn-1（n ≥2）来得到an的通项公式，这个时候需要注意的就是求出来的通项公式需要将n=1带入Sn中，因为有时S1和求出来的通项公式的a1是不相等的。
例如：Sn=n²+n+2，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n，当n=1时S1=4,而由通项得到的a1=2≠S1，所以an=2n，（n≥2）
4 ，（n=1）
4、构造新数列法
构造新数列的方法适用于很多种形式的递推公式，
①待定系数法求新数列
对于常数型、一次函数型、二次函数型、指数型的递推式，其标准形式为an+1=Pan+f(n),对于这几种递推形式都是可以用待定系数法的，可以通过构造新数列bn=an+g(n)的方法来求出an。
（1）常数型：an+1=Kan+B，对于这种形式的递推式，设新数列bn=an+A，所以
bn+1=Kbn即an+1+A=K(an+A)，化简后可以得到,an+1=Kan+(K-1)A，则B=（K-1）A，求出A后通过bn=an+A和bn+1=Kbn，即可求出bn进而求出an。
（2）一次函数型：例如an+1=Aan+Bn+C，可以设新数列为bn=an+Pn+Q，则有bn+1=Abn,即an+1+P（n+1）+Q=A(an+Pn+Q),化简之后可以得到an+1=Aan+（A-1）Pn+（A-1）Q-P,所以(A-1)P=B,(A-1)Q-P=C，解得P=B/(A-1)，Q=（P+C）/(A-1)，求出新数列后就可以像前面求常数型的方法一样求出an。
（3）二次函数型，例如an+1=2an+n²-2n-1,设新数列bn=an+An²
+Bn+C，则有an+1+A(n+1)²+B(n+1)+C=2(an+An²+Bn+C),化简后可以得到an+1=2an+An²+（B-2A）n+C-A-B，则有A=1，B-2A=-2，C-A-B=-1，解得A=1，B=0，C=0，所以bn=an+n²，这样就构造出了新数列来求得an。
（4）指数型：例如：an+1=Aan+B*C^n，可以设新数列bn=an+P*C^n，则有an+1+P*C^(n+1）=A(an+P*C^n），化简得an+1=Aan+P（A-C）C^n，所以P（A-C）=B，解得P=B/（A-C），求得新数列后再求an的方法同上。
②倒数变换构造新数列
当一个递推式中含有连续的两项相乘时一般会用到倒数变换的方法，例如an-an+1=anan+1，这时将等式两边同时除以anan+1就可以得到1/an+1-1/an=1,这个时候只需要构造新数列bn=1/an即可，可以得到bn+1-bn=1，很容易求得bn的通项公式进而求得an的通项公式。
③对数变换构造新数列
对数变换构造新数列一般应用于递推式中各项的次数不同，例如
an+1=an²,这时两边同时取对数即可得到lgan+1=2lgan，通过构造新数列bn=lgan即可求出an的通项公式
④相邻三项构造数列
当一个递推式中出现一个数列中的三项时会考虑到构造一个新数列来求解，例如：an+1=3an-2an-1，通过变形可以得到
an+1-an=2(an-an-1)，这时可构造新数列bn=an-an-1，就可以得到bn+1=2bn，此时就构造出了一个等比数列，当求出bn的通项公式之后，即可通过an-an-1=bn再次求出an的通项公式。
二、数列求和问题
当求出一个数列的通项公式之后，接下来面对的问题一般就是数列的求和问题了，数列的求和难度会比求数列的通项的难度更大，解决数列的求和问题的能力也能反应一个人解决数列问题的能力。
数列求和的方法中最为常见的除了等差等比数列求和之外，还有裂项相消法和错位相减法。
1、裂项相消法
裂项相消法可以通过将一个数列的通项公式进行分解，将其变成两项做差的形式，同时使得数列相邻两项之间相加可以消除中间项，进而可以使得求和转化为最后一项与第一项之差。
而裂项相消法又分为几大类型。
（1）等差型：将1/anan+!转化为1/d*（1/an+1-1/an）的形式，例如1/n（n+1）=1/n-1/（n+1）求和之后为Sn=1-1/（n+1），（2）无理型：分母为两个根式之和，这两个根式的平方差为常数，然后通过分母有理化来达到消项的目的，例如： 1/√（n+1）+√n=√（n+1）-√n。
（3）指数型：由于（a-1）a^n=a^(n+1)-a^n，可以得到(a-1)a^n/(a^n+b)[a^(n+1)+b]=1/(a^n+b)-1/[a^(n+1)+b]。
（4）对数型：由对数的运算法则可知，当an＞0时，lg（an+1/an）=lgan+1-lgan。
2、错位相减法
当一个数列的每一项都是由一个等差数列与等比数列的积组成的时
候，该数列的求和就可以用错位相减的方法。
例如：an=n*2^n，求Sn。
观察该数列的通项公式可以发现，an是由一个等差数列n和一个等比数列2^n相乘而得，此时该数列的求和就可以使用错位相减的方法，即Sn=a1+a2+a3+……+an=1*2+2*2^2+3*2^3+……+n*2^n①，
①*公比2即2Sn=0+1*2^2+2*2^3+3*2^4+……+（n-1）*2^n+n*2^(n+1)
②，①-②得-Sn=2+2^2+2^3+……+2^n-n*2^(n+1),解得
Sn=(n-1)*2^(n+1)+2
结语：数列中的两大问题求通项和数列求和是有迹可循的，只要掌握好方法，抓住每种方法的特征，把握好不同数列递推式的特点，数列问题就不再是难题。
本文介绍的数列求通项和求和方法旨在抛砖引玉、举一反三，可以为解决数列问题多提供几种思路。
参考文献：
[1]蒋志明、舒林军. 《中学生数学》.《裂项相消法的八大类型》.2012。
