应用统计学 第10章 卡方检验和非参数检验

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解：由表中数据，用Excel可求得 x =120.95， S2=40.582 ，故可作原假设 H0：X~ N (120，402) 将实轴划分为如下7个互不相交的区间。用Excel 的FREQUENCY函数计算数据落在各区间内的频 数，用NORMDIST函数求出各理论频数nPi ，统 计量的计算如表所示。
107 103 89 99 167 192 123 72 94 59 155 141 69 121 136 149 136 120 190 118 105 118 97 104 173 128 8 130 139 212 148 168 135 63 136 111 190 103 140 117 49 123 92 12 179 127 181 144 151 52 143 105 31 57 129 91 121 89 145 128 120 80 68 120 88 103 158 113 142 168 115 107 88 139 75 145 83 60 118 174 142 172 95 107 144 113 223 76 185 155 87 122 146 156 105 114 93 176 140 116
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2.两个以上比例差异的检验
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统计量是观测频数和期望频数差的平方除以每单 元的期望频数，并对表中的2×c个所有单元格取 和求得 2 统计量 的自由度为 (c 1)
因此在显著性水平 下，两个以上源自独立样本的比例差异假设检验的决策规 则为： 如果 (c 1) ，拒绝 H 0 : p1 p 2 ..... pc
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§10.5 单因素方差分析的非参数分析：Kruskal-Wallis秩检验
如果第9章中单因素方差分析的F检验的正态 分布假设条件不符合时，可以使用Kruskal-Wallis 秩检验。Kruskal-Wallis秩检验是两独立总体 Wilcoxon秩和检验的延伸，主要用于检验项独立 总体是否有相等均值。Kruskal-Wallis秩检验和单 因素方差分析的F检验一样有效。
(- , 70 (70, 90 (90, 110 (110, 130 (130, 150 (150, 170 (170, +) 合计
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取显著性水平 = 0.25 (由于原假设H0是我们希望 得到的结果，为使检验结论更具说服力，控制的 重点应是与原假设H0不真而接受H0的概率，故 应取的稍大些)。本例中k = 7，r = 2，k –r -1 = 4。
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为以F(x)为分布函数的随机变量在区间 (ai, ai+1 上 取值的概率，i =1,2,…, k。则当H0为真时，由贝努 里定理，当 n 充分大时， n 次独立重复试验结果的 f n 实际频率 与其概率Pi之间的差异并不显著，于是 显然可以用统计量来刻画它们间总的差异的大小。 其中nPi为理论频数。其中nPi为理论频数。当H0为 真时，下式的值就应当较小
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§10.4 两个独立总体的非参数分析：Wilcoxon秩和检验
如果样本容量很小，并且无法确定样本数据是否来 自正态分布总体，此时可以选择以下两种方法来 分析两独立总体均值间的区别： （1）用不依赖于正态总体假设的Wilcoxon秩和检验； （2）对于数据进行正态转换后使用合并方差的t检验。
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区
间
fi 11 10 18 21 19 10 11 100
nPi 10.56 12.10 17.47 19.74 17.47 12.10 10.56 100
( f i nPi ) 2 nPi
0.0183 0.3645 0.0161 0.0804 0.1340 0.3645 0.0183 0.9961
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非参数检验概述
在总体分布形式已知条件下未知参数检验问题。 但实际问题中总体的分布形式往往是未知的，虽 然根据中心极限定理可以有相当的把握认为大多 数经济变量服从或近似服从正态分布，但有时为 了使所做的统计推断更具说服力，就需要对总体 的分布形式进行检验。
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2 §10.1 总体分布的 检验
检验的基本原理： (1) 设x1, x2, … , xn为总体X的一组样本观察值，F(x) 为某一已知分布的分布函数，1, 2, … , r是F(x)的r 个待定参数，分别是r个参数的点估计，以分别代替 1, 2, … ,r ，作原假设 H0：总体X的分布函数为F(x) (2) 将F(x)的定义域划分为k个互不相交的区间 (ai , ai+1，i =1,2,…, k；记fi为样本观察值x1, x2, … , xn落在 第个区间(ai ,ai+1 内的频数，并记 Pi=P{ai <X≤ ai+1}= F(ai+1)-F(ai )
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行变量 组一 类 1（正向） 类 2（反向） 总计 组二
列变量 总计
x1 n1 x1 n1
x2 n2 x2 n2
X , ( x1 x2 )
n X n, ( n1 n2 )
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为了检验组一样本有关类1的比例是否等于第二组样本有关 类1的比例，即假设检验为： H0 : p1 p2 原假设为两比例之间无显著差异： 备择假设为两比例之间有差异： H1 : p1 p2 2 使用卡方( )检验的基本思路为： (1) 确定统计量为
x1 x2 X p n1 n2 n
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这样，为了计算属于类 1（即列联表中第一行）的期望频数 f e ，用 p 乘以组一 （或组二）的样本容量 n1 （或 n2 ）即可得到；类似的，为了计算属于类 2（即列联 表中第二行）的期望频数 f e ，用 1 p 乘以组一（或组二）的样本容量 n1 （或 n2 ）
2 2 (k r 1)
就拒绝H0，说明总体X的真实分布函数与F(x)间存在显著差 异；否则接受 H0 ，即可以认为两者在水平 下并无显著差 异。
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某厂有一台经常需要维修的设备，该设备中有一个易损坏 的重负荷轴承，设备故障的主要原因是轴承损坏。为了制 定该设备的维修计划和维修预算，需要了解该轴承的寿命 分布。下表给出了 100 个轴承寿命的观察数据，问：该轴 承寿命是否服从正态分布？
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§10.3 两个相关样本比例差异检验
上述几节用 检验来检验比例差异时都要求独立性条件。 然而， 有时检验比例
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间差异的数据来自重复度量或配对取样，因此样本相关。譬如，当希望确定在一段 时期态度、比例、或行为是否发生变化时，这样的情况经常发生。
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应用案例
i
2 ( f nP ) i 2 i nPi i 1 k
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(3) 可以证明，当n充分大时(n≥50)，若H0为真，则统计量
2 ( f nP ) i 2 i nPi i 1 k
近似服从(k -r -1)分布。其中r为分布F(x)中待定参数的个数。 于是在给定显著性水平下，若
2 2
否则，接受 H 0 。
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此时，
x1 x2 xc X p n1 n2 nc n
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应用案例
如果有四家酒店，根据调查数据得到的列联表如 下表所示。问在显著性水平的情况下，顾客会回 到这四家酒店的比例是否相同。
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独立性检验
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假设在上面例子中的酒店顾客满意度的调查中， 向表明不会再次入住酒店的顾客问第二个问题。 即不会再次入住的原因是什么，包括价格、位置、 客房服务和其他等。调查结果的列联表如下表所 示。试问在显著性水平的情况下，不会再次入住 理由与酒店之间是否有联系？
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X (1)
秩 设 X 为一总体，将一容量为 n 的样本观察值按从小到大的次序编号排列成 X (2) X ( n ) ，称 X ( i ) 的足标 i 为 X ( i ) 的秩， i 1, 2, , n 。当其中几个数据相等
时，那么这几个数据的秩取平均值。
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应用案例
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2 2 0.9961 0.25 (4) 5.385
故在水平 = 0.25下接受原假设H0，即可认为该轴 承的使用寿命服从N (120，402)分布。
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§10.2 比例差异的
2 检验（独立样本）
1. 两个比例差异的检验 前面，我们研究了两个比例的Z检验。这部分从不同角度 检验数据。假设检验过程使用近似卡方( )分布的检验 数据。 如果想要比较两个独立样本组的分类变量，可以做两维 的列联表，显示每组的第1类（正向类，如“成功”， “是”等）和第2类（反向类，如“失败”，“否 2 如果 (1) ，拒绝 H 0 否则，接受 H 0 。 为了计算任意单元期望频数，必须知道如果原假设为真，那么两项 比例 p1和 p2是相同的，但要计算的每组样本比例有可能不同。每 组的样本比例都可以作为参数 p1和 p2的估计值。将两个独立比例 参数估计组合起来的统计量比各自独立的比例参数估计提供更多的 信息。用 p 表示两组组合样本属于前面表中类1比例的估计值，则 1 p p 就是两组组合样本中属于类2比例的估计值。使用该表中的符号， 的定义如下式所示。
第10章 卡方检验和非参数检验
本章教学内容：
总体分布的卡方检验； 两个比例差异的卡方检验（独立样本）； 两个以上比例差异的卡方检验（独立样本）； 独立性的卡方检验； 两个比例差异的McNEMAR检验（相关样本）； 两个独立总体的非参数检验（Wilcoxon秩和检验）； 单因素方差分析的非参数检验（Kruskal-Wallis秩检验）
2 ( f f ) 2 o e fe 表格中所有元
fe 为列联表中特定 其中 fo为列联表中特定单元的观测频数， 2 单元的期望频数，因此这里的统计量 是观测频数和期望 频数差的平方除以每单元的期望频数，并对表中的所有单 元格取和求得；