高二精选题库数学 课堂训练8-6北师大版

单元质量检测(八)一、选择题1．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足( )A ．a ＋b ＝1B ．a －b ＝1C ．a ＋b ＝0D ．a －b ＝0 解析：由sin α＋cos α＝0，得tan α＝－1. ∴α＝135°，即a ＝b ，a －b ＝0. 答案：D2．直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π2所得的直线方程是( )A ．－x ＋2y －4＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．－x ＋2y ＋4＝0D ．x ＋2y ＋4＝0 解析：由题意知所求直线与2x －y －2＝0垂直． 又2x －y －2＝0与y 轴交点为(0，－2)．故所求直线方程为y ＋2＝－12(x －0)，即x ＋2y ＋4＝0. 答案：D3．过点(－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( )A ．x －2y ＋7＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x －2y －5＝0D ．2x ＋y －5＝0解法一：因为直线x －2y ＋3＝0的斜率是12，所以所求直线方程为y －3＝12(x ＋1)，即x －2y ＋7＝0.解法二：设所求直线方程为x －2y ＋c ＝0，将点(－1,3)代入得－1－2×3＋c ＝0，解得c ＝7， ∴所求直线方程为x －2y ＋7＝0. 答案：A4．过点M (2,1)的直线l 与x 轴，y 轴分别交于P 、Q 两点且 |MP |＝|MQ |，则l 的方程是( )A ．x －2y ＋3＝0B ．2x －y －3＝0C ．2x ＋y －5＝0D ．x ＋2y －4＝0 解析：由题意知，M 是线段PQ 的中点． 设直线的方程为y ＝k (x －2)＋1，分别令y ＝0，x ＝0，得P (2－1k，0)，Q (0,1－2k )，由中点坐标公式得2－1k ＋02＝2，∴k ＝－12，所以直线的方程为y ＝－12(x －2)＋1，即x ＋2y －4＝0. 答案：D5．直线x －2y －3＝0与圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E 、F 两点，则△ECF 的面积为( )A.32B.34 C ．25 D.355解析：圆心(2，－3)到EF 的距离d ＝|2＋6－3|5＝ 5.又|EF |＝29－5＝4，∴S △ECF ＝12×4×5＝2 5.答案：C6．双曲线x 216－y 29＝1的焦点坐标为( )A ．(－7，0)、(7，0)B ．(0，－7)、(0，7)C ．(－5,0)、(5,0)D ．(0，－5)、(0,5)解析：c 2＝a 2＋b 2＝16＋9＝25，c ＝5. 答案：C7．已知双曲线x 2a 2－y 22＝1(a >2)的两条渐近线的夹角为π3，则双曲线的离心率为( )A.233B.263C. 3D ．2解析：如右图所示，双曲线的渐近线方程为：y ＝±2ax .若∠AOB ＝π3，则θ＝π6，tan θ＝2a ＝33.∴a ＝6> 2.又∵c ＝a 2＋b 2＝6＋2＝22，∴e ＝c a ＝226＝233.答案：A8．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6解析：由题意知圆的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝52，点(3,5)在圆内，点与圆心的距离为1，故最长弦长为直径10，最短弦长为252－12＝46，∴四边形ABCD 的面积S ＝12×10×46＝20 6.答案：B9．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝( )A ．7B ．6C ．5或1D ．9 解析：由题意知双曲线焦点在x 轴上，∴b a ＝32，∴b 2a 2＝94， ∴a 2＝4，∴a ＝2，又双曲线实轴长为4>3， ∴点P 在双曲线左支上， ∴|PF 2|＝|PF 1|＋2a ＝3＋4＝7. 答案：A10．设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1、F 2是该双曲线的两个焦点．若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．24解析：由题意2a ＝2，|PF 1|－|PF 2|＝12|PF 2|＝2∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝4，又2c ＝213由余弦定理得：cos ∠F 1PF 2＝62＋42－522×6×4＝0∴三角形为直角三角形，∴S △PF 1F 2＝12×6×4＝12答案：B11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是( )A ．aB ．b C.ab D.a 2＋b 2解析：圆的半径即为双曲线C 的右焦点到渐近线的距离，渐近线方程为y ＝bax ，即bx－ay ＝0，所以r ＝|bc |a 2＋b2＝b .答案：B12．设x 1，x 2∈R ，常数a >0，定义运算“*”；x 1*x 2＝(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2，若x ≥0，则动点P (x ， x a )的轨迹方程是( )A ．y 2＝4axB ．y 2＝4ax (y ≥0)C ．x 2＝4ay (x ≥0) D ．x 2＝4ay 解析：∵x a ＝(x ＋a )2－(x －a )2＝4ax ， ∴动点P 的轨迹方程为y 2＝x a ＝4ax (y ≥0)． 答案：B 二、填空题13．在坐标平面内，与点A (1,3)的距离为2，且与点B (3,1)的距离为32的直线共有________条．解析：以A (1,3)为圆心，以2为半径作圆A ，以B (3,1)为圆心，以32为半径作圆B .∵|AB |＝(1－3)2＋(3－1)2＝22＝32－2， ∴两圆内切，公切线只有一条． 答案：114．在△ABC 中，B (－2,0)，C (2,0)，A (x ，y )，给出△ABC 满足的条件，就能得到动点A12C 3填入)．解析：若条件是①，则|AB |＋|AC |＝6>4，故A 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆(除去长轴两端点)，故方程为C 3.若条件是②，则12×|BC |×|y |＝10，∴|y |＝5，即y 2＝25，故方程为C 1，若条件是③，则A 点轨迹是以BC 为直径的圆(去掉B 、C 两点)，故方程为C 2. 答案：C 3，C 1，C 2 15．已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为__________．解析：设正方形边长为1，则AB ＝2c ＝1，∴c ＝12.AC ＋BC ＝1＋2＝2a ，∴a ＝2＋12∴e ＝ca ＝122＋12＝2－1.答案：2－116．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B＝__________. 解析：由题意知椭圆的焦点是(－4,0)和(4,0)， 点B 在椭圆上，∴|AB |＋|BC |＝2a ＝10，AC ＝8.由正弦定理得sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|AB ||AC |＝108＝54.答案：54三、解答题17．已知方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0. (1)若此方程表示圆，求m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M 、N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求m ；解：(1)(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，∴m <5. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＝4－2y 1，x 2＝4－2y 2， 则x 1x 2＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2 ∵OM ⊥ON ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0① ∴16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2y x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0得5y 2－16y ＋m ＋8＝0∴y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝8＋m 5代入①得，m ＝85.18．已知点M ，N 分别在直线y ＝mx 和y ＝－mx (m >0)上运动，点P 是线段MN 的中点，且|MN |＝2，动点P 的轨迹是曲线C . (1)求曲线C 的方程，并讨论方程所表示的曲线类型；(2)设m ＝22时，过点A (－263，0)的直线l 与曲线C 恰有一个公共点，求直线l 的斜率．解：(1)设P (x ，y )，M (x 1，mx 1)，N (x 2，－mx 2)， 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2x mx 1－mx 2＝2y(x 1－x 2)2＋(mx 1＋mx 2)2＝22消去x 1，x 2，整理得x 21m 2＋y 2m 2＝1，当m >1时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆， 当0<m <1时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆， 当m ＝1时，方程表示圆．(2)当m ＝22时，方程为x 22＋y 212＝1，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋263)，⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 212＝1y ＝k (x ＋263)消去y 得(1＋4k 2)x 2＋1663k 2x ＋32k 23－2＝0，根据已知可得Δ＝0，故有(1663k 2)2－4(1＋4k 2)(32k 23－2)＝0，k 2＝34.∴直线l 的斜率为k ＝±32.19．已知直线l ：x －y ＋3＝0，一光线从点A (1,2)处射向x 轴上一点B ，又从B 点反射到l 上一点C ，最后又从C 点反射回A 点．(1)试判断由此得到的△ABC 是有限个还是无限个？(2)依你的判断，认为是无限个时求出所有这样△ABC 的面积中的最小值；认为是有限个时求出这样的线段BC 的方程．解：(1)如右图所示，设B (m,0)，点A 关于x 轴的对称点为A ′(1，－2)． 点B 关于直线x －y ＋3＝0的对称点为B ′(－3，m ＋3)．根据光学性质，点C 在直线A ′B 上，点C 又在直线B ′A 上．求得A ′B 的直线方程为y ＝2m －1(x －m )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2m －1(x －m )y ＝x ＋3，得x c ＝3－5mm －3.B ′A 的直线方程为y －2＝－m －14(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝－m －14(x －1)y ＝x ＋3，得x c ＝m －3m ＋5.则3－5m m －3＝m －3m ＋5，得3m 2＋8m －3＝0， ∴m ＝13或m ＝－3.而当m ＝－3时，点B 在直线x －y ＋3＝0上，不能成为三角形，故这样的△ABC 只有一个．(2)当m ＝13时，B (13，0)，C (－12，52)．∴线段BC 的方程为3x ＋y －1＝0(－12≤x ≤13)．20．已知中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与圆x 2＋y 2－4x －2y ＋52＝0交于A 、B 两点，AB 恰是该圆的直径，且AB 的斜率为－12，求此椭圆的方程．解：圆的方程变为(x －2)2＋(y －1)2＝52，其圆心为(2,1)，直径|AB |＝10.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又k AB ＝－12，即y 1－y 2x 1－x 2＝－12.A 、B 在椭圆上，有x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1，得x 21－x 22a 2＋y 21－y 22b2＝0， b 2a 2＝－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝14. ∴a 2＝4b 2.∴椭圆方程变为x 2＋4y 2＝4b 2.直线AB 的方程为y －1＝－12(x －2)，即y ＝－12x ＋2.把直线方程代入椭圆方程得x 2＋4(－12x ＋2)2＝4b 2，即x 2－4x ＋8－2b 2＝0， ∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝8－2b 2. ∵|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|，∴10＝[1＋(－12)2][(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝54[16－4(8－2b 2)]， 解得b 2＝3，∴a 2＝12.所求椭圆方程为x 212＋y 23＝1.21．如右图，在以点O 为圆心，|AB |＝4为直径的半圆ADB 中，OD ⊥AB ，P 是半圆弧上一点，∠POB ＝30°.曲线C 是满足||MA |－|MB ||为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P .(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；(2)设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F .若△OEF 的面积不小于22，求直线l 斜率的取值范围．解：(1)解法一：以O 为原点，AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－2,0)，B (2,0)，D (0,2)，P (3，1)， 依题意，得||MA |－|MB ||＝|P A |－|PB |＝(3＋2)2＋12－(3－2)2＋12＝22<|AB |＝4， ∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线． 设实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ， 则c ＝2,2a ＝22，∴a 2＝2，b 2＝c 2－a 2＝2.∴曲线C 的方程为x 22－y 22＝1.解法二：同解法一建立平面直角坐标系， 则依题意可得||MA |－|MB ||＝|P A |－|PB |<|AB |＝4，∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线．设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧(3)2a 2－12b 2＝1a 2＋b 2＝4，解得a 2＝b 2＝2.∴曲线C 的方程为x 22－y 22＝1.(2)依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 代入双曲线C 的方程并整理，得 (1－k 2)x 2－4kx －6＝0①∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0Δ＝(－4k )2＋4×6×(1－k 2)>0 ⇔⎩⎨⎧k ≠±1－3<k <3， ∴k ∈(－3，－1)∪(－1,1)∪(1，3)② 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则由①式得x 1＋x 2＝4k 1－k 2，x 1x 2＝－61－k 2， 于是|EF |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·223－k 2|1－k 2|，而原点O 到直线l 的距离d ＝21＋k 2， ∴S △OEF ＝12d ·|EF |＝12·21＋k 2·1＋k 2·223－k 2|1－k 2|＝223－k 2|1－k 2|.若△OEF 面积不小于22，即S △OEF ≥22，则有223－k 2|1－k 2|≥22⇔k 4－k 2－2≤0， 解得－2≤k ≤ 2.③综合②、③知，直线l 的斜率的取值范围为 [－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2]．22．已知定点C (－1,0)及椭圆x 2＋3y 2＝5，过点C 的动直线与椭圆相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 中点的横坐标是－12，求直线AB 的方程；(2)在x 轴上是否存在点M ，使MA →·MB →为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，直线AB 的斜率存在， 设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)， 得y ＝k (x ＋1)代入x 2＋3y 2＝5，消去y 整理得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝36k 4－4(3k 2＋1)(3k 2－5)>0， ①x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1. ② 由线段AB 中点的横坐标是－12，得x 1＋x 22＝－3k 23k 2＋1＝－12，解得k ＝±33，适合①.所以直线AB 的方程为x －3y ＋1＝0，或x ＋3y ＋1＝0.(2)假设在x 轴上存在点M (m,0)，使MA →·MB →为常数． (ⅰ)当直线AB 与x 轴不垂直时，由(1)知x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1，x 1x 2＝3k 2－53k 2＋1.③所以MA →·MB →＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2 ＝(x 1－m )(x 2－m )＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－m )(x 1＋x 2)＋k 2＋m 2. 将③代入，整理得MA →·MB →＝(6m －1)k 2－53k 2＋1＋m 2 ＝(2m －13)(3k 2＋1)－2m －1433k 2＋1＋m 2 ＝m 2＋2m －13－6m ＋143(3k 2＋1).注意到MA →·MB →是与k 无关的常数，从而有6m ＋14＝0，m ＝－73，此时MA →·MB →＝49.(ⅱ)当直线AB 与x 轴垂直时，此时点A ，B 的坐标分别为(－1，23)、(－1，－23)， 当m ＝－73时，亦有MA →·MB →＝49.综上，在x 轴上存在定点M (－73，0)，使MA →·MB →为常数．。

高二数学(北师大版)《立几＊解几》练习题1. 等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球_____S 正方体(填”大于、小于或等于”).2. 如图:正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为A 、2VB 、3VC 、4VD 、5V 3.矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B－AC －D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）A ．π12125B ．π9125C ．π3125D ．π6125 体的8个顶点都在球的表面上， 4.棱长为1的正方分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ ）A ．B ．C ．D ．5.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．6.球的半径为8，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这点的半径成45° 角，则这个平面截球的截面面积为 。

7.如图，两个正方形ABCD 和ADEF 所在平面互相垂直，设M 、N 分别是BD 和AE 的中点，那么① AD MN ⊥；② //MN 面CDE ；③ //MN CE ；④ MN 、CE 异面其中正确结论的序号是____________.8.若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ） Q P C'B'A'C BA EA ．0≠mB ．23-≠mC ．1≠mD ．1≠m ，23-≠m ，0≠m 9.已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．34k ≥B ．324k ≤≤C ．324k k ≥≤或 D ．2k ≤ 10.点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________.11.点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________.12.下列命题中正确的是： （ ）A.经过点P 0（x 0, y 0）的直线都可以用方程y －y 0=k(x －x 0)表示B.经过定点A （0, b ）的直线都可以用方程y=kx+b 表示C.经过任意两个不同点P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)的直线都可用方程（x 2－x 1）(y－y 1)=(y 2－y 1)(x －x 1)表示D.不经过原点的直线都可以用方程1=+by a x 表示 13.方程012)1(=++--a y x a )(R a ∈表示的直线( )A.恒过(－2, 3)B. 恒过(2, 3)C. 恒过(－2, 3)或(2, 3)D.都是平行直线14.直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是（ ）A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.不能确定15.已知直线l 1的方程为y=x ，直线l 2的方程为ax －y=0（a 为实数）．当直线l 1与直线l 2的夹角在（0，12π）之间变动时，a 的取值范围是（ ）, 1)∪(1,) B.） C.（0，1） D.（1 16.一直线过点（－3，4），并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程___．17.已知直线l 被两平行直线063=-+y x 033=++y x 和所截得的线段长为3，且直线过点（1，0），则直线l 的方程为___________________.18.直线y=x 33绕原点按逆时针方向旋转30°后所得直线与圆(x －2)2+y 2=3的位置关系是（ ）（A ）直线过圆心 （B ）直线与圆相交，但不过圆心（C ）直线与圆相切 （D ）直线与圆没有公共点19.圆x 2+y 2－4x+2y+c=0与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若∠APB=90°，则c的值为（ ）（A ）－3 （B ）3 （C ）8 （D ）－2220.动点在圆x 2+y 2=1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点轨迹方程是（ ）（A ）(x ＋3)2＋y 2=4 （B ）(x －3)2＋y 2=1（C ）(2x －3)2＋4y 2=1 （D ）(x ＋23)2＋y 2=21 21.过点P(1,2)的直线l 把圆x 2+y 2－4x －5=0分成两个弓形，当其中较小弓形面积最小时，直线l 的方程是 。

2013北师大版数学总复习课后演练知能检测8-6 Word版含答案(时间：60分钟，满分：80分)一、选择题(共6小题，每小题5分，满分30分)1．(2012年合肥第一次质检)过点(0,1)作直线，使它与拋物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( )A．1条B．2条C．3条D．4条解析：结合题意分析可知，满足条件的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与拋物线相切的直线(非直线x＝0)．答案：C2．已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( ) A．相离B．相交C．相切D．不确定解析：设抛物线焦点弦为AB，中点为M，准线l，A1、B1分别为A、B在直线l上的射影，则|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，于是M到l的距离d＝12(|AA1|＋|BB1|)＝12(|AF|＋|BF|)＝12|AB|＝半径，故相切．答案：C3．(2012年沈阳调研)已知过拋物线y2＝6x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角为( )A.π6或5π6B.π4或3π4C.π3或2π3D.π2解析：由焦点弦长公式|AB|＝2psin2θ得6sin2θ＝12，∴sin θ＝22，∴θ＝π4或3π4.答案：B4．(2011年湖北高考)将两个顶点在拋物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点是此拋物线焦点的正三角形个数记为n，则( )A．n＝0 B．n＝1C．n＝2 D．n≥3解析：设直线y ＝33(x －p 2)，与拋物线y 2＝2px 联立可得x ＝7±432p ，故可得两交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫7－432p ，3p －2p 和⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋432p ，3p ＋2p ，⎝ ⎛⎭⎪⎫7－432p ，3p －2p 与(p 2，0)之间的距离为2(2－3)p ，⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋432p ，3p ＋2p 与(p2，0)之间的距离为2(2＋3)p ，故等边三角形有两个，选C. 答案：C5．设斜率为2的直线l 过拋物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O为坐标原点)的面积为4，则拋物线的方程为( ) A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ． y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：由题可知拋物线焦点坐标为(a4，0)，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y ＝2(x －a4)，令x ＝0，可得A 点坐标为(0，－a2)，所以S △OAF ＝12·|a |4·|a |2＝4，∴a ＝±8.答案：B6．(2011年课标全国)已知直线l 过拋物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48解析：设拋物线方程为y 2＝2px ，则焦点坐标为(p 2，0)，将x ＝p2代入y 2＝2px 可得y 2＝p 2，|AB |＝12，即2p ＝12，∴p ＝6.点P 在准线上，到AB 的距离为p ＝6，∴△PAB 的面积为12×6×12＝36. 答案：C二、填空题(共3小题，每小题5分，共15分)7．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升12米后，水面的宽是________．解析：设抛物线方程为x 2＝－2py ，将(4，－2)代入方程得16＝－2p ·(－2)，解得2p ＝8，故方程为x 2＝－8y ，水面上升12米，则y ＝－32，代入方程，得x 2＝－8·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝12，x ＝±2 3.故水面宽43米． 答案：43米8．在平面直角坐标系xOy 中，已知拋物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P (2,4)，则该拋物线的方程是________．解析：由题意设拋物线的方程为y 2＝2ax (a >0)，由于其过点P (2,4)，所以42＝2a ×2⇒a ＝4，故该拋物线的方程是y 2＝8x . 答案：y 2＝8x9．已知点M 是拋物线y 2＝4x 上的一点，F 为拋物线的焦点，A 在圆C ：(x －4)2＋(y －1)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值为________．解析：依题意得|MA |＋|MF |≥(|MC |－1)＋|MF |＝(|MC |＋|MF |)－1，由拋物线的定义知|MF |等于点M 到拋物线的准线x ＝－1的距离，结合图形(图略)不难得知，|MC |＋|MF |的最小值等于圆心C (4,1)到拋物线的准线x ＝－1的距离，即为5，因此所求的最小值为4. 答案：4三、解答题(共3小题，满分35分)10．(2011年江西高考)已知过拋物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交拋物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该拋物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为拋物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值． 解析：(1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p2)，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0， 所以：x 1＋x 2＝5p4，由拋物线定义得：|AB |＝ x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而拋物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)；设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1，42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0，或λ＝2.11．(2012年沈阳模拟)如图，F 为抛物线y 2＝2px 的焦点，A (4,2)为抛物线内一定点，P 为抛物线上一动点，且|PA |＋|PF |的最小值为8. (1)求该抛物线的方程；(2)如果过F 的直线l 交抛物线于M 、N 两点，且|MN |≥32，求直线l 的倾斜角的取值范围．解析：(1)设P 点到抛物线的准线x ＝－p2的距离为d ，由抛物线的定义知d ＝|PF |，∴(|PA |＋|PF |)min ＝(|PA |＋d ) min ＝p2＋4，∴p2＋4＝8⇒p ⇒8，∴抛物线的方程为y 2＝16x . (2)由(1)得F (4,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，显然k ≠0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，把直线方程代入抛物线，得k 2x 2－(8k 2＋16)x ＋16k 2＝0，x 1＋x 2＝8k 2＋16k2，x 1·x 2＝16， ∴|MN |＝1＋k 2×x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2× ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2＋16k 22－64 ＝1＋k 2×64k 4＋162k 2＋162－64k4k 2＝1＋k2k 2×161＋k 2＝161＋k2k 2≥32，∴k 2≤1，即－1≤k ≤1，∴直线l 斜率的取值范围为[－1,0)∪(0,1]， ∴直线l 倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 12．(2011年福建高考)如图，直线l ：y ＝x ＋b 与拋物线C ：x 2＝4y相切于点A . (1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与拋物线C 的准线相切的圆的方程．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y 得x 2－4x －4b ＝0，(*)因为直线l 与拋物线C 相切， 所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0. 解得b ＝－1.(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)为x2－4x＋4＝0.解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1，故点A(2,1)．因为圆A与拋物线C的准线相切，所以圆A的半径r就等于圆心A到拋物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2，所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.。

北师大版高二数学练习册试题及答案【一】1．下列说法中不正确的是()A．数列a，a，a，…是无穷数列B．1，－3，45，－7，－8，10不是一个数列C．数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列D．已知数列{an}，则{an＋1－an}也是一个数列解析：选B.A，D显然正确；对于B，是按照一定的顺序排列的一列数，是数列，所以B 不正确；对于C，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列．故选B.2．已知数列{an}的通项公式为an＝1＋（－1）n＋12，则该数列的前4项依次为()A．1，0，1，0B．0，1，0，1C.12，0，12，0D．2，0，2，0解析：选A.当n分别等于1，2，3，4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.3．已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，那么()A．30是数列{an}的一项B．44是数列{an}的一项C．66是数列{an}的一项D．90是数列{an}的一项解析：选C.分别令2n2－n的值为30，44，66，90，可知只有2n2－n＝66时，n＝6(负值舍去)，为正整数，故66是数列{an}的一项．4．已知数列的通项公式是an＝2，n＝1，n2－2，n≥2，则该数列的前两项分别是()A．2，4B．2，2C．2，0D．1，2解析：选B.当n＝1时，a1＝2；当n＝2时，a2＝22－2＝2.5.如图，各图形中的点的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是()A．an＝n2－n＋1B．an＝n（n－1）2C．an＝n（n＋1）2D．an＝n（n＋2）2解析：选C.法一：将各图形中点的个数代入四个选项便可得到正确结果．图形中，点的个数依次为1，3，6，10，代入验证可知正确答案为C.法二：观察各个图中点的个数，寻找相邻图形中点个数之间的关系，然后归纳一个通项公式．观察点的个数的增加趋势可以发现，a1＝1×22，a2＝2×32，a3＝3×42，a4＝4×52，所以猜想an＝n（n＋1）2，故选C.6．若数列{an}的通项满足ann＝n－2，那么15是这个数列的第________项．解析：由ann＝n－2可知，an＝n2－2n.令n2－2n＝15，得n＝5.答案：57．已知数列{an}的前4项为11，102，1003，10004，则它的一个通项公式为________．解析：由于11＝10＋1，102＝102＋2，1003＝103＋3，10004＝104＋4，…，所以该数列的一个通项公式是an＝10n＋n.答案：an＝10n＋n8．已知数列{an}的通项公式为an＝2017－3n，则使an>0成立的正整数n的值为________．解析：由an＝2017－3n>0，得n答案：6729．已知数列{n(n＋2)}：(1)写出这个数列的第8项和第20项；(2)323是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？解：(1)an＝n(n＋2)＝n2＋2n，所以a8＝80，a20＝440.(2)由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17.所以323是数列{n(n＋2)}中的项，是第17项．10．已知数列2，74，2，…的通项公式为an＝an2＋bcn，求a4，a5.解：将a1＝2，a2＝74代入通项公式，得a＋bc＝2，4a＋b2c＝74，解得b＝3a，c＝2a，所以an＝n2＋32n，所以a4＝42＋32×4＝198，a5＝52＋32×5＝145.[B能力提升]11．已知数列{an}的通项公式为an＝sinnθ，0解析：a3＝sin3θ＝12，又0答案：1212．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为________．解析：能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故an＝15n－14.由an＝15n－14≤2017得n≤135.4，当n＝1时，此时a1＝1，不符合，故此数列的项数为135－1＝134.答案：13413．在数列{an}中，a1＝3，a17＝67，通项公式是关于n的一次函数．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求a2016；(3)2017是否为数列{an}中的项？若是，为第几项？解：(1)设an＝kn＋b(k≠0)．由a1＝3，且a17＝67，得k＋b＝317k＋b＝67，解之得k＝4且b＝－1.所以an＝4n－1.(2)易得a2016＝4×2016－1＝8063.(3)令2017＝4n－1，得n＝20184＝10092&#8713;N＋，所以2017不是数列{an}中的项．14．(选做题)已知数列9n2－9n＋29n2－1，(1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：数列中的各项都在区间(0，1)内；(4)在区间13，23内是否有数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．解：(1)设an＝9n2－9n＋29n2－1＝（3n－1）（3n－2）（3n－1）（3n＋1）＝3n－23n＋1.令n＝10，得第10项a10＝2831.(2)令3n－23n＋1＝98101，得9n＝300.此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项．(3)证明：因为an＝3n－23n＋1＝3n＋1－33n＋1＝1－33n＋1，又n∈N＋，所以0所以数列中的各项都在区间(0，1)内．(4)令13所以n>76，n当且仅当n＝2时，上式成立，故区间13，23内有数列中的项，且只有一项为a2＝47.【二】1．为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为()A．50B．40C．25D．20解析：选C.根据系统抽样的特点，可知分段间隔为100040＝25.2．某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2000户，其中农民家庭1800户，工人家庭100户，知识分子家庭100户．现要从中抽取容量为40的样本，以调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中，可以用到的抽样方法有()①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样．A．②③B．①③C．③D．①②③解析：选 D.由于各类家庭有明显差异，所以首先应用分层抽样的方法分别从三类家庭中抽出若干户．又由于农民家庭户数较多，那么在农民家庭这一层宜采用系统抽样；而工人、知识分子家庭户数较少，宜采用简单随机抽样．故整个抽样过程要用到①②③三种抽样方法．3．从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先利用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会() A．不全相等B．均不相等C．都相等D．无法确定解析：选C.系统抽样是等可能的，每人入样的机率均为502004.4．总体容量为524，若采用系统抽样，当抽样的间距为下列哪一个数时，不需要剔除个体()A．3B．4C．5D．6解析：选B.由于只有524÷4没有余数，故选B.5．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为() A．11B．12C．13D．14解析：选B.法一：分段间隔为84042＝20.设在1，2，…，20中抽取的号码为x0，在[481，720]之间抽取的号码记为20k＋x0，则481≤20k＋x0≤720，k∈N*，所以24120≤k＋x020≤36.因为x020∈120，1，所以k＝24，25，26， (35)所以k值共有35－24＋1＝12(个)，即所求人数为12.法二：使用系统抽样的方法，从840人中抽取42人，即每20人中抽取1人，所以在区间[481，720]抽取的人数为720－48020＝12.6．为了了解1203名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，现采用选取的号码间隔一样的系统抽样方法来确定所选取样本，则抽样间隔k＝________．解析：由于120340不是整数，所以从1203名学生中随机剔除3名，则抽样间隔k＝120040＝30.答案：307．某高三(1)班有学生56人，学生编号依次为01，02，03，…，56.现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知编号为06，34，48的同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号应该是________．解析：由于系统抽样的样本中个体编号是等距的，且间距为564＝14，所以样本编号应为06，20，34，48.答案：208．为了了解学生对某网络游戏的态度，高三(11)班计划在全班60人中展开调查．根据调查结果，班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈，为此先对60名学生进行编号：01，02，03，…，60.已知抽取的学生中最小的两个编号为03，09，则抽取的学生中的编号为________．解析：由最小的两个编号为03，09可知，抽样距为k＝9－3＝6，而总体容量N＝60，所以样本容量n＝Nk＝10，即抽取10名同学，的编号为第10组抽取的个体的编号，故编号为3＋9×6＝57.答案：579．某批产品共有1564件，产品按出厂顺序编号，号码从1到1564，检测员要从中抽取15件产品做检测，请你给出一个系统抽样方案．解：(1)先从1564件产品中，用简单随机抽样的方法抽出4件产品，将其剔除．(2)将余下的1560件产品编号：1，2，3， (1560)(3)取k＝156015＝104，将总体均分为15组，每组含104个个体．(4)从第一组，即1号到104号利用简单随机抽样法抽取一个编号s.(5)按编号把s，104＋s，208＋s，…，1456＋s共15个编号选出，这15个编号所对应的产品组成样本．10．下面给出某村委会调查本村各户收入情况做的抽样，阅读并回答问题．本村人口数：1200，户数300，每户平均人口数4人；应抽户数：30；抽样间隔：120030＝40；确定随机数字：从标有1～30的号码中随机抽取一张，为12.确定第一样本户：编号12的户为第一样本户；确定第二样本户：12＋40＝52，52号为第二样本户；…(1)该村委会采用了何种抽样方法？(2)抽样过程存在哪些问题？试修改；(3)何处是用简单随机抽样？解：(1)系统抽样．(2)本题是对某村各户进行抽样，而不是对某村人口抽样．抽样间隔30030＝10，其他步骤相应改为确定随机数字：从标有1～10的号码中随机抽取一张，为2.(假设)确定第一样本户：编号02的住户为第一样本户；确定第二样本户：2＋10＝12，12号为第二样本户．(3)确定随机数字：从标有1～30的号码中随机抽取一张，为12.[B能力提升]11．为了检测125个电子元件的质量，欲利用系统抽样的方法从中抽取容量为1Δ(Δ中的数字被墨水污染，无法分辨)的样本进行检测，若在抽样时首先利用简单随机抽样剔除了5个个体，则Δ中的数字有()A．1种可能B．2种可能C．3种可能D．4种可能解析：选C.由于125－5＝120＝10×12＝15×8，故有3种可能，分别为0，2，5.12．已知某种型号的产品共有N件，且40＜N＜50，现需要利用系统抽样抽取样本进行质量检测，若样本容量为7，则不需要剔除；若样本容量为8，则需要剔除1个个体，则N＝________．解析：因为样本容量为7时，不需要剔除，所以总体的容量N为7的倍数，又40＜N ＜50，所以N＝42或49.若N＝42，因为42除以8的余数为2，所以当样本容量为8时，需要剔除2个个体，不符合题意；若N＝49，因为49除以8的余数为1，所以当样本容量为8时，需要剔除1个个体，满足题意，故N＝49.答案：4913．为了调查某路口一个月的车流量情况，*采用系统抽样的方法，样本距为7，从每周中随机抽取一天，他正好抽取的是星期日，经过调查后做出报告．你认为*这样的抽样方法有什么问题？应当怎样改进？如果是调查一年的车流量情况呢？解：*所统计的数据以及由此所推断出来的结论，只能代表星期日的交通流量．由于星期日是休息时间，很多人不上班，不能代表其他几天的情况．改进方法可以将所要调查的时间段的每一天先随机地编号，再用系统抽样方法来抽样，或者使用简单随机抽样来抽样亦可．如果是调查一年的交通流量，使用简单随机抽样法显然已不合适，比较简单可行的方法是把样本距改为8.14．(选做题)一个总体中的1000个个体编号为0，1，2，…，999，并依次将其均分为10个小组，组号为0，1，2，…，9，要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取的号码的后两位数为x＋33k的后两位数．(1)当x＝24时，写出所抽取样本的10个号码；(2)若所抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，求x的取值范围．解：(1)由题意知此系统抽样的间隔是100，根据x＝24和题意得，24＋33×1＝57，第1组抽取的号码是157；由24＋33×2＝90，则在第2组抽取的号码是290，…故依次是24，157，290，323，456，589，622，755，888，921.(2)由x＋33×0＝87得x＝87，由x＋33×1＝87得x＝54，由x＋33×2＝87，得x＝21，由x＋33×3＝187得x＝88…，依次求得x值可能为21，22，23，54，55，56，87，88，89，90.。

第2章 第1节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2012·浙江嘉兴一中模拟]设集合M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以集合M 为定义域，N 为值域的函数关系的是( )答案：B解析：利用函数的定义，要求定义域内的任一变量都有唯一的函数值与之对应，A 中(0,2]没有函数值，C 中函数值不唯一，D 中的值域不是N ，所以选B.2. 已知f ：x →－sin x 是集合A (A ⊆[0,2π])到集合B ＝{0，12}的一个映射，则集合A 中的元素个数最多有( )A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个答案：B解析：A ⊆[0,2π]，由－sin x ＝0得x ＝0，π，2π；由－sin x ＝12得x ＝7π6，11π6，∴A 中最多有5个元素.3. 定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4－x )， x ≤0f (x －1)－f (x －2)， x >0，则f (3)的值为( )A. －1B. －2C. 1D. 2答案：B解析：f (3)＝f (3－1)－f (3－2)＝f (2)－f (1) ＝f (2－1)－f (2－2)－f (1)＝f (1)－f (0)－f (1)＝－f (0)＝－log 24＝－2.4. [2012·天津模拟]若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为f (x )＝x 2，值域为{1,4}的“同族函数”共有 ( )A. 7个B. 8个C. 9个D. 10个答案：C解析：先确定定义域的构成元素，再分类计数得到满足条件的定义域. 由已知x 2＝1，得x ＝±1； x 2＝4，得x ＝±2.∴“同族函数”的定义域必须是由±1，±2两组数中至少各取一个构成的集合. 当定义域中有两个元素时有{－1，－2}，{－1,2}，{1，－2}，{1,2}共4个. 有三个元素时有{－1，－2,2}，{－1，－2,1}，{－1,2,1}，{－2,2,1}共4个. 有四个元素时有{－2，－1,1,2}1个. 综上共有：4＋4＋1＝9个.5. [2012·福建省宁德市模拟]若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A. (0，34]B. (0，34)C. [0，34]D. [0，34)答案：D解析：∵y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，当m ＝0，∴mx 2＋4mx ＋3＝3满足题意. 当m >0时，Δ＝16m 2－12m <0， 解得0<m <34，当m <0时，Δ＝16m 2－12m <0，无解. 综上，0≤m <34，即m ∈[0，34).6. [2012·宁波市“十校联考”]设集合A ＝[0，12)，B ＝[12，1]，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈A 2(1－x )，x ∈B ，若x 0∈A ，且f [f (x 0)]∈A ，则x 0的取值范围是( )A. (0，14]B. (14，12)C. (14，12]D. [0，38]答案：B解析：因为f [f (x 0)]＝f (x 0＋12)＝2(1－x 0－12)＝1－2x 0，所以0≤1－2x 0<12，故14<x 0≤12，又x 0∈A ，所以14<x 0<12.二、填空题(每小题7分，共21分)7. 如图，函数f (x )的图像是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f [1f (3)]的值等于__________.答案：2解析：f [1f (3)]＝f (1)＝2.8. (1)若2f (x )－f (－x )＝x ＋1，则f (x )＝__________；(2)若函数f (x )＝xax ＋b ，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，则f (x )＝__________.答案：(1)x 3＋1 (2)2xx ＋2解析：(1)∵2f (x )－f (－x )＝x ＋1，用－x 去替换式子中的x ， 得2f (－x )－f (x )＝－x ＋1，即有⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )－f (－x )＝x ＋12f (－x )－f (x )＝－x ＋1，解方程组消去f (－x )，得f (x )＝x3＋1.(2)由f (2)＝1得22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x (1ax ＋b－1)＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－b a ，又∵方程有唯一解，∴1－b a ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，∴f (x )＝2xx ＋2.9. [2012·南通六校联考(一)]定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]，则函数f (x )的值域为__________.答案：[－4,6]解析：由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]x 3－2，x ∈(1，2]，当x ∈[－2,1]时，f (x )∈[－4，－1]，当x∈(1,2]时，f (x )∈(－1,6]，故当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－4,6].三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. (1)已知f (x )的定义域为[0,1)，求函数f (x ＋1)及f (x 2)的定义域； (2)已知f (x 2－3)＝lg x 2x 2－6，求f (x )的定义域.解：(1)依题意，0≤x ＋1<1，∴－1≤x <0， ∴f (x ＋1)的定义域为[－1,0).由0≤x 2<1得－1<x <1，∴f (x 2)的定义域为(－1，1). (2)令u ＝x 2－3，则f (x )的定义域就是u 的值域. 要使lg x 2x 2－6有意义，只需x 2>6，即x 2－3>3，∴u >3， 即f (x )的定义域是(3，＋∞).11.如图，在△AOB 中，点A (2,1)，B (3,0)，点E 在射线OB 上自O 开始移动.设OE ＝x ，过E 作OB 的垂线l ，记△AOB 在直线l 左边部分的面积为S ，试写出S 与x 的函数关系式，并画出大致的图像.解：当0≤x ≤2时，△OEF 的高EF ＝12x ，∴S ＝12x ·12x ＝14x 2；当2<x ≤3时，△BEF 的高EF ＝3－x ，∴S ＝12×3×1－12(3－x )·(3－x )＝－12x 2＋3x －3；当x >3时，S ＝32.所以S ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 24(0≤x ≤2)－12x 2＋3x －3(2<x ≤3).32(x >3)函数图像如图所示.12. 定义在正整数集上的函数f (x )对任意m ，n ∈N *，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )＋4(m ＋n )－2，且f (1)＝1.(1)求函数f (x )的表达式；(2)若m 2－tm －1≤f (x )对于任意的m ∈[－1,1]，x ∈N *恒成立，求实数t 的取值范围. 解：(1)取m ＝1，则有f (n ＋1)－f (n )＝f (1)＋4(1＋n )－2＝4n ＋3，当n ≥2时，f (n )＝f (1)＋[f (2)－f (1)]＋[f (3)－f (2)]＋…＋[f (n )－f (n －1)]＝2n 2＋n －2， 又f (1)＝1，∴f (x )＝2x 2＋x －2(x ∈N *). (2)f (x )＝2(x ＋14)2－178，∴x ＝1时f (x )min ＝1，由条件得m 2－tm －1≤1在m ∈[－1,1]上恒成立，即m 2－tm －2≤0， 若m ＝0，则t ∈R ，若0<m ≤1，则t ≥m －2m ，即t ≥－1，若－1≤m <0，则t ≤m －2m ，即t ≤1，综上－1≤t ≤1.。

第9模块 第3节[知能演练]一、选择题1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式解析：两条直线平行，同旁内角互补大前提 ∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角小前提 ∠A ＋∠B ＝180°结论 答案：A2．“所有9的倍数(M )都是3的倍数(P )，某奇数(S )是9的倍数(M )，故此奇数(S )是3的倍数(P )”，上述推理是( )A ．小前提错B ．结论错C ．正确的D ．大前提错解析：大前提正确，小前提正确，故命题正确． 答案：C3．已知a i ，b i ∈R (i ＝1,2,3，…，n )，a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，b 21＋b 22＋…＋b 2n ＝1，则a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的最大值为( )A ．1B ．2C ．n 2D ．2n解析：此结论为“若a ，b ，c ，d ∈R ，a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，则ac ＋bd ≤a 2＋c 22＋b 2＋d 22＝1”的推广，类比可得a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤a 21＋b 212＋a 22＋b 222＋…＋a 2n ＋b 2n2＝1.答案：A4．如右图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点．一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点．若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则下一次跳两个点．该青蛙从5这点跳起，经2008次跳后它将停在的点是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：记a n 表示青蛙第n 次跳后所在的点数，则a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，a 4＝1，a 5＝2，a 6＝4，…，显然{a n }是一个周期为3的数列，故a 2008＝a 1＝1，答案为A.答案：A 二、填空题5．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … … …根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行的从左至右的第3个数是________．解析：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，即n 2－n 2个．因此第n 行第3个数是全体正整数中的第n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62.答案：n 2－n ＋626．有一种“数独”推理游戏，游戏规则如下：(1)在9×9的九宫格子中，分成9个3×3的小九宫格，用1到9这9个数填满整个格子；(2)每一行与每一列都有1到9的数字，每个小九宫格里也要有1到9的数字，并且一个数字在每行每列及每个小九宫格里只能出现一次，即不能重复也不能少，那么A 处应填入的数字为__________；B 处应填入的数字为__________．解析：依题意从第二行看，A 处可填入1,2,4,6,8，从第三列看，A 处可填入1,3,5,7,9，所以A 处填入1；同理可推出B 处可填入1,3，而B 的左边应填入1，进而可知B 处应填3.答案：1 3 三、解答题7．已知：sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32.通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明． 解：一般性的命题为sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝32.证明如下：左边＝1－cos(2α－120°)2＋1－cos2α2＋1－cos(2α＋120°)2＝32－12[cos(2α－120°)＋cos2α＋cos(2α＋120°)] ＝32＝右边． ∴结论正确．8．在△ABC 中，射影定理可以表示为a ＝b cos C ＋c cos B ，其中a 、b 、c 依次为角A 、B 、C 的对边，类比以上定理，给出空间四面体性质的猜想．解：如右图，在四面体P －ABC 中，S 1、S 2、S 3、S 分别表示△P AB 、△PBC 、△PCA 、△ABC 的面积，α、β、γ依次表示面P AB 、面PBC 、面PCA 与底面ABC 所成角的大小，我们猜想将射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1cosα＋S2cosβ＋S3cosγ.[高考·模拟·预测]1.把正整数按一定的规则排成了如右图所示的三角形数表．设a ij是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42＝8.若a ij＝2009，则i与j的和为() A．105B．106C．107D．108解析：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2009＝2×1005－1，所以2009为第1005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2009在第32个奇数行内，所以i＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1923,2009＝1923＋2(m－1)，所以m＝44，即j＝44，所以i＋j＝107.答案：C2．广州2010年亚运会火炬传递在A，B，C，D，E五个城市之间进行，各城市之间的路线距离(单位：百公里)见下表．若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是()A.20.6C．22 D．23解析：由于“以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次”，并且求“最短路线的距离”，由选项判断，A中20.6在表中只有C和E之间的距离8.6是出现小数部分的，故CE必定是经过的路线，又因为A为起点，E为终点，故如果A正确，那么路线必然是：1.A－B－D－C－E或2.A－D－B－C－E，进行验证：线路1的距离之和为5＋6＋9＋8.6＝28.6，故线路1不符合；线路2的距离之和为5＋6＋7＋8.6＝26.6，线路2也不符合，故排除A；再验证选项B，发现线路A－C－D－B－E的距离之和为4＋9＋6＋2＝21符合，故选B.答案：B3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为__________．解析：由类比推理得，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.下面计算验证．假设两个正四面体的棱长分别为1和2，如右图，正四面体ABCD 的棱长为1，取BC的中点E ，作AO ⊥ED 于O ，则OD ＝23ED ＝23×32＝33，又在Rt △AOD 中，AO ＝1－OD 2＝1－(33)2＝63， 则V 正四面体ABCD ＝13S △BCD ·AO ＝13×34×1×63＝212；同理可算得棱长为2的正四面体的体积V 正四面体A ′B ′C ′D ′＝223.∴V 正四面体ABCD ∶V 正四面体A ′B ′C ′D ′＝212223＝18.答案：1∶84．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，__________，__________，T 16T 12成等比数列．解析：对于等比数列，通过类比，有等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4＝a 1a 2a 3a 4，T 8＝a 1a 2…a 8，T 12＝a 1a 2…a 12，T 16＝a 1a 2…a 16，因此T 8T 4＝a 5a 6a 7a 8，T 12T 8＝a 9a 10a 11a 12，T 16T 12＝a 13a 14a 15a 16，而T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12的公比为q 16，因此T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．答案：T 8T 4 T 12T 85．(南通第一次调研)根据下面一组等式：可得S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1＝__________.解析：从已知数表得S 1＝1，S 1＋S 3＝16＝24，S 1＋S 3＋S 5＝81＝34， 从而猜想S 1＋S 3＋…＋S 2n －1＝n 4. 答案：n 46．已知数列{a k }的前k 项和为S k ，且S k ＝12ka k ＋1，其中a 1＝1.(1)求证a k ≠0(k ∈N )； (2)求数列{a k }的通项公式；(3)对任意给定的正整数n (n ≥2)，数列{b n }满足b k ＋1b k ＝k －na k ＋1(k ＝1,2，…，n －1)，b 1＝1，求b 1＋b 2＋…＋b n .解：(1)当k >1时，由a k ＝S k －S k －1＝12ka k ＋1－12(k －1)a k ，得(k ＋1)a k ＝ka k ＋1.若存在a m ＝0(m >1)，由ma m －1＝(m －1)a m ，m >1，得a m －1＝0， 从而有a m －2＝0，…，a 2＝0，a 1＝0，与a 1＝1矛盾，所以a k ≠0.(2)由(1)知，a k ＋1a k ＝k ＋1k ，得a k ＝a k a k －1·a k －1a k －2·…·a 2a 1·a 1＝k .(3)因为a k ＝k ，所以b k ＋1b k ＝－n －k a k ＋1＝－n －kk ＋1.所以b k ＝b k b k －1·b k －1b k －2·…·b 2b 1·b 1＝(－1)k －1·(n －k ＋1)(n －k ＋2)…(n －1)k ·(k －1)·…·2·1·1＝(－1)k －1·1n C k n (k ＝1,2，…，n )，故b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝1n [C 1n －C 2n ＋C 3n －…＋(－1)n －1·C n n ]＝1n{1－[C 0n －C 1n ＋C 2n －…＋(－1)n ·C n n ]}＝1n.。

第7章第3节时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，CD⃘平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是()A．平行B．平行和异面C．平行和相交D．异面和相交答案：B解析：因为AB∥CD，AB 平面α，CD⃘平面α，所以CD∥平面α，所以CD与平面α内的直线可能平行，也可能异面，故选B.2. [原创题]已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若n⊥α，n⊥β，则α∥βC．若m∥n，m∥α，则n∥αD．若m∥n，m α，n β，则α∥β答案：B解析：A错，两平面也可相交；B正确，垂直于同一条直线的两平面平行；C错，直线n可能在平面α内；D错，不符合面面平行的判定定理．故选B.3．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l α，m β，则α∥β；②若α∥β，l α，m β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为()A．3B．2C．1D．0答案：C解析：①中当α与β不平行时，也能存在符合题意的l、m.②中l与m也可能异面．③中⎭⎪⎬⎪⎫l ∥γl ββ∩γ＝m ⇒l ∥m ，同理l ∥n ，则m ∥n ，正确． 4. [2012·广东质检]如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AB ，CC 1的中点，在平面ADD 1A 1内且与平面D 1EF 平行的直线()A. 不存在B. 有1条C. 有2条D. 有无数条 答案：D解析：由题设知平面ADD 1A 1与平面D 1EF 有公共点D 1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共线l ，在平面ADD 1A 1内与l 平行的线有无数条，且它们都不在平面D 1EF 内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D 1EF 平行，故选D.5．如图边长为a 的等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 交于点G ，已知△A ′DE 是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是()①动点A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上； ②BC ∥平面A ′DE ；③三棱锥A ′－FED 的体积有最大值． A ．① B ．①② C ．①③ D ．②③答案：C解析：①中由已知可得面A ′FG ⊥面ABC ， ∴点A ′在面ABC 上的射影在线段AF 上． ②当A ′点与F 点重合时不符题意．③当面A ′DE ⊥面ABC 时，三棱锥A ′－FDE 的体积达到最大．6．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、Q 分别是棱D 1C 1、A 1D 1，BC 的中点．点P 在对角线BD 1上，且BP →＝23BD 1→，给出下列四个命题：(1)MN ∥平面APC ；(2)C 1Q ∥平面APC ；(3)A ，P ，M 三点共线；(4)平面MNQ ∥平面APC .其中正确命题的序号为( )A ．(1)(2)B ．(1)(4)C ．(2)(3)D ．(3)(4)答案：C解析：设E 、F 分别为AC 、MN 的中点，G 为EF 与BD 1的交点，显然△D 1FG ∽△BEG ，故D 1G BG ＝D 1F BE ＝12，即BG ＝23BD 1，又BP →＝23BD 1→，即BP ＝23BD 1，故点G 与点P 重合，所以平面APC 和平面ACMN 重合 ，MN 平面APC ，故命题(1)不正确，命题(4)也不正确，结合选项可知选C.二、填空题(每小题7分，共21分)7．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，∠A ＝60°，G 是△ABC 的重心，过G 的平面α与BC 平行，AB ∩α＝M ，AC ∩α＝N ，则MN ＝________.答案：2393解析：BC ∥平面α，MN ∥BC ，D 为BC 中点，从而MN BC ＝AG AD ＝23，∴MN ＝23BC .在△ABC 中，BC 2＝52＋72－2×5×7×cos60°＝39， ∴BC ＝39. ∴MN ＝2393.8. 在空间中，下列命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线互相平行；②平行于同一个平面的两条直线互相平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑤垂直于同一个平面的两条直线互相平行，其中真命题有__________(写出所有真命题的序号)．答案：③⑤解析：①过一点必须强调“过直线外一点”，当点在直线上时，不存在直线与已知直线平行，故①为假命题；②平行于“同一条直线”的两条直线平行，而不是“同一个平面”，平行于同一个平面的两条直线的位置关系可能平行、相交或异面，故②为假命题；③平行公理4阐述的是直线平行关系的传递性，无论在平面内还是在空间中都成立，故③为真命题；④在平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，在空间中，垂直于同一条直线的两条直线，不一定平行，故④为假命题；⑤为真命题．9．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、CD 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 上及其内部运动，则M 满足条件________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.答案：M ∈FH解析：∵HN ∥DB ，FH ∥D 1D ，∴面FHN ∥面B 1BDD 1.故M ∈FH . 三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. [改编题]如图，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12AF ，G 、H 分别是F A 、FD 的中点．(1)证明：CH ∥平面BEF A ；(2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ 解：(1)由题意，知FG ＝GA ，FH ＝HD ， 所以GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，故GH 綊BC ，所以四边形BCHG 是平行四边形．所以CH ∥BG ，又CH ⃘平面BEF A ，BG 平面BEF A ， 所以CH ∥平面BEF A .(2)C 、D 、F 、E 四点共面．理由如下： 由BE 綊12AF ，G 是F A 的中点知，BE 綊GF ，所以四边形BEFG 为平行四边形，所以EF ∥BG . 由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，故EC ，FH 共面． 又点D 在直线FH 上，所以C 、D 、F 、E 四点共面．11. [2011·江苏]如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点．求证：(1)直线EF ∥平面PCD ； (2)平面BEF ⊥平面P AD .证明：(1)在△P AD 中，因为E ，F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF ∥PD . 又因为EF ⃘平面PCD ，PD 平面PCD ， 所以直线EF ∥平面PCD .(2)连结BD .因为AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，所以△ABD 为正三角形．因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD .因为平面P AD ⊥平面ABCD ，BF 平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以BF ⊥平面P AD .又因为BF 平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面P AD .12．一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中M 、N 分别是AB 、SC 的中点，P 是SD 上的一动点．(1)求证：BP ⊥AC ；(2)当点P 落在什么位置时，AP ∥平面SMC? (3)求三棱锥B －NMC 的体积．分析：本题考查三视图与直观图，线面垂直与平行的判断、证明．解： (1)连接BD ，∵四边形ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC ，又SD ⊥底面ABCD ，∴SD ⊥AC ，∵BD ∩SD ＝D ，∴AC ⊥平面SDB ，∵BP 平面SDB ，∴AC ⊥BP .(2)取SD 的中点P ，连接PN ，AP ，MN ，则PN ∥DC 且 PN ＝12DC .∵底面ABCD 为正方形，∴AM ∥DC 且AM ＝12DC ，∴AM 綊PN ，∴四边形AMNP 为平行四边形，∴AP ∥MN . 又AP ⃘平面SMC ，MN 平面SMC ，∴AP ∥平面SMC .(3)V B －NMC ＝V N －MBC ＝13S △MBC ·12SD ＝13·12·BC ·MB ·12SD ＝16×1×12×12×2＝112.。

第8章 第6节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2011·陕西]设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A. y 2＝－8x B. y 2＝8x C. y 2＝－4x D. y 2＝4x答案：B解析：由抛物线的准线方程为x ＝－2，则焦点F (2,0)， ∴p2＝2，∴p ＝4. 故抛物线的标准方程为y 2＝8x ，故选B.2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为( )A ．4B ．－2C ．4或－4D ．12或－2答案：C解析：设标准方程为x 2＝－2py (p >0)，由定义知P 到准线距离为4， 故p2＋2＝4，∴p ＝4， ∴方程为x 2＝－8y ，代入P 点坐标得m ＝±4.3．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A ．y ＝12x 2 B ．y ＝－36x 2C ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2D ．y ＝112x 2或y ＝－136x 2 答案：D解析：分两类a >0，a <0可得 y ＝112x 2，y ＝－136x 2. 4. [2012·湖北武汉]设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点M (－1,0)的直线在第一象限交抛物线于A 、B ，且AF →·BF →＝0，则直线AB 的斜率k 等于( )A.2B. 22 C. 3D.33答案：B解析：焦点F (1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线AB ：y ＝k (x ＋1)，代入y 2＝4x 中，得k 2(x 2＋2x ＋1)＝4x ， k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0， 则x 1＋x 2＝4－2k 2k2x 1·x 2＝1.又AF →·BF →＝(1－x 1)(1－x 2)＋y 1y 2 ＝1－(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋2x 1·2x 2 ＝1－4－2k 2k 21＋4×1＝0， ∴k ＝22或k ＝－22(舍去)， 故选B.5. 已知点P 是抛物线y 2＝4x 上的点，设点P 到抛物线准线的距离为d 1，到圆(x ＋3)2＋(y －3)2＝1上的一动点Q 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A. 3B. 4C. 5D. 32＋1答案：B解析：设抛物线焦点为F ，圆的圆心为C ，点P 到抛物线准线的距离为d 1，即点P 到抛物线焦点的距离为d 1，要使d 1＋d 2的值最小，所以有d 1＋d 2＝|PF |＋|PQ |≥|PF |＋|PC |－1≥|CF |－1＝5－1＝4，∴d 1＋d 2的最小值是4.故选B.6．已知两点M (－3,0)，N (3,0)，点P 为坐标平面内一动点，且|MN →|·|M P →|＋MN →·N P →＝0，则动点P (x ，y )到点M (－3,0)的距离的最小值为( )A. 2B. 3C. 4D. 6答案：B解析：因为M (－3,0)，N (3,0)，所以MN →＝(6,0)，|MN →|＝6，MP →＝(x ＋3，y )，NP →＝(x －3，y )．由|MN →|·|MP →|＋M N →·N P →＝0得6(x ＋3)2＋y 2＋6(x －3)＝0，化简整理得y 2＝－12x ，从而可知点M 是抛物线y 2＝－12x 的焦点，所以点P 到点M 的距离的最小值就是原点到点M (－3,0)的距离为3.二、填空题(每小题7分，共21分)7. [2012·北京朝阳]已知抛物线y 2＝4x 上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离|MF |＝4，则点M 的横坐标x ＝__________.答案：3解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1. 根据抛物线的定义，点M 到准线的距离为4， 则M 的横坐标为3.8. 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是__________．答案：2解析：直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线，由抛物线的定义知，动点P 到l 2的距离等于动点P 到抛物线的焦点F (1,0)的距离，问题转化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P 使得P 到点F (1,0)和直线l 2的距离之和最小，最小值为点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离d ，即d ＝|4－0＋6|5＝2.9．已知以坐标原点为顶点的抛物线C ，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A 、B 两点．若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．答案：y 2＝4x解析：由题意知，抛物线的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，所以可设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)．将直线方程和抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝ax y ＝x ，得：x 2－ax ＝0，解得x 1＝0，x 2＝a ，故AB 中点的横坐标为x 0＝12(x 1＋x 2)＝12a ，由题意得12a ＝2，解得a ＝4.所以该抛物线的方程为y 2＝4x .三、解答题(10、11题12分、12题13分)10．顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线y ＝2x ＋1截得的弦长为15，求抛物线的方程． 解：设所求抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)，直线y ＝2x ＋1与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝ax ，y ＝2x ＋1，消去y 得4x 2＋(4－a )x ＋1＝0， 则x 1＋x 2＝a －44，x 1x 2＝14.由|AB |＝(1＋22)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a －442－4×14＝15， 解得a ＝12或a ＝－4，均满足Δ＝(4－a )2－16＞0. 所以抛物线方程为y 2＝12x 或y 2＝－4x .11. 如图，抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上．过点M (0，－2)作直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，且满足OA →＋OB →＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线的方程；(2)当抛物线上一动点P 从点A 向点B 运动时，求△ABP 面积的最大值． 解：(1)根据题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2， 抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2x 2＝－2py 得x 2＋2pkx －4p ＝0. 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4， ∴OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk 2－4)． ∵OA →＋OB →＝(－4，－12)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2pk ＝－4－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1k ＝2.故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线方程为x 2＝－2y .(2)据题意，当抛物线过点P 的切线与l 平行时，△APB 的面积最大． 设点P (x 0，y 0)，由y ′＝－x ， 故由－x 0＝2得x 0＝－2，则y 0＝－12x 20＝－2，故P (－2，－2)．此时点P 到直线l 的距离 d ＝|2×(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2＝45＝455.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0. 故|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋22·(－4)2－4×(－4)＝410， 故△ABP 的面积的最大值为 12·|AB |·d ＝12×410×455＝8 2. 12. [2011·浙江]已知抛物线C 1：x 2＝y ，圆C 2：x 2＋(y －4)2＝1的圆心为点M .(1)求点M 到抛物线C 1的准线的距离；(2)已知点P 是抛物线C 1上一点(异于原点)，过点P 作圆C 2的两条切线，交抛物线C 1于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程．解：(1)由题意可知，抛物线的准线方程为：y ＝－14，所以圆心M (0,4)到准线的距离是174.(2)设P (x 0，x 20)，A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，由题意得x 0≠0， x 0≠±1，x 1≠x 2.设过点P 的圆C 2的切线方程为y －x 20＝k (x －x 0)， 即y ＝kx －kx 0＋x 20.① 则|kx 0＋4－x 20|1＋k2＝1，即(x 20－1)k 2＋2x 0(4－x 20)k ＋(x 20－4)2－1＝0.设PA ，PB 的斜率为k 1，k 2(k 1≠k 2)，则k 1，k 2是上述方程的两根，所以 k 1＋k 2＝2x 0(x 20－4)x 20－1，k 1k 2＝(x 20－4)2－1x 20－1.将①代入y ＝x 2，得x 2－kx ＋kx 0－x 20＝0，由于x 0是此方程的根，故x 1＝k 1－x 0，x 2＝k 2－x 0，所以k AB ＝x 21－x 22x 1－x 2＝x 1＋x 2＝k 1＋k 2－2x 0＝2x 0(x 20－4)x 20－1－2x 0，k MP ＝x 20－4x 0.由MP ⊥AB ，得k AB ·k MP ＝(2x 0(x 20－4)x 20－1－2x 0)·(x 20－4x 0)＝－1，解得x 20＝235，即点P 的坐标为(±235，235)，所以直线l 的方程为y ＝±3115115x ＋4.。

2023年最新北师大版高二数学综合练习2023年最新北师大版高二数学综合练习一、第一章函数与方程1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法，会求函数的定义域和值域。

2.了解函数的单调性、奇偶性和周期性，会判断函数的各种性质。

3.掌握常见函数图像的画法及图像变换，理解函数图像的性质及意义。

4.掌握函数与方程的关系，熟悉函数零点与方程根的关系，会用二分法求方程的近似解。

5.了解指数函数、对数函数和幂函数的性质，会解指数不等式、对数不等式和幂不等式。

6.掌握函数与方程在实际问题中的应用，会用所学知识解决实际问题。

二、第二章数列1.理解数列的概念，掌握数列的通项公式和递推公式，会求数列的前n项和。

2.了解等差数列和等比数列的概念、性质和判定方法，会求等差数列和等比数列的通项公式和前n项和。

3.掌握数列的极限概念，理解数列的收敛性和发散性，会求数列的极限。

4.了解数列的应用，会用数列知识解决实际问题。

三、第三章三角函数1.掌握三角函数的概念、性质和图像，会求三角函数的值域和最值。

2.了解两角和与差的正弦、余弦和正切公式，会进行简单的三角函数运算。

3.理解正弦定理和余弦定理的概念和应用，会解三角形。

4.掌握三角函数在实际问题中的应用，会用三角函数知识解决实际问题。

四、第四章向量与复数1.掌握向量的概念、性质和运算，会用向量表示向量投影和向量的数量积。

2.理解复数的概念、表示方法和运算，会求复数的模和辐角。

3.掌握复数与向量之间的关系，会用复数表示向量并进行向量运算。

4.了解复数在实际问题中的应用，会用复数知识解决实际问题。

五、第五章解析几何1.掌握直线、圆、椭圆、双曲线等常见曲线的方程和性质，会求曲线的交点、距离和面积。

2.理解直线的斜率和截距的概念及求解方法，会求直线的方程。

3.掌握圆的方程和性质，会求圆的标准方程和一般方程。

4.理解椭圆、双曲线和抛物线的方程和性质，会求椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。

5.掌握解析几何在实际问题中的应用，会用解析几何知识解决实际问题。

第3模块第8节[知能演练]一、选择题1．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时() A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里解析：如下图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/小时)．答案：C2．某人在C点测得塔顶A在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为() A．15米B．5米C．10米D．12米解析：如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠AOD＝30°，则OD＝3h，在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理得：OD2＝OC2＋CD2－2OC·CD cos∠OCD，即(3h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，∴h 2－5h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍)． 答案：C3．在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为θ，由此点向塔底沿直线走30 m ，测得塔顶的仰角为2θ，再向前走10 3 m ，测得塔顶的仰角为4θ，则塔高是( )A ．10 mB ．15 mC ．12 mD ．10 2 m解析：如下图，设塔高AB ＝h ，在△ACD 中，cos ∠ACD ＝(103)2＋(103)2－3022×103×103＝－12，所以∠ACD ＝120°，所以4θ＝60°， AB ＝103sin60°＝103×32＝15 m. 答案：B4．△ABC 的周长等于20，面积是103，A ＝60°，则A 的对边长为( )A ．5B ．6C ．8D ．7解析：a ＋b ＋c ＝20，∴b ＋c ＝20－a ， 即b 2＋c 2＋2bc ＝400＋a 2－40a ， ∴b 2＋c 2－a 2＝400－40a －2bc ① 又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ②又S △ABC ＝12bc ·sin A ＝103，∴bc ＝40③由①②③可知a ＝7. 答案：D 二、填空题5．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________ km.解析：如图，依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°， 在△AMB 中，由正弦定理得60sin45°＝BM sin30°，解得BM ＝30 2 km. 答案：30 26．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________．解析：如图：依题意有甲楼的高度AB ＝20·tan60°＝203米，又CM ＝DB ＝20米，∠CAM ＝60°，所以AM ＝CM tan60°＝2033米，故乙楼的高度为CD ＝203－2033＝4033米．答案：203米，4033米三、解答题7．如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向B 2处，此时两船相距102海里．问乙船每小时航行多少海里？解：如图，连接A 1B 2，由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2. 又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形， ∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知A 1B 1＝20，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°， 在△A 1B 2B 1中，由余弦定理B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos45° ＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200， ∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船的速度的大小为10220×60＝302(海里/小时)． 即乙船每小时航行302海里．8．l 1，l 2，l 3是同一平面内三条不重合自上而下的平行直线．(1)如果l 1与l 2间的距离是1，l 2与l 3间的距离也是1，可以把一个正三角形ABC 的三顶点分别放在l 1，l 2，l 3上，求这个正三角形ABC 的边长；(2)如图，如果l 1与l 2间的距离是1，l 2与l 3间的距离是2，能否把一个正三角形ABC 的三顶点分别放在l 1，l 2，l 3上，如果能放，求该正三角形的边长；如果不能，说明理由．解：不妨设A ∈l 1，B ∈l 2，C ∈l 3. (1)∵A ，C 到直线l 2的距离相等，∴l 2过AC 的中点M ，且△ABC 为正三角形， ∴l 2⊥AC ，∴边长AC ＝2AM ＝2，故△ABC 的边长为2.(2)设边长为a ，BC 与l 3的夹角为θ，由对称性，不妨设0°<θ<60°， 则BC 与l 2的夹角也为θ，AB 与l 2的夹角就是60°－θ， ∴a sin θ＝2，a sin(60°－θ)＝1，两式相比， 得sin θ＝2sin(60°－θ)，即sin θ＝3cos θ－sin θ， ∴2sin θ＝3cos θ，∴tan θ＝32， ∴sin θ＝37，∴a ＝237＝2213.[高考·模拟·预测]1．设G 是△ABC 的重心，且(56sin A )GA →＋(40sin B )GB →＋(35sin C )GC →＝0，则B 的大小为( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°解析：∵G 为△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →＝0， ∴56sin A ＝40sin B ＝35sin C ， 结合正弦定理有56a ＝40b ＝35c ， ∴a ＝57b ，c ＝87b ，由余弦定理有cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，∴B ＝60°. 答案：D2在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( )A ．1B ．2 C.32D. 3解析：根据S ＝12bc sin A ＝32可得c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝3，故a ＝3.答案：D3．如图，位于港口O 正东20海里B 处的渔船回港时出现故障．位于港口南偏西30°，距港口10海里C 处的拖轮接到海事部门营救信息后以30海里/小时的速度沿直线CB 去营救渔船，则拖轮到达B 处需要________小时．解析：由余弦定理得BC ＝202＋102－2×10×20cos120°＝107，从而需73小时到达B 处． 答案：734．如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°，与A 相距32海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5海里的C 处．则两艘轮船之间的距离为________海里．解析：连接AC .则AC ＝5，在△ACD 中，AD ＝32，AC ＝5，∠DAC ＝45°，由余弦定理得CD ＝13.答案：135．如下图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量．已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．解：作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M .由题中所给数据可得，DF ＝MF 2＋MD 2＝302＋1702＝10298， DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130， EF ＝(BE －FC )2＋BC 2＝902＋1202＝150. 在△DEF 中，由余弦定理得， cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22×DE ×EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.[备选精题]6．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(－1,1)，n ＝(cos B cos C ，sin B sin C －32)，且m ⊥n . (1)求A 的大小； (2)现给出下列三个条件：①a ＝1；②2c －(3＋1)b ＝0；③B ＝45°.试从中再选择两个条件以确定△ABC ，求出你所确定的△ABC 的面积． 解：(1)∵m ⊥n ，∴－cos B cos C ＋sin B sin C －32＝0， 即cos B cos C －sin B sin C ＝－32，∴cos(B ＋C )＝－32.∵A ＋B ＋C ＝180°，∴cos(B ＋C )＝－cos A ， ∴cos A ＝32，∴A ＝30°. (2)方案一：选择①②，可确定△ABC . ∵A ＝30°，a ＝1,2c －(3＋1)b ＝0， 由余弦定理得12＝b 2＋(3＋12b )2－2b ·3＋12b ·32， 整理得b 2＝2，∴b ＝2，c ＝6＋22. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×6＋22×12＝3＋14.方案二：选择①③，可确定△ABC . ∵A ＝30°，a ＝1，B ＝45°，∴C ＝105°. 又sin105°＝sin(60°＋45°) ＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝6＋24， 由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝1·sin105°sin30°＝6＋22，∴S △ABC ＝12ac sin B＝12×1×6＋22×22＝3＋14. (注：若选择②③不能确定三角形)。