求下列函数的傅里叶变换解

傅里叶变换习题及答案傅里叶变换习题及答案傅里叶变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、图像处理、物理学等领域。

它能够将一个函数表示为一系列正弦和余弦函数的和，从而将时域上的函数转换为频域上的函数。

为了帮助读者更好地理解和掌握傅里叶变换，本文将介绍一些傅里叶变换的习题，并提供相应的答案。

1. 问题：计算函数 f(t) = 2cos(3t) + 4sin(5t) 的傅里叶变换。

解答：根据傅里叶变换的定义，我们可以将 f(t) 表示为一系列正弦和余弦函数的和。

首先，我们需要计算 f(t) 的频谱。

根据欧拉公式，我们可以将 cos(3t) 和sin(5t) 表示为指数形式。

cos(3t) = (e^(3it) + e^(-3it)) / 2sin(5t) = (e^(5it) - e^(-5it)) / 2i将上述结果代入 f(t) 的表达式中，得到：f(t) = 2((e^(3it) + e^(-3it)) / 2) + 4((e^(5it) - e^(-5it)) / 2i)= e^(3it) + e^(-3it) + 2i(e^(5it) - e^(-5it))接下来，我们需要计算 f(t) 的傅里叶变换F(ω)。

根据傅里叶变换的定义，可以得到：F(ω) = ∫[(-∞,∞)] f(t)e^(-iωt) dt将 f(t) 的表达式代入上述公式中，并进行积分计算，得到：F(ω) = ∫[(-∞,∞)] (e^(3it) + e^(-3it) + 2i(e^(5it) - e^(-5it)))e^(-iωt) dt通过对每一项进行积分计算，最终得到F(ω) 的表达式为：F(ω) = π(δ(ω - 3) + δ(ω + 3)) + 2πi(δ(ω - 5) - δ(ω + 5))其中，δ(x) 表示Dirac δ 函数。

2. 问题：计算函数 f(t) = e^(-2t)u(t) 的傅里叶变换。

解答：首先，我们需要将 f(t) 表示为指数形式。

第三章习题基础题3.1 证明cos t , cos(2)t , …, cos()nt (n 为正整数)，在区间(0,2)π的正交集。

它是否是完备集?解：(积分???)此含数集在(0,2)π为正交集。

又有sin()nt 不属于此含数集02sin()cos()0nt mt dt π=⎰，对于所有的m 和n 。

由完备正交函数定义所以此函数集不完备。

3.2 上题的含数集在(0,)π是否为正交集？解：由此可知此含数集在区间(0,)π内是正交的。

3.3实周期信号()f t 在区间(,)22T T-内的能量定义为222()TT E f t dt -=⎰。

如有和信号12()()f t f t +(1)若1()f t 与2()f t 在区间(,)22T T-内相互正交，证明和信号的总能量等于各信号的能量之和;(2)若1()f t 与2()f t 不是相互正交的，求和信号的总能量。

解：(1)和信号f(t)的能量为[]222222222221212222()12()()()()()()T T T T T T T T T T E f t dt dtf t dt f t dt f t f t dtf t f t -----===+++⎰⎰⎰⎰⎰（少乘以2）由1()f t 与2()f t 在区间内正交可得2122()()0T T f t f t dt -=⎰则有 22221222()()T T T T E f t dt f t dt --=+⎰⎰即此时和信号的总能量等于各信号的能量之和。

和信号的能量为(2)[]222222222221212222()12()()()()()()T T T T T T T T T T E f t dt dtf t dt f t dt f t f t dtf t f t -----===+++⎰⎰⎰⎰⎰（少乘以2吧？）由1()f t 与2()f t 在区间(,)22T T-内不正交可得2122()()0T T f t f t dt K -=≠⎰则有2222222212122222()()()()T T T T T T T T E f t dt f t dt K f t dt f t dt ----=++≠+⎰⎰⎰⎰即此时和信号的总能量不等于各信号的能量之和。

《傅里叶变换在求函数f(t)=sint中的应用》一、函数f(t)=sint的傅里叶变换的定义傅里叶变换是一种数学工具，用于将时域函数f(t)转换为频域函数F(ω)。

例如，函数f(t)=sint的傅里叶变换定义为：F(ω)=∫f(t)e^-iωt dt它可以用来表达任何周期函数，例如正弦函数、余弦函数、三角函数等等，这些函数都可以用傅里叶变换表示。

例如，正弦函数的傅里叶变换定义为：F(ω)=∫sint e^-iωt dt而余弦函数的傅里叶变换定义为：F(ω)=∫cost e^-iωt dt此外，三角函数的傅里叶变换定义为：F(ω)=∫tant e^-iωt dt以上就是函数f(t)=sint的傅里叶变换的定义，它可以用来表达各种周期函数，并且可以用来求解许多科学问题。

二、函数f(t)=sint的傅里叶变换的计算步骤函数f(t)=sint的傅里叶变换是一种从时域到频域的变换，它将连续的时间信号变换成一组不同频率分量的离散信号，可以用来描述信号的频率特性。

计算步骤如下：首先，我们需要计算出函数f(t)=sint的傅里叶变换。

这需要将函数f(t)的积分式求解，即：$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$$其中，$\omega$代表频率，$t$代表时间，$e^{-i\omega t}$是一个复数，表示振幅的变化。

其次，我们可以使用定积分的方法来计算函数f(t)=sint的傅里叶变换，即：$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}\sin(t)e^{-i\omegat}dt=\frac{1}{i\omega}\left[e^{-i\omega t}\cos(t)-e^{-i\omegat}\right]_{-\infty}^{\infty}$$最后，我们可以通过计算出上式的结果，得出函数f(t)=sint的傅里叶变换：$$F(\omega)=\frac{2}{\omega}\sin(\omega/2)$$以上就是函数f(t)=sint的傅里叶变换的计算步骤，它可以帮助我们更好地理解信号的频率特性。

1.判断下列系统的线性、时不变性、因果性和记忆性。

（解析P7） ①()10()()dy t y t f t dt += ②()()(10)dy t y t f t dt+=+ ③2()()()dy t t y t f t dt+= ④2()(10)()y t f t f t =++2.判断下列系统的线性、时不变性和因果性。

（解析P7） ①20()()sin ()y t y t t at f t =+ ②()()()y t f t f t b =⋅−3.某系统，当输入为()tδτ−时，输出为()()(3)h t u t u t ττ=−−−，问该系统是否为因果系统？是否为时不变系统？说明理由。

4.下列信号属于功率信号的是（解析P6） ①cos ()tu t ②()teu t − ③()t te u t − ④te−5. 画出函数波形图：2()(1)f t u t =−（指导P12）6.已知()()2(1)(2)(2),f t tu t u t t u t =−−+−−画出()f t 波形。

（指导P13）7.根据1.10图中(32)f t −+的波形，画出()f t 波形。

（指导P18）8.已知()f t 波形波形如例1.11图所示，试画出1(2)2f t −−的波形。

（指导P19）9.已知(52)f t −的波形如图例1.12图所示，求()f t 波形。

（指导P20）10.求下列函数值 ①432'(652)(1)t t t t dt δ∞+++−∫②3'()te d τδττ−−∞∫ ③'2(9)t dt δ+∞−∞−∫（指导P24）11.求信号0.20.3()j n j n x n ee ππ−=+的周期。

（指导P36）12.设()x t 是复指数信号：0()j tx t eΩ=，其角频率为0Ω，基本周期为02T π=Ω。

如果离散时间序列是通过对()x t 以取样间隔s T 进行均匀取样的结果，即00()()s j nT j n s x n x nT e e ωΩ===。

求下列各式的值。

（1）(3-i)5解：3-i=2[cos( -30°)+isin(-30°)] =2[cos30°- isin30°](3-i)5=25[cos(30°⨯5)-isin(30°⨯5)]=25(-3/2-i/2) =-163-16i求下列式子的值（2）（1+i ）6解：令z=1+i 则x=Re （z ）=1，y=Im （z ）=1 r=z =22y x +=2tan θ=xy =1x>0,y>0 ∴θ属于第一象限角∴θ=4π ∴1+i=2（cos 4π+isin 4π） ∴（1+i ）6=（2）6（cos46π+isin 46π） =8（0-i ）=-8i求下式的值 (3)61-因为-1=（cos π+sin π）所以61-=[cos(ππk 2+/6)+sin(ππk 2+/6)] (k=0,1,2,3,4,5,6).习题一（4）求(1-i)31的值。

解：(1-i)31 =[2(cos-4∏+isin-4∏)]31 =62[cos(12)18(-k ∏)+isin(12)18(-k ∏)] (k=0,1,2)求方程3z+8=0的所有根。

解：所求方程的根就是w=38-因为-8=8（cosπ+isinπ）所以38-= ρ [cos(π+2kπ)/3+isin(π+2kπ)/3] k=0,1,2其中ρ=3r=38=2即w=2[cosπ/3+isinπ/3]=1—3i1w=2[cos(π+2π)/3+isin(π+2π)/3]=-22w=2[cos(π+4π)/3+isin(π+4π)/3]= 1—3i3习题二描出下列不等式所确定的区域或者闭区域，并指明它是有界还是无界的，单连通还是多连通的。

(1) Im(z)>0解：设z=x+iy因为Im(z)>0，即，y>0而)x-∞∈,(∞所以，不等式所确定的区域D为：不包括实轴的上半平面。

第2章习题答案2-1 绘出下列各时间函数的波形图。

（1）1()(1)f t tu t =-（2）2()[()(1)](1)f t t u t u t u t =--+-（3）3()(1)[()(1)]f t t u t u t =---- （4）4()[(2)(3)]f t t u t u t =--- （5）5()(2)[(2)(3)]f t t u t u t =---- （6）6()()2(1)(2)f t u t u t u t =--+-解：2-5 已知()f t 波形如图题2-5所示，试画出下列信号的波形图。

t图 题2-5（3）3()(36)f t f t =+ （5）511()36ft f t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭解：t f 3(t)2-5/31-7/3tf 5(t)2-1/21-7/25/2002-6 已知()f t 波形如图题2-6所示，试画出下列信号的波形图。

图 题2-6（4）4()(2)(2)f t f t u t =-- （6）6()(1)[()(2)]f t f t u t u t =--- 解：tf 4(t)2120tf 6(t)21/23/22-7 计算下列各式。

（1）0()()f t t t δ+ （2）00()()d f t t t t t δ∞-∞+-⎰（3）24e (3)d t t t δ-+⎰（4）e sin (1)d tt t t δ∞-+⎰（5）d [e ()]d t t tδ-（6）0()()d f t t t tδ∞-∞-⎰（7）0()()d f t t t tδ∞-∞-⎰（8）00()d 2t t t u t t δ∞-∞⎛⎫--⎪⎝⎭⎰（9）00()(2)d t t u t t t δ∞-∞--⎰（10）(e )(2)d t t t t δ∞-∞++⎰（11）(sin )d 6t t t tδ∞-∞π⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎰（12）j 0e [()()]d t t t t t Ωδδ∞--∞--⎰解：(1) 原式0()()f t t δ=(2)原式)2()()(0000t f dt t t t t f =-+=⎰+∞∞-δ(3)原式2334(3)e t dt e δ---=+=⎰(4)原式10sin(1)(1)0((1))e t dt t δδ+∞-=-+=+⎰不在积分区间内(5)原式)()](['0t t e dtd δδ== (6)原式)()()0(00t f dt t t f -=-=⎰+∞∞-δ(7)原式00(0)()()f t t dt f t δ+∞-∞=-=⎰(8)原式⎩⎨⎧><==--=⎰∞+∞-0100)2()2()(000000t t t u dt t t u t t δ(9)原式⎩⎨⎧<>=-=--=⎰∞+∞-0100)()2()(000000t t t u dt t t u t t δ(10)原式22(2)(2)2e t dt e δ+∞---∞=-+=-⎰(11)原式1(sin )()66662t dt ππππδ+∞-∞=+-=+⎰ (12)原式000[()()]1j t j t e t e t t dt e δδ+∞-Ω-Ω-∞=--=-⎰2-8 画出图题2-8所示各信号的偶分量和奇分量的波形。

信号分析与处理答案第二版HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】第二章习题参考解答求下列系统的阶跃响应和冲激响应。

(1)解当激励为时，响应为，即：由于方程简单，可利用迭代法求解：，，…，由此可归纳出的表达式：利用阶跃响应和冲激响应的关系，可以求得阶跃响应：(2)解 (a)求冲激响应，当时，。

特征方程，解得特征根为。

所以：…(2.1.2.1)通过原方程迭代知，，，代入式(2.1.2.1)中得：解得，代入式(2.1.2.1)：…(2.1.2.2)可验证满足式(2.1.2.2)，所以：(b)求阶跃响应通解为特解形式为，，代入原方程有，即完全解为通过原方程迭代之，，由此可得解得，。

所以阶跃响应为：(3)解(4)解当t>0时，原方程变为：。

…(2.1.3.1)…(2.1.3.2)将(2.1.3.1)、式代入原方程，比较两边的系数得：阶跃响应：求下列离散序列的卷积和。

(1)解用表格法求解(2)解用表格法求解(3)和如题图2.2.3所示解用表格法求解(4)解(5)解(6)解参见右图。

当时：当时：当时：当时：当时：(7) ，解参见右图：当时：当时：当时：当时：当时：(8) ，解参见右图当时：当时：当时：当时：(9) ，解(10)，解或写作：求下列连续信号的卷积。

(1) ，解参见右图：当时：当时：当时：当时：当时：当时：(2) 和如图2.3.2所示解当时：当时：当时：当时：当时：(3) ，解(4) ，解(5) ，解参见右图。

当时：当时：当时：当时：(6) ，解(7) ，解(8) ，解(9) ，解试求题图示系统的总冲激响应表达式。

解已知系统的微分方程及初始状态如下，试求系统的零输入响应。

(1) ；解，，(2) ；，解，，，，可定出(3) ；，解，，，可定出某一阶电路如题图所示，电路达到稳定状态后，开关S 于时闭合，试求输出响应。

解由于电容器二端的电压在ｔ＝０时不会发生突变，所以。

2．11习题1.求下列各序列的序列傅里叶变换（DTFT ）:（1）)2()(-=n n x δ （2）)7()2()(---=n u n u n x （3）)(3)(n u n x n -= （4）)1(3)(--=n u n x n解 （1）[()]()j nn DTFT x n x n eω∞-=-∞=∑2(2)j nj n n ee ωωδ∞--=-∞=-=∑（2）72()(2)(7)()()x n u n u n R n R n =---=-[()]()j nn DTFT x n x n eω∞-=-∞=∑[(2)(7)]j nn u n u n eω∞-=-∞=---∑61j nj n n n ee ωω--===-∑∑32s i n (7/2)s i n s i n (/2)s i n (/2)j j e e ωωωωωω--=- （3）[()]()j nn DTFT x n x n eω∞-=-∞=∑3()31113nj nn j nn n j u n ee e ωωω∞∞----=-∞=-===-∑∑（4）[()]()j nn DTFT x n x n eω∞-=-∞=∑13(1)311111313nj nn j nn n j j u n ee e e ωωωω∞∞--=-∞=-=--==-=---∑∑2. 用)(ωj eX 和)(ωj e Y 分别表示)(n x 和)(n y 的序列傅里叶变换，求下列各序列的序列傅里叶变换（DTFT ）:(1))(n x - (2) )2(n x (3) )(*n x (4) )()(n y n x * 解 （1） ()[()]()j j nn X e DTFT x n x n eωω∞-=-∞==∑[()]()j nn DTFT x n x n eω∞-=-∞-=-∑令m =－n ，代入上式，得()()[()]()()()j mj mm m j DTFT x n x m ex m eX e ωωω∞∞--=-∞=-∞--===∑∑（2） ()[()]()j j nn X e DTFT x n x n eωω∞-=-∞==∑[(2)](2)j nn DTFT x n x n eω∞-=-∞=∑令m =2n ，代入上式，得/2[()]()j m m DTFT x m x m e ω-=∑取偶数。