【浙江版】2013版高中全程复习方略数学理课时提能训练：4.5数系的扩充与复数的引入(人教A版·数学理)

【全程复习方略】（浙江专用）2013版高考数学 4.3平面向量的数量积课时体能训练 理 新人教A 版(45分钟 100分)一、选择题（每小题6分，共36分）1.（2012·台州模拟）若非零平面向量a ，b ,c 满足（a ·b )·c =a ·（b ·c ),则( )(A)a ,c 一定共线(B)a ,b 一定共线(C)b ,c 一定共线(D)a ,b ,c 无法确定位置关系2.已知a 、b 为非零向量，且a 、b 的夹角为3π，若p =+a b a b，则|p |=( ) (A)1 (B)2 (C)3(D)2 3.（易错题）已知a =(x,x),b =(x,t+2),若函数f(x)=a ·b 在区间［-1,1］上不是单调函数，则实数t 的取值范围是( )(A)（-∞,-4］(B)（-4,0］ (C)(-4,0) (D)(0,+∞)4.（2012·石家庄模拟）已知锐角三角形ABC 中，|AB |=4，|AC |=1，△ABC 的面积为3，则AB AC 的值为( )(A)2 (B)-2 (C)4 (D)-45.已知三个向量a 、b 、c 两两所夹的角都为120°，且|a |=1，|b |=2，|c |=3，则向量a +b 与向量c 的夹角θ的值为( )(A)30° (B)60° (C)120° (D)150°6.（2011·新课标全国卷）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题P 1:｜a +b ｜＞1⇔θ∈［0,23π)，P 2:｜a +b ｜＞1⇔θ∈(23π,π］， P 3:｜a -b ｜＞1⇔θ∈［0,3π)，P 4:｜a -b ｜＞1⇔θ∈(3π,π］， 其中的真命题是( )(A)P 1,P 4(B)P 1,P 3(C)P 2,P 3 (D)P 2,P 4二、填空题（每小题6分，共18分）7.已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a +b 与向量k a -b 垂直，则k=______.8.（预测题）已知向量a =(2,1),a ·b =10,|a +b |=52,则|b |=______. 9.（2012·合肥模拟）已知A （0，3），B （-1，0），C （3，0），若四边形ABCD 为直角梯形，则点D 的坐标为______.三、解答题（每小题15分，共30分）10.设两个向量e 1,e 2满足|e 1|=2,|e 2|=1,e 1与e 2的夹角为3π，若向量2t e 1+7e 2与e 1+t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.11.（2012·温州模拟）已知|a |=1,|b |=2,a 与b 的夹角为60°.(1)求a +b 与a 的夹角的余弦值；(2)当|a +t b |取得最小值时，试判断a +t b 与b 的位置关系，并说明理由.【探究创新】（16分）已知向量a =(1,2),b =(cos α,sin α),设m =a +t b (t 为实数).(1)若α=4π,求当|m |取最小值时实数t 的值； (2)若a ⊥b ,问：是否存在实数t ，使得向量a -b 和向量m 的夹角为4π，若存在，请求出t;若不存在，请说明理由.答案解析1.【解析】选A.若a ·b =b ·c =0,则a ⊥b ,b ⊥c ,∴a ∥c .若a ·b ≠0,b ·c ≠0,设a ·b =m,b ·c =n,则m 、n ∈R,且mn ≠0,∴m c =n a ,∴a ∥c .综上：a ∥c .2.【解析】选C.22()==+a b p p a b22()2||||++（）a a b b a a b b=cos 13222232π+=+⨯=a b a b . 3.【解析】选C.∵f(x)=a ·b =x 2+(t+2)x,∴f ′(x)=2x+(t+2),令f ′(x)=0得x=t 22+-, 又f(x)在［-1，1］上不单调，∴-1<t 22+-<1, 即-4<t<0.4.【解析】选A.由题意得1AB AC sinA 32⨯⨯⨯=，所以12×4×1×sinA=3，故sinA=32,又A 为锐角，所以A=60°，AB AC AB AC =⨯×cosA=4×1×cos60°=2.5.【解题指南】先求（a +b )·c ，再求|a +b |,最后利用公式求cos θ,进而求θ.【解析】选D.∵(a +b )·c =a ·c +b ·c =1×3×cos120°+2×3×cos120°=92-， |a +b |=2222+=++（）a b a a b b = 221212cos12023+⨯⨯⨯︒+=，∴cos θ=()932233-+==-+⨯a b c a b c ， ∵0°≤θ≤180°，∴θ=150°.6.【解题指南】｜a +b ｜＞1⇔(a +b )2＞1,｜a -b ｜＞1⇔(a -b )2＞1，将(a +b )2,(a -b )2展开并化成与θ有关的式子，解不等式，得θ的取值范围.【解析】选A.｜a +b ｜＞1⇔(a +b )2＞1，而(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2=2+2cos θ＞1， ∴cos θ＞12-，解得θ∈［0, 23π)，同理，由｜a -b ｜＞1⇔(a -b )2＞1，可得θ∈(3π,π］. 7.【解题指南】向量a +b 与向量k a -b 垂直⇔(a +b )·(k a -b )=0，展开用数量积公式求得k 的值.【解析】∵(a +b )⊥(k a -b ),∴(a +b )·（k a -b )=0,即k a 2+(k-1)a ·b -b 2=0，(*)又∵a ，b 为两不共线的单位向量，∴（*）式可化为k-1=-(k-1)a ·b ,若k-1≠0,则a ·b =-1,这与a ,b 不共线矛盾；若k-1=0,则k-1=-(k-1)a ·b 恒成立.综上可知,k=1时符合题意.答案：18.【解析】∵50=|a +b |2=|a |2+2a ·b +|b |2=5+20+|b |2,∴|b |=5.答案：5 9.【解析】D 的位置如图所示，由图(1)可知D （3，3），由图(2)可得AD AB AB DC⎧⊥⎪⎨⎪⎩设D （x,y),则AD =（x ，y-3），AB =（-1，-3）， DC =（3-x ，-y ）， ∴x (1)(y 3)(3)0(1)(y)(3)(3x)0-+--=⎧⎨-----=⎩，解之得18x 59y 5⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴D （18955，）. 综上，D （3，3）或（18955，）. 答案：（3，3）或（18955，） 10.【解题指南】a 、b 夹角为钝角⇔a ·b <0且a 与b 不共线.【解析】由|e 1|=2,|e 2|=1,e 1,e 2的夹角为3π，得e 1·e 2=|e 1|·|e 2|cos 3π =1,∴(2t e 1+7e 2)·（e 1+t e 2)=2t e 12+(2t 2+7)e 1·e 2+7t e 22=2t 2+15t+7,∵向量2t e 1+7e 2与向量e 1+t e 2的夹角为钝角，∴2t 2+15t+7<0,解得-7<t<12-.当2t e 1+7e 2与e 1+t e 2共线时，存在实数m 使2t e 1+7e 2=m(e 1+t e 2)即（2t-m)e 1+(7-mt)e 2=0,∵e 1,e 2不共线，∴2t m 07mt 0-=⎧⎨-=⎩，解之得14t 2m 14⎧=⎪⎨⎪=⎩或14t 2m 14⎧-=⎪⎨⎪=-⎩∴当t=142±时，2t e 1+7e 2与e 1+t e 2共线， 综上，所求实数t 的取值范围为：-7<t<12-且t ≠142-. 11.【解题指南】对于(2)可利用|a +t b |=()2t +a b 把|a +t b |表示成t 的二次函数，再配方求最小值.【解析】(1)设a +b 与a 的夹角为θ,于是a ·b =|a |·|b |cos60°=1,|a +b |=()22227+=++=a b a a b b ，于是cos θ=()22777+==+a b a a b a . (2)由(1)知a ·b =1,∴(a +t b )2=a 2+2t a ·b +t 2b 2=1+2t+4t 2∴|a +t b |=24t 2t 1++=2134(t )44++ 当且仅当t=14-时，取得最小值，此时(a +t b )·b =a ·b +4t=0， 所以（a +t b )⊥b .【方法技巧】平面向量的数量积运算问题的解题技巧(1)平面向量的数量积运算有时类似于多项式的乘法；(2)熟记公式a ·a =a 2=|a |2,易将向量问题转化为实数问题.【变式备选】△ABC 中，满足：AB ⊥AC ，M 是BC 的中点.(1)若|AB |=|AC |，求向量AB +2AC 与向量2AB +AC 的夹角的余弦值；(2)若O 是线段AM 上任意一点，且|AB |=|AC |=2，求OA OB OC OA +的最小值.【解析】(1)设向量AB +2AC 与向量2AB +AC 的夹角为θ,|AB|=|AC |=a,∵AB ⊥AC ,∴(AB +2AC )·（2AB +AC ）=2AB 2+5AB ·AC +2AC 2=4a 2， |AB +2AC |=2(AB 2AC)+ =22AB 4AB AC 4AC 5a ++=， 同理可得|2AB +AC |=5a , ∴cos θ=22(AB 2AC)2AB AC)4a 45a 5|AB 2AC |2AB AC ++==++（.(2)∵|AB |=|AC 2∴|AM |=1.设|OA |=x,则|OM |=1-x,而OB OC 2OM +=,∴OA OB OC 2OA OM 2OA OM cos +==π（）=-2x （1-x ）=2x 2-2x=2（x-12）2-12当且仅当x=12时，OA OB OC +（）值最小，为-12.【探究创新】【解题指南】(1)把|m |整理成关于t 的函数即可. (2)由()t cos 4t -+π=-+（）a b a b a b a b ,列出关于t 的方程,若方程有实数解,则t 存在,否则t 不存在. 【解析】(1)因为α=4π,b =(2222),a ·b =322，则|m ()2222321t 5t 2t t 32t 5(t )22+=++=++=++a b a b 所以当t=32|m |取到最小值，最小值为22.(2)假设存在实数t 满足条件，由条件得cos 4π=()()t t -+-+a b a b a b a b ,又因为|a -b |=26-=（）a b ， |a +t b |=22t 5t +=+（）a b ， （a -b ）·（a +t b ）=5-t ， 25t 2265t -=+，且t<5， 整理得t 2+5t-5=0,所以存在535-±满足条件.。

单元评估检测（一）（第一章）（120分钟 150分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|-1≤x≤2,x∈Z}，集合B={0,2,4}，则A∪B等于( )（A）{-1,0,1,2,4}（B）{-1,0,2,4}（C）{0,2,4}（D）{0,1,2,4}2.（2012·某某模拟)若集合A={-1,0,1},B={y|y=cosx,x∈A}，则A∩B=( )（A）{0}（B）{1}（C）{0,1}（D）{-1,0,1}3.已知全集U=R,则正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的Venn图是( )4.命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是( )（A）若a∉A，则b∉B（B）若a∈A，则b∉B（C）若b∈B，则a∉A（D）若b∉B，则a∈A5.（2012·某某模拟）对于集合M、N，定义M-N={x|x∈M且x∉N}，M⊕N=（M-N）∪(N-M)，设A={y|y=3x,x ∈R}，B={y|y=-(x-1)2+2,x∈R}，则A⊕B=( )(A)［0，2）(B)（0，2］(C)（-∞,0］∪(2,+∞)(D)(-∞,0)∪［2,+∞)6.集合A={y∈R|y=2x}，B={-1,0,1}，则下列结论正确的是( )(A)A∩B={0,1}(B)A∪B=(0,+∞)(C)(R A)∪B=(-∞,0)(D)(RA)∩B={-1,0}7.（2012·某某模拟）若a1x2+b1x+c1＜0和a2x2+b2x+c2＜0的解集分别为集合M和N，(a i,b i,c i，i=1，2均不为零)，那么“a1b2=a2b1且a1c2=a2c1”是“M=N”的( )（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件8.已知全集U=R ，集合M={x||x|＜2},P={x|x ＞a}，并且MU P ，那么a 的取值X 围是( ) （A ）{2}（B ）{a|a ≤2}（C ）{a|a ≥2}（D ）{a|a ＜2}9.（预测题）设命题甲:ax 2+2ax+1>0的解集是实数集R;命题乙:0<a<1,则命题甲是命题乙成立的( )(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件10.设x 、y 是两个实数，命题“x,y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )（A ）x+y=2（B ）x+y ＞2（C ）x 2+y 2＞2（D ）xy ＞1二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分.请把正确答案填在题中横线上)11.若全集U={0，1，2，3}且U A={2}，则集合A 的真子集的个数为_________.12.已知集合M={x|y=lgx}，1x -} ，则M ∩N=_______.13.原命题：“设a,b,c ∈R ，若ac 2＞bc 2，则a ＞b ”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有______个.14.（易错题）已知p:-4＜x-a ＜4，q:(x-2)(3-x)＞0,若⌝p 是⌝q 的充分条件，则实数a 的取值X 围是_______.15.填空：①p ∨q 为真命题是p ∧q 为真命题的_______条件；②⌝p 为假命题是p ∨q 为真命题的________条件；③A ：|x －2|<3,B ：x 2－4x －5<0,则A 是B 的________条件.(填“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”中的一个)16.定义集合A*B={x|x ∈A 且x ∉B},若A={1,3,5,7},B={2,3,5},则A*B 的子集个数为_________.17.对于下面四个说法：①若A 是B 的必要不充分条件，则⌝B 也是⌝A 的必要不充分条件； ②“2a 0b 4ac 0>⎧⎨∆=-≤⎩”是“一元二次不等式ax 2+bx+c ≥0的解集为R ”的充要条件； ③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件；④“x ≠0”是“x+|x|>0”的必要不充分条件.其中正确说法的序号是______.三、解答题(本大题共5小题，共72分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)18.(14分)已知集合A={x||x-1|＜2}，B={x|2x 2x 3x 2+-+≥1},C={x|2x 2+mx-1＜0}. （1）求A ∩B,A ∪B;（2）若C ⊆A ∪B ，求m 的取值X 围.19.(14分)设p:函数y=log a (x+1)(a ＞0且a ≠1)在(0,+∞)上单调递减;q:曲线y=x 2+(2a-3)x+1与x 轴交于不同的两点.如果p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，某某数a 的取值X 围.20．（14分）已知p:-2≤x ≤10，q:x 2－2x+1－m 2≤0(m ＞0).若⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件，某某数m 的取值X 围.21.(15分)求证：方程mx 2-2x+3=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜13. 22.(15分)（探究题）已知命题p:x 1和x 2是方程x 2-mx-2=0的两个实根，不等式a 2-5a-3≥|x 1-x 2|对任意实数m ∈［-1,1］恒成立；命题q:不等式ax 2+2x-1>0有解，若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求a 的取值X 围.答案解析1.【解析】选A.∵A={-1,0,1,2},B={0，2，4}，∴A ∪B={-1,0,1,2,4}.2.【解析】选B.易知B={cos1,1},∴A ∩B={1}.3.【解析】选B.由N={x|x 2+x=0}，得N={-1,0}，则N M.故选B.4.【解析】选B.命题“若p ，则q ”的否命题为“若⌝p ，则⌝q ”，故该命题的否命题为“若a ∈A ，则b ∉B ”.5.【解析】选C.由题意得A=(0,+∞),B=(-∞,2］,∴A-B=(2,+∞),B-A=(-∞,0］，∴A ⊕B=(A-B)∪(B-A)=(-∞,0］∪(2,+∞).6.【解析】选D.因为A={y ∈R|y=2x }={y|y>0}，R A ={y|y ≤0}， ∴(R A )∩B={-1,0}.7.【解题指南】“a 1b 2=a 2b 1且a 1c 2=a 2c 1”等价于“222111a b c k a b c ===”，当k ＞0时，M=N ，当k ＜0时，M ≠N ；若M=N ，则a 1b 2=a 2b 1且a 1c 2=a 2c 1不一定成立.【解析】选D.若a 1b 2=a 2b 1且a 1c 2=a 2c 1，则有222111a b c k a b c ===， 当k ＜0时，M ≠N; 反之，若M=N,则a 1b 2=a 2b 1且a 1c 2=a 2c 1不一定成立,故“a 1b 2=a 2b 1且a 1c 2=a 2c 1”是“M=N ”的既非充分也非必要条件.8.【解题指南】首先化简集合M ，然后利用数轴求出a 的取值X 围.【解析】选C.∵M={x||x|＜2}={x|-2＜x ＜2}，U P ={x|x ≤a},∴M U P ⇔M (-∞,a ］⇔a ≥2,如数轴所示：9.【解题指南】先求命题甲成立的充要条件，然后再判断相关条件.【解析】选B.ax 2+2ax+1>0的解集是实数集R ，当a=0时成立，当a ≠0时，a ＞0且Δ=4a 2-4a ＜0，则0<a<1,故若命题甲:ax 2+2ax+1>0的解集是实数集R ，则0≤a<1，所以命题甲是命题乙成立的必要非充分条件.10.【解析】选B.当x+y ＞2时，x,y 中至少有一个数大于1，反之当x,y 中至少有一个数大于1时，x+y ＞2不一定成立，故选B.11.【解析】因为U A ={2}，所以A={0，1,3}，则集合A 的真子集有23-1=7(个).答案：712.【解析】因为M={x|y=lgx}={x|x>0},}={x|x ≤1},所以M ∩N={x|0<x ≤1}.答案：{x|0<x ≤1}13.【解析】∵“若ac 2＞bc 2，则a ＞b ”是真命题,∴逆否命题是真命题.又逆命题“若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”是假命题，∴原命题的否命题也是假命题.答案：114.【解析】p:-4＜x-a ＜4⇔a-4＜x ＜a+4,q:(x-2)(3-x)＞0⇔2＜x ＜3,又⌝p 是⌝q 的充分条件，即⌝p ⇒⌝q,等价于q ⇒p,所以a 42a 43-≤⎧⎨+≥⎩，解得-1≤a ≤6.答案：［-1,6］【误区警示】解答本题时易弄错p 、q 的关系，导致答案错误，求解时，也可先求出⌝p 、⌝q ，再根据其关系求a 的取值X 围.15.【解析】①p ∨q 为真命题，则p 或q 至少有一个是真命题，故推不出p ∧q 为真命题，但反之能推出，所以是必要不充分条件，②⌝p 为假命题，所以p 是真命题，所以p ∨q 为真命题，但p ∨q 为真命题推不出⌝p 为假命题，所以是充分不必要条件，③A ：|x －2|<3即-1＜x ＜5；B ：x 2－4x －5<0,即-1＜x ＜5，所以A 是B 的充要条件.答案：必要不充分充分不必要充要16.【解析】集合A*B={1，7},所以子集的个数为22=4.答案：417.【解析】∵A ⇐B,∴A ⌝⇒B ⌝，故①正确;“一元二次不等式ax 2+bx+c ≥0的解集为R ”的充要条件是“2a 0b 4ac 0>⎧⎨∆=-≤⎩”，故②正确；“x ≠1”不能得出“x 2≠1”，例如x=-1，故③错误；∵“x+|x|>0⇒x ≠0”,但x ≠0不能推出x+|x|>0，故④正确.答案：①②④18.【解析】(1)A=(-1,3),B=［0,1)∪(2,4］,∴A ∩B=［0,1)∪(2,3),A ∪B=(-1,4］.(2)∵C ⊆(-1,4］,∴方程2x 2+mx-1=0小根大于或等于-1,大根小于或等于4,因而 ()()f 11m 0f 44m 310m 144⎧⎪-=-≥⎪=+≥⎨⎪⎪--⎩＜＜,解得-314≤m ≤1. 19.【解析】∵函数y=log a (x+1)在(0,+∞)上单调递减,∴0＜a ＜1，即p:0＜a ＜1,∵曲线y=x 2+(2a-3)x+1与x 轴交于不同的两点,∴Δ＞0，即(2a-3)2-4＞0，解得a ＜12或a ＞52. 即q:a ＜12或a ＞52. ∵p ∧q 为假，p ∨q 为真,∴p 真q 假或p 假q 真,即0a 115a 22⎧⎪⎨≤≤⎪⎩＜＜或a 115a a 22⎧⎪⎨⎪⎩＞＜或＞. 解得12≤a ＜1或a ＞52. 20．【解析】∵p:－2≤x ≤10,∴⌝p ：A={x|x ＞10或x ＜－2}.由q:x 2－2x+1－m 2≤0(m>0),解得1－m ≤x ≤1+m(m ＞0)，∴⌝q ：B={x|x ＞1+m 或x ＜1－m}（m ＞0）.由⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件可知：B A.∴m 01m 21m 10>⎧⎪-≤-⎨⎪+⎩＞或m 01m 21m 10⎧⎪--⎨⎪+≥⎩＞＜，解得m ≥9.∴满足条件的m 的取值X 围为m ≥9.【方法技巧】条件、结论为否定形式的命题的求解策略处理此类问题一般有两种策略：一是直接求出条件与结论，再根据它们的关系求解.二是先写出命题的逆否命题，再根据它们的关系求解.如果p 是q 的充分不必要条件，那么⌝p 是⌝q 的必要不充分条件；同理，如果p 是q 的必要不充分条件，那么⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，如果p 是q 的充要条件，那么⌝p 是⌝q 的充要条件.21.【证明】（1）充分性:∵0＜m ＜13,∴方程mx 2-2x+3=0的判别式Δ=4-12m ＞0，且3m＞0, ∴方程mx 2-2x+3=0有两个同号且不相等的实根.（2）必要性:若方程mx 2-2x+3=0有两个同号且不相等的实根, 则有12412m 03x x 0m∆=-⎧⎪⎨=⎪⎩＞＞. ∴0＜m ＜13. 综合(1)(2)可知，方程mx 2-2x+3=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜13. 22.【解题指南】根据已知先得出命题p ，再通过讨论a 得到命题q ，最后根据p 真q 假，得a 的取值X 围. 【解析】∵x 1,x 2是方程x 2-mx-2=0的两个实根，∴x 1+x 2=m ，x 1·x 2=-2,∴|x 1-x 2∴当m ∈［-1,1］时，|x 1-x 2|max =3, 由不等式a 2-5a-3≥|x 1-x 2|对任意实数m ∈［-1,1］恒成立,可得：a 2-5a-3≥3,∴a ≥6或a ≤-1,∴命题p 为真命题时a ≥6或a ≤-1,若不等式ax2+2x-1>0有解，则①当a>0时，显然有解，②当a=0时，ax2+2x-1>0有解，③当a<0时，∵ax2+2x-1>0有解，∴Δ=4+4a>0,∴-1<a<0,所以不等式ax2+2x-1>0有解时a>-1.又∵命题q是假命题，∴a≤-1,故命题p是真命题且命题q是假命题时，a的取值X围为a≤-1.。

【全程复习方略】（浙江专用）2013版高考数学 4.5数系的扩充与复数的引入课时体能训练 文 新人教A 版(45分钟 100分)一、选择题（每小题6分，共36分）1.（易错题）互为共轭复数的两复数之差是( )（A ）实数 （B ）纯虚数（C ）0 （D ）零或纯虚数2.在复平面内，复数i 1i+对应的点位于( ) (A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限3.（2011·广东高考）设复数z 满足(1+i)z=2,其中i 为虚数单位，则z=( )(A)1+i (B)1-i(C)2+2i (D)2-2i4.（2012·台州模拟）已知集合M={m|m=i n ,n ∈N },其中i 2=-1,则下面属于M 的元素是( )（A ）（1+i)+(1-i) （B ）(1+i)-(1-i)（C ）(1+i)(1-i) （D ）1i 1i+- 5.若(x-i)i=y+2i,x 、y ∈R ,则复数x+yi=( )（A ）-2+i (B)2+i(C)1-2i （D)1+2i6.(预测题）i 是虚数单位，若复数z=1bi 1i++ (b ∈R )为纯虚数，则b=( ) （A ）0 （B ）-1 （C ）-2 （D ）-3二、填空题（每小题6分，共18分）7.i 为虚数单位，3571111i i i i+++ =______. 8.已知复数z 与(z+2)2-8i 均是纯虚数，则z=______.9.定义运算a c ad bc b d =-，复数z 满足z i 1 i=1+i ，则z=______. 三、解答题（每小题15分，共30分）10.（2011·上海高考）已知复数z 1满足(z 1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位），复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.11.复数z 1=1+2i,z 2=-2+i,z 3=-1-2i,它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.【探究创新】（16分）已知z 1，z 2为复数，(3＋i)z 1为实数，z 2＝1z 2i+，且|z 2|＝z 2.答案解析1.【解析】选D.设互为共轭复数的两个复数分别为z=a+bi,z =a-bi(a 、b ∈R)，则z-z =2bi 或z -z=-2bi. ∵b ∈R ,当b ≠0时，z-z ,z -z 为纯虚数；当b=0时，z-z =z -z=0.故选D.【误区警示】混淆了复数和虚数概念，误认为共轭复数就是共轭虚数，当得到z-z =2bi 时，就认为是纯虚数，错误地选B.2.【解析】选A.因为z=i 1i +=()()()i 1i 11i 1i 1i 22-=++-,所以z 对应的点位于第一象限. 【方法技巧】复数的几何意义的作用复数的几何意义可以让我们运用数形结合思想把复数、向量、解析几何有机地结合在一起，能够更加灵活地解决问题.高考中对复数几何意义的考查主要集中在复数对应点的位置、加减法的几何意义、模的意义等.3.【解题指南】由(1+i)z=2得z=21i+,再由复数的除法运算法则可求得z. 【解析】选B.由(1+i)z=2得z=21i +=()()()21i 1i 1i 1i -=-+-.故选B. 【一题多解】选B.设z=a+bi,则(1+i)(a+bi)=a-b+(a+b)i=2,a b 2a 1,,z 1i.a b 0b 1-==⎧⎧∴∴∴=-⎨⎨+==-⎩⎩4.【解析】选D.由题意知M={i,-i,1,-1}.A 项中，（1+i)+(1-i)=2∉M ，B 项中,（1+i)-(1-i)=2i ∉M,C 项中,（1+i)(1-i)=1-i+i-i 2=2∉M,D 项中，()()()221i 1i 12i i i 1i 1i 1i 2++++===--+∈M. 5.【解析】选B.∵(x-i)i=y+2i,∴1+xi=y+2i,根据复数相等的条件，得x=2,y=1,∴x+yi=2+i.6.【解析】选B ()1bi 1i z 1i 1i 1b b 1i ,21b 0b 1.b 10+-=⋅+-++-=+=⎧∴∴=-⎨-≠⎩， 7.【解析】3571111i i i i +++=-i+i-i+i=0. 答案：0【变式备选】（1）已知复数1,z 是z 的共轭复数，则z ·z =______. 【解析】方法一：=12, z ·z =|z|2=14.方法二：2-i 44+, z ·z i 4+i 4)=14. 答案：14（2）已知复数z=1-i ，则2z 2z z 1--=______. 【解析】2z 2z z 1--=()()()21i 21i 1i 1----- 2i 22i 2i 2i.i i i--+-===---⋅ 答案：-2i 8.【解析】设z=ai,a ∈R 且a ≠0,则(z+2)2-8i=4-a 2+(4a-8)i.∵(z+2)2-8i 是纯虚数，∴4-a 2=0且4a-8≠0，解得a=-2.因此z=-2i.答案：-2i9.【解析】由题意知zi-i=1+i,∴z=12i i+=-(1+2i)i=2-i. 答案：2-i10.【解析】设z 2=a+2i(a ∈R)，由已知复数z 1满足(z 1-2)(1+i)=1-i,得z 1=2-i ，又已知z 1·z 2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i 是实数，则虚部4-a=0，即a=4，则复数z 2=4+2i. 【变式备选】复数z 1＝()()223210a i z 2a 5i a 51a--+-＋，＝＋，若1z 2z +是实数，求实数a 的值. 【解析】1z 2z +＝()()232a 10i 2a 5i a 51a --+-＋＋＋ ()()()()2232()a 102a 5i a 51a a 13(a 2a 15)i.a 5a 1--+---+-＝＋＋［＋］＝＋＋ ∵1z 2z +是实数，∴a 2＋2a-15＝0，解得a ＝-5或a ＝3.又(a ＋5)(a-1)≠0，∴a ≠-5且a ≠1，故a ＝3.11.【解析】如图，z 1、z 2、z 3分别对应点A 、B 、C.∴AB OB OA,=-∴AB 所对应的复数为z 2-z 1=(-2+i)-(1+2i)=-3-i,在正方形ABCD 中，DC AB =，∴DC 所对应的复数为-3-i,又DC OC OD =-，∴OD OC DC =-所对应的复数为z 3-(-3-i)=(-1-2i)-(-3-i)=2-i,∴第四个顶点对应的复数为2-i.【变式备选】已知复数z 满足|z|=1,求|z-(1+i)|的最大值与最小值.【解题指南】|z|=1⇒复数z 对应的点是以原点为圆心，1为半径的圆上的点⇒所求即为圆上的点到点(1,1)的距离的最大值、最小值.【解析】因为|z|=1，所以z 对应的点是单位圆x 2+y 2=1上的点，而|z-(1+i)|表示单位圆上的点到(1,1)点的距离.11,=11.=【探究创新】【解题指南】可以不设代数形式，利用整体代换的思想求解.【解析】z 1＝z 2(2＋i)，(3＋i)z 1＝z 2(2＋i)(3＋i)＝z 2(5＋5i)∈R ，∵2z ＝∴|z 2(5＋5i)|＝50，∴z 2(5＋5i)＝±50，∴z 2＝()501055i .55i 1i ±±±-++＝＝。

【全程复习方略】（某某专用）2013版高考数学阶段滚动检测(一)课时体能训练文新人教A版第一、二章（120分钟 150分）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A＝{0，a}，B＝{b|b2－3b<0，b∈Z}，A∩B≠ ，则实数a的值为( )(A)1 (B)2 (C)1或2 (D)2或32.（2012·某某模拟）已知正数a,b满足ab=1,则“a=b=1”是“a2+b2=2”的( )（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件3.设集合A＝{x|－2<－a<x<a，a>0}，命题p：1∈A，命题q：2∈A.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则a的取值X围是( )（A）0<a<1或a>2 （B）0<a<1或a≥2（C）1<a<2 （D）1≤a≤24．函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为( )（A）[11168，] （B）[1184，]（C）[1142，] （D）[12，1]5.在函数y=|x|(x∈[-1,1])的图象上有一点P（t,|t|），此函数与x轴、直线x=-1及x=t围成图形（如图阴影部分）的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为( )6.定义在R 上的函数f(x)满足f(x ＋2)＝3f(x)，当x ∈[0,2]时，f(x)＝x 2-2x ，则当x ∈[-4，-2]时，f(x)的最小值是( ) (A)19-(B)13- (C)19(D)-1 7.定义在R 上的函数f(x)满足()2log (4x)x 0f x f (x 1)f (x 2)x 0≤⎧⎨>⎩－，＝－－－，，则f(3)的值为( )(A)－1 (B)－2 (C)1 (D)28.（2012·某某模拟)函数f(x)在定义域R 内可导，若f(x)=f(2-x)且(x-1) f ′(x)＜0，若a=f(0),b=f(12)，c=f(3)，则a,b,c 的大小关系是( ) (A)a ＞b ＞c(B)c ＞b ＞a (C)b ＞a ＞c(D)a ＞c ＞b9.下列图象中，有一个是函数f(x)＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数y ＝f ′(x)的图象，则f(－1)等于( )(A)53(B)13-(C)13(D)53- 10.（2012·某某模拟)如图是函数f(x)的导函数y ＝f ′(x)的图象，则下面判断正确的是( )(A)在(－2,1)内f(x)是增函数 (B)在(1,3)内f(x)是减函数 (C)在(4,5)内f(x)是增函数(D)在x ＝2时，f(x)取到极小值第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分.请把正确答案填在题中横线上) 11．已知命题p ：函数y ＝log 0.5(x 2＋2x ＋a)的值域为R.命题q ：函数y ＝－(5－2a)x是R 上的减函数．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值X 围是______． 12.若f(x)是幂函数，且满足()()f 43f 2＝，则f(12)＝_____.13.拟定从甲地到乙地通话m 分钟的费由f(x)＝1.06×(0.50×[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是大于或等于m 的最小整数，若通话费为10.6元，则通话时间m ∈______.14.已知函数f(x)＝lnx ＋2x ，g(x)＝a(x 2＋x)，若f(x)≤g(x)恒成立，则实数a 的取值X 围是______． 15.函数f(x)=x 3+3x 2+4x-a 的极值点的个数是_______.16.已知函数f(x)＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为_______. 17.不等式e x－x>ax 的解集为P ，且[0,2]⊆P ，则实数a 的取值X 围是_______.三、解答题(本大题共5小题，共72分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)18.（14分）已知命题p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1,1]上有且仅有一解．命题q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0.若命题“p 或q ”是假命题，求a 的取值X 围．19.（14分）某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似地用如下函数给出：y ＝32213629t t 36t 6t 9844t 559t 10843t 66t 34510t 12.⎧≤⎪⎪⎪≤≤⎨⎪⎪≤⎪⎩－－＋－，＜，＋，，－＋－，＜ 求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻． 20.(14分)已知函数f(x)＝ax 2＋2x ＋c(a 、c ∈N *)满足： ①f(1)＝5；②6<f(2)<11. (1)求a 、c 的值；(2)若对任意的实数x ∈[1322，]，都有f(x)－2mx ≤1成立，某某数m 的取值X 围．21.（15分）集合A 是由具备下列性质的函数f(x)组成的： ①函数f(x)的定义域是[0，＋∞)； ②函数f(x)的值域是[－2,4)；③函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，试分别探究下列两小题：(1)判断函数f 1(x)2(x ≥0)及f 2(x)＝4－6·(12)x(x ≥0)是否属于集合A ？并简要说明理由； (2)对于(1)中你认为属于集合A 的函数f(x)，不等式f(x)＋f(x ＋2)<2f(x ＋1)是否对于任意的x ≥0恒成立？请说明理由．22.（15分）设函数f(x)=alnx-bx 2(x>0). （1）若函数f(x)在x=1处与直线y=-12相切. ①某某数a ，b 的值； ②求函数f(x)在[1e,e]上的最大值. （2）当b=0时，若不等式f(x)≥m+x 对所有的a ∈[0,32],x ∈(1,e 2]都成立，某某数m 的取值X 围.答案解析1.【解析】选C.B ＝{1,2}．由A ∩B ≠ ，得a ＝1或2，故选C.2.【解析】选C.a=b=1⇒a 2+b 2=2,反之， ∵a 2+b 2=2， ∴a 2+21a=2， ∴a 2=1，又∵a ＞0， ∴a=1，b=1，故a=b=1是a 2+b 2=2的充要条件.3.【解析】选C.p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则命题p ，q 一真一假．命题p 为真时，a>1，又－2<－a ，则a<2，∴1<a<2.由a<2知命题q为假，故选C.4.【解析】选C.因为f(x)在定义域内为单调递增函数，而在4个选项中，f(14)·f(12)<0，所以零点所在区间为[14,12].5.【解析】选B.当t∈[-1，0]时，S增速越来越慢，当t∈[0，1]时，S增速越来越快，故选B.6.【解析】选A.由f(x＋2)＝3f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝x2-2x，当x＝1时f(x)取得最小值，最小值为-1．所以，当x∈[-4，-2]时，x＋4∈[0,2]，所以当x＋4＝1即x=-3时f(x)有最小值，即f(-3)＝13f(-3+2)＝13f(-1)＝19f(1)＝-19.7.【解题指南】根据自变量的值，选择相应区间上的函数解析式代入求解. 【解析】选B.依题意得f(3)＝f(2)－f(1)＝f(1)－f(0)－f(1)＝－f(0)＝－log2(4－0)＝－2，故选B.8.【解析】选C.∵f(x)=f(2-x),∴f(x)的图象关于x=1对称.又∵(x-1)f′(x)＜0,∴当x＞1时,f′(x)＜0,即在(1,+∞)上，f(x)为减函数.∴a=f(0)=f(2),b=f(12)=f(32),c=f(3),∴b＞a＞c.9.【解析】选B.∵f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)，∴导函数f′(x)的图象开口向上．又∵a≠0，∴其图象必为第三个图．由图象特征知f′(0)＝0，且－a>0，∴a＝－1.故f(－1)＝－13－1＋1＝－13.10.【解析】选C.在(-2,1)内，导函数的符号有正有负，所以函数f(x)在这个区间上不是单调函数；同理，函数f(x)在(1,3)内也不是单调函数．在x＝2的左侧，函数f(x)在(－32，2)内是增函数，在x＝2的右侧，函数f(x)在(2,4)内是减函数，所以在x＝2时，f(x)取到极大值；在(4,5)内导函数的符号为正，所以函数f(x)在这个区间上为增函数．11.【解析】因为函数y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域为R，所以方程x2＋2x＋a＝0的判别式Δ≥0，即4－4a ≥0，∴a≤1.函数y＝－(5－2a)x是R上的减函数，则5－2a>1，∴a<2.∵p或q为真命题，p且q为假命题，∴p，q一真一假，当p真q假时，无解；当p假q真时，1<a<2，综上知a的取值X围是（1，2）.答案：(1,2)12.【解析】设f(x)＝xα，则有432αα＝，解得2α＝3，α＝log23，∴f(12)＝23log1()2＝23log2-＝13.答案：1 313.【解析】∵10.6＝1.06×(0.50×[m]＋1)，∴0.5[m]＝9，∴[m]＝18，∴m∈(17,18]．答案：(17,18]14.【解析】设F(x)＝f(x)－g(x)，其定义域为(0，＋∞)，则F′(x)＝1x＋2－2ax－a＝(2x1)(ax1)x－＋－，x∈(0，＋∞)．当a≤0时，F′(x)>0，F(x)单调递增，F(x)≤0不可能恒成立，当a>0时，令F′(x)＝0，得1xa＝或x＝12－(舍去)．当0<x<1a时，F′(x)>0，当x>1a时，F′(x)<0，故F(x)在(0，＋∞)上有最大值F(1a)，由题意F(1a)≤0恒成立，即ln 1a＋1a－1≤0，令ϕ(a)＝ln1a＋1a－1，则ϕ(a)在(0，＋∞)上单调递减，且ϕ(1)＝0，故ln 1a＋1a－1≤0成立的充要条件是a≥1.答案：[1，＋∞)15.【解析】f′(x)=3x2+6x+4=3(x+1)2+1＞0，则f(x)在R上是增函数，所以不存在极值点. 答案：016.【解析】f′(x)＝3x2－2px－q，由f ′(1)＝0，f(1)＝0得32p q 01p q 0⎧⎨⎩－－＝－－＝，解得p 2q 1⎧⎨⎩＝＝－， ∴f(x)＝x 3－2x 2＋x. 由f ′(x)＝3x 2－4x ＋1＝0，得x ＝13或x ＝1， 进而求得当x ＝13时，f(x)取极大值427，当x ＝1时，f(x)取极小值0. 答案：427、0 17.【解题指南】转化为恒成立问题，利用导数求解.【解析】因为e x－x>ax 的解集为P ，且[0,2]⊆P ，所以对任意x ∈[0,2]，e x－x>ax 恒成立，当x ＝0时，不等式恒成立，当0<x ≤2时，a<xe x －1也应恒成立．令g(x)＝x e x －1，则g ′(x)＝x2(x 1)e x －，当1<x ≤2时，g ′(x)>0，当0<x<1时，g ′(x)<0. 所以当x ＝1时，g(x)取得最小值e －1， 所以a 的取值X 围是(－∞，e －1). 答案：(-∞,e-1)18.【解析】由a 2x 2＋ax －2＝0，得(ax ＋2)(ax －1)＝0， 显然a ≠0， ∴x ＝－2a 或x ＝1a. ∵方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1,1]上有且仅有一解，故2||1a 1||1a ⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，或1||1,a 2|| 1.a⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩∴－2<a ≤－1或1≤a<2.只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0，∴Δ＝4a2－8a＝0，解得a＝0或a＝2.∵命题“p或q”是假命题，∴命题p和命题q都是假命题，∴a的取值X围为{a|a≤－2或－1<a<0或0<a<1或a>2}．19.【解析】①当6≤t＜9时，y′＝－38t2－32t＋36＝－38(t2＋4t－96)＝－38(t＋12)(t－8)．令y′＝0，得t＝－12或t＝8. ∴当t＝8时，y有最大值．y max＝18.75(分钟)．②当9≤t≤10时，y＝18t＋554是增函数，∴当t＝10时，y max＝15(分钟)．③当10＜t≤12时，y＝－3(t－11)2＋18，∴当t＝11时，y max＝18(分钟)．综上所述，上午8时，通过该路段用时最多，为18.75分钟．20.【解析】(1)∵f(1)＝a＋2＋c＝5，∴c＝3－a.①又∵6<f(2)<11，即6<4a＋c＋4<11，②将①式代入②式，得－13<a<43，又∵a、c∈N*，∴a＝1，c＝2.(2)由(1)知f(x)＝x2＋2x＋2.方法一：设g(x)＝f(x)－2mx＝x2＋2(1－m)x＋2.①当2(1m)2－－≤1，即m≤2时，g(x)max＝g（32）＝294－3m，故只需294－3m≤1，解得m≥2512，又∵m≤2，故无解．②当2(1m)2－－>1，即m>2时，g(x)max＝g(12)＝134－m，故只需134－m≤1，解得m≥94.又∵m>2，∴m≥94.综上可知，m的取值X围是m≥94.方法二：∵x∈[12，32]，∴不等式f(x)－2mx≤1恒成立⇔2(1－m)≤－(x＋1x)在[12，32]上恒成立．易知[－(x＋1x)]min＝－52，故只需2(1－m)≤－52即可．解得m≥94.【方法技巧】二次函数的最值求解技巧当二次函数的定义域不是R时,求函数的最值，要充分利用函数的图象，重点关注开口方向和对称轴与所给定区间的关系：若对称轴不在区间内，则该区间是函数的单调区间，最值在两个端点处，反之，则必有一个在顶点处取，即函数的最值不在端点处，就在顶点处.21.【解析】(1)函数f1(x)－2不属于集合A.因为f1(x)的值域是[－2，＋∞)，所以函数f1(x)2不属于集合A.f2(x)＝4－6·(12)x(x≥0)属于集合A，因为：①函数f2(x)的定义域是[0，＋∞)；②f2(x)的值域是[－2,4)；③函数f2(x)在[0，＋∞)上是增函数．(2)是.∵f(x)＋f(x＋2)－2f(x＋1)＝6·(12)x(－14)<0，∴不等式f(x)＋f(x＋2)<2f(x＋1)对任意的x≥0恒成立．22.【解析】（1）①f′(x)=ax-2bx.∵函数f(x)在x=1处与直线y=-12相切,∴()()f1a2b0,1 f1b2 '=-=⎧⎪⎨=-=-⎪⎩解得a11b2=⎧⎪⎨=⎪⎩.②f(x)=lnx-12x2,f′(x)=211xxx x--=,当1e≤x≤e时，令f′(x)>0，得1e≤x<1；令f′(x)<0，得1<x≤e;∴f(x)在［1e,1]上单调递增，在[1，e]上单调递减，∴f(x)max=f(1)=-12.（2）当b=0时，f(x)=alnx,若不等式f(x)≥m+x对所有的a∈[0,32],x∈(1,e2]都成立，则alnx≥m+x对所有的a∈ [0,32],x∈(1,e2]都成立，即m≤alnx-x对所有的a∈[0,32],x∈(1,e2]都成立，令h(a)=alnx-x,则h(a)为一次函数，所以m≤h(a)min ∵x∈(1,e2],∴lnx>0,∴h(a)在a∈[0,32]上单调递增,∴h(a)min=h(0)=-x,∴m≤-x对所有的x∈(1,e2］都成立, ∵1<x≤e2,∴-e2≤-x<-1,∴m≤(-x)min=-e2.【变式备选】（2011·某某高考）设f(x)=-13x3+12x2+2ax.(1)若f(x)在(23,+∞)上存在单调递增区间,求a的取值X围.(2)当0<a<2时,f(x)在［1,4］上的最小值为163-,求f(x)在该区间上的最大值.【解析】(1)由f′(x)=-x2+x+2a=-(x-12)2+14+2a,当x∈［23,+∞)时,f′(x)的最大值为f′(23)=29+2a;word- 11 - / 11 令29+2a>0,得a>-19,所以,当a>-19时,f(x)在(23,+∞)上存在单调递增区间. (2)令f ′(x)=0,得两根11x 2-=, x 2. 所以f(x)在(-∞,x 1),(x 2,+∞)上单调递减,在(x 1,x 2)上单调递增.当0<a<2时,有x 1<1<x 2<4,所以f(x)在［1,4］上的最大值为f(x 2)，又f(4)-f(1)= -272+6a<0, 即f(4)<f(1),所以f(x)在［1,4］上的最小值为f(4)=40168a 33-=-,得a=1, 所以x 2=2,从而f(x)在［1,4］上的最大值为f(2)=103.。

课时提能演练(二十九)(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分) 1.互为共轭复数的两复数之差是( ) (A)实数 (B)纯虚数 (C)0 (D)零或纯虚数2.(2011·福建高考)i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( ) (A)i∈S (B)i 2∈S (C)i 3∈S (D)2i∈S3.(2011·大纲版全国卷)复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z z －z －1＝( )(A)－2i (B)－i (C)i (D)2i4.(2011·辽宁高考)a 为正实数，i 为虚数单位，|a ＋ii |＝2，则a ＝( )(A)2 (B) 3 (C) 2 (D)15.(预测题)若(a ＋4i)i ＝b ＋i ，其中a ，b∈R，i 是虚数单位，则a －b 为( )(A)3 (B)5 (C)－3 (D)－56.复数z ＝m －2i1＋2i (m∈R，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限 二、填空题(每小题6分，共18分) 7.i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i7＝ .8.已知复数z 与(z ＋2)2－8i 均是纯虚数，则z ＝ .9.(易错题)定义一种运算如下：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝x 1y 2－x 2y 1，则复数z ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3＋i －13－i i (i 是虚数单位)的共轭复数是 . 三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2011·上海高考)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.11.复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.【探究创新】(16分)已知A(1,2)，B(a,1)，C(2,3)，D(－1，b)(a ，b∈R)是复平面上的四点，且向量AB ，CD 对应的复数分别为z 1，z 2. (1)若z 1＋z 2＝1＋i ，求1＋i z 1＋1－iz 2.(2)若z 1＋z 2为纯虚数，z 1－z 2为实数，求a 、b.答案解析1. 【解析】选D.设互为共轭复数的两个复数分别为z ＝a ＋bi ，z ＝a －bi(a 、b ∈R)，则z －z ＝2bi 或z －z ＝－2bi. ∵b ∈R ，当b ≠0时，z －z ，z －z 为纯虚数； 当b ＝0时，z －z ＝z －z ＝0.故选D.【误区警示】混淆了复数和虚数概念，误认为共轭复数就是共轭虚数，当得到z －z ＝2bi 时，就认为是纯虚数，错误地选B. 2.【解析】选B.∵i 2＝－1，而集合S ＝{－1, 0,1}，∴i 2∈S.3.【解题指南】先求出z 的共轭复数，然后利用复数的运算法则计算即可.【解析】选B. z ＝1－i ，z z －z －1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i. 4.【解析】选B.因为|a ＋ii |＝2，故可化为|1－ai|＝2，又由于a 为正实数，所以1＋a 2＝4，得a ＝3，故选B.5.【解析】选B.由(a ＋4i)i ＝b ＋i ， 得－4＋ai ＝b ＋i ， ∴a ＝1，b ＝－4，a －b ＝5.6. 【解题指南】先把z 化成a ＋bi 的形式，再进行判断.【解析】选A.z ＝m －2i 1＋2i ＝(m －2i)(1－2i)5＝m －45＋－(2m ＋2)5i ，显然m －45＞0与－2m ＋25＞0不可能同时成立，则z ＝m －2i1＋2i对应的点不可能位于第一象限.【一题多解】选A.z ＝m －2i 1＋2i ＝m －45＋－(2m ＋2)5i ，设x ＝m －45，y ＝－(2m ＋2)5，则2x ＋y ＋2＝0.又直线2x ＋y ＋2＝0不过第一象限，则z ＝m －2i 1＋2i对应的点不可能位于第一象限.【方法技巧】复数问题的解题技巧(1)根据复数的代数形式，通过其实部和虚部可判断一个复数是实数，还是虚数.(2)复数z ＝a ＋bi ，a ∈R ，b ∈R 与复平面上的点Z(a ，b)是一一对应的，通过复数z 的实部和虚部可判断出其对应点在复平面上的位置. 7.【解析】1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7＝－i ＋i －i ＋i ＝0.答案：0【变式备选】(1)已知复数z ＝3＋i (1－3i)2，z 是z 的共轭复数，则z ·z＝ .【解析】方法一：|z|＝|3＋i||(1－3i)2|＝12， z ·z ＝|z|2＝14.方法二：z ＝3＋i－2(1＋3i)＝－34＋i4，z ·z ＝(－34＋i 4)(－34－i 4)＝14.答案：14(2)已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝ .【解析】z 2－2z z －1＝(1－i)2－2(1－i)(1－i)－1＝－2i －2＋2i －i ＝－2i－i ·i ＝－2i.答案：－2i8.【解析】设z ＝ai ，a ∈R 且a ≠0，则(z ＋2)2－8i ＝4－a 2＋(4a －8)i. ∵(z ＋2)2－8i 是纯虚数，∴4－a 2＝0且4a －8≠0.解得a ＝－2.因此z ＝－2i. 答案：－2i9.【解析】由定义知，z ＝(3＋i)i －(3－i)×(－1)＝3－1＋(3－1)i ，故z ＝3－1－(3－1)i.答案：3－1－(3－1)i10.【解析】设z 2＝a ＋2i(a ∈R)，由已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，得z 1＝2－i ，又已知z 1·z 2＝(2－i)·(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a)i 是实数，则虚部4－a ＝0，即a ＝4，则复数z 2＝4＋2i.【变式备选】复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a ＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值.【解析】z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i ＝(3a ＋5＋21－a )＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i＝a －13(a ＋5)(a －1)＋(a 2＋2a －15)i.∵z 1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3. 又(a ＋5)(a －1)≠0，∴a ≠－5且a ≠1，故a ＝3. 11. 【解析】如图，z 1、z 2、z 3分别对应点A 、B 、C. ∴AB ＝OB －OA ，∴AB 所对应的复数为 z 2－z 1＝(－2＋i)－(1＋2i) ＝－3－i ，在正方形ABCD 中，DC ＝AB ， ∴DC 所对应的复数为－3－i ， 又DC ＝OC －OD ，∴OD ＝OC －DC 所对应的复数为z 3－(－3－i)＝(－1－2i)－(－3－i)＝2－i ，∴第四个顶点对应的复数为2－i.【变式备选】已知复数z 满足|z|＝1，求|z －(1＋i)|的最大值与最小值. 【解题指南】|z|＝1⇒复数z 对应的点是以原点为圆心，1为半径的圆上的点⇒所求即为圆上的点到点(1,1)的距离的最大值、最小值 【解析】因为|z|＝1，所以z 对应的点是单位圆x 2＋y 2＝1上的点，而|z －(1＋i)|表示单位圆上的点到(1,1)点的距离. 所以最大值为(0－1)2＋(0－1)2＋1＝2＋1，最小值为(0－1)2＋(0－1)2－1＝2－1.【探究创新】【解析】(1)∵AB ＝(a,1)－(1,2)＝(a －1，－1)，CD ＝(－1，b)－(2,3)＝(－3，b －3)，∴z 1＝(a －1)－i ，z 2＝－3＋(b －3)i ， ∴z 1＋z 2＝(a －4)＋(b －4)i ，又z 1＋z 2＝1＋i ，∴⎩⎨⎧a －4＝1b －4＝1，∴⎩⎨⎧a ＝5b ＝5，∴z 1＝4－i ，z 2＝－3＋2i ， ∴1＋i z 1＋1－i z 2＝1＋i 4－i ＋1－i －3＋2i＝(1＋i)(4＋i)42＋12＋(1－i)(－3－2i)(－3)2＋22＝3＋5i 17＋－5＋i 13＝－46221＋82221i.(2)由(1)得z 1＋z 2＝(a －4)＋(b －4)i ， z 1－z 2＝(a ＋2)＋(2－b)i ， ∵z 1＋z 2为纯虚数，z 1－z 2为实数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4＝0b －4≠02－b ＝0，∴⎩⎨⎧a ＝4b ＝2。

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课时提能演练(二十五)(45分钟 100分)一、填空题(每小题5分，共40分)1.(2019·淮安模拟)在下列命题中，正确的命题序号是______.(1)任一非零向量的方向都是唯一的；(2)模相等的两个平行向量是相等的向量；(3)若a和b都是单位向量，则a b;=(4)两个相等向量的模相等.2.已知两不共线的向量a,b，若对非零实数m，n有m a n b-共线，则+与a3bm=______.n3.已知A，B，O是平面上三点，直线AB上有一点C，满足2AC CB0，+=，用OA OB 表示OC，则OC=______.4.(2019·苏北四市联考)在△ABC中，点M满足MA MB MC0,++=若++=，则实数m的值为______.AB AC mAM05.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC4AB AC AB AC，，则=+=-AM=______.6.(2019·徐州模拟)如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB mAM AC nAN,，则m+n的值为______.==7.如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题：其中真命题的序号是______(写出所有真命题的序号).8.(2019·南京模拟)已知平面上不共线的四点O 、A 、B 、C ，若OA 3OB 2OC 0,-+=则AB BC =______.二、解答题(每小题15分，共45分)9.如图，已知OA a,OB b,OC c,OD d,OF f ,=====试用a b c d f 、、、、表示以下向量.(1)AC ；(2)AD ；(3)AD AB -；(4)AB CF +；(5)BF BD -.10.若非零向量a,b 满足|a b b |-=,试比较|2b |与|a 2b |-的大小.11.在正三角形ABC 所在平面上有三点P 、Q 、R ，满足PA PB PC AB ++=，QA QB QC BC ++=，RA RB RC CA ++=，求△PQR 的面积与△ABC 的面积之比.【探究创新】(15分)如图，点A 1、A 2是线段AB 的三等分点，(1)求证：12OA OA OA OB +=+；(2)一般地，如果点A 1,A 2,…A n-1是AB 的n(n ≥3)等分点，请写出一个结论，使(1)为所写结论的一个特例.并证明你写的结论.答案解析1.【解析】由向量的概念知(1)正确.相等向量不但模相等，方向也必须相同，(2)错；当a 与b 的方向不同时，a b,≠(3)错.相等向量的模相等，(4)正确.答案：(1)(4)【变式备选】在以下各命题中，假命题的个数为______. ①|a b |=是a b =的必要不充分条件 ②“a b ”是“a b =”的充分不必要条件 ③若|a b a b |,-=+则b 0=【解析】∵a b 、方向不同⇒a b ≠； ∴仅有|a b |a b;=⇒=但反过来，有a b |a b |.=⇒= 故命题①是正确的.∵a b a b,a b a b ⇒==⇒而，故②不正确.∴2|b |0,|b |0,b 0=∴=∴=，故命题③正确.综上所述，4个命题中，只有②是错误的.答案：12.【解析】∵m a n b a 3b +-与共线，即∴m 0,3n 0-λ=⎧⎨λ+=⎩即λ=m,n n m 1,m ,.33n 3λ=-∴=-=- 答案：13-3.【解析】OC OB BC OB 2AC OB 2(OC OA),OC 2OA OB.=+=+=+-∴=-答案：2OA OB -4.【解析】由MA MB MC 0++=知：点M 是三角形ABC 的重心，设点D 为BC 的中点，则AB AC 2AD 3AM +==，又AB AC m AM 0,++=所以m=-3.答案：-35.【解析】因为BC4=，所以AB AC+=-==+=，而，AB AC CB4AB AC2AM故AM 2.=答案：26.【解题指南】可以由M、N的特殊位置求m、n的值.【解析】由MN的任意性可用特殊位置法：当MN与BC重合时知m=1,n=1,故m+n=2.答案：27.【解析】AC AF AC CD AD2BC+=+==，∴①对；取AD的中点O，则AD2AO2AB2AF==+，∴②对；显然③④正确.答案：①②③④8.【解析】由题意知3OB OA2OC,=+所以12=+OB OA OC,33所以12+==+，OA AB OB OA OC33所以22AB(OC OA)AC AB AC=-=，与共线.33答案：29.【解题指南】本题可利用向量的加法、减法法则并结合图形得以解答.【解析】(1)AC OC OA c a=-=-；(2)AD AO OD OA OD a d=+=-+=-+；(3)AD AB BD OD OB d b-==-=-；(4)AB CF OB OA OC OF b a c f+=--+=--+；(5)BF BD DF DO OF d f.-==+=-+10.【解题指南】对向量a,b 分共线、不共线讨论.【解析】若两向量共线，则由于a,b 是非零向量且|a b b |-=，则必有a 2b =，∴|2b ||a 2b |0-=＞；若两向量不共线，注意到向量模的几何意义，故可以构造如图所示的三角形，使其满足OB=AB=BC ，令OA a,OB b,==则BA a b,=-∴CA a 2b =-且|a b b |-=，又BA+BC>AC ， 综上：|2b a 2b |.>-11.【解析】由PA PB PC AB ++=得PA PC AB PB,+=-即PA PC AB BP AP,+=+= ∴PC 2AP,=即P 为线段AC 的一个三等分点，同理可得Q 、R 的位置，∴△PQR 的面积为△ABC 的面积减去三个小三角形的面积，所以所求面积比为213913.1-⨯=∶【方法技巧】向量在平面几何中的应用技巧平面向量的知识在解决平面几何中的问题时应用非常广泛：利用共线向量定理，可以证明点共线，两直线平行，并进而判定一些特殊图形；利用向量的模，可以说明线段间的长度关系，并进而求解图形的面积.在后续内容中，向量的应用将更广泛.要注意图形中的线段、向量是如何相互转化的.【探究创新】【解题指南】(1)把向量12OA ,OA 都用向量OA OB ，表示；(2)解题思路同(1)，答案不唯一.【解析】(1)∵11AA AB,3=同理22OB OA OA ,3+=则12OB 2OA 2OB OA OA OA OA OB.33+++=+=+ (2)一般结论为 证明：∵k k AA AB,n = 而n k n k n k OA OA AA OA AB n ---=+=+ 注：也可以将结论推广为 12n 1n 1OA OA OA (OA OB)2--++⋯+=+，证明类似，证明略.。