2015年上海市普陀区高三数学三模调研卷文科试题

上海市浦东新区2015届高考数学三模试卷（文科）一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）若集合A={x|1≤x≤3}，集合B={x|x＜2}，则A∩B=．2．（4分）函数f（x）=x2，（x＜﹣2）的反函数是．3．（4分）过点（1，0）且与直线2x+y=0垂直的直线的方程．4．（4分）已知数列{a n}为等比数列，前n项和为S n，且a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q=．5．（4分）如果复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2（i是虚数单位），则|z|的最大值为．6．（4分）函数y=cos2x的单调增区间为．7．（4分）三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为﹣10，则k=．8．（4分）设F1、F2是双曲线x2﹣=1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的周长．9．（4分）设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=1，球心到该平面的距离是球半径的倍，则球的体积是．10．（4分）从3名男生和4名女生中选出4人组成一个学习小组．若这4人中必须男女生都有的概率为．11．（4分）数列{a n}中，且a1=2，则数列{a n}前2015项的积等于．12．（4分）若，，均为平面单位向量，且+﹣=（，），则=．13．（4分）已知P（x，y）满足约束条件，O为坐标原点，A（3，4），则||•cos∠AOP 的最大值是．14．（4分）记符号min{c1，c2，…，c n}表示集合{c1，c2，…，c n}中最小的数．已知无穷项的正整数数列{a n}满足a i≤a i+1，（i∈N*），令b k=min{n|a n≥k}，（k∈N*），若b k=2k﹣1，则数列{a n}前100项的和为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（）A．系数行列式D≠0B．比例式C．向量不平行D．直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行16．（5分）用符号（x]表示不小于x的最小整数，如（π]=4，（﹣1.2]=﹣1．则方程（x]﹣x=在（1，4）上实数解的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．317．（5分）已知P为椭圆+y2=1的左顶点，如果存在过点M（x0，0）（x0＞0）的直线交椭圆于A、B两点，使得S△AOB=2S△AOP，则x0的取值范围是（）A．（1，] B．2．（4分）函数f（x）=x2，（x＜﹣2）的反函数是．考点：反函数．专题：导数的概念及应用．分析：直接利用反函数的定义求解即可．解答：解：函数f（x）=x2，（x＜﹣2），则y＞4．可得x=，所以函数的反函数为：．故答案为：．点评：本题考查反函数的定义的应用，考查计算能力．3．（4分）过点（1，0）且与直线2x+y=0垂直的直线的方程x﹣2y﹣1=0．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：方法一，利用两条直线互相垂直，斜率之积等于﹣1，求出垂线的斜率，再求垂线的方程；方法二，根据两条直线互相垂直的关系，设出垂线的方程，利用垂线过某点，求出垂线的方程．解答：解：方法一，直线2x+y=0的斜率是﹣2，则与这条直线垂直的直线方程的斜率是，∴过点（1，0）且与直线2x+y=0垂直的直线方程为y﹣0=（x﹣1），即x﹣2y﹣1=0；方法二，设与直线2x+y=0垂直的直线方程为x﹣2y+a=0，且该垂线过过点（1，0），∴1×1﹣2×0+a=0，解得a=﹣1，∴这条垂线的直线方程为x﹣2y﹣1=0．故答案为：x﹣2y﹣1=0．点评：本题考查了直线方程的求法与应用问题，也考查了直线垂直的应用问题，是基础题目．4．（4分）已知数列{a n}为等比数列，前n项和为S n，且a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q=3．考点：等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：已知两式相减结合等比数列的求和公式可得．解答：解：∵a5=2S4+3，a6=2S5+3，∴两式相减可得a6﹣a5=2（S5﹣S4），∴a6﹣a5=2a5，∴a6=3a5，∴公比q==3故答案为：3．点评：本题考查等比数列的求和公式和通项公式，属基础题．5．（4分）如果复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2（i是虚数单位），则|z|的最大值为1．考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的几何意义，直接求解即可．解答：解：复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2（i是虚数单位），复数z的几何意义是到虚轴上的点到（0，1），（0，﹣1）的距离之和，|z|的最大值为：1，故答案为：1．点评：本题考查复数的几何意义，复数的模的求法，考查计算能力．6．（4分）函数y=cos2x的单调增区间为（k∈Z）．考点：二倍角的余弦；余弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：由二倍角的余弦函数公式可得y=cos2x+，由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z可解得单调增区间．解答：解：∵y=cos2x=cos2x+，∴由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z可解得单调增区间为：（k∈Z），故答案为：（k∈Z）点评：本题主要考查了二倍角的余弦函数公式的应用，考查了余弦函数的单调性，属于基本知识的考查．7．（4分）三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为﹣10，则k=﹣14．考点：三阶矩阵．专题：计算题．分析：根据余子式的定义可知，在行列式中划去第2行第1列后所余下的2阶行列式带上符号（﹣1）i+j为M21，求出其表达式列出关于k的方程解之即可．解答：解：由题意得M21=（﹣1）3=2×2+1×k=﹣10解得：k=﹣14．故答案为：﹣14．点评：此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，是一道基础题．8．（4分）设F1、F2是双曲线x2﹣=1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的周长24．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先由双曲线的方程求出|F1F2|=10，再由3|PF1|=4|PF2|，运用双曲线的定义，求出|PF1|=8，|PF2|=6，由此能求出△PF1F2的周长．解答：解：双曲线x2﹣=1的a=1，c==5，两个焦点F1（﹣5，0），F2（5，0），即|F1F2|=10，由3|PF1|=4|PF2|，设|PF2|=x，则|PF1|=x，由双曲线的定义知，x﹣x=2，解得x=6．∴|PF1|=8，|PF2|=6，|F1F2|=10，则△P F1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=8+6+10=24．故答案为：24．点评：本题考查双曲线的定义和性质的应用，考查三角形周长的计算，属于基础题．9．（4分）设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=1，球心到该平面的距离是球半径的倍，则球的体积是．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：设出球的半径，球心到该平面的距离是球半径的倍，结合ABCD的对角线的一半，满足勾股定理，求出R即可求球的体积．解答：解：设球的半径为R，由题意可得∴R=，∴球的体积是：=．故答案为：．点评：本题考查球的体积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．10．（4分）从3名男生和4名女生中选出4人组成一个学习小组．若这4人中必须男女生都有的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：由排列组合的知识易得总数为35，不符合的有1个，由对立事件的概率公式可得．解答：解：从7人中任选4人有==35种选法，这4人中只有女生的共有=1种，∴这4人中必须男女生都有的共34种，∴所求概率P=故答案：点评：本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．11．（4分）数列{a n}中，且a1=2，则数列{a n}前2015项的积等于3．考点：数列的求和；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过计算出数列前几项的值，判断该数列为周期数列，进而可得结论．解答：解：∵且a1=2，∴a2===﹣3，a3===﹣，a4===，a5===2，不难发现数列{a n}是周期数列，四个为一周期且最前四个乘积为=1，∵2015=503×4+3，∴数列{a n}前2015项的积为：=3，故答案为：3．点评：本题考查求数列的前n项的乘积，找出其周期是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．12．（4分）若，，均为平面单位向量，且+﹣=（，），则=（﹣，﹣）．考点：平面向量坐标表示的应用．专题：平面向量及应用．分析：根据，，均为平面单位向量，且+﹣=（，），则可推得==（，），=（﹣，﹣），问题得以解决．解答：解：，，均为平面单位向量，且+﹣=（，），∵（）2+（）2=1，∴（，）是一个单位向量，∵=+﹣（﹣），=+﹣（），∴==（，），=（﹣，﹣），故答案为：（﹣，﹣）．点评：本题考查了向量的坐标运算和单位向量，属于基础题．13．（4分）已知P（x，y）满足约束条件，O为坐标原点，A（3，4），则||•cos∠AOP 的最大值是．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据约束条件画出可行域，利用向量的数量积将||•cos∠AOP转化成，设z=，再利用z的几何意义求最值解答：解：在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的可行域（如图），由于||•cos∠AOP====，令 z=（3x+4y），则3x+4y=5z，平移直线3x+4y=0，由图形可知，当直线经过可行域中的点B时，直线3x+4y=5z的截距最大，此时z取到最大值，由，解得x=1，y=2，即B（1，2），代入 z=（3x+4y）==所以||•cos∠AOP的最大值为故答案为：点评：本题主要考查了向量的数量积、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．14．（4分）记符号min{c1，c2，…，c n}表示集合{c1，c2，…，c n}中最小的数．已知无穷项的正整数数列{a n}满足a i≤a i+1，（i∈N*），令b k=min{n|a n≥k}，（k∈N*），若b k=2k﹣1，则数列{a n}前100项的和为2550．考点：数列的求和．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过分析可得a2k﹣1=a2k=k，利用等差数列的求和公式计算即得结论．解答：解：根据题意可得：a1≥1，a3≥2，…，a2k﹣1≥k，又∵无穷项的正整数数列{a n}满足a i≤a i+1，（i∈N*），∴a2k﹣1=a2k=k，∴1+1+2+2+3+3+…+49+49+50+50=2×（1+2+3+…+49+50）=2×=2550，故答案为：2550．点评：本题考查求数列的和，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（）A．系数行列式D≠0B．比例式C．向量不平行D．直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，即可得到A，B，C为充要条件，对于选项的，直线分共面和异面两种情况．解答：解：当两直当两直线共面时，直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行，二元一次方程组存在唯一解当两直线异面，直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行，二元一次方程组无解，故直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行是二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件．故选：D．点评：本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，以及空间两直线的位置关系，属于基础题．16．（5分）用符号（x]表示不小于x的最小整数，如（π]=4，（﹣1.2]=﹣1．则方程（x]﹣x=在（1，4）上实数解的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据定义分别讨论x的取值范围，解方程即可．解答：解：若1＜x≤2，则（x]=2，由（x]﹣x=得2﹣x=，即x=，若2＜x≤3，则（x]=3，由（x]﹣x=得3﹣x=，即x=，若3＜x＜4，则（x]=4，由（x]﹣x=得4﹣x=，即x=，故方程（x]﹣x=在（1，4）上实数解的个数为3个，故选：D．点评：本题主要考查方程根的个数的判断，根据定义利用分类讨论是解决本题的关键．17．（5分）已知P为椭圆+y2=1的左顶点，如果存在过点M（x0，0）（x0＞0）的直线交椭圆于A、B两点，使得S△AOB=2S△AOP，则x0的取值范围是（）A．（1，] B．分析：如图所示，设直线AB的方程为：ty=x﹣x0，A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆方程联立化为（4+t2）y2﹣2tx0y+﹣4=0．△＞0．由于S△AOP==y1，S△AOB=．S△AOB=2S△AOP，可得2y1=．再利用根与系数的关系可得：t2=．令m=x0，f（m）=m4﹣4m3+16m﹣16，（m∈（0，2）），利用导数研究其单调性即可得出．解答：解：如图所示，设直线AB的方程为：ty=x﹣x0，A（x1，y1），B（x2，y2），（y1＞y2，y1＞0）．联立，化为（4+t2）y2﹣2tx0y+﹣4=0．∴△=﹣4＞0，∴y1+y2=，①y1y2=，②S△AOP==y1，S△AOB=．∵S△AOB=2S△AOP，∴2y1=．化为，代入①可得：y1=，∴y2=，∴•=，化为t2=．（*）令m=x0，f（m）=m4﹣4m3+16m﹣16，（m∈（0，2）），f′（m）=4m3﹣12m2+16=4（m﹣2）2（m+1），∴函数f（m）在m∈（0，2）单调递增，又f（0）=﹣16，f（1）=﹣3，f（2）=0，因此要使（*）有解，则1＜m＜2，即x0∈（1，2）．故选：C．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、三角形面积计算公式、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．18．（5分）在圆锥PO中，已知高PO=2，底面圆的半径为1；根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，其中点M为所在母线的中点，O为底面圆的圆心，对于下面四个命题，正确的个数有（）①圆的面积为；②椭圆的长轴长为；③双曲线两渐近线的夹角为arcsin；④抛物线上的点，其焦点到准线的距离为．A．1 个B．2 个C．3个D．4个考点：命题的真假判断与应用．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：①由点M是母线的中点，可得截面圆的半径r=，得出面积，即可判断出正误；②椭圆的长轴长=，即可判断出正误；③在与截面PAB的平面垂直且过点M的平面内建立直角坐标系，不妨设双曲线的标准方程为（a，b＞0），取M（1，0），即a=1，把点代入解得b，可得=，设双曲线两渐近线的夹角为2θ，可得tan2θ，可得sin2θ，即可判断出正误；④建立直角坐标系，不妨设抛物线的标准方程为y2=2px，把点代入解出即可．解答：解：①∵点M是母线的中点，∴截面圆的半径r=，因此面积==，正确；②椭圆的长轴长==，因此不正确；③在与截面PAB的平面垂直且过点M的平面内建立直角坐标系，不妨设双曲线的标准方程为（a，b＞0），取M（1，0），即a=1，把点代入可得：=1，解得b=，∴=，设双曲线两渐近线的夹角为2θ，∴tan2θ==，∴sin2θ=，因此双曲线两渐近线的夹角为arcsin；④建立直角坐标系，不妨设抛物线的标准方程为y2=2px，把点代入可得：，解得p=，∴抛物线中焦点到准线的距离p为，正确．综上可得：只有②③④正确．故选：C．点评：本题考查了圆锥曲线的原始定义、标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，CE为圆O的直径，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面，且AE=1（1）求异面直线CB与DE所成角的大小；（2）将△ACD（及其内部）绕AE所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）说明∠ADE为异面直线CB与DE所成的角，在Rt△AED中，求解即可．（2）所求问题实际是将△ACD（及其内部）绕AE所在直线旋转一周形成一几何体的体积是两圆锥的体积之差．求解即可．解答：解：（1）因为CB∥DA，AE⊥DE垂直于圆AE⊥DE所在平面，所以AE⊥DE，所以，∠ADE为异面直线CB与DE所成的角…2分在Rt△AED中，AE=1，DA=2，所以，得，即异面直线CB与DE所成的角为．…5分（2）由题意知，将△ACD（及其内部）绕AE所在直线旋转一周形成一几何体的体积是两圆锥的体积之差．因为异面直线CB与DE所成的角为，且CB∥DA，所以，…7分又因为AE=1，所以，在Rt△AED中，，DA=2…9分因为CE为圆O的直径，所以，在Rt△CDE中，CD=DA=2，，所以…10分所以该几何体的体积…12分．点评：本题考查几何体的体积的求法，异面直线所成角的求法，考查计算能力．20．（14分）如图在半径为5cm的圆形的材料中，要截出一个“十字形”ABCDEFGHIJKL，其为一正方形的四角截掉全等的小正方形所形成的图形．（O为圆心）（1）若要使截出的“十字形”的边长相等（DE=CD）（图1），此时边长为多少？（2）若要使截出的“十字形”的面积为最大（图2），此时∠DOE为多少？（用反三角函数表示）考点：根据实际问题选择函数类型．专题：综合题；三角函数的求值．分析：（1）当“十字形”的边长相等时，过O作OM⊥DE交DE于E，作CN⊥OM交OM于N．设该“十字形”的边长为2x，则DM=x，OM=3x．在Rt△OMD中，由勾股定理得边长；（2）过O作OM⊥DE交DE于E，作CN⊥OM交OM于N，求出面积，即可得出结论．解答：解：（1）当“十字形”的边长相等时，过O作OM⊥DE交DE于E，作CN⊥OM交OM于N．设该“十字形”的边长为2x，则DM=x，OM=3x．在Rt△OMD中，由勾股定理得，…5分所以，边长…6分（2）过O作OM⊥DE交DE于E，作CN⊥OM交OM于N．设∠DOM=θ，则OM=5cosθ，DM=5sinθ．∴ON=CN=5sinθ，NM=5cosθ﹣5sinθ．…8分∴“十字形”的面积为S=（2OM）2﹣4（NM）2=100cos2θ﹣100（cosθ﹣sinθ）2=（其中或） (10)分∴当时，…12分此时，或…14分．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（14分）设函数f（x）对任意x∈R，都有f（2x）=a•f（x），其中a为常数．当x∈分析：（1）根据x的范围，得到的范围，由f（2x）=a•f（x），令x=，得到f（x）=a2f （），再代入即可得到f（x）的解析式；（2）由于…6分（2）由于；且（0，1]⊇（0，a2]⊇（0，a4]⊇…⊇（0，a2k]⊇…10分当n为奇数时，f（x）在…14分．点评：本题考查了函数的解析式的求法和函数的值域的求法，由于•=0，即ax2﹣y2=4a﹣1或ax2+y2=4a+1（a＞0），即有当a=时，表示两条相交直线和椭圆；当a=1时，表示双曲线和圆；当a且a≠1时，表示双曲线和椭圆．点评：本题考查轨迹方程的求法，以及方程表示的轨迹，同时考查直线和圆、椭圆和双曲线的方程，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，。

上海市普陀区2015届高三数学第三次模拟调研考试试题 文（含解析）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分. 1.设复数(1)z i i =+，i 为虚数单位，则z 的共轭复数z =_________. 【答案】i --1考点：复数的运算及共轭复数的概念.2.已知幂函数)(x f y =图像过点（，则该幂函数的值域是_____________. 【答案】[0,)+∞ 【解析】试题分析：设幂函数的解析式为αx y =因为幂函数)(x f y =图像过点（，所以21,22=∴=αα，所以该幂函数的解析式为0≥=x y . 考点：幂函数的定义及值域.3.设向量(1,2)a =-，(3,4)b =，则向量a 在向量b 上的投影为 . 【答案】-1考点：向量的投影.4.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤->-=)0(1)0(log )(22x x x x x f ，则不等式0)(>x f 的解集为_________.【答案】(1,1)-考点：解不等式. 5.若二元一次线性方程组346x ay ax y +=⎧⎨+=⎩无解，则实数a 的值是__________.【答案】-2 【解析】试题分析：二元一次线性方程组346x ay ax y +=⎧⎨+=⎩无解，则直线x+ay=3与ax+4y=6平行，则6341≠=a a 解得2-=a . 考点：二元一次方程组的解法. 6.若02x π≤≤，则函数cos()sin()26y x x ππ=-+的最大值是___________.考点：求最大值.7.已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是 2cm ．【解析】试题分析：球的半径是1cm ，则它的体积ππ341343=⨯=V ,设圆锥的高为h ，由题意h 213134⨯=ππ，解得4=h ，则圆锥的母线长为,174122=+=l 所以圆锥的侧面积是=rl π.考点：求圆锥的侧面积.8.已知7270127()x m a a x a x a x -=++++，其中435a =-，m R ∈，则01237a a a a a +++++= ．【答案】0考点：二项式定理的应用.9.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点P 作PE l ⊥于E ，若直线EF的一个方向向量为，则||PF =______． 【答案】4 【解析】试题分析：P 是抛物线上一点，所以可设点P 的坐标为),4(2y y ，则),1(y E -，又因为F )0,1(，所以),,2(y -=直线EF 的一个方向向量为，所以32,32-==-y y ，所以)32,3(-p ，所以),32,2(-=所以4)32()2(||22=+-=PF ，所以||PF =4.考点：求线段的长度.10.已知双曲线22:1916x y C -=的左、右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于___________.【答案】48考点：求三角形的面积.11.函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数(1)1f -=，，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则(0)(1)(2)(2015)f f f f ++++的值是___ __.【答案】2031120 【解析】试题分析：因为(1)(1)()xf x x f x +=+，所以)(1)1(,0,0)0(x f xx x f x f +=+≠=，由题意=)1(f (1)1f -=，所以n n f f f f f =====)(,3)2(23)3(,2)1(2)2( ，20311202)20150(201620153210)2015()2()1()0(=+=+++++=++++ f f f f .考点：抽象函数.12.若矩阵a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭的元素为随机从1、2、4、8中选取的4个不同数值，则对应的行列式a b c d 的值为正数的概率为__________. 【答案】13考点：行列式与概率.13.设,x y 满足约束条件：32020,0,0x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥≥⎩若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为2，则a bab+的最小值为 .【答案】【解析】试题分析： 画出32020,0,0x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥≥⎩的可行域易得A(0，0),B(23，0),C(2,4),易得直线a zy x b b=-+(0,0)a b >>过点C 时目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为2，即24b 2a +=，11112()(2)33a b a b a b ab a b a b b a +=+=++=++≥+,当且仅当212a b a b b a +=⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，所以答案为考点：线性规划.14.已知集合=n A ｛()0|,,,21=j n a a a a 或1，12,(2)}j n n =≥，，，，对于,n U V A ∈，(,)d U V 表示U 和V 中相对应的元素不同的个数，若给定n U A ∈，则所有的(,)d U V 和为__________. 【答案】12n n -【解析】试题分析：由题意可得集合=n A ｛()0|,,,21=j n a a a a 或1，12,(2)}j n n =≥，，，中，共有2n个元素，记为123(1,2.3,4,,2),V (b ,,,)n k n V k b b b ==，b 0i =的k V 共有12n -个，b 1i =的k V 共有12n -个，111122(,)2(|0||1||0||1||0||1|)n 2n n n n d U V a a a a a a --∴=-+-+-+-++-+-=⨯.故答案为1n 2n -⨯.考点：推理与证明.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. “0a b +>”是“任意的[]0,1x ∈，0ax b +>恒成立”的……………………………（ ）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 【答案】C考点：充分必要条件的判断.16.若0||2=+⋅，则ABC ∆为………………………………………………（ ） A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【答案】B 【解析】试题分析：由题意0||2=+⋅，可得()0AB BC AB AB AB BC AB AB AC ⋅+⋅=⋅+=⋅=，所以00,,90AB AC AB AC BAC ⋅=∴⊥∴∠=,所以ABC ∆为直角三角形 .考点：三角形形状的判断.17.函数ln |1|y x =-的图像与函数cos (24)y x x π=--≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于……………………………………………………………………………………（ ） A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】A【解析】试题分析：函数ln |1|y x =-的图像关于直线x=1对称，函数cos (24)y x x π=--≤≤的图像也关于直线x=1对称，画出图像，两图像共有6个交点，关于直线x=1对称，所以它们的交点的横坐标之和等于6. 考点：对数函数与余弦函数的图象与性质.18.已知x 、y 均为实数，记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y≥⎧=⎨<⎩.若i 表示虚数单位，且11a x y i =+，22,b x y i =+1122,,,x y x y R ∈，则…………（ ） A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤ B.max{||,||}max{||,||}a b a b a b +-≤ C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+ D.2222max{||||}||||a b a b a b +-≥+，【答案】D考点：复数的几何意义.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.已知函数21()21x x f x -=+.（1）求函数()f x 的零点，并求反函数1()f x -； （2）设21()2log x g x k +=，若不等式1()()f x g x -≤在区间12[,]23上恒成立，求实数k 的范围.【答案】（1）0，121()log 1x f x x -+=-(11)x ∈-，,（2）0k <≤【解析】试题分析：(1)函数的零点即求当y=0时，x 的值；反函数的实质是x 与y 的互换；(2)对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1）()()max x f a x f a ≥⇔≥恒成立，（2）()()min x f a x f a ≤⇔≤恒成立试题解析：（1）函数()f x 的零点是0x =，（2分）反函数121()log 1xf x x-+=-，(11)x ∈-，,（6分），考点：零点，反函数恒成立问题.20.（本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，已知正四棱柱ABCD A B C D １１１１－中，底面边长2AB =，侧棱1BB 的长为4，过点B 作1B C 的垂线交侧棱1CC 于点E ，交1B C 于点F .（1）求证：1AC ⊥平面BDE ； （2）求三棱锥C BDE -的体积.【答案】（1）答案见解析（2）23【解析】试题分析：（1）证明线线垂直一般要通过证明线面垂直，线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.(2) 在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算.试题解析：（1）连接AC,因为正四棱柱所以 11BD AC BD BD AA AC AA A⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭=平面11A AC BD AC ⇒⊥；（3分）同理可得1111111BE B C BE BE A B B CA B B ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭=平面111A B C BE AC ⇒⊥；又因为BDBE B =所以1AC ⊥平面BDE . （6分） （2）容易得到1CE =，（8分） 所以112122323C BDE E BDC V V --==⨯⨯⨯⨯=.（14分） 考点：线线垂直及三棱锥的体积.21.（本题满分14分） 本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.如图，某污水处理厂要在一个矩形ABCD 的池底水平铺设污水净化管道（直角EFG ∆，E 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口E 是AB 的中点，,F G 分别落在,AD BC上，且20,AB m AD ==,设GEB θ∠=.（1）试将污水管道的长度l 表示成θ的函数，并写出定义域；（2）当管道长度l 为何值时，污水净化效果最好，并求此时管道的长度.D AF【答案】（1）11110(+),[,]sin cos sin cos 63l ππθθθθθ=+∈；（2）max 1)m l =试题解析：（1）因为101010,,F cos sin sin cos EG EF G θθθθ===，（3分） 11110(+),[,]sin cos sin cos 63l ππθθθθθ=+∈ （6分） （2）1sin cos 10sin cos l θθθθ++=，令sin cos )4t πθθθ=+=+∈，（8分） 所以201l t =-在上减，（10分） 所以当6πθ=或3π时，max 1)l = （13分） 答：当6πθ=或3π时，max 1)m l =.（14分） 考点：利用三角函数解应用题.22.（本题满分16分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分6分.对于给定数列{}n c ，如果存在实常数,p q ，使得1(0)n n c pc q p +=+≠对于任意的*n N ∈都成立，我们称这个数列{}n c 是“M 类数列”.（1）若*2,32,n n n a n b n N ==⋅∈，判断数列{},{}n n a b 是否为“M 类数列”,并说明理由； （2）若数列{}n a 是“M 类数列”，则数列1{}n n a a ++、1{}n n a a +⋅是否一定是“M 类数列”，若是的，加以证明；若不是，说明理由；（3）若数列{}n a 满足：*111,32()n n n a a a n N +=+=⋅∈，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S 的表达式，并判断{}n a 是否是“M 类数列”.【答案】（1）是；（2）112(2,)23(21,n n n n k k Z S n k k Z ++⎧=∈⎪=⎨-=-∈⎪⎩-2，，），不是【解析】试题分析：(1)对于数列的新定义，一定要明确满足什么条件是M 类数列，然后解析判断，（2）由*111,32()n n n a a a n N +=+=⋅∈如何求n S ，分n 为偶数与n 为奇数两种情况，注意把1n n a a ++看做整体对待，进行求和，由n S 进一步求出n a ，在根据新定义判断{}n a 是否是“M 类数列”.试题解析：（1）因为12n n a a +=+，12p q ==，是“M 类数列”，（2分）12n n b b +=，20p q ==，是“M 类数列”（4分）.（2）因为{}n a 是“M 类数列”，所以1n n a pa q +=+，2+1n n a pa q +=+，所以121+()2n n n n a a p a a q +++=++，因此，1{}n n a a ++是“M 类数列”.（7分）因为{}n a 是“M 类数列”，所以1n n a pa q +=+，2+1n n a pa q +=+，所以221211()()n n n n n n a a p a a pq a a q ++++=+++，当0q =时，是“M 类数列”；（9分）当0q ≠时，不是“M 类数列”；（10分）假设{}n a 是“M 类数列”，当n 为偶数时，1121(21)2,3n n n n a pa q p q p q ++=-=+=++⇒==-，当n 为奇数时，1121(21)2,3n n n n a pa q p q p q ++=+=+=-+⇒==，得出矛盾，所以{}n a 不是“M 类数列”.（16分）考点：数列的新定义.23.（本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.如图,已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ,长轴均为MN 且在x 轴上,短轴长分别为2m ,2n ()m n >,过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ,2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A 、B 、C 、D .记m nλ=,BDM ∆和ABN ∆的面积分别为1S 和2S . （1）当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,求λ的值；；（2）设直线:(0)l y kx k =>，若123S S =，证明：,B C 是线段AD 的四等分点（3）当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=?并说明理由.【答案】(1)1λ=+;(2)证明见解析；（3） 当1λ>+时,20k >,存在这样的直线l ;当11λ<≤+时,20k ≤,不存在这样的直线l .【解析】试题分析：（1）解决有关椭圆问题时，注意椭圆的对称性得应用；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式∆：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.（3）设椭圆()22122:1x y C a m a m +=>,22222:1x y C a n+=,直线l :(0)y kx k =≠22221y kx x y a m =⎧⎪⎨+=⎪⎩222222a m x m a k ⇒=+ 即222222A a m x m a k =+ （12分） 同理可得,222222B a nx n a k =+又BDM ∆和ABN ∆的高相等12B D B AA B A BS x x x x BD S AB x x x x -+∴===--若存在非零实数k 使得12S S λ=,则有()()11A B x x λλ-=+,即()()222222222211n a k n a k λλλλ-+=++,解得()()2322224211n k a λλλλ=--+ （16分） ∴当1λ>+时,20k >,存在这样的直线l ;当11λ<≤+时,20k ≤,不存在这样的直线l . （18分） 考点：椭圆的综合问题.。

普陀区2015学年第二学期高三质量调研政治参考答案二、简答题（共32分）31、（1）“一带一路”对展现世界文化的多样性具有独特作用，我国政府主张，文化上互相借鉴、求同存异，尊重世界的多样性，共同促进人类共同繁荣。

（2分）（2）国际关系角度：（3分）中国外交的大国自信源于对时代潮流的判断与各国共同利益的把握。

当今时代的主题是和平与发展，中国通过“一带一路”战略，以和平的方式组建利益共同体，实现互利共赢，符合各国人民的利益。

中国外交的大国自信源于我国综合国力的增强。

中国在国际舞台上的话语权不断提高，在国际和地区事务上发挥着越来越重要的作用。

中国实力的增强使中国有能力开展更加积极主动的外交，在国际中发挥更大的作用。

对外政策角度：（3分）答案示例：中国外交的大国自信源于对中国特色社会主义道路自信。

我国人民民主专政的国家性质、独立自主的和平外交政策使我国实现了和平发展，取得了巨大成就。

我们相信和平发展道路也必将赢得世界各国的支持。

32、（1）答案示例：党领导人民创造、发展社会主义协商民主，践行全心全意为人民服务的宗旨，坚持民主执政、科学执政，不断提高党的领导水平和执政水平，促进决策的民主化、科学化。

（3分）党领导人民创造、发展社会主义协商民主，向人民群众宣传党的路线、方针和政策，把党的主张变成人民群众的自觉行动，把亿万人民群众建设社会主义的积极性充分调到和发挥出来，同心同德地为全面建设小康社会和实现社会主义现代化的宏伟目标而奋斗。

（3分）党领导人民创造、发展社会主义协商民主，自觉接受人民群众的监督，保持党同人民群众的血肉联系，更好实现人民当家作主的权利，巩固党的执政地位。

（3分）（2）答案示例：（原理方法论3分，分析材料2分）人民群众是历史的创造者，人民群众是社会实践的主体。

坚持群众观点和群众路线，发展社会主义协商民主，才能自觉站在最广大人民的立场上，把人民群众的利益作为最高的价值判断标准，实现好、维护好、发展好人民的根本利益。

2015学年第二学期普陀区高三数学质量调研卷2016.4 考生注意:1. 答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2. 本试卷共有23题，满分150分，考试时间120分钟.3. 本试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸相应位置，本卷上的任何解答都不作评分依据. 一 填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题及纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 若集合{}R x x y x A ∈-==,1|，{}R x x x B ∈≤=,1|||，则=B A .2. 若函数xx f 11)(+=()0>x 的反函数为)(1x f -，则不等式2)(1>-x f 的解集为 . 3.【理科】若53sin =α且α是第二象限角，则=⎪⎭⎫⎝⎛-42cot πα . 【文科】【理科】若53sin =α且α是第二象限角，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πα .4. 若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，则=)2016(f .5. 在831⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，其常数项的值为 .6.若函数x x f 2sin )(=，⎪⎭⎫⎝⎛+=6)(πx f x g ，则函数)(x g 的单调递增区间为 . 7.【理科】设P 是曲线⎪⎩⎪⎨⎧==θθtan sec 22y x （θ为参数）上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹的普通方程为 .【文科】设P 是曲线1222=-y x 上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹 方程为 .8.【理科】在极坐标系中，O 为极点，若⎪⎭⎫ ⎝⎛6,1πA ，⎪⎭⎫⎝⎛32,2πB ，则△AOB 的面积为 . 【文科】不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+≤0203y x y x x 所表示的区域的面积为 .9.【理科】袋中装有5只大小相同的球，编号分别为5,4,3,2,1，现从该袋中随机地取出3只，被取出的球中最大的号码为ξ，则=ξE .【文科】袋中装有5只大小相同的球，编号分别为5,4,3,2,1，若从该袋中随机地取出3只，则被取出的球 的编号之和为奇数的概率是 （结果用最简分数表示）.10．若函数x x f 5log )(=（0>x ），则方程1)3()1(=-++x f x f 的解=x .11.某同学用球形模具自制棒棒糖.现熬制的糖浆恰好装满一圆柱形容器（底面半径为3cm ，高为10cm ），共做了20颗完全相同的棒棒糖，则每个棒棒糖的表面积为 2cm （损耗忽略不计）. 12. 如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33C B 上有10个不同的点1021,,,P P P ，记i i AP AB M ⋅=2 （10,,2,1 =i ），则=+++1021M M M .13．设函数⎩⎨⎧>-≤+=-0),1(0,2)(x x f x a x f x ，记x x f x g -=)()(，若函数)(x g 有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是 .14. 已知*N n ∈，从集合{}n ,,3,2,1 中选出k （N k ∈,2≥k ）个数k j j j ,,,21 ，使之同时满足下面两个条件：①n j j j k ≤<<≤ 211； ②m j j i i ≥-+1（1,,2,1-=k i ），则称数组()k j j j ,,21为从n 个元素中选出k 个元素且限距为m 的组合，其组合数记为()m k nC ,. 例如根据集合{}3,2,1可得()31,23=C .给定集合{}7,6,5,4,3,2,1，可得()=2,37C .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. 若a 、b 表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题为（ ） （A ）若α⊥a ，b a ⊥，则α//b （B ）若α//a ，b a ⊥，则α⊥b （C ）若α⊥a ，α⊆b ，则b a ⊥ （D ）若α//a ，α//b ，则b a //16.过抛物线x y 82=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线（ ）（A ）有且只有一条 （B ）有两条 （C ）有无穷多条 （D ）必不存在 17.若z C ∈，则“1Im ,1Re ≤≤z z ”是“1||≤z ”成立的 条件.（ ）（A ）充分非必要 （B ）必要非充分 （C ）充要 （D ）既非充分又非必要18. 对于正实数α，记αM 是满足下列条件的函数)(x f 构成的集合：对于任意的实数R x x ∈21,且21x x <，都有()()121212)()(x x x f x f x x -<-<--αα成立.下列结论中正确的是（ ）（A ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα⋅∈⋅M x g x f （B ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且0)(≠x g ，则21)()(ααM x g x f ∈ （C ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα+∈+M x g x f（D ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且21αα>，则21)()(αα-∈-M x g x f三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分） 【文科】在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为1，体积为2，E 为AB 的中点，证明：E A 1与B C 1是异面直线，并求出它们所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.【理科】在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为1，B C 1与底面ABCD 所成的角的大小为2arctan ，如果平面11C BD 与底面ABCD所成的二面角是锐角，求出此二面角的大小（结果用反三角函数值）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 【理科】已知函数x x x f cos 3sin 2)(⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=π 【文科】已知函数)(x f x x x 2cos 3cos sin += （1）若20π≤≤x ，求函数)(x f 的值域；（2）设ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若A 为锐角且23)(=A f ，2=b ，3=c ，求)cos(B A -的值.1 AA1A21.（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分，某企业参加A 项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元.根据现实的需要，从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润⎪⎭⎫⎝⎛-500310x a 万元（0>a ），A 项目余下的工人每人每年创造利润需要提高%2.0x（1）若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出 多少人参加B 项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A 项目调出的人数不能超过总人数的%40时，才能使得A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围.22.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分6分.已知椭圆Γ：14522=+y x 的中心为O ，一个方向向量为),1(k =的直线l 与Γ只有一个公共点M （1）若1=k 且点M 在第二象限，求点M 的坐标；（2）若经过O 的直线1l 与l 垂直，求证：点M 到直线1l 的距离25-≤d ；（3）若点N 、P 在椭圆上，记直线ON 的斜率为1k ，且为直线OP 的一个法向量，且541=k k 求22OP ON +的值.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知各项不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11=a ，121+⋅=n n n a a S （*N n ∈） （1）求证：数列{}n a 是等差数列； （2）设数列{}n b 满足：122+-=n n a a n b ，且()3841lim 1211=+++++++∞→n n k k k k n b b b b b b ，求正整数k 的值； （3）若m 、k 均为正整数，且2≥m ，m k <，在数列{}k c 中，11=c ，11++-=k k k a mk c c ，求m c c c +++ 21.2015学年第二学期普陀区高三数学质量调研评分细则二 填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题及纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.{}1 2. ⎪⎭⎫ ⎝⎛231， 3.【理科】2 【文科】7- 4. 0 5. 286.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k ，z k ∈7.14822=-y x .8.【理科】1.【文科】16 9.【理科】29【文科】5210．4. 11.π9. 12. 180 13． 2->a 14. 10二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分） 【文科】【解】根据已知条件,C C 1为正四棱柱1111D C B A ABCD -的高底面四边形11ABB A 是正方形，且面积为1, 故由sh V =2=，可得21=C C .……2分假设E A 1与B C 1不是异面直线，则它们在同一平面内 由于点1A 、E 、B 在平面11ABB A 内，则点1C 也在平面11ABB A 内，这是不可能的，故E A 1与B C 1是异面直线.…………5分取11B A 的中点为E ，连接BE ,1EC ,所以E A BE 1//,1EBC ∠或其补角，即为异面直线E A 1与B C 1所成的角.……7分在1BEC ∆，51=BC ,217=BE ,251=EC ,……9分 由余弦定理得，8585821752454175cos 1=⨯-+=∠EBC 0>,即85858arccos 1=∠EBC ，…11分1 A所以异面直线E A 1与B C 1所成的角的大小为85858arccos.……12分 【理科】【解】根据题意，可得⊥C C 1底面ABCD ，所以BC 是B C 1在平面ABCD 上的射影，故BC C 1∠即为直线B C 1与 底面ABCD 所成的角，即BC C 1∠=2arctan .……2分 在BC C RT 1∆中，2tan 11=∠⋅=BC B BC C C ……3分以D 为坐标原点，以射线1,,DD DC DA 所在的直线分别为z y x ,,轴， 建立空间直角坐标系，如图所示：由于D D 1⊥平面ABCD ，故1DD 是平面的一个法向量，且1DD ()2,0,0=……5分()0,1,1B ,()1,0,01D ,()2,1,01C ,故()2,1,11--=BD ,()2,0,11-=BC ……7分设()z y x ,,=是平面11C BD 的一个法向量,所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011BC n BD ,即⎩⎨⎧=-=-+0202z x z y x ,不妨取1=z ,则⎩⎨⎧==02y x ,即()1,0,2=……9分设平面11C BD 与底面ABCD 所成的二面角为θ,则5552120002cos =⨯⨯+⨯+⨯==θ, 即55arccos=θ……11分 所以平面11C BD 与底面ABCD 所成的二面角大小为55arccos.……12分20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 20.【解】（1）()x x x x f cos cos 3sin )(+=x x x 2cos 3cos sin +=232cos 232sin 21++=x x 2332sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx …………2分A1A由20π≤≤x 得，34323πππ≤+≤x ，132sin 23≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-πx …………4分 2312332sin 0+≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤πx ，所以函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+231,0………6分（2）由232332sin )(=+⎪⎭⎫⎝⎛+=πA A f 得，032sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA 又由20π<<A 得，34323πππ<+<A ，只有ππ=+32A ，故3π=A .…………8分 在ABC ∆中，由余弦定理得，A bc c b a cos 2222-+=73cos 32294=⨯⨯⨯-+=π,故7=a …………10分由正弦定理得，BbA a sin sin =，所以721sin sin ==a A b B 由于a b <，所以772cos =B …………12分 ()B A B A B A sin sin cos cos cos +=-14757212377221=⨯+⨯=……14分21.（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分， 【解】（1）根据题意可得，()()≥⨯+-%2.010101000x x 101000⨯……3分 展开并整理得，05002≤-x x ……5分解得5000≤≤x ，最多调出的人数为500人……6分（2）⎩⎨⎧⨯≤≤≤%4010005000x x ，解得4000≤≤x ……7分()()%2.010101000500310x x x x a ⨯+⋅-≤⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-，对于任意的[]400,0∈x 恒成立……9分即%210201010005031022x x x x ax --+⨯≤- 即10002502++≤x x ax 对于任意的[]400,0∈x 恒成立……10分 当0=x 时，不等式显然成立；当4000≤<x 时，1250000250111000250+⎪⎭⎫⎝⎛+=++≤x x x x a ……11分 令函数xx x f 250000)(+=，可知函数)(x f 在区间[]400,0上是单调递减函数……12分 故()1025400)(min ==f x f ，故1.511000250≥++xx ……13分故1.50≤<a ，所以实数a 的取值范围是1.50≤<a ……14分22.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分6分. 【解】（1）设直线l ：m x y +=，根据题意可得：……1分⎪⎩⎪⎨⎧=++=14522yx mx y ，消去y 并整理得()04510922=-++m bx x ……①…………2分 ()()045941022=-⨯⨯-=∆b b ，解得92=m ，因为M 在第二象限，故3=m ，……3分代入①得0253092=++x x ，解得35-=x ，进而34=y ，故⎪⎭⎫⎝⎛-34,35M .……4分 （2）根据题意可得，直线1l ：0=+ky x ……5分设直线l ：m kx y +=（0≠m ），则⎪⎩⎪⎨⎧=++=14522y x mkx y ……5分 消去y 得()()0451054222=-+++m kmx xk……6分()()()0454*******=-⋅+-=∆m k km ，解得04522=+-m k ，即4522+=k m ……7分且4552+-=k km x ，4542+=k m y ，故⎪⎭⎫ ⎝⎛++-454,45522k m k kmM ……8分 点M 到直线1l 的距离222221451454455kk km kk km k km d ++=++++-=()()22541k k k++=① 当0=k 时，0=d ；……9分 ② 当0≠k 时，=d 25945122-≤++kk ，当且仅当454±=k 时等号成立. 综上①②可得，点M 到直线1l 距离25-≤d .……10分（3）根据条件可得直线OP 的斜率kk 12-=，……11分 由于541=k k ，则直线ON 的斜率的k k 541=……12分 于是直线ON 的方程为kx y 54=，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+kxy y x 5414522，可得224525k x +=……13分 设点),(11y x P ，则222122121245162525161k kx k y x OP ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=……14分 同理2ON ()22222245120kk y x ++=+=……15分 22ON OP +=22451625k k +++()2245120k k ++945364522=++=k k ……16分23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 【解】（1）当1=n 时，121211==a a S ，11=a ，故22=a ；……1分 当2≥n 时，=-=-1n n n S S a -⋅+121n n a a n n a a ⋅-121变形得()112-+-⋅=n n n n a a a a ，由于0≠n a ，所以211=--+n n a a ……2分所以1212-=-n a n ，n a n 22=，*N n ∈，于是n a n =，*N n ∈.……3分由于11=-+n n a a ，所以数列{}n a 是以1首项，1为公差的等差数列.…………4分 （2）由（1）得n a n =，所以122+-=n n a a n b nn n ⎪⎭⎫⎝⎛⋅==+-21412)1(2……5分 52121++⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅n n n b b ，且128121=b b ，当2≥n 时，4111=-+n n n n b b b b …………7分故数列{}1+n n b b 是以1281为首项，41为公比的等比数列.……8分 于是()=+++++++∞→1211lim n n k k k k n b b b b b b =-+4111k k b b 3841，即912-+=⋅k k b b ……9分k kk k b b 251241321--+=⎪⎭⎫⎝⎛=⋅，故92522---=k ，解得2=k .…………10分 （3）则由（1）得k a k =，11++-=k k k a m k c c 1+-=k m k ，12211c cc c c c c k k k k k ⋅⋅⋅=--- ……12分 ()()km k k k C mk k k m k m c 1112)1()2)(1(111⋅-=⋅⋅-⋅+-+-⋅-=-- …………14分m c c c +++ 21()[]m mm m m m C C C C m 132111--+-+-=…………16分 ()()[]m C C C C m m m m m m m 1111210=-+-+--= 故m c c c +++ 21m1=.……18分。

上海市浦东新区2015届高考数 学三模试卷（文科）一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的 编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. （4 分）若集合 A=｛x|1 < x w 3｝，集合 B=｛x|x V 2｝，则 A A B=.22. （4分）函数f （x ） =x , （x V- 2）的反函数是.3. （4分）过点（1, 0）且与直线2x+y=0垂直的直线的方程.4. （4分）已知数列｛a n ｝为等比数列，前n 项和为S,且a 5=2S+3, a 6=2S+3，则此数列的公比 q=.5. （4分）如果复数z 满足|z+i|+|z- i|=2 （i 是虚数单位），则|z|的最大值为.6. （4分）函数y=cos 2x 的单调增区间为.4 2 k7. （4分）三阶行列式 -3 5 4 第2行第1列元素的代数余子式为-10,则k=.-1 1 -2I 2& （4分）设F 1、F 2是双曲线x 2-二=1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且 3|PF 1|=4|PF 2| ,24则厶PF 1F 2的周长.10. （ 4分）从3名男生和4名女生中选出4人组成一个学习小组.若这 4人中必须男女生都 有的概率为.12. （ 4分）若也，|b|, c 均为平面单位向量，且9. （4分）设A B 、C 、D 是球面上的四个点，且在同平面内, AB=BC=CD=DA=1球心到该平面的距离是球半径的「咅，则球的体积是.11. （ 4分）数列｛a n ｝中,且a 1=2，则数列｛a n ｝前2015项的积等于.F Ls+y- SCO13. （ 4分）已知P （ x ,y ）满足约束条件< x - y- 1<Q , O 为坐标原点，A （ 3,4），则|6?|?cos / AOP 的最大值是.14. （ 4分）记符号 m i n ｛c i , C 2,…，c n ｝表示集合｛c 1, C 2,…，c n ｝中最小的数.已知无穷项的正整数数列｛a n ｝满足 a i < a i+i , （i € N ），令 b k =min ｛n|a n >k ｝, （k € N ），若 b k =2k - 1,则数列｛a n ｝ 前100项的和为.二、选择题（本大题共有 4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项 是正确的，选对得 5分，否则一律得零分•直线 a 1X+b 1y=C 1, a 2x+b 2y=c 2不平行16. （ 5分）用符号（X]表示不小于x 的最小整数，如（n ]=4 , （- 1.2]= - 1 .则方程（x]- x=：在（1 , 4）上实数解的个数为（）2A. 0 B . 1 C. 2 D. 317.（ 5分）已知P 为椭圆二一+y 2=1的左顶点，如果存在过点M （ x o , 0） （ x o > 0）的直线交椭圆于A 、B 两点，使得S AAOB =2S ^AOP ,则X 。

2015-2016学年上海市普陀区高三（上）调研数学试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1．集合A={3，2a}，B={a，b}，若A∩B={2}，则A∪B=．2．函数f（x）=x2﹣1（x≤﹣1）的反函数f﹣1（x）= ．3．函数y=2﹣sin2ωx的最小正周期为π，则实数ω的值为．4．已知数列{a n}的前n项的和（a∈R）．则a8= ．5．若，且α是第二象限的角．则= ．6．若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是．7．已知圆锥的侧面展开图是圆心角为、半径为6的扇形．则该圆锥的体积为．8．函数，当n=1，2，3，…时，f n（x）的零点依次记作x1，x2，x3，…，则= ．9．设f（x）=ax2+2x﹣3，g（x）=x2+（1﹣a）x﹣a，M={x|f（x）≤0}，P={x|g（x）≥0}．若M∩P=R，则实数a的取值集合为．10．不等式对一切非零实数x，y均成立，则实数a的范围为．11．如果用反证法证明“数列{a n}的各项均小于2”，有下列四种不同的假设：①数列{a n}的各项均大于2；②数列{a n}的各项均大于或等于2；③数列{a n}中存在一项a k，a k≥2；④数列{a n}中存在一项a k，a k＞2．其中正确的序号为．（填写出所有假设正确的序号）12．已知全集U={n|1≤n≤2015，n∈N*}，集合A、B都是U的子集，且A∪B=U，A∩B≠∅，若A∩∁U B={1，2}，则满足条件的集合B∩∁U A的个数是．13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则△ABC 的最小角等于．14．如果定义在R上的函数f（x）对任意两个不等的实数x1，x2都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“Z函数”．给出函数：①y=﹣x3+1；②y=2x；③；④．以上函数为“Z函数”的序号为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号涂在答题纸相应的位置上.每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个，一律得零分.15．在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波．若两个声波随时间的变化规律分别为：，则这两个声波合成后（即y=y1+y2）的声波的振幅为（）A． B．6 C． D．316．异面直线a、b分别在平面α、β内，若α∩β=ℓ，则直线ℓ必定是（）A．分别与a、b相交B．与a、b都不相交C．至少与a、b中之一相交D．至多与a、b中之一相交17．函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b=g（a）的图象可以是（）A．B．C．D．18．设等差数列{a n}的前n项和为S n，在同一个坐标系中，a n=f（n）及S n=g（n）的部分图象如图所示，则（）A．当n=4时，S n取得最大值B．当n=3时，S n取得最大值C．当n=4时，S n取得最小值D．当n=3时，S n取得最大值三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19．在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AC⊥BC，D、E分别为AB、AC中点．（1）求证：DE∥面BCC1B1；（2）若CB=1，，．求异面直线A1E和CD所成角的大小．20．已知函数f（x）=sinωx（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．P、Q分别是图象上的一个最高点和最低点，R为图象与x轴的交点，且四边形OQRP为矩形．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，得到函数y=g（x）的图象．已知，g（α）=，求f（α）的值．21．某中学为了落实“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．（1）试用x表示S，并求S的取值范围；（2）若在矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪．已知：矩形AMPN健身场地每平方米的造价为，草坪的每平方米的造价为（k为正常数）．设总造价T关于S的函数为T=f（S），试问：如何选取|AM|的长，才能使总造价T最低．22．已知函数，（a，b∈R）为奇函数．（1）求b值；（2）当a=﹣2时，存在x0∈[1，4]使得不等式f（x0）≤t成立，求实数t的取值范围；（3）当a≥1时，求证：函数g（x）=f（2x）﹣c（c∈R）在区间（﹣∞，﹣1]上至多有一个零点．23．已知数列{a n}、{b n}满足：a1=，a n+b n=1，b n+1=．（1）求a2，a3；（2）证数列{}为等差数列，并求数列{a n}和{b n}的通项公式；（3）设S n=a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a n+1，求实数λ为何值时4λS n＜b n恒成立．2015-2016学年上海市普陀区高三（上）调研数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1．集合A={3，2a}，B={a，b}，若A∩B={2}，则A∪B={1，2，3} ．【考点】并集及其运算；交集及其运算．【分析】根据题意，若A∩B={2}，则2∈A，则可得2a=2，可得a的值，进而可得b的值，再由并集的意义，可得答案．【解答】解：根据题意，若A∩B={2}，则2∈A，2∈B，而已知A={3，2a}，则必有2a=2，故a=1，又由2∈B，且a=1则b=2，故A∪B={1，2，3}，故答案为{1，2，3}．【点评】本题综合考查并集、交集的意义与运算，要求学生有一定的逻辑分析能力．2．函数f（x）=x2﹣1（x≤﹣1）的反函数f﹣1（x）= ．【考点】反函数．【专题】方程思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】由函数y=x2﹣1（x≤﹣1），可得x=，（y≥0）．即可得出反函数．【解答】解：由函数y=x2﹣1（x≤﹣1），可得x=，（y≥0）．∴函数f（x）的反函数f﹣1（x）=﹣（x≥0）．故答案为：﹣（x≥0）．【点评】本题考查了反函数的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．函数y=2﹣sin2ωx的最小正周期为π，则实数ω的值为±1．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；函数思想；三角函数的求值．【分析】利用二倍角的余弦函数，化简求解函数的周期即可．【解答】解：函数y=2﹣sin2ωx=2﹣=cos2ωx+，函数y=2﹣sin2ωx的最小正周期为π，可得：，解得实数ω=±1．故答案为：±1．【点评】本题考查二倍角公式的应用，函数的周期的求法，考查计算能力．4．已知数列{a n}的前n项的和（a∈R）．则a8= 128 ．【考点】数列的函数特性．【专题】方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由（a∈R）．可得当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，即可得出．【解答】解：∵（a∈R）．∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣a﹣（2n﹣1﹣a）=2n﹣1，∴a8=27=128．故答案为：128．【点评】本题考查了递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．若，且α是第二象限的角．则= ．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值．【分析】由sinα的值及α是第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，原式利用诱导公式化简，将cosα的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵sinα=，且α是第二象限的角，∴cosα=﹣=﹣，则原式=﹣cosα=，故答案为：【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．6．若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是[3，+∞）．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】计算题．【分析】先求出不等式|x﹣1|＜a的解集为集合B，再根据条件可知{x|0＜x＜4}⊂B，建立关于a的不等式组，解之从而确定 a的取值范围．【解答】解：|x﹣1|＜a⇒1﹣a＜x＜a+1由题意可知﹣≤x＜0 0＜x＜4是1﹣a＜x＜a+1成立的充分不必要条件∴解得a≥3∴实数a的取值范围是[3，+∞）故答案为：[3，+∞）【点评】本题考查充分不必要条件的应用，解题时要注意含绝对值不等式的解法和应用，属于基础题．7．已知圆锥的侧面展开图是圆心角为、半径为6的扇形．则该圆锥的体积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】首先求出底面圆的半径，再利用勾股定理求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是圆心角为、半径为6的扇形．，圆锥的母线l满足： =，解得：r=2，∴这个圆锥的高是：h==4．故圆锥的体积：V=πr2h=，故答案为：【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．8．函数，当n=1，2，3，…时，f n（x）的零点依次记作x1，x2，x3，…，则= ﹣2 ．【考点】极限及其运算；函数的零点．【专题】计算题；极限思想；转化法；导数的概念及应用．【分析】先求出函数的零点，x n=﹣﹣1，再求极限．【解答】解：令f n（x）=0得，+（x+1）=0，解得x n=﹣﹣1，其中，=1，所以， x n=﹣﹣1=﹣1﹣1=﹣2，故填：﹣2．【点评】本题主要考查了极限及其运算，以及函数零点的求解，属于基础题．9．设f（x）=ax2+2x﹣3，g（x）=x2+（1﹣a）x﹣a，M={x|f（x）≤0}，P={x|g（x）≥0}．若M∩P=R，则实数a的取值集合为{﹣1} ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．【分析】M∩P=R，M=P=R，利用判别式，即可得出结论．【解答】解：∵M∩P=R，∴M=P=R，∴，且（1﹣a）2+4a≤0，∴a=﹣1，故答案为：{﹣1}．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．10．不等式对一切非零实数x，y均成立，则实数a的范围为[1，3] ．【考点】绝对值三角不等式．【专题】计算题．【分析】由对勾函数的性质，我们可以求出不等式左边的最小值，再由三角函数的性质，我们可以求出siny的最大值，若不等式恒成立，则|a﹣2|≤1，解这个绝对值不等式，即可得到答案．【解答】解：∵∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）∴||∈[2，+∞），其最小值为2又∵siny的最大值为1故不等式恒成立时，有|a﹣2|≤1解得a∈[1，3]故答案为[1，3]【点评】本题考查的知识点是绝对值三角不等式的解法，其中根据对勾函数及三角函数的性质，将不等式恒成立转化为|a﹣2|≤1，是解答本题的关键．11．如果用反证法证明“数列{a n}的各项均小于2”，有下列四种不同的假设：①数列{a n}的各项均大于2；②数列{a n}的各项均大于或等于2；③数列{a n}中存在一项a k，a k≥2；④数列{a n}中存在一项a k，a k＞2．其中正确的序号为③．（填写出所有假设正确的序号）【考点】反证法与放缩法．【专题】证明题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】由于用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，而“数列{a n}的各项均小于2”的否定为：“数列{a n}中存在一项a k，a k≥2”，由此得出选项．【解答】解：用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，“数列{a n}的各项均小于2”的否定为：“数列{a n}中存在一项a k，a k≥2”，故答案为：③．【点评】本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口．12．已知全集U={n|1≤n≤2015，n∈N*}，集合A、B都是U的子集，且A∪B=U，A∩B≠∅，若A∩∁U B={1，2}，则满足条件的集合B∩∁U A的个数是22013﹣1 ．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】转化思想；定义法；集合．【分析】根据全集U中元素的个数，结合题意得出集合A、B中元素的个数，再求出B∩C∪A的所有子集数．【解答】解：∵全集U={n|1≤n≤2015，n∈N*}，集合A、B都是U的子集，且A∪B=U，A∩B≠∅，A∩∁U B={1，2}，∴集合A中至少有三个元素：1，2，n，且A∩B≠∅，∴B∩C U A中的元素应至多有2016﹣3=2013，∴集合B∩C∪A的所有子集（去掉∅）个数为：22013﹣1．故答案为：22013﹣1．【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算问题，解题时应认真审题，以免出错．13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则△ABC的最小角等于．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】方程思想；转化思想；平面向量及应用．【分析】，化为（20a﹣15b）+（12c﹣20a）=，根据，不共线，可得20a﹣15b=12c﹣20a=0，再利用余弦定理即可得出．【解答】解：∵，∴20a+15b+12c=0，化为（20a﹣15b）+（12c﹣20a）=，∵，不共线，∴20a﹣15b=12c﹣20a=0，化为b=a，c=a．∴边a最小，因此角A最小，由余弦定理可得：cosA===．∴A=arccos．故答案为：arccos．【点评】本题考查了向量三角形法则、向量共线共面定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．如果定义在R上的函数f（x）对任意两个不等的实数x1，x2都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“Z函数”．给出函数：①y=﹣x3+1；②y=2x；③；④．以上函数为“Z函数”的序号为②④，．【考点】函数与方程的综合运用；函数的值．【专题】计算题；新定义；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用已知条件推出函数的单调性，然后判断即可．【解答】解：定义在R上的函数f（x）对任意两个不等的实数x1，x2都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f （x2）+x2f（x1），可得：x1[f（x1）﹣f（x2）]＞x2[f（x1）﹣f（x2）]，即（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，∴函数f（x）为“Z函数”．就是增函数．①y=﹣x3+1；是减函数，不是“Z函数”．②y=2x；是增函数，是“Z函数”．③；表示增函数，不是“Z函数”．④．函数是增函数，是“Z函数”．故答案为：②④．【点评】本题考查函数的新定义，函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号涂在答题纸相应的位置上.每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个，一律得零分.15．在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波．若两个声波随时间的变化规律分别为：，则这两个声波合成后（即y=y1+y2）的声波的振幅为（）A． B．6 C． D．3【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【专题】整体思想；定义法；三角函数的图像与性质．【分析】根据三角函数的辅助角公式，结合两角和差的正弦公式将函数进行化简即可得到结论．【解答】解：∵，∴y=y1+y2=3sin（100πt）+3cos（100πt+）=3sin（100πt）+3cos100πtcos﹣3sin（100πt）sin=3sin（100πt）+cos100πt﹣sin（100πt）=sin（100πt）+cos100πt=3sin（100πt+），则函数的振幅为3，故选：D．【点评】本题主要考查三角函数的化简，利用辅助角公式是解决本题的关键．16．异面直线a、b分别在平面α、β内，若α∩β=ℓ，则直线ℓ必定是（）A．分别与a、b相交B．与a、b都不相交C．至少与a、b中之一相交D．至多与a、b中之一相交【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】证明题．【分析】由题意直线ℓ与a、b可都相交，也可只与一条相交，故A、B、D错误；但直线ℓ不会与两条都不相交，可由反证法进行证明．【解答】解：由题意直线ℓ与a、b可都相交，也可只与一条相交，故A、B、错误；但直线ℓ不会与两条都不相交，若l与a、b都不相交，因为l与a都在α内，所以l∥a，同理l∥b，所以a∥b，这与a、b异面直线矛盾，故直线ℓ至少与a、b中之一相交．C正确．故选C【点评】本题考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查推理能力和空间想象能力．17．函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b=g（a）的图象可以是（）A．B．C．D．【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数的图象．【专题】计算题；压轴题；数形结合．【分析】根据a变动时，以及函数的值域可知b为定值4，结合选项即可得到答案．【解答】解：根据选项可知a≤0a变动时，函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，∴2|b|=16，b=4故选B．【点评】本题主要考查了指数函数的定义域和值域，同时考查了函数图象，属于基础题．18．设等差数列{a n}的前n项和为S n，在同一个坐标系中，a n=f（n）及S n=g（n）的部分图象如图所示，则（）A．当n=4时，S n取得最大值B．当n=3时，S n取得最大值C．当n=4时，S n取得最小值D．当n=3时，S n取得最大值【考点】数列的函数特性．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由图象可知可能：①a7=0.7，S7=﹣0.8，a8=﹣0.4．②a7=0.7，S7=﹣0.8，S8=﹣0.4．③a7=﹣0.8，S7=0.7，a8=﹣0.4．④a7=﹣0.8，S7=0.7，S8=﹣0.4．分别利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可判断出．【解答】解：由图象可知可能：①a7=0.7，S7=﹣0.8，a8=﹣0.4，由a7=0.7，a8=﹣0.4，可得d=﹣1.1，a1=7.3．∴S7=＞0，与S7=﹣0.8，矛盾，舍去．②a7=0.7，S7=﹣0.8，S8=﹣0.4．由S7=﹣0.8，S8=﹣0.4，可得a8=0.4，∴ =﹣0.4，解得a1=﹣0.5，∴a8=﹣0.5+7d，解得d=≠0.4﹣0.7=﹣0.3，矛盾，舍去．③a7=﹣0.8，S7=0.7，a8=﹣0.4．由a7=﹣0.8，S7=0.7，可得=0.7，解得a1=1，∴﹣0.8=1+6d，解得d=﹣0.3，而﹣0.4﹣（﹣0.8）=0.4，矛盾，舍去．④a7=﹣0.8，S7=0.7，S8=﹣0.4．由a7=﹣0.8，S7=0.7，可得，解得a1=1．∴﹣0.8=1+6d，解得d=﹣0.3，∴a8=﹣0.8﹣0.3=﹣1.1，∴S8=0.7﹣1.1=﹣0.4，满足条件．∴a n=a1+（n﹣1）d=1﹣0.3（n﹣1）=1.3﹣0.3n≥0，解得=4+，因此当n=4时，S n取得最大值．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了数形结合的思想方法、分类讨论的方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19．在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AC⊥BC，D、E分别为AB、AC中点．（1）求证：DE∥面BCC1B1；（2）若CB=1，，．求异面直线A1E和CD所成角的大小．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）由三角形中位线定理得DE∥BC，由此能证明DE∥面BCC1B1．（2）取AD的中点F，连EF，A1F，则EF∥CD，∠A1EF为异面直线A1E和CD所成角（或其补角），由此能求出∠A1EF为异面直线A1E和CD所成角．【解答】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC，…∵BC⊆面BCC1B1…DE⊄面BCC1B1…∴DE∥面BCC1B1…（2）解：取AD的中点F，连EF，A1F，∵EF∥CD，∴∠A1EF为异面直线A1E和CD所成角（或其补角）…在△A1EF中，，，，∴…∴∠A1EF为异面直线A1E和CD所成角为…【点评】本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．已知函数f（x）=sinωx（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．P、Q分别是图象上的一个最高点和最低点，R为图象与x轴的交点，且四边形OQRP为矩形．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，得到函数y=g（x）的图象．已知，g（α）=，求f（α）的值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）设函数f（x）的最小正周期为T，则P（，）、Q （，），由四边形为矩形得=T2﹣3=0，故T=4，ω=，即可得f（x）=sin x．（Ⅱ）y=g（x）=f（x﹣）=sin（x﹣）可得sin（α﹣）=，又，可求得cos（α﹣）=﹣，从而可求f（α）的值．【解答】解：（Ⅰ）设函数f（x）的最小正周期为T，则P（，）、Q （，），∵四边形OQRP为矩形．∴OP⊥OQ，∴ =T2﹣3=0，∴T=4．∴ω===，∴f（x）=sin x．（Ⅱ）y=g（x）=f（x﹣）=sin（x﹣），∵g（α）=sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=．又，∴α﹣∈（，π），∴cos（α﹣）=﹣．∴f（α）=sinα=sin[（α﹣）+]= [sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin]= []=．【点评】本题主要考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基本知识的考查．21．某中学为了落实“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．（1）试用x表示S，并求S的取值范围；（2）若在矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪．已知：矩形AMPN健身场地每平方米的造价为，草坪的每平方米的造价为（k为正常数）．设总造价T关于S的函数为T=f（S），试问：如何选取|AM|的长，才能使总造价T最低．【考点】不等式的实际应用．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；不等式．【分析】（1）根据题意，分析可得，欲求健身场地占地面积，只须求出图中矩形的面积即可，再结合矩形的面积计算公式求出它们的面积即得，最后再根据二次函数的性质得出其范围；（2）对于（1）所列不等式，考虑到其中两项之积为定值，可利用基本不等式求它的最大值，从而解决问题．【解答】解：（1）在Rt△PMC中，显然|MC|=30﹣x，∠PCM=60°，∴，…矩形AMPN的面积，x∈[10，20]…于是为所求．…（2）矩形AMPN健身场地造价T1=…又△ABC的面积为，即草坪造价T2=，…由总造价T=T1+T2，∴，．…∵，…当且仅当即时等号成立，…此时，解得x=12或x=18，所以选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低．…【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用、基本不等式的应用、矩形的面积等基础知识，属于中档题．22．已知函数，（a，b∈R）为奇函数．（1）求b值；（2）当a=﹣2时，存在x0∈[1，4]使得不等式f（x0）≤t成立，求实数t的取值范围；（3）当a≥1时，求证：函数g（x）=f（2x）﹣c（c∈R）在区间（﹣∞，﹣1]上至多有一个零点．【考点】函数奇偶性的性质；函数零点的判定定理．【专题】综合题；转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和性质建立方程关系即可得到结论．（2）根据函数单调性和最值的关系进行求解即可，（3）根据函数单调性的定义先判断函数的单调性，利用函数单调性和函数零点之间的关系进行证明．【解答】解：（1）∵函数，（a，b∈R）为奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x），即﹣4x﹣+b=﹣4x﹣﹣b，（a，b∈R，…∴b=﹣b，即b=0；…（2）当a=﹣2时，f（x）=4x﹣．…∵函数y=4x，y=﹣在[1，4]均单调递增，…∴函数f（x）在[1，4]单调递增，…∴当x∈[1，4]时，f（x）min=f（1）=2…∵存在x0∈[1，4]使得不等式f（x0）≤t成立∴t≥2．…（3）证明：g（x）=f（2x）﹣c=4•2x+﹣c，…设x1＜x2≤﹣1，…∵x1＜x2≤﹣1，∴x1+x2＜﹣2，＜4•2﹣2=1，∵a≥1，即﹣a≤﹣1，∴﹣a＜0，又＜0，∴g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2），∴函数g（x）在（﹣∞，﹣1]单调递减，…又c∈R，结合函数图象知函数g（x）在（﹣∞，﹣1]上至多有一个零点．…【点评】本题主要考查函数奇偶性的定义和单调性的应用，利用函数单调性的定义是解决本题的关键．23．已知数列{a n}、{b n}满足：a1=，a n+b n=1，b n+1=．（1）求a2，a3；（2）证数列{}为等差数列，并求数列{a n}和{b n}的通项公式；（3）设S n=a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a n+1，求实数λ为何值时4λS n＜b n恒成立．【考点】数列的求和；数列的函数特性；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等差关系的确定．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由给出的，循环代入a n+b n=1和可求解a2，a3；（2）由a n+b n=1得a n+1+b n+1=1，结合，去掉b n与b n+1得到a n+1与a n的关系式，整理变形后可证得数列{}是以4为首项，1为公差的等差数列，求出其通项公式后即可求得数列{a n}和{ b n}的通项公式；（3）首先利用裂项求和求出S n，代入4λS n＜b n，通过对λ分类讨论，结合二次函数的最值求使4λS n ＜b n恒成立的实数λ的值．【解答】（1）解：∵，∴，，，，．∴；（2）证明：由，∴=，∴，即a n﹣a n+1=a n a n+1，∴∴数列{}是以4为首项，1为公差的等差数列．∴，则，∴；（3）解：由，∴S n=a1a2+a2a3+…+a n a n+1===．∴，要使4λS n＜b n恒成立，只需（λ﹣1）n2+（3λ﹣6）n﹣8＜0恒成立，设f（n）=（λ﹣1）n2+3（λ﹣2）n﹣8当λ=1时，f（n）=﹣3n﹣8＜0恒成立，当λ＞1时，由二次函数的性质知f（n）不满足对于任意n∈N*恒成立，当λ＜l时，对称轴n=f（n）在[1，+∞）为单调递减函数．只需f（1）=（λ﹣1）n2+（3λ﹣6）n﹣8=（λ﹣1）+（3λ﹣6）﹣8=4λ﹣15＜0∴，∴λ≤1时4λS n＜b n恒成立．综上知：λ≤1时，4λS n＜b n恒成立．【点评】本题考查了等差、等比数列的通项公式，考查了数列的裂项求和，考查了数列的函数特性，训练了恒成立问题的求解方法，解答过程中注意分类讨论的数学思想，属中档题．。

上海市普陀区2015届高考数学三模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1．（4分）复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数是．2．（4分）已知幂函数y=f（x）图象过点（2，），则该幂函数的值域是．3．（4分）设向量，，则向量在向量方向上的投影为．4．（4分）已知函数f（x）=，则不等式f（x）＞0的解集为．5．（4分）若二元一次线性方程组无解，则实数a的值是．6．（4分）若0≤x≤，则函数y=cos（x﹣）sin（x+）的最大值是．7．（4分）已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是cm2．8．（4分）已知（x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中x4的系数是﹣35，则m=；a1+a2+a3+…+a7=．9．（4分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的一个方向向量为（1，），则|PF|=．10．（4分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P为C的右支上一点，且的面积等于．11．（4分）函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，f（﹣1）=1，且对任意实数x都有xf（x+1）=（x+1）f（x），则f（0）+f（1）+f（2）+…+f的值是．12．（4分）若矩阵的元素为随机从1、2、4、8中选取的4个不同数值，则对应的行列式的值为正数的概率为．13．（4分）设x，y满足约束条件：若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则的最小值为．14．（4分）已知集合A n={a1，a2，…，a n），a j=0或1，j=1，2，…，n（n≥2）}，对于U，V∈A n，d（U，V）表示U和V中相对应的元素不同的个数，若给定U∈A6，则所有的d（U，V）和为．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）“a+b＞0”是“任意的x∈[0，1]，ax+b＞0恒成立”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）若•+||2=0，则△ABC为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形17．（5分）函数y=ln|x﹣1|的图象与函数y=﹣cosπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．6 B．5 C．4 D．318．（5分）已知x、y均为实数，记max{x，y}=，min{x，y}=．若i表示虚数单位，且a=x1+y1i，b=x2+y2i，x1，y1，x2，y2∈R，则（）A．min{|a+b|，|a﹣b|}≤min{|a|，|b|} B．max{|a+b|，|a﹣b|}≤max{|a|，|b|} C．min{|a+b|2，|a﹣b|2}≥|a|2+|b|2D．max{|a+b|2，|a﹣b|2}≥{|a|2+|b|2三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的零点，并求反函数f﹣1（x）；（2）设g（x）=2log2，若不等式f﹣1（x）≤g（x）在区间[，]上恒成立，求实数k的范围．20．（14分）如图，已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F．（1）求证：A1C⊥平面BDE；（2）求三棱锥C﹣BDE的体积．21．（14分）如图，某污水处理厂要在一个矩形ABCD的池底水平铺设污水净化管道（直角△EFG，E是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口E是AB的中点，F，G分别落在AD，BC上，且AB=20m，AD=10m，设∠GEB=θ．（1）试将污水管道的长度l表示成θ的函数，并写出定义域；（2）当管道长度l为何值时，污水净化效果最好，并求此时管道的长度．22．（16分）对于给定数列{c n}，如果存在实常数p，q，使得c n+1=pc n+q（p≠0）对于任意的n∈N*都成立，我们称这个数列{c n}是“M类数列”．（1）若a n=2n，b n=3.2n，n∈N*，判断数列{a n}，{b n}是否为“M类数列”，并说明理由；（2）若数列{a n}是“M类数列”，则数列{a n+a n+1}、{a n•a n+1}是否一定是“M类数列”，若是的，加以证明；若不是，说明理由；（3）若数列{a n}满足：a1=1，a n+a n+1=3.2n（n∈N*），设数列{a n}的前n项和为S n，求S n的表达式，并判断{a n}是否是“M类数列”．23．（18分）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A、B、C、D．记λ=，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．（1）设直线l：y=kx（k＞0），若S1=3S2，证明：B，C是线段AD的四等分点；（2）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；（3）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．上海市普陀区2015届高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1．（4分）复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数是﹣1﹣i．考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则和共轭复数的定义即可得出．解答：解：z=i（i+1）=﹣1+i的共轭复数是﹣1﹣i．故答案为：﹣1﹣i．点评：本题考查了复数的运算法则和共轭复数的定义，属于基础题．2．（4分）已知幂函数y=f（x）图象过点（2，），则该幂函数的值域是[0，+∞）．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：设f（x）=xα，把点（2，）代入解出即可．解答：解：设f（x）=xα，∵幂函数y=f（x）图象过点（2，），∴，解得α=．∴f（x）=，∵x≥0，∴y≥0．∴该幂函数的值域是[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．点评：本题考查了幂函数的定义及其性质，属于基础题．3．（4分）设向量，，则向量在向量方向上的投影为﹣1．考点：向量的投影．专题：平面向量及应用．分析：根据投影的定义，应用公式向量在向量方向上的投影为||cos＜，＞=求解．解答：解：向量，，根据投影的定义可得：向量在向量方向上的投影为||cos＜，＞===﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．4．（4分）已知函数f（x）=，则不等式f（x）＞0的解集为{x|﹣1＜x ＜1}．考点：函数的图象与图象变化．分析：要求函数f（x）＞0的解集，我们可以先求出x＞0时，﹣log2x＞0的解集，再求出x≤0时，1﹣x2＞0的解集，然后求出它们的交集即可得到结论．解答：解：∵f（x）＞0，且f（x）=，∴当x＞0时，﹣log2x＞0，即log2x＜0，∴0＜x＜1，当x≤0时，1﹣x2＞0，即x2﹣1＜0，∴﹣1＜x≤0，因此﹣1＜x＜1．故答案为{x|﹣1＜x＜1}点评：分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．5．（4分）若二元一次线性方程组无解，则实数a的值是﹣2．考点：线性方程组解的存在性，唯一性．专题：矩阵和变换．分析：通过题意可知，只需系数行列式=0即可，计算即得结论．解答：解：由题可知，只需系数行列式=0即可，即=4﹣a2=0，∴a=±2，而当a=2时，二元一次方程组有无数组解，∴a=﹣2，故答案为：﹣2．点评：本题考查系数行列式的应用，注意解题方法的积累，属于基础题．6．（4分）若0≤x≤，则函数y=cos（x﹣）sin（x+）的最大值是．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值．分析：利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，利用x的范围和正弦函数的图象和性质求得函数的最大值．解答：解：y=sinx（sinx•+cosx）=sin2x+sinxcosx=+sin2x=sin（2x﹣）+，∵0≤x≤，∴﹣≤2x﹣≤，∴y max=+=，故答案为：．点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图形与性质．解题过程中注意运算的细心和公式的熟练运用．7．（4分）已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是πcm2．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知求出圆锥的母线长，代入圆锥的侧面积公式，可得答案．解答：解：由题意可知球的体积为：×13=cm3，圆锥的体积为：×π×12×h=hcm3，因为圆锥的体积恰好也与球的体积相等，所以=h，所以h=4cm，圆锥的母线：l==cm．故圆锥的侧面积S=πrl=πcm2，故答案为：π点评：本题考查球的体积与圆锥的体积公式的应用，考查计算能力．8．（4分）已知（x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中x4的系数是﹣35，则m=1；a1+a2+a3+…+a7=1．考点：二项式定理．专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的指数等于4，求出r的值，根据x4的系数是﹣35，即可求得m的值．求出a0的值，再把x=1和m=1代入二项式及其展开式，可得a1+a2+a3+…+a7的值．解答：解：二项展开式的通项为T r+1= x7﹣r（﹣m）r，令7﹣r=4，可得r=3．故（﹣m）3=﹣35，解得m=1．故常数项为（﹣1）7=﹣1=a0，∴（1﹣1）7=a0+a1+a2+…+a7=0，∴a1+a2+a3+…+a7=﹣a0=1，故答案为 1； 1．点评：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．9．（4分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的一个方向向量为（1，），则|PF|=4．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线y2=4x方程，可得焦点F（1，0），准线l的方程为：x=﹣1．由直线EF的一个方向向量为（1，），可得k l，进而得到直线EF的方程为：y=（x﹣1），与抛物线方程联立，可得解得y E．由于PE⊥l于E，可得y P=y E，代入抛物线的方程可解得x P．再利用|PF|=|PE|=x P+1即可得出．解答：解：由抛物线y2=4x方程，可得焦点F（1，0），准线l的方程为：x=﹣1．∵直线EF的一个方向向量为（1，），∴k l=．∴直线EF的方程为：y=（x﹣1），联立，解得y=﹣2．∴E（﹣1，﹣2）．∵PE⊥l于E，∴y P=2，代入抛物线的方程可得12=4x p，解得x P=3．∴|PF|=|PE|=x P+1=4．故答案为：4．点评：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立，属于中档题．10．（4分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P为C的右支上一点，且的面积等于48．考点：双曲线的应用．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据双曲线方程求出焦点坐标，再利用双曲线的性质求得|PF1|，作PF1边上的高AF2则可知AF1的长度，进而利用勾股定理求得AF2，则△PF1F2的面积可得．解答：解：∵双曲线中a=3，b=4，c=5，∴F1（﹣5，0），F2（5，0）∵|PF2|=|F1F2|，∴|PF1|=2a+|PF2|=6+10=16作PF1边上的高AF2，则AF1=8，∴∴△PF1F2的面积为S=故答案为：48．点评：此题重点考查双曲线的第一定义，双曲线中与焦点，准线有关三角形问题；由题意准确画出图象，利用数形结合，注意到三角形的特殊性．11．（4分）函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，f（﹣1）=1，且对任意实数x都有xf（x+1）=（x+1）f（x），则f（0）+f（1）+f（2）+…+f的值是2031120．考点：函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：从xf（x+1）=（1+x）f（x）结构来看，要用递推的方法，先用赋值法求得．解答：解：∵xf（x+1）=（x+1）f（x），∴当x=0时f（0）=0，∵f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数且f（﹣1）=1，∴f（1）=f（﹣1）=1．∵xf（x+1）=（x+1）f（x），∴当x=1时f（2）=2，当x=2时f（3）=3，当x=3时f（4）=4，…当x=2014时f=2015则f（0）+f（1）+f（2）+…+f=0+1+2+3+4+5+…+2015=2031120∴故答案为：2031120点评：本题主要考查利用函数的主条件用递推的方法求函数值，这类问题关键是将条件和结论有机地结合起来，作适当变形，把握递推的规律．12．（4分）若矩阵的元素为随机从1、2、4、8中选取的4个不同数值，则对应的行列式的值为正数的概率为．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；二阶矩阵．专题：概率与统计．分析：先求出总得事件个数，即把4个数全排列即可，再根据对应的行列式的值为正数得到即ad＞bc，由4×8＞2×1，8×2＞4×1，即可求出满足的种数，根据概率公式计算即可．解答：解：矩阵的元素为随机从1、2、4、8中选取的4个不同数值，共有A44=24种，∵=ad﹣bc＞，即ad＞bc，由4×8＞2×1，8×2＞4×1，∴对应的行列式有2A22A22=8种，故对应的行列式的值为正数的概率为P==，故答案为：．点评：本题考查行列式运算法则，古典概率的概率，排列组合等问题，属于中档题．13．（4分）设x，y满足约束条件：若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则的最小值为3+2．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最大值的条件，然后利用基本不等式进行求则的最小值．解答：解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得，∵a＞0，b＞0，∴直线的斜率，作出不等式对应的平面区域如图：平移直线得，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，4），此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，即2a+4b=2，∴a+2b=1，=+=（+）×1=（+）×（a+2b）=1+2++≥3+2=3+2，当且仅当=，即a=b时取等号．故最小值为3+2，故答案为：3+2．点评：本题主要考查线性规划的基本应用，以及基本不等式的应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键．14．（4分）已知集合A n={a1，a2，…，a n），a j=0或1，j=1，2，…，n（n≥2）}，对于U，V∈A n，d（U，V）表示U和V中相对应的元素不同的个数，若给定U∈A6，则所有的d（U，V）和为192．考点：元素与集合关系的判断．专题：推理和证明．分析：易知A n中共有2n个元素，分别记为v k（k=1，2，3，…，2n，v=（b1，b2，b3，…b n）b i=0的v k共有2n﹣1个，b i=1的v k共有2n﹣1个然后求和即可得到d（U，V）和与n的关系式，将n=6代入即可得到答案．．解答：解：易知A n中共有2n个元素，分别记为v k（k=1，2，3，…，2n），V=（b1，b2，b3，…，b n）∵b i=0的v k共有2n﹣1个，b i=1的v k共有2n﹣1个．∴d（U，V）=2n﹣1（|a1﹣0|+|a1﹣1|+|a2﹣0|+a2﹣1|+|a3﹣0|+|a3﹣1|+…+|a n﹣0|+|a n﹣1|）=n×2n﹣1∴d（U，V）=n×2n﹣1．故答案为：n×2n﹣1当n=6时，n×2n﹣1=192，故答案为：192点评：此题是个难题．本题是综合考查集合推理综合的应用，这道题目的难点主要出现在读题上，需要仔细分析，以找出解题的突破点．题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于S n的，其实S n中的元素就是一个n维的坐标，其中每个坐标值都是0或者1，也可以这样理解，就是一个n位数字的数组，每个数字都只能是0和1，第二个定义d（U，V）．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）“a+b＞0”是“任意的x∈[0，1]，ax+b＞0恒成立”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若任意的x∈[0，1]，ax+b＞0恒成立”，则设f（x）=ax+b，则满足，即a+b＞0，b＞0，则“a+b＞0”是“任意的x∈[0，1]，ax+b＞0恒成立”的必要不充分条件，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数关系是解决本题的关键．16．（5分）若•+||2=0，则△ABC为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形考点：三角形的形状判断．专题：解三角形．分析：依题意，可求得c=acosB，再利用正弦定理可得sinC=sinAcosB，即sin（A+B）=sinAcosB，利用两角和的正弦将等号左端展开，可求得cosA=0，从而可得答案．解答：解：∵•+||2=0，∴accos（π﹣B）+c2=0，即c2=accosB，∴c=acosB，由正弦定理==2R得：sinC=sinAcosB，∵△ABC中，C=π﹣（A+B），∴sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=sinAcosB，∴cosAsinB=0，又sinB≠0，∴cosA=0，A∈（0，π），∴A=．故选：B．点评：本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与诱导公式及两角和的正弦的综合应用，属于中档题．17．（5分）函数y=ln|x﹣1|的图象与函数y=﹣cosπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．6 B．5 C．4 D．3考点：余弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据函数的性质对称函数y=ln|x﹣1|的图象与函数y=﹣cosπx（﹣2≤x≤4）的图象关于x=1对称，画出图象判断交点个数，利用对称性整体求解即可．解答：解：∵y=ln|x|是偶函数，对称轴x=0，∴函数y=ln|x﹣1|的图象的对称轴x=1，∵函数y=﹣cosπx，∴对称轴x=k，k∈z，∴函数y=ln|x﹣1|的图象与函数y=﹣cosπx（﹣2≤x≤4）的图象关于x=1对称，由图知，两个函数图象恰有6个交点，其横坐标分别为x1，x2，x3，与x1′，x2′，x3′，可知：x1+x1′=2，x2=2，x3=2，∴所有交点的横坐标之和等于6故选：A．点评：本题他考查对数函数与余弦函数的图象与性质，着重考查作图与分析、解决问题的能力，作图是难点，分析结论是关键，属于难题18．（5分）已知x、y均为实数，记max{x，y}=，min{x，y}=．若i表示虚数单位，且a=x1+y1i，b=x2+y2i，x1，y1，x2，y2∈R，则（）A．min{|a+b|，|a﹣b|}≤min{|a|，|b|} B．max{|a+b|，|a﹣b|}≤max{|a|，|b|} C．min{|a+b|2，|a﹣b|2}≥|a|2+|b|2D．max{|a+b|2，|a﹣b|2}≥{|a|2+|b|2考点：复数求模；复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：通过转化为向量加法与减法的几何意义，结合题目中的取最大与最小值，对选项中的问题进行分析判断，对错误选项进行排除即可．解答：解：∵a=x1+y1i，b=x2+y2i，x1，y1，x2，y2∈R，∴可记=（x1，y1），=（x2，y2），则||=|a|，||=|b|，∴|±|2=||2+||2±2||•||，∴max{|a+b|2，|a﹣b|2}≥|a|2+|b|2成立，D正确；对于A，当⊥时，易知不等式不成立，C不正确；对于B，当=且均不为零向量时，易知不等式不成立，B不正确；对于C，当=且均不为零向量时，易知不等式不成立，C不正确；故选：D．点评：本题考查复数的几何意义的应用问题，解题时应排除法，对错误选项进行举反例说明，注意解题方法的积累，属于中档题．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的零点，并求反函数f﹣1（x）；（2）设g（x）=2log2，若不等式f﹣1（x）≤g（x）在区间[，]上恒成立，求实数k的范围．考点：反函数；函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由函数f（x）==0，由，解得x即可得出．由y=，解得x=，把x与y互换，即可得出反函数．（2）k＞0，由不等式f﹣1（x）≤g（x）得到k2≤（1﹣x）（1+x）=1﹣x2，再利用二次函数的单调性即可得出．解答：解：（1）由函数f（x）==0，∴，解得x=0．∴函数f（x）的零点是x=0．由y=，解得，x=，把x与y互换，可得f﹣1（x）=，x∈（﹣1，1）．（2）∵k＞0，∴≤=，得到k2≤（1﹣x）（1+x）=1﹣x2，∵x∈[，]，当时，右边最小值为，解得．∴实数k的范围是．点评：本题考查了反函数的求法、二次函数的单调性、指数函数与对数函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（14分）如图，已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F．（1）求证：A1C⊥平面BDE；（2）求三棱锥C﹣BDE的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）先证明：BD⊥A1C，BE⊥A1C，再证明A1C⊥平面BDE；（2）利用V C﹣BDE=V E﹣BDC，求三棱锥C﹣BDE的体积．解答：（1）证明：因为BD⊥AC，BD⊥AA1，AC∩AA1=A，所以BD⊥平面A1AC，所以BD⊥A1C；（3分）又因为BE⊥B1C，BE⊥A1B1，B1C∩A1B1=B1，所以BE⊥平面A1B1C，所以BE⊥A1C；因为BD∩BE=B所以A1C⊥平面BDE．（6分）（2）解：由题意CE=1，（8分）所以V C﹣BDE=V E﹣BDC==（14分）点评：本题考查线面垂直，考查三棱锥C﹣BDE的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（14分）如图，某污水处理厂要在一个矩形ABCD的池底水平铺设污水净化管道（直角△EFG，E是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口E是AB的中点，F，G分别落在AD，BC上，且AB=20m，AD=10m，设∠GEB=θ．（1）试将污水管道的长度l表示成θ的函数，并写出定义域；（2）当管道长度l为何值时，污水净化效果最好，并求此时管道的长度．考点：三角函数的最值．专题：解三角形．分析：（1）根据题意分别表示出EG，EF，FG，进而表示出l的表达式．（2）设sinθ+cosθ把l转化为关于t的方程，利用单调性确定最大值．解答：（1）因为EG=，EF=，FG=，l=10（++），θ∈[，]．（2）l=•10设t=sinθ+cosθ=sin（θ+）∈[，]，l=•10=，为减函数，∴当θ=或时，有最大值20（+1），答：当θ=或时，污水净化效果最好，l最大值20（+1）m．点评：本题主要考查了三角形问题的实际应用．解题的重要的地方是建立数学模型，把实际问题转化为数学问题来解决．22．（16分）对于给定数列{c n}，如果存在实常数p，q，使得c n+1=pc n+q（p≠0）对于任意的n∈N*都成立，我们称这个数列{c n}是“M类数列”．（1）若a n=2n，b n=3.2n，n∈N*，判断数列{a n}，{b n}是否为“M类数列”，并说明理由；（2）若数列{a n}是“M类数列”，则数列{a n+a n+1}、{a n•a n+1}是否一定是“M类数列”，若是的，加以证明；若不是，说明理由；（3）若数列{a n}满足：a1=1，a n+a n+1=3.2n（n∈N*），设数列{a n}的前n项和为S n，求S n的表达式，并判断{a n}是否是“M类数列”．考点：数列的应用．专题：证明题；等差数列与等比数列．分析：（1）运用 M类数列定义判断，（2）{a n}是“M类数列”，得出a n+1=pa n+q，a n+2=pa n+1+q，求解a n+1+a n+2，a n+1a n+2的式子，结合定义判断即可（3）整体运用a n+a n+1=3.2n（n∈N*），分类得出：当n为偶数时，S n=3（2+23+…+2n﹣1）=2n+1﹣2，n为奇数时，S n=1+3（22+24+…+2n﹣1）=2n+1﹣3，化简即可得出S n，再运用反证法证明即可．解答：解：（1）因为a n+1=a n+2，p=1，q=2是“M类数列”，b n+1=2b n，p=2，q=0是“M类数列”．（2）因为{a n}是“M类数列”，所以a n+1=pa n+q，a n+2=pa n+1+q，所以a n+1+a n+2=p（a n+1+a n+2）+2q，因此，{a n+a n+1}是“M类数列”．因为{a n}是“M类数列”，所以a n+1=pa n+q，a n+2=pa n+1+q，所以a n+1a n+2=p2（a n a n+1）+pq（a n+a n+1）+q2，当q=0时，是“M类数列”；当q≠0时，不是“M类数列”；（3）当n为偶数时，S n=3（2+23+…+2n﹣1）=2n+1﹣2，当n为奇数时，S n=1+3（22+24+…+2n﹣1）=2n+1﹣3，所以S n=．当n为偶数时a n=S n﹣S n﹣1=2n+1﹣2﹣（2n﹣3）=2n+1，当n为奇数时，a n=S n﹣S n﹣1=2n+1﹣3﹣（2n﹣2）=2n﹣1（n≥3），所以a n=假设{a n}是“M类数列”，当n为偶数时，a n+1=2n+1﹣1=pa n+q=p（2n+1）+qp=2，q=﹣3，当n为奇数时，a n+1=2n+1+1=pa n+q=p（2n﹣1）+q，p=2，q=3，得出矛盾，所以{a n}不是“M类数列”．点评：本题题意很新颖，解决问题紧扣定义即可，注意分类讨论，整体求解，属于难题，运算量较大．23．（18分）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A、B、C、D．记λ=，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．（1）设直线l：y=kx（k＞0），若S1=3S2，证明：B，C是线段AD的四等分点；（2）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；（3）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）根据椭圆的对称性，结合S1=3S2，又因为M，N到直线l的距离相等，证出即可；（2）由n+m=λ（m﹣n），得到λ2﹣2λ﹣1=0，解出即可；（3）分别设出椭圆C1，C2和l的方程，得到（λ﹣1）x A=（λ+1）x B，通过讨论λ的范围，从而求出结论．解答：（1）证明：因为S1=3S2，又因为M，N到直线l的距离相等，所以|BD|=3|BA|，由椭圆的对称性，得到|DC|=|BA|，|CO|=|OB|，所以|BC|=2|BA|⇒|BO|=|BA|，即B是OA中点，同理，C是OD中点，B，C是AD的四分点，得证．（2）解：因为S1=λS2，所以n+m=λ（m﹣n），∴λ==，∴λ2﹣2λ﹣1=0，解得：λ=+1（小于1的根舍去）．（3）解：设椭圆C1：+=1（a＞m），C2：+=1，直线l：y=kx（k≠0），由⇒x2=，即：=，同理可得：=，又∵△BDM和△ABN的高相等，∴===，若存在非零实数k使得S1=λS2，则有（λ﹣1）x A=（λ+1）x B，即：=，解得：k2=，∴当λ＞1+时，k2＞0，存在这样的直线l；当1＜λ≤1+时，λ2≤0，不存在这样的直线．点评：本题考察了含有参数的直线和椭圆的综合问题，第三问设出椭圆C1，C2和l的方程，得到（λ﹣1）x A=（λ+1）x B是解答本题的关键．。

普陀区高三第二次模拟数学试卷2015.042022年学年普陀区第二次高三数学质量检测数学试2022年. 04时间：120分钟；满分：150分一、填空题（每小题4分，共56分）x1．已知集合A 1,0,a ,B x 2 2，若AIB ，则实数a的取值范围是用n的表达式对Tn赋值，则空白处理框中应填入：Tn←____________．12．不等式x1a 2 siny对一切非零实数x,y均成立，则实数a的范围为x13．平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点.定义P(x1,y1)、Q(x2,y2)两点之间的“直角距离”为d(P,Q)=x1-x2+y1-y2，已知点B(1,0)，点M是直线kx-y+k+3=0(k 1)上的动点，d(B,M)的最小值为．14．当n为正整数时，用N(n)表示n的最大奇因数，如N(3) 3,N(10) 5,设Sn N(1) N(2) N(3) N(4) 和的表达式为．二、选择题（每小题5分，共20分）15．已知l，m是两条不同的直线，是一个平面，以下命题正确的是（）（A）若l , l m, 则m，2．函数y cos(x) sin (x )的最小正周期为．3．在等差数列{an}中，已知a1 2,a2 a3 13,则a4 a5 a64．若tan 2，是直线y kx b的倾斜角，则．（用的反正切表示）5．设(1 2i) 3 4i（i为虚数单位），则|z| ．6．直角坐标系xoy内有点A（2，1），B（0，2），将线段AB 绕直线y 1旋转一周，所得到几何体的体积为．N(2n 1) N(2n)，则数列Sn Sn 1 (n 2)的前n项x y17.已知平面向量a (x1,y1),b (x2,y2)，若a 2,b 3,a b 6，则1x2 y2ax8．设a 0,a 1，行列式D 221301中第3行第2列的代数余子式记作y，函数y f x 4 3；（B）若l// , m , 则l//m；（C）若l , m// , 则l m；（D）若l , l m, 则m// ；16．以下是科学家与之相研究的领域不匹配的是（）（A）笛卡儿―解析几何；（B）帕斯卡―概率论；（C）康托尔―集合论；（D）祖之―复数论；17．已知各项均不为零的数列{an},定义向量cn (an,an 1)，bn (n,n 1)，n N*. 下列命题中真命题是（）(A) 若n N*总有cn//bn成立，则数列{an}是等差数列(B) 若n N*总有cn//bn成立，则数列{an}是等比数列(C) 若n N*总有cn bn成立，则数列{an}是等差数列(D) 若n N*总有cn bn成立，则数列的反函数经过点2,1 ，则a= ．9．某学生参加3门课程的考试。