有理数的加减乘除及乘方运算

有理数的加减乘除乘方计算（80小题）1.计算：(1)(−37)−(−47)；(2)(−53)−16；(3)(−210)−87；(4)1.3−(−2.7)．【答案】解：(1)(−37)−(−47)=−37+47=10；(2)(−53)−16=−69；(3)(−210)−87=−297；(4)1.3−(−2.7)=1.3+2.7=4．【解析】此题主要考查有理数的减法，解题关键是掌握有理数的减法法则，据此求解即可．(1)根据有理数的减法法则计算即可；(2)根据有理数的减法法则计算即可；(3)根据有理数的减法法则计算即可；(4)根据有理数的减法法则计算即可．2.计算：(1)−7+3−5+20；(2)223+(−223)+513−(−512)；(3)4.25+(−2.18)−(−2.75)+5.18；(4)43−(−87)−2−13−17【答案】解：(1)原式=−12+23=11；(2)原式=0+163+112=326+336=656=1056；(3)原式=(4.25+2.75)+(5.18−2.18)=7+3=10；(4)原式=(43−13)−2+(87−17)=1−2+1=0．【解析】此题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减混合运算法则和运算律是解题关键．(1)根据结合律和交换律先同号相加，再异号相加即可求解；(2)根据结合律和相反数的定义算223+(−223)并将513和512化成假分数，然后通分后算加法得出结果再化成带分数即可；(3)根据结合律和交换律先算4.25−(−2.75)和(−2.18)+5.18，再算加法即可求解；(4)根据结合律和交换律先算43−13和87−17，再算加减即可求解．3. 计算：(1)|−7|+|−9715|； (2)(+4.85)+(−3.25)；(3)(−3.1)+6.9；(4)−(−15)+(−645)；(5)(−3.125)+(+318)． 【答案】解：(1)原式=7+9715=16715；(2)原式=4.85−3.25=1.6；(3)原式=−(6.9−3.1)=−3.8；(4)原式=15−645=−635；(5)原式=−3.125+3.125=0．【解析】本题考查有理数的加法，以及绝对值，掌握运算法则是解题关键．(1)先化简绝对值，再计算加法即可；(2)先化简括号，再计算即可；(3)根据异号两数相加，取绝对值较大的符号，再用较大的绝对值减较小的绝对值即可；(4)先化简括号，再计算即可；(5)将分数化为小数，再计算即可．4. 用简便方法计算：(1)−13×23−0.34×27+13×(−13)−57×0.34；(2)(−13−14+15−715)×(−60)．【答案】解：(1)原式=(−13)×(23+13)+0.34×(−17−57)=−13×1+0.34×(−1)=−13−0.34=−13.34；(2)原式=−13×(−60)−14×(−60)+15×(−60)−715×(−60)=20+15−12+28=51【解析】本题主要考查了有理数的混合运算，关键是熟练掌握乘法运算律．(1)运用乘法分配律进行计算可得结果；(2)利用乘法分配律进行计算，最后计算加减可得结果．5. 计算：(1)(−8)×9×(−1.25)×(−19)；(2)−113×214÷(−112)；(3)(−132)÷(134−58+12)；(4)(−3)÷134×0.75×|−213|÷9．【答案】解：(1)原式=(−8)×(−1.25)×[9×(−19)]=10×(−1)=−10；(2)原式=−43×94×(−23) =2；(3)原式=(−132)÷(148−58+48)=(−132)÷138 =−132×813=−152；(4)原式=−3×47×34×73×19=−13．【解析】本题主要考查的是有理数的乘法，有理数的混合运算的有关知识．(1)利用有理数的乘法的计算法则进行计算即可；(2)利用混合运算的运算法则进行计算即可；(3)利用混合运算的运算法则进行计算即可；(4)利用混合运算的运算法则进行计算即可．6.计算：(1)−2.2+(−4.3)(2)−(−334)+(−15.5)(3)−(−5)−|−4|(4)−21−12+33+12−67．【答案】解：(1)−2.2+(−4.3)=−(2.2+4.3)=−6.5(2)−(−334)+(−15.5)=3.75−15.5=−(15.5−3.75)=−11.75(3)−(−5)−|−4|=5−4=1(4)−21−12+33+12−67=−100+45=−55．【解析】此题主要考查有理数的加减及混合运算(1)根据同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加求解(2)先求出相反数，根据异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值求解(3)先求出相反数和绝对值，再相减(4)利用分组法，符号相同的加在一起，再根据异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值求解7.计算：(1)(−99)+(−103)；(2)(−16)+9；(3)3+(−8)+(−1)．(4)|−18|+|−6|；(5)|−36|+|+24|．【答案】解：(1)(−99)+(−103)=−(99+103)=−202(2)(−16)+9=−(16−9)=−７；(3)3+(−8)+(−1)=3+(−9)=−(9−3)=−6．(4)|−18|+|−6|=18+6=24；(5)|−36|+|+24|=36+24=60．【解析】此题主要考查有理数的加法，根据同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值求解(1)根据同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加求解(2)根据异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值求解(3)先同号相加，再异号相加求解较简便(4)先求个数的绝对值，再相加(5)先求个数的绝对值，再相加8.计算题(1)−(−8)+(−32)+(−|−16|)+(+28)(2)0.36+(−7.4)+0.3+(−0.6)+0.64；。

有理数加减乘除乘方混合运算相关法则知识整理一、知识整理填空答案符号计算绝对值加法同号取相同的符号绝对值相加异号取绝对值大的符号绝对值相减减法减去一个数等于加上这个数的相反数乘法同号取正绝对值相乘异号取负除法同号取正绝对值相除异号取负除以一个数等于乘以这个数的倒数二、一个运算中，含有有理数的加、减、乘、除、乘方等多种运算，称为有理数的混合运算.三、运算法则1、有理数的加法法则：1）同号两数的相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2）异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3）一个数同0相加仍得这个数.2、有理数的减法法则: 减去一个数，等于加上这个数的相反数.3、有理数的乘法法则：1）两数相乘同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；2）任何数与0相乘，积仍为0.4、有理数的除法法则: 1）除以一个数就是乘以这个数的倒数；2）两数相除同号得正，异号得负；并把绝对值相除；3）零除以任何非零的数得为零.注：0不能作除数5、有理数的乘方符号法则：1）正数的任何次幂都是正数；2）负数的奇次幂为负，偶次幂为正.四、有理数的运算律1、加法交换律：a+b=b+a2、加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)3、乘法交换律：ab=ba4、乘法结合律：(ab)c=a(bc)5、乘法分配律：a(b+c)=ab+ac五、有理数混合运算的法则：（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减。

（2）如有括号，先进行括号里的运算。

1．先算乘方，再算乘除，最后算加减。

2．同级运算依照从左到右的顺序运算；3．若有括号，先小括号，再中括号，最后大括号，依次运算；。

初二数学有理数的加减乘除以及乘方试题答案及解析1.计算： = .【答案】.【解析】针对有理数的乘方，零指数幂2个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果：.【考点】1.有理数的乘方；2.零指数幂.2.计算：（－2）2012×（）2013＝.【答案】.【解析】幂的乘方公式:(a m)n=a mn,由题,（－2）2012×（）2013＝（－2）2012×（）2012×=(-×)2012×=.【考点】幂的乘方.3. PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物.将0.0000025用科学记数法可表示为 .【答案】【解析】科学记数法的表示方法：科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.0.0000025＝.【考点】科学记数法的表示方法点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握科学记数法的表示方法，即可完成.4.计算：=．【答案】-6【解析】有理数的乘法法则：两数相乘，同号得证，异号得负，并把绝对值相乘.=-6．【考点】有理数的乘法点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握有理数的乘法法则，即可完成.5.【解析】有理数的混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算按从左向右的顺序依次计算；有括号的先算括号里的.同时注意运算过程中可以运用运算律计算的要运用运算律简化计算.原式.【考点】有理数的混合运算点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握有理数的混合运算的顺序，即可完成.6.地球上七大洲的总面积约为149480000km2，该数请用科学计数法并保留3个有效数字表示为 .【答案】1.49×108【解析】科学计数法的表示方法。

有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．首先把这个数利用科学记数法表示，然后根据有效数字的确定条件，四舍五入即可求解解：149480000=1.49480000×108≈1.49×108（km2）．故答案是：1.49×108km2【考点】科学计数法的表示方法点评：科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法7.1.0149精确到百分位的近似值为．【答案】1.01【解析】由题意精确到百分位就是对千分位四舍五入.1.0149精确到百分位的近似值为1.01．【考点】近似数与有效数字点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握四舍五入取近似数的方法，即可完成.8.用科学记数法表示：0.000258≈________________(保留两个有效数字).【答案】2.6×10-4【解析】有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【考点】本题考查的是科学记数法，近似数与有效数字点评：解答本题的关键是熟练掌握用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．9.某种药品的说明书上,贴有如右所示的标签,一次服用这种药品的剂量x的范围是。

1. 先乘方，再乘除，最后加减；2. 同级运算，从左到右进行；3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

1、12411 ()()()23523+-++-+-2、4(81)( 2.25)()169-÷-⨯-÷3、11(22)3(11)+--⨯-4、31(12)()15(1)45+⨯--⨯-5、2232[3()2]23-⨯-⨯--6、 33102(4)8-÷--7、)]21)21[(122--÷ 8、121)]3()2[(2⨯-⨯-9、)6(]32)5.0[(22-⨯-- 10、23533||()14714-⨯-÷223 3 22231113、199711(1)(10.5)()312----⨯÷- 14、33514(1)(8)(3)[(2)5]217---⨯+-÷-+15、－10 + 8÷(－2 )2 －(－4 )×(－3 ) 16、－49 + 2×(－3 )2 + (－6 )÷(－91)17、－14 + ( 1－0.5 )×31×[2×(－3)2] 18、(－2)2－2×[(－21)2－3×43]÷51．19、)8()4()6(52-÷---⨯ 20、0)132()43(2⨯+-+-35722523、)23232(21)21(2--⨯+- 24、[][]332)2(3)5(6)7(4-÷--+÷-⨯-25、6－（－12）÷2)2(- 26、（-48）÷ 8 －（-5）÷2)21(-27、42×)43()32(-+-÷ 0.25 28、()23)9181(-÷-29、()()333232÷---⨯- 30、(－5)×6＋(－125) ÷(－5)331、)251(4)5(25.0-⨯⨯-⨯-- 32、22)3(61)2132(1-+÷-+-1、【基础题】计算：（1）618－÷）（－）（－312⨯； （2））（－＋51232⨯；（3））（－）（－49⨯＋）（－60÷12； （4）23）（－×[ ）＋（－－9532 ].（1））（－）＋（－2382⨯； （2）100÷22）（－－）（－2÷）（－32；（3））（－4÷）（－）（－343⨯； （4））（－31÷231）（－－3214）（－⨯.（1）36×23121）－（； （2）12.7÷）（－1980⨯；（3）6342＋）（－⨯； （4））（－43×）－＋（－31328；（5）1323－）（－÷）（－21； （6）320－÷34）（－81－；（7）236.15.02）－（－）（－⨯÷22）（－； （8））（－23×[ 2322－）（－ ]；（9）[ 2253）－（－）（－ ]÷）（－2； （10）16÷）（－）－（－）（－48123⨯.（1）11＋（－22）－3×（－11）； （2）0313243⨯⨯）－（－）（－；（3）2332－）（－； （4）23÷[ ）－（－）（－423]；（5））－（8743÷）（－87； （6））＋（）（－654360⨯；（7）－27+2×()23-+（－6）÷()231-； （8））（－）－＋－（－4151275420361⨯⨯.（1））－（－258÷）（－5； （2）－33121）（－－⨯；（3）223232）－（－）（－⨯⨯； （4）0132432⨯⨯）＋（－）（－；（5））（－＋51262⨯； （6）－10＋8÷()22-－4×3；（7）－51－()()[]55.24.0-⨯-； （8）()251-－（1－0.5）×31；（1）（－8）×5－40； （2）（-1.2）÷（-13）-（-2）；（3）-20÷5×14+5×（-3）÷15； （4）-3[-5+（1-0.2÷35）÷（-2）]；（5）－23÷153×（-131）2÷（132）2； （6）－52＋(1276185+-)×(－2.4)参考答案1、-1/52、-13、224、95、96、 07、-488、-19、-15 10、-15/34311、-24 12、-89 13、3 14、2 15、-20 16、23 17、2 18、24 19、-28 20、9/16 21、1 22、10 23、-1/12 24、104/3 25、9 26、14 27、-31 28、-81又1/81 29、-9 30、-29 31、-1/5 32、91、【答案】 （1）17； （2）511； （3）31； （4）－112、【答案】 （1）－10； （2）22； （3）－16； （4）－253、【答案】 （1）1； （2）0； （3）42； （4）423； （5）18； （6）0； （7）－4.64；（8）37； （9）8； （10）－25.4、【答案】 （1）22； （2）0； （3）－17； （4）－423； （5）71； （6）－95； （7）－85；（8）6 .5、【答案】 （1）3； （2）1； （3）－54； （4）0； （5）526； （6）－20； （7）－2； （8）－67. 6、【答案】（1）－80； （2）5.6； （3）－2； （4）16； （5）－516； （6）－2.9复习 有理数的乘除、乘方运算测试题一、填空题（每小题3分，共30分） 1．3×（－2）=________，（－6）×（－31）=________． 2．（－3）2的底数是________，结果是________；－32的底数是________，结果是________．3．（－61）÷（+23）=________；－493÷（－176）=________；（+8）÷（－41）=________．4．23×（－41）3=________；（－91）÷（+34）2=________．5．（－32）×________=1；（－32）×________=－16．－65×（－2．4）×（－53）=________．7．－32×（－5）2÷（－21）3=________．8．我国台湾省的面积约为3600平方公里，用科学记数法表示为________． 9．+121的倒数是________；________的倒数是－54． 10．用“＞”“＜”填空： ①23________22②（21）2________（21）3③32________22④（－2）3________（－2）2二、判断题（每小题1分，共5分） 11．零除以任何数都得零（ ）12．互为相反数的两个数的积为负数（ ） 13．如果ab ＞0，则a ＞0且b ＞0（ ）14．1除以一个非零数的商叫做这个数的倒数（ ）15．（－3）5表示5个－3相乘（ ）三、选择题（每小题3分，共21分） 16．下列说法，其中错误的有①一个数与1相乘得原数；②一个数乘以－1得原数的相反数；③0乘以任何数得0；④同号两数相乘，符号不变．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个17．下列各对数：①1与1；②－1与1；③a －b 与b －a ；④－1与－1；⑤－5与|6|，其中互为倒数的是A ．①②③B ．①③⑤C ．①③④D ．①④ 18．下列各题中两个式子的值相等的是A ．－23与（－2）3B ．32与23C ．（－2）2与 －22D ．|－2|与－|－2| 19．下列结论中，其中正确的个数为①0的倒数是0；②一个不等于0的数的倒数的相反数与这个数的相反数的倒数相等；③其倒数等于自身的数是±1；④若a ，b 互为倒数，则－ab=－1．A ．4B ．3C ．2D ．1 20．下列各式中结果大于0的是A ．1－910×3B ．（1－910）×3C ．1－（9×3）10D ．（1－9）10×3 21．下列说法中正确的是 A ．一个数的平方必为正数B ．一个数的平方必小于这个数的绝对值C ．一个数的平方必大于这个数D ．一个数的平方不可能为负数22．用科学记数法表示的数2．89×104，原来是A ．2890B ．2890000C ．28900D ．289000四、计算题（共35分）23．（3分）（－3）×（－5）×（+12）×（－21） 24．（3分）－6÷（+3）÷（－4）×（+2） 25．（3分）－5－6÷（－3）26．（3分）（－81）÷241×91÷（－16）27．（3分）－22×（－3）÷5428．（3分）（－1）2000×（－1）2001×（－1）2002÷（－1）200329．（3分）（－2）×（－2001）×［－21－（－21）］×1－200230．（3分）－)45()45(5222-÷-⨯⨯31．（3分）（－5）2÷5×632．（3分）（－2.5）÷（－310）×（－3）33．（5分）30×（21－31+53－109）五、解答题（9分）34．已知A=a+a 2+a 3+……+a 2000（1）若a =1，求A 的值．（2）若a =－1，求A 的值．参考答案一、1．－6 2 2．－3 9 3 －9 3．－91 913 －32 4．－81 －161 5．－23 23 6．－1.2 7．1800 8．3.6×103平方公里 9．32 －141 10．＞ ＞ ＞ ＜ 二、11．× 12．× 13．× 14．√ 15．√三、16．A 17．D 18．A 19．B 20．D 21．D 22．C四、23．－90 24．1 25．－3 26．41 27．15 28．1 29．－2002 30．1 31．30 32．－49 33．－4 五、34．（1）2000 （2）0。

有理数基础知识正数和负数⒈正数和负数的概念负数比0小的数；正数比0大的数0既不是正数，也不是负数注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。

（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。

所以省略“+”的正数的符号是正号。

2.具有相反意义的量若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃3.0表示的意义⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数有理数1.有理数的概念⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）⑵正分数和负分数统称为分数⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

理解：只有能化成分数的数才是有理数。

①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。

②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。

注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。

2.有理数的分类总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）②负整数、0统称为非正整数③正有理数、0统称为非负有理数④负有理数、0统称为非正有理数四对定义：①正负数负数比0小的数；正数比0大的数；0既不是正数，也不是负数②奇偶数整数中，能表示成2的整数倍的数，都是偶数；否则就是奇数。

注意：0是偶数③非正数、非负数非正数就是 0 和所有负数的合称。

非负数就是 0 和所有正数的合称。

④有理数、无理数有理数：有理数分为正有理数，负有理数，0。

有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，只要是无限循环小数的都叫有理数无理数：无限不循环小数。

1。

3（1）有理数的加法计算： （1）（－51)＋(－37） （同号两数相加）＝－( ） （取相同的符号） ＝－（51＋37） （并把绝对值相加） ＝－88 （2)（＋15)＋（－18） (绝对值不相等的异号两数相加） ＝－（ ） （取绝对值较大的加数的符号）＝－（18－15) （并用较大的绝对值减去较少的绝对值） ＝－3（3）（－431）＋（＋231） （4）（－131）＋(＋221）＝ ＝ ＝ ＝（5)（－3）＋（－9）＋（－7.4）＋9。

6 （6）（－0.9)＋2.5＋21＋（－32)(7)13＋（－16）＋9＋（－24) （8）（－7）＋3＋1＋（－3）＋7＋（－5）（9）1＋(－21)＋31＋(－61） （10）543＋(－353)＋441＋（－752）1.3(2)有理数的减法（1)0－(－3） (2）（－19）－（－12） （3)18－23 （4）25－（－25）1。

3（3)有理数加减运算技巧点拨1、把符号相同的数结合在一起计算:（＋5）＋（－6）＋（+4）＋（＋9）＋（－7)＋（－8）2、 把互为相反数的两数结合在一起计算:8＋5＋(－4）－(－6）＋4 －（－2）＋3＋（－3）＋（－2）－9＋13、 把能凑成整数的数结合在一起计算:－（－5.6）＋10.2－8。

6＋（－ 4。

2）4、 把分母相同的分数或易通分的分数结合在一起计算:（＋353）＋(＋443）＋（－152）＋（－343）1。

4（1）有理数的乘法运算步骤：先确定符号，再算绝对值。

注意:1、不要将有理数的乘法法则和有理数的加法法则相混淆，如(－2）×(－3)= 6而不是等于“－6”，这个要特别注意，注意区分.2、法则中的“两数相乘，同号得正，异号得负”是专指两数相乘而言的。

计算：（技巧：先确定符号,再算绝对值。

）(1）(－1815）×(－109） （2)8。

125×(－8) （3）（－132。

有理数的加减乘除和乘方混合运算说到有理数的加减乘除和乘方混合运算，这可真是个有趣的话题！想象一下，咱们在生活中就像是在玩一个大拼图，拼出一个个小块来组成一个完整的画面。

有理数嘛，简单来说，就是可以用两个整数相除的数，比如1/2，3/4，甚至是2和0，这些都能成为我们拼图的基本元素。

就像小孩子拼积木，有的块大，有的块小，组合起来的方式多得很。

要说加减乘除，简直就像做饭，调味料的用法各有千秋。

你得先把米洗好，再把水烧开，米饭才能煮得松软可口。

加法就像往汤里加盐，越加越好吃；减法就像吃完了还想再吃，最后盘子里只剩下点点；乘法嘛，犹如在大家庭聚餐，越多人就越热闹，分到的饭菜就越多；而除法就像分享，你得把自己的一块蛋糕切成几块，大家一起分享。

乘方就更神奇了，简直是数的“发射器”！想象一下，把一个数放进去，它就像火箭一样，冲天而去，变得越来越大。

就拿2的平方来说，2乘以2，哇，居然变成了4，太神奇了！再来个3的平方，3乘以3，哇哦，居然变成了9，这简直就是数的魔法啊！乘方可以说是让简单的数字变得异常华丽，就像平时穿着简单衣服的人，一下子换上了华丽的晚礼服，吸引了所有人的目光。

如果把这些有理数的运算比作一次精彩的运动会，那加法就是短跑，快速、直接，轻松拿下；减法就像是长跑，慢慢悠悠，但也需要坚持；乘法则像接力赛，各个选手齐心协力，一起跑得飞快；而除法则是高跳，每一次跳跃都要精准，不能出错，才能稳稳落地。

运算的规则就像运动会的规则，得遵守，才能比赛顺利进行。

有理数运算的过程可真是一场大派对！数与数之间的相遇，简直就像是朋友们的欢聚，有时候嬉笑打闹，有时候也难免有点争执。

比如，加法可不是随便加，加起来得有秩序，先来后到，这样才能让大家都开心。

你要知道，虽然减法听起来有点消极，但其实它是为了让整体更加和谐，像调音师一样，帮我们找到最美的音符。

而乘法就像是跟朋友们一起去唱卡拉OK，大家一起合唱，声音叠加在一起，最后的效果肯定是超出你想象的好！这时候可千万不能马虎，得把节奏掌握好，不能踩到别人的音符。

有理数的加减乘除运算重点：有理数的加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则。

有理数的加法结合律、交换律；乘法交换律、结合律、乘法分配律。

混合运算的顺序。

难点：有理数运算法则的理解，尤其是有理数加法和减法法则的理解；有理数运算中的符号问题；运用运算律进行简算问题；运算的准确性问题等。

二、知识要点梳理知识点一：有理数的加法把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有理数的加法。

要点诠释：相加的两个有理数有以下几种情况：（1）两数都是正数；（2）两数都是负数；（3）两数异号，即一个是正数，一个是负数；（4）一个是正数，一个是0；（5）一个是负数，一个是0；（6）两个都是0。

知识点二：有理数加法法则根据有理数的加法法则，两数相加，先弄清这两个加数是同号还是异号，根据法则确定和的符号，然后根据法则求出和的绝对值。

要点诠释：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0。

（3）一个数同0相加，仍得这个数。

知识点三：有理数加法的运算定律要点诠释：（1）加法交换律：。

（2）加法结合律：。

知识点四：有理数减法法则要点诠释：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即知识点六：有理数加减法统一成加法的意义要点诠释：对于有理数的加减混合运算中的减法，可以根据有理数减法法则将减法转化为加法。

这样一来，就将原来的混合运算统一为加法运算。

统一成加法以后的式子是几个正数或负数的和的形式，有时，我们把这样的式子叫做代数和。

知识点七：有理数加减混合运算的方法要点诠释：（1）运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。

（2）运用加法法则、加法交换律、加法结合律简便运算。

知识点八：有理数乘法法则要点诠释：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数同0相乘，都得0。

知识点九：有理数乘法法则的推广要点诠释：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。

有理数的加减乘除乘方运算⎧⎪⎨⎪⎩加减运算有理数的运算乘除运算乘方运算知识点1 加减运算一、法则有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数.注：两数相加，先定符号，再算绝对值有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.()a b a b-=+-.二、运算律有理数加法运算律：①加法交换律：两个加数相加，交换加数的位置，和不变.a b b a+=+②加法结合律：三个数加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.()()a b c a b c++=++三、有理数加减混合运算的步骤：①把算式中的减法转化为加法；②省略加号与括号；③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.四、加减混合运算技巧：（1）把符号相同的加数相结合；（2）凑零：互为相反数的两个数先相加（3）凑整：相加和为整数的两个数先相加（4）同分母：分数相加，同分母或易通分的分数先相加（5）同形：分数与小数均有时，化统一形式（6）带分数：带分数化为整数和真分数分别运算知识点2 乘除运算一、法则有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数同0相乘，都得0．二、有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值．多个有理数相乘：（1）几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”．（2）几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0．三、有理数乘法运算律：（1）乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．ab ba（2）乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．()()ab c a bc =（3）分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．()a b c ab ac +=+四、倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数．五、负倒数：乘积是-1的两个数互为负倒数整除：一个整数a 除以一个不为0的整数b ，商是整数，而没有余数，则我们说a 能被b 整除（或说b 能整除a ）.知识点3 乘方乘方的概念：求n 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．（1）一般地，n 个相同的因数a 相乘，即n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅个，记作，读作“a 的n 次方”；（2）在中，a 叫做底数，n 叫做指数；（3）当看作a 的n 次方的结果时，读作a 的n 次幂．注意：()224-=，其底数为()2-，()()()22224-=-⨯-=； n a n a n a224-=-，其底数为2，()()222121224-=-⨯=-⨯⨯=-；239=749⎛⎫ ⎪⎝⎭，其底数为37，2333977749⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭； 239=77，其底数为3，23339777⨯==； 221391224⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算．一个数可以看作这个数本身的一次方，例如，5就是15，指数1通常省略不写．正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数.特别的，一个数的二次方，也称为这个数的平方；一个数的三次方，也称为这个数的立方.科学记数法：把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（其中110a ≤<，n 是正整数）．用科学记数法表示一个n 位整数，其中10的指数是1n -，10的指数比整数的位数少1．万410=，亿810= .。

有理数的计算1.有理数的加法（10月2日完成） 法则：同号相加，一边倒 异号相加，“大”减“小”，符号跟着大的跑。

2.计算技巧：（1）有效的利用加法交换律及结合律。

（2）把分母相同的优先结合计算，把能凑成整数的优先结合计算。

（3）观察题目中是否有互为相反数的，两数互为相反数，则和为0. （3）若遇到分数与小数相加，先互化，再加减。

（互化见笔记）一、计算（直接写答案）(1)、(-10)+(+6) = (2)、(+12)+(-4)= (3)、(-5)+(-7) = (4)、(+6)+(+9) = (5)、67+(-73)= (6)、(-84)+(-59) = (7)、33+48= (8)、(-56)+37= (9)、(-9.18)+6.18+0= 二、有理数的加法计算： （1）、⎪⎭⎫⎝⎛-31+⎪⎭⎫ ⎝⎛-32 （2）、（-5）+232+⎪⎭⎫⎝⎛-21+⎪⎭⎫⎝⎛-322（3）5.6+（-0.9）+4.4+（-8.1） （4）52121(2)17(12)(4)623236-++++-（5）、⎪⎭⎫⎝⎛-854+()75.3-+⎪⎭⎫⎝⎛-832+⎪⎭⎫ ⎝⎛-413 （6）、5+（-6）+(+3)+(+9)+(-4)+(-7) （7）、26+（-18）+5+（-16） （8）、（-1.75）+1.5+7.3+（-2.25）+（-8.5） （9）、（-0.75）+0.125+243+1873+⎪⎭⎫ ⎝⎛-816+4107⎛⎫+ ⎪⎝⎭（10）(-2.6)+(-3.4)+(+2.3)+1.5+(-2.3)；（11）()0215313+-+-+-； （12）⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-321412323413．有理数的减法（10月3日完成）法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

说明：（1）有理数的加减混合，先将减法转化为加法，再进行计算。

（2）计算技巧可以参照有理数的加法。

有理数加减乘除乘方知识要点1.有理数的乘法（1）有理数乘法法则：a）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

b）任何数同0相乘，都得0。

［注意］：①对于多个有理数相乘，由有理数的乘法法则可以推出：a）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。

当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。

即确定符号后把绝对值相乘。

b）几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。

②在含有加减乘除的算式中，没有括号指明运算顺序时，要先算乘除，后算加减。

③乘号的三种形式“×”，“·”，“省略不写”。

对“·”和“省略不写”只能在适当的时候用。

如：“5×4”可以写成“5·4”但不能写为“54”；“1×”不能写成“1”。

（2）有理数乘法运算律a）交换律：b）结合律：c）分配律：［注意］：在使用分配律时，乘时一定要带着符号乘。

如：2.有理数的除法（1）有理数除法法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数。

即a÷b=a×（b≠0）。

有理数的除法可以化成有理数的乘法，所以有理数的除法有与乘法类似的法则：a）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

b）0除以任何一个不等于0的数，都得0。

［注意］：除法是乘法的逆运算，在a×b=c中，如果已知乘数c和一个因数b求另一个因数a，或已知乘数c和一个因数a求另一个因数b的运算都是除法。

（2）倒数在有理数范围内，我们也把乘积是1的两个数叫作互为倒数。

如：－2与－互为倒数，因为－2×（－）=1。

由倒数的定义可知，一个正数的倒数仍是正数，一个负数的倒数仍是负数，0没有倒数。

0为什么没有倒数呢？0没有倒数的原因有两个：①若0能作除数，有=b（a≠0），则有0×b=a，这样的b不存在。

②若=b（a=0），则有0×b=a，作为商b不唯一确定。

所以0不能作除数，也就没有倒数。

有理数加减乘除乘方混合运算：有理数加减乘除乘方混合运算有理数加减乘除乘方混合运算指在同一个运算中同时进行有理数的加法、减法、乘法、除法和乘方运算。

这种类型的运算涉及对有理数进行多个不同的运算，需要按照规定的顺序执行每个运算步骤。

加法和减法运算有理数的加法和减法运算是最基本的运算，其中加法运算表示将两个有理数相加，减法运算表示将一个有理数减去另一个有理数。

在混合运算中，加法和减法运算首先进行，按照运算符的顺序从左到右进行运算。

示例：3 + 2 - 4= 5 - 4= 1乘法运算有理数的乘法运算表示将两个有理数相乘。

在混合运算中，乘法运算在加法和减法运算之后进行，按照运算符的顺序从左到右进行运算。

示例：2 +3 * 4= 2 + 12= 14除法运算有理数的除法运算表示将一个有理数除以另一个有理数。

在混合运算中，除法运算在加法、减法和乘法运算之后进行，按照运算符的顺序从左到右进行运算。

示例：10 - 5 / 2= 10 - 2.5= 7.5乘方运算有理数的乘方运算表示将一个有理数乘以自身若干次。

在混合运算中，乘方运算在加法、减法、乘法和除法运算之后进行，按照运算符的顺序从左到右进行运算。

示例：2 *3 + 4^2= 2 * 3 + 16= 6 + 16= 22混合运算示例根据以上规则，以下是一个有理数加减乘除乘方混合运算的示例：5 + 2 * 3 - 4^2 / 2= 5 + 6 - 16 / 2= 5 + 6 - 8= 11 - 8= 3通过按照定义的顺序执行每个运算步骤，可以正确地进行有理数加减乘除乘方混合运算，得到最终结果。

有理数的加减乘除乘方运算有理数是我们在学习数学时经常接触到的概念之一，它包括整数和分数。

在实际生活和数学问题中，我们经常需要对有理数进行加减乘除乘方等运算。

在本文中，我们将探讨有理数的加减乘除乘方运算的规则和性质。

一、有理数的加减运算有理数的加法运算是我们最常见的运算之一，下面是有理数加法运算的规则：规则1：同号相加，异号相减。

即正数加正数得正数，负数加负数得负数，正数加负数按两数绝对值相减取结果符号。

例如，2+3=5，-2+(-3)=-5，2+(-3)=-1。

规则2：加法交换律。

即a+b=b+a。

例如，2+3=3+2。

规则3：加法结合律。

即(a+b)+c=a+(b+c)。

例如，(2+3)+4=2+(3+4)。

有理数的减法运算可以看作加法运算的特例。

我们可以通过下面的规则进行运算：规则1：减去一个数等于加上该数的相反数。

例如，5-3=5+(-3)=2。

规则2：减法的交换律不成立。

例如，2-3≠3-2。

二、有理数的乘法运算有理数的乘法运算也是我们日常生活和数学问题中经常遇到的运算。

以下是有理数乘法运算的规则：规则1：同号相乘得正，异号相乘得负。

例如，2×3=6，-2×(-3)=6，2×(-3)=-6。

规则2：乘法交换律。

即a×b=b×a。

例如，2×3=3×2。

规则3：乘法结合律。

即(a×b)×c=a×(b×c)。

例如，(2×3)×4=2×(3×4)。

有理数的除法运算可以看作乘法的逆运算。

对于除法运算，我们有以下规则：规则1：除以一个数等于乘以这个数的倒数。

例如，6÷3=6×1/3=2。

规则2：除法的交换律不成立。

例如，2÷3≠3÷2。

三、有理数的乘方运算有理数的乘方运算是指一个数自乘若干次的运算。

以下是有理数乘方运算的规则：规则1：正数的乘方。

有理数加减乘除乘方混合运算有理数是由整数（包括正整数、负整数和零）扩展而来的数集，它包括正有理数、负有理数和零。

有理数的加减乘除运算在数学中被广泛应用，掌握有理数的混合运算方法对于解决实际问题具有重要意义。

本文将介绍有关有理数加减乘除乘方的混合运算方法。

一、有理数加法运算有理数加法运算的基本法则是：符号相同的两个数相加，保留符号并将绝对值相加；符号不同的两个数相加，取绝对值较大的数的符号并将其绝对值减去绝对值较小的数的绝对值。

例如，计算-3 + 5：首先，判断两个数的符号不同，所以取绝对值较大的数的符号为结果的符号，即为正号；然后，将较大数的绝对值减去较小数的绝对值，即5 - 3 = 2。

所以-3 + 5 = 2。

二、有理数减法运算有理数减法运算可以转化为加法运算。

即将减法问题转化为加法问题，通过取相反数的方法，将减法变成加法。

例如，计算6 - (-4)：首先，将减法转化为加法，即6 - (-4) = 6 + 4；然后，按照有理数加法运算的规则计算，6 + 4 = 10。

所以6 - (-4) = 10。

三、有理数乘法运算有理数乘法运算的基本法则是：同号相乘得正，异号相乘得负。

例如，计算(-2) × 3：首先，判断两个数的符号不同，所以乘积的符号为负号；然后，将绝对值相乘，即2 × 3 = 6。

所以(-2) × 3 = -6。

四、有理数除法运算有理数除法运算可以转化为乘法运算。

即将除法问题转化为乘法问题，通过求倒数的方法，将除法变成乘法。

例如，计算-8 ÷ (-2)：首先，将除法转化为乘法，即-8 ÷ (-2) = -8 × (-1/2)；然后，按照有理数乘法运算的规则计算，-8 × (-1/2) = 4。

所以-8 ÷ (-2) = 4。

五、有理数乘方运算有理数乘方运算是指将有理数进行连乘的操作，运算结果是将底数根据指数的次数进行连乘。

一、（一）有理数的加法法则：1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，如：(3)(9)(________)_______+++=+= (2)(5)(________)_______-+-=-=2、绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，如：(5)(7)__________________-++== (10)(8)__________________-++==3、互为相反的两个数相加得零。

如：(4)(4)_______-++=4、一个数与零相加，仍得这个数。

如：(6)0_______-+=（二）有理数加法仍然可以灵活运用加法运算律进行简化运算。

1、加法交换律：可用字母表示为：a ＋b ＝b ＋a 。

如：由(5)(7)______-+-=，(7)(5)______-+-=， 所以：(5)(7)____(7)(5)-+--+-2、加法结合律：可用字母表示为：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )。

如：[][](2)(4)(9)(2)(4)(9)(2)(4)(9)__________-+-++=-+-++=-+-++=二、经典归纳考点一 有理数加法【例1】计算：（1）)12()1(+++（2）)19()4(-+-（3）)9()4(++-【例2】41-的相反数与绝对值等于41的数的和应等于（ ）。

A ．21B ．0C ．21-D ．21或0【例3】若x 是-3的相反数，y =5，求x +y 的值。

【例4】若320a b ++-=，则a+b 的值为（ ） A ．5B ．-1C ．1D ． -5考点二 简便计算【例1】利用运算律，用简便方法计算下列各题：（1）(6)539(4)(7)+++++---解：原式=[])935()7()4()6(+++-+-+-（2）4)5.0()5.2()7.3()5.2(+-+++-+-解：原式=考点三 实际应用【例】出租车司机小张某天下午营运全是在东西走向的大道上行驶的，如果规定向东为正，向西为负，这天下午行车里程如下：（单位：千米）＋11， -2， ＋15， -12， ＋10， -11， ＋5， -15， ＋18， -16 （1）当最后一名乘客送到目的地时，距出车地点的距离为多少千米？（2）若每千米的收费标准为7元，这天下午的营业额为多少？（与路程有关，与方向无关）（3）若成本为1.5元/千米，这天下午他盈利为多少元？有理数减法和加减混合运算一、知识清单（一）探索新知在上一讲中，同学们已经学习了有理数的加法。