第4讲分解质因数知识网络（1）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
（2）把一个合数用质因数相乘表示，叫做分解质因数。
如把12分解质因数得，这时称2和3是12的质因数。
（3）算术基本定理：任何大于1的整数都能表示成质数的乘积。
（4）如果把相同的质因数合并为它的幂，则任一大于1的整数N只能惟一地表示成：（其中质数；，，…，是自然数，它们分别是，，…，的指数），则上式称为N的标准分解式。
（5）分解质因数的方法主要是短除法。
（在小学阶段）试除时一般从最小质数开始。
重点·难点质数与互质的区别：质数是指约数只有1和它本身的自然数；而两个数的共同约数只有1时，这样两个数的关系称为互质。
学法指导已知约数的个数，求原自然数，属于求一个合数的约数个数的逆向问题。
首先把约数个数分解质因数，逆推求出原自然数，再从中找到符合题目要求的一个。
经典例题[例1]将八个数14、33、35、30、75、39、143、169分成两组，每组四个数，并且每组四个数的乘积相等，应该怎样分？思路剖析要使两组数的乘积相等，就要使两组中的质因数一样，并且相同质因数的个数相同。
为此，我们先将八个数分解质因数：14=2×733=3×1135=5×730=2×3×575=3×5×539=3×13143=11×13169=13×13通过观察各式可知，八个数中，质因数2、7、11各有两个，质因数3、5、13各有四个，所以每组中应该是2、7、11各有一个，3、5、13各有两个。
解答首先将14=2×7分在第一组，另外两个含有质因数2和7的数30=2×3×5和35=5×7就应分在第二组。
这样，在第二组中不仅有2与7，还有两个5，所以另外两个质因数5就应分在第一组，即75=3×5×5归在第一组中。
其次，将169=13×13分在第一组，含有13的另外两个数39=3×13和143=11×13就应分在第二组。
由于质因数11只有两个，因而含有11的另一个数33=3×11就应分在第一组。
在上述分组过程中没有考虑过质因数3，所以，应核对一下两组中的质因数3，结果是各含有两个，所以分组结果是正确的，即第一组有14，75，169，33；第二组有35，30，39，143。
利用八个数分解质因数的式子，容易验证两组数的乘积相等。
说明：在上述分组过程中，当然也可以将169分在第二组，那么39、143在第一组，33在第二组，因此，还可得到另外的一种分组方法：第一组：14，75，39，143；第二组：35，30，169，33。
[例2]在射箭运动中，运动员每射一箭的环数只能是下列数之一：0、l、2、3、4、5、6、7、8、9、10，其中0环表示脱靶。
现在甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764。
但是，甲的总环数比乙少4环，求甲、乙的总环数各是多少？思路剖析两人5箭得到的环数的积都是1764。
显然，每箭的环数都不是0和10，每箭的环数都是1764的约数，将1764分解质因数：1764=2×2×3×3×7×7因为7×2=14，7×3=21都大于10，而每箭的环数都是小于10的自然数，所以甲、乙二人5箭中必有两箭射中的环数是7环，其他3箭射中的环数必定是2×2×3×3的约数，且这些约数应小于10。
将2×2×3×3写成3个小于10的自然数之积，只有下面五种可能：2×2×3×3=1×4×9=1×6×6=2×2×9=2×3×6=3×3×4即这3箭射中的环数有五种可能：l，4，9；l，6，6；2，2，9；2，3，6；3，3，4。
解答对应这五种情况，5箭射中的环数有下面五种情况：7，7，1，4，9，总环数=287，7，1，6，6，总环数=277，7，2，2，9，总环数=277，7，2，3，6，总环数=257，7，3，3，4，总环数=24总环数中只有24与28之差是4，根据题意，甲的总环数是24，乙的总环数是28。
［例3］把37拆成若干个不同质数之和，如果要使这些质数的积最大，问这几个质数分别是多少？思路剖析由以往的经验可知，如果若干个数的和一定，那么拆的数越多（不能有1）则积越大，并可推出拆出的数（1除外）越多，积越大。
假设37拆成的是五个质数的和，那么最小的五个质数和为3+5+7+11+13=39，大于37，所以37不能拆成五个质数的和。
那么为什么不从2开始加起呢？不难发现，五个质数中，如有一个为2是偶数，剩下的四个必为奇数，而其和为偶数，2与四个质数的和也必为偶数，37是奇数，所以不能取从2开始的五个最小质数，当取3、5、7、11、13这五个质数时和就大于37了，所以六个以上质数的和更不可能为37。
假设把37拆成是四个不同质数的和，而四个质数中必有一个取2，否则四个奇数的和为偶数，不可能得到和为37，这样剩下三个数的和为37－2=35，拆的方法有下列几种：37=2+7+5+23相对应的积为2×7×5×23=161037=2+5+11+19相对应的积为2×5×11×19=209037=2+5+13+17相对应的积为2×5×13×17=221037=2+7+11+17相对应的积为2×7×11×17=261837=2+3+13+19相对应的积为2×3×13×19=1482在这五组不同的拆分方法中，不难发现2×7×11×17=2618的乘积最大，并且我们发现，这四个数是符合条件的相差最小的数，更证明了在和一定的情况下，拆成的数越多（l 除外），越接近，则乘积越大这一经验性常识。
这样，把37拆成三个不同质数的和。
两个不同质数的和的乘积均不会大于2618，所以也不必再试验了。
解答当把37拆成2、7、11、17这四个数的和时，乘积最大，为37=2+7+11+172×7×11×17=2618答：这几个质数分别为2、7、11、17。
［例4］已知a×（b+c）=209，请在a、b、c中各填一个质数，使上面的等式成立。
思路剖析因为209表示成a与（b+c）的乘积，所以解题关键还是将209分解质因数。
解答209=11×19，不论a是11还是19，b+c的和一定是奇数。
因为奇数+偶数=奇数，所以b和c一定有一个数是偶数。
偶质数只有2。
（1）当a=11时，假定b=2，则c=19-2=17，假定c=2，则b=19-2=17。
（2）当a=19时，假定b=2，则c=11-2=9，不是质数（舍）；假定c=2，则b=11-2=9不是质数（舍）。
这个算式是11×（2+17）=209或11×（17+2）=209。
点津把一个整数分解成若干个整数的乘积，特别是一些质数的乘积，是解决整数问题的一种常用方法。
［例5］有8个不同约数的自然数中，最小的是多少？思路剖析可用较小的质数作为底数，从中求出最小的一个。
解答因为8=1×8=2×4=2×2×2所以所求的自然数，只有三种情况，即：，，，其中a、b、c为不同的质数。
又因为要最小的自然数，所以质数a、b、c应尽量小。
（l）（2）（3）其中，24为最小，故所求的最小自然数为24。
［例6］一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数。
求a的最小值与这个平方数。
思路剖析因为a与1080的乘积是一个完全平方数。
所以乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数解答因为又因为的质因数分解中各质因数的指数都是奇数所以a必含质因数2、3、5，因此a最小为2×3×5。
所以1080×a=1080×2×3×5=1080×30=32400答：a的最小值为30，这个完全平方数是32400。
［例7］自然数151200的约数中有许多两位数，其中最大的是几？思路剖析先将151200分解质因数得151200=2×2×2×2×2×3×3×3×5×5×7显然，其中某些质因数相乘得到了最大的两位约数，但是，由哪些质因数相乘才能得到最大的两位约数呢？我们并不知道，也不能这样凑数，太麻烦。
不妨将两位数从大到小排列为：99，98，97，96，95，…，将这些数分解质因救后看是否能由151200的质因数凑出。
解答因为99=3×3×11有质因数11，所以99不合要求。
因为98=2×7×7中的质因数7的个数是2，所以98不合要求。
97本身是质数，不合要求。
96=2×2×2×2×2×3，符合要求。
答：151200的最大两位约数是96。
［例8］学区举行团体操表演，有1430名学生参加，分成人数相等的若干队，要求每队人数在100至200之间，共有几种分法？思路剖析按题意，每队人数×队数=1430，每队人数在100至200之间，所以问题相当于求1430有多少个在100至200之间的约数。
为此，先把1430分解质因数，得1430=2×5×11×13从这四个质数中选若干个，使其乘积在100到200之间，这是每队人数，其余的质因数之积便是队数。
解答2×5×11=110，132×5×13=130，1111×13=143，2×5=10所以共有三种分法，即：分成13队，每队110人；分成11队，每队130人；分成10队，每队143人。
发散思维训练1．小聪的妹妹参加了今年的中学数学竞赛，小聪问妹妹：“这次竞赛你得了多少分？获第几名？”妹妹告诉他：“我得的名次和我的岁数及我的分数乘起来是2910，你看我的成绩和名次各是多少？”2．求（l）144的全部约数的和；(2)360的全部约数的和。
3．55888与一个自然数a相乘所得的积是一个完全平方数，求a的最小值。
4．要使975×935×972×（）这个乘积的最后四位数字为0，在括号内最小应填什么数？5．试求不大于50的所有约数个数为6的自然数。
