微积分I知识点复习

第二章 极限与连续
一. 数列的观察 二. 无穷大、无穷小的观察 三. 极限的计算方法 四. 连续函数的概念
极限的计算方法总结：
1.直接代入计算法.
2. 分式函数, 时,分子分母同除以
最高次幂法. 3.分式函数,无穷小时, 因式分解约 去公因式（x-a)法 4. 无理分式时, 将无理式有理化法
第三章 导数与微分
一. 导数的定义 二. 基本初等函数的导数 三. 导数的加减乘除四则运算法则 四. 复合函数求导法则 五. 隐函数的求导法则 六. 参数方程求导法则
七. 高阶导数与微分
求导方法小结
按定义求导
基本初等函数的导数 导数的四则运算法则 复合函数求导法
反函数的导数 隐函数的求导法 参数方程求导法
微积分I 知识点（考点）
第一章 函数
一. 函数的定义域 二. 函数的代入运算 三. 基本初等函数分类 四. 复合函数的概念 五. 初等函数的概念 六. 分段函数的概念
复习题 习题一 P41： 20(1)(2)(3);
21; 22； 27(1)(2)(3)(7); 52; 53; 55(1)(2)(3)(4)(5)。
u x
( f ((x))) f ((x))(x)
五.隐函数的求导法则 方法：
如果由方程 F(x, y) = 0 确定隐函数 y = f (x) 可导,
则将 y = f (x) 代入方程中, 得到
F ( x, f (x) ) 0 对上式两边关于 x 求导, 碰到y要看成是复合函数：
此时, 切线方程为:
y y0 f (x0 )(x x0 )
定理
函数 f (x) 在点 x0可导的 必要条件是它在点 x0 连续.
只是必要条件！
1. 常量函数 (C) 0
六
类
2. 幂函数
(x ) x1
基 3. 指数函数 (ex ) ex
(ax ) ax ln a
三. 应用二：函数图形性质研究
第三节 函数的单调性，运用一阶导数的讨论 第四节 函数极值 第六节 函数的凹凸性，运用二阶导数的讨论 第七节 函数的图形（近渐线的计算）
四. 应用三：最优化应用
第五节 函数的最大值、最小值
1. 工业设计中的几何问题、 2. 经济（成本、收益、利润）问题
第四章 中值定理与导数的应用 习题四(A) P194:1 (1);
f
'
( x0
)

lim
h0
f (x0 h) h
f (x0 ) ;
f
(x0 )

lim
x0
f
(x0

x) f 2x
(x0
x)
函数 f (x) 在点 x0 的导数 f ( x0) 就是对应的平面
曲线 y = f (x) 在点 (x0, y0) 处的切线的斜率 k :
k tan f (x0)
d dx
F
(
x
,
y) 0
然后, 从这个式子中解出 y , 就得到隐函数的导数.
六、参数方程求导法则：
设
x x(t)
tI
y y(t)
dy
dy dx

y(t)
xt

dt dx
dt
由微分形式 不变性更是 一目了然
七、高阶导数与函数的微分:
一般说来, 如果函数 f (x) 的导函数 f (x) 仍然 可导, 则称 f (x) 的导数为原来函数 f (x) 的二 阶导数, 记为 f (x) ( f (x)).
取对数求导法
一、导数概念
y lim y lim f (x0 x) f (x0 ) .
x0 x x0
x
f
( x)

lim
x0
y x

lim
x0
f
(x
x) x
f
(x)
f (x0 ) f (x) xx0 先求导、后代值.
如果函数 f (x) 在点 x0 处可导, 则导数有其他形式
5. 运用两个特殊的极限（拼凑法）
1. 重要极限 limsin x 1 x0 x
2. 重要极限
lim1 x
1 x
x


e
6.无穷小代换法（公式较多，不宜记）
7. 分段函数在分段点的极限计算法 （在分段点分别按左、右极限计算）
8. 洛必达法则（第四章）
四.初等函数的连续性 基本初等函数在其定义域内是连续的. 初等函数在其有定义的区间内连续.
函数间断点—只可能是-无定义点、分段点
函
第一类间断点
数
的
跳跃
可去
间
断 点
第二类间断点
无穷 振荡 其它
第二章 极限与连续 习题二(A) P90：3(1)(2)(3)；
9; 10； 11(1)(2)(6)(11)(12)(18); 13; 16; 23(2)(3)(7); 24(1)(2)(3); 30(1)(2)(3); 31; 35; 38. 习题二 (B) P96: 2; 5; 6; 7; 11.
例2 求 y x3 在 x 2 处的微分, 以及当x 0.1时, 在 x 2 处的微分.
解 d y (x3)d x 3x2 d x
故 d y x2 3x2 d x x2 12d x
d y x2 3x2 d x x2
x0.1
x0.1
3 22 0.1 1.2 (x d x)
本 初 等
4. 对数函数 5. 三角函数
(ln x) 1 x
(log
a
x)

1 x ln
a
(sin x) cos x
函 数
(
tan
x )

1 c os2 x

sec2
x
1
tan2
x
求
6. 反三角函数
(arcsin x)
1
(1 x 1)
导
1 x2
(arctan
x)
第三章 导数与微分 习题二(A) P137：5；
10； 15（3）（5）; 16（3）（6）（9）; 17（1）(4); 21（1）（7）(18); 24（1）（4）; 26（1）（5）; 30（1）; 46（5）; 47（2）; 50; 51; 57（5）（7）;
第四章 导数的应用
一. 理论：三个微分中值定理 二. 应用一：极限计算,洛必达法则 三. 应用二：函数图形性质研究 四. 应用三：最优化应用
设 f (x) 的 n 1阶导数存在, 它仍是 x 的函数,
若它可导, 则称它的导数为原来函数的n 阶导数.
n 阶导数的记号为:
f (n) (x) ( f (n1) (x)),
y(n) ( y(n1) ),
2. 函数的微分可以写成:
d y f (x)d x 或 d f (x) f (x)d x
2 (1); 9 (2) (4) (6) (8) (9); 14 (2)(3); 16; 18 (1)(2); 20 (1); 32 (1); 35 (1)(5)(8); 38; 41; 43.

v2 ( x)
(v(x) 0)
例6百度文库y x2 sin x cos x 1, 求 y 。 解 y (x2 ) (sin x) (cosx) (1) 2x cosx (sin x) 0 2x cosx sin x
四.复合函数的导数
定理
设 u = (x) 在点 x 处可导, y = f (u) 在对应
点 u ( u = (x) ) 处也可导, 复合函数 y = f ( (x))
在 U(x) 内有定义, 则 y = f ( (x)) 在点 x 处可导,
且
y f (u)(x)
或
d d
y x

d d
y u
d d

1 1 x2
x (, )
二. 导数的四则运算法则
若函数 u(x) , v(x) 均可导, 则
(1) (u(x) ±v(x)) u(x) ±v(x),
(2) (u(x)v(x)) u(x)v(x) u(x)v(x)

(3)

u( x) v(x)

u(x)v(x) u(x)v(x)