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第12章 习题与答案12-1 在真空中波长为λ的单色光，在折射率为n 的透明介质中从A 沿某路径传播到B ，若A 、B 两点相位差为3π，则此路径AB 的光程为[ ]A. 1.5λ.B. 1.5λ/n .C. 1.5n .D. 3λ. [答案：A ]12-2 平行单色光垂直照射到薄膜上，经上下两表面反射的两束光发生干涉，若薄膜的厚度为e ，并且n 1＜n 2＞n 3，λ1为入射光在折射率为n 1的媒质中的波长，则两束反射光在相遇点的相位差为[ ]A. 2πn 2e / ( n 1λ1).B. 4πn 1e / ( n 2λ1)] +π.C. 4πn 2e / ( n 1λ1) ]+π.D. 4πn 2e / ( n 1λ1).[答案： C ]12-3 两块平玻璃构成空气劈形膜，左边为棱边，用单色平行光垂直入射．若上面的平玻璃以棱边为轴，沿逆时针方向作微小转动，则干涉条纹的[ ]A. 间隔变小，并向棱边方向平移.B. 间隔变大，并向远离棱边方向平移.C. 间隔不变，向棱边方向平移.D.间隔变小，并向远离棱边方向平移. [答案： A ]12-4 用劈尖干涉法可检测工件表面缺陷，当波长为λ的单色平行光垂直入射时，若观察到的干涉条纹如题12-4图所示，每一条纹弯曲部分的顶点恰好与其左边条纹的直线部分的连线相切，则工件表面与条纹弯曲处对应的部分[ ]A. 凸起，且高度为4λ.B. 凸起，且高度为2λ.C. 凹陷，且深度为2λ.D. 凹陷，且深度为4λ.[答案： C ]12-5 若把牛顿环装置(都是用折射率为1.52的玻璃制成的)由空气搬入折射率为1.33的水中，则干涉条纹[ ]A ．中心暗斑变成亮斑. B. 间距变大. C. 间距变小. D. 间距不变. [答案： C ]题12-4图12-6 在光栅光谱中，假如所有偶数级次的主极大都恰好在单缝衍射的暗纹方向上，因而实际上不出现，那么此光栅每个透光缝宽度a 和相邻两缝间不透光部分宽度b 的关系为[ ] A. =3a b . B. =2a b . C. =a b . D. =0.5a b [答案： C ]12-7 对某一定波长的垂直入射光 衍射光栅的屏幕上只能出现零级和一级主极大，欲使屏幕上出现更高级次的主极大，应该[ ]A. 换一个光栅常数较小的光栅.B. 换一个光栅常数较大的光栅.C. 将光栅向靠近屏幕的方向移动.D. 将光栅向远离屏幕的方向移动.[答案： B ]12-8如果两个偏振片堆叠在一起，且偏振化方向之间夹角为60°，光强为I 0的自然光垂直入射在偏振片上，则出射光强为[ ]A. I 0 / 8.B. I 0 / 4.C. 3 I 0 / 8.D. 3 I 0 / 4.[答案： A ]12-9一束自然光自空气射向一块平板玻璃（如题12-9图），设入射角等于布儒斯特角i 0，则在上表面的出射光2是[ ]A. 自然光.B. 线偏振光且光矢量的振动方向平行于入射面.C. 线偏振光且光矢量的振动方向垂直于入射面.D. 部分偏振光.[答案： C ]12-10相干光的必要条件为________________________，________________________，________________________。
第十二章 电磁感应 电磁场问题12-1 如图,在一长直导线L 中通有电流I ,ABCD 为一矩形线圈,试确定在下列情况下,ABCD 上的感应电动势的方向：1矩形线圈在纸面内向右移动；2矩形线圈绕AD 轴旋转；3矩形线圈以直导线为轴旋转.解 导线在右边区域激发的磁场方向垂直于纸面向里,并且由2IB rμ0=π可知,离导线越远的区域磁感强度越小,即磁感线密度越小．当线圈运动时通过线圈的磁通量会发生变化,从而产生感应电动势．感应电动势的方向由楞次定律确定．1线圈向右移动,通过矩形线圈的磁通量减少,由楞次定律可知,线圈中感应电动势的方向为顺时针方向．2线圈绕AD 轴旋转,当从0到90时,通过线圈的磁通量减小,感应电动势的方向为顺时针方向．从90到180时,通过线圈的磁通量增大,感应电动势的方向为逆时针. 从180到270时,通过线圈的磁通量减少,感应电动势的方向为顺时针．从270到360时,通过线圈的磁通量增大,感应电动势的方向为逆时针方向.2由于直导线在空间激发的磁场具有轴对称性,所以当矩形线圈以直导线为轴旋转时,通过线圈的磁通量并没有发生变化,所以,感应电动势为零.12-2 当我们把条形磁铁沿铜质圆环的轴线插入铜环中时,铜环内有感应电流和感应电场吗 如用塑料圆环替代铜质圆环,环中仍有感应电流和感应电场吗解 当把条形磁铁沿铜质圆环的轴线插入铜环过程中,穿过铜环的磁通量增加,铜环中有感应电流和感应电场产生；当用塑料圆环替代铜质圆环,由于塑料圆环中的没有可以移动的自由电荷,所以环中无感应电流和感应电场产生.12-3 如图所示铜棒在均匀磁场中作下列各种运动,试问在哪种运动中的铜棒上会有感应电动势其方向怎样设磁感强度的方向铅直向下．１铜棒向右平移图(a)；２铜棒绕通过其中心的轴在垂直于B 的平面内转动图(b)；３铜棒绕通过中心的轴在竖直平面内转动图(c)．CI解 在磁场中运动的导体所产生的感应电动势为()d Lε=⨯⎰v B l ⋅,在图(a)与(c)中的运动情况中,⨯v B 的方向与d l 方向垂直,铜棒中没有感应电动势．在图(b)中,铜棒绕中心轴运动,左右两段产生的感应电动势大小相等,方向相反,所以铜棒中总的感应电动势为零．12-4 有一面积为S 的导电回路,其n e 的方向与均匀磁场的B 的方向之间的夹角为θ．且B 的值随时间变化率为d d B t .试问角θ为何值时,回路中i ε的值最大；角θ为何值时,回路中i ε的值最小 请解释之．解 由i d d d cos S S dt dtεθ=--⎰B B S =⋅,可得当0θ=时,回路中i ε的值最大,当90θ=时,回路中i ε的值最小.12-5 有人认为可以采用下述方法来测量炮弹的速度．在炮弹的尖端插一根细小的永久磁铁,那么,当炮弹在飞行中连续通过相距为r 的两个线圈后,由于电磁感应,线圈中会产生时间间隔为t ∆的两个电流脉冲．您能据此测出炮弹速度的值吗 如0.1m r =,4=210s t -∆⨯,炮弹的速度为多少解 带有小磁铁的炮弹飞向线圈,线圈中会产生感应电流, 测得的两个电流脉冲产生的时间间隔即炮弹飞过这两个线圈间距所用的时间. 由题意可知, 炮弹的速度为1500m s rv t-==⋅∆12-6 如图所示,在两磁极之间放置一圆形的线圈,线圈的平面与磁场垂直.问在下述各种情况中,线圈中是否产生感应电流 并指出其方向．１把线圈拉扁时；２把其中一个磁极B B B (a)(b)(c)ne Bθ很快地移去时；３把两个磁极慢慢地同时移去时．解 这三种情况中, 通过的磁通量均减小,线圈中均会产生感应电流, 从上往下看, 感应电流的方向沿顺时针方向.12-7 如图所示,均匀磁场被限制在半径为R 的圆柱体内,且其中磁感强度随时间的变化率d d B t =常量,试问: 在回路1L 和2L 上各点的d d B t 是否均为零 各点的k E 是否均为零1k d L ⋅⎰E l 和2k d L ⋅⎰E l 各为多少解 由于磁场只存在于圆柱体内,在回路1L 上各点d d B t 为常量,在回路2L 上各点d d B t 为零.空间中各点的感生电场分布为r R < k d 2d r BE t=r R > 2k d 2d R BE r t=可见在回路1L 和2L 上各点的k E 均不为零.对于在回路1L11k d d d d d d L L S S t t ⋅=-=-⎰⎰B B E l S ⋅ 对于回路2L 22k d d 0d L tΦ⋅=-=⎰E l12-8 一根很长的铜管铅直放置,有一根磁棒由管中铅直下落．试述磁棒的运动情况．解 长直铜管可以看作由许多铜线圈组成,当磁棒下落,每通过一个线圈,线圈中的磁通量都会发生变化,在下落过程中,铜管中始终会有感应电流产生,并且感应电流产生的磁场的方向与磁棒磁场方向相反,因此,磁棒始终受到铜管对它的阻碍作用.12-9 有一些矿石具有导电性,在地质勘探中常利用导电矿石产生的涡电流来发现它,这叫电磁勘探．在示意图中,A 为通有高频电流的初级线圈,Ｂ为次级线圈,R2L 1L并连接电流计Ｇ,从次级线圈中的电流变化可检测磁场的变化．当次级线圈Ｂ检测到其中磁场发生变化时,技术人员就认为在附近有导电矿石存在．你能说明其道理吗利用问题12-9图相似的装置,还可确定地下金属管线和电缆的位置,你能提供一个设想方案吗解 该检测方法利用的原理是电磁感应;通有高频电流的初级线圈A 产生的交变磁场在导电矿石内产生涡电流,由涡电流产生的变化磁场,使其附近的次极线圈中B 产生感应电流,引起电流计Ｇ中指针偏转;在探测中要使初、次级线圈的相对位置不变,以保证次级线圈B 中感应电流的变化由导电矿石中涡电流产生的磁场引起;要确定地下金属管线和电缆的位置,可以将通有高频电流的初级线圈A 和接有电流计的次级线圈Ｂ组成一个探测仪,使探测仪沿地面运动;当靠近金属管线时,管线中由于初级线圈的作用会产生感应电流,同时使得线圈B 中产生感应电动势,电流计指针发生偏转,当电流计指针变化最大时,可以判断出管线在探测仪正下方.12-10 如图所示,一个铝质圆盘可以绕固定轴OO 转动．为了使圆盘在力矩作用下作匀速转动,常在圆盘的边缘处放一永久磁铁．圆盘受到力矩作用后先作加速运动,当角速度增加到一定值时,就不再增加,试说明其作用原理．解 我们可以把铝质圆盘看作许多根从盘中心到边缘的铝棒,当圆盘绕轴转动时,通过磁场的铝棒切割磁力线,铝棒中产生感应电动势,其方向由盘心指向边缘,同时在盘内闭合回路中产生感应电流,圆盘受到与外力矩相反的安培力力矩的作用.最初,外力矩大于安培力矩,圆盘做加速运动,角速度增大,同时安培力矩增大,导致圆盘加速度减小,当安培力力矩等于外力矩时,圆盘角加速度等于零,角速度增加到最大,安培力矩不再增加,圆盘匀速转动.12-11 如图所示,设有一导体薄片位于与磁感强度B 垂直的平面上．１如果B 突然改变,则在点P 附近B 的改变可不可以立即检查出来为什么２若导体薄片的电阻率为零,这个改变在点P 是始终检查不出来的,为什么若导体薄片是由低电阻的材料做成的,则在点P 几乎检查不出导体薄片下侧磁场的变化,这种电阻率很小的导体能屏蔽磁场变化的现象叫做电磁屏蔽解 1不能立即检测出来．电磁场改变,在导体薄片内产生涡电流,会有电磁场产生,而电磁场在导体中衰减很快,不能通过导体,即大部分电磁场都会被导体屏蔽掉,所以对于导体一边电磁场的突变,在导体另外一边不能立即检测出来.2导体电阻率越小,即电导率越高,电磁场在其中的衰减越快,导体电磁屏蔽的效果越显著,当导体薄片的电阻率为零时,电磁场能被完全屏蔽,因此,导体一边电磁场突变,在导体另外一边始终检测不出来.BP12-12 如果要设计一个自感较大的线圈,应该从哪些方面去考虑解线圈的自感只与线圈匝数、线圈大小和线圈中磁介质有关,要设计自感较大的线圈,需要用较细的导线绕制,以增加单位长度内的匝数,并选取较大磁导率的磁介质防于线圈内．12-13有的电阻元件是用电阻丝绕成的,为了使它只有电阻而没有自感,常用双绕法如图.试说明为什么要这样绕.解将电阻丝双绕成一组线圈,当通入电流,相邻两根线圈中的电流流向相反,它们产生的磁场方向相反,通过回路线圈中总的磁通量为零,因此没有自感.12-14有两个线圈,长度相同,半径接近相等,试指出在下列三种情况下,哪一种情况的互感最大哪一种情况的互感最小1两个线圈靠得很近,轴线在同一直线上；2两个线圈相互垂直,也是靠得很近；3一个线圈套在另一个线圈的外面.解互感的大小表示了两线圈的耦合程度,两线圈的互感除了跟线圈大小,形状、匝数有关,还与它们的相互位置有关. 若一线圈中电流所产生的磁场贯穿另一个线圈的部分越大,它们之间的互感越大. 在本题所述的三种情况中,第三种情况的互感最大,第二种情况中的互感最小.12-15试从以下三个方面来比较静电场和有旋电场：1产生的原因；2电场线的分布；3对导体中电荷的作用.解1静电场是由空间中的静止电荷所激发的,有旋电场是由变化的磁场产生的；2静电场中电场线是有源场,始于正电荷,终止于负电荷；有旋电场的电场线是闭合的；3它们对导体中的电荷都有作用力,但有旋电场对电荷的作用力不是库仑力,它对电荷作用促使电荷积累,形成电势差.12-16变化电场所产生的磁场,是否也一定随时间发生变化磁场所产生电场,是否也一定随时间发生变化解不一定．当电场随时间变化恒定时,它所产生的磁场恒定；当磁场随时间变化恒定时,它所产生的电场也是恒定的．习题12-1一铁心上绕有线圈100匝,已知铁心中磁通量与时间的关系为5sin100t Φ=-8.0⨯10π,式中Φ的单位为Wb ,t 的单位为s .求在21.010st -=⨯时,线圈中的感应电动势.解 线圈中总的感应电动势为 ()()1d 2.51V cos 100s d N t tΦε-=-=π 在21.010s t -=⨯时,()()12.51V cos 100s 2.51V t ε-=π=12-2 如图所示,用一根硬导线弯成半径为r 的一个半圆. 使这根半圆形导线在磁感强度为B 的匀强磁场中以频率f 旋转,整个电路的电阻为R ,求感应电流的表达式和最大值.解 由于导线的转动,通过面积为212S r =π的半圆形导线的磁通量发生改变,导线中会产生动生电动势．取初始时刻0t =时,导线平面的法线与磁场的夹角0θ=. 经过时间t 导线平面转过的角度为2f t θ=π 所以穿过回路的磁通量随时间的变化式为 ()21cos cos 22t BS r B f t Φθ==ππ 由法拉第电磁感应定律可知,回路中感应电动势为 22d sin 2d r f B f t tΦε=-=ππ 回路中感应电流为22sin 2r f BI f t Rπ=π 感应电流的最大值为 22max r f B I Rπ=12-3 有一测量磁感强度的线圈,其截面积24.0cm S =,匝数160N =匝,电阻50R =Ω.线圈与一内阻30i R =Ω的冲击电流计相连.若开始时线圈的平面与均匀磁场的磁感强度B 相垂直,然后线圈的平面很快地转到与B 的方向平行.此时从冲击电流计中测得电荷值54.010C q -=⨯.问此均匀磁场的磁感强度B 的值为多少解 线圈平面转动前后,通过线圈的磁链变化为21NBS ψψψ∆=-=此过程中流过导体截面的电量为 ()i i NBSq I t t R R tR R ψ∆=∆=∆=+∆+由上式可知,磁感强度为 ()i 0.05T q R R B NS+==12-4 如图所示,一长直导线中通有 5.0A I =的电流,在距导线9.0cm 处,放一面积为20.10cm ,10匝的小圆线圈,线圈中的磁场可看作是均匀的.今在21.010s -⨯内把此线圈移至距长直导线10.0cm 处.求:1线圈中平均感应电动势；2设线圈的电阻为21.010-⨯Ω,求通过线圈横截面的感应电荷．解 带电直导线激发的磁场为非均匀磁场,由于线圈面积较小,我们可以认为穿过线圈的磁场为均匀磁场.当线圈在19.0cm r =、210.0cm r =处,通过线圈平面的磁链分别为01112N IS NB S r μψ==π 02222N ISNB S r μψ==π 所以线圈中平均感应电动势为 80212111 1.1110V 2N IS tt r r μψψε-⎛⎫-==-=⨯ ⎪∆π∆⎝⎭I2通过线圈横截面的感应电荷为8211.1110C q Rψψ--==⨯12-5 如图所示,把一半径为R 的半圆形导线OP 置于磁感强度为B 的均匀磁场中,当导线OP 以匀速率v 向右移动时,求导线中感应电动势的大小．哪一端电势较高解 如图所示,连接导线OP 两端,使导线构成一闭合回路,此闭合回路由直导线OP 、半圆形导线OAP 组成,由于磁场分布均匀,所以此闭合回路中的感应电动势为零,0ε=.所以半圆形导线中的感应电动势的大小与直导线OP 中的感应电动势大小相等,即 2OAP OP BRv εε=-= 由⨯v B 可知, P 端电势较高.12-6 长度为L 的铜棒,以距端点r 处为支点,并以角速率ω绕通过支点且垂直于铜棒的轴转动．设磁感强度为B 的均匀磁场与轴平行,求棒两端的电势差.解 以支点为原点O ,在棒上距原点l 处取一小段线元d l , 其速度为v ,则它产生的电动势为d ()d ε=⨯v B l ⋅ 将上式积分可得1d (2)2L rAB rB l l BL L r εωω--=-=--⎰12-7 如图所示,长度为L 的导体棒OP ,处于均匀磁场中,并绕OO '轴以角速度ω旋转,棒与转轴夹角恒为θ,磁感强度B 与转轴平行. 求OP 棒在图示位置处的电动势.解 如图,在棒上距O 点为l 处取一小段线元d l ,其速度为sin v l ωθ=,所以导体棒产生的电动势为 d OP OPε=⨯⎰v B l ⋅B R O P AvA vsin cos(90)d Ll B l εωθθ=-⎰21(sin )2B L ωθ=12-8 如图所示,金属杆AB 以匀速率12.0m s v -=⋅平行于一长直导线移动,此导线通有电流40A I =．问：此杆中的电动势为多大杆的哪一端电动势较高解 如图所示,建立坐标系,在x 处取一小段线元d x ,此处的磁感强度为 2I B xμ0=π所以,杆中电动势为1.0m50.1md d 3.8410V 2AB ABIvx xμε-0=⨯-=-⨯π⎰⎰v B x =⋅电动势方向由B 指向A ,A 端电动势较高．12-9 如图所示,在一“无限长”直载流导线的近旁放置一个矩形导体线框．该线框在垂直于导线方向以匀速率v 向右移动．求在图示位置处线框中的感应电动势的大小和方向．解 矩形线框中的感应电动势为各边框导线产生的感应电动势之和．由ld ε=⨯⎰v B l ⋅可知,矩形线框中AB 、CD 与导线垂直,它们产生的感应电动势为零,所以线框的电动势为DA 、BC 两边所产生的电动势之和．在图示位置处,导线DA 、BC 中产生的感应电动势分别为222DA Il vBl v dμε0==πIIxv()212BC Il vd l με0=-π+这两边导线中电动势方向相反,此时线框中总的感应电动势为 ()1212DA BC Il l vd d l μεεε0=-=π+其方向为顺时针．12-10 如图所示,一长为l 、质量为m 的导体棒CD ,其电阻为R ,沿两条平行的导电轨道无摩擦的滑下,导轨的电阻可不计,导轨与导体构成一闭合回路．导轨所在的平面与水平面成θ角,整个装置放在均匀磁场中,磁感强度B 的方向为铅直向上．求：1导体在下滑时速度随时间的变化规律；2导体棒CD 的最大速度m v ． 解 1导体在重力的作用下,沿轨道下滑,回路中磁通量发生变化,导体中有感应电动势产生,其大小为cos Blv εθ=,导体中有感应电流通过,从而受到水平向左的安培力作用,最初,导体棒的速度较小,导体沿轨道加速运动,速度增大,同时安培力也增大,当导体所受的安培力与其重力在轨道方向平衡时,导体加速度为零,速度达到最大值．导体达到最大速度由安培定律可得,导体受到的安培力大小为22cos B l v F IBl Bl R Rεθ===所以导体下滑的动力学方程为d sin cos d vmg F m tθθ-= 由上两式可得222d d cos sin vt B l v g mRθθ=-将上式积分可得t 时刻导体棒的速度为N F222cos 222sin 1cos B l tmR mgR v e B l θθθ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭- 2由上问中分析可知,当导体所受的安培力与其重力在轨道方向平衡时,导体加速度为零,速度达到最大值,即222max cos sin B l v mg Rθθ= max 222sin cos mgR v B l θθ=另外,由上问中速度与时间的关系可知,当t →∞,222cos 0B l tmRe θ→-速度达到最大 max 222sin cos mgR v B l θθ=12-11 有一磁感强度为B 的均匀磁场,以恒定的变化率d d Bt在变化．把一块质量为m 的铜拉成截面半径为r 的导线,并用它做成半径为R 的圆形回路,圆形回路的平面与磁感强度B 垂直．试证：这回路中的感应电流为 d 4d m BI d tρ=π式中ρ为铜的电阻率,d 为铜的密度．证明 由电磁感应定律可知,圆形回路中的感应电动势为 2d d d d R t t ΦBε==π 又圆形回路总电阻为22l R R R S r rρρρ2π2'===π 所以回路中的感应电流为2d 2d Rr B I R tερπ==' 又由导体总的质量222m dV r Rd ==π可知22mRr dπ=π,代入上式可得 d 4d m BI d tρ=π12-12 在半径为R 的圆柱形空间中存在着均匀磁场,B 的方向与圆柱轴线平行．如图所示有一长为l 的金属棒放在磁场中,设B 随时间的变化率d d Bt为常量．试证棒上的感应电动势的大小为ε=证明 变化的磁场会产生感生电场k E ,感生电场的方向与d d t-B遵从右手螺旋定则．如图,连接OA ,OB ,使OAB 成为一闭合回路,回路中的感应电动势大小为为 k k k k d d d d d d OABOABOOAABBOtΦε=⋅=⋅+⋅+⋅=⎰⎰⎰⎰E l E l E l E l 又OA ,OB 沿半径方向,与感生电场k E 垂直,所以OA ,OB 中感应电动势为零,所以AB 段,即金属棒上的感应电动势的大小为k d d d d d OAB OAB ABBS t tΦε=⋅==⎰E l=12-13 一半径为R ,电阻率为ρ的金属薄圆盘放在磁场中,B 的方向与盘面垂直,B 的值为()0tB t B τ=,式中0B 和τ为常量,t 为时间．1求盘中产生的涡电流的电流密度；2若0.20m R =,86.010m ρ-=⨯Ω⋅,0 2.2T B =,18.0s τ=,计算圆盘边缘处的电流密度．解 1变化的磁场会产生感生电场,从而在金属薄圆盘中产生涡电流．取圆盘中心为O ,圆盘上的感生电场线为一组以O 为圆心的同心圆,各点场强方向沿切线方向,圆盘上半径为r 的点感生电场强度大小为0d 2d 2rB r B E t τ==,该点电流密度大小为B2B Ej r ρρτ==其方向与该点电场强度的方向一致．2在边缘处,即0.20m r R ==处的电流密度为5202.0410A m 2B j R ρτ-==⨯⋅12-14 截面积为长方形的环形均匀密螺绕环,其尺寸如图所示,共有N 匝图中仅画出少量几匝,求该螺绕环的自感L ．解 设螺绕环中线圈电流为I ,以螺绕环中心为圆点O ,取半径为r 12()R r R <<的圆形回路,由安培定律可得,12R r R <<区域内的磁感强度为 02NI B rμ=π穿过螺绕环上线圈中总的磁链为 212001d d d 22R SSR NIN IhNN S r rrμμψ===ππ⎰⎰⎰B S ⋅ 2021ln2N IhR R μ=π螺绕环的自感为2021ln 2N h R L I R μψ==π12-15 如图所示,螺线管的管心是两个套在一起的同轴圆柱体,其截面积分别为1S 和2S ,磁导率分别为1μ和2μ,管长为l ,匝数为N ,求螺线管的自感设管的截面很小．解 设螺线管中线圈电流为I 由于螺线管截面很小,我们可以利用NB nI I lμμ==来求管内的磁感强度,其中μ为管内介质磁导率．本题中螺线管内由两种不同的介质填充,通过22,S N磁导率分别为1μ、2μ的介质截面的磁感强度分别为 11N B I l μ= 22N B I lμ= 则通过螺线管截面的总的磁链为()21211221122N INB S NB S S S lψψψμμ=+=+=+螺线管的自感为()21122N L S S I lψμμ==+12-16 有两根半径均为a 的平行长直导线,它们中心距离为d ．试求长为l 的一对导线的自感导线内部的磁通量可略去不计．解 长为l 、相距为d 的两平行直导线可以看作无限长、宽为d 的矩形回路的一部分,设回路中通有顺时针电流I ．如图所示,建立坐标轴Ox ,则在两平行导线间的磁感强度为 ()0022IIB xd x μμ=+ππ-则通过两导线之间的矩形宽为d 、长为l 面积的磁通量为0d d lnd aSaIld aBl x aμΦ--===π⎰⎰B S ⋅ 所以长为l 的两平行导线的自感为0lnld aL IaμΦ-==π12-17 如图所示,在一柱形纸筒上绕有两组相同线圈AB 和A B '',每个线圈的自感均为L ,求：1A 和A '相接时,B 和B '间的自感1L ,2A '和B 相接时,A 和B '间的自感2L ．解 1设当只有一组线圈中通有电流I 时,它穿过自身线圈回路的磁通量为LI Φ=；则当两组线圈中都通有相同的电流时,穿过两组线圈回路中总的磁通量为4Φ．当A 和A '相接,线圈AB 和A B ''中的电流方向相反,dOxl l通过线圈的磁通量也相反,总的磁通量为1Φ=0,所以B 和B '间的自感10L =.2A '和B 相接时,线圈AB 和A B ''中的电流方向相同,通过两线圈总的磁通量为2ΦΦ=4,所以A 和B '间的自感24L L IΦ4==．12-18 如图所示,一面积为24.0cm 共50匝的小圆形线圈Ａ,放在半径为20cm 共100匝的大圆形线圈Ｂ的正中央,此两线圈同心且同平面．设线圈Ａ内各点的磁感强度可看作是相同的．求：1两线圈的互感；2当线圈Ｂ中的电流的变化率为150A s --⋅时,线圈Ａ中感应电动势的大小和方向．解 1设线圈Ｂ中通有电流I ,则它在中心处的磁感强度为0B2IB N Rμ=,则通过小线圈的磁链为0B 2A A A A A IN BS N N S Rμψ==则两线圈的互感为60B6.2810H 2AA A M N N S IRμψ-===⨯2当线圈Ｂ中的电流的变化率为150A s --⋅时,1d 50A s d It-=-⋅,则线圈Ａ中的感应电动势为4d 3.1410V d A IMtε-=-=⨯ 其方向与线圈Ｂ中的电流方向相同．12-19 如图所示,两同轴单匝圆线圈Ａ、Ｃ的半径分别为R 和r ,两线圈相距为d ,若r 很小,可认为线圈Ａ在线圈Ｃ处产生的磁场是均匀的．求两线圈的互感．若线圈Ｃ的匝数为N 匝,则互感又为多少解 设线圈Ａ中通有电流I ,它在线圈Ｃ处产生的磁感强度为()2032222IR B R dμ=+则穿过线圈Ｃ中的磁链为()22032222C C IR r BS R dμψπ==+所以两线圈的互感为()22032222CR r M IR dψμπ==+12-20 一半径为R 的圆形回路与一无限长直导线共面,圆心到长直导线间的距离为d ,求它们之间的互感．解 如图所示,以取圆形回路中心为原点O ,建立坐标轴Oxy ．设长直导线中通有电流I ,它在线圈平面内的磁感强度为()02IB d x μ=π+在圆形回路上取平行于长直导线、宽为d x 的面元d S ,d 2sin d S R x θ=,则穿过此面元的磁通量为()0d 2sin d 2IR x d x μΦθ=π+又cos x R θ=,代入上式有 220d cos d cos I d R d R d R μΦθθθ⎛⎫-=-+ ⎪π+⎝⎭将上式积分可得2200cos d cos Id R d R d R μΦθθθπ⎛⎫-=-+ ⎪π+⎝⎭⎰(0I d μ=所以,导线与圆形线圈之间的互感为(0M d IΦμ==I12-21 一个直径为0.01m ,长为0.10m 的长直密绕螺线管,共1000匝线圈,总电阻为7.76Ω．求：1如把线圈接到电动势 2.0V ε=的电池上,电流稳定后,线圈中所储存的磁能有多少磁能密度是多少2从接通电路时算起,要使线圈储存磁能为最大储存磁能的一半,需经过多少时间解 1密绕螺线管的自感为20N SL lμ=,当接上电动势 2.0V ε=的电池后,线圈中的电流为I Rε=,则线圈中所储存的磁能为22250m 21W 3.2810J 22N S LI lRμε-===⨯ 螺线管内磁能密度为3mm W 4.17J m Sl-==⋅w2线圈接上电池ε后,线圈内的电流变化规律为1R t LI e R ε-⎛⎫=- ⎪⎝⎭当电流稳定后可达最大值m I Rε=,设线圈储存磁能为最大储存磁能的一半时,电流为I ,则有22m 111222LI LI =⋅,此时2m I I =,将其代入电流变化规律式可得此时经过的时间为4ln(1 1.5610s 2L t R -=--=⨯12-22 一无限长直导线,截面各处的电流密度相等,总电流为I ,试证：每单位长度导线内所贮藏的磁能为216Iμπ．解 设导体半径为R ,则在导体内部磁感强度为 022Ir B Rμ=π因此导体内部的磁能密度为22B μ=w m 则单位长度导线内所贮藏的磁能为2200m m 201W d 2d 2216RV Ir I V r r R μμμ⎛⎫==π= ⎪ππ⎝⎭⎰⎰w12-23 在真空中,若一均匀电场中的电场能量密度与一0.50T 的均匀磁场中的能量密度相等,该电场的电场强度为多少解 0.50T 的均匀磁场中的能量密度为22B μ=w m 设均匀电场中电场强度为E ,则其中电场能量密度为 2012E ε=w e 由题可知 =w w m e 则电场强度为811.5110V m E -==⨯⋅。
§12.3 波的能量和能流一、波的能量及能量密度当波传播到介质中的某个质点上,这个质点将发生振动,因而具有了动能；同时由于该处介质发生弹性形变,因而也就具有了势能.原来静止的质点,动能和势能都为零,由于波的到来,质点发生振动,于是具有了一定的能量.此能量显然是来自波源.所以,我们可以说,波源的能量随着波传播到波所到达的各处.波源能量随波动的传播,可以用平面简谐纵波沿直棒传播为例加以说明.为此仍然借助于图 12.3 所示棒元的情形来讨论.波尚未到达时,截面A 和截面B 分别处于x 和 x+△x的位置.当波到达时,截面A 的位移为y,截面B 的位移为y+△y ,因而分别到达图中A' 和 B'处.如果棒的密度为ρ,截面面积为S,该棒元的质量为△m=ρS △x,它所具有的动能为222121υ∆ρ=υ∆=x S m E k 式中υ是波传到时、在所考察的瞬间棒元的振动速度.如果棒中所传播的简谐波的波函数为)(cos ux t A y -ω= 则振动速度为)(sin ux t A dt dy -ωω-==υ 于是棒元的动能可以表示为)(sin )(ux t x S A E k -ω∆ωρ=22221 (12.18) 棒元的原长为△x,当波传到时，棒元的形变为(y +Δy)－y = Δy,所以应变为xy n ∆∆=ε 棒元由于形变而产生的弹性力的大小为y k xy YS YS f n ∆=∆∆=ε=式中x YS k ∆=是把棒看作为弹簧时棒的劲度系数。
棒元的势能可由下式表示 2222212121)](sin )[())(()(u x t u A x S u x y x S Y y k E P -ωω∆ρ=∂∂∆=∆=)(sin )(ux t x S A -ω∆ωρ=22221 可见,势能的表示式与动能的表示式完全相同,都是时间的周期函数,并且大小相等,相位相同.这种情况与单个简谐振子的情况完全不同.当波传到棒元AB 时,棒元的总的机械能为)(sin )(ux t x S A E E E P k -ω∆ωρ=+=222 (12.21) 由上式可见,在行波的传播过程中,介质中给定质点的总能量不是常量,而是随时间作周期性变化的变量.这表明,介质中所有参与波动的质点都在不断地接受来自波源的能量,又不断把能量释放出去.在这方面波动与振动的情况是完全不同的,对于振动系统,总能量是恒定的,因而不传播能量.而振动能量的辐射,实际上是依靠波动把能量传播出去的.介质中单位体积的波动能量,称为波的能量密度,可以表示为)(sin ux t A V E w -ωωρ=∆=222 (12.22) 显然,波的能量密度是随时间作周期性变化的,通常取其在一个周期内的平均值,这个平均值称为平均能量密度.因为正弦函数的平方在一个周期内的平均值是1/2,所以波的平均能量密度可以表示为2221ωρ=A w (12.23) 上式表示,波的平均能量密度与振幅的平方、频率的平方和介质密度的乘积成正比.这个公式虽然是从平面简谐纵波在棒中的传播导出的,但是对于所有机械波都是适用的.二、波的能流和能流密度 波强能量随着波的传播在介质中流动,因而可以引入能流的概念.单位时间内通过介质中垂直于波射线的某面积的能量,称为通过该面积的能流.在介质中取垂直于波射线的面积S ,则在单位时间内通过 S 面的能量等于体积uS 内的能量,如图12.5所示.显然,通过 S 面的能流是随时间作周期性变化的,通常也取其在一个周期内的平均值,这个平均值称为通过 S 面的平均能流,并表示为uS A uS w P 2221ωρ== (12.24) 通过垂直于波射线的单位面积的平均能流,称为能流密度,也称波强度、波强,由下式表示u A S P I 2221ωρ==/ (12.25) 三、波的吸收前面讨论中,我们假设媒质是完全弹性均匀的,波在传播过程中媒质不消耗波的能量,因此波在各点的振幅不变.实际上,平面波在均匀媒质中传播时,媒质总是要吸收波的一部分能量,因此,波的强度和振幅都将逐渐减小,所吸收的能量将转换成其它形式的能量（如媒质的内能）,这种现象称为波的吸收.有吸收时,平面波振幅的衰减规律可用下述方法求出.通过极薄厚度d x 的一层媒质后,振幅的衰减（－dA ）正比于此处的振幅A,也正比于d x,即x e A A Adx dA α-=−−→−α=-0积分(12.26) α为一常量,称为媒质的吸收系数.由于波强与振幅的平方成正比,所以平面波波强的衰减规律是x e I I α-=20 (12.27) 作业(P127)：12.20。
第12章 电磁感应与电磁场一 选择题12-1 一根无限长平行直导线载有电流I ，一矩形线圈位于导线平面内沿垂直于载流导线方向以恒定速率运动（如图12-1），则[ ](A) 线圈中无感应电流(B) 线圈中感应电流为顺时针方向 (C) 线圈中感应电流为逆时针方向 (D) 线圈中感应电流方向无法确定解：选(B)。
矩形线圈向下运动，直导线穿过线圈的磁通量减少，根据楞次定律，线圈中感应电流的磁场方向垂直纸面向里，由右手螺旋法则确定线圈中感应电流为顺时针方向。
12-2 尺寸相同的铁环和铜环所包围的面积中，通以相同变化率的磁通量，则环中[ ](A) 感应电动势不同，感应电流不同 (B) 感应电动势相同，感应电流相同 (C) 感应电动势不同，感应电流相同 (D) 感应电动势相同，感应电流不同解：选(D)。
根据法拉第电磁感应定律，铁环和铜环所包围的面积中，若磁通量变化率相同，则感应电动势相同；但是尺寸相同的铁环和铜环的电阻不同，由欧姆定律I Rε=可知，感应电流不同。
12-3 如图12-3所示，导线AB 在均匀磁场中作下列四种运动，（1）垂直于磁场作平动；（2）绕固定端A 作垂直于磁场转动；（3）绕其中心点O 作垂直于磁场转动；（4）绕通过中心点O 的水平轴作平行于磁场的转动。
关于导线AB 的感应电动势哪个结论是错误的? [ ](A)（1）有感应电动势，A 端为高电势I习题12-1图(B)（2）有感应电动势，B 端为高电势 (C)（3）无感应电动势 (D)（4）无感应电动势解：选(B)。
由=ε⎰⋅⨯baB v )(d l 可知，（1）（2）有感应电动势，（3）OA OB、两段导线的感应电动势相互抵消，无感应电动势，（4）无感应电动势，(C)、(D)正确；而ε的方向与B v ⨯的方向相同，（1）（2）电动势的方向均由B A →，A 端为高电势，(A) 正确，(B) 错误。
12-4 如图12-4所示，边长为l 的正方形导线框abcd ，在磁感应强度为B 的匀强磁场中以速度v 垂直于bc 边在线框平面内平动，磁场方向与线框平面垂直，设整个线框中的总的感应电动势为ε，bc 两点间的电势差为u ，则[ ](A),Blv u Blv ε== (B)0,u Blv ε== (C)0,0u ε== (D),0Blv u ε== 解：选(B)。
⼤学物理第⼗⼆章课后习题答案第四篇⽓体动理论热⼒学基础求解⽓体动理论和热⼒学问题的基本思路和⽅法热运动包含⽓体动理论和热⼒学基础两部分．⽓体动理论从物质的微观结构出发，运⽤统计⽅法研究⽓体的热现象，通过寻求宏观量与微观量之间的关系，阐明⽓体的⼀些宏观性质和规律．⽽热⼒学基础是从宏观⾓度通过实验现象研究热运动规律．在求解这两章习题时要注意它们处理问题⽅法的差异．⽓体动理论主要研究对象是理想⽓体，求解这部分习题主要围绕以下三个⽅⾯：(1) 理想⽓体物态⽅程和能量均分定理的应⽤；(2) 麦克斯韦速率分布率的应⽤；(3)有关分⼦碰撞平均⾃由程和平均碰撞频率．热⼒学基础⽅⾯的习题则是围绕第⼀定律对理想⽓体的四个特殊过程(三个等值过程和⼀个绝热过程)和循环过程的应⽤，以及计算热⼒学过程的熵变，并⽤熵增定理判别过程的⽅向．1．近似计算的应⽤⼀般⽓体在温度不太低、压强不太⼤时，可近似当作理想⽓体，故理想⽓体也是⼀个理想模型．⽓体动理论是以理想⽓体为模型建⽴起来的，因此，⽓体动理论所述的定律、定理和公式只能在⼀定条件下使⽤．我们在求解⽓体动理论中有关问题时必须明确这⼀点．然⽽，这种从理想模型得出的结果在理论和实践上是有意义的．例如理想⽓体的内能公式以及由此得出的理想⽓体的摩尔定容热容2/m V,iR C =和摩尔定压热容()2/2m P,R i C +=都是近似公式，它们与在通常温度下的实验值相差不⼤，因此，除了在低温情况下以外，它们还都是可以使⽤的．在实际⼯作时如果要求精度较⾼，摩尔定容热容和摩尔定压热容应采⽤实验值．本书习题中有少数题给出了在某种条件下m V,C 和m P,C 的实验值就是这个道理．如习题中不给出实验值，可以采⽤近似的理论公式计算．2．热⼒学第⼀定律解题过程及注意事项热⼒学第⼀定律E W Q Δ+=，其中功?=21d V V V ρW ，内能增量T R i M m E Δ2Δ?=．本章习题主要是第⼀定律对理想⽓体的四个特殊过程(等体、等压、等温、绝热)以及由它们组成的循环过程的应⽤．解题的主要过程：(1) 明确研究对象是什么⽓体(单原⼦还是双原⼦)，⽓体的质量或物质的量是多少？ (２) 弄清系统经历的是些什么过程，并掌握这些过程的特征．(３) 画出各过程相应的p －V 图．应当知道准确作出热⼒学过程的p －V 图，可以给出⼀个⽐较清晰的物理图像．(４) 根据各过程的⽅程和状态⽅程确定各状态的参量，由各过程的特点和热⼒学第⼀定律就可计算出理想⽓体在各过程中的功、内能增量和吸放热了．在计算中要注意Q 和W 的正、负取法．3．关于内能的计算理想⽓体的内能是温度的单值函数，是状态量，与过程⽆关，⽽功和热量是过程量，在两个确定的初、末状态之间经历不同的过程，功和热量⼀般是不⼀样的，但内能的变化是相同的，且均等于()12m V,ΔT T C Mm E -=．因此，对理想⽓体来说，不论其经历什么过程都可⽤上述公式计算内能的增量．同样，我们在计算某⼀系统熵变的时候，由于熵是状态量，以⽆论在始、末状态之间系统经历了什么过程，始、末两个状态间的熵变是相同的．所以，要计算始末两状态之间经历的不可逆过程的熵变，就可通过计算两状态之间可逆过程熵变来求得，就是这个道理．4．麦克斯韦速率分布律的应⽤和分⼦碰撞的有关讨论深刻理解麦克斯韦速率分布律的物理意义，掌握速率分布函数f (v )和三种统计速率公式及物理意义是求解这部分习题的关键．三种速率为M RT /2P =v ，M RT π/8=v ，M RT /32=v ．注意它们的共同点都正⽐于M T /，⽽在物理意义上和⽤途上⼜有区别．P v ⽤于讨论分⼦速率分布图．v ⽤于讨论分⼦的碰撞；2v ⽤于讨论分⼦的平均平动动能．解题中只要抓住这些特点就⽐较⽅便．根据教学基本要求，有关分⼦碰撞内容的习题求解⽐较简单，往往只要记住平均碰撞频率公式v n d Z 22=和平均⾃由程n d Z λ2π2/1/==v ，甚⾄只要知道n Z ?∝v ，n /1∝λ及M T /∝v 这种⽐值关系就可求解许多有关习题．第⼗⼆章⽓体动理论12 －1 处于平衡状态的⼀瓶氦⽓和⼀瓶氮⽓的分⼦数密度相同，分⼦的平均平动动能也相同，则它们( )(A) 温度，压强均不相同 (B) 温度相同，但氦⽓压强⼤于氮⽓的压强(C) 温度，压强都相同 (D) 温度相同，但氦⽓压强⼩于氮⽓的压强分析与解理想⽓体分⼦的平均平动动能23k /kT =ε，仅与温度有关．因此当氦⽓和氮⽓的平均平动动能相同时，温度也相同．⼜由物态⽅程nkT p =，当两者分⼦数密度n 相同时，它们压强也相同．故选(C)．12 －2 三个容器A 、B 、C 中装有同种理想⽓体，其分⼦数密度n 相同，⽅均根速率之⽐()()()4:2:1::2/12C 2/12B 2/12A =v v v ，则其压强之⽐C B A ::p p p 为( )(A) 1∶2∶4 (B) 1∶4∶8(C) 1∶4∶16 (D) 4∶2∶1分析与解分⼦的⽅均根速率为M RT /3=2v ，因此对同种理想⽓体有3212C 2B 2A ::::T T T =v v v ，⼜由物态⽅程nkT ρ，当三个容器中分⼦数密度n 相同时，得16:4:1::::321321==T T T p p p .故选(C)． 12 －3 在⼀个体积不变的容器中，储有⼀定量的某种理想⽓体，温度为0T 时，⽓体分⼦的平均速率为0v ，分⼦平均碰撞次数为0Z ，平均⾃由程为0λ，当⽓体温度升⾼为04T 时，⽓体分⼦的平均速率v 、平均碰撞频率Z 和平均⾃由程λ分别为( ) (A) 004,4,4λλZ Z ===0v v (B) 0022λλ===,,Z Z 0v v (C) 00422λλ===,,Z Z 0v v (D) 0042λλ===,,Z Z 0v v 分析与解理想⽓体分⼦的平均速率M RT π/8=v ，温度由0T 升⾄04T ，则平均速率变为0v 2；⼜平均碰撞频率v n d Z 2π2=，由于容器体积不变，即分⼦数密度n 不变，则平均碰撞频率变为0Z 2；⽽平均⾃由程n d λ2π2/1=，n 不变，则珔λ也不变．因此正确答案为(B)．12 －4 已知n 为单位体积的分⼦数，()v f 为麦克斯韦速率分布函数，则()v v d nf 表⽰( )(A) 速率v 附近，ｄv 区间内的分⼦数(B) 单位体积内速率在v v v d +~区间内的分⼦数(C) 速率v 附近，ｄv 区间内分⼦数占总分⼦数的⽐率(D) 单位时间内碰到单位器壁上，速率在v v v d ~+ 区间内的分⼦数分析与解麦克斯韦速率分布函数()()v v d /d N N f =，⽽v /N n =，则有()V N nf /d d =v v ．即表⽰单位体积内速率在v v v d ~+区间内的分⼦数．正确答案为(B)．12 －5 ⼀打⾜⽓的⾃⾏车内胎，在C 07o1.=t 时，轮胎中空⽓的压强为Pa 100451?=.p ，则当温度变为C 037o2.=t 时，轮胎内空⽓的压强2p 2p 为多少？(设内胎容积不变)分析胎内空⽓可视为⼀定量的理想⽓体，其始末状态均为平衡态，由于⽓体的体积不变，由理想⽓体物态⽅程RT Mm pV =可知，压强p 与温度T 成正⽐．由此即可求出末态的压强．解由分析可知，当K 15310037152732...=+=T ，轮胎内空⽓压强为Pa 1043451122?==./T p T p可见当温度升⾼时，轮胎内⽓体压强变⼤，因此，夏季外出时⾃⾏车的车胎不宜充⽓太⾜，以免爆胎．12 －6 有⼀个体积为35m 1001?.的空⽓泡由⽔⾯下m 050.深的湖底处(温度为C 4o )升到湖⾯上来．若湖⾯的温度为C 017o .，求⽓泡到达湖⾯的体积．(取⼤⽓压强为Pa 10013150?=.p ) 分析将⽓泡看成是⼀定量的理想⽓体，它位于湖底和上升⾄湖⾯代表两个不同的平衡状态．利⽤理想⽓体物态⽅程即可求解本题．位于湖底时，⽓泡内的压强可⽤公式gh p p ρ+=0求出，其中ρ为⽔的密度( 常取33m kg 1001??=.ρ)．解设⽓泡在湖底和湖⾯的状态参量分别为(p 1 ，V 1 ，T 1 )和(p 2 ,V 2 ，T 2 )．由分析知湖底处压强为gh ρp gh ρp p+=+=021，利⽤理想⽓体的物态⽅程222111T V p T V p = 可得空⽓泡到达湖⾯的体积为()3510120121212m 1011.6//-?=+==T p V T gh ρp T p V T p V12 －7 氧⽓瓶的容积为32m 1023-?.，其中氧⽓的压强为Pa 10317?.，氧⽓⼚规定压强降到Pa 10016?.时，就应重新充⽓，以免经常洗瓶．某⼩型吹玻璃车间，平均每天⽤去3m 400.压强为Pa 100115?.的氧⽓，问⼀瓶氧⽓能⽤多少天？ (设使⽤过程中温度不变)分析由于使⽤条件的限制，瓶中氧⽓不可能完全被使⽤．为此，可通过两条不同的思路进⾏分析和求解：(1) 从氧⽓质量的⾓度来分析．利⽤理想⽓体物态⽅程RT Mm pV =可以分别计算出每天使⽤氧⽓的质量3m 和可供使⽤的氧⽓总质量(即原瓶中氧⽓的总质量1m 和需充⽓时瓶中剩余氧⽓的质量2m 之差)，从⽽可求得使⽤天数()321m m m n /-=．(2) 从容积⾓度来分析．利⽤等温膨胀条件将原瓶中氧⽓由初态(Pa 1030171?=.p , 321m 1023-?=.V )膨胀到需充⽓条件下的终态(Pa 1000162?=.p ，2V 待求)，⽐较可得2p 状态下实际使⽤掉的氧⽓的体积为12V V -．同样将每天使⽤的氧⽓由初态(Pa 1001153?=.p ，33m 400.=V )等温压缩到压强为p 2的终态，并算出此时的体积V′2 ，由此可得使⽤天数应为()212V V V n '-=/．解1 根据分析有RT V Mp m RT V Mp m RT V Mp m /;/;/333222111===则⼀瓶氧⽓可⽤天数()()5.9//33121321===-=V p V p p m m m n解2 根据分析中所述，由理想⽓体物态⽅程得等温膨胀后瓶内氧⽓在压强为Pa 1000162?=.p 时的体积为 2112p V p V /=每天⽤去相同状态的氧⽓容积2332p V p V /='则瓶内氧⽓可⽤天数为()()5.9//33121212=-='-=V p V p p V V V n12 －8 设想太阳是由氢原⼦组成的理想⽓体，其密度可当作是均匀的．若此理想⽓体的压强为Pa 1035114?.．试估计太阳的温度．(已知氢原⼦的质量Pa 1067127H -?=.m ，太阳半径kg 1067127H -?=.m ，太阳质量kg 1099130S ?=.m )分析本题可直接运⽤物态⽅程nkT p =进⾏计算．解氢原⼦的数密度可表⽰为()??==3S H S H S π34//R m m V m m n S 根据题给条件，由nkT p = 可得太阳的温度为()K 1016.13/π4/7S 3S H ?===k m R pm nk p T说明实际上太阳结构并⾮本题中所设想的理想化模型，因此，计算所得的太阳温度与实际的温度相差较⼤．估算太阳(或星体)表⾯温度的⼏种较实⽤的⽅法在教材第⼗五章有所介绍．12 －9 ⼀容器内储有氧⽓，其压强为Pa 100115.，温度为27 ℃，求：(1)⽓体分⼦的数密度；(2) 氧⽓的密度；(3) 分⼦的平均平动动能；(4) 分⼦间的平均距离．(设分⼦间均匀等距排列)分析在题中压强和温度的条件下，氧⽓可视为理想⽓体．因此，可由理想⽓体的物态⽅程、密度的定义以及分⼦的平均平动动能与温度的关系等求解．⼜因可将分⼦看成是均匀等距排列的，故每个分⼦占有的体积为30d V =，由数密度的含意可知n V /10=，d 即可求出．解 (1) 单位体积分⼦数325m 10442?==./kT p n(2) 氧⽓的密度-3m kg 301?===.//RT pM V m ρ(3) 氧⽓分⼦的平均平动动能J 102162321k -?==./kT ε(4) 氧⽓分⼦的平均距离m 10453193-?==./n d通过对本题的求解，我们可以对通常状态下理想⽓体的分⼦数密度、平均平动动能、分⼦间平均距离等物理量的数量级有所了解．12 －10 2.0×10－2 kg 氢⽓装在4.0×10-3 m 3 的容器内，当容器内的压强为3.90×105Pa 时，氢⽓分⼦的平均平动动能为多⼤？分析理想⽓体的温度是由分⼦的平均平动动能决定的，即23k /kT =ε．因此，根据题中给出的条件，通过物态⽅程pV ＝m/MRT ，求出容器内氢⽓的温度即可得k ε．解由分析知氢⽓的温度mRMPV T =，则氢⽓分⼦的平均平动动能为 ()8932323k ./===mR pVMk kT ε12 －11 温度为0 ℃和100 ℃时理想⽓体分⼦的平均平动动能各为多少？欲使分⼦的平均平动动能等于1eV ，⽓体的温度需多⾼？解分⼦在0℃和100 ℃时平均平动动能分别为J 10655232111-?==./kT εJ 10727232122-?==./kT ε由于1eV ＝1.6×10－19 J ，因此，分⼦具有1eV 平均平动动能时，⽓体温度为K 10737323k ?==./k T ε这个温度约为7.5 ×103 ℃．12 －12 某些恒星的温度可达到约1.0 ×108K ，这是发⽣聚变反应(也称热核反应)所需的温度.通常在此温度下恒星可视为由质⼦组成.求：(1) 质⼦的平均动能是多少？ (2) 质⼦的⽅均根速率为多⼤？分析将组成恒星的⼤量质⼦视为理想⽓体，质⼦可作为质点，其⾃由度 i ＝3，因此，质⼦的平均动能就等于平均平动动能.此外，由平均平动动能与温度的关系2/32/2kT m =v ，可得⽅均根速率2v .解 (1) 由分析可得质⼦的平均动能为 J 1007.22/32/3152k -?===kT m εv(2) 质⼦的⽅均根速率为1-62s m 1058.132??==mkT v 12 －13 试求温度为300.0 K 和2.7 K(星际空间温度)的氢分⼦的平均速率、⽅均根速率及最概然速率.分析分清平均速率v 、⽅均根速率2v 及最概然速率p v 的物理意义，并利⽤三种速率相应的公式即可求解.解氢⽓的摩尔质量M ＝2 ×10－3kg·mol －1 ，⽓体温度T 1 ＝300.0K ，则有 1-31s m 1078.18??==M πRT v 1-312s m 1093.13??==M RT v 1-31p s m 1058.12??==MRT v ⽓体温度T 2＝2.7K 时，有 1-31s m 1069.18??==M πRT v 1-322s m 1083.13??==MRT v1-31p s m 1050.12??==MRT v 12 －14 如图所⽰，Ⅰ、Ⅱ两条曲线分别是氢⽓和氧⽓在同⼀温度下的麦克斯韦分⼦速率分布曲线.试由图中数据求：(1)氢⽓分⼦和氧⽓分⼦的最概然速率；(2) 两种⽓体所处的温度；(3) 若图中Ⅰ、Ⅱ分别表⽰氢⽓在不同温度下的麦克斯韦分⼦速率分布曲线.则哪条曲线的⽓体温度较⾼？分析由MRT 1p 2=v 可知，在相同温度下，由于不同⽓体的摩尔质量不同，它们的最概然速率v p 也就不同.因22O H M M <，故氢⽓⽐氧⽓的v p 要⼤，由此可判定图中曲线Ⅱ所标v p ＝2.0 ×103 m·s －1 应是对应于氢⽓分⼦的最概然速率.从⽽可求出该曲线所对应的温度.⼜因曲线Ⅰ、Ⅱ所处的温度相同，故曲线Ⅰ中氧⽓的最概然速率也可按上式求得.同样，由M RT2p =v 可知，如果是同种⽓体，当温度不同时，最概然速率v p 也不同.温度越⾼，v p 越⼤.⽽曲线Ⅱ对应的v p 较⼤，因⽽代表⽓体温度较⾼状态.解 (1) 由分析知氢⽓分⼦的最概然速率为()13H p s m 100.222H 2-??==M RT v利⽤M O2 /M H2 ＝16 可得氧⽓分⼦最概然速率为()()12H p O p s m 100.54/22-??==v v (2) 由M RT2p =v 得⽓体温度K 1081.42/22p==R M T v (3) Ⅱ代表⽓体温度较⾼状态.12 －15 ⽇冕的温度为2.0 ×106K ，所喷出的电⼦⽓可视为理想⽓体.试求其中电⼦的⽅均根速率和热运动平均动能.解⽅均根速率16e2s m 105.93-??==m kT v 平均动能J 10142317k -?==./kT ε 12 －16 在容积为2.0 ×10－3m 3 的容器中，有内能为6.75 ×102J 的刚性双原⼦分⼦某理想⽓体.(1) 求⽓体的压强；(2) 设分⼦总数为5.4×1022 个，求分⼦的平均平动动能及⽓体的温度.分析 (1) ⼀定量理想⽓体的内能RT i M m E 2=，对刚性双原⼦分⼦⽽⾔，i ＝5.由上述内能公式和理想⽓体物态⽅程pV ＝mM RT 可解出⽓体的压强.(2)求得压强后，再依据题给数据可求得分⼦数密度，则由公式p ＝nkT 可求⽓体温度.⽓体分⼦的平均平动动能可由23k /kT ε=求出.解 (1) 由RT i M m E 2=和pV ＝mM RT 可得⽓体压强 ()Pa 1035125?==./iV E p(2) 分⼦数密度n ＝N/V ，则该⽓体的温度()()Pa 106235?===.//nk pV nk p T⽓体分⼦的平均平动动能为J 104972321k -?==./kT ε12 －17温度相同的氢⽓和氧⽓，若氢⽓分⼦的平均平动动能为6.21×10－21J ，试求(1) 氧⽓分⼦的平均平动动能及温度；(2) 氧⽓分⼦的最概然速率. 分析 (1) 理想⽓体分⼦的平均平动动能23k /kT ε=，是温度的单值函数，与⽓体种类⽆关.因此，氧⽓和氢⽓在相同温度下具有相同的平均平动动能，从⽽可以求出氧⽓的温度.(2) 知道温度后再由最概然速率公式M RT 2p =v 即可求解v p . 解 (1) 由分析知氧⽓分⼦的平均平动动能为J 102162321k -?==./kT ε，则氧⽓的温度为：K 30032k ==k εT /(2) 氧⽓的摩尔质量M ＝3.2 ×10－2 kg·mol －1 ，则有 12p s m 1095.32-??==M RTv12 －18 声波在理想⽓体中传播的速率正⽐于⽓体分⼦的⽅均根速率.问声波通过氧⽓的速率与通过氢⽓的速率之⽐为多少？设这两种⽓体都是理想⽓体并具有相同的温度.分析由题意声波速率u 与⽓体分⼦的⽅均根速率成正⽐，即2v ∝u ；⽽在⼀定温度下，⽓体分⼦的⽅均根速率M /12∝v ，式中M 为⽓体的摩尔质量.因此，在⼀定温度下声波速率M u /1∝.解依据分析可设声速M A u /1=，式中A 为⽐例常量.则声波通过氧⽓与氢⽓的速率之⽐为2502222O H O H .==M M u u12 －19 已知质点离开地球引⼒作⽤所需的逃逸速率为gr v 2=，其中r 为地球半径.(1) 若使氢⽓分⼦和氧⽓分⼦的平均速率分别与逃逸速率相等，它们各⾃应有多⾼的温度；(2) 说明⼤⽓层中为什么氢⽓⽐氧⽓要少.(取r ＝6.40 ×106 m)分析⽓体分⼦热运动的平均速率MπRT 8=v ，对于摩尔质量M 不同的⽓体分⼦，为使v 等于逃逸速率v ，所需的温度是不同的；如果环境温度相同，则摩尔质量M 较⼩的就容易达到逃逸速率.解 (1) 由题意逃逸速率gr 2=v ，⽽分⼦热运动的平均速率M πRT 8=v .当v v = 时，有RMrg πT 4= 由于氢⽓的摩尔质量13H mol kg 10022--??=.M ，氧⽓的摩尔质量12O mol kg 10232--??=.M ，则它们达到逃逸速率时所需的温度分别为K 10891K,101815O 4H 22?=?=..T T(2) 根据上述分析，当温度相同时，氢⽓的平均速率⽐氧⽓的要⼤(约为4倍)，因此达到逃逸速率的氢⽓分⼦⽐氧⽓分⼦多.按⼤爆炸理论，宇宙在形成过程中经历了⼀个极⾼温过程.在地球形成的初期，虽然温度已⼤⼤降低，但温度值还是很⾼.因⽽，在⽓体分⼦产⽣过程中就开始有分⼦逃逸地球，其中氢⽓分⼦⽐氧⽓分⼦更易逃逸.另外，虽然⽬前的⼤⽓层温度不可能达到上述计算结果中逃逸速率所需的温度，但由麦克斯韦分⼦速率分布曲线可知，在任⼀温度下，总有⼀些⽓体分⼦的运动速率⼤于逃逸速率.从分布曲线也可知道在相同温度下氢⽓分⼦能达到逃逸速率的可能性⼤于氧⽓分⼦.故⼤⽓层中氢⽓⽐氧⽓要少.12 －20 容积为1m 3 的容器储有1mol 氧⽓，以v ＝10m·s －1 的速度运动，设容器突然停⽌，其中氧⽓的80％的机械运动动能转化为⽓体分⼦热运动动能.试求⽓体的温度及压强各升⾼了多少.分析容器作匀速直线运动时，容器内分⼦除了相对容器作杂乱⽆章的热运动外，还和容器⼀起作定向运动.其定向运动动能(即机械能)为m v 2/2.按照题意，当容器突然停⽌后，80％定向运动动能转为系统的内能.对⼀定量理想⽓体内能是温度的单值函数，则有关系式：()T R M m mv E Δ25%80Δ2?=?=成⽴，从⽽可求ΔT .再利⽤理想⽓体物态⽅程，可求压强的增量. 解由分析知T R M m m E Δ252/8.0Δ2?==v ，其中m 为容器内氧⽓质量.⼜氧⽓的摩尔质量为12m ol kg 1023--??=.M ，解得ΔT ＝6.16 ×10－2 K当容器体积不变时，由pV ＝mRT/M 得Pa 51.0ΔΔ==T VR M m p 12 －21 有N 个质量均为m 的同种⽓体分⼦，它们的速率分布如图所⽰.(1) 说明曲线与横坐标所包围的⾯积的含义；(2) 由N 和0v 求a 值；(3) 求在速率0v /2到30v /2 间隔内的分⼦数；(4) 求分⼦的平均平动动能.分析处理与⽓体分⼦速率分布曲线有关的问题时，关键要理解分布函数()v f 的物理意义. ()v v d /d N N f =，题中纵坐标()v v d /d N Nf =，即处于速率v 附近单位速率区间内的分⼦数.同时要掌握()v f 的归⼀化条件，即()1d 0=?∞v v f .在此基础上，根据分布函数并运⽤数学⽅法(如函数求平均值或极值等)，即可求解本题.解 (1) 由于分⼦所允许的速率在0 到20v 的范围内，由归⼀化条件可知图中曲线下的⾯积()1d 0=?∞v v f 即曲线下⾯积表⽰系统分⼦总数N .(2 ) 从图中可知，在0 到0v 区间内，()0/v v v a Nf ；⽽在0 到20v 区间，()αNf =v .则利⽤归⼀化条件有v v v v v ??+=000200d d v v a a N (3) 速率在0v /2到30v /2间隔内的分⼦数为12/7d d Δ2/300000N a a N =+=??v v v v v v v (4) 分⼦速率平⽅的平均值按定义为()v v f v v v d /d 02022??∞∞==N N 故分⼦的平均平动动能为20220302K 3631d d 2121000v v v v v v v v v v m N a N a m m ε=+==?? 12 －22 试⽤麦克斯韦分⼦速率分布定律导出⽅均根速率和最概然速率. 分析麦克斯韦分⼦速率分布函数为()???? ??-??? ??=kT m kT m f 2exp π2π4222/3v v v 采⽤数学中对连续函数求⾃变量平均值的⽅法，求解分⼦速率平⽅的平均值，即??=N Nd d 22v v ，从⽽得出⽅均根速率.由于分布函数较复杂，在积分过程中需作适当的数学代换.另外，最概然速率是指麦克斯韦分⼦速率分布函数极⼤值所对应的速率，因⽽可采⽤求函数极值的⽅法求得.解 (1) 根据分析可得分⼦的⽅均根速率为2/1242/302/1022d 2exp π2π4/d ???????????? ??-??? ??=??? ??=??∞v v v v v kT m kT m N N N令222/x kT m =v ，则有 2/12/12/104273.13d 2π42??? ??=??? ??=??=?∞-m RT m kT x e x m kT x v(2) 令()0d d =v v f ，即 02exp 222exp 2π2π42222/3=??--???? ??-??? ??kT m kT m kT m T k m v v v v v 得 2/12/141.12??? ??≈??? ??==m RT m kT P v v12 －23 导体中⾃由电⼦的运动可看作类似于⽓体分⼦的运动(故称电⼦⽓).设导体中共有N 个⾃由电⼦，其中电⼦的最⼤速率为v Ｆ (称为费⽶速率).电⼦在速率v v v d ~+之间的概率为()()>>>=v v v v v v 0,0 d π4d F 2A N A N N (1)画出分布函数图；(2) ⽤N 、v Ｆ定出常数A ；(3) 证明电⼦⽓中电⼦的平均动能53F /εε=，其中22F F /mv =ε.分析理解速率分布函数的物理意义，就不难求解本题.速率分布函数()vv d d 1N N f =，表⽰在v 附近单位速率区间的粒⼦数占总粒⼦数的百分⽐.它应满⾜归⼀化条件()()??=∞F 00d d v v v v v f f ，因此根据题给条件可得()v v ~f 的函数关系，由此可作出解析图和求出A .在()v v ~f 函数关系确定的情况下，由()v v v v d 22f ?=可以求出v2 ，从⽽求出2/2v m ε=. 解 (1) 由题设可知，电⼦的速率分布函数()()()>>>=F F 2 00 π4v v v v v v N A f ，其分布函数图如图所⽰. (2) 利⽤分析中所述归⼀化条件，有1d π4F02=?v v v NA 得 3F π4/3v N A = (3) ()53d N 4ππd 2F 20022F v v v v v v v v ===??∞f 5/32/F 2εm ε==v12 －24 ⼀飞机在地⾯时，机舱中的压⼒计指⽰为Pa 100115?.，到⾼空后压强降为Pa 101184..设⼤⽓的温度均为27.0 ℃.问此时飞机距地⾯的⾼度为多少？(设空⽓的摩尔质量为2.89 ×10－2 kg·mol －1 )分析当温度不变时，⼤⽓压强随⾼度的变化主要是因为分⼦数密度的改变⽽造成.⽓体分⼦在重⼒场中的分布满⾜玻⽿兹曼分布.利⽤地球表⾯附近⽓压公式()kT mgh p p /ex p 0-=，即可求得飞机的⾼度h .式中p 0 是地⾯的⼤⽓压强.解飞机⾼度为 ()()m 1093.1/ln /ln 300?===p p MgRT p p mg kT h 12 －25 在压强为Pa 1001.15?下，氮⽓分⼦的平均⾃由程为6.0×10－6cm,当温度不变时，在多⼤压强下，其平均⾃由程为1.0mm 。
第十二章恒定电流12-1北京正负电子对撞机的储存环是周长为240m的近似圆形轨道。
求当环中电子电流强度为8mA时，在整个环中有多少电子在运行。
已知电子的速率接近光速。
［解］设储存环周长为I ,电子在储存环中运行一周所需时间I It-—z—V C在这段时间里，通过储存环任一截面的电量即等于整个环中电子的总电量，以。
表示，则Q- It - I-c故电子总数为Q II 8X10-3 x = 4 x 1O10e ec _2401.6 x %； x 3 x12-2表皮损坏后的人体，其最低电阻约为800 Q。
若有0.05A的电流通过人体，人就有生命危险。
求最低的危险电压（国家规定照明用电的安全电压为36V）O［解］［/ = //? = 0.05 x 800 = 40V 12-3 一用电阻率为p的物质制成的空心半球壳，其内半径为'、外半径为心。
试计算其两表面之间的电阻。
12-4 —铜棒的横截面积为20〃冲X 80mm ,长为2m ,两端的电势差为50mV o已知铜的电导率为b =5.7 x 107/m ,铜内自由电子的电荷密度为1.36X 10物口疽。
求：（1）它的电S阻；⑵电流；（3）电流密度；（4）棒内的电场强度；（5）所消耗的功率；（6）棒内电子的漂移速度。
［解］（1）R- -- = 22 X I。
-。
Q（T 5.7 x 107 x 20 x 80 x 10c - 6u .I 二二2.3X103 A_ 50X10R 2.2X10-5P 2兀 7 In Q 二 2.2 xIO 8 Q 0.5 (3) . _ 7_ - 2.3 x IO 、二 1.4 A imm 2J ' ~s~ 20 x 80 / 6U o(4) j= (J E = 2 = 14 X 10 = 2.5 x 10 2V m E7 / a 5.7 x io 7 (5) P =(2.3 x 103)2 x 2.2 X 10 5 = 1.2 x 102W(6)(2.3 x 103)2 x 2.2X1O 「5 X 3600J = 4.2 x IO 5 J / •[ 4 X ] C)2 (7) M = — = 1 ---- Q cm/s = 1.0 x IO -4 cm sne 8.5 X 1022 X 1.6 X 10 19 ' 12-5电缆的芯线是半径为r=0.5cm 的铜线，在铜线外面包一层同轴的绝缘层，绝缘层的外半径为七=2。
第四篇 振动与波动振动与波动都是自然界最常见的运动形式，每时每课都在影响着我们的生活．物体在一定位置附近来回往复地运动称为机械振动，由电容器和自感线圈串联而成的闭合电路被激发后，电容器极板上的电荷与自感线圈中的电流作周期性变化称为电磁振荡，只要一个物理量在一定的平衡值附近发生周期性的变化，都可认为该物理量在作振动．不同的振动现象中物理量的行为机制各不相同，但具有一些共同的物理特征．机械波是机械振动在介质中的传播过程，电磁波是变化的电场和变化的磁场在空间的传播过程，还有声波、水面波、光波和地震波等各种不同性质的波．各种波的特性各不相同，但是都具有类似的波函数，都有干涉和衍射等波的独特性质，波的这些共性称为波动性．本篇包括振动、波动以及光学三章．我们将通过机械振动和机械波的讨论，介绍振动和波的基本概念和基本特性，并分别延伸到电磁振荡和电磁波．光波是一种电磁波，光具有波粒二象性，即除了波动性外还具有粒子性．光学一章在简单介绍几何光学的基本原理后，主要讨论光的波动性，光的粒子性将在量子物理中讲授．第十二章 振动物体在一定位置附近来回往复地运动称为机械振动，例如钟摆的运动、汽缸中活塞的运动、机器开动时各部分的微小颤动都是机械振动．振动现象是非常普遍的，并不限于机械振动．振荡电路中电流的变化，电磁场的变化，虽然和机械振动有本质的不同，但它们的变化规律和数学描述与机械振动相类似，所以也称为振动．一般地说，凡是描述物质运动状态的某一物理量，在一定的平衡值附近发生周期性的变化都可称为振动．在自然界和科学技术中振动是普遍存在的，因此不论研究自然科学或工程科学都必须研究振动的规律．在所有振动中最简单而又最基本的振动是简谐振动(亦称简谐运动)．可以证明，任何复杂的振动，都可认为是由几个或多个简谐振动合成．本章主要讨论简谐振动，并简要介绍阻尼振动，受迫振动，以及非线性振动问题，最后说明在振荡电路中电磁振荡是如何形成的．§12－1 简谐振动一、简谐振动弹簧振子的运动是简谐振动的典型例子．下面以弹簧振子为例来说明简谐振动的规律．如图12－1，将弹簧一端固定，另一端连接一物体，物体能在光滑水平面上沿左右方向运动．弹簧的质量远小于物体的质量，可以忽略不计，这一系统即为上册§3－3中讲过的弹簧振子．因为假定水平面是光滑的，没有摩擦力作用，所以在水平方向上物体只受到弹簧的弹性力作用．设物体处在位置O 时，所受的合外力为零，这个位置称为物体的平衡位置．现将物体略向右移到位置B 然后释放，这时由于弹簧被拉长，便有一指向左边即指向平衡位置的弹性力作用在物体上，迫使物体向左运动．当物体回到平衡位置时，虽然作用在物体上的弹性力变为零，但物体仍然在运动，由于惯性将继续向左方行进．当 图12－1物体到达平衡位置的左边时，弹簧被压缩，便有指向右边即指向平衡位置的弹性力作用在物体上，阻止物体继续向左运动，致使物体的运动速度减小，直到物体到达速度变为零的位置C ．之后，物体又将在弹性力的作用下向右运动．这样物体就在弹性力的作用下，在平衡位置附近来回往复运动．以上我们定性地分析了弹簧振子的振动过程，下面研究它的运动规律．取平衡位置O 为坐标的原点，Ox 轴的正方向向右，如图12－1，设x 为物体的坐标，则x 亦为物体相对于平衡位置的位移(振动质点的位移都是相对于平衡位置的位移)．根据胡克定律，在弹性限度内，物体受到的弹性力F 与物体的位移x 成正比，即F = -kx式中k 是弹簧的劲度系数，与弹簧的材料、形状、大小有关．“-”号表示力的方向与位移的方向相反．设物体的质量为m ，在弹性力F 的作用下产生的加速度为a ，则由牛顿第二定律得x mk m F a -== （12－1） 对于给定的弹簧振子，k 和m 都是正的常量，可令2ω=mk （12－2） 代入(12－1)式得x a 2ω-= （12－3）这一结果表明，弹簧振子的加速度与位移成正比，而方向相反．我们把加速度与位移成正比而方向相反的振动称为简谐振动，作简谐振动的物体称为谐振子．因22d d tx a = 所以(12－3)式也可写成0d d 222=+x tx ω （12－4） 这是简谐振动的微分方程，从高等数学知道它的解是x = A cos(ωt + φ) （12－5）式中的A 、φ是两个积分常数，它们的物理意义将在下面讨论．又因cos(ωt + φ) =sin(ωt + φ +2π)，如果令φ’ = φ +2π，则(12－5)式可改写成 x = A sin(ωt + φ’) （12－5a ）(12－5)或(12－5a)式称为简谐振动方程．因此我们也可以说，位移是时间的余弦函数或正弦函数的运动称为简谐振动．本章中我们采用余弦函数的形式来表示简谐振动．二、简谐振动的振幅、周期及频率在简谐振动方程(12－5)式中，因cos(ωt+φ)的值在+1与-1之间，所以振动物体的位移在+A 与-A 之间，我们把物体离开平衡位置的最大位移的绝对值A ，称为简谐振动的振幅．又因cos(ωt + φ)是时间t 的周期函数，所以简谐振动是周期运动，周期性是简谐振动的基本特征．设T 为简谐振动的周期，则有ωπ2=T （12－6） 单位时间内物体所作完全振动的次数称为振动的频率，通常用ν表示．因为物体作一次完全振动所需的时间是T ，所以单位时间内所作完全振动的次数为1/T ，故得π21ων==T （12－7） 频率的单位是赫兹，符号为Hz ．1 Hz = 1 s -1．ω称为角频率，单位为弧度/秒，也用符号s -1表示．由(12－7)式得νωπ2= （12－8）对于弹簧振子，由(12－2)式得mk =ω （12－9） 所以振动的周期和频率可写为 km T π2= （12－10） mk π21=ν （12－11） 对于给定的弹簧振子，m 和k 都是一定的，所以简谐振动的周期和频率完全由弹簧振子本身的性质决定，与初始条件(即初位移x 0和初速度v 0)无关．因此这种周期和频率又称为固有周期和固有频率． 因为T π2π2==νω，所以简谐振动方程可以写为以下任一种形式： x = A cos(ωt + φ) x = A cos(2πνt + φ) )π2cos(ϕ+=t T A x 三、简谐振动的速度和加速度 将简谐振动方程(12－5)式对时间t 求一阶导数和二阶导数，便可得出振动物体的速度和加速度为 )sin(d d ϕωω+-==t A tx v （12－12） x t A tx a 2222)c o s (d d ωϕωω-=+-== （12－13） 图12－2由(12－5) 、(12－12)及 (12－13)式看出，物体作简谐振动时，其位移、速度和加速度都是时间的正弦函数或余弦函数，ωA 为速度的振幅，ω2A 为加速度的振幅．以时间t 为横坐标，位移、速度和加速度为纵坐标，并假定φ = 0，便可画出如图12－2所示的x －t ，v －t 和a －t 曲线．从这三条曲线可以看出，简谐振动的位移、速度和加速度都是周期性变化的，而且具有相同的周期值．但它们随时间变化的步调不一致，当位移为最大正值时，速度为零，加速度为最大负值；当位移为零时，速度的绝对值最大，加速度也为零．四、简谐振动的相位 振幅及初相的决定在简谐振动方程中(ωt + φ)称为简谐振动在t 时刻的相位，它是表示振动物体的位置和运动方向的物理量．假设已知简谐振动的振幅A ，又知道相位(ωt + φ)，由(12－5)式可决定t 时刻振动物体的位移x ，由(12－12)式可决定速度的正负号，亦即决定振动物体的运动方向．反之，如果知道t 时刻振动物体的位移x 和运动方向，便可决定相位(ωt + φ)，参见例题12－2．简谐振动方程中的φ是t = 0时的相位，称为初相或初相位，可以由振动物体在t = 0时的位移及运动方向决定．A 和φ的决定对给定的一个振动系统，ω是已知的．简谐振动方程中的振幅A 和初相位φ，可由初始条件即t = 0时的位移x 0及速度v 0决定．因为x = A cos(ωt + φ))sin(ϕωω+-=t A v在此两式中令t = 0，得x 0 = A cos φϕωsin 0A -=v 或ϕωs i n 0A =-v两式平方、相加及化简可得 22020ωv +=x A （12－14）初相位φ可决定如下：由Ax 0cos =ϕ可决定φ的两个可能值，再根据A ωϕ0sin v -=的正负号，可从这两个可能值中决定φ的值，参见例题12－1． 五、简谐振动的旋转矢量表示法下面介绍简谐振动的旋转矢量表示法．这种方法可以帮助我们更直观地了解简谐振动的位移和时间的关系以及简谐振动方程中A 、ω和φ三个图12－3物理量的意义，而且还为以后讨论简谐振动的合成提供简便的方法．如图12－3，从x 轴上原点O 作一矢量A ，长度等于简谐振动的振幅A ，这个矢量称为旋转矢量．t = 0时，旋转矢量A 与Ox 轴的夹角等于简谐振动的初相φ．设旋转矢量A 在图平面上沿反时针方向作匀速转动，角速度等于简谐振动的角频率ω．经过时间t 后，旋转矢量A 转过了角度ωt ，与Ox 轴的夹角等于简谐振动的相位(ωt + φ)．在时刻t 旋转矢量A 在Ox 轴上的投影为A cos(ωt + φ)，这正是物体在t 时刻的位移x ．因此旋转矢量A 的端点M 在以O 为圆心A 为半径的圆上作匀速圆周运动(这个圆称为参考圆)，它在Ox 轴上的投影点P 作简谐振动．简谐振动的位移x 等于旋转矢量A 在Ox 轴上的投影A cos(ωt + φ)，简谐振动的振幅A 等于旋转矢量的长度，简谐振动的角频率ω等于旋转矢量转动的角速度，简谐振动的初相φ等于初始时刻(t = 0时)旋转矢量A 与Ox 轴的夹角．这样，简谐振动的位移与时间的关系以及简谐振动方程中A 、ω和φ三个物理量的意义就很清楚了．例题12－1 如图12－4，一弹簧振子放置在光滑的水平面上．已知弹簧的劲度系数k =1.6 N/m ，物体的质量m = 0.40 kg ．试就下列二情形分别求简谐振动方程．(1) 将物体从平衡位置向右移到x = 0.10 m 处后释放．(2) 将物体从平衡位置向右移到x = 0.10 m 处后并给物体以向左的速度0.20 m/s ． 解 (1) 弹簧振子的角频率为1-1-s 0.2s 40.06.1===m k ω 取平衡位置O 为坐标的原点，Ox 轴的正方向向右，根据初始条件，t = 0时，x 0 = 0.10 m ，v 0 = 0，由(12－14)式得振幅为 m 10.0022020==+=x x A ωv由此得 110.010.0cos 0===A x ϕ φ = 0于是振动方程为x = 0.1cos 2t m(2) 根据初始条件：t = 0时，x 0 = 0.10 m ，v 0 = -0.20 m/s ，由(12－14)式得振幅为m 14.0m 02.0m 0.220.0)10.0(2222020==⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=ωv x A 2102.010.0cos 0===A x ϕ 4π=ϕ或4π- 因0sin 0>-=Aωϕv ，所以应取4π=ϕ，故得简谐振动方程：图12－4m )4π0.2cos(14.0+=t x 由此可见，对给定的一个振动系统，如果初始条件不同，振幅和初相位就不同，振动的情况也就不同．例题12－2 设一质点在Ox 轴上作简谐振动，振动的振幅为A ．若某时刻t ，测得质点的位移2A x =，向Ox 轴的负方向运动．求该时刻质点振动的相位． 解 此题用旋转矢量法求解较为简便．以 O 为圆心、A 为半径作参考圆，如图12－5．在Ox 轴上取一点P ，使2A OP =，过P 点作Ox 轴的垂线，与参考圆交于M 及M ’两点．因旋转矢量A 在圆平面上沿反时针方向转动，而且在t 时刻质点向Ox 轴的负方向运动，所以在该时刻旋转矢量A 的端点应为M ，而质点振动的相位为 3π21arccos ±==∠=+POM t ϕω 因0)sin(>-=+At ωϕωv ，所以应取3π=+ϕωt ，故振动质点在该时刻的相位是3π． 例题12－3 如图12－6(a)，卷扬机上吊着一质量m = 3.0×103 kg 的重物，以速度v = 3.0m/s 下降．钢绳上端因故突然被卡住，这时钢绳的劲度系数k = 27×105 N/m ．不计钢绳的质量，求重物此后的运动方程．解 当卷扬机的钢绳上端被卡住之后，由于惯性，重物将在其平衡位置附近振动．这一振动系统可构成如图12－6(b)所示的一个竖直方向弹簧振子模型．选取Ox 轴方向向下，原点为重物的平衡位置．当重物相对于平衡位置的位移为x 时，它受到向上的弹性力F 及向下的重力mg 作用，由牛顿第二定律得22d d t x m F mg =- 即 220d d )(t x m x l k mg =+- （12－15） 式中l 0是重物处于平衡时钢绳的静伸长量，即 mg = kl 0 故(12－15)式化为 0d d 22=+x mk t x 令2ω=mk ，则 0d d 222=+x tx ω 可见重物作简谐振动，其振动方程设为)cos(ϕω+=t A x （12－16）图12－5(a) (b) 图12－6由题给的条件得 1-1-35s 30s 100.31027=⨯⨯==m k ω 取钢绳刚被卡住时作为计时起点，则t = 0时，x 0 = 0，v 0 = 3. 0 m/s ，由(12－14)式得m 10.0m 300.3 022020===+=ωωv v x A 由(12－16)式及起始条件得0cos 0==A x ϕ，所以2π=ϕ或23π，因0sin 0<-=Aωϕv ，故应取23π=ϕ．将ω、A 及φ的值代入(12－16)式便得重物的振动方程为 m )23π30cos(10.0+=t x 例题12－4 如图12－7，一根不可伸长的细绳上端固定，下端悬挂小球，使小球稍微偏离平衡位置后释放，小球即在一铅直平面内在平衡位置附近来回摆动．这一系统称为单摆．证明当偏角θ很小时，单摆的运动为简谐振动，并求其周期．解 单摆对平衡位置的角位移为θ，取悬线向右摆动时θ为正．因重力m g 的切向分量F t 始终指向平衡位置，即指向｜θ｜减小的方向，可写F t = -mg sin θ，故由切向运动方程得 θsin d d t mg F t m -==v 式中“-”号表示切向力的方向与角位移的方向相反．因为t l d d θ=v ，所以上式可写为 θθsin d d 22mg tml -= 当θ很小(θ < 5°)时，θθ≈sin ，上式变为 θθ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=l g t 22d d 令2ω=l g ，则上式变为 θωθ222d d -=t上式说明单摆的角加速度与角位移成正比，而方向相反．故单摆作简谐振动，振动的周期为gl T π2π2==ω §12－2 简谐振动的能量以弹簧振子为例来说明简谐振动的能量，因不考虑弹簧的质量，物体的动能就是系统的动能．设物体的质量为m ，当它以速度v 运动时，其动能为)(sin 21212222k ϕωω+==t A m m E v （12－17） 由(3－18)式，当物体的位移为x 时，弹簧振子的势能为图12－7)(cos 21212222p ϕω+==t A k kx E （12－18） 可见简谐振动的动能和势能都随时间作周期性变化．简谐振动的总能量E 等于上述动能与势能之和，即22p k 2121kx m E E E +=+=v 将(12－17)及(12－18)式代入上式得)(cos 21)(sin 2122222ϕωϕωω+++=t kA t A m E 注意到mk =2ω或2ωm k =，则上式可简化为 2222121kA A m E ==ω （12－19） 可以看出：简谐振动的动能与势能都随时间变化并相互转换．当振动物体通过平衡位置时，即其位移为零时，动能最大，势能为零；当位移最大时，动能为零，势能最大．但任一时刻动能与势能之和E 保持不变，振动系统的机械能守恒．从上面的结果我们还看出，对一个给定的振动系统，m 、ω和k 都是一定的．如果振幅A 不同，则总能量E 也不同，E 与A 2成正比．*§12－3 阻尼振动 受迫振动 共振一、阻尼振动在简谐振动过程中系统的机械能守恒．这是因为已假设振动系统没有受到外力作用，内力也只有重力、弹性力或准弹性力这样的保守力，没有耗散力存在．但在实际情形中系统振动时总要受到阻力作用，由于克服阻力作功系统的能量将不断减少，最后变为零，振动就会停下来．振幅随时间而减小的振动称为阻尼振动．产生阻力的原因，除了两个接触面之间干燥的或有润滑的摩擦之外，还有因引起周围介质的振动导致振动能量向四周辐射形成的阻力作用．在讨论振动问题时，将这些阻力统称为阻尼或阻尼力．摩擦阻力以粘滞阻力为主，辐射引起的阻力作用性质与粘滞阻力相似．下面只考虑粘滞阻力的作用并只讨论运动微分方程为线性微分方程的阻尼问题．运动微分方程为非线性微分方程的振动称为非线性振动，有关问题在非线性振动一节中要作初步的介绍．实验证明，当运动速度不大时，在空气或液体中运动物体所受到的流体粘滞阻尼力F r 的方向与速度v 方向相反，其大小与速率成正比，即tx F d d r γγ-=-=v 其中γ为比例常量，称为阻尼系数．考虑了这种粘滞阻尼力后，水平弹簧振子系统中物体所受的合力等于上述阻尼力和弹性力之和．由牛顿第二定律得物体的运动微分方程 kx tx t x m --=d d d d 22γ 或 0d d d d 22=++kx tx t x m γ （12－20）这是二阶线性微分方程，数学求解比较容易． 令20 ,2ωδγ==mk m ，则(12－20)式可写为 0d d 2d d 2022=++x tx t x ωδ （12－21） ω0由振动系统本身的性质决定，是振动系统在无阻尼力作用时的角频率，即振动系统的固有角频率．δ称为阻尼系数，与振动系统本身的性质及周围介质的性质有关．(12－21)式的解与δ和ω0的量值有关，分别讨论如下：(1) 弱阻尼情形弱阻尼时，202ωδ<，则(12－21)式的解为)(c o s ϕωδ+=-t Ae x t （12－22）其中 220δωω-= （12－23） A 、φ为积分常量，由起始条件决定．由(12－23)式看出，有阻尼作用时的角频率小于无阻尼作用时的角频率．位移x 与时间t 的关系如图12－8(a)中的实曲线所示．可以看出系统振动已不是等幅的简谐振动，而是振幅被限制在两曲线t Ae δ-±之间不断地衰减的衰减振动．δ越小衰减越慢，δ越大衰减越快．所以严格地说，阻尼振动不再是周期运动．但振动物体接连两次沿同一方向通过平衡位置或到达同一方向的最大位移处相隔的时间为一常量T ，我们仍然把时间T 称为阻尼振动的周期，其值为220π2π2δωω-==T （12－24）(2) 强阻尼及临界阻尼情形强阻尼时，202ωδ>；临界阻尼时，202ωδ=．在这两种情况下，位移x 与时间t 的关系如图12－8(b)所示．可以看出物体的运动都是非周期性的，连一次振(a) (b)图12－8动都来不及完成就停止在平衡位置了．临界阻尼时到达平衡位置所需的时间比强阻尼时所需的时间短些．生产技术中通常用改变阻尼大小的方法来控制系统的振动情况．例如各类机床在安装时都加了阻尼装置作为减振器，使机床运转时冲击引起的强烈振动迅速衰减，以保护机件．又如精密天平和灵敏电流计也配备了阻尼装置，采用加大阻尼的办法使指针尽快停止摆动，便于及时测量读数．加大阻尼的时候最好是加大到临界阻尼，这样可使指针更快地回复到平衡位置．二、受迫振动 共振受迫振动是相对于自由振动而言的．什么叫做自由振动？我们知道，要使一振动系统开始振动，最初要有一外力使它离开平衡位置，当它离开平衡位置以后，就能够自由振动，不需要外力继续作用，这种不在外力作用下的振动称为自由振动．反之，振动系统在周期性外力作用下发生的振动称为受迫振动．这种周期性外力称为驱动力．例如夯地用的电动机转子上附有偏心轮，电动机与机座组成的系统受到周期性外力作用，因而发生受迫振动．又如扬声器中纸盆的振动或电话耳机中膜的振动都是受迫振动的例子．扬声器中的纸盆或电话耳机中的膜都有一线圈和它们相连，线圈放置在永久磁铁的磁场中．当线圈中有音频电流通过时，磁场对电流的作用力是使它们作受迫振动的驱动力．下面讨论驱动力为时间的余弦函数的情形．设驱动力为H cos Ωt ，其中H 为驱动力的振幅，Ω为驱动力的角频率．振动系统除受驱动力作用外，还受到弹性力或准弹性力和阻尼力作用，由牛顿第二定律得振动系统的运动微分方程为t H tx kx t x m Ωγcos d d d d 22+--= 令h mH m m k === ,2 ,20δγω，则上式化为 t h x tx t x Ωωδc o s d d 2d d 2022=++ （12－25） 这个微分方程的解为)cos()cos(00ϕΩϕωδ+++=-t A t e A x t 其中220δωω-=．上式表示受迫振动由两个分振动合成，一个分振动是上式右边第一项所表示的振幅呈指数衰减的振动，经过一段时间后其振幅就趋于零了；另一个分振动的振幅恒定不变，所以受迫振动达到稳定状态后是由下式表示的等幅振动：)cos(ϕΩ+=t A x （12－26）将(12－26)式代入(12－25)式，整理后可得稳态受迫振动的振幅为2222204)(ΩδΩω+-=hA （12－27）稳态受迫振动与驱动力的相位差为2202a r c t a n ΩωΩδϕ--= （12－28） 由(12－27)及(12－28)两式看出：A 及ϕ的值决定于振动系统本身的性质(m 、ω0、δ)及驱动力的性质(Ω、H )，与振动系统的初始条件无关．图12－9画出对应于不同的δ值的A －Ω曲线．从图看出，不同δ值的A －Ω曲线都有一个最大值，将(12－27)式对Ω求导数并令0d d =ΩA ，可求出与A 的最大值对应的角频率为220r 2δωΩ-= （12－29）当驱动力的角频率为Ωr 时，受迫振动的振幅为最大，我们把这种振幅达到最大值的现象称为共振现象．使受迫振动的振幅达到最大值的驱动力的角频率Ωr 称为共振角频率．将(12－29)式代入(12－27)式得共振时的振幅为220r 2δωδ-=h A （12－30）由图12－9中曲线看出：(1) 当驱动力的角频率Ω与振动系统的固有角频率ω0相差很远时，受迫振动的振幅都很小；(2) 当角频率Ω逐渐逼近共振角频率时，受迫振动的振幅逐渐增大，角频率Ω等于共振角频率Ωr 时，受迫振动的振幅达最大值A r ；(3) 在同一角频率的驱动力作用下，阻尼系数δ较小时受迫振动的振幅较大，阻尼系数δ较大时受迫振动的振幅较小．利用受迫振动这些性质，可以控制驱动力对振动系统的作用，当我们要加强驱动力的作用而使振幅很大时，就要使驱动力的频率接近于共振频率．当我们要削弱驱动力的作用而使振幅很小时，就要使驱动力的频率与振动系统的固有频率尽量离得远些．当驱动力的频率和共振频率接近时，就应减小阻尼或加大阻尼，以达到加强振动或减弱振动的目的．以上结果在实际工作中有很多应用．例如收音机的调谐就是使收音机中的调谐电路的频率等于所要收听的电台广播的频率，使之发生共振以达到选台目的．当机床运转时，转动部分总会有某种不对称性，从而对机床的其他部件施加周期性作用力，引起这些部件的受迫振动，影响加工精度．为了减弱振动，以提高加工精度，可将机床底座加厚，并在底座下面铺设弹性垫层，即增大质量m 和减小劲度系数k ，以降低振动系统的固有频率，使固有频率与机器运转时产生的周期性作用力的频率尽量离得远些，这样就可以使受迫振动的振幅变得很小，从而削弱周期性作用力的影响．§12－4 一维简谐振动的合成 拍现象一、两个同方向、同频率的简谐振动的合成一个物体可以同时参与两个或两个以上的振动，例如两个声源发出的声波同时传播到空中某点时，由于每一列声波都在该点引起一个振动，所以该点同时参图12－9与两个振动．设一质点同时参与两个沿同一直线的同频率的简谐振动．我们取这一直线为Ox 轴，质点的平衡位置为原点，任一时刻t 这两个简谐振动的位移分别为)cos(111ϕω+=t A x)cos(222ϕω+=t A x式中A 1和A 2、φ1和φ2分别表示这两个简谐振动的振幅和初相位，ω是它们的角频率．由于x 1和x 2表示在同一直线上距同一平衡位置的位移，所以合振动的位移x 仍在同一直线上，而且等于上述两分振动的位移的代数和，即x = x 1 + x 2为简单起见，我们用旋转矢量法来讨论这两个简谐振动的合成．如图12－ 10(a)，从Ox 轴的原点O ，作表征两个简谐振动的旋转矢量A 1和A 2，在t = 0时刻，它们与x 轴的夹角分别为φl 和φ2．A 为A 1与A 2的合矢量，它与x 轴的夹角为φ．因两矢量均以角速度ω绕O 点沿反时针方向旋转，平行四边形OM 1MM 2的形状、大小不变，故合矢量A 的大小也保持不变，并和A 1、A 2一起以角速度ω绕O 点转动．因此在任一时刻t ，矢量A 在Ox 轴上的投影x 等于A 1、A 2的投影x 1、x 2之和(图12－10b)，即x = x 1 + x 2但x 1、x 2分别为A 1、A 2的端点在x 轴上的投影点距平衡位置的位移，亦即两个分振动的位移，所以上式表示矢量A 的端点在x 轴上的投影点距平衡位置的位移等于两个分振动的位移的代数和．所以矢量A 是相应于合振动的旋转矢量．因此合振动的振幅等于矢量A 的大小，合振动的初相位φ等于t = 0 时矢量A 与x 轴的夹角．从图12－10(a)看出，合振动的振幅为)cos(212212221ϕϕ-++=A A A A A （12－31）合振动的初相位为22112211cos cos sin sin arctan ϕϕϕϕϕA A A A ++= （12－32） 而合振动的位移为 )c o s(ϕω+=t A x 即合振动仍然是角频率为ω的简谐振动，振幅A 及初相位分别由(12－31)及(12(a) (b)图12－10－32)式决定．以上求合振动的方法称为旋转矢量法，即把每一分振动都用相应的旋转矢量表示，然后求这些矢量的和即得相应于合振动的旋转矢量．从(12－31)式看出，合振动的振幅，不仅与两分振动的振幅有关，而且还与它们的相位差φ2 - φ1有关．下面讨论两种重要的特殊情形：1．相位差φ2 - φ1 = 2k π (k = 0，±1，±2，…)，这时cos(φ2 - φ1) = 1，由(12－31)式得212122212A A A A A A A +=++= （12－33）即当两分振动的相位差为π的偶数倍时，合振动的振幅等于两分振动的振幅之和，合成后振动加强，2．相位差φ2 - φ1 = (2k +1)π (k = 0，±1，±2，…)，这时cos(φ2 - φ1) = -1，故由(12－31)式得212122212A A A A A A A -=-+= （12－34）即当两分振动的相位差为π的奇数倍时，合振动的振幅等于两分振动的振幅之差的绝对值．如果两个振动的相位差为π的偶数倍则称这两个振动的相位相同，如果两个振动的相位差为π的奇数倍则称这两个振动的相位相反．故以上的结果可改述如下：当两个分振动的相位相同时，合振动的振幅最大，等于两个分振动的振幅之和；当两个分振动的相位相反时，合振动的振幅最小，等于两个分振动的振幅之差的绝对值．例题12－5 一物体同时参与N 个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等，都等于a ，但相位不等，形成一等差级数，即每相邻二振动的相位差都等于θ．求合振动的振幅． 解 设N 个简谐振动方程为x 1 = a cos ωtx 2 = a cos (ωt + θ )x 3 = a cos (ωt + 2θ )…………x N = a cos [ωt + (N -1)θ ]采用旋转矢量法，对每一分振动作相应的旋转矢量，得N 个旋转矢量a 1，a 2，a 3，…，a N ，将这N 个矢量首尾相接并从矢量a 1的始点到矢量a N 的末点作矢量A ，则A 即为相应的合振动的旋转矢量．A 的大小即为所要求的合振动的振幅．首先证明矢量a 1，a 2，a 3，…内接于同一圆弧．如图12－12，作∠OMN 及∠MNP 的平分线，此两直线相交于一点C ，因为∠CMN = ∠CNM =2πθ-，所以ΔCMN 为等腰三角形，因而CM = CN ，在ΔCOM 与ΔCMN 中，CM = CN ，OM = MN ，∠CMO = ∠CNM =2πθ-，所以此两三角形全等，因此CO = CM ，同理可以证明CN = CP = … = CS ．所以矢量a 1，a 2，a 3，…，a N 的始点和末点都在以C 为中心、CO = R 为半径的图12－11。
