法向量的夹角与二面角平面角的关系四

用法向量确定二面角大小的三个基本关系作者：程映军来源：《甘肃教育》2012年第23期〔关键词〕数学教学；法向量；二面角；符号；方向；相关关系〔中图分类号〕 G633.65 〔文献标识码〕 A〔文章编号〕 1004—0463（2012）23—0082—02求二面角平面角的问题在传统立体几何中解决的方法较多，这也是高考的一个重要内容，但新教材对此问题有所淡化，只要求学生能用平面法向量求出二面角平面角的大小.而两个法向量的夹角与二面角的平面角到底何时相等？何时互补？教材中处理得比较含糊，要求借助于图形直观解决，实际上此法可操作性并不大，因此，到了这个部分便常常出现“老师想讲讲不清，学生能学学不透”的尴尬局面.那么，如何在判断方法上兼顾理论依据的正确性和事件操作的可行性、简捷性呢？笔者认为，只要认识清楚以下三个基本关系，我们并不需要借助其他理论工具，就能快速解决这一问题.一、空间向量坐标的符号与向量方向的关系一个向量的坐标并不是刻画这个向量在空间直角坐标系O-xyz中的具体位置，而是刻画向量相对于标准正交基[i][➝]=（1，0，0），[j][➝]=（0，1，0），[k][➝]=（0，0，1）的“分解程度”.如，将向量[m][➝]=（x，y，z）分解，则此向量在x轴、y轴、z轴上的分向量依次是=（x，0，0）=x[i][➝]，=（0，y，0）=y[j][➝]，=（0，0，z）=z[k][➝]，从而x，y，z的正负直接反映这三个分向量与对应的基底是同向还是反向，如下表：二、平面法向量的横、纵、竖之间的相关关系平面α的法向量的坐标之间构成正比例关系.证明：设A0（x0，y0，z0），A1（x1，y1，z1），A2（x2，y2，z2）是平面α上任意三个不共线的点，[m][➝]=（x，y，z）是平面α的法向量，则[m][➝]⊥[m][➝]⊥⇒[m][➝]·=0[m][➝]·=0⇒x（x1-x0）+y（y1-y0）+z（z1-z0）=0x（x2-x0）+y（y2-y0）+z（z2-z0）=0 ，解得y=-x，z=-xy1-y0 z1-z0y2-y0 z2-z0 ≠0. 记λ1=-，μ1=-，则[m][➝]=（x，λ1x，μ1x）=x（1，λ1，μ1）；同理，λ2=-，μ2=-x1-x0 z1-z0x2-x0 z2-z0 ≠0，则[m][➝]=（λ2y，y，μ2y）=y（λ2，1，μ2）；令λ3=-，μ3=-x1-x0 y1-y0x2-x0 y2-y0 ≠0，则[m][➝]=（λ3z，μ3z，z）=z（λ3，μ3，1）.这说明，由A0，A1，A2三点唯一确定的平面α，其法向量可以由x（或y，z）唯一确定.三、二面角的大小与两个法向量相对指向的关系定义1：以l为棱的两个半平面α，β把空间分成两部分，其中使二面角α-l-β的平面角θ∈（0，π）的部分称为二面角的内部，另一部分则称为二面角的外部.定义2：以平面α上任意一个不属于棱的点为起点作该平面的法向量，如果这个法向量的终点总是落在二面角α-l-β的外部，则称该法向量指向二面角α-l-β的外部，反之，称该法向量指向二面角α-l-β的内部.有以下事实：①当α，β的法向量[m][➝]，[n][➝]同时指向二面角α-l-β的内部（或外部）时，角与二面角α-l-β互为补角（图1）.②当α，β的法向量[m][➝]，[n][➝]一个指向二面角α-l-β的内部，另一个指向二面角α-l-β的外部时，角与二面角α-l-β大小相等（图2）.对于以上三个基本关系的阐述和证明，我们可以看到，要解决提出的问题，关键是要判断两个法向量的相对方向.而由于平面法向量的方向可以通过点坐标的行列式运算化归为一元线性表达式，所以我们只需要判断出平面法向量的任意一个坐标的符号，就可以确定法向量的相对方向，从而判断出两个法向量夹角与二面角的大小关系，实现整个问题的求解.以下举例说明该方法的具体实施过程.例1：如图3，已知平面A1B1C1平行于三棱锥V-ABC的底面ABC，等边△AB1C所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90°，设AC=2a，BC=a.（1）求证直线B1C1是异面直线AB1与A1C1的公垂线；（2）求点A到平面VBC的距离；（3）求二面角A-VB-C的大小.解析：（1）（2）略.（3）取AC中点O，连接B1O，易知OB1⊥底面ABC，过O作直线OE∥BC交AB于E.取O为空间直角坐标系的原点，以OE，OC，OB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图4所示的空间直角坐标系.则A（0，-a，0），B（a，a，0），C（0，a，0），B1（0，0，a）.设平面VBC的一个法向量[n][➝]=（x1，y1，z1），由[n][➝]⊥[n][➝]⊥得-ax1=0-ay1+az1=0，取z1=1，得[n][➝]=（0，，1），此时法向量[n][➝]指向二面角A-VB-C的外侧.同理可得平面VAB的一个法向量[m][➝]=（2，-，1），此时，法向量[m][➝]指向二面角A-VB-C的内侧.∴cos==-.所以，二面角A-VB-C的大小为arccos-.例2：在正方体中，二面角的大小为 .解：如图5，A1C1⊥面BB1D1，A1D⊥面BAD1，所以直线A1C，A1D的方向向量分别为BB1D1和BAD1的法向量，分别令[n1][➝]=，[n2][➝]=，设正方形的边长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，1，1）， C1（-1，0，1），D1（-1，-1，0）.∴ =（-1，-1，0）， ||= ， =（-1，-2，-1），||=， ·=3.∴cos==.即向量，的夹角为30°，由于，的指向都是向着二面角外，所以二面角A-BD1-B1与向量，的夹角互补，所以二面角A-BD1-B1的大小为150°.。

两个面法向量的夹角与二面角的关系示例文章篇一：作为一名小学生，这题目对我来说可太难啦！不过我还是想试着说一说。

啥是面法向量呀？这就好像我们在操场上跑步，有个规定的方向，这个方向就是法向量。

那二面角呢，就像是打开的两扇门之间的那个夹角。

咱们想想，如果两个面法向量的夹角是锐角，那二面角会不会也是锐角呢？哎呀，这可不一定哟！比如说，两个面就像两个小朋友在面对面吵架，他们的姿势（法向量）可能看着很凶（锐角），但真正他们之间的那个空间（二面角）可能是钝角呢！那要是两个面法向量的夹角是钝角，二面角是不是也一定是钝角呢？哈哈，也不一定呀！就好像两个小伙伴，一个看起来很生气背对着（钝角），但其实他们之间的距离和角度（二面角）可能很小，是锐角呢！那到底两个面法向量的夹角和二面角有啥关系呢？其实啊，它们有时候一样，有时候又不一样。

这就像我们猜谜语，得好好琢磨琢磨才能找到答案。

所以说，不能简单地认为两个面法向量的夹角就是二面角，得仔细分析，认真思考，才能搞清楚它们之间真正的关系。

你们说是不是呀？示例文章篇二：哎呀，这“两个面法向量的夹角与二面角的关系”可真是个让人头疼的问题呢！就好像是走在一条弯弯绕绕的小路上，一不小心就会迷路。

咱先来说说啥是面的法向量。

法向量就像是每个面的“小保镖”，直直地站在面的正上方，守护着这个面。

那两个面的法向量呢，它们之间就会有个夹角。

这时候就有人要问啦，那这个夹角和二面角又有啥关系呢？这就好比是两个小伙伴在玩躲猫猫，法向量的夹角像是我们看到的表面现象，而二面角才是真正藏起来的那个“神秘宝贝”。

有时候，两个面法向量的夹角就直接等于二面角，这多简单直接呀！可有时候呢，它们又像是两个闹别扭的小朋友，法向量的夹角和二面角还得加上或者减去180 度才行。

你想想看，如果我们不搞清楚它们的关系，那在解题的时候不就像没头的苍蝇到处乱撞吗？所以说，弄明白这两者的关系可太重要啦！在学习的过程中，我就常常被它们绕得晕头转向。

直线与法向量的夹角与线面角之间的关系1. 引言1.1 概述本文研究的主题是直线与法向量之间的夹角和线面角的关系。

在几何学中，直线和法向量是常见的概念，在各种应用领域中都有广泛的运用。

夹角作为两个向量之间的关系度量方式，对于理解直线和法向量之间的关联至关重要。

而线面角则描述了一条直线与一个平面之间的夹角，它与法向量也有着密切的联系。

通过探究这些数学概念之间的关系，我们可以更好地理解它们在几何学和实际应用中的意义及作用。

1.2 研究背景直线和法向量是几何学中基础而重要的概念，在计算机图形学、力学、物理等领域都有广泛应用。

在计算机图形学中，直线和法向量常被用来描述三维空间中物体的位置、方向和表面属性。

在力学和物理学中，直线代表了力或位移方向，而法向量指示了所研究对象所处位置或表面性质。

然而，在许多实际问题中，人们通常需要考虑到夹角和线面角这两个概念。

在解决问题中，正确理解和应用这些关系可以帮助我们更准确地分析和计算结果。

1.3 目的本文的目的是研究直线与法向量之间的夹角，并探讨夹角与线面角之间的关系。

通过数学推导和实例分析，我们将阐述直线与法向量夹角的定义、计算方法以及它们在实际问题中的应用。

同时，我们还将探讨线面角的定义、特性以及它与法向量之间的联系。

最后，本文将总结结论并展望未来可能的研究方向，为读者提供思考和启示。

通过本文对直线与法向量夹角和线面角之间关系的深入讨论，读者可以更全面地理解这些重要概念，在解决实际问题时能够灵活运用，并为进一步研究提供有益参考。

2. 直线与法向量的夹角：2.1 直线的定义及性质：直线是平面几何中的基本概念，它由无限多个点组成，并且在平面上没有宽度和厚度。

直线可以用一种简单而明确的方式表示，即通过两个不同的点。

两个不同点确定了唯一的一条直线。

在数学中，直线有着许多重要性质。

首先，任意两点都可以确定一条直线。

其次，直线上的任意两个点与第三个不在这条直线上的点构成一个三角形，而这个三角形将呈现出一些特殊性质。

用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定我们都知道，向量知识在数学学科里有其非常广泛的应用，尤其是在立体几何求角和距离时，若利用向量知识求解会得到事半功倍的效果，也正体现了向量知识的工具性和灵活性。

而在应用向量知识求解二面角的大小时，不是所有的二面角的两个半平面的法向量的夹角都和二面角相等，有时是互补，那么，什么时候相等，什么时候互补，如何确定其“角度之间的大小关系”一直以来是困扰很多教师和学生的一个难题。

向量有其自身的独特性质—自由性，当一个向量在空间的某一位置时，可以自由移动，只要满足其方向不变，其无论移动到任何位置，向量都是相等的。

根据这一性质，当我们把二面角的某个半平面的法向量求出后，把它的起点放到坐标原点，然后确定其向量的方向的指向，从而确定其法向量的夹角和二面角的大小的关系，在确定了法向量的夹角与二面角的关系后，再利用向量的数量积求出二面角的大小，下面就来具体阐述一下这一做法。

一．规定法向量的指向方向1.当法向量的方向指向二面角的内部时称之为向里指，如：图1中的向量。

1n 2.当法向量的方向指向二面角的外部时称之为向外指，如：图1中的向量。

2n 二．法向量的夹角和二面角大小的关系1.设 分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量21,n n βα,βα--l θ的夹角为，当两个法向量的方向都向里或都向外指时，则有21,n n ϕ（图2）；πϕθ=+2.当两个法向量的方向一个向里指一个向外指时（图3）ϕθ=图2图3三、在坐标系中做出法向量，从而确定法向量的方向指向1.已知二面角，若平面的法向量，由向量的相等条βα--l α)3,4,4(=n 件知，坐标是（4，4，3）的向量有无数多个，根据向量的自由性，我们只需n 做出由原点出发的一个向量便可，如图4所示，从而，我们很容易的判断出平面法向量的方向的指向，是指向二面角的里面。

α2.若平面法向量，同理可做出从原点出发的法向量，如图5α)1,3,4(--=n 所示，显然，方向是指向二面角的外面。

§3. 2 二面角与向量夹角的关系异面直线所成的角、线面角、二面角与向量夹角的关系．重点：异面直线所成的角、线面角、二面角与向量夹角的关系． 难点：如何用直线的方向向量和平面的法向量来表达线面角和二面角一、 复习回顾：二面角及其平面角的定义，求法二、 基础自测1．直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，∠ACB ＝90°，D 1，E 1分别为A 1B 1，A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与AE 1所成角的余弦值为( )A ．12B ．3015C ．3010D ．5102．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝4，CC 1＝2，则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成角的正弦值为( )A ．32 B ．52 C ．105D ．1010三、 知识梳理：提出问题：怎样用平面的法向量来表示二面角的大小？平面α与β相交于直线l ，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，<n1，n2>＝θ，则二面角α－l －β为θ或π－θ．设二面角大小为φ， 则|cos φ|＝__________＝__________注：由于两条直线所成的角，线面角都不大于直角，因此可直接通过绝对值来表达，故可直接求出，而二面角的范围是__________ ，有时比较难判断二面角是锐角还是钝角，因为不能仅仅由法向量夹角余弦的正负来判断，故这是求二面角的难点．四、达标训练例1、正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直， △ABE 是等腰直角三角形，AB ＝AE ，FA ＝FE ，∠AEF ＝45° (1)求证：EF ⊥平面BCE ；(2)设线段CD 的中点为P ，在直线AE 上是否存在一点M ，使得PM ∥平面BCE ？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； (3)求二面角F －BD －A 的余弦值。

αβa O A B 立体几何二面角求法一：知识准备1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。

3、二面角的大小范围：[0°，180°]4、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直5、平面的法向量：直线L 垂直平面α，取直线L 的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。

（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量）6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法： （1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹 的角； （2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角； （3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A ）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B ）再做棱的垂线，记垂足为C ，连接AC ，则∠ACB 即为该二面角的平面角。

7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？二：二面角的基本求法及练习1、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。

如例1中从二面角S —AM—B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。

讲义：立体几何中的向量方法及二面角的平面角求法总结一、几种角的范围1、 _________________________________ 二面角平面角的范围：2、 _________________________________ 线面角的范围：3、 _________________________________ 直线倾斜角范围：4、异面直线夹角范围：_______________5、向量夹角范围：_________________二、立体几何中的向量方法1.三个重要向量(1)直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的向量，一条直线的方向向量有 ______ .(2)平面的法向量：直线I丄平面a取直线I的方向向量，则这个向量叫做平面a的法向量.显然一个平面的法向量有 ____ ，它们是共线向量.(3)直线的正法向量：直线L:Ax+By+C=O的正法向量为n=(A,B).2.直线的方向向量与平面的法向量在确定直线和平面位置关系中的应用(1)直线l i的方向向量为u 1= (a i, b i, c i),直线l2的方向向量为比=(a2, b2, C2).女口果丨1 //丨2,那么U1 // U2? 5=右2? _____________________________ ；女口果丨1丄l2, 那么U1丄U2? U1 U2= 0? ________________⑵直线I的方向向量为u= (a1, b1, C1),平面a的法向量为n= (a2, b2, C2).若I // a 贝U u 丄n? u n = 0? _________________若I 丄a 贝U u // n? u = k n? _____________________(3)平面a的法向量为U1 = (a1, b1, C1)，平面B的法向量为u2= (a2, b2, C2).若all B U1 / U2? U1 = k u2? (a1, b1, G)=_________ ；若a丄B 贝y U1 丄U2? U1 U2= 0? ____________________3.利用空间向量求空间角(1)求两条异面直线所成的角：设a, b分别是两异面直线I1, I2的方向向量，则(2) 求直线与平面所成的角：设直线I 的方向向量为a ,平面a 的法向量为n ,直线I 与平面a 所成的角为 0,则 si nA |cos 〈 a , n > |=(3) 求二面角的大小：(I )若 AB , CD 分别是二面角a — I — B 的两个半平面内与棱I 垂直的异面直线，则二面角的大 小就是向量AB , CD 的夹角(如图①所示).(H )设n i , n 2分别是二面角a — I — B 的两个半平面a, B 的法向量，贝U 向量n i 与n 2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的大小(如图②③).4. 求点面距：平面a 外一点P 到平面a 的距离为:其中n 为平面a 的法向量，PQ 为平面a 的斜线，Q 为斜足 5. 平面法向量的求法设出平面的一个法向量n = (x , y , z),利用其与该平面内的两个不共线向量垂直，即数量积为 0, 列出方程组，两个方程，三个未知数，此时给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一个非零 解,即得到这个法向量的坐标.注意，赋值不同得到法向量的坐标也不同， 法向量的坐标不唯一. 6. 射影面积公式：二面角的平面角为 a ,则cos a=7. 利用空间向量求角要注意的问题(1)异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角都可以转化成空间向量的夹角来求.⑵空间向量的夹角与所求角的范围不一定相同，如两向量的夹角范围是[0, n,两异面直线所成的角的范围是o , n . (3)用平面的法向量求二面角时，二面角的大小与两平面法向量的夹角有相等和互补两种情况 .三、二面角的平面角的求法1、定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 ，这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线d=② ③所成的角的大小就是二面角的平面角。