2.17正余弦定理综合

正余弦定理是三角学中的重要知识点，用于解决与三角形相关的问题。

下面是对正余弦定理的知识点及题型归纳：一、正弦定理1. 定义：在任意三角形ABC中，设角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，那么有sinA/a = sinB/b = sinC/c。

2. 性质：-等式两边同时乘以任意非零常数，等式仍然成立；-等式两边同时除以相同的角，等式仍然成立；-等式两边同时取反函数，等式仍然成立。

3. 应用：-已知三个角的度数，求边长；-已知两个边的长度，求第三个边的长度；-已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数；-已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数。

二、余弦定理1. 定义：在任意三角形ABC中，设角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，那么有cosA = (b ²+ c²- a²) / (2bc)。

2. 性质：-等式两边同时乘以任意非零常数，等式仍然成立；-等式两边同时除以相同的角，等式仍然成立；-等式两边同时取反函数，等式仍然成立。

3. 应用：-已知三个角的度数，求边长；-已知两个边的长度，求第三个边的长度；-已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数；-已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数。

三、题型归纳1. 已知三个角的度数，求边长：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度代入公式中，求解边长；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。

2. 已知两个边的长度，求第三个边的长度：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的两个边的长度代入公式中，求解第三个边的长度；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。

3. 已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度和边的长度代入公式中，求解另外两个角的度数；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。

4. 已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度和两条边的长度代入公式中，求解第三个角的度数；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。

高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理第7讲正弦定理与余弦定理[学生用书P82]1．正弦定理和余弦定理2.三角形中常用的面积公式(1)S＝ah(h表示边a上的高)；(2)S＝bc sin A＝ac sin_B＝ab sin C；(3)S＝，其中p＝(a＋b＋c)．1．辨明两个易误点(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要注意分类讨论．(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．2．余弦定理的推导过程如图，设＝a，＝b，＝c.则c＝a－b，所以|c|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos C.即c2＝a2＋b2－2ab cos C.同理可证a2＝b2＋c2－2bc cos A.b2＝c2＋a2－2ca cos B.3．三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A<a<b a≥b a>b解的个数一解两解一解一解1. 在△ABC中，A＝45°，C＝30°，c＝6，则a等于( )A．3 B．6C．2 D．3B [解析] 由正弦定理得＝，所以a＝＝＝6.2. 在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C＝( )A．90° B．120°C．135° D．150°B [解析] cos B＝＝＝.所以B＝60°，所以A＋C＝120°.3．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形( ) A．无解 B．有两解C．有一解 D．解的个数不确定B [解析] 因为＝，所以sin B＝·sin A＝×sin 45°＝.又因为a<b，所以B有两解．4．已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，若cos B＝，a＝10，△ABC的面积为42，则c＝________．[解析] 依题意可得sin B＝，又S△ABC＝ac sin B＝42，则c＝14.[答案] 145．(2016·高考北京卷)在△ABC中，∠A＝，a＝c，则＝________．[解析] 在△ABC中，∠A＝，所以a2＝b2＋c2－2bc cos，即a2＝b2＋c2＋bc.因为a＝c，所以3c2＝b2＋c2＋bc，所以b2＋bc－2c2＝0，所以(b＋2c)(b－c)＝0，所以b－c＝0，所以b＝c，所以＝1.[答案] 1利用正、余弦定理解三角形(高频考点)[学生用书P83] 利用正、余弦定理解三角形是高考的热点，三种题型在高考中时有出现，其试题为中档题．高考对正、余弦定理的考查有以下两个命题角度：(1)由已知求边和角；(2)解三角形与三角函数结合．[典例引领](1)(2016·高考全国卷丙)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝( )A. B.C．－ D．－(2)(2016·高考全国卷甲)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________．【解析】(1)设△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，由题意可得a＝c sin ＝c，则a＝c.在△ABC中，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝c2＋c2－3c2＝c2，则b＝c.由余弦定理，可得cos A＝＝＝－，故选C.(2)因为A，C为△ABC的内角，且cos A＝，cos C＝，所以sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C ＝×＋×＝.又a＝1，所以由正弦定理得b＝＝＝×＝.【答案】(1)C (2)利用正、余弦定理解三角形的应用(1)解三角形时，如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．[题点通关]角度一由已知求边和角1．(2017·兰州市实战考试)在△ABC中，a，b，c分别是内角A、B、C的对边．若b sin A＝3c sin B，a＝3，cos B＝，则b＝( )A．14 B．6C. D.D [解析] b sin A＝3c sin B⇒ab＝3bc⇒a＝3c⇒c＝1，所以b2＝a2＋c2－2ac cos B＝9＋1－2×3×1×＝6，b＝，故选D.角度二解三角形与三角函数结合2．(2017·河北省五校联盟质量检测)已知锐角△ABC中内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a2＋b2＝6ab cos C，且sin2C＝2sin A sinB.(1)求角C的值；(2)设函数f(x)＝sin－cos ωx(ω＞0)，且f(x)图象上相邻两最高点间的距离为π，求f(A)的取值范围．[解] (1)因为a2＋b2＝6ab cos C，由余弦定理知a2＋b2＝c2＋2ab cos C，所以cos C＝，又sin2C＝2sin A sin B，则由正弦定理得c2＝2ab，所以cos C＝＝＝，又因为C∈(0，π)，所以C＝.(2)f(x)＝sin－cos ωx＝sin ωx－cos ωx＝sin，由已知可得＝π，所以ω＝2，则f(A)＝sin，因为C＝，所以B＝－A，因为0＜A＜，0＜B＜，所以＜A＜，所以0＜2A－＜，所以f(A)的取值范围是(0，]．利用正弦、余弦定理判定三角形的形状[学生用书P83] [典例引领](1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为( )A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．不确定(2)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若＋＝2c，则△ABC是( )A．等边三角形 B．锐角三角形C．等腰直角三角形 D．钝角三角形【解析】(1)由正弦定理得sin B cos C＋cos B sin C＝sin2A，则sin(B＋C)＝sin2A，由三角形内角和，得sin(B＋C)＝sin A＝sin2A，即sin A＝1，所以∠A＝.即△ABC为直角三角形．(2)因为＋＝2c，所以由正弦定理可得＋＝2sin C，而＋≥2＝2，当且仅当sin A＝sin B时取等号，所以2sin C≥2，即sin C≥1.又sin C≤1，故可得sin C＝1，所以∠C＝90°.又因为sin A＝sin B，可得A＝B，故三角形为等腰直角三角形，故选C.【答案】(1)A (2)C若将本例(1)条件改为“2sin A cos B＝sin C”，试判断△ABC的形状．[解] 法一：由已知得2sin A cos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，即sin(A－B)＝0，因为－π＜A－B＜π，所以A＝B，故△ABC为等腰三角形．法二：由正弦定理得2a cos B＝c，再由余弦定理得2a·＝c⇒a2＝b2⇒a＝b，故△ABC为等腰三角形．判断三角形形状的常用技巧若已知条件中有边又有角，则(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．[通关练习]1．在△ABC中，已知2A＝B＋C，且a2＝bc，则△ABC的形状是( )A．两直角边不等的直角三角形B．顶角不等于90°或60°的等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形C [解析] 由2A＝B＋C，知A＝60°.又cos A＝，所以＝，所以b2＋c2－2bc＝0，即(b－c)2＝0，所以b＝c.故△ABC为等边三角形．2．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.(1)求角A的大小；(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．[解] (1)由题意知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.(*)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，故cos A＝－，所以A＝120°.(2)由(*)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin B sin C.又sin B＋sin C＝1，故sin B＝sin C＝.因为0°<B<90°，0°<C<90°，故B＝C.所以△ABC是等腰钝角三角形．与三角形面积有关的问题[学生用书P84][典例引领](2017·高考全国卷乙)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.(1)求sin B sin C；(2)若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．【解】(1)由题设得ac sin B＝，即c sin B＝.由正弦定理得sin C sin B＝.故sin B sin C＝.(2)由题设及(1)得cos B cos C－sin B sin C＝－，即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝.由题设得bc sin A＝，即bc＝8.由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，得b＋c＝.故△ABC的周长为3＋.与三角形面积有关问题的解题策略(1)求三角形的面积．对于面积公式S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．(3)求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题．一般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．(2017·重庆第一次适应性测试)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(B＋C)＝－sin 2A.(1)求A；(2)设a＝7，b＝5，求△ABC的面积．[解] (1)由cos(B＋C)＝－sin 2A可得，－cos A＝－sin 2A，所以cos A＝×2sin A cos A，因为△ABC为锐角三角形，所以cos A≠0，故sin A＝，从而A＝.(2)因为A＝，故cos A＝，由余弦定理可知，a2＝b2＋c2－2bc cos A，即49＝25＋c2－5c，所以c2－5c－24＝0，解得c＝－3(舍去)，c＝8，所以△ABC的面积为bc sin A＝×5×8×＝10.[学生用书P85])——正、余弦定理的应用(本题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝，b2－a2＝c2.(1)求tan C的值；(2)若△ABC的面积为3，求b的值．[思维导图](1)(2)(1)由b2－a2＝c2及正弦定理得sin2B－＝sin2C，所以－cos 2B＝sin2C.(3分)又由A＝，即B＋C＝π，得－cos 2B＝sin 2C＝2sin C cos C，解得tan C＝2.(6分)(2)由tan C＝2，C∈(0，π)，得sin C＝，cos C＝.(8分)因为sin B＝sin(A＋C)＝sin，所以sin B＝.(9分)由正弦定理得c＝，(10分)又因为A＝，bc sin A＝3，所以bc＝6，(11分)故b＝3.(12分)(1)本题是解三角形与三角恒等变换的结合，求解中首先利用正弦定理把边的关系转化为三角函数关系，再利用恒等变换，再次应用正弦定理，求解所求问题．(2)计算准确，争取得满分①公式运用要准确，这是计算正确的前提．②算数要准确无误，尤其注意正、负号的选择，计算时要尽量利用学过的公式简化计算过程．[学生用书P280(独立成册)]1．(2017·兰州市实战考试)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2＝ac，c＝2a，则cos C＝( )A. B．－C. D．－B [解析] 由题意得，b2＝ac＝2a2，b＝a，所以cos C＝＝＝－，故选B.2．(2017·重庆适应性测试(二))在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2＝ab＝，则△ABC的面积为( )A. B.C. D.B [解析] 依题意得cos C＝＝，C＝60°.因此，△ABC的面积等于ab sin C＝××＝，选B.3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＜cos A，则△ABC为( )A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．等边三角形A [解析] 已知＜cos A，由正弦定理，得＜cos A，即sin C＜sinB cos A，所以sin(A＋B)＜sin B cos A，即sin B·cos A＋cos B sin A－sin B cos A＜0，所以cos B sin A＜0.又sin A＞0，于是有cos B＜0，B为钝角，所以△ABC是钝角三角形．4．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则的值为( )A．1 B．2C．3 D．4A [解析] 由正弦定理得＝，由余弦定理得cos A＝，因为a＝4，b＝5，c＝6，所以＝＝2··cos A＝2××＝1.5．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b sin A－a cos B＝0，且b2＝ac，则的值为( )A. B.C．2 D．4C [解析] 在△ABC中，由b sin A－a cos B＝0，利用正弦定理得sin B sin A－sin A cos B＝0，所以tan B＝，故B＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－ac，即b2＝(a＋c)2－3ac，又b2＝ac，所以4b2＝(a＋c)2，求得＝2.6．(2017·哈尔滨一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝1，a＝2c，则当C取最大值时，△ABC的面积为( )A. B.C. D.B [解析] 当C取最大值时，cos C最小，由cos C＝＝＝≥，当且仅当c＝时取等号，且此时sin C＝，所以当C取最大值时，△ABC的面积为ab sin C＝×2c×1×＝.7．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，三角形的面积S＝，则三角形外接圆的半径为________．[解析] 由面积公式，得S＝bc sin A，代入得c＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，故a＝2，由正弦定理，得2R＝＝，解得R＝2.[答案] 28．(2017·高考浙江卷)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________．[解析] 在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，由余弦定理得cos∠ABC＝＝＝，则sin∠ABC＝sin∠CBD＝，所以S△BDC＝BD·BC sin∠CBD＝.因为BD ＝BC＝2，所以∠CDB＝∠ABC，则cos∠CDB＝＝.[答案]9．(2017·贵阳市监测考试)在△ABC中，内角A、B、C所对边分别是a、b、c，若sin2＝，则△ABC的形状一定是________．[解析] 由题意，得＝，即cos B＝，又由余弦定理，得＝，整理，得a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形．[答案] 直角三角形10．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，sin A，sin B，sin C成等差数列，且a＝2c，则cos A＝________．[解析] 因为sin A，sin B，sin C成等差数列，所以2sin B＝sin A ＋sin C.因为＝＝，所以a＋c＝2b，又a＝2c，可得b＝c，所以cos A＝＝＝－.[答案] －11．(2016·高考天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a sin 2B＝b sin A.(1)求B；(2)若cos A＝，求sin C的值．[解] (1)在△ABC中，由＝，可得a sin B＝b sin A.又由a sin 2B＝b sin A，得2a sin B cos B＝b sin A＝a sin B，所以cos B＝，所以B＝.(2)由cos A＝，可得sin A＝，则sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin＝sin A＋cos A＝.12．(2017·河南省八市重点高中质量检测)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2a sin A＝(2sin B－sin C)b＋(2sin C －sin B)c.(1)求角A的大小；(2)若a＝2，b＝2，求△ABC的面积．[解] (1)由已知及正弦定理可得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，整理得b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝.又A∈(0，π)，故A＝.(2)由正弦定理＝，a＝2，b＝2，A＝，得sin B＝.又B∈，故B＝或.若B＝，则C＝，于是S△ABC＝ab＝2；若B＝，则C＝，于是S△ABC＝ab sin C＝.13．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，＝a，a＝2.若b∈[1，3]，则c的最小值为( )A．2 B．3C．2 D．2B [解析] 由＝a，得＝sin C．由余弦定理可知cos C＝，即3cos C＝sin C，所以tan C＝，故cos C＝，所以c2＝b2－2b＋12＝(b－)2＋9，因为b∈[1，3]，所以当b＝时，c取最小值3.14．已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，2a sin B＝b，b＝2，c＝3，AD是内角的平分线，则BD＝________．[解析] 由2a sin B＝b及正弦定理得2sin∠BAC·sin B＝sin B，所以sin∠BAC＝.因为∠BAC为锐角，所以∠BAC＝.因为AD是内角平分线，所以＝＝＝.由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC＝4＋9－2×2×3×＝7，所以BC＝，BD＝.[答案]15．(2017·武汉市调研测试)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＋＝4cos C，b＝1.(1)若A＝90°，求△ABC的面积；(2)若△ABC的面积为，求a，c.[解] (1)因为b＝1，所以a＋＝4cos C＝4×＝，所以2c2＝a2＋1.又A＝90°，所以a2＝b2＋c2＝c2＋1，所以2c2＝a2＋1＝c2＋2，所以c＝，a＝，所以S△ABC＝bc sin A＝bc＝×1×＝.(2)因为S△ABC＝ab sin C＝a sin C＝，所以sin C＝，因为a＋＝4cos C，sin C＝，所以＋＝1，化简得(a2－7)2＝0，所以a＝，从而c＝2.16．(2017·高考全国卷丙)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．[解] (1)由已知可得tan A＝－，所以A＝.在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4c cos，即c2＋2c－24＝0.解得c＝－6(舍去)，c＝4.(2)由题设可得∠CAD＝，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝.故△ABD面积与△ACD面积的比值为＝1.又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝2，所以△ABD的面积为.。

正、余弦定理一、知识总结 (一)正弦定理1.正弦定理：2,sin sin sin a b cR A B C===其中R 是三角形外接圆半径. 2.变形公式：（1）化边为角：（2）化角为边：（3）（4）.3、正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一）（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角. （解可能不唯一）在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 1.余弦定理: 2222cos a b c bc A =+-2222cos c a b ab C =+-2222cos b a c ac B =+-2.变形公式:222222222cos ,cos ,cos .222b c a a c b a b c A B C ab ac ab+-+-+-===.注：2a ＞22c b +⇒A 是钝角；2a =22c b +⇒A 是直角；2a ＜22c b +⇒A 是锐角；2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ===sin ,sin ,sin ;222a b cA B C R R R ===::sin :sin :sin a b c A B C =2sin sin sin sin sin sin a b c a b c RA B C A B C ++====++3.余弦定理可以解决的问题：（1）已知三边，求三个角；（解唯一）（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：4.由余弦定理判断三角形的形状a2=b2+c2⇔A是直角⇔△ABC是直角三角形，a2＞b2+c2⇔A是钝角⇔△ABC是钝角三角形，a2＜b2+c⇔A是锐角/△ABC是锐角三角形。

（注意：A是锐角/ △ABC是锐角三角形，必须说明每个角都是锐角）(三) ΔABC的面积公式:（1）1() 2a aS a h h a= 表示边上的高；（2）111sin sin sin() 2224abcS ab C ac B bc A RR====为外接圆半径；（3）1()() 2S r a b c r=++为内切圆半径(四) 实际问题中的常用角1.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）2.方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。

三角形正余弦定理公式a/sinA = b/sinB = c/sinC余弦定理的公式如下：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosCb^2 = a^2 + c^2 - 2accosBa^2 = b^2 + c^2 - 2bccosA接下来，我们将推导上述公式。

首先，我们以正弦定理开始推导：根据正弦定理，我们知道a/sinA = b/sinB。

假设我们知道其中两个比值，我们可以通过比较这两个比值来推导出第三个比值。

将两个比值相等的两个方程进行等式转换：a/sinA = b/sinBb/sinB = c/sinC将第一个方程两边乘以sinB，第二个方程两边乘以sinA，可以得到：a*sinB = b*sinA将这两个等式相等的两个比值相减，可得到：a*sinB - b*sinA = 0我们可以得到：b*sinA = a*sinB这意味着边长a与角度A的正弦值相等于边长b与角度B的正弦值。

由此得到了正弦定理。

现在，让我们来推导余弦定理：在三角形ABC中，我们可以通过向量的内积来得到余弦值。

令向量AB为a，向量AC为b。

根据三角形余弦定理，我们有：c^2=，a-b，^2=(a-b)•(a-b)（这里的^2表示平方，，表示向量的模，•表示向量的内积）=a•a-a•b-b•a+b•b=，a，^2-2(a•b)+，b，^2将向量的长度记为边长，即a=，a，b=，b，得到：c^2=a^2-2(a•b)+b^2利用三角形余弦定理的定义，我们可以得到：a •b = ，a， * ，b， * cosC将其代入上式，可以得到：c^2 = a^2 - 2(，a， * ，b， * cosC) + b^2这样我们就得到了三角形余弦定理。

通过以上推导，我们得到了三角形正弦定理和余弦定理的公式。

在实际应用中，我们可以根据具体问题来选择合适的定理进行计算。

下面将通过一些解题示例来说明如何应用这些公式。

【解题示例】①已知一个三角形的两边分别为3和4，夹角为60度，求第三边的长度。

正余弦定理正余弦定理指定是正弦定理、余弦定理，是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决三角形的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

基本信息中文名称正余弦定理外文名称Is Cosine Theorem包含正弦定理、余弦定理概念直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比应用学科数学1 正弦定理1.1 定理概述a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 正余弦定理正余弦定理正弦定理(Sine theorem) （1）已知三角形的两角与一边，解三角形（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。

1.2 证明步骤1在锐角△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c。

作CH⊥AB垂足为点H CH=a·sinBCH=b·sinA∴a·sinB=b·sinA得到正余弦定理正余弦定理a/sinA=b/sinB同理，在△ABC中，余弦b/sinB=c/sinC步骤2.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90度因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等，所以∠D等于∠C. 所以c/sinC=c/sinD=BD=2R类似可证其余两个等式。

2 余弦定理2.1 概述余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值2.2 性质对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质——a^2 = b^2+ c^2 - 2·b·c·cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosCcosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b)cosB = (a^2 + c^2 -b^2) / (2·a·c)cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b·c)（物理力学方面的平行四边形定则中也会用到）第一余弦定理（任意三角形射影定理）设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A。

正余弦定理 正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin === 余弦定理：,cos 2222A bc c b a -+=⇔bca cb A 2cos 222-+= ,cos 2222B ca a c b -+=⇔ca b a c B 2cos 222-+= C ab b a c cos 2222-+=，⇔ab c b a C 2cos 222-+= 3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则 A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式a ＜b sin A a ＝b sin A b sin A ＜a ＜b a ≥b a ＞b a ≤b 解的个数无解 一解 两解 一解 一解 无解两类问题 在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角． 两种途径 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．例1：在∆ABC 中，已知045A =，060B =，42a =cm ，解三角形.例2：06,45,2,,ABC c A a b B C ∆===中，求和.练习：（1）03,60,1,,ABC b B c a A C ∆===中，求和.（2）已知∆ABC 中，∠A =60°，3a =，求sin sin sin a b c A B C++++. 例3：①在∆ABC 中，已知23=a ，62=+c ，060=B ，求b 及A .②在∆ABC 中，已知13a cm =，8b cm =，16c cm =，解三角形.练习：① 在ΔABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，求A 、B 和C .② 在ΔABC 中，已知a ＝2，b ＝3，C ＝82°，解这个三角形.（3）在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A .（4）三角形ABC 中，A ＝120°，b ＝3，c ＝5，解三角形. 变式：求sin B sin C ；sin B ＋sin C . 例4：在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C =6∶5∶4，求最大角的余弦.例5：在ΔABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，判断三角形的类型.例6：已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状.例7：（1）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知.412cos -=C （I ）求C sin 的值；（II ）当a=2，C A sin sin 2=时，求b 及c 的长.（2）在⊿ABC 中，BC=5，AC=3，sinC=2sinAI ：求AB 的值： II ：求sin 24A π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值 （3）在△ABC 中，面积S ＝a 2－(b －c )2，则cos A ＝（4）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝ 3.(1)求sin C 的值；(2)求△ABC 的面积．（5）在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且C b c B c b A a sin )2(sin )2(sin 2+++= （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.方法回顾：【例1】►在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A ，C 和边c .【训练1】在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________.【例2】►在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b 2a ＋c. (1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．【训练2】已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2 A 2＋cosA ＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．【例3】►在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状．【训练3】在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C ；则△ABC 是( )．【例4】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．【训练4】设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2.(1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值．【例5】►在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．【训练5】△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2 A ＝2a .(1)求b a ；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .【例6】►（1）在∆ABC 中，已知23=a ，62=+c ，060=B ，求b 及A ；【例7】►（1）在∆A B C 中，s i n c o s A A +=22，A C =2，A B =3，求A tan 的值和∆A B C 的面积。

正余弦定理知识点总结：一、正弦定理和余弦定理1、正弦定理和余弦定理注：在ΔABC中，sinA>sinB是A>B的充要条件。

（∵sinA>sinB ⇔22a bR R>⇔a>b ⇔A>B ） 二、应用举例1、实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图②）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。

仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。

（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）①北偏东α即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向； ②北偏本α即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；③南偏本等其他方向角类似。

（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角） 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i 为坡比） 2、ΔABC 的面积公式（1）1()2a a S a h h a =表示边上的高； （2）111sin sin sin ()2224abcS ab C ac B bc A R R ====为外接圆半径； （3）1()()2S r a b c r =++为内切圆半径。

〖例1〗（11浙江文）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=（ ）A ．12 B ．12C ． -1D ． 1 答案：D1.在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（A ）(0,]6π（B ）[,)6ππ（C ）(0,]3π（D ）[,)3ππ答案：C 解析：由222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-得222a b c bc ≤+-，即222122b c a bc +-≥，∴1cos 2A ≥，∵0A π<<，故03A π<≤，选C ．2.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c 等于( )A．1∶2∶3 B．2∶3∶4 C．3∶4∶5 D．1∶3∶2答案 D3．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.答案 102解析 ∵tan A ＝13，A ∈(0,180°)，∴sin A ＝1010.由正弦定理知BC sin A ＝AB sin C ，∴AB ＝BC ·sin C sin A ＝1×sin 150°1010＝102.4．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.答案 12 6解析 a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝6332＝12.∵S △ABC ＝12ab sin C ＝12×63×12sin C ＝18 3.∴sin C ＝12，∴c sin C ＝asin A＝12，∴c ＝6.〖例2〗（1）（10上海文）若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =则△ABCA ．一定是锐角三角形.B ．一定是直角三角形.C ．一定是钝角三角形.D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 解析：由sin :sin :sin 5:11:13A B C =及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得0115213115cos 222<⨯⨯-+=c ，所以角C 为钝角 （2）在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则ACcos A 的值等于______，AC 的取值范围为________．解析：由正弦定理得AC sin2A ＝BC sin A . 即AC 2sin A cos A ＝1sin A .∴ACcos A＝2.∵△ABC 是锐角三角形，∴0＜A ＜π2，0＜2A ＜π2，0＜π－3A ＜π2，解得π6＜A ＜π4.由AC ＝2cos A 得AC 的取值范围为(2，3)． 答案：2 (2，3)1．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C，则△ABC 是( ) A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形答案 B解析 由正弦定理知：sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C ，∴tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C .2．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫152，＋∞ B．(10，＋∞) C．(0,10) D.⎝⎛⎦⎥⎤0，403答案 D解析 ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C ．∴0<c ≤403.3．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是( )A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形答案 A解析 由正弦定理：sin A ＝2sin B cos C ，∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C ∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ，∴sin(B －C )＝0，∴B ＝C .4、在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c ，(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形解析：∵cos 2B2＝a ＋c 2c ，∴cos B ＋12＝a ＋c 2c ，∴cos B ＝ac ，∴a 2＋c 2－b 22ac ＝a c， ∴a 2＋c 2－b 2＝2a 2，即a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形． 答案：B〖例3〗（2009浙江文）在ABC ∆中，角,,AB C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos 25A =，3AB AC ⋅=． （I ）求ABC ∆的面积； （II ）若1c =，求a 的值． 解析：（Ⅰ）531)552(212cos2cos 22=-⨯=-=A A 又),0(π∈A ，54cos1sin2=-=A A ，而353cos .===bc A ，所以5=bc ，所以ABC ∆（Ⅱ）由（Ⅰ）知5=bc ，而1=c ，所以5=b ，所以5232125cos 222=⨯-+=-+=Abc c b a1、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos 25A =，3AB AC ⋅=．（I ）求ABC∆的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．解 （1）因为cos 25A =，234cos 2cos 1,sin 255A A A ∴=-==，又由3AB AC ⋅=得cos 3,bc A =5bc ∴=，1sin 22ABC S bc A ∆∴==（2）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，由余弦定理得2222cos 20a b c bc A =+-=，a ∴=2、在∆ABC 中，sin(C-A)=1, sinB=13。