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小学奥数容斥原理教案【篇一：四年级奥数讲义：容斥原理(1)】四年级数学讲义奥数：容斥原理(1)教学目标：1、理解容斥原理，会画图分析其中关系，正确的找出答案。
2、培养学生的逻辑思维和数学思考能力。
3、培养学生良好的书写习惯。
一、教学衔接二、教学内容（一）知识介绍容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=na＋nb－nab。
（二）例题精讲 nanb例1、一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
【思路导航】完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
例2、某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？【分析与解答】已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。
又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。
所以，两题都答得不对的有36－33=3人。
例3、某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？【分析与解答】要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。
容斥问题涉及到一个重要的原理一一包含与排除原理，也称为容斥原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复地计数，应从它们的和中排除重复部分。
这一讲我们先介绍容斥原理1对n个事物，如果采用两种不同的分类标准：按性质a分类与性质b分类（如图1），那么，具有性质a或性质b的事物的个数=Na+Nb-Nad例1•一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有12人，订阅《今日少年报》的有9人，两种报纸都订阅的有5人。
（1）订阅报纸的总人数有多少？（2）两种报纸都没订阅的有多少人？例2•一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会俄语的有18人，两样都不会的有4人，两样都会的有多少人？例3.在1到100的全部自然数中，既不是6的倍数也不是5的倍数的数有多少个？例4•艺术节那天，学校的画廊里展了了每个年级学生的图画作品，其中有23幅画不是五年级的，有21幅画不是六年级的，五、六年级参展的画共有8幅。
其他年级参展的画共有多少幅？练习与思考1•将边长分别为4厘米和5厘米的正方形纸片部分重叠，盖在桌面上（如图6）,已知重叠的部分为9平方厘米，两块正方形纸片盖住桌面的总面积是多少平方厘米？2 . 二（2）班有50名学生，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35人，做完数学作业的有40人，两种作业都做完的有多少人？3.有62名学生，其中会弹钢琴的有11名，会吹竖笛的有56名，两样都不会的有4名，两样都会的有多少名？4 •某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，作文比赛获奖的有14人，数学比赛获奖的有12人，有3人两项比赛都获奖的，两项比赛都没获奖的有多少人？5 •四（1）班有40个学生，其中有25人参加数学小组，23人参加航模水组，有19人两个小组都参加了，那么，有多少人两个小组都没有参加？6 •在一次数学测验中，所有同学都答了第1、2两题，其中答对第1题的有35人，答对第2题的有28人，这两题都答对的有20人，没有人两题都答错。
四年级数学讲义奥数：容斥原理(1)教学目标：1、理解容斥原理，会画图分析其中关系，正确的找出答案。
2、培养学生的逻辑思维和数学思考能力。
3、培养学生良好的书写习惯。
一、教学衔接二、教学内容（一）知识介绍容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=N a＋N b－N ab。
（二）例题精讲例1、一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
【思路导航】完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
例2、某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？【分析与解答】已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。
又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。
所以，两题都答得不对的有36－33=3人。
例3、某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？【分析与解答】要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。
四年级的学生主要学习数学的基础知识和简单的计算方法，容斥原理不属于四年级的数学内容。
但是，我可以为您提供有关容斥原理的简单介绍，以便您更好地理解这个概念。
容斥原理是集合论中的一种计数方法，它用于解决多个集合的组合问题。
具体来说，容斥原理用于计算多个集合的交集、并集和差集的元素个数。
在理解容斥原理之前，我们需要先了解一些相关的概念。
1.集合：集合是由一些确定的、互不相同的元素组成的整体。
2.元素：元素是集合中的个体。
3.交集：两个或多个集合中共有的元素构成的集合。
4.并集：两个或多个集合中所有元素组成的集合。
5.差集：一个集合中不包含另一个集合中的元素所构成的集合。
在使用容斥原理解决问题时，我们通常需要考虑多个集合之间的关系，并利用这些关系来求解问题。
容斥原理的基本思想是，通过抵消重复计算来获得正确的结果。
具体来说，对于多个集合A、B、C...的并集，我们需要计算这些集合中的元素个数；但是，由于不同的集合之间可能存在重复的元素，所以我们需要减去这些重复计算的元素个数，以获得正确的结果。
以三个集合为例，容斥原理的计算公式如下：A∪B∪C，=，A，+，B，+，C，-，A∩B，-，A∩C，-，B∩C，+，A∩B∩C其中，A，表示集合A中元素的个数，A∩B，表示在集合A和集合B 中同时出现的元素个数，依此类推。
通过容斥原理的计算公式，我们可以计算出多个集合的并集的元素个数，从而解决一些相对复杂的计数问题。
综上所述，虽然容斥原理不属于四年级数学的内容范围，但了解容斥原理可以帮助我们扩展数学思维，解决更复杂的问题。
希望上述内容对您有所帮助。
容斥原理森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数，蝙蝠跑过去对仙鹤说；“我有翅膀，我应该是属于鸟类的。
”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了，结果得出森林中一共有 80 种鸟类。
狮子大王又派大象去统计野兽的种类数，蝙蝠听说又来统计兽类了，急忙跑过去对大象说；“我没有羽毛，我应该是属于兽类的。
”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了，结果统计出森林中一共有 60 种兽类。
最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狡猾的狐狸听见了仙鹤和大象的统计结果，高兴地向狮子大王汇报：“这还不简单！森林中共有鸟类和兽类 140 种。
”这个统计正确吗？同学们肯定会说：“不对！蝙蝠被算了两次，应该再减去一，是 139 种。
”这个故事说明了一个数学问题，那就是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。
当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。
由此我们得到逐步排除法（容斥原理）：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。
容斥原理 1如果被计数的事物有 A、B 两类，那么， A 类 B 类元素个数总和= 属于 A 类元素个数+ 属于 B 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数。
即A∪B = A+B - A∩B容斥原理 2如果被计数的事物有 A、B、C 三类，那么， A 类和 B 类和 C 类元素个数总和= A 类元素个数+ B 类元素个数+C 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数—既是 A 类又是 C 类的元素个数—既是 B 类又是 C 类的元素个数+既是 A 类又是 B 类而且是 C 类的元素个数。
即A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C容斥原理 1【例 1】★一次期末考试，某班有 15 人数学得满分，有 12 人语文得满分，并且有 4 人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？【解析】依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A 类元素”，“语文得满分”称为“B 类元素”，“语、数都是满分”称为“既是 A 类又是 B 类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A 类和 B 类元素个数”的总和。
龙文教育个性化辅导授课案教师: 吴香云学生: 常恩泰年级: 四日期: 2014-11-16星期: 日时段: 17:00-20：30 （第 1 次课）课题容斥问题（二）理解容斥问题原理（排除与包含）教学目的教学重难点能运用容斥原理来解决实际中的应用题学习内容与过程一、知识要点在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理二、典型例题例题一：四年级5班有56人，订《小学生优秀作文》的有38人，订《数学大世界》的有42人，每人至少订一种读物，问同时订阅这两种读物的学生有多少人？例题二：某班有42个同学在一项数学竞赛中，答对第一题的有26人，答对第二题的有34人，两题都答对的有20人。
问多少同学两题都没有答对。
例题三：在1到100的自然数中，既不是4的倍数也不是5的倍数的数有多少个？例题四：四年级3班参加广播操比赛，全班排成4行，每行人数相等，常恩泰排的位置是：从前面数第五个，从后面数第7个，问：这个班一共有多少人？例题五：科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有110件不是一年级的，有100件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32件。
问：其他年级参展的作品共有多少件？例题六某班共有30名男生,其中20人参加足球队,12人参加蓝球队,10人参加排球队.已知没有一个人同时参加3个队,且每人至少参加一个队,有6人既参加足球队又参加蓝球队,有2人既参加蓝球队又参加排球队,那么既参加足球队又参加排球队的有人.如图所示,设既参加是球队又参加排球队的人数为x,则依容斥原理,有20+12+10-6-2-x=30,解得x=4.例题七某个班的全体学生进行短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到了优秀。
教案
教材版本：实验版. 学校： .
第一课时
第二课时
本讲教材答案：
呈现问题：
例1 137个
例2 16只
例3 53个
例4 30人
大胆闯关：
1. 13人
2. 最少是6人；最多是20人
3. 18幅
4. 65人
5. 120个
补充习题：
1.今年爸爸和小华年龄共56岁，妈妈和小华年龄共54岁。
爸爸、妈妈年龄共82岁，小华年龄多少岁？
2.一张长10厘米，宽5厘米的长方形纸片，一张面积是40平方厘米的圆形纸片，两张纸片覆盖在桌上的面积是60平方厘米，如图。
求两张纸片重合部分的面积是多少平方厘米？
3.一次数学竞赛只有两道题，参赛的有46人，做对第1题的32人，做对第2题的24人，两道题都做对的有20人，两道题都没有做对的有多少人？
补充习题答案：
1.（56＋54－82）÷2＝14（岁）
答：小华年龄14岁。
2.10×5＝50（平方厘米）
50＋40＝90（平方厘米）
90－60＝30（平方厘米）
答：两张纸片重合部分的面积是30平方厘米。
3.32＋24－20＝36（人）46－36＝10（人）
答：两道题都没有做对的有10人。
第35讲容斥原理一、专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b 分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=N a＋N b－N ab。
Nab NbNa二、精讲精练：例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
练习一1、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？2、四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？练习二1、五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。
那么，有多少人两个小组都没有参加？2、一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人。
两种报纸都没有订阅的有多少人？例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？练习三1、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。
两样都会的有多少人？2、一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。
【小学四年级奥数讲义】容斥原理一、专题简析：容斥问题波及到一个重要原理——包括与清除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包括时，为了不重复计数，应从它们的和中清除重复部分。
容斥原理：对 n 个事物，假如采纳不一样的分类标准， 按性质 a 分类与性质 b 分类（如图），那么拥有性质 a 或性质 b 的事物的个数 =N a ＋N b －N ab 。
NaNabNb二、精讲精练：例 1：一个班有 48 人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有 37 人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42 人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都达成的人数。
练 习 一1、五年级有 122 名学生参加语文、数学考试，每人起码有一门功课获得优异成绩。
此中语文成绩优异的有 65 人，数学优异的有 87 人。
语文、数学都优异的有多少人？2、四年级一班有54 人，定阅《小学生优异作文》和《数学大世界》两种读物的有 13 人，订《小学生优异作文》的有45 人，每人起码订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？例 2：某班有 36 个同学在一项测试中，答对第一题的有25 人，答对第二题的有23 人，两题都答对的有15 人。
问多少个同学两题都答得不对？练习二1、五（ 1）班有 40 个学生，此中25 人参加数学小组， 23 人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。
那么，有多少人两个小组都没有参加？2、一个班有 55 名学生，定阅《小学生数学报》的有32 人，定阅《中国少年报》的有 29 人，两种报纸都定阅的有25 人。
两种报纸都没有定阅的有多少人？例 3：某班有 56 人，参加语文比赛的有 28 人，参加数学比赛的有 27 人，假如两科都没有参加的有 25 人，那么同时参加语文、数学两科比赛的有多少人？练习三1、一个旅游社有 36 人，此中会英语的有 24 人，会法语的有 18 人，两样都不会的有 4 人。
教学设计容斥问题一本讲学习目标理解并掌握容斥问题。
二要点难点考点剖析容斥问题波及到一个重要原理——包括和清除原理。
也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包括时，为了不重复的计数，应从它们的和中清除重复部分。
三观点分析容斥原理：对几个事物，假如采纳两种不一样的分类标准，按性质1和性质2分类，那么拥有性质1或性质2的事物个数等于性质1加上性质2减去它们的共同性质。
四例题解说一班有48人，班主任在班会上问：“谁做完了语文作业请举手”有37人举手，又问：“谁做完了数学作业请举手”有42人举手，最后问：“谁语文、数学作业都没做完请举手”结果没有人举手。
求这个班语文、数学作业都做完的人数是多少个四年级一班有 54人，定阅《小学生优异作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，定阅《小学生优异作文》的有 45人，每人起码定阅一种读物，定阅《数学大世界》的有多少人某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有 25人，答对第二题的人有23人，两题都答对的有人。
问多少个同学两题都答的不对某班有56人，参加语文比赛的有28人，参加数学比赛的有27人，假如两科都没有参加的有25人，那么参加语文、数学两科比赛的有多少人在1到100的所有自然数中，既不是5的倍数，也不是6的倍数的数有多少个光明小学举办学生书法展览。
学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，此中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品一共有10幅，其余年级参展的书法作品共有多少幅学校文艺组每人起码会演奏一种乐器，已知会拉手提琴的有 24人，会弹电子琴的有17人，此中两样都会的有8人。
这个文艺组一共有多少人一个班有55名学生，定阅《小学生数学报》的有阅的有25人。
两种报纸都没有定阅的有多少人32人，定阅《中国少年报》的有29人，两种都订的有一个俱乐部有103人，此中会下中国象棋的有12人。
问这个俱乐部里两种棋都会下的有多少人69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下100个人参加测试，要求回答五道试题，答对第一题的有81人，答对第二题的有91而且规定凡答对3题或3题以上的为测试合格。
