北师大新版九年级上图形的相似综合测试题知识讲解

北师大版九年级数学上册《图形的相似》知识点归纳北师大版九年级数学上册《图形的相似》知识点归纳第四章图形的相似一、成比例线段1、定义：（1）、线段比：如果选用一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m,n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB：CD=m:n,或者写成AB/CD=m/n.（2）、成比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。

2、定理：如果a/b=c/d==m/n(b+d++n≠0),那么（a+c+m）/(b+d++n)=a/b二、平行线分线段成比例1、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

2、平行于三角形一边的直线与其他两边相交。

截得的线段成比例。

三、相似多边形定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。

相似多边形对应边的比叫做相似比。

四、探索三角形相似的条件1、两角分别相等的两个三角形相似。

2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

3、三边成比例的两个三角形相似。

4、概念：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C 叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。

五、相似三角形判定定理的证明六、利用相似三角形测高1、利用阳光下的影子2、利用标杆3、利用镜子的反射七、相似三角形的性质1、相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比。

2、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

八、图形的位似定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P1所在的直线都经过同一个点O，且有OP1=k*OP(k≠0),那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心。

实际上，k就是这两个相似多边形的相似比。

图形的相似（一）一、比例线段1、比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成a ：b =m ：n在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段若四条a ，b ，c ，d 满足或a ：b =c ：d ，那么a ，b ，c ，d 叫做组成比例的项，线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项，线段的d 叫做a ，b ，c 的第四比例项。

如果作为比例内项的是两条相同的线段，即c b b a =或a ：b =b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项。

2、比例的性质（1）基本性质①a ：b =c ：d ⇔ad =bc②a ：b =b ：c ac b =⇔2（2）更比性质（交换比例的内项或外项）d b c a =（交换内项） ⇒=d c b a ac bd =（交换外项） ab c d =（同时交换内项和外项） （3）反比性质（交换比的前项、后项）：cd a b d c b a =⇒= （4）合比性质：dd c b b a d c b a ±=±⇒= （5）等比性质：ba n f db m ec a n fd b n m fe d c b a =++++++++⇒≠++++==== )0( n m b a =dc b a =3、黄金分割1．黄金分割定义:点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC:AB=BC:AC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割．点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．2.618.0215≈-=AB AC 二、平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF===推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

图形的位似--知识讲解【学习目标】1、了解位似多边形的概念，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；2、能在同一坐标系中，感受图形放缩前后点的坐标的变化.【要点梳理】要点一、位似多边形1.位似多边形定义:如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.要点诠释：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点.要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.要点二、坐标系中的位似图形在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.要点诠释：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k或-k.【典型例题】类型一、位似多边形1.下列每组的两个图形不是位似图形的是（）.A. B. C. D.【思路点拨】根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案．【答案】D【解析】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．据此可得A 、B 、C 三个图形中的两个图形都是位似图形；而D 的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形．故选D ．【总结升华】位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点．举一反三【变式】在小孔成像问题中， 根据如图4所示，若O 到AB 的距离是18cm ，O 到CD 的距离是6cm ，则像CD 的长是物AB 长的（ ）.A. 3倍B. 21 C. 31 D. 不知AB 的长度，无法判断 【答案】C2. 利用位似图形的方法把五边形ABCDE 放大1.5倍.【答案与解析】即是要画一个五边形A′B′C′D′E′，要与五边形ABCDE 相似且相似比为1.5.画法是： 1．在平面上任取一点O. 2．以O 为端点作射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE. 3．在射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 上分别取点A′、B′、C′、D′、E′，使OA′:OA ＝ OB′:OB ＝OC′:OC ＝OD′:OD ＝OE′:OE ＝1.5. 4．连结A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′.这样：A′B′AB ＝B′C′BC ＝C′D′CD ＝D′E′DE ＝A′E′AE＝1.5. 则五边形A′B′C′D′E′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.举一反三【变式】在已知三角形内求作内接正方形．【答案与解析】作法：（1）在AB 上任取一点G′，作G′D′⊥BC ；（2）以G′D′为边，在△ABC 内作一正方形D′E′F′G′；（3）连接BF′，延长交AC 于F ；（4）作FG ∥CB ，交AB 于G ，从F 、G 分别作BC 的垂线FE ， GD ；∴四边形DEFG 即为所求．类型二、坐标系中的位似图形3. 如图，在10×10的正方形网格中，点A ，B ，C ，D 均在格点上，以点A 为位似中心画四边形AB′C′D′，使它与四边形ABCD 位似，且相似比为2．A 1B 1C 1D 1E 1 A B C D E（1）在图中画出四边形AB′C′D′；（2）填空：△AC′D′是三角形．【思路点拨】（1）延长AB到B′，使AB′=2AB，得到B的对应点B′，同样得到C、D的对应点C′，D′，再顺次连接即可；（2）利用勾股定理求出AC′2=42+82=80，AD′2=62+22=40，C′D′2=62+22=40，那么AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2，即可判定△AC′D′是等腰直角三角形．【答案与解析】解：（1）如图所示：（2）∵AC′2=42+82=16+64=80，AD′2=62+22=36+4=40，C′D′2=62+22=36+4=40，∴AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2，∴△AC′D′是等腰直角三角形．故答案为：等腰直角．【总结升华】本题考查了作图﹣位似变换．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．同时考查了勾股定理及其逆定理等知识．熟练掌握网格结构以及位似变换的定义是解题的关键．4. 如图△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（3，0）．（1）以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2．（2）在（1）的条件下，若M（a，b）为△ABC边上的任意一点，则△DEF的边上与点M 对应的点M′的坐标为．【思路点拨】（1）把点A、B、C的横、纵坐标都乘以2可得到对应点D、E、F的坐标，再描点可得△DEF；把点A、B、C的横、纵坐标都乘以﹣2可得到对应点D′、E′、F′的坐标，然后描点可得△D′E′F′；（2）利用以原点为位似中心的位似变换的对应点的坐标特征求解．【答案与解析】解：（1）图略；（2）点M对应的点M′的坐标为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）．故答案为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）．【总结升华】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．举一反三：【变式】如图，将△AOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，•得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？【答案】解：图形的形状和大小都没有变化；可以看作是△AOB绕O•点按逆时针方向旋转180°得到的.。

阶段强化专题训练专题一：平行线分线段成比例常见应用技巧类型一证比例式技巧1中间比代换法证比例式1.如图，已知在AABC中，点D, E, F分别是边AB, AC, BC 上的点，DE〃BC, EF〃AB.An np(1)求证：—:(2)若AD:DB二3:5,AB BC技巧2等积代换法证比例式2.如图，在Z\ABC中，D是AB上一点，E是AABC 内一点，DE〃BC,过D作AC的平行线交CE的延长线于F, CF与AB交于P.求证:PE PA类型3 证比例和为1技巧5同分母的中间比代换法5.如图，已知AC 〃FE 〃BD.求证：AE BE ,--- + ——=1AD BC技巧3等比代换法证比例式3.如图,在AABC 中,DE/7BC, EF〃CD,求类型2证线段相等技巧4等比过渡证线段相等(等比例过渡法)4.如图，在Z\ABC 中，ZACB二90° , ZB>Z A,点D为边AB的中点，DE〃BC交AC于点E, CF〃BA交DE的延长线于点F.(1)求证：DE=EF； (2)连结CD,过点D作DC 的垂线交CF的延长线于点G,求证：ZB= ZA+ZDGC. 求CF:CB的值.AD AF 证：------- = ----专题二：证明相似三角形的方法名师点金要找三角形相似的条件，关键抓住以下几点：(1)己知角相等时，找两对对应角相等，若只能找到一对对应角相等，判断夹相等的角的两边是否对应成比例；(2)无法找到角相等吋，判断三边是否对应成比例；(3)除此之外，也可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”.• • •方法1利用边或角的关系判定两直角三角形相似1.下面关于直角三角形相似叙述错误的是 ()A.有一锐角对应相等的两个直角三角形相似B.两直角边对应成比例的两个直角三角形相似C.有一条直角边相等的两个直角三角形相似D.两个等腰直角三角形相似2.如图，BC丄AD,垂足为C, AD二6. 4, CD=1. 6,BC=9. 3, CE=3. 1.求证：AABC^ADEC.方法2利用角判定两三角形相似3.如图，AABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长，与CE 交于点 E. (1)求证：△ABDs/\CED； (2)方法3利用边角判定两三角形相似4.如图,AB=3AC, BD=3AE,又BD/7AC，点B, A,E在同一条直线上.求证：△ABDs^CAE.方法4利用三边判定两三角形相似5.如图，AD是△ABC的高，E, F分别是AB,ADEF^AABC.专训三巧作平行线构造相似三角形名师点金：解题吋，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加辅助线构造相似三角形是这类儿何证明题的一种重要方法.常作的辅助线有以下儿种：（1）由比例式作平行线；（2）有中点吋，作中位线；（3）根据比例式，构造相似三角形.训练角度1巧连线段的中点构造相似三角形1.如图，在Z\ABC中，E, F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE, AF 于点P, Q,求BP:PQ:QD・A训练角度2 过顶点作平行线构造相似三角形2.如图，在AABC中，AC=BC, F为底边AB 上一点，BF:AF = 3:2,取CF的中点D,连接AD并延长交BC于点E,求BE:EC的值. 4.如图，在厶ABC中,AB>AC,在边AB上取一点D,在AC上取一点E,使AD = AE,直线DE和BC 的延长线交于点P.求证: BP:CP=BD:EC.训练角度4 过一点作平行线构造相似三角形5.如图，在AABC中，点M为AC边的中点, 点E为八B上一点，且八E二丄AB,连接EM并4延长交BC的延长线于点D.求证：BC = 2CD. 作辅助线的方法一：作辅助线的方法二:3.如图，过AABC的顶点C任作一直线，与边AB 及中线AD分别交于点F和点E.求证:AE:ED=2AF:FB・训练角度3 过一边上的点作平行线构造相似三角形作辅助线的方法四: 作辅助线的方法三:9.如图，在口ABCD 中,AM 丄BC, AN 丄CD,垂 足分别为M, N.求证：全章整合提升密码专训一：证比例式或等积式的技巧 名师点金证比例式或等积式，若遇问题小无平行线或 相似三角形时，则需构造平行线或相似三角 形，得到等比例线段；若比例式或等积式中 的线段分布在两个三角形或不在两个三角 形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它 们转化到两个三角形中再证两三角形相似， 若在两个明显不相似的三角形中，可运用中 I'可比代换.技巧1构造平行线法1.如图，在AABC 中，D 为AB 的中点，DF技巧3构造相似三角形法5.如图，在等边三角形ABC 中，点P 是BC 边上任意一点，AP 的垂直平分线分别交AB,交AC 于点E,交BC 的延长线于点F, 求证：AE ・CF=BF ・EC.技巧4等比过渡法6.如图，在ZkABC 中,AB=AC, DE//BC,点 F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点G,且ZEDF =Z ABE.求证：⑴△ DEF s △ RDE ；⑵ DG ・ DF = DB ・EF.2.如图，已知Z\ABC 的边AB 上有一点D,边 BC的延长线上有一点E,且AD=CE, DE 交 AC 于点F,试证明：AB ・DF=BC ・EF.7.如图，CE 是RtAABC 斜边上的高，在EC 的延长线上任取一点P,连接AP,作BG 丄AP 于点G,技巧2三点找三角形相似法3.如图，在°ABCD 中，E 是AB 延长线上的一 点，DE 交BC 于F. 求证: DC_CFAE =AD*技巧5 8.如图，高，ZABC 的平分线BE 交AC 于E,交AD 于 卜.求证：BE _BC ，两次相似法在航△八BC 中，AD 是斜边BC 上的 4.如图，在△ABC 中，ZBAC=90° , M 为 BC 的中点，DM 丄BC 交CA 的延长线于D,交AB 于 E.求证：AM 2=MD • ME.AC 于点M, N.D(1) AAMB^AAND； (2)鑒=x-lD技巧6等积代换法10.如图,在ZkABC 中，AD丄BC 于D, DE1AB 于E, DF丄AC于F.求证：普=話A卜AB技巧7等线段代换法11.如图，等腰AABC 中，AB=AC, AD丄BC 于点D,点P是M）上一点，CF〃八B,延长BP交AC 于点E,交CF于点F,求证：BP2 =PE • PF.12.已知：如图，AD平分ZBAC, AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.求证：PD2=PB - PC・MNAC专训二巧用“基本图形”探索相似条件名师点金：几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法.相似三角形的四类结构图：1.平行线型训练角度3子母型3.如图，在Z\ABC 中，ZBAC = 90° , AD丄BC于点D, E为AC的中点，ED的延长线交ABAR DR的延长线于点F.求证：話=环.训练角度4 旋转型4.如图，已知ZDAB=ZEAC, ZADE=ZABC. 求证：(1)Z\ADE S/\ABC； (2)学=架.AE CE训练角度1平行线型1.如图，在ZXABC中，BE平分ZABC交AC 于点E,过点E作ED〃BC交AB于点D. (1) 求证：AE ・BC=BD ・ AC； (2)如果S ZSADE=3,S ABDE=2, DE=6,求BC 的长.训练角度2 相交线型2.如图，点D, E分别为AABC的边AC, AB 上的点，BD, CE交于点0,且器=怜，试问AADE与AABC 相似吗？请说明理由.3.子母型A4.旋转型B C2.相交线型C DB专训三利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系名师点金: 判断两线段之间的数量和位置关系是几何屮的基本题型z—.由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法.训练角度1 证明两线段的数量关系类型1:证明两线段的相等关系1.如图，已知在AABC中，DE〃BC, BE与CD 交于点0,直线A0与BC边交于点M,与DE2.如图，一直线和AABC的边AB, AC分别交于点D,E,和BC的延长线交于点F,且AE:CE = BF:CF.求证：AD = DB.类型2证明两线段的倍分关系3.如图，在AABC中，BD丄AC于点D, CE丄AB 于点E, ZA=60° ,求证：DE=*BC. 训练角度2 证明两线段的位置关系类型证明两线段平行5.如图，已知点D为等腰直角三角形ABC的斜边AB上一点，连接CD, DE丄CD, DE=CD, 连接CE, AE.求证：AE〃BC・6.在AABC 中,D, E, F 分别为BC, AB, AC 上的点，EF//BC, DF〃AB,连接CE 和AD,分别交DF, EF于点N, M.(1)如图①，若E为AB的中点，图中与MN 平行的直线有哪几条？请证明你的结论；⑵如图②，若E不为AB的屮点，写出与MN 平行的直线，并证明.类型2证明两线垂直7.如图，在AABC中,D是AB上一点,AC2&如图，已知矩形ABCD, AD=|AB,点E, F 把AB 三等分，DF交AC于点G,求证：EG丄DF.4.如图，AM为AABC的角平分线，D为AB 的屮点,CE〃AB,CE交DM的延长线于E.求证：AC=2CE.专训四 巧用位似解三角形中的内接多边形问题名师点金位似图形是特殊位置的相似图形，它具有相 似图形的所有性质，位似图形必须具备三个 条件：（1）两个图形相似；（2）对应点的连线 相交于一点；（3）对应边互相平行或在同一 直线上.类型1三角形的内接正三角形问题 1•如图，用下血的方法可以画AAOB 的内接 等边三角形，阅读后证明相应问题.画法:①在AAOB 内画等边三角形CDE,使点 C 在0A 上，点D 在0B 上;②连接0E 并延长, 交AB于点E'，过点E'作E‘ C‘ 〃EC,交 0A 于点C'，作E‘ D' 〃ED,交0B 于点D'； ③连接C‘ D'，则2 D' E'是ZkAOB 的内 接等边三角形.求证：△（/ D‘ E'是等边三角形.类型2 三角形的内接矩形问题2.求作：内接于已知AABC 的矩形DEFG,使它 的边EF 在BC 上,顶点D, G 分别在AB, AC 上, 并且有 DE : EF=1 : 2.类型3 三角形的内接正形问题（方程思想）3.如图,AABC 是一块锐角三角形余料，边 BC= 120mm ,高AD 二80mm ,要把它加工成正方 形零件，使正方形的一边QM 在BC 上，其余 两个顶点P,N 分别在AB, AC 上，则这个正方 形零件的边长是多少？在 AB , AC , BC 上，且 DE //BC , AQ 交 DE 于 点 P.求证：DP ： BQ=PE ： QC.（2）在AABC 中,ZBAC =90°，正方形 DEFG 的四个顶点在AABC 的边上，连接AG ,AF , 分别交DE 于M ,N 两点.① 如图②，若AB=AC=1,直接写出MN 的长； ② 如图③，求证:MN 2 =DM ・EN.B专训五：图形的相似中的五种热门考点 名师点金：相似是初中数学的重要内容，也是中考重点 考查内容之一，而对于成比例线段、相似三 角形的判定与性质、位似图形等都是命题的 热点.考点一：比例线段及性质1. 下列各组长度的线段，成比例线段的是 () A. 2 cm, 4 cm, 4 cm, 8 cm B. 2 cm, 4 cm, 6 cm, 8 cmC. 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cmD. 2. 1 cm, 3. 1 cm, 4. 3 cm, 5. 2 cm c “a b c d …“a+b + c + d2-若厂厂厂汙则—c —=3. 如图，乐器上的一-根弦AB=80 cm,两个端点A, B 固定在乐器板面上，支撑点C 是 靠近点B 的黄金分割点，则支撑点C 到端点 A 的距离约为 ___________ ・(&~2. 236,结果 精确到0.01)AC B考点二：平行线分线段成比例4. 如图，若AB 〃CD 〃EF,则下列结论中，与BC D — BEABC =60° ,以AC 为边向三角形外作正方形 ACDE,连接 BE 交 AC 于 F,若 BF=p5 cm, 则 EF=5.如图, 在 RtAABC 中，ZACB=90°AI) 环相等的是(CD EFA6.如图，在AABC 屮，AM : MD=4 : 1, BD : DC=2 : 3,求AE : EC 的值.考点三相似三角形的性质与判定7.己知△ABCs^DEF,若ZXABC 与Z\DEF 的相似比为3 : 4,则△八BC与ZXDEF 的面积之比为( ) A.4:3 B.3:4 C. 16:9D.9:16&在平行四边形ABCD中，点E在AD上，且AE : ED = 3 ： 1, CE的延长线与BA的延长线交于点F,贝|J S AA EF : S四边形ABCE为( ) A. 3 ： 4 B. 4 ： 3 C. 7 ： 9 D. 9 ： 79.若两个相似多边形的面积Z比为1 ： 4,周长之差为6,则这两个相似多边形的周长分另I」是______ .10.如图，AABC是直角三角形，ZACB = 90° , CD 丄AB于D, E是AC的中点,ED的延长线与CB 的延长线交于点F.⑴求证：FD'=FB・FC； (2)若FB = 5, BC =4,求FD的长.11.如图，四边形ABCD是正方形，BD是对角线，BE平分ZDBC交DC于点E,点F是BC 的延长线上一点，且CE=CF, BE的延长线交DF于点M.(1)求证：BM丄DF；(2)若正方形ABCD的边长为2,求ME・MB.考点四12.—天晚上，李明和张龙利用灯光下的影了长来测量一路灯的高度CD.如图，当李明⑵连接⑴中的AA',求四边形AA‘ C' C 的周长.（结果保留根号）走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM 与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB,并测得AB = 1.25 m,已知李明直立时的身高为1.75 m,求路灯的高度CD.（结果精确到0. 1 m）// 1 // • :M// \ / ■■」E A B C13.某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示,其中BA=CD, BC=20 cm, BC, EF 平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm, 8 cm.为使板凳两腿底端A, D之间的距离为50 cm,那么横梁EF的长应为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）A D考点五图形的位似14.如图，已知正方形ABCD,以点A为位似中心，把正方形ABCD的各边缩小为原来的一半，得正方形A' B/C‘ D',则点C'的坐标为. 15.如图，在6X8的网格图中，每个小正方形的边长均为1,点0和AABC的顶点均在小正方形的顶点上.（1）以0为位似中心,在网格图中作AA，B z C'和△ABC位似，且相似比为1 ： 2；相似三角形的应用专训六全章热门考点整合应用名师点金：本章主要内容为：平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，位似图形及其画法等，涉及考点、考法较多，是屮考的髙频考点.其主要考点可概括为：3个概念、2个性质、1个判定、2个应用、1个作图、1个技巧.考点一：3个概念概念1：成比例线段1.下列各组线段，是成比例线段的是()A. 3cm, 6cm,7cm,9cmB. 2cm,5cm,0.6dm, 8cmC・ 3cm, 9cm, 1. 8dnb 6cm D. icm, 2cnb 3cm, 4cm2.有一块三角形的草地，它的一条边长为25m,在图纸上，这条边的长为5cm,其他两条边的长都为4cm,则其他两边的实际长度都是___________ m.概念2：相似多边形3.如图，已知Z1' =Z1, Z2‘ =Z2, Z 3' =Z3, Z4‘ =Z4, ZD' =ZD,试判断四边形"B z C‘ D z 与四边形ABCD是否相似，并说明理由.概念3：位似图形4.如图，在AABC屮，A, B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(一1, 0).以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把AABC的边放大到原来的2倍，记所得的像是AA' B' C.设点B的对应点L的坐标是(a, b),求点B的坐标.A j y/\ 1-o !7考点二：2个性质性质1：平行线分线段成比例的性质5.如图，在RtAABC 中，ZA=90° , AB=8, AC=6.若动点D从点B岀发，沿线段BA运动到点A 为止，运动速度为每秒2个单位长度.过点D 作DE〃BC交AC于点E,设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.(1)求出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范圉；(2)当x为何值时，ABDE的面积有最大值, 最大值为多少？性质2：相似三角形的性质6.如图，已知D是BC边上的中点，且AD=AC, DE丄BC, DE 与BA 相交于点E, EC 与AD相交于点F.(1)求证：AABC^AFCD； (2)若S AFCD=5,BC=10,求DE的长.考点三：1个判定一一相似三角形的判定7.如图，AACB为等腰直角三角形，点D为斜边AB上一点，连接CD, DE丄CD, DE=CD, 连接AE,过C作C0±AB于0.求证：△八CE s/XOCD.8.如图,在00的内接AABC中，ZACB= 90° , AC=2BC,过点C作AB的垂线/交00 于另一点、D,垂足为点E.设P是上异于点A,C的一个动点，射线AP交/于点F,连接PC 与PD, PD 交AB 于点G. (1)求证：Z\PACs △PDF；(2)若AB = 5,弧八卩=弧!3卩，求PD 的长.考点四：2个应用应用1：测高的应用9.如图，在离某建筑物CE 4 m处有一棵树AB,在某时刻，1.2 m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH长为2 m,此时树的影子有一部分落在地而上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为2 m,那么这棵树的高度是多少？例的技巧12.如图，已知AABC, ZB AC的平分线与Z DAC的平分线分别交BC及BC的延长线于点P, Q.⑴求ZPAQ的度数;（2）若点M为应用2：测宽的应用10.如图，一条小河的两岸有一段是平行的, 在河的一岸每隔6 m有一棵树，在河的对岸每隔60 m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度.考点五：1个作图一一作一个图形的位似图形11.如图，在方格纸中（每个小方格的边长都是1个单位长度）有一点0和AABC.请以点0 为位似中心，把AABC缩小为原来的一半（不改变方向），画出AABC的位似图形.考点六：1个技巧一一证明四条线段成比IIIIIIIIIIIII r-i-7-r->-T-rn-r-rn-r-i。

第四章测试卷(时间:100分钟 满分:120分)一、选择题(每小题3分，共30分，)题号12345678910答案B C A D B C C C A C1.下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是( )2.在比例尺为1：500000的交通地图上，玉林到灵山的长度约为 23.6cm ，则它的实际长度约为( )A.0.118km B.1.18km C.118km D.1180km3.如图，以A ，B ，C 为顶点的三角形与以D ，E ，F 为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为( )A.2:1B.3:1C.4:3D.3:24.在△ABC 中,D 是AB 中点,E 是AC 中点,若△ADE 的面积是3，则△ABC 的面积是 ( )A.3 B.6 C.9 D.125.如图,在△ABC 中,点D 在AB 边上,过点 D 作DE ∥BC 交AC 于点E,DF ∥AC 交BC 于F,若AE:DF=2:3,则BF:BC 的值是 ( )A. 23 B. 35 C. 12D. 256.如图,在四边形ABCD 中,如果∠ADC=∠BAC,那么下列条件中不能判定△ADC 和△BAC 相似的是 ( )A.∠DAC=∠ABC B. AC 是∠BCD 的平分线 C.AC²=BC ⋅CD D.ADAB =DCAC7. 若△ABC 的各 边都分别扩大到原来的 2 倍，得到△A ₁B ₁C ₁，下列结论正确的是 ( )A.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的对应角不相等 B.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁不一定相似C.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的相似比为1:2 D.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的相似比为2:18.如图,点 E 是▱ABCD 的边 BC 延长线上的一点,AE 和CD 交于点G ，AC 是▱ABCD 的对角线，则图中相似三角形共有 ( )A.2 对B.3 对C.4 对D.5 对9.如图,已知E(-4,2),F(--2,--2),以O 为位似中心,把△EFO 缩小到原来的 12，则点E 的对应点的坐标为( )A.(2,一1)或(-2,1)B.(8,一4)或(一8,4)C.(2,-1)D.(8,-4)10.如图,在正方形 ABCD 中,点 E 、F 分别在边AD 和CD 上,AF ⊥BE,垂足为G,若 AEED =2,则 AGGF 的值为( )A. 45B. 56C.67D.78二、填空题(每小题3分，共15分)11.若△ABC ∽△A'B'C',且相似比为3:5,已知△ABC 的周长为21,则△A'B'C'的周长为 .12.如图是一架梯子的示意图，其中 AA₁‖BB₁‖CC₁‖DD₁,且AB=BC=CD.为使其更稳固，在A ，D ₁间加绑一条安全绳( 线段AD ₁),量得 AE=0.4m,则 AD₁= m13.如图，阳光通过窗口照到室内，在地上留下3m 宽的亮区.已知亮区一边到窗下的墙角的距离CE=7m ，窗口高AB=1.8m,那么窗口底边离地面的高BC 等于 m.14.如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC 与△CDE 的面积比为 .15.如图,在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,F 是CD 上一点，且 CF =14CD,下列结论:①∠BAE=30°,②△ABE ∽△ECF,③AE ⊥EF,④△ADF ∽△ECF.其中正确的结论是 (填序号).三、解答题(本大题8个小题，共75 分)16.(8分)根据下列条件,判断△ABC 与△A'B'C'是否相似,并说明理由. AB =3,BC =4,AC =5,A 'B '=12,B 'C '=16,C 'A '=2017.(9分)如图,D 是△ABC 的边AC 上的一点,连接BD,已知∠ABD=∠C,BC=6,BD=4,如果△ABD 的面积为4,求△BC D 的面积.18.(9分)在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(1，3)，B(4,1),C(1,1).(1)画出△ABC 关于x 轴成轴对称的△A ₁B ₁C ₁;(2)画出△ABC 以点O 为位似中心,相似比为 1:2的△A ₂B ₂C ₂.19.(9分)如图,四边形ABCD 是菱形,AF ⊥BC 交BD 于E,交 BC 于F.求证: AD 2=12DE ⋅DB.20.(10分)周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸边的一颗大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了 B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB 的延长线上选择点 D 竖起标杆DE，使得点 E 与点C、A共线.已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得 BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m，测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求河宽 AB.21.(10分)如图,E是平行四边形ABCD的边 DA 延长线上一点,连结 EC 交AB 于 P.(1)写出图中的三对相似三角形(不添加辅助线)；(2)请在你所写的相似三角形中选一对，说明相似的理由.22.(10分)阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题.角平分线分线段成比例定理：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC,则ABAC =BDCD.下面是这个定理的部分证明过程.证明:如图2,过点C作CE∥DA,交 BA的延长线于点 E⋯任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；(2)如图3,在△ABC中,AD是角平分线,AB=5cm ,AC=4 cm,BC=7 cm.求 BD的长.23.(10分)在矩形 ABCD中,点 E 是对角线AC 上一动点,连接 DE,过点 E 作EF⊥DE 交AB 于点 F.(1)如图1,当DE=DA时,求证:AF=EF;(2)如图2，点E 在运动过程中，DEEF的值是否发生变化?请说明理由.第四章测试卷答案一、选择题1、B2、C3、A4、D5、B6、C7、C8、C9、A 10、C 二、填空题11、35 12、1.2m 13、2.4m 14、4:1 15、②③三、解答题16、解：相似，理由： ∵AB A 'B '=312=14,BC B 'C '=416=14,AC A 'C '=520=14,∴ABA 'B'=BCB 'C '=ACA 'C ',∴ABC ∽A 'B 'C '.17、解:∵∠ABD=∠C,又∠A=∠A,∴△ABD ∽△ACB,S ABD S ACB=(BD CB )2=(46)2=49,18、解：如图所示19、证明:连接AC 交 BD 于点O,∵四边形ABCD 为菱形,∴AC ⊥BD,BO=OD,∵AE ⊥AD,∴△AOD ∽△EAD, ∴AD OD=ED AD,∴A D 2=ED ⋅OD,即 A D 2=12DE ⋅DB.20、解:∵CB ⊥AD,ED ⊥AD, ∴∠CBA =∠EDA =90°.∵∠CAB=∠EAD, ∴ABCOADE,∴AB AD=BC DE,∴AB AB +8.5=11.5,∴AB =17,.∴河宽为17m.21、解:(1)△EAP ∽△CBP,△AEP ∽△DEC,△BCP ∽△DEC.(2)选. △EAPO △CBP,理由如下:在▱ABCD 中AD ∥BC,∴∠EAP=∠B.又∵∠APE=∠BPC,∴△EAP ∽△CBP.22、解:(1)证明:如图2,过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E, ∵CEDA,∴BDCD =BAEA,∠CAD=∠ACE,∠BAD=∠E,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD, ∠ACE=∠E,∴AE=AC,∴ABAC =BDCD；(2)∵AD是角平分线, ∴ABAC =BDCD,AB=5 cm,AC=4 cm,BC=7 cm, C.54=BD7−BD,解得BD=359cm.23、解:(1)证明:如图,连接 DF，在矩形ABCD 中,∠DAF=90°,又∵DE⊥EF,∴∠DEF=90°,∵AD=DE,DF=DF,∴Rt△DAF≌Rt△DEF(HL),∴AF=EF;(2)DEEF 的值不变.如图,过点E作EM⊥AD于点M,过点E 作EN⊥AB 于点 N,∵EM∥CD,EN∥BC,∴EMCD =AEAC,ENBC=AEAC,∴EMEN=CDBC,∵∠DEF=∠MEN=90°,∴∠DEM=∠FEN,又·∴∠DME=∠ENF=90°,∴△DME⊗△FNE,∴DEEF =EMEN,∴DEEF=CDBC,∵CD 与BC 的长度不变, ∴DEFF的长度不变.。

第四章 图形的相似 单元测试一、单选题1．下列各组线段中，能成比例的是（ ）A ．1 cm ，3 cm ，4 cm ，6 cmB ．2 cm ，1 cm ，4 cm ，1.5 cmC ．0.1 cm ，0.2 cm ，0.3 cm ，0.4 cmD ．3 cm ，4 cm ，6 cm ，8 cm 【答案】D【解析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．解：A 、1×6≠3×4，故不符合题意；B 、1×4≠2×1.5，故不符合题意；C 、0.1×0.4≠0.2×0.3，故不符合题意；D 、3×8=4×6，故正确．故选：D ．【点睛】根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．2．如图，123l l l ，2AB =，4BC =，3DB =，则DE 的长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．9【答案】D【解析】 根据平行线分线段成比例解答本题即可．解：∵123l l l ∵AB DB BC BE= ∵2AB =，4BC =，3DB =∵6BE =∵369DE DB BE =+=+=故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是平行线分线段成比例，解此题的关键是利用线段间的比例关系结合已知条件求出BE 的长．3．如图，AB ∵CD ∵MN ，点M ，N 分别在线段AD ，BC 上，AC 与MN 交于点E ．则（ ）A．DM CEAE AM=B．AM BNCN DM=C．DC ABME EN=D．AE CEAM DM=【答案】D【解析】根据平行线分线段成比例列出比例式，进然后行判断即可．解：A、∵AB∵CD∵MN，∵DM CEAM AE=，本选项结论不正确；B、∵AB∵CD∵MN，∵AM BNDM CN=，本选项结论不正确；C、∵AB∵CD∵MN，∵DC ACME AE=，AC ABEC EN=，∵DC ABME EN≠，本选项结论不正确；D、∵AB∵CD∵MN，∵AE CEAM DM=，本选项结论正确；故选：D．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，找准对应关系是解题的关键．4．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝xcm，宽BC＝ycm，把这张纸片沿一组对边AB和D的中点连线EF对折，对折后所得矩形AEFD与原矩形ADCB相似，则x：y的值为（）A ．2BC ．25+D ．2【答案】B【解析】根据相似多边形对应边的比相等，可得到一个方程，解方程即可求得．解：∵四边形ABCD 是矩形，宽BC ＝ycm ，∵AD=BC=ycm ，由折叠的性质得：AE=12AB=12x ， ∵矩形AEFD 与原矩形ADCB 相似， ∵AE AD AD AB =，即12x y y x=， ∵x 2=2y 2，y ，∵x y=． 故选：B ．【点睛】本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质、翻折变换的性质；根据相似多边形对应边的比相等得出方程是解决本题的关键．5．在下列条件中，不能判断∵ABC 与∵DEF 相似的是（ ）A ．∵A ＝∵D ，∵B ＝∵EB ．BC EF ＝AC DF且∵B ＝∵EC．ABDE＝BCEF＝ACDFD．ABDE＝ACDF且∵A＝∵D【答案】B【解析】直接根据三角形相似的判定方法分别判断得出答案．解：A、∵A＝∵D，∵B＝∵E，可以得出∵ABC∵∵DEF，故此选项不合题意；B、BCEF＝ACDF，且∵B＝∵E，不是两边成比例且夹角相等，不能得出∵ABC∵∵DEF，故此选项符合题意；C、ABDE＝BCEF＝ACDF，可以得出∵ABC∵∵DEF，故此选项不合题意；D、ABDE＝ACDF，且∵A＝∵D，可以得出∵ABC∵∵DEF，故此选项不合题意；故选：B．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．6．如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，已知亮区DE到窗口下的墙脚的距离CE=5米，窗口高米，那么窗口底部离地面的高度BC为（）A．2米B．2.5米C．3米D．4米【答案】B【解析】根据光沿直线传播的道理可知AD∵BE，则∵BCE∵∵ACD，根据相似三角形的对应边的比相等即可解答．由题意知，可得，∵，∵（米），米，∵，∵米，故选B.【点睛】题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．7．∵∵∵∵∵∵ABCD∵∵∵∵AC∵BD∵∵∵∵O∵∵ACB∵∵∵∵∵∵∵∵AB∵BD∵M∵N∵∵∵∵AM∵2∵∵∵∵O N∵∵∵( )A ．2B ．2C ．1D ．2【答案】C【解析】【分析】作MH∵AC 于H ，如图，根据正方形的性质得∵MAH=45°，则∵AMH 为等腰直角三角形，所以，再根据角平分线性质得，则，于是利用正方形的性质得到AB=2，OC=12+1，所以CH=AC -，然后证明∵CON∵∵CHM ，再利用相似比可计算出ON 的长．【详解】 试题分析：作MH∵AC 于H ，如图，∵四边形ABCD 为正方形，∵∵MAH=45°，∵∵AMH 为等腰直角三角形，， ∵CM 平分∵ACB ，），∵OC=12，CH=AC ﹣+2， ∵BD∵AC ，∵ON∵MH ，∵∵CON∵∵CHM ，∵ON OCMH CH == ∵ON=1．故选C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和正方形的性质．8．如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,4)A -，(8,2)B --，以原点O 为位似中心，相似比为12，把ABO ∆缩小，则点A 的对应点A '的坐标是（ ）A ．(1,2)-B ．(9,18)-C ．(9,18)-或(9,18)-D ．(1,2)-或(1,2)-【答案】D【解析】【分析】根据位似变换的性质计算即可.【详解】 解：点()2,4A -，()8,2B --，以原点O 为位似中心，相似比为12，把ABO ∆缩小，则点A 的对应点A '的坐标是112,422⎛⎫-⨯⨯ ⎪⎝⎭或112,422⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()1,2-或()1,2-. 故选：D.【点睛】本题考查位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k.9．如图，平行四边形ABCD 中，M 为BC 边的中点，DM 交AC 于点E ，则图中阴影部分面积与平行四边形ABCD 的面积之比为（ ）A ．1:2B ．2:5C ．5:12D ．6:13【答案】C【解析】【分析】 根据等底等高的三角形面积比和相似三角形的相似比推出阴影部分面积．【详解】设平行四边形的边AD =2a ，AD 边上的高为3b ；过点E 作EF ∵AD 交AD 于F ，延长FE 交BC 于G∵平行四边形的面积是6ab∵FG =3b∵AD ∵BC∵∵AED ∵∵CEM∵M 是BC 边的中点， ∵2EF AD EG MC==, ∵EF =2b ，EG =b ∵1122CEM S EG CM ab =⨯=∵1322CDM ACM S SFG CM ab ==⨯= ∵CDE CDM CEM S S S ab =-= ∵阴影部分面积=52ACM CDE S S ab =+= ∵阴影部分面积：平行四边形ABCD 的面积=5:65:122ab ab = 故选：C ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应边上的高线的比等于相似比．10．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，MN 垂直平分AC ，延长BC 至点D ，使12CD BC =，连接．DN 若5DN ，则AB 等于（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】C【解析】【分析】 根据垂直平分线的性质证明AMN ABC ，可得到12MN BC =，即可得到MN CD =，得到△△Rt AMN Rt NDC ≅，即可得到结果；【详解】由题意知：MN 垂直平分AC ，∵12AN CN AC ==，90ANM ∠=︒， ∵90ACB ∠=︒，∵MN BC ，90ACD ∠=︒，∵AMN ABC ，90ANM ACB ∠=∠=︒， ∵12AN AM NM AC AB BC ===， ∵12MN BC =， ∵12CD BC =， ∵MN CD =，在Rt∵AMN 和Rt∵NDC 中，AN NC NM CD⎧=⎨=⎩， ∵△△Rt AMN Rt NDC ≅，∵AM DN =，∵5DN ，∵5AM =，512AB =， ∵10AB =．故选：C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形性质和判定及相似三角形的判定和性质，准确计算是解题的关键．11．如图，D∵E分别是∵ABC的边AB∵BC上的点，且DE∵AC∵AE∵CD相交于点O，若S∵DOE∵S∵COA=1∵25，则S∵BDE与S∵CDE的比是（）A．1∵3B．1∵4C．1∵5D．1∵25【答案】B【解析】【详解】∵DE∵AC∵∵∵DOE∵∵COA∵∵S∵DOE∵S∵COA=1∵25∵∵15 DEAC=∵∵DE∵AC∵∵15 BE DEBC AC==∵∵14 BEEC=∵∵S∵BDE∵S∵CDE∵∵∵1∵4∵∵∵B∵12．如图，在线段BD上任取一点C，将线段CB逆时针旋转90︒得到线段AB，将线段CD顺时针旋转90︒得到线段ED，连接AE，AC，CE，M是AE的中点，连接BM交AC于点P，连接DM交CE于点Q．直线PQ分别交AB，ED于F，G两点，有下列结论：∵BM DM⊥；∵四边形AFGE为平行四边形；∵FP GQ PQ+=；∵2BF DGAF=⋅．其中正确的结论是（）A．∵∵∵B．∵∵∵C．∵∵∵D．∵∵∵∵【答案】D【解析】【分析】∵过点M作MN∵BD，垂足为N，则MN∵DE∵AB，根据平行线分线段成比例定理得出N为BD中点，由线段垂直平分线的性质得到BM=DM，再根据梯形中位线、等腰直角三角形的性质得出MN=12BD，则∵BMD=90°，判断∵正确；∵先由等腰直角三角形的性质及三角形内角和定理得出∵BPC=90°，再根据等腰三角形三线合一的性质得出AP=PC，同理得出EQ=QC，则PQ是∵CAE的中位线，由三角形中位线定理得到PQ∵AE，PQ=12AE，又AF∵EG，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断∵正确；∵先由平行四边形的性质得出FG=AE，又由∵知PQ=12AE，则FP+GQ=12AE=PQ，判断∵正确；∵先证明∵APF=∵DQG，又∵FAP=∵GDQ=45°，根据两角对应相等的两三角形相似得出∵APF∵∵DQG，由相似三角形对应边成比例得出AF PFDG QG=，同理∵BPF∵∵EQG，PF BFQG EG=，则AF BFDG EG=，AF•EG=BF•DG，又AF=EG，判断∵正确．【详解】解：∵过点M作MN∵BD，垂足为N，则MN∵DE∵AB，∵点M是AE的中点，∵N为BD中点，即MN垂直平分BD，∵BM=DM．∵MN是梯形ABDE的中位线，∵MN=12（AB+ED）=12（BC+CD）=12BD=BN=ND，∵∵BMD=90°，即BM∵DM，故∵正确；∵∵∵BMD、∵ABC均是等腰直角三角形，∵∵MBD=∵ACB=45°，∵∵BPC=90°，即BP∵AC，∵AP=PC，同理EQ=QC，∵PQ是∵CAE的中位线，∵PQ∵AE，PQ=12 AE，又∵AF∵EG，∵四边形AFGE为平行四边形，故∵正确；∵∵四边形AFGE为平行四边形，∵FG=AE，∵PQ=12 AE，∵FP+GQ=FG-PQ=AE-12AE=12AE=PQ，即FP+GQ=PQ，故∵正确；∵∵∵ACB=∵MDB=45°，∵AC∵DM，∵∵CPQ=∵MQP，∵∵APF=∵CPQ，∵MQP=∵DQG，∵∵APF=∵DQG，∵∵FAP=∵GDQ=45°，∵∵APF∵∵DQG，∵AF PF DG QG=，同理∵BPF∵∵EQG，∵PF BF QG EG=，∵AF BF DG EG=，∵AF•EG=BF•DG，∵四边形AFEG是平行四边形，∵AF=EG，∵AF2=BF•DG，故∵正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，线段垂直平分线的性质，三角形与梯形中位线的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形、平行四边形、相似三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．二、填空题13．8与2的比例中项是_____________．【答案】4或﹣4【解析】【分析】先根据比例中项的定义列出比例式，再利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．【详解】解：设8与2的比例中项是x，可得：8：x=x：2，解得：x=4或﹣4，故答案为：4或﹣4【点睛】本题主要考查了比例线段问题，关键是利用比例中项和比例的基本性质解答．14．已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝10．则AP＝__（结果保留根号）．【答案】5【解析】【分析】根据黄金分割比的定义计算即可．【详解】根据黄金分割比，有1110522AP AB -==⨯=故答案为：5．【点睛】本题主要考查黄金分割比，掌握黄金分割比的定义是解题的关键．15．如图，在∵ABC 中，M 是AC 边中点，E 是AB 上一点，且AE ＝14AB ，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，此时BC∵CD 为__________．【答案】2∵1【解析】【分析】过C 点作CP∵AB ，交DE 于P ，由PC∵AE 知PC CM AE AM =，由AM=CM ，得PC=AE ，根据AE ＝14AB 得CP ＝14AB ，CP ＝13BE ，由CP∵BE 得13CP CD BE BD ==，可得BD=3CD ，继而得到答案. 【详解】过C 点作CP ∵AB ，交DE 于P ，如图，∵PC ∵AE ， ∵PC CM AE AM=， 而AM =CM ，∵PC =AE ，∵AE =14AB ， ∵CP =14AB ， ∵CP =13BE ， ∵CP ∵BE ， ∵13CP CD BE BD ==， ∵BD =3CD ，∵BC =2CD ，即BC :CD 为2:1，故答案为：2:1.【点睛】本题考查平行线分线段成比例.16．如图，在ABC △中，若21BD DC CE EA ==∶∶∶，AD 与BE 交于F ，则AF FD =∶________.【答案】34【解析】【分析】过点D 作DH BE ∥交AC 于点H ，根据平行线分线段成比例进行计算即可得到答案.【详解】过点D 作DH BE ∥交AC 于点H ，∵2EH BD HC DC ==，∵23EH CE =，∵::2:1BD DC CE EA ==，∵1324AE CE EH ==，∵34AF AE FD EH ==.【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例.17．两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形周长为36cm ，则较大多边形周长为_____．【答案】48cm【解析】【分析】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可．【详解】解：两个相似多边形的面积比是9：16，面积比是周长比的平方，则大多边形与小多边形的相似比是4：3．相似多边形周长的比等于相似比，因而设大多边形的周长为xcm ， 则有36x ＝43， 解得：x ＝48大多边形的周长为48cm ．故答案为48cm ．【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．18．如图，∵ABC 中，P 为AB 上点，在下列四个条件中：∵∵AC P=∵B ；∵∵APC =∵ACB ：∵∵CAP =∵BAC ；∵AC AP AB AC．能确定∵APC 和∵ACB 相似的是___________（只填写序号）．【答案】∵∵∵【解析】【分析】∵和∵根据两组角相等证明相似，∵根据两组对应边成比例且夹角相等证明相似．【详解】解：∵∵ACP B ∠=∠，CAP BAC ∠=∠，∵APC ACB ； ∵∵APC ACB ∠=∠，CAP BAC ∠=∠，∵APC ACB ； ∵不可以证明； ∵∵AC AP AB AC =，CAP BAC ∠=∠，∵APC ACB ．故答案是：∵∵∵．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟悉相似三角形的判定方法．19．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的P 点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为________米．【答案】22.5【解析】根据题意画出图形，构造出∵PCD∵∵PAB ，利用相似三角形的性质解题．解：过P 作PF∵AB ，交CD 于E ，交AB 于F ，如图所示设河宽为x 米．∵AB∵CD ，∵∵PDC=∵PBF ，∵PCD=∵PAB ，∵∵PDC∵∵PBA ， ∵AB PF CD PE=， ∵AB 15x CD 15+=， 依题意CD=20米，AB=50米， ∵1520 5015x =+， 解得：x=22.5（米）．答：河的宽度为22.5米．20．已知：如图，()6,2-E ，()2,2--F ，以原点O 为位似中心，相似比1:2，把EFO △在点O 另一侧缩小，则点E 的对应点'E 的坐标为________．【答案】()31-,【分析】根据题意，可得2'OE OE =，且点'E 在第四象限，又由E 的坐标，计算可得答案．【详解】解：根据题意，可得2'OE OE =，且点'E 在第四象限；又由E 的坐标为()6,2-，则对应点'E 的坐标为()3,1-．故答案是：()3,1-【点睛】本题主要考查位似图形的坐标特征，熟练掌握坐标系中位似图形对应点的坐标特征，是解题的关键． 21．如图，在Rt ABC 中，90ACB ︒∠=，点D 在AB 上，连接CD ，2ADC A ∠=∠，4AC =，5BC =，则线段CD =___________________．【解析】【分析】作CE ＝AC 交AB 于E ，证明∵DCE 是等腰三角形，过点D 作DF∵CE 于F ，求出CF ＝2，然后证明∵ABC∵∵CDF ，利用相似三角形的性质列出比例式计算即可．解：如图，作CE＝AC交AB于E，则∵A＝∵CEA，CE＝4，∵∵ADC＝∵DCE＋∵CEA，∵ADC＝2∵A，∵∵DCE＝∵A＝∵CEA，∵DC＝DE，过点D作DF∵CE于F，则CF＝EF＝12CE＝2，∵∵DCE＝∵A，∵DFC＝∵BCA＝90°，∵∵ABC∵∵CDF，∵CF CD AC AB，在Rt∵ABC中，AB，∵2441，∵41 CD，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，通过作辅助线，构造出等腰三角形和相似三角形是解题的关键．22．如图，在矩形ABCD 中， 6,,AD AE BD =⊥垂足为,3E ED BE =，点,P Q 分别在,BD AD 上，则AP PQ +的最小值为 ___________【答案】【解析】【分析】 在Rt∵ABE 中，利用三角形相似可求得AE 、DE 的长，设A 点关于BD 的对称点A′，连接A′D ，可证明∵ADA′为等边三角形，当PQ∵AD 时，则PQ 最小，所以当A′Q∵AD 时AP+PQ 最小，从而可求得AP+PQ 的最小值等于DE 的长，可得出答案.【详解】解：设BE=x ，则DE=3x ，∵四边形ABCD 为矩形，且AE∵BD ，∵∵ABE∵∵DAE ，∵AE 2=BE•DE ，即AE 2=3x 2，，在Rt∵ADE 中，由勾股定理可得AD 2=AE 2+DE 2，即62=）2+（3x ）2，解得∵AE=3，如图，设A 点关于BD 的对称点为A′，连接A′D ，PA′，则A′A=2AE=6=AD ，AD=A′D=6，∵∵AA′D 是等边三角形，∵PA=PA′，∵当A′、P 、Q 三点在一条线上时，A′P+PQ 最小，又垂线段最短可知当PQ∵AD 时，A′P+PQ 最小，∵AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE=故答案为：【点睛】本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定出A 的对称点，从而确定出AP+PQ 的最小值的位置是解题的关键，利用条件证明∵A′DA 是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的计算．三、解答题23．已知::3:4:5x y z =．（1）求x y z+的值； （2）若6x y z ++=，求x 、y 、z ．【答案】（1）75x y z +=；（2） 1.5,2, 2.5x y z === 【解析】（1）根据比例的意义，用a 表示x ，y ，z ，根据分式的性质，可得答案；（2）根据解方程，可得a ，可得答案．【详解】（1）设3,4,5x a y a z a ===，34755x y a a z a ++==； （2）将3,4,5x a y a z a ===代入6x y z ++=，得3456a a a ++=，解得0.5a =所以3 1.5,42,5 2.5x a y a z a ======【点睛】本题考查了比例的性质与分式的性质，利用a 表示出x ，y ，z 是解题关键．24．如图，已知AD∵EB∵FC ，AC=12，DB=3，BF=7，求EC 的长．【答案】EC 的长为425． 【解析】【分析】根据AD∵EB∵FC ，由平行线分线段成比例可得EC ：AC= BF ：DF ，代入数据计算即可．∵AD∵EB∵FC，∵EC：AC= BF：DF，∵EC：12=7：10，∵EC=425．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线写出对应比例式是解题的关键．25．如图，B、C、D、N分别是∵AMO边AO、MO上的点，MC∵ND，OB ODAB CD=，求证：NB∵MA【答案】证明过程见解析【解析】【分析】利用平行线分线段成比例就可解决问题．【详解】解：∵MC∵ND∵OD ON CD MN=∵ OB OD AB CD=∵OB ON AB MN∵NB∵MA【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．26．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE∵BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∵AFE=∵B（1）求证：∵ADF∵∵DEC；（2）若AB=8，AE的长．【答案】（1）见解析（2）6【解析】【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似∵ADF∵∵DEC.（2）利用∵ADF∵∵DEC，可以求出线段DE的长度；然后在在Rt∵ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度.【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∵AB∵CD，AD∵BC∵∵C+∵B=180°，∵ADF=∵DEC∵∵AFD+∵AFE=180°，∵AFE=∵B，∵∵AFD=∵C在∵ADF与∵DEC中，∵∵AFD=∵C，∵ADF=∵DEC，∵∵ADF∵∵DEC（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∵CD=AB=8．由（1）知∵ADF∵∵DEC，∵AD AF DE CD=，∵AD CDDE12AF⋅===在Rt∵ADE中，由勾股定理得：AE6===27．如图，在∵ABC中，BA＝BC，过C点作CE∵BC交∵ABC的角平分线BE于点E，连接AE，D是BE 上的一点，且∵BAD＝∵CAE.求证：∵ABD∵∵ACE.【答案】证明见解析.【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质得出BE∵AC，利用等角代换可证明出∵ABD＝∵ACE，继而可得出结论.【详解】∵BA＝BC，BE平分∵ABC，∵∵ABE＝∵CBE，BE∵AC(等腰三角形三线合一的性质)，∵∵CBE+∵ACB＝90°，又∵CE∵BC，∵∵ACE+∵ACB＝90°，∵∵CBE＝∵ACE，∵∵ABE＝∵ACE，∵∵BAD＝∵CAE，∵∵ABD∵∵ACE.【点睛】此题考查相似三角形的判定，解题的关键是利用等腰三角形三线合一的性质及等角代换的知识得出∵ABE=∵ACE，另外要求同学们掌握相似三角形的判定定理．28．如图，∵ABC中，∵BAC＝90°，∵B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将∵ACD沿AD折叠，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E．（1）求∵BDE的度数．（2）求证：∵DEB∵∵ADB．（3）若BC＝4，求BE的长．【答案】（1）36°；（2）详见解析；（31【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∵C=90°-∵B=54°．由直角三角形斜边上的中线的性质得出AD=BD=CD，利用等腰三角形的性质求出∵BAD=∵B=36°，∵DAC=∵C=54°，利用三角形内角和定理求出∵ADC=180°-∵DAC-∵C=72°．再根据折叠的性质得出∵ADF=∵ADC=72°，然后根据平角的定义得出∵BDE=180°-∵ADC-∵ADF=36°．（2）根据∵B＝∵B，∵BDE＝∵BAD证明即可；（3）由∵DEB∵∵ADB得BE BDBD AB，设BE＝x得方程x(x+2)=4∵求解方程即可.【详解】（1）∵在Rt∵ABC中，∵BAC=90°，∵B=36°，∵∵C=90°-∵B=54°．∵AD是斜边BC上的中线，∵AD=BD=CD，∵∵BAD=∵B=36°，∵DAC=∵C=54°，∵∵ADC=180°-∵DAC-∵C=72°．∵将∵ACD沿AD对折，使点C落在点F处，∵∵ADF=∵ADC=72°，∵∵BDE=180°-∵ADC-∵ADF=180°-72°-72°=36°．（2）∵∵BAC＝90°，AD是斜边BC上的中线，∵AD＝BD，∵∵B＝36°，∵∵BAD＝36°，∵∵BDE＝36°，∵∵B＝∵B，∵BDE＝∵BAD，∵∵DEB∵∵ADB．（3）∵∵DEB∵∵ADB，∵BE BDBD AB=，设BE＝x，∵BC＝4，∵(2)4x x+=，∵BE＝x1【点睛】此题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质．29．九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，求旗杆AB的高度．【答案】13.5m【解析】【分析】利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB的长度分成了2个部分，AH和HB部分，其中HB＝EF＝1.6m，剩下的问题就是求AH的长度，利用∵CGE∵∵AHE，得出CG EGAH EH=，把相关条件代入即可求得AH＝11.9，所以AB＝AH+HB＝AH+EF＝13.5m．【详解】解：∵CD∵FB，AB∵FB，∵CD∵AB∵∵CGE∵∵AHE∵CG EG AH EH=即：CD EF FD AH FD BD-=+∵3 1.62215 AH-=+∵AH＝11.9∵AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5（m）．【点睛】此题考查的是相似三角形的应用,掌握相似三角形的判定和性质是解决此题的关键.30．如图1，我们已经学过：点C将线段AB分成两部分，如果AC BCAB AC=，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果121S S S S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线． 如图2，在∵ABC 中，∵A=36°，AB=AC ，∵C 的平分线交AB 于点D ．（1）证明点D 是AB 边上的黄金分割点；（2）证明直线CD 是∵ABC 的黄金分割线．【答案】∵1∵详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】(1)证明AD=CD=BC,证明∵BCD∵∵BCA,得到BC BD AB BC =.则有AD BD AB AD =,所以点D 是AB 边上的黄金分割点;(2)证明::ACD ABC BCD ACD SS S S =,直线CD 是∵ABC 的黄金分割线;【详解】 解：(1)点D 是AB 边上的黄金分割点.理由如下:AB=AC,∵A=36o ,∴∵B=∵ACB=72o .∴CD 是角平分线, ∴∵ACD=∵BCD=36o ,∴∵A=∵ACD,∴AD=CD.∴∵CDB=180o 180-∵B -∵BCD=72o ,∴∵CDB=∵B,∴BC=CD.∴BC=AD.在∵BCD 与∵BCA 中, ∵B=∵B,∵BCD=∵A=36o ,∴∵BCD∵∵BCA, ∴BC BD AB BC= ∴AD BD AB AD= ∴点D 是AB 边上的黄金分割点.(2)直线CD 是∵ABC 的黄金分割线.理由如下:设ABC 中,AB 边上的高为h,则12ABC S AB h =⋅,12ACD S AD h =⋅,12BCD S BD h =⋅, ∴::ACD ABC S S AD AB =::BCD ACD S S BD AD =由（1）得点D 是AB 边上的黄金分割点，AD BD AB AD= ∴::ACD ABC BCD ACD S S S S =∵∴直线CD 是∵ABC 的黄金分割线【点睛】本题主要考查三角想相似及相似的性质，注意与题中黄金分割线定义相结合解题.31．如图，（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在∵ABC 中，点O 在线段BC 上，∵BAO ＝20°，∵OAC ＝80°，AO ＝BO ：CO ＝1：3，求AB 的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∵AC，交AO的延长线于点D，通过构造∵ABD就可以解决问题（如图2），请回答：∵ADB＝°，AB＝．（2）请参考以上思路解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC∵AD，AO＝∵ABC＝∵ACB＝75°，BO：OD＝1：3，求DC的长．【答案】（1）80，（2）DC＝【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∵ADB＝∵OAC＝80°，即可证明∵BOD∵∵COA，可得13OD OBOA OC==，求出AD的长度，再根据角的和差关系得∵ABD＝180°﹣∵BAD﹣∵ADB＝80°＝∵ADB，即可得出AB＝AD＝8（2）过点B作BE∵AD交AC于点E，通过证明∵AOD∵∵EOB，可得BO EO BEOD AO DA==，根据线段的比例关系，可得AB＝2BE，根据勾股定理求出BE的长度，再根据勾股定理求出DC的长度即可．【详解】解：（1）∵BD∵AC，∵∵ADB＝∵OAC＝80°，∵∵BOD＝∵COA，∵∵BOD∵∵COA ， ∵13OD OB OA OC ==∵AO ＝∵OD ＝13AO ＝∵AD ＝AO+OD ＝，∵∵BAD ＝20°，∵ADB ＝80°，∵∵ABD ＝180°﹣∵BAD ﹣∵ADB ＝80°＝∵ADB ，∵AB ＝AD ＝，故答案为：80，（2）过点B 作BE∵AD 交AC 于点E ，如图3所示：∵AC∵AD ，BE∵AD ，∵∵DAC ＝∵BEA ＝90°，∵∵AOD ＝∵EOB ，∵∵AOD∵∵EOB ， ∵BO EO BE OD AO DA== ∵BO ：OD ＝1：3， ∵13EO BE AO DA ==∵AO ＝∵EO ＝13AO ＝∵AE ＝AO+EO ＝∵∵ABC ＝∵ACB ＝75°，∵∵BAC ＝30°，AB ＝AC ，∵AB ＝2BE ，在Rt∵AEB 中，BE 2+AE 2＝AB 2，即（2+BE 2＝（2BE ）2，解得：BE ＝8，∵AB ＝AC ＝16，AD ＝3BE ＝24，在Rt∵CAD 中，AC 2+AD 2＝DC 2，即162+242＝DC 2，解得：DC ＝【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握平行线的性质、相似三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键．。

2019下学期九年级数学第四章图形的相似复习测试题一、选择题1、如图4-2-6所示，已知直线a∥b∥c，直线m分别交a,b,c于点A,C,E,直线n分别交a,b,c于点B,D,F,AC=4,CE=6,BD=3,则BF的长为（）A. B. C.6 D.2、若图4-3-4中的两个四边形相似，则的∠α度数是（)A.87°B.60°C.75°D.120°二、填空题3、在比例尺为1 ：5 000的地图上，量得中、乙两地的图上距离是3.2 cm，把它画在新的比例尺是1：8000的地图上，应画 cm.5、如图4-2-11所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC.若DE=2AD，AE= 2,则 EC = .6、如图4-4-8所示，在△ABC中，AB= 9, AC=6,点M在AB边上,且AM=3,点N在AC边上，当AN= 时, △AMN与原三角形相似.7、如图4-8-8所示，在平面直角坐标系中，点A，B，E，D，F的坐标分别是A（4，3），B（4，0），E（5，0），D（13，6），F（13，0），△DEF是由△AOB经过位似变换得到的，则位似中心的坐标是。

三、解答题8、如图4-1-2所示，点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上，9、已知1，，2三个数，请再添上一个数，写出一个比例式.10、如图4-2-8所示，在△ABC中，线段AD平分∠BAC，求证:.11、如图4-3-2所示，把矩形ABCD对折，折痕为MN,矩形DMNC与矩形ABCD相似，己知AB = 4.(1)求AD的长；(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比.12、如图4-3-6所示，点E为矩形ABCD的边AB上一点且满足A EA B =B EA E，当四边形ADFE为正方形时，矩形ABCD和矩形EFCB相似吗？为什么？13、某机械厂承接了一批焊制矩形钢板的任务，已知这种矩形钢板在图纸上（比例尺为1 : 400)的长和宽分别为3 cm和2 cm,该厂所用原料是边长为4 m的正方形钢板，那么焊制一块这样的矩形至少要用几块边长为4 m的正方形钢板(焊制损耗不汁)？14、根据下列各组条件，判断△ABC和△A′B′C′是否相似,并说明理由.(1)AB=3.5,BC=2.5,CA=4, A′B′=24.5, B′C′=17.5, C′A′=28;(2)∠A=35°,∠B=104°, ∠C′=44°, ∠A′=35° ；(3)AB=3,BC=2.6, ∠B=48°,A′B′=1.5, B′C′=1.3, ∠B′=48°.15、如图4-4-11所示，已知DE∥BC,DF∥AC,AD=4cm，BD=8cm，DE=5cm,求线段BF的长.16、如图4-4-13所示，在边长为1的正方形网格中有△ABC和△DEF,试说明这两个三角形相似.17、在人体脚底到肚脐的高度与身高的比例上，理想的肚胳的位置是黄金分割点，即比值越接近0.618越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的高度与身高的比为0.60,她的身高为1.60 m,她选择穿多高的高跟鞋看起来会更美？18、如图4-5-4所示，△A BC为等边三角形，D,E分別是AC,BC上的点（不与顶点重合），∠BDE =60° .(1)求证：△DEC ∽△BDA;(2)若△ABC的边长为 4,并设DC=x，BE=y，试求y与x之间的函数关系式.19、如图4-5-6所示，在平行四边形ABCD中，过点A作AE丄BC，垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B.(1)求证：△ADF ∽△DEC;(2)若AB=8,AD=63,AF=43,求AE的长.20、如图4-5-8所示，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°,∠B=90°,AB=7,AD=2,BC=3.试在边AB上确定点P的位置，使得以P,A,D 为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.21、如图4-5-10所示，在四边形ABCD中，AC,BD相交于点O，直线l∥BD且与AB,DC,BC,AD及AC的延长线分别相交于点M,N,R,S和P.求证：PM•PN=PR•PS.22、小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一幢楼下，发现对面墙上有这幢楼的影子.针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：示意图如图4-6-7①所示，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这幢楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同.此时，测得小明落在墙上的影子的高度CD=1.2m，且测得CE=0.8m，CA=30m（点A,E,C在同一直线上）.已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB(结果精确到0.1m).23、周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB 的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C,A共线.已知：CB⊥AD,ED⊥AD,测得BC=1m，DE=1.5m，BC=8.5m.测量示意图如图4-6-9所示.请根据相关测量信息，求河宽AB.24、如图4-6-11①所示，小华在测量电线杆AB的高度时，发现电线杆的影子恰好落在坡面CD和水平地面BC上，影子CD=4m，BC=10m，CD与地面成30°角，且此时测得1m长的标杆的影长为2m，求电线杆的高度（结果精确到0.1m，取1.41，取1.73）.25、如图4-7-5所示，在△ABC中,D,E分别为BC, AC边的中点，AD, BE相交于点G,若S△DEG = 1,求S△ABC.26、如图4-7-7所示，路边的两根电线杆(AB，CD)相距4 m,分别在离地面高3 m的A处和高6m的C处用铁丝将两电线杆固定,求铁丝AD与铁丝BC的交点M离地面的高度.27、如图4-7-9所示，已知△ABC中, AB= 5, BC= 3,AC=4,PQ∥AB,点P在AC上(与点A,C不重合),点Q在BC上.(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时,求CP的长.图4-7-9(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时,求CP的长，(3)试问:在AB上是否存在一点M,使得△PQM为等腰直角三角形?若不存在,请简要说明理由;若存在,请求出PQ的长.28、如图4-8-11所示，已知点O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为（3，-1），（2，1）。

新北师大版九年级上册初中数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习探索相似三角形相似的条件(基础)【学习目标】1. 相似三角形的概念.2.相似三角形的三个判定定理.3.黄金分割.4. 进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似三角形的概念相似三角形：三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的三个判定定理定理：两角分别相等的两个三角形相似.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.三边成比例的两个三角形相似.要点诠释：（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.（2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：要点四、黄金分割1.定义：一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC 两段,如果AC BC AB AC=,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.要点诠释：12AC AB =≈0.618AB(0.618是黄金分割的近似值，12是黄金分割的准确值). 2.作一条线段的黄金分割点：如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =21AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点. 要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似三角形的概念1. 下列能够相似的一组三角形为( ).A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形【答案】C【解析】A 中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；B 中什么条件都不满足；D 中只有一条对应边的比相等；C 中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C.【总结升华】根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.举一反三：【变式】（2014秋•江阴市期中）给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有 （填序号）．【答案】①②④⑤.类型二、相似三角形的三个判定定理2、如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F．（1）证明：△ABD∽△DCF；（2）除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．【思路点拨】（1）利用等边三角形的性质以及相似三角形的判定方法两角对应相等的两三角形相似得出即可；（2）利用对顶角的性质以及相似三角形的性质进而判断得出即可．【答案与解析】（1）证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形，∴∠B=∠C=∠3=60°，∴∠1+∠2=∠DFC+∠2，∴∠1=∠DFC，∴△ABD∽△DCF；（2）解：∵∠C=∠E，∠AFE=∠DFC，∴△AEF∽△DCF，∴△ABD∽△AEF，故除了△ABD∽△DCF外，图中相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF．【总结升华】此题主要考查了相似三角形的两个对应角相等的判定方法以及等边三角形的性质等知识，得出对应角关系是解题关键．举一反三【变式】如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．【答案】证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE．3、（2014秋•洪江市期中）如图所示，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB 向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，经过多长时间后，△PBQ与△ABC相似？试说明理由．【思路点拨】首先设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，由题意可得AP=xcm，BQ=2xcm，BP=AB﹣AP=（8﹣x）cm，又由∠B是公共角，分别从=或=分析，即可求得答案．【答案与解析】解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，则AP=xcm，BQ=2xcm，∵AB=8cm，BC=16cm，∴BP=AB﹣AP=（8﹣x）cm，∵∠B是公共角，∵①当=，即=时，△PBQ∽△ABC，解得：x=4；②当=，即=时，△QBP∽△ABC，解得：x=1.6，∴经4或1.6秒钟△PBQ与△ABC相似．【总结升华】此题考查了相似三角形的判定．属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．4、网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明△ABC∽△DEF．【思路点拨】利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得△ABC∽△DEF．【答案与解析】举一反三【变式】如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=________，BC=_________；（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．【答案】（1）解：∠ABC=90°+45°=135°，（2）△ABC ∽△DEF ．证明：∵在4×4的正方形方格中，∠ABC=135°，∠DEF=90°+45°=135°， ∴∠ABC=∠DEF ．BC FE===∴△ABC ∽△DEF ．类型三、黄金分割5. 如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形（即BC AB ＝215-≈0.618），如果在其内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？【思路点拨】（1）矩形的宽与长之比值为215-，则这种矩形叫做黄金矩形．（2）要说明ABFE 是不是黄金矩形只要证明AB AE ＝215-即可． 【答案与解析】矩形ABFE 是黄金矩形． 理由如下：因为AB AE ＝ABED AB AD AB ED AD -=- ＝21512151)15)(15()15(21152-=-+=-+-+=-- 所以矩形ABFE 也是黄金矩形．【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法.举一反三：【变式】以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图所示，（1）求AM ，DM 的长，（2）试说明AM 2=AD ·DM（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？【答案】（1）∵正方形ABCD 的边长是2，P 是AB 中点，∴AD ＝AB ＝2，AP ＝1，∠BAD ＝90°，∴PD ＝522=+AD AP 。

北师大版初三数学上册《图形的相似及相似图形的性质》知识讲解及例题演练【学习目标】1、了解比例线段的概念及有关性质，明确相似比的含义并能灵活运用比例的性质进行运算求值；2、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观看直观地判定两个图形是否相似以及相似图形的性质.【要点梳理】要点一、相似图形1.定义：具有相同形状的图形称为相似图形.要点诠释：(1) 相似图形对应线段的比叫相似比；(2) 相似图形的周长比等于相似比；（3）相似图形的面积比等于相似比的平方.要点二、比例线段1．两条线段的比：在使用同一长度单位的情形下，表示两条线段长度的数值的比，叫做这两条线段的比.2．成比例线段：关于四条线段a 、b 、c 、d ，假如其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．3．比例的差不多性质：假如b c ,a d=那么ad=bc.要点诠释：（1）a ，b ，c ，d 叫做那个比例的项，a ，b 叫做比例外项，b ，c 叫做比例内项.（2）若a:b=b:c ，则b2=ac （b 称为a,c 的比例中项）4．比例的性质：（1）合分比性质：假如ac ,bd =那么a b c d b d ±±=；（2）等比性质：假如a c m ......b d n ===（b+d+……+n ≠0），那么a c ......m a .b d ......n b +++=+++ 【典型例题】类型一、比例线段1. 下列四组线段中，成比例线段的有（ ）A ．3cm 、4cm 、5cm 、6cmB ．4cm 、8cm 、3cm 、5cmC ．5cm 、15cm 、2cm 、6cmD ．8cm 、4cm 、1cm 、3cm【答案】C.【解析】四个选项中只有，故选C. 【总结升华】依照成比例线段的定义. 举一反三：【变式】判定下列线段a 、b 、c 、d 是否是成比例线段：(1)a=4，b=6，c=5，d=10；(2)a=2，b=，c=，d=． 【答案】(1) ∵ ，， ∴ ，∴ 线段a 、b 、c 、d 不是成比例线段．(2) ∵ ，，∴ 线段a 、b 、c 、d 是成比例线段． 2. 已知线段a 、b 、c 满足a ：b ：c=3：2：6，且a+2b+c=26．（1）求a 、b 、c 的值；（2）若线段x 是线段a 、b 的比例中项，求x 的值．【答案】解：（1）∵a ：b ：c=3：2：6，∴设a=3k ，b=2k ，c=6k ，又∵a+2b+c=26，∴3k+2×2k+6k=26，解得k=2，∴a=6，b=4，c=12；（2）∵x 是a 、b 的比例中项，∴x2=ab ，∴x2=4×6，∴x=62或x= -62（不合题意，舍去）， 即x 的值为62．【总结升华】本题考查了比例线段及其相关运算，注意利用代数的方法解决较为简便．3. 已知32=y x ，则y x y x 32+-= ． 【思路点拨】由32=y x，则可设x=2k ，y=3k ，然后把x=2k ，y=3k 代入原式进行分式的运算即可．【答案与解析】解：∵32=y x ，∴设x=2k ，y=3k ，∴原式=1119234=+-k k k k ． 故答案为111． 【总结升华】本题考查了比例性质：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．举一反三：【变式】已知xyz ≠0且x y z x y z z y x+++===k ，求k 的值． 【答案】解:∵xyz ≠0∴x ≠0，y ≠0，z ≠0，①当x+y+z ≠0时，∵x y z x y z z y x+++===k ， ∴k=2;②当x+y+z=0时，x+y=-z,z+x=-y,y+z=-x,∴k=-1.综上所述，k=2或-1.类型二、相似图形4. 指出下列各组图中，哪组确信是相似形__________：(1)两个腰长不等的等腰三角形(2)两个半径不等的圆(3)两个面积不等的矩形(4)两个边长不等的正方形【思路点拨】要注意：（1）相似图形确实是指形状相同，但大小不一定相同的图形；（2）假如两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．【答案】(2) (4).【解析】 (1)等腰三角形的形状不一定相同，因此两个腰长不等的等腰三角形不一定相似；(3)中面积不等的两个矩形，尽管它们的边数相同，对应角相等，但对应边的比不一定相等，因此无法确定它们一定相似；(2)(4)中两个半径不等的圆与两个边长不等的正方形差不多上形状完全相同的图形，是相似形.【总结升华】识别两个图形是否是相似形，能够从形状来识别，关于多边形，也能够用“对应角相等，对应边的比相等”来识别.举一反三：【变式】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？【答案】这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比差不多上1:2，尽管它们的摆放方法、位置不一样，但这并可不能阻碍到它们相似性.类型三、相似多边形5.如图，点E 是菱形ABCD 对角线CA 的延长线上任意一点，以线段AE 为边作一个菱形AEFG ，且菱形AEFG ∽菱形ABCD ，连接EB ，GD ．（1）求证：EB=GD ；（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=3，求GD 的长．【思路点拨】（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等；（2）连接BD 交AC 于点P ，则BP ⊥AC ，依照∠DAB=60°得到112BP AB ==，然后求得EP=32，最后利用勾股定理求得EB 的长即可求得线段GD 的长即可．【答案与解析】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，∴∠EAB=∠GAD，∵AE=AG，AB=AD，∴△AEB≌△AGD，∴EB=GD；（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，∵∠DAB=60°，∴∠PAB=30°，【总结升华】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．。

北师大版九年级上册数学第四章图形的相似专题练习注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题AB ＝1，BC ＝3，EF ＝5，则△ABC 与△DEF 的面积比是( )A. 1∶9B. 1∶25C. 9∶25D. 3∶52.如图，四边形ABCD 和A′B′C′D′是以点O 为位似中心的位似图形，若OA ：OA′=2：3，则四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′的面积比为（ ）A. 4：9B. 2：5C. 2：： 3.如果32a b = (0ab ≠），那么下列比例式中正确的是（ ）A. 32a b =B. 23b a =C. 23a b =D. 32a b = 4.如图，在△ABC 中，点D 、E 分别为边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，若AD =5，BD =10，AE =3，则CE 的长为（ ）A. 3B. 6C. 9D. 125.在下面的图形中，相似的一组是( )A. B. C. D. 6.如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是( )A. B. C. D.7.为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A ，再在他所在的这一侧选点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，然后找出AD 与BC 的交点E ．如图所示，若测得BE=90m ，EC=45m ，CD=60m ，则这条河的宽AB 等于（ ）A. 120mB. 67.5mC. 40mD. 30m第II卷（非选择题）二、解答题（题型注释）在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（2，1）、B（1，-2）．（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB 的相似比为2：1，并分别写出点A、B的对应点A1、B1的坐标．（2）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的△O2A2B2，并写出点A、B的对应点A2、B2的坐标．（3）判断△OA1B1与△O2A2B2，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标．9.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，∠DEC＝90°．（1）求证：△ADE∽△BEC．（2）若AD＝1，BC＝3，AE＝2，求AB的长．10.如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上(点E不与点B重合)，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，交CD于点G.(1)求证：△ABF∽△BGC；(2)若AB＝2，G是CD的中点，求AF的长．11.如图，BD，CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA 的延长线于F，H，求证：(1)DG2＝BG·CG；(2)BG·CG＝GF·GH.12.如图，一圆柱形油桶，高1.5 m，用一根2 m长的木棒从桶盖小口斜插桶内，至另一端的B处，抽出木棒后，量得上面没浸油的部分为1.2 m，求桶内油面高度．13.如图，操场上有一根旗杆AH，为测量它的高度，在点B和点D处各立一根高1.5米的标杆BC、DE，且BD=30米，测得视线AC与地面HG的交点为F，视线AE与地面HG的交点为G，且H 、B、F、D、G都在同一直线上，测得BF=3米，DG=5米，求旗杆AH的高度.14.如图1，把两块全等的含45°角的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合．把三角板ABC固定不动，让三角板DEF 绕点D旋转，两边分别与线段AB，BC相交于点P，Q，易说明△APD∽△CDQ.根据以上内容，回答下列问题：(1)如图2，将含30°角的三角板DEF(其中∠EDF＝30°)的锐角顶点D与等腰△ABC(其中∠ABC ＝120°)的底边中点O 重合，两边DF ，DE 分别与边AB ，BC 相交于点P ，Q .写出图中的相似三角形__ _ (直接填在横线上)；(2)其他条件不变，将三角板DEF 旋转至两边DF ，DE 分别与边AB 的延长线、边BC 相交于点P ，Q .上述结论还成立吗？请你在图3上补全图形，并说明理由；(3)在(2)的条件下，连接PQ ，△APD 与△DPQ 是否相似？请说明理由；(4)根据(1)(2)的解答过程，你能否将两三角板改为更一般的三角形，使得(1)中的结论仍然成立？若能，请说明两个三角形应满足的条件；若不能，请简要说明理由．三、填空题15.如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，DE ∥B C ．如果ADDB =32，AC ＝10，那么EC ＝________．16.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD 的顶端C 处．已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，测得AB ＝2米，BP ＝3米，PD ＝15米，那么该古城墙的高度CD 是_________米．17.如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD 和BC 交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OD ，OB=3OC ），然后张开两脚，使A ，B 两个尖端分别在线段l 的两个端点上，若 3.2CD cm ，则AB 的长为________cm ．18.在平面直角坐标系xOy 中，以原点为位似中心，线段AB 与线段A′B′是位似图形，若A（﹣1，2），B（﹣1，0），A′（﹣2，4），则B′的坐标为__．参考答案1.C【解析】1.根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行求解即可得.∵△ABC ∽△DEF ，BC ＝3，EF ＝5，∴相似比为BC EF =35，∴△ABC 与△DEF 的面积比为32：52，即△ABC 与△DEF 的面积比为9：25，故选C ．2.A【解析】2.∵四边形ABCD 和A′B′C′D′是以点O 为位似中心的位似图形，∴四边形ABCD ∽四边形A′B′C′D′， ∴2ABCD''''S OA =S 'A B C D OA ⎛⎫ ⎪⎝⎭四边形四边形 ， ∵OA ：OA′=2：3，∴ABCD ''''S 4=S 9A B C D 四边形四边形， 故选A.3.C【解析】3.∵3a=2b ， ∴23a b =或32b a =或23a b =， 所以只有选项C 是正确的，故选C.4.B【解析】4.∵DE ∥BC ，∴AD BD =AE EC ，即510=3EC， 解得：EC=6.故选：B.5.D【解析】5.根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，即可得答案．A 、两图形不是相似图形，故本选项错误；B 、六边形与五边形不可能是相似图形，故本选项错误；C 、直角梯形与等腰梯形不是相似图形，故本选项错误；D 、∵90°-40°=50°，∴两直角三角形相似，故本选项正确，故选D ．6.B【解析】6.首先求得△ABC 三边的长，然后分别求得A ，B ，C ，D 各三角形的三边的长，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可求得答案．已知给出的三角形的各边AB 、CB 、AC 分别为√10、√2、2，A 选项中阴影部分的三角形的三边长分别为3、√5、√2，与△ABC 的三边不对应成比例，故不符合题意；B 选项中阴影部分的三角形的三边长分别为√5、1、√2，与△ABC 的三边对应成比例，故符合题意；C 选项中阴影部分的三角形的三边长分别为√13、2、√5，与△ABC 的三边不对应成比例，故不符合题意；D 选项中阴影部分的三角形的三边长分别为2√2、1、√5，与△ABC 的三边不对应成比例，故不符合题意，故选B.7.A【解析】7.∵∠ABE=∠DCE, ∠AEB=∠CED,∴△ABE ∽△DCE,∴AB CD =BE CE . ∵BE =90m ，EC =45m ，CD =60m ，∴AB =90×6045=120(m )故选A.8.（1）A 1（4，2），B 1（2，-4）； （2）A 2（0，2），B 2（-1，-1）；（3）△OA 1B 1与△O 2A 2B 2是关于点M （-4，2）为位似中心的位似图形．【解析】8.试题分析：（1）利用位似图形的性质得出对应点坐标，进而得出答案；（2）利用平移变换规律得出对应点坐标，进而得出答案；（3）利用位似图形的性质得出位似中心，进而得出答案．试题解析：（1）如图所示，A 1（4，2），B 1（2，-4） ．（2）如图所示，A 2（0，2），B 2（-1，-1）．（3）△OA 1B 1与△O 2A 2B 2是关于点M （-4，2），为位似中心的位似图形．9.（1）详见解析；（2）BE=32．【解析】9.（1）首先得出∠A ＝∠B ＝90°，再根据已知得到∠ADE=∠CEB ，利用两角对应相等的两个三角形相似即可得证；（2）利用相似三角形的性质得出BE 的长，进而得出答案即可．(1)∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∴AB ⊥AD ，∠A ＝∠B ＝90°，∴∠ADE ＋∠AED ＝90°，∵∠DEC ＝90°，∴∠AED ＋∠BEC ＝90°，∴∠ADE ＝∠BEC ，∴△ADE ∽△BEC ；(2)∵△ADE ∽△BEC ，∴BE AD =BC AE ，∵AD ＝1，BC ＝3，AE ＝2，∴BE 1=32， ∴BE ＝32， ∴AB ＝AE ＋BE ＝72.10.（1）见解析；（2）4√55.【解析】10.（1）根据正方形的性质得出∠ABE=∠BCG=90°，进而得出∠BAE=∠CBG ，再利用相似三角形的判定证明即可；（2）根据（1）中的相似三角形，利用其性质解答即可．（1）∵在正方形ABCD 中，∴∠ABE=∠BCG=90°，∵∠BAE+∠ABF=90°，∠CBG+∠ABF=90°，∴∠BAE=∠CBG ，∴△ABF ∽△CBG ；（2）∵△ABF ∽△CBG ，∴AB AF =BG BC ，∵AB=2，G 是CD 的中点，正方形ABCD ，∴BC=2，CG=1，∴BG=√BC 2+CG 2=√5 ， ∴2AF =√52 ，解得：AF=√5=4√55 ． 11.【小题1】 证明：∵BD ⊥AC ，DG ⊥BC ，∴∠BDC =∠DGC =90∘，∠DBC +∠DCG =∠GDC +∠DCG ，∴∠GDC =∠DBC ，∴△BDG ∽△DCG ，∴BG :DG =DG :CG ，即DG 2=BG ⋅CG.【小题2】 同(1)中的方法,同理可证：△BGH ∽△FGC ，∴BG :GF =GH :CG ，∴BG ⋅CG =GF ⋅GH .【解析】11.（1）根据题意结合图形，证明△BDG∽△DCG ，列出比例式，化为等积式即可解决问题． （2）方法同（1）中的解法，证明△BGH ∽△FGC ，列出比例式，化为等积式即可解决问题． 证明：(1)∵BD ⊥AC ，DG ⊥BC ，∴∠BDC =∠DGC =90∘，∠DBC +∠DCG =∠GDC +∠DCG ，∴∠GDC =∠DBC ，∴△BDG ∽△DCG ，∴BG :DG =DG :CG ，即DG 2=BG ⋅CG.(2)同(1)中的方法,同理可证：△BGH ∽△FGC ，∴BG :GF =GH :CG ，∴BG ⋅CG =GF ⋅GH .12.油面高0.6 m.【解析】12.由于DE ∥BC ，可知△ADE ∽△ABC ，再再根据相似三角形的对应边成比例即可解答． ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AE AC=AD AB ， 即AE 1.5=1.22，解得AE ＝0.9 m ，∴EC ＝1.5－0.9＝0.6(m)，即油面高0.6 m. 13.24m【解析】13.试题分析：首先设AH=x ，BH=y ，根据△AHF ∽△CBF ，△AHG ∽△EDG ，得出BF GB HF HG =， DG DE HG AH =，然后将各数字代入求出x 的值. 试题解析：由题意知，设AH=x ，BH=y ，△AHF ∽△CBF ，△AHG ∽△EDG ， ∴BF GB HF HG =， DG DE HG AH=， ∴3x=1.5×（y+3），5x=1.5×（y+30+5） 解得x=24m ． 答：旗杆AH 的高度为24m ．14.(1)△APD ∽△CDQ ； (2)成立，图见解析，理由见解析；(3)△APD ∽△DPQ ，理由见解析；(4)△DEF 满足∠EDF ＝α，△ABC 满足顶角为(180°－2α)的等腰三角形即可，理由见解析.【解析】14.（1）通过角的转化得出∠APD=∠CDQ ，进而可得出△APD ∽△CQD ；（2）由已知可得∠BAC ＝∠BCA ，再根据已知可推导得出∠APD ＝∠CDQ ，继而可得出△APD ∽△CQD ；（3）△APD ∽△DPQ ，理由如下：由△APD ∽△CDQ ，可得AP CD =DP DQ ，再根据点D 为AC 的中点，继而可得出AP DP =AD DQ ，再根据∠PAD ＝∠PDQ ＝30°，即可证明△APD ∽△DPQ ；（4）△DEF 满足∠EDF ＝α，△ABC 满足顶角为(180°－2α)的等腰三角形即可.(1)∵∠ABC=120°，∴∠A=∠C=30°，∵∠ADP+∠APD=150°，∠ADP+∠QDC=150°，∴∠APD=∠CDQ ，∴△APD ∽△CDQ ，故答案为：△APD ∽△CDQ ；(2)成立，如图，理由如下：∵AB ＝BC ，∴∠BAC ＝∠BCA ，∵∠ABC ＝120°，∴∠BAC ＝∠BCA ＝30°，∴∠ADP ＋∠APD ＝180°－30°＝150°，∵∠EDF ＝30°，∴∠ADP ＋∠CDQ ＝150°，∴∠APD ＝∠CDQ ，∴△APD ∽△CDQ ；(3)△APD ∽△DPQ ，理由如下：如图，∵△APD ∽△CDQ ，∴AP CD =DP DQ ，∵点D 为AC 的中点，∴CD ＝AD ，∴AP AD =DP DQ ，即AP DP =AD DQ ，又∵∠PAD ＝∠PDQ ＝30°， ∴△APD ∽△DPQ ；(4)△DEF 满足∠EDF ＝α，△ABC 满足顶角为(180°－2α)的等腰三角形即可，理由：∵∠ABC ＝180°－2α， ∴∠A ＝∠C ＝α，∵∠ADP ＋∠APD ＝180°－α，∠ADP ＋∠QDC ＝180°－α， ∴∠APD ＝∠CDQ ，又∵∠A ＝∠C ，∴△APD ∽△CDQ.15.4【解析】15.由DE ∥BC ，推出AD DB =AE EC =32 , 可得EC=25AC , 由此即可解决问题．解：∵DE ∥BC ，∴AD DB =AE EC =32， ∵AC=10，∴EC=25AC =25×10=4，故答案为4．16.10【解析】16.首先证明△ABP ∽△CDP ，可得AB BP =CD PD ，再代入相应数据可得答案． 如图，由题意可得：∠APE=∠CPE ，∴∠APB=∠CPD ，∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴∠ABP=∠CDP=90°，∴△ABP ∽△CDP ，∴AB BP =CD PD， ∵AB=2米，BP=3米，PD=15米，∴23=CD 15，解得：CD=10米.故答案为：10.17.9.6【解析】17.试题分析：∵OA ＝3OD ，OB ＝3CO ，∴OA ：OD ＝BO ：CO ＝3：1，∠AOB ＝∠DOC ，∴△AOB ∽△DOC ， ∴13AO AB OD CD ==， ∴AB ＝3CD ，∵CD ＝3.2cm ，∴AB ＝9.6cm ，故答案为9.6．18.(-2,0)【解析】18.设B ′的坐标为()x y ，，∵线段AB 与线段A′B′是位似图形，且A （﹣1，2），A′（﹣2，4）， ∴位似比k=221-=-， ∵点B 的坐标是（-1，0），∴点B′的坐标为（-2，0）.。

北师大版数学九年级 上册相似三角形综合题考点剖析相似是解决其它数学问题的重要应用性工具．下面就向同学们介绍相似的具体应用，供学习时参考．１．一次函数和反比例函数图象背景下，判断三角形的相似例１ 如图１，一次函数ｙ＝ｘ＋３的图象与ｘ轴，ｙ轴交于Ａ，Ｂ两点，与反比例函数ｙ＝x4的图象相交于Ｃ，Ｄ两点，分别过Ｃ，Ｄ两点作ｙ轴，ｘ轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①△CEF 与△DEF 的面积相等；②△AOB ∽△FOE ；③△DCE ≌△CDF ； ④ＡＣ=ＢＤ．其中正确的结论是( )A ．①②B ． ①②③C ．①②③④D ． ②③④分析： 根据函数的解析式求得交点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的坐标，求得点Ｅ,Ｆ的坐标，并能灵活的将点的坐标问题迅速转化成线段的长度问题，对问题的解决将有着至关重要的意义．解： 因为一次函数ｙ＝ｘ＋３的图象与ｘ轴，ｙ轴交于Ａ，Ｂ两点，所以点Ａ的坐标为（－３，０），点Ｂ的坐标为（０，３），所以ＯＡ＝３，ＯＢ＝３，所以三角形ＡＯＢ是等腰直角三角形． 因为一次函数ｙ＝ｘ＋３的图象与反比例函数ｙ＝x 4的图象相交于Ｃ，Ｄ两点， 所以ｘ＋３＝x4，整理得：2x ＋３ｘ－４＝０，解得：ｘ＝１或ｘ＝－４， 当ｘ＝１时，ｙ＝４，所以点Ｄ的坐标为（１，４），所以ＤＦ＝４，ＯＦ＝１； 当ｘ＝－４时，ｙ＝－１，所以点Ｃ的坐标为（－４，－１），所以ＣＦ＝４，ＯＥ＝１；所以三角形ＯＥＦ是等腰直角三角形，所以△AOB ∽△FOE ，所以结论②是正确的；因为∠ＡＢＯ＝∠ＯＥＦ＝４５°，所以ＡＢ∥ＥＦ，ＣＥ=ＤＦ，所以四边形ＣＥＦＤ是等腰梯形，根据同底等高原理，得到△CEF 与△DEF 的面积相等，所以结论①是正确的；因为四边形ＣＥＦＤ是等腰梯形，所以ＤＥ=ＣＦ．因为ＤＣ＝ＣＤ，ＣＥ＝ＤＦ，根据边边边原理，得到△DCE ≌△CDF ，所以结论③是正确的；易证△ＢＣＥ，△ＤＡＦ是全等的等腰直角三角形,所以ＣＢ＝ＡＤ，所以ＣＢ－ＡＢ＝ＡＤ－ＡＢ即ＡＣ=ＢＤ，所以结论④是正确的．综上分析，正确答案是Ｃ．点评： 本题集三角形的全等，等腰梯形的判定，相似的判定，平行的判定，等腰直角三角形的判定与一身，是一道综合性较强，较全面的好题，值得深思．２．直角三角形背景下，探求重叠三角形的面积例２ 如图２，在Ｒｔ△ABC 中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝６，ＢＣ＝８，把△ABC 绕AB 边上的点D 顺时针旋转90°得到△A 'B 'C '，A 'C '交AB 于点E ，若ＡＤ＝ＢＥ，则△A 'ＤＥ的面积为 ．分析： 熟记旋转的性质，准确确定旋转角，对应线段对应角，确定相似的三角形是解题的关键．解： 设ＡＤ＝ＢＥ＝ｘ，根据旋转的性质得：∠ＥＤA '＝９０°，ＤＡ＝ＤA '＝ｘ．在直角三角形ＡＢＣ中，因为ＡＣ＝６，ＢＣ＝８，所以ＡＢ＝１０.所以ＤＥ＝１０－２ｘ．因为∠A '＝∠Ａ，所以△A ＢＣ∽△A 'ＥＤ，所EDBC D A AC ='． 所以xx 21086-=，解得：ｘ＝３．所以ＤＥ＝１０－６＝４． 所以△A 'ＤＥ的面积为：4321⨯⨯＝６．所以应该填６． 点评： 找到自己解题需要的相似三角形是解题的关键．巧妙引入方程的思想，也是知识综合应用的直接体现．３．菱形背景下，探求阴影三角形的面积例３ 如图３，菱形ABCD 和菱形ECGF 的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是（ ）Ａ． 3 Ｂ．２ Ｃ． ３ Ｄ．2分析： 要阴影部分的面积，我们采取的基本思路是：（１）求得线段ＣＭ的长，线段ＤＭ的长；（２）求得平行线ＡＢ，ＧＦ之间的距离；（３）阴影的面积＝三角形ＢＤＭ的面积＋三角形ＦＤＭ的面积．解： 如图３，设BF 、CE 相交于点M ，因为菱形ABCD 和菱形ECGF 的边长分别为2和3，所以△BCM ∽△BGF ，所以ＢＣ：ＢＧ＝ＣＭ：ＧＦ，所以２：５＝ＢＤ：３，所以ＣＭ=１．２．所以ＤＭ=２－１．２＝０．８．过点Ｆ作ＦＰ⊥ＢＡ，交ＢＡ的延长线于Ｐ，延长ＦＥ，交ＡＰ于点Ｑ．因为∠Ａ=１２０°，所以∠ＰＱＦ=６０°，所以∠ＰＦＱ=３０°．因为ＦＱ＝２＋３＝５，所以ＯＱ＝２．５．根据勾股定理得： ＰＦ＝22)25(5-＝253．所以△ＢＤＦ的面积＝三角形ＢＤＭ的面积＋三角形ＦＤＭ的面积＝21ＭＤ×ＰＦ＝21×54×253＝3．所以选择Ａ． 点评： 把阴影部分面积分成两个三角形的面积和，然后利用相似三角形对应边成比例求出CM 的长度是解题的关键．４．正方形背景下，探求无限次操作后三角形面积的差例４ 如图４，线段AC=n+1（其中n 为正整数），点B 在线段AC 上，在线段AC 同侧作正方形ABMN 及正方形BCEF ，连接AM 、ME 、EA 得到△AME．当AB=1时，△AME 的面积记为1S ；当AB=2时，△AME 的面积记为2S ；当AB=3时，△AME 的面积记为3S ；…；当AB=n 时，△AME 的面积记为n S ．当n≥2时，n S ﹣1-n S = ．分析： 借助相似三角形，可以将所求的三角形面积转化成两个三角形的面积和．解： 设ＡＥ与ＭＢ交于点Ｄ，当AB=n 时，BC=1．因为ＢＤ∥ＣＥ，所以易证△ＡＢＤ∽△ＡＣＥ，所以ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＣＥ，所以ｎ：（ｎ＋１）＝ＢＤ：１，所以ＢＤ＝1+n n ． 因为△AME 的面积记为n S ，所以n S ＝三角形ＡＭＤ的面积＋三角形ＭＥＤ的面积 ＝21ＭＤ×ＥＦ＋21ＭＤ×ＡＢ=21ＭＤ×ＡＣ＝21（ｎ－1+n n ）×（ｎ＋１）＝212n ． 同理当AB=ｎ－１时，BC=２， 1-n S ＝212)1(-n ． 所以当ｎ≥２时，n S ﹣1-n S ＝212n －212)1(-n ＝212-n ． 点评： 平行线为三角形的相似提供了有力的帮助．５．正方形网格背景下，判断三角形的相似和作图例５ 如图５，在边长为１的小正方形组成的网格中，△ＡＢＣ和△ＤＥＦ的顶点都在格点上，1P ，2P ，3P ，4P ，5P 是△DEF 边上的５个格点，请按要求完成下列各题：（1）试证明三角形△ＡＢＣ为直角三角形；（2）判断△ＡＢＣ和△ＤＥＦ是否相似，并说明理由；（3）画一个三角形，使它的三个顶点为1P ，2P ，3P ，4P ，5P 中的３个格点并且与△ＡＢＣ相似（要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明）．分析： 对于在正方形网格上的三角形相似问题，通常的解题思路是：（１）将三角形的边置于某一个直角三角形中，且为该直角三角形的斜边；（２）设小正方形的边长为１各单位长，确定直角三角形的直角边长；（３）根据勾股定理，求得斜边的长度；（４）选择“三边对应成比例的两个三角形相似”为依据，判断两个三角形是否相似． 解：（1）在直角三角形ＢＡＭ中，根据勾股定理，得ＡＢ＝2242+＝２5， 在直角三角形ＡＣＮ中，根据勾股定理，得ＡＣ＝2212+＝5，在直角三角形ＢＣＰ中，根据勾股定理，得ＢＣ＝2243+＝５，显然有22225520BC AC AB ==+=+,根据勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形,且∠Ａ=９０°．（2）△ABC 和△DEF 相似。

图形的相似（一）一、比例线段1、比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成a ：b=m ：n在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段若四条a ，b ，c ，d 满足或a ：b=c ：d ，那么a ，b ，c ，d 叫做组成比例的项，线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项，线段的d 叫做a ，b ，c 的第四比例项。

如果作为比例内项的是两条相同的线段，即c bb a 或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项。

2、比例的性质（1）基本性质①a ：b=c ：d ad=bc②a ：b=b ：c acb 2（2）更比性质（交换比例的内项或外项）d bc a （交换内项）d c b a a cb d （交换外项）a bc d （同时交换内项和外项）（3）反比性质（交换比的前项、后项）：cda b d c b a （4）合比性质：ddc b b ad c b a （5）等比性质：ban f d b m e c a n f d b n mf e d c b a )0(n m b a d c b a3、黄金分割1．黄金分割定义:点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC:AB=BC:AC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割．点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．2.618.0215AB AC 二、平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

则，，，…AB BC DE EF AB AC DEDF BC AC EFDF 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

北师大版九年级上册第四章图形的相似知识点归纳及例题【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方；3、探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标变化；5、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识点网络】【知识点梳理】要点一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 知识点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等； 2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多形． 知识点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比.3. 比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a :b =c :d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 知识点诠释：（1）若a :b =c :d ，则ad=bc ；（d 也叫第四比例项） （2）若a :b=b :c ，则 =ac （b 称为a 、c 的比例中项）． 4.平行线分线段成比例：基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 知识点二、相似三角形 1. 相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似. 知识点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（三）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.2b知识点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.知识点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3) 相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。