高三数学一轮 第9章 单元总结与测试精品复习学案

第五讲 古典概型知识梳理·双基自测知识梳理知识点一 基本事件的特点(1)任何两个基本事件是__互斥__的．(2)任何事件都可以表示成__基本事件__的和(除不可能事件)． 知识点二 古典概型的定义具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件__只有有限个__. (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性__相等__. 知识点三 古典概型的概率公式 P (A )＝__A 包含的基本事件的个数基本事件的总数__.重要结论1．任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和．2．求试验的基本事件数及事件A 包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图法．双基自测题组一 走出误区1．(多选题)下列结论中正确的是( CD )A ．掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件B ．从市场上出售的标准为500±5 g 的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型C ．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为13D ．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2 题组二 走进教材2．(P 133T3改编)袋中装有3个白球，2个黄球，1个黑球，从中任取两球，则取出的两球有黑球的概率为__13__，两球不同色的概率为__1115__.[解析] 记“取出两球有黑球”为事件A ，则P (A )＝C 15C 26＝515＝13，两球不同色的取法有11种，记“取出两球不同色”为事件B ，则P (B )＝C 13C 12＋C 13C 11＋C 12C 11C 25＝1115. 题组三 考题再现3．(2020·河南百校联盟联考)2019年7月1日，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾要按照“可回收物”“有害垃圾”“湿垃圾”“干垃圾”的分类标准进行分类，没有垃圾分类和未投放到指定垃圾桶内等会被罚款和行政处罚，若某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投放到楼下的垃圾桶，若楼下分别放有“可回收物”“有害垃圾”“湿垃圾”“干垃圾”四个垃圾桶，则该居民会被罚款和行政处罚的概率为( D )A ．13B ．23C ．14D ．34[解析] 厨房里产生的“湿垃圾”只能丢到放“湿垃圾”的垃圾桶，该上海居民向四种垃圾桶内随意的丢垃圾，有4种可能，投放错误有3种结果，故会被罚款和行政处罚的概率为34.答案D ．4．(2019·课标全国Ⅲ，3)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( D )A ．16B ．14C ．13D ．12[解析] 记“两位女同学相邻”为“事件A ”，则P (A )＝A 23A 22A 44＝12，故选D ．5．(2019·课标全国Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( B )A ．23B ．35C ．25D ．15[解析] 解法一：记5只兔子分别为A ，B ，C ，D ，E ，其中测量过某项指标的3只兔子为A ，B ，C ，则从这5只兔子中，随机取出3只的基本事件有ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE ，BCD ，BCE ，BDE ，CDE ，共10种，其中恰有2只测量过该指标的基本事件有ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，BCD ，BCE ，共6种，所以所求事件的概率P ＝610＝35.故选B ．解法二：记“恰有2只测量过该指标”为事件A ，则P (A )＝C 23C 12C 35＝35，故选B ．KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破·互动探究考点一 简单的古典概型问题——自主练透例1 (1)(2017·课标全国Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( D )A ．110B ．15C ．310D ．25(2)(2018·课标Ⅱ理)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( C )A ．112B ．114C ．115D ．118(3)(2019·全国Ⅰ，6)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( A )A ．516B ．1132C ．2132D ．1116(4)(2019·湖北省调研)生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为( C )A ．760B ．16C ．1360D ．14[解析] (1)解法一：画出树状图如图：可知所有的基本事件共有25个，满足题意的基本事件有10个，故所求概率P ＝1025＝25.故选D ．解法二：P ＝C 14＋C 13＋C 12＋C 11C 15·C 15＝25.故选D ． (2)由题意，知不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，而和为30的有7和23,11和19,13和17，共3对，所以P ＝3C 210＝115.(3)重卦是由从下到上排列的6个爻组成，而爻有“阳爻”和“阴爻”两种，故所有的重卦共有26＝64种，重卦中恰有3个“阳爻”的共有C 36×C 33＝20种．故所求概率P ＝2064＝516，故选A ．(4)解法一：当“数”位于第一位时，礼和乐相邻有4种情况，礼和乐顺序有2种，其他剩下的有A 33种情况，由间接法得到满足条件的情况有A 55－C 14A 22A 33当“数”在第二位时，礼和乐相邻有3种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有A 33种，由间接法得到满足条件的情况有A 55－C 13A 22A 33共有：A 55－C 13A 22A 33＋A 55－C 14A 22A 33种情况，不考虑限制因素，总数有A 66种，故满足条件的事件的概率为：A 55－C 13A 22A 33＋A 55－C 14A 22A 33A 66＝1360，故答案为C ．解法二：当“数”位于第一位时，有A 33A 24种；当“数”位于第二位时，有C 12A 44＋C 13A 22A 22种，总排法有A 66种，∴所求概率P ＝A 33A 24＋C 12A 44＋C 13A 22A 22A 66＝1360. 名师点拨 ☞求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A 包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择．〔变式训练1〕(1)(2019·四川省内江市模拟)某城市有连接8个小区A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 和市中心O 的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A 前往小区H ，则他不经过市中心O 的概率是( A )A ．13B ．23C ．14D ．34(2)(2020·广东百校联考)十二生肖，又称十二属相，中国古人拿十二种动物来配十二地支，组成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十二属相．现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为礼物，甲同学喜欢马、牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，则这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是__388__.[解析] (1)此人从小区A 前往H 的所有最短路径为： A →B →C →E →H ，A →B →O →E →H ， A →B →O →G →H ，A →D →O →E →H ，A →D →O →G →H ，A →D →F →G →H ，共6条(或C 24＝6)．记“此人不经过市中心O ”为事件M ，则M 包含的基本事件数为2，∴P (M )＝26＝13，故选A ．(2)依题意可分类为①甲同学选马，则有C 12C 19＝18种，②甲同学选牛，则有C 13C 19＝27种．所有情况有A 312种，则这三位同学选取的礼物都满意的概率P ＝45A 312＝388. 考点二 较复杂的古典概型问题——多维探究角度1 古典概型与平面向量的交汇例2 把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p ＝(m ，n )，q ＝(2,1)，则向量p ∥q 的概率为 ( B )A ．118B ．112C ．19D ．16[解析] ∵向量p ∥q ，∴m －2n ＝0，∴m ＝2n ，满足条件的(m ，n )有3个：(2,1)，(4,2)，(6,3)，又基本事件的总数为36，∴P ＝336＝112，故选B ．角度2 古典概型与解析几何的交汇例3 (2019·甘肃兰州模拟)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，其中a ∈{1,2,3,4}，b∈{1,2,3,4}，且a ，b 取到其中每个数都是等可能的，则直线l ：y ＝x 与双曲线C 的左、右支各有一个交点的概率为( B )A ．14B ．38C ．12D ．58[解析] 直线l ：y ＝x 与双曲线C 的左、右支各有一个交点，则ba>1，基本事件总数为4×4＝16，满足条件的(a ，b )的情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个或C 13＋C 12＋C 11＝6(个)，故概率为38. 角度3 古典概型与函数的交汇例4 (2019·吉林省实验中学月考)已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2x ＋1，若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( D )A ．79B ．13C ．59D ．23[解析] 求导得f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b 2，要满足题意需x 2＋2ax ＋b 2＝0有两个不等实根，即Δ＝4(a 2－b 2)>0，即a >b ，又a ，b 的取法共有3×3＝9种，其中满足a >b 的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)共6种，故所求的概率为p ＝69＝23.名师点拨 ☞较复杂的古典概型问题的求解方法解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件总数和随机事件中所含基本事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．〔变式训练2〕(1)(角度1)(2019·宿迁模拟)已知k ∈Z ，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,4)，若|AB →|≤4，则△ABC 是直角三角形的概率是__37__.(2)(角度2)连掷骰子两次得到的点数分别记为a 和b ，则使直线3x －4y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝4相切的概率为( B )A ．16B ．118C ．19D ．13(3)(角度3)(2020·四川威远中学月考)若a ，b ∈{－1,0,1,2}，则函数f (x )＝ax 2＋2x ＋b 有零点的概率为( A )A ．1316B ．78C ．34D ．58[解析] (1)因为|AB →|＝k 2＋1≤4，所以－15≤k ≤15，因为k ∈Z ，所以k ＝－3，－2，－1,0,1,2,3，当△ABC 为直角三角形时，应有AB ⊥AC ，或AB ⊥BC ，或AC ⊥BC ，由AB →·AC →＝0，得2k ＋4＝0，所以k ＝－2，因为BC →＝AC →－AB →＝(2－k,3)，由AB →·BC →＝0，得k (2－k )＋3＝0，所以k ＝－1或3，由AC →·BC →＝0，得2(2－k )＋12＝0，所以k ＝8(舍去)，故使△ABC 为直角三角形的k 值为－2，－1或3，所以所求概率P ＝37.(2)连掷骰子两次总的试验结果有36种，要使直线3x －4y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝4相切，则|3a －4b |5＝2，即满足|3a －4b |＝10，符合题意的(a ，b )有(6,2)，(2,4)，共2种，由古典概型的概率计算公式可得所求概率P ＝118，故选B ．(3)a ，b ∈{－1,0,1,2}，(a ，b )的取法有16种，函数y ＝f (x )有零点，即4－4ab ≥0，∴ab ≤1，由表abba－112－1 1 0 －1 －2 0 0 0 0 0 1 －1 0 1 2 2－224∴所求概率为1316，故选A ．考点三 古典概率与统计的综合——师生共研例 5 (2019·黑龙江哈尔滨模拟)春节期间，由于高速公路继续实行小型车免费，因此高速公路上车辆较多，某调查公司在某城市从七座以下小型汽车中按进入服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段：[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]得到如图的频率分布直方图：(1)此调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？(2)求这40辆小型车辆车速的众数、中位数以及平均数的估计值(同一组数据以该区间的中点值作代表)；(3)若从车速在[60,70)的车辆中任抽取2辆，求至少有一辆车的车速在[65,70)的概率．[解析](1)由题意知这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一个系统抽样．故调查公司在采样中，用到的是系统抽样．(2)众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值为75＋802＝77.5.设中位数所对应的车速为x km/h，则中位数的估计值为0.01×5＋0.02×5＋0.04×5＋0.06×(x－75)＝0.5，解得x＝77.5，即中位数的估计值为77.5.平均数的估计值为(62.5×0.01＋67.5×0.02＋72.5×0.04＋77.5×0.06＋82.5×0.05＋87.5×0.02)×5＝77.(3)从题图中可知，车速在[60,65)的车辆数为m1＝0.01×5×40＝2(辆)，车速在[65,70)的车辆数为m2＝0.02×5×40＝4(辆)．记“至少有一辆车的速度在[65,70)内”为事件A，则P(A)＝C14C12＋C24C26＝1415(或P(A)＝1－P(A－)＝1－C22C26＝1415.名师点拨☞求解古典概型与其他知识交汇问题的思路解决古典概型与其他知识交汇问题，其关键是将平面向量、直线与圆、函数的单调性及方程的根情况转化为概率模型，再按照求古典概型的步骤求解．〔变式训练2〕(2020·河南安阳调研)为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内A，B，C三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位，现通过分层抽样的方法抽取了这三类行业的20个单位，其考评分数如下：A 类行业：85,82,77,78,83,87；B 类行业：76,67,80,85,79,81；C 类行业：87,89,76,86,75,84,90,82.(1)计算该城区这三类行业中每类行业的单位个数；(2)若从抽取的A 类行业这6个单位中，再随机选取3个单位进行某项调查，求选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．[解析] (1)由题意，得抽取的A ，B ，C 三类行业单位个数之比为33 4. 由分层抽样的定义，有A 类行业的单位个数为310×200＝60，B 类行业的单位个数为310×200＝60，C 类行业的单位个数为410×200＝80，故该城区A ，B ，C 三类行业中每类行业的单位个数分别为60,60,80.(2)记选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位为事件M . 又A 类行业的6个单位中有4个“量级”单位，记2个“非量级”单位，P (M )＝C 24C 12＋C 14C 36＝45(或P (M )＝1－P (M －)＝1－C 34C 36＝45)．MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名师讲坛·素养提升 轻松破解古典概型问题的技巧例 6 (2019·重庆模拟)小波以游戏的方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ，若X >0就去打球，若X ＝0就去唱歌，若X <0就去下棋．(1)写出数量积X 的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．[解析] (1)X 的所有可能取值为－2，－1,0,1. (2)数量积为－2的有OA 2→·OA 5→，共1种；数量积为－1的有OA 1→·OA 5→，OA 1→·OA 6→，OA 2→·OA 4→，OA 2→·OA 6→，OA 3→·OA 4→，OA 3→·OA 5→，共6种； 数量积为0的有OA 1→·OA 3→，OA 1→·OA 4→，OA 3→·OA 6→，OA 4→，OA 6→，共4种； 数量积为1的有OA 1→·OA 2→，OA 2→·OA 3→，OA 4→·OA 5→，OA 5→·OA 6→，共4种． 故所有可能的情况共有15种． 所以小波去下棋的概率为P 1＝715；因为去唱歌的概率为P 2＝415，所以小波不去唱歌的概率P ＝1－P 2＝1－415＝1115.名师点拨 ☞求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解．如果采用解法一，一定是将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用第二种，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．〔变式训练3〕(2020·聊城模拟)元旦前夕，某校高三某班举行庆祝晚会，人人准备了才艺，由于时间限制不能全部展示，于是找四张红色纸片和四张绿色纸片上分别写1,2,3,4，确定是由谁展示才艺的规则如下：①每个人先分别抽取红色纸片和绿色纸片各一次，并将上面的数字相加的和记为X ； ②当X ≤3或X ≥6时，即有资格展示才艺；当3<X <6时，即被迫放弃展示． (1)请你写出红绿纸片所有可能的组合(例如(红2，绿3)，(红3，绿2))． (2)求甲同学能取得展示才艺资格的概率． [解析] (1)红绿卡片所有可能的组合为：(2)从(1)满足当X≤3或X≥6的红绿卡片组合对有：(红1，绿1)，(红1，绿2)，(红2，绿1)，(红2，绿4)，(红3，绿3)，(红3，绿4)，(红4，绿2)，(红4，绿3)，(红4，绿4)共9个．所以甲同学取得展示才艺资格的概率为916.。

第九章 平面解析几何1. （原创）设m 为常数，则过点A （2，－1），B （2，m ）的直线的倾斜角是 Ｗ. 答案：90°解析：因为过点A （2，－1），B （2，m ）的直线x ＝2垂直于x 轴，故其倾斜角为90°. 2. （必修2P 80练习1改编）若过点M （－2，m ），N （m ，4）的直线的斜率等于1，则m 的值为 Ｗ.答案：1解析：由1＝4－mm ＋2，得m ＋2＝4－m ，解得m ＝1.3. （原创）若直线l 的斜率k 的变化范围是[－1，3]，则它的倾斜角的变化范围是 Ｗ.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析：由－1≤k≤3，即－1≤tan α≤3，∴ α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.4. （必修2P 80练习6改编）已知两点A （4，0），B （0，3），点C （8，a ）在直线AB 上，则a ＝ Ｗ.答案：－3解析：由k AB ＝k BC 得3－4＝a －38，解得a ＝－3.5. （必修2P 80练习4改编）若直线l 沿x 轴的负方向平移2个单位，再沿y 轴的正方向平移3个单位后，又回到原来的位置，则直线l 的斜率为 Ｗ.答案：－32解析：设直线上任一点为（x ，y ），平移后的点为（x －2，y ＋3），利用斜率公式得直线l 的斜率为－32.1. 直线倾斜角的定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转至和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角，并规定：与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°；直线的倾斜角α的取值范围是[0，π）Ｗ.2. 直线斜率的定义倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k 表示，即k ＝tan α.由正切函数的单调性可知，倾斜角不同的直线其斜率也不同.3. 过两点的斜率公式过两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）的直线，当x 1≠x 2时，斜率公式为k ＝tan α＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点的顺序无关；当x 1＝x 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°Ｗ.[备课札记], 1 直线的倾斜角和斜率之间的关系), 1) 如果三条直线l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3，其中l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋2y ＝0，l 3：x ＋3y ＝0，则α1，α2，α3从小到大的排列顺序为 Ｗ.答案：α1＜α2＜α3解析：由tan α1＝k 1＝1>0，所以α1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.tan α2＝k 2＝－12<0，所以α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α2>α1.tan α3＝k 3＝－13<0，所以α3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α3>α1，而－12<－13，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，所以α3>α2.综上，α1<α2<α3.变式训练已知经过两点A （4，2y ＋1），B （2，－3）的直线的倾斜角为3π4，则y 的值为 Ｗ.答案：－3解析：由2y ＋1－（－3）4－2＝2y ＋42＝y ＋2＝tan 3π4，得y ＋2＝－1，所以y ＝－3., 2 求直线的倾斜角和斜率) , 2) 已知两点A （－1，－5），B （3，－2），直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求直线l 的斜率.解：设直线l 的倾斜角为α，则直线AB 的倾斜角为2α，由题意可知tan 2α＝34，∴ 2tan α1－tan 2α＝34. 整理得3tan 2α＋8tan α－3＝0，解得tan α＝13或tan α＝－3.∵ tan 2α＝34>0，∴ 0°<2α<90°，∴ 0°<α<45°，∴ tan α>0，故直线l 的斜率为13.变式训练如图，已知直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1⊥l 2，求直线l 1，l 2的斜率.解：直线l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan 30°＝33. ∵ 直线l 2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴ 直线l 2的斜率k 2＝tan 120°＝tan （180°－60°）＝－tan 60°＝－ 3. , 3 求直线的倾斜角和斜率的取值范围) , 3) 已知两点A （－3，4），B （3，2），过点P （1，0）的直线l 与线段AB 有公共点.（1） 求直线l 的斜率k 的取值范围； （2） 求直线l 的倾斜角α的取值范围. 解：如图，由题意可知，k PA ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1.（1） 要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞）.（2） 由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间. 又PB 的倾斜角是45°，PA 的倾斜角是135°， 所以α的取值范围是[45°，135°]. 变式训练若直线mx ＋y ＋1＝0与连结点A （－3，2），B （2，3）的线段相交，求实数m 的取值范围.解：直线的斜率为k ＝－m ，且直线经过定点P （0，－1），因为直线PA ，PB 的斜率分别为－1，2，所以斜率k 的取值范围是（－∞，－1]∪[2，＋∞），即实数m 的取值范围是（－∞，－2]∪[1，＋∞）.1. 已知A （－1，23），B （0，3a ），C （a ，0）三点共线，则此三点所在直线的倾斜角α的大小是 Ｗ.答案：120°解析：若a ＝0，则点B ，C 重合，不合题意.由A ，B ，C 三点共线得k AB ＝k BC ，即3a －230＋1＝0－3a a －0，解得a ＝1，所以B （0，3）.此三点所在直线的斜率k AB ＝3－230＋1＝－3，即tan α＝－ 3.又0°≤α＜180°，所以α＝120°.2. 直线xcos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是 .答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π 解析：由直线的方程可知其斜率k ＝－cos α3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33.设直线的倾斜角为θ，则tan θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33，且θ∈[0，π），所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π. 3. 已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x≤3，求yx的最大值和最小值.解：如图，由于点（x ，y ）满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x≤3可知，点P （x ，y ）在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别为A （2，4），B （3，2）.由于y x 的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，所以y x 的最大值为2，最小值为23.4. 已知直线kx ＋y －k ＝0与射线3x －4y ＋5＝0（x≥－1）有交点，求实数k 的取值范围.解：kx ＋y －k ＝0⇒k （x －1）＋y ＝0，直线过定点（1，0）⇒由题意作图可得：由题意可看出： k∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞.（或者由两直线方程联立，消去y 得x ＝4k －53＋4k ≥－1，即4k －14k ＋3≥0⇒k ≥14或k ＜－34）1. 已知x 轴上的点P 与点Q （－3，1）连线所成直线的倾斜角为30°，则点P 的坐标为 Ｗ.答案：（－23，0）解析：设P （x ，0），由题意得k PQ ＝tan 30°＝33，即1－3－x ＝33，解得x ＝－23，故点P 的坐标为（－23，0）.2. 如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则它们的大小关系为 Ｗ.答案：k 1＜k 3＜k 2 解析：直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2.3. 已知函数f （x ）＝asin x －bcos x.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为 Ｗ.答案：3π4解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 知，函数f （x ）的图象关于直线x ＝π4对称，所以f （0）＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，所以－b ＝a ，所以直线ax －by ＋c ＝0的斜率为a b ＝－1.设直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为α，则tan α＝－1，因为α∈[0，π），所以α＝3π4，即直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为3π4.4. 若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是 Ｗ.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2 解析：如图，直线l ：y ＝kx －3过定点P （0，－3）.又A （3，0），所以k PA ＝0－（－3）3－0＝33，所以直线l 的斜率范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，由于直线的倾斜角的取值范围为[0，π），所以满足条件的直线l 的倾斜角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2.1. 求斜率要熟记斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标（x 1≠x 2）时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率.当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.2. 要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，倾斜角与斜率的关系是k ＝tanα（α≠90°），其中α为倾斜角，因此求倾斜角的取值范围通常需从斜率的范围入手，而求斜率的范围则常需考虑倾斜角的取值范围，但都需要利用正切函数的性质，借助图象或单位圆数形结合，注意直线倾斜角的范围是[0，π），而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论.由正切函数图象可以看出当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k∈[0，＋∞）；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k∈（－∞，0）.第2课时 直线的方程（对应学生用书（文）123～124页、（理）128～129页）1. （必修2P 82练习1（1）～（4）改编）过点P （－2，0），且斜率为3的直线的方程是 Ｗ.答案：y ＝3x ＋6解析：设所求直线方程为y ＝3x ＋b ，由题意可知3×（－2）＋b ＝0，∴ b ＝6，故y ＝3x ＋6.2. （必修2P 87练习4改编）如果ax ＋by ＋c ＝0表示的直线是y 轴，则系数a ，b ，c 满足条件 Ｗ.答案：a≠0且b ＝c ＝0解析：ax ＋by ＋c ＝0表示的直线是y 轴，即x ＝0，∴ b ＝c ＝0，a ≠0.3. （必修2P 87练习1改编）直线x 3－y4＝1在两坐标轴上的截距之和为 Ｗ.答案：－1解析：令x ＝0，得y ＝－4；令y ＝0，得x ＝3. 故直线在两坐标轴上的截距之和为－4＋3＝－1.4. （必修2P 85练习4改编）下列说法中正确的是 Ｗ.（填序号） ① 经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y －y 0＝k （x －x 0）表示； ② 经过定点A （0，b ）的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示；③ 不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb＝1表示；④ 经过任意两个不同的点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）的直线都可以用方程（y －y 1）（x 2－x 1）＝（x －x 1）（y 2－y 1）表示.答案：④解析：对于①②，斜率有可能不存在，对于③，截距也有可能为0. 5. （必修2P 85练习2（2）（3）改编）若一直线经过点P （1，2），且在y 轴上的截距与直线2x ＋y ＋1＝0在y 轴上的截距相等，则该直线的方程是 Ｗ.答案：3x －y －1＝0解析：直线2x ＋y ＋1＝0在y 轴上的截距为－1，由题意，所求直线过点（0，－1），又所求直线过点P （1，2），故由两点式得直线方程为y ＋12＋1＝x －01－0，即3x －y －1＝0.1. 直线方程的五种形式111222（1） 当x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1Ｗ. （2） 当x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1Ｗ. （3） 当x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为x ＝0Ｗ. （4） 当x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0时，直线即为x 轴，方程为y ＝0Ｗ. （5） 直线的斜率k 与倾斜角α之间的关系如下表：若点P 1，P 2的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），且线段P 1P 2的中点M 的坐标为（x ，y ），则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式., 1 求直线方程), 1) 已知直线l 过点P （5，2），分别求满足下列条件的直线方程. （1） 直线l 在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍；（2） 直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为52.解：（1） 当直线l 过原点时，直线l 的斜率为25，∴ 直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；当直线l 不过原点时，设直线方程为x 2a ＋y a ＝1，将x ＝5，y ＝2代入得a ＝92，∴ 直线方程为x ＋2y －9＝0.综上，直线l 的方程为2x －5y ＝0或x ＋2y －9＝0. （2） 显然直线与坐标轴不垂直. ∵ 直线l 经过点P （5，2），且能与坐标轴围成三角形，∴ 可设直线l 的方程为y －2＝k （x －5）（k≠0），则直线在x 轴上的截距为5－2k，在y 轴上的截距为2－5k ，由题意，得12|5－2k |·|2－5k|＝52，即（5k －2）2＝5|k|.当k>0时，原方程可化为（5k －2）2＝5k ，解得k ＝15或k ＝45；当k<0时，原方程可化为（5k －2）2＝－5k ，此方程无实数解；故直线l 的方程为y －2＝15（x －5）或y －2＝45（x －5），即x －5y ＋5＝0或4x －5y －10＝0.变式训练求过点（－3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程.解：由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y 12－a ＝1，又直线过点（－3，4），从而－3a＋412－a＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. , 2 含参直线方程问题), 2) 已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0 （k∈R ）. （1） 求证：直线l 过定点；（2） 若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；（3） 若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程.（1） 证明：直线l 的方程是k （x ＋2）＋（1－y ）＝0， 令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1， ∴ 无论k 取何值，直线l 总经过定点（－2，1）.（2） 解：由方程知，当k≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k≥1，解得k>0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k≥0.（3） 解：由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B （0，1＋2k ）.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k>0，解得k>0.∵ S ＝12·OA ·OB ＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋2k k ·|1＋2k|＝12·（1＋2k ）2k ＝12·⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×（2×2＋4）＝4，“＝”成立的条件是k>0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴ S min ＝4，此时l ：x －2y ＋4＝0. 变式训练已知直线l 的方程为（m 2－2m －3）x ＋（2m 2＋m －1）y ＋6－2m ＝0. （1） 求实数m 的取值范围；（2） 若直线l 的斜率不存在，求实数m 的值；（3） 若直线l 在x 轴上的截距为－3，求实数m 的值； （4） 若直线l 的倾斜角是45°，求实数m 的值. 解：（1） 当x ，y 的系数不同时为零时，方程表示一条直线，令m 2－2m －3＝0，解得m ＝－1或m ＝3；令2m 2＋m －1＝0解得m ＝－1或m ＝12.所以实数m 的取值范围是（－∞，－1）∪（－1，＋∞）.（2） 由（1）易知，当m ＝12时，方程表示的直线的斜率不存在.（3） 依题意，有2m －6m 2－2m －3＝－3，所以3m 2－4m －15＝0，所以m ＝3或m ＝－53，由（1）知所求m ＝－53.（4） 因为直线l 的倾斜角是45°，所以斜率为1.由－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，解得m ＝43或m ＝－1（舍去）.所以当直线l 的倾斜角为45°时，m ＝43., 3 直线方程的综合应用), 3) 为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪（如图），另外△EFA 内部有一文物保护区不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解：如图，建立平面直角坐标系，则E （30，0），F （0，20），∴ 线段EF 的方程为x 30＋y20＝1（0≤x≤30）.在线段EF 上取点P （m ，n ），作PQ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ， 设矩形PQCR 的面积为S ， 则S ＝PQ·PR＝（100－m ）（80－n ）.又m 30＋n 20＝1（0≤m≤30），∴ n ＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 30.∴ S ＝（100－m ）⎝⎛⎭⎪⎫80－20＋23m ＝－23（m －5）2＋18 0503（0≤m≤30）.∴ 当m ＝5时，S 有最大值，∴ 当矩形草坪的两边在BC ，CD 上，一个顶点在线段EF 上，且这个顶点距AD 边5 m 时，草坪面积最大.备选变式（教师专享）如图，互相垂直的两条道路l 1，l 2相交于点O ，点P 与l 1，l 2的距离分别为2千米、3千米，过点P 建一条直线道路AB ，与l 1，l 2分别交于A ，B 两点.（1） 当∠BAO＝45°时，试求OA 的长；（2） 若使△AOB 的面积最小，试求OA ，OB 的长.解：以l 1为x 轴，l 2为y 轴，建立平面直角坐标系，则O （0，0），P （3，2）. （1） 由∠BAO＝45°知，OA ＝OB ，可设A （a ，0），B （0，a ）（a ＞0），直线l 的方程为x a ＋ya＝1.∵ 直线l 过点P （3，2），∴ 3a ＋2a＝1⇒a ＝5，即OA ＝5千米. （2） 设A （a ，0），B （0，b ）（a ＞0，b ＞0），则直线l 的方程为x a ＋yb＝1.∵ 直线l 过点P （3，2），∴ 3a ＋2b ＝1，b ＝2aa －3（a ＞3）.从而S △ABO ＝12a ·b ＝12a ·2a a －3＝a 2a －3，令a －3＝t ，t ＞0，则a 2＝（t ＋3）2＝t 2＋6t ＋9，故有S △ABO ＝t 2＋6t ＋9t ＝t ＋9t ＋6（t ＞0）.设f （t ）＝t ＋9t＋6，可证f （t ）在（0，3）上单调递减，在（3，＋∞）上单调递增，∴ 当t ＝3时，f （t ）min ＝f （3）＝12，此时a ＝6，b ＝4，直线l 的方程为x 6＋y4＝1，即OA ＝6千米，OB ＝4千米.1. 若直线（2m 2＋m －3）x ＋（m 2－m ）y ＝4m －1 在x 轴上的截距为1，则实数m 的值是 Ｗ.答案：2或－12解析：令y ＝0，则（2m 2＋m －3）x ＝4m －1，∴ x ＝4m －12m 2＋m －3＝1，∴ m ＝2或－12.2. 若方程（a 2－a －2）x ＋（a 2＋a －6）y ＋a ＋1＝0表示垂直于y 轴的直线，则a 为 Ｗ.答案：－1解析：因为方程表示垂直于y 轴的直线，所以a 2－a －2＝0且a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1.3. 已知直线l 过点M （1，1），且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点.当OA ＋OB 取得最小值时，直线l 的方程是 Ｗ.答案：x ＋y －2＝0解析：设A （a ，0），B （0，b ）（a>0，b>0），直线l 的方程为x a ＋yb＝1，已知直线l 过点M （1，1），则OA ＋OB ＝a ＋b ＝（a ＋b ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.4. 已知直线l 过点（0，5），且在两坐标轴上的截距之和为2，则直线l 的方程为 Ｗ.答案：5x －3y ＋15＝0解析：∵ 直线过点（0，5），∴ 直线在y 轴上的截距为5. ∵ 在两坐标轴上的截距之和为2， ∴ 直线在x 轴上的截距为－3.∴ 直线l 的方程为x －3＋y5＝1，即5x －3y ＋15＝0.5. 已知在△ABC 中，A （1，－4），B （6，6），C （－2，0）.求（1） △ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； （2） BC 边的中线所在直线的一般式方程和截距式方程. 解：（1） 平行于BC 边的中位线就是AB ，AC 中点的连线.因为线段AB ，AC 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得6x －8y －13＝0， 化为截距式方程为x 136－y138＝1.（2） 因为BC 边上的中点为（2，3），所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即7x －y －11＝0，化为截距式方程为x 117－y11＝1.1. 若方程（2m 2＋m －3）x ＋（m 2－m ）y －4m ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足条件 Ｗ.答案：m≠1解析：2m 2＋m －3，m 2－m 不能同时为0.2. 若直线（2t －3）x ＋2y ＋t ＝0不经过第二象限，则t 的取值范围是 Ｗ.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 解析：直线方程可化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－t x －t 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧32－t≥0，－t2≤0，解得0≤t≤32.3. 不论m 取何值，直线（m －1）x －y ＋2m ＋1＝0恒过定点 . 答案：（－2，3）解析：把直线方程（m －1）x －y ＋2m ＋1＝0， 整理得（x ＋2）m －（x ＋y －1）＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3.4. 已知直线x ＋2y ＝2与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点.若动点P （a ，b ）在线段AB 上，则ab 的最大值为 Ｗ.答案：12解析：由题意知A （2，0），B （0，1），所以线段AB 的方程可表示为x2＋y ＝1，x ∈[0，2].又动点P （a ，b ）在线段AB 上，所以a 2＋b ＝1，a ∈[0，2].又a 2＋b≥2ab 2，所以1≥2ab2，解得0≤ab≤12，当且仅当a 2＝b ＝12，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12时，ab 取得最大值12. 5. 已知两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点为P （2，3），求过两点Q 1（a 1，b 1），Q 2（a 2，b 2）（a 1≠a 2）的直线方程.解：由题意，知P （2，3）在已知直线上， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3b 1＋1＝0，2a 2＋3b 2＋1＝0， ∴ 2（a 1－a 2）＋3（b 1－b 2）＝0，即b 1－b 2a 1－a 2＝－23，∴ 所求直线方程为y －b 1＝－23（x －a 1），∴ 2x ＋3y －（2a 1＋3b 1）＝0，即2x ＋3y ＋1＝0.1. 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；而选用两点式时不要忽视与坐标轴垂直的情况.2. 解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值.[备课札记]第3课时 直线与直线的位置关系（对应学生用书（文）125～126页、（理）130～131页）1. （原创）“a＝3”是“直线ax ＋3y ＝1与直线x ＋y ＝1平行”的 条件. 答案：充要解析：若a ＝3，直线ax ＋3y ＝1与直线x ＋y ＝1显然平行；若直线ax ＋3y ＝1与直线x＋y ＝1平行，由a 1＝ 31 ≠ 11，易得a ＝3.2. （必修2P 93练习6改编）过点P （－1，3）且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为 Ｗ.答案：2x ＋y －1＝0解析：设直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，又直线过点P （－1，3），则－2＋3＋c ＝0，c ＝－1，即所求直线方程为2x ＋y －1＝0.3. （必修2P 95练习3改编）若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋ky ＝0相交于一点，则k ＝ Ｗ.答案：－12解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2， ∴ 点（－1，－2）在x ＋ky ＝0上，即－1－2k ＝0，∴ k ＝－12.4.（必修2P 105练习1改编）已知点（a ，2）（a ＞0）到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a .1解析：由题意知|a －2＋3|2＝1，∴ |a ＋1|＝ 2.又∵ a＞0，∴ a ＝2－1.5. （必修2P 106习题10改编）与直线7x ＋24y ＝5平行，并且距离等于3的直线方程是 Ｗ.答案：7x ＋24y ＋70＝0或7x ＋24y －80＝0解析：设直线方程为7x ＋24y ＋c ＝0，则d ＝|c ＋5|242＋72＝3，∴ c ＝70或－80.1. 两条直线的位置关系设两条直线的方程是l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解.若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标Ｗ.若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立.若方程组有无数组解，则两条直线重合Ｗ.3. 几种距离（1） 两点间的距离： 平面上的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）间的距离公式：d （A ，B ）＝AB ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2. （2） 点到直线的距离：点P （x 1，y 1）到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 1＋By 1＋C|A 2＋B2. （3） 两条平行线间的距离：两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.4. 常见的三大直线系方程（1） 与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0（m∈R 且m≠C）. （2） 与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0（m∈R ）.（3） 过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ（A 2x ＋B 2y ＋C 2）＝0（λ∈R ），但不包括l 2.5. 中心对称（1） 点关于点对称：若点M （x 1，y 1）与N （x ，y ）关于P （a ，b ）对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解.（2） 直线关于点对称问题的主要解法：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l 1∥l 2，由点斜式得到所求的直线方程.6. 轴对称（1） 点关于直线的对称若两点P 1（x 1，y 1）与P 2（x 2，y 2）关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则线段P 1P 2的中点在对称轴l 上，且连结P 1P 2的直线垂直于对称轴l ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，A （y 1－y 2）＝B （x 1－x 2），可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标（x 2，y 2）（其中A≠0，x 1≠x 2）.特别地，若直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0满足|A|＝|B|，则P 1（x 1，y 1）与P 2（x 2，y 2）坐标关系为⎩⎪⎨⎪⎧Ax 1＋By 2＋C ＝0，Ax 2＋By 1＋C ＝0.（2） 直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.[备课札记], 1 两直线的平行与垂直), 1) 已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：（a －1）x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值：（1） l 1⊥l 2，且直线l 1过点（－3，－1）；（2） l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等. 解：（1） ∵ l 1⊥l 2，∴ a （a －1）－b ＝0. ∵ 直线l 1过点（－3，－1），∴ －3a ＋b ＋4＝0.故a ＝2，b ＝2. （2） ∵ 直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴ 直线l 1的斜率存在.∴ k 1＝k 2，即ab＝1－a.∵ 坐标原点到这两条直线的距离相等，∴ l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b.故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.变式训练已知直线l 1经过点A （3，a ），B （a －1，2），直线l 2经过点C （1，2），D （－2，a ＋2），分别在下列条件下求a 的值：（1） l 1∥l 2； （2） l 1⊥l 2.解：设直线l 2的斜率为k 2，则k 2＝2－（a ＋2）1－（－2）＝－a3.（1） 若l 1∥l 2，则直线l 1的斜率k 1＝－a3.又k 1＝2－a a －4，则2－a a －4＝－a 3，解得a ＝1或a ＝6.经检验，当a ＝1或a ＝6时，l 1∥l 2. （2） 若l 1⊥l 2.① 当k 2＝0时，此时a ＝0，k 1＝－12，不符合题意.② 当k 2≠0时，直线l 2的斜率存在，此时k 1＝2－aa －4.由k 2k 1＝－1，得－a 3·2－aa －4＝－1，解得a ＝3或a ＝－4.经检验，当a ＝3或a ＝－4时，l 1⊥l 2. , 2 两直线的交点) , 2) 已知△ABC 的顶点B （3，4），AB 边上的高CE 所在直线方程为2x ＋3y －16＝0，BC 边上的中线AD 所在直线方程为2x －3y ＋1＝0，求AC 的长.解：∵ k CE ＝ －23，AB ⊥CE ，∴ k AB ＝32， ∴ 直线AB 的方程为3x －2y －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y －1＝0，2x －3y ＋1＝0，解得A （1，1）， 设C （a ，b ）， 则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋a 2，4＋b 2，∵ C 点在CE 上，BC 的中点D 在AD 上， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3b －16＝0，2·3＋a 2－3·4＋b2＋1＝0，得C （5，2）， 由两点间距离公式得AC 的长为17. 变式训练已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程.解：依题意知：k AC ＝－2，A （5，1），∴ l AC ：2x ＋y －11＝0.联立l AC ，l CM 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，∴ C （4，3）.设B （x 0，y 0），则AB 的中点M 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，∴ B （－1，－3）， ∴ k BC ＝65，∴ 直线BC 的方程为y －3＝65（x －4），即6x －5y －9＝0., 3 点到直线及两平行直线之间的距离) , 3) 已知点P （2，－1）.（1） 求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；（2） 求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？（3） 是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.解：（1） 过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为（2，－1）， 可见，过P （2，－1）且垂直于x 轴的直线满足条件. 此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k （x －2）， 即kx －y －2k －1＝0.由已知，得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34. 此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.（2） 过P 点与原点O 距离最大的直线是过P 点且与OP 垂直的直线，由l⊥OP，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2（x －2）， 即2x －y －5＝0.即直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.（3） 不存在.理由：由（2）可知，过P 点不存在到原点距离大于5的直线，因此不存在过P 点且到原点距离为6的直线.备选变式（教师专享）已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点. （1） 若点A （5，0）到l 的距离为3，求直线l 的方程； （2） 求点A （5，0）到直线l 的距离的最大值. 解：（1） 由直线l 经过直线l 1与l 2交点知，其直线系方程为（2x ＋y －5）＋λ（x －2y ）＝0，即（2＋λ）x ＋（1－2λ）y －5＝0.∵ 点A （5，0）到直线l 的距离为3，∴ |10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2＝3， 即2λ2－5λ＋2＝0，∴ λ＝2或λ＝12，∴ 直线l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.（2） 设直线l 1与l 2的交为P ，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得P （2，1），如图，过点P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d≤PA（当l⊥PA 时等号成立）.∴ d max ＝PA ＝（5－2）2＋（0－1）2＝10., 4 对称问题), 4) 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A （－1，－2）.求： （1） 点A 关于直线l 的对称点A′的坐标；（2） 直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m′的方程； （3） 直线l 关于点A （－1，－2）对称的直线l′的方程. 解：（1） 设A′（x ，y ），由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.∴ A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. （2） 在直线m 上任取一点，如M （2，0），则M （2，0）关于直线l 的对称点必在m′上.设对称点为M′（a ，b ），则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得M′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013. 设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，解得N （4，3）.∵ m ′经过点N （4，3），∴ 由两点式得直线m′的方程为9x －46y ＋102＝0.（3） 设P （x ，y ）为l′上任意一点，则P （x ，y ）关于点A （－1，－2）的对称点为P′（－2－x ，－4－y ）.∵ P ′在直线l 上，∴ 2（－2－x ）－3（－4－y ）＋1＝0，即2x －3y －9＝0. 备选变式（教师专享） 光线通过点A （2，3），在直线l ：x ＋y ＋1＝0上反射，反射光线经过点B （1，1），试求入射光线和反射光线所在直线的方程.解：设点A （2，3）关于直线l 的对称点为A′（x 0，y 0），则⎩⎪⎨⎪⎧2＋x 02＋3＋y 02＋1＝0，y 0－3x 0－2＝1，解得A′（－4，－3）.由于反射光线经过点A′（－4，－3）和B （1，1），所以反射光线所在直线的方程为y －1－3－1＝x －1－4－1，即4x －5y ＋1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －5y ＋1＝0，x ＋y ＋1＝0，得反射点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13.所以入射光线所在直线的方程为y －3－13－3＝x －2－23－2，即5x －4y ＋2＝0.1. （2016·上海卷文）已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0，则l 1，l 2.解析：利用两平行线间距离公式得d ＝|－1－1|22＋12＝255. 2. 将一张坐标纸折叠一次，使点（0，2）与点（4，0）重合，且点（7，3）与点（m ，n ）重合，则m ＋n 的值是 Ｗ.答案：345解析：点（0，2）与点（4，0）关于y －1＝2（x －2）对称，则点（7，3）与点（m ，n ）也关于y －1＝2（x －2）对称，则⎩⎪⎨⎪⎧n ＋32－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋72－2，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315.∴ m ＋n ＝345. 3. 已知l 1，l 2是分别经过A （1，1），B （0，－1）两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是 .答案：x ＋2y －3＝0解析：当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大.因为A （1，1），B （0，－1），所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12（x－1），即x ＋2y －3＝0.4. 在平面直角坐标系中，到点A （1，2），B （1，5），C （3，6），D （7，－1）的距离之和最小的点的坐标是 Ｗ.答案：（2，4） 解析：设P 为平面上一点，则由三角形两边之和大于第三边知PA ＋PC≥AC，PB ＋PD≥BD，所以四边形ABCD 对角线的交点到四点距离之和最小，直线AC 的方程为y －2＝2（x －1），直线BD 的方程为y －5＝－（x －1），由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝2（x －1），y －5＝－（x －1），得交点坐标为（2，4）.5. △ABC 的两条高所在直线的方程分别为2x －3y ＋1＝0和x ＋y ＝0，顶点A 的坐标为（1，2），求BC 边所在直线的方程.解：可以判断A 不在所给的两条高所在的直线上，则可设AB ，AC 边上的高所在直线的方程分别为2x －3y ＋1＝0，x ＋y ＝0，则可求得AB ，AC 边所在直线的方程分别为y －2＝－32（x －1），y －2＝x －1，即3x ＋2y －7＝0，x －y ＋1＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －7＝0，x ＋y ＝0，得B （7，－7）， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x －3y ＋1＝0，得C （－2，－1）， 所以BC 边所在直线的方程为2x ＋3y ＋7＝0.1. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：（2k －1）x ＋ky ＋1＝0，则当实数k 变化时，原点O 到直线l 的距离的最大值为 Ｗ.答案： 5解析：直线l 过定点P （1，－2），原点O 到直线l 的距离的最大值即为OP ＝12＋（－2）2＝ 5.2. 若过点P （1，2）作一直线l ，使点M （2，3）和点N （4，－1）到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为 Ｗ.答案：2x ＋y －4＝0或x ＋2y －5＝0解析：当直线l 经过MN 的中点时，其方程为x ＋2y －5＝0；当过M ，N 两点的直线平行于直线l 时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0.3. 已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是 Ｗ.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，12解析：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.（若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行）∴ 交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1.∵ 交点位于第一象限，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2－4k2k ＋1＞0，6k ＋12k ＋1＞0，解得－16＜k ＜12.∴ 实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，12. 4. 已知直线l 1：2x －y －2＝0和直线l 2：x ＋2y －1＝0关于直线l 对称，则直线l 的斜率为 Ｗ.答案：－3或13解析：（解法1）在直线l 上任取一点P （x ，y ），点P 到直线l 1和直线l 2的距离相等.|2x －y －2|22＋（－1）2＝|x ＋2y －1|12＋22，整理得，直线l 的方程为3x ＋y －3＝0或x －3y －1＝0，所以直线l 的斜率为－3或13.（解法2）设l 1的倾斜角为α.因为l 1⊥l 2，所以l 的倾斜角为α±π4，所以直线l 的斜率为tan ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4. 因为tan α＝2，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝－3，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－tanπ41＋tan αtanπ4＝13， 所以直线l 的斜率为－3或13.1. 在两条直线的位置关系中，讨论最多的还是平行与垂直，它们是两条直线的特殊位置关系.解题时认真画出图形，有助于快速准确地解决问题.判断两直线平行与垂直时，不要忘记考虑斜率不存在的情形，利用一般式则可避免分类讨论.2. 运用公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2求两平行直线间的距离时，一定要把x ，y 项系数化为相等的系数.3. 对称思想是高考热点，主要分为中心对称和轴对称两种，关键要把握对称问题的本质，必要情况下可与函数的对称轴建立联系.[备课札记]第4课时 圆 的 方 程（对应学生用书（文）127～128页、（理）132～133页）1. （必修2P 111练习4改编）圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是 Ｗ. 答案：（2，－3）解析：由（x －2）2＋（y ＋3）2＝13知，圆心坐标为（2，－3）. 2. （必修2P 111习题7改编）已知圆C 经过A （5，1），B （1，3）两点，圆心在x 轴上，则圆C 的标准方程为 Ｗ.答案：（x －2）2＋y 2＝10解析：设圆心坐标为（a ，0），易知（a －5）2＋（－1）2＝（a －1）2＋（－3）2，解得a ＝2，∴ 圆心为（2，0），半径为10，∴ 圆C 的标准方程为（x －2）2＋y 2＝10.3. （必修2P 111练习6改编）经过三点A （1，－1），B （1，4），C （4，－2）的圆的一般方程为 Ｗ.答案：x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0解析：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将A ，B ，C 三点代入，整理得方程组⎩⎪⎨⎪⎧D －E ＋F ＝－2，D ＋4E ＋F ＝－17，4D －2E ＋F ＝－20，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－7，E ＝－3，F ＝2，∴ 所求圆的一般方程为x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0.4. 已知点P （1，1）在圆x 2＋y 2－ax ＋2ay －4＝0的内部，则a 的取值范围是 Ｗ. 答案：（－∞，2）解析：由圆的一般方程知a∈R ，因为点P 在圆内，所以1＋1－a ＋2a －4<0，解得a<2.5. （原创）已知实数x ，y 满足x 2＋（y ＋3）2＝4，则（x －3）2＋（y －1）2的最大值为 Ｗ.答案：49解析：（x －3）2＋（y －1）2表示圆x 2＋（y ＋3）2＝4上一动点P （x ，y ）到点（3，1）的距离d 的平方，因为圆心（0，－3）到点（3，1）的距离为5，所以d 的最大值为5＋2＝7，所以d 2的最大值为49.1. 圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.确定一个圆最基本的要素是圆心和半径Ｗ.2. 圆的标准方程（1） 以（a ，b ）为圆心，r （r>0）为半径的圆的标准方程为（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2Ｗ.（2） 特殊的，x 2＋y 2＝r 2（r>0）的圆心为（0，0），半径为r Ｗ. 3. 圆的一般方程方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0变形为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4. （1） 当D 2＋E 2－4F>0时，该方程表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E22（2） 当D 2＋E 2－4F ＝0时，该方程表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2；（3） 当D 2＋E 2－4F ＜0时，该方程不表示任何图形.4. 点与圆的位置关系点M （x 0，y 0）与圆（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2的位置关系：（1） 若M （x 0，y 0）在圆外，则（x 0－a ）2＋（y 0－b ）2>r 2Ｗ.（2） 若M （x 0，y 0）在圆上，则（x 0－a ）2＋（y 0－b ）2＝r 2Ｗ.（3） 若M （x 0，y 0）在圆内，则（x 0－a ）2＋（y 0－b ）2<r 2Ｗ. [备课札记]1 确定圆的方程) 1) 求经过点A （－2，－4），且与直线l ：x ＋3y －26＝0相切于点B （8，6）的圆的方程.解：（解法1）设圆心为C ，所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，∴ k CB ＝6＋E 28＋D 2.∵ 圆C 与直线l 相切，∴ k CB ·k l ＝－1，即6＋E 28＋D 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1 ①.又有（－2）2＋（－4）2－2D －4E ＋F ＝0 ②，又82＋62＋8D ＋6E ＋F ＝0 ③.联立①②③，可得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30，∴ 所求圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0. （解法2）设圆的圆心为C ，则CB⊥l， 可得CB 所在直线的方程为y －6＝3（x －8），即3x －y －18＝0 ①. 由A （－2，－4），B （8，6），得AB 的中点坐标为（3，1）.又k AB ＝6＋48＋2＝1，∴ AB 的垂直平分线的方程为y －1＝－（x －3）， 即x ＋y －4＝0 ②.由①②联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝112，y ＝－32.即圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫112，－32.∴ 所求圆的半径r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫112－82＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－62＝1252， ∴ 所求圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －1122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1252.变式训练圆经过点A （2，－3）和B （－2，－5）. （1） 若圆的面积最小，求圆的方程；（2） 若圆心在直线x －2y －3＝0上，求圆的方程. 解：（1） 要使圆的面积最小，则AB 为圆的直径，圆心C （0，－4），半径r ＝12AB ＝5，所以所求圆的方程为x 2＋（y ＋4）2＝5.（2） 因为k AB ＝12，AB 中点为（0，－4），所以AB 中垂线方程为y ＋4＝－2x ，即2x ＋y ＋4＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋4＝0，x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.所以圆心为（－1，－2）.根据两点间的距离公式，得半径r ＝10，因此，所求的圆的方程为（x ＋1）2＋（y ＋2）2＝10.备选变式（教师专享） 已知一圆的圆心在原点，且圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成1∶2两部分，求圆的方程. 解：如图，因为圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成1∶2两部分，所以∠AOB＝120°，而圆心O （0，0）到直线3x ＋4y ＋15＝0的距离d ＝1532＋42＝3，在△AOB 中，可求得OA ＝6，所以所求圆的方程为x 2＋y 2＝36., 2 与参数有关的圆方程问题), 2) 已知圆C 的方程x 2＋y 2－2ax ＋2y ＋a ＋1＝0.（1） 若圆C 上任意点A 关于l ：x ＋2y －5＝0的对称点也在圆上，求实数a 的值；（2） 求圆心C 到直线ax ＋y －a 2＝0的距离的取值范围.解：（1） 将圆C 的方程配方得（x －a ）2＋（y ＋1）2＝a 2－a.由题意知圆心C （a ，－1）在直线l ：x ＋2y －5＝0上，即a －2－5＝0，所以a ＝7.（2） 由圆方程可知， a 2－a ＞0，解得a ＞1或a ＜0.由方程得圆心C （a ，－1）到直线ax ＋y －a 2＝0的距离d ＝|a 2－1－a 2|a 2＋1＝1a 2＋1.因为a ＞1或a ＜0，所以a 2＋1＞1，所以0＜d ＜1，所以所求距离的取值范围为（0，1）.变式训练已知圆C ：（x －a ）2＋（y －b ）2＝1，设平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为 Ｗ. 答案：37解析：作出可行域，如图，由题意知，圆心为C （a ，b ），半径r ＝1，且圆C 与x 轴相切，所以b ＝1.而直线y ＝1与可行域边界的交点为A （6，1），B （－2，1），目标函数z ＝a 2＋b 2表示点C 到原点距离的平方，所以当点C 与点A 重合时，z 取到最大值，z max ＝37.备选变式（教师专享）设△ABC 顶点坐标为A （0，a ），B （－3a ，0），C （3a ，0），其中a>0，圆M 为△ABC 的外接圆.（1） 求圆M 的方程；（2） 当a 变化时，圆M 是否过某一定点，请说明理由.解：（1） 设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵ 圆M 过点A （0，a ），B （－3a ，0），C （3a ，0）∴ ⎩⎨⎧a 2＋aE ＋F ＝0，3a －3aD ＋F ＝0，3a ＋3aD ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝0，E ＝3－a ，F ＝－3a ，∴ 圆M 的方程为x 2＋y 2＋（3－a ）y －3a ＝0.（2） 圆M 的方程可化为（3＋y ）a －（x 2＋y 2＋3y ）＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧3＋y ＝0，x 2＋y 2＋3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－3. ∴ 圆M 过定点（0，－3）., 3 圆方程的应用), 3) 如图，某市有一条东西走向的公路l ，现欲经过公路l 上的O 处铺设一条南北走向的公路m.在施工过程中发现在O 处的正北1百米的A 处有一汉代古迹.为了保护古迹，该市决定以A 为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区.为了连通公路l ，m ，欲再新建一条公路PQ ，点P ，Q 分别在公路l ，m 上（点P ，Q 分别在点O 的正东，正北方向上），且要求PQ 与圆A 相切.（1） 当点P 距O 处2百米时，求OQ 的长； （2） 当公路PQ 长最短时，求OQ 的长.。

第九章 平面解析几何1.平面解析几何初步 (1)直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.②理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.④掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.⑤能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标.⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离.(2)圆与方程①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系.③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. ④初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 2.圆锥曲线(1)了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).(4)了解曲线与方程的对应关系. (5)理解数形结合的思想. (6)了解圆锥曲线的简单应用.§9.1 平面直角坐标系中的基本公式和直线的方程1.平面直角坐标系中的基本公式(1)数轴上A ，B 两点的距离：数轴上点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则A ，B 两点间的距离|AB |＝____________.(2)平面直角坐标系中的基本公式：①两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)之间的距离公式为d (A ，B )＝|AB |＝__________________________.②线段的中点坐标公式：若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ . 2.直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴____________与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴________或________时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为__________________.(2)斜率：一条直线的倾斜角α的____________叫做这条直线的斜率，常用小写字母k 表示，即k ＝______(α≠______).当直线平行于x 轴或者与x 轴重合时，k______0；当直线的倾斜角为锐角时，k______0；当直线的倾斜角为钝角时，k______0；倾斜角为______的直线没有斜率.倾斜角不同，直线的斜率也不同.因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度.(3)经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝.3.直线方程的几种形式(1)截距：直线l 与x 轴交点(a ，0)的____________叫做直线l 在x 轴上的截距，直线l 与y 轴交点(0，b )的____________叫做直线l 在y 轴上的截距.注：截距____________距离(填“是”或“不是”).(2)直线方程的五种形式：名称方程适用范围点斜式①k存在斜截式②k存在两点式③④截距式⑤a≠0且b≠0一般式⑥平面直角坐标系内的所有直线________的特例.(3)过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程①若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为____________；②若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为____________；③若x1＝x2＝0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程为____________；④若x1≠x2，且y1＝y2＝0，直线即为x轴，方程为____________.自查自纠：1.(1)|x2－x1|(2)①()x2－x12＋()y2－y12②x1＋x22y1＋y222.(1)正向平行重合0°≤α<180°(2)正切值tanα90°＝> < 90°(3)y2－y1x2－x13.(1)横坐标a纵坐标b不是(2)①y－y0＝k(x－x0) ②y＝kx＋b③y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1④x1≠x2且y1≠y2⑤xa＋yb＝1 ⑥Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)点斜式两点式(3)①x＝x1②y＝y1③x＝0 ④y＝0过点M(－1，m)，N(m＋1，4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )A.1B.12C.2D.13解：由4－mm＋2＝1，得m＝1.故选A.直线3x－3y＋1＝0的倾斜角是( )A.30°B.60°C.120°D.135°解：直线方程可变形为y＝3x＋33，tanα＝3，∵倾斜角α∈[0°，180°)，∴α＝60°.故选B.过点(5，2)，且在y轴上的截距是在x轴上截距2倍的直线方程是( )A.2x＋y－12＝0B.2x＋y－12＝0或2x－5y＝0C.x－2y－1＝0D.x－2y－1＝0或2x－5y＝0解：当直线过原点时所求方程为2x－5y＝0；当直线不过原点时，可设其截距式为xa＋y2a＝1，由该直线过点(5，2)即可解得a＝6，对应方程为x6＋y12＝1，即2x＋y－12＝0，故选B.若直线斜率的绝对值为3，则直线的倾斜角为________.解：∵|k|＝|tanα|＝3，α∈[0，π).∴tanα＝±3，α＝π3或2π3.故填π3或2π3.下列四个命题中真命题有______个.①经过定点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示；②经过任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示；③不经过原点的直线都可以用方程xa＋yb＝1表示；④经过定点(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示.解：①当k不存在时，直线方程为x＝x0，不正确；②正确；③当直线与坐标轴垂直时不能用该方程表示，不正确；④k可能不存在，不正确.故填1.类型一直线的倾斜角和斜率(1)已知直线l经过A(cosθ，sin2θ)和B(0，1)不同的两点，求直线l倾斜角的取值范围.解：当cosθ＝0时，sin2θ＝1－cos2θ＝1，此时A，B重合.∴cosθ≠0.∴k＝1－sin2θ0－cosθ＝－cosθ∈[－1，0)∪(0，1].因此倾斜角的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π.(2)如图所示，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1与l2垂直，则直线l1的斜率k1＝________，直线l2的斜率k2＝________.解：由图可知，α2＝α1＋90°＝120°，则直线l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan30°＝33，直线l 2的斜率k 2＝tan α2＝tan120°＝－3，故填33；－3.点拨：①直线的倾斜角与斜率均是反映直线倾斜程度的量.倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，两者由公式k ＝tan α联系.②在使用过两点的直线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1时，注意同一直线上选取的点不同，直线的斜率不会因此而发生变化，同时还要注意两点横坐标是否相等，若相等，则直线的倾斜角为90°，斜率不存在，但并不意味着直线的方程也不存在，此时直线的方程可写为x ＝x 1.③在已知两点坐标，求倾斜角α的值或取值范围时，用tan α＝k ＝y 2－y 1x 2－x 1转化，其中倾斜角α∈[0，π)，此时依然要注意斜率不存在的情形，同时注意运用数形结合思想解题.(1)设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足( )A.a ＋b ＝1B.a －b ＝1C.a ＋b ＝0D.a －b ＝0 解：由题意得sin α＝－cos α，显然cos α≠0，则tan α＝－1，∴－a b＝－1，a ＝b ，a －b ＝0.故选D.(2)已知直线l 经过A (2，1)，B (1，m 2)两点，求直线l 的倾斜角的取值范围.解：∵直线l 经过A (2，1)，B (1，m 2)两点，∴k AB ＝m 2－11－2＝1－m 2.又∵m ∈R ，∴k AB ∈(－∞，1]，其倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.类型二 求直线方程根据所给条件求直线的方程. (1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距相等；(3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5. 解：(1)由题意知，直线的斜率存在，设倾斜角为α，则sin α＝1010(α∈[0，π))，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线的方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ±3y＋4＝0.(2)若截距不为0，设直线的方程为x a ＋ya＝1，∵直线过点(－3，4)，∴－3a ＋4a＝1，解得a ＝1.此时直线方程为x ＋y －1＝0.若截距为0，设直线方程为y ＝kx ，代入点(－3，4)，有4＝－3k ，解得k ＝－43，此时直线方程为4x＋3y ＝0.综上，所求直线方程为x ＋y －1＝0或4x ＋3y ＝0.(3)由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x －5＝0.当直线斜率存在时，设其方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点到直线的距离公式，得||10－5k 1＋k2＝5，解得k ＝34.此时直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.点拨：本题考查应用直线方程的几种形式求直线方程，难度虽不大，但每小题都有陷阱.(1)给出了倾斜角的正弦值，求正切值时，应注意倾斜角的范围；(2)截距相等包括经过原点的直线，还要注意截距不是距离；(3)应用点斜式求直线方程时，注意点斜式的局限性，它不能表示平面内所有直线.求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(3，－1)； (2)在y 轴上的截距是－5. 解：∵直线y ＝－3x ＋1的倾斜角α＝120°. ∴所求直线的倾斜角为30°.(1)所求直线方程是：y ＋1＝tan30°(x －3)，即3x －3y －6＝0. (2)所求直线方程为：y ＝33x －5，即3x －3y －15＝0.类型三直线方程的应用已知点A (4，－1)，B (8，2)和直线 l ：x －y －1＝0，动点P (x ，y )在直线l 上，求||PA ＋||PB 的最小值.解：设点A 1(x 1，y 1)与A (4，－1)关于直线l 对称，P 0为A 1B 与直线l 的交点，∴||P 0A 1＝||P 0A ，||PA 1＝ ||PA .∴||PA ＋||PB ＝||PA 1 ＋||PB ≥||A 1B ＝||A 1P 0＋||P 0B ＝||P 0A ＋||P 0B .当P 点运动到P 0点时，||PA ＋||PB 取到最小值||A 1B .∵点A ，A 1关于直线l 对称，∴由对称的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1x 1－4×1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，即A 1(0，3).∴(||PA ＋||PB )min ＝||A 1B ＝82＋（－1）2＝65.点拨：平面内，两点间连线中直线段最短，这一最基本的公理是解决此类问题的理论基础.求A 关于l 的对称点是关键一步，而点关于直线对称的充要条件又是求对称点的依据.(2013·湖南)在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P (如图).若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )A.2B.1C.83D.43解：以AB ，AC 所在直线分别为x 轴，y轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (4，0)，C (0，4)，得△ABC 的重心D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，设P (m ，0)，m ∈(0，4)，则点P 关于直线BC ，AC 的对称点分别为P 1(4，4－m )，P 2(－m ，0)，由于D ，P 1，P 2三点共线，∴kP 1D ＝kP 2D ，即43－（4－m ）43－4＝4343＋m ，解得m ＝43或0.又∵m ∈(0，4)，∴m ＝43.故选D.1.直线的倾斜角和斜率的关系，可借助k ＝tan α的图象(如图)来解决.这里，α∈[0，π)，k 的范围是两个不连续的区间.在求直线方程时，若不能确定直线的斜率是否存在，则应对斜率存在或不存在分类进行讨论.2.直线在坐标轴上的截距是直线与坐标轴的交点的坐标，它不是距离，它可正、可负、可为0，在用截距式求直线方程时，不可忽视截距可能为0.3.在解决直线与坐标轴围成的直角三角形的面积、周长等问题时，应用截距式方程比较简单.4.对于直线方程来说，要注意的是：每一种形式的二元一次方程表示的直线都是有限制的，具体可参看本节“考点梳理”栏目.在解决关于直线方程的问题中，要把握限制的条件，在求解时要细心处理，否则容易产生增解或漏解的情形.如利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止忽视斜率不存在而出现漏解；利用直线的截距式解题时，要注意防止忽视零截距而造成漏解；利用直线的一般式解题时，要注意防止忽视隐含条件A 2＋B 2≠0而出现增解.5.求直线方程的方法主要有以下两种：(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，求出直线方程；(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，从而写出直线方程.1.下列命题中，正确的是( )A.直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角是αB.直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan αC.直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大D.直线的倾斜角α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增解：因为直线的斜率k ＝tan θ，且θ∈[0，π)时，θ才是直线的倾斜角，所以A 不对；因为任一直线的倾斜角α∈[0，π)，而当α＝π2时，直线的斜率不存在，所以B 不对；当α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，斜率大于0；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率小于0，C 不对.故选D.2.已知直线的倾斜角为120°，在y 轴上的截距为－2，则此直线的方程为( )A.y ＝3x ＋2B.y ＝－3x ＋2C.y ＝－3x －2D.y ＝3x －2解：∵k ＝tan120°＝－3，且直线在y 轴上的截距为－2，∴由斜截式得y ＝－3x －2.故选C.3.已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a 的值是( )A.1B.－1C.－2或－1D.－2或1解：显然a ≠0，由题意得a ＋2＝a ＋2a，解得a＝－2或1.故选D.4.已知直线l 过点(0，2)，且其倾斜角的余弦值为45，则直线l 的方程为( )A.3x －4y －8＝0B.3x ＋4y －8＝0C.3x ＋4y ＋8＝0D.3x －4y ＋8＝0解：∵cos α＝45，α∈[0，π)，∴sin α＝35，k ＝tan α＝34.∴直线l 的方程为y －2＝34x ，即3x－4y ＋8＝0.故选D.5.若A (a ，b )，B (c ，d )是直线y ＝mx ＋n 上的两点，那么A ，B 间的距离为( )A.||a －c 1＋m 2B.||a －c (1＋m 2) C.||a －c 1＋m2D.||a －c ·||m 解：||AB ＝（a －c ）2＋（b －d ）2＝（a －c ）2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －d a －c 2 ＝（a －c ）2（1＋m 2）＝||a －c ·1＋m 2. 故选A.6.(2013·北京海淀模拟)已知点A (－1，0)，B (cos α，sin α)，且||AB ＝3，则直线AB 的方程为( )A.y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3B.y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33C.y ＝x ＋1或y ＝－x －1D.y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 2解：∵||AB ＝（cos α＋1）2＋sin 2α＝2＋2cos α＝3，∴cos α＝12，sin α＝±32.当点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32时，直线AB 的方程为y ＝33x ＋33；当点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32时，直线AB 的方程为y ＝－33x －33.故选B. 7.直线l ：x sin30°＋y cos150°＋1＝0的斜率是____________.解：由题意得直线l 的斜率k ＝－sin30°cos150°＝tan30°＝33，∴直线l 的斜率为33.故填33. 8.(2013·四川)在平面直角坐标系内，到点A (1，2)，B (1，5)，C (3，6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________.解：在四边形ABCD 所在平面内任取一点P ，则PA ＋PC ≥AC ，PB ＋PD ≥BD ，∴PA ＋PB ＋PC ＋PD ≥AC ＋BD ，当且仅当P 为AC 与BD 的交点时取等号，此时点P 到点A ，B ，C ，D 的距离之和最小.易知直线AC 的方程为y ＝2x ，直线BD 的方程为y ＝－x ＋6，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝－x ＋6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，即所求点P 的坐标为(2，4).故填(2，4).9.设直线l 的方程为x ＋my －2m ＋6＝0，根据下列条件分别确定m 的值：(1)直线l 在x 轴上的截距是－3； (2)直线l 的斜率是1.解：(1)令y ＝0，得x ＝2m －6.由题意知2m －6＝－3，解得m ＝32.(2)∵直线l 的斜率存在， ∴m ≠0.于是直线l 的方程化为y ＝－1m x ＋2m －6m. 由题意知－1m＝1，解得m ＝－1. 10.若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，求1a ＋1b的值.解：∵k AB ＝0－2a －2＝－2a －2，k AC ＝b －20－2＝－b －22，且A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即－2a －2＝－b －22，整理得ab ＝2(a ＋b )，将该等式两边同除以2ab 得1a＋1b ＝12. 11.已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求直线l 的方程.解：设所求直线l 的方程为x a ＋y b＝1. ∵k ＝16，∴－b a ＝16，得a ＝－6b.又S △ABC ＝12|a |·|b |＝3，∴|ab |＝6.联立⎩⎨⎧a ＝－6b ，||ab ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝－1.∴所求直线方程为：x －6＋y 1＝1或x 6＋y－1＝1， 即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.已知△ABC 中，顶点A (4，5)，点B 在直线l ：2x －y ＋2＝0上，点C 在x 轴上，求△ABC周长的最小值.解：设点A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0的对称点为A 1(x 1，y 1)，点A 关于x 轴的对称点为A 2(x 2，y 2)，连接A 1A 2交l 于B ，交x 轴于C ，则此时△ABC 的周长取最小值，且最小值为||A 1A 2.∵A 1与A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1－5x 1－4×2＝－1，2×x 1＋42－y 1＋52＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝7.∴A 1(0，7).易求得A 2(4，－5)，∴△ABC 周长的最小值为||A 1A 2＝（4－0）2＋（－5－7）2＝410.§9.2 两条直线的位置关系1.两条直线的位置关系(1)平行：对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，有l 1∥l 2⇔____________，特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为____________.(2)垂直：如果两条直线l 1，l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔____________，特别地，若直线l 1：x ＝a ，直线l 2：y ＝b ，则l 1与l 2的关系为____________.2.两条直线的交点坐标一般地，将两条直线的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. 若方程组有惟一解，则两条直线__________，此解就是__________；若方程组无解，则两条直线____________，此时两条直线____________；若方程组有无穷多解，则两条直线____________.3.距离公式(1)点到直线的距离：点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝ .(2)两条平行直线间的距离：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离d ＝____________________.4.过两直线交点的直线系方程 若已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交，则方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(其中λ∈R ，这条直线可以是l 1，但不能是l 2)表示过l 1和l 2交点的直线系方程.自查自纠：1.(1)k 1＝k 2 l 1∥l 2 (2)k 1k 2＝－1 l 1⊥l 22.相交 交点的坐标 无公共点 平行 重合3.(1)||Ax 0＋By 0＋C A 2＋B 2(2)||C1－C 2A 2＋B 2若直线l 过点(－1，2)，且与直线y ＝23x垂直，则直线l 的方程是( )A.3x ＋2y －1＝0B.3x ＋2y ＋7＝0C.2x －3y ＋5＝0D.2x －3y ＋8＝0解：由条件知，直线l 的斜率k ＝－32，∴其方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.故选A.若直线2ay －1＝0与直线(3a －1)x ＋y －1＝0平行，则实数a 等于( )A.12B.－12C.13D.－13解：因为两直线平行，所以3a －1＝0，即a ＝13.故选C.“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：充分性显然成立，若“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”，则(－1)×1a＝－1，解得a ＝1，必要性也成立.故选C.点A (4，5)关于直线l 的对称点为B (－2，7)，则l 的方程是____________.解：由题意得k AB ＝7－5－2－4＝－13，∵k l ⊥k AB ，∴k l ＝3.又线段AB 的中点在直线l 上，∴直线l 过点(1，6).∴直线l 的方程为y －6＝3(x －1)，即3x －y ＋3＝0.故填3x －y ＋3＝0.已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为____________.解：l 2可以化为3x ＋4y ＋12＝0，两直线平行，由两平行直线间的距离公式得d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－7－125＝32.故填32.类型一 两条直线平行、重合或相交已知两条直线：l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m 为何值时，l 1与l 2：(1)相交；(2)平行；(3)重合.解：联立两直线方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋my ＋6＝0，（m －2）x ＋3y ＋2m ＝0.当m ＝0或m ＝2时两直线相交；当m ≠0或2时，此时A 1A 2＝1m －2，B 1B 2＝m 3，C 1C 2＝62m，当A 1A 2＝B 1B 2时，即1m －2＝m 3，解得m ＝－1或m ＝3； 当A 1A 2＝C 1C 2时，即1m －2＝62m ，解得m ＝3. (1)当m ≠－1且m ≠3时，A 1A 2≠B 1B 2，方程组有唯一一组解.∴l 1与l 2相交.(2)当m ＝－1时，A 1A 2＝B 1B 2且A 1A 2≠C 1C 2，方程组无解. ∴l 1与l 2平行.(3)当m ＝3时，A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2，方程组有无穷多组解.∴l 1与l 2重合.点拨：由直线的一般式直接判断两条直线是否平行时，可直接应用本题的结论，即：若A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2，则直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行，这是一个很实用的结论，但要注意分母不能为零.当实数m 为何值时，三条直线l 1：3x＋my －1＝0，l 2：3x －2y －5＝0，l 3：6x ＋y －5＝0不能围成三角形.解：记l 1，l 2，l 3三条直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 2＝32，k 3＝－6.若l 1∥l 2，或l 1∥l 3，则k 1＝k 2＝32，或k 1＝k 3＝－6，解之得m ＝－2或m ＝12；若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y －5＝0，6x ＋y －5＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1， l 2与l 3交于点(1，－1)，将点(1，－1)代入3x ＋my －1＝0，得m ＝2.∴当m ＝±2或12时，l 1，l 2，l 3不能围成三角形.类型二 两条直线垂直直线l 1：x ＋3y ＝7与直线l 2：kx －y＝2，以及与x ，y 轴围成的凸四边形有外接圆，求实数k 的值.解：结合图形分析，如图所示，由直线l 1，l 2及x ，y 轴所围成四边形为OABC ，其有外接圆的充要条件是对角互补.∵∠COA ＝90°，∴∠CBA ＝90°， 即l 1⊥l 2.∴k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1，解得k ＝3.点拨：(1)给定两直线：l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(或y ＝k 1x ＋b 1)；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(或y ＝k 2x ＋b 2).直线l 1⊥l 2的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0(或k 1k 2＝－1).认识此充要条件请把握好以下两点：①k 1k 2＝－1是A 1A 2＋B 1B 2＝0在一般式中两直线斜率均存在情况下的等价形式；②A 1A 2＋B 1B 2＝0含两条直线中一条直线斜率不存在而另一条直线斜率为零这一特殊的情形，此时两直线也垂直.(2)解析几何是用代数的方法解决几何问题，所以灵活运用平面几何中相关的性质、定理会使求解过程简捷、明快，这里应用了四边形有外接圆的充要条件：对角互补.(2013·北京一模)已知直线l 1：ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋2＝0，则“a ＝－2”是“l 1⊥l 2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解：当a ＝－2时，l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：x －2y ＋2＝0，k 1＝－2，k 2＝12，∵k 1k 2＝－1，∴l 1⊥l 2，充分性成立；反之，由l 1⊥l 2得a ·1＋(a ＋1)·a ＝0，解得a ＝－2或0，必要性不成立.综上知，故选A.类型三 对称问题求直线l ：x －2y ＋6＝0关于点M (－1，1)对称的直线l ′的方程.解法一：取l 上的两点A (0，3)，B (－6，0)，求出它们关于点M 的对称点，A ′(－2，－1)，B ′(4，2)，再用两点式求出l ′的方程为x －2y ＝0.解法二：设点P ′(x ′，y ′)为所求直线l ′上的任意一点，则点P ′关于点M 在直线l 上的对称点为P (x ，y ).由⎩⎪⎨⎪⎧－1＝x ＋x ′2，1＝y ＋y ′2得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－x ′，y ＝2－y ′， 代入直线l 的方程得：(－2－x ′)－2(2－y ′)＋6＝0，得x ′－2y ′＝0，即x －2y ＝0为所求直线l ′的方程.点拨：利用点关于点对称列式，再用相关点间的代换法求l ′，此解法适用于求曲线F (x ，y )＝0关于点对称的曲线方程，具有普遍意义.有关直线与点的对称问题可分为四类：两点关于一点成中心对称；两线关于一点成中心对称；两点关于一直线成轴对称；两线关于一直线成轴对称，前两类较简单，后两类主要应用中点、垂直等条件解决.求曲线关于点或直线对称曲线的主要步骤是：①在已知曲线上任取一点M (x ，y )；②求出这点关于对称中心或对称轴的对称点M ′(x ′，y ′)；③已知曲线方程用x ′，y ′表示，求出所求曲线的方程G (x ′，y ′)＝0.已知三角形的一个顶点A (4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l 1：x －y －1＝0和l 2：x －1＝0，求BC 边所在直线的方程.解：A 不在这两条角平分线上，因此l 1，l 2是另两个角的角平分线.点A 关于直线l 1的对称点A 1，点A 关于直线l 2的对称点A 2均在边BC 所在直线l 上.设A 1(x 1，y 1)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1x 1－4×1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，∴A 1(0，3).同理设A 2(x 2，y 2)，易求得A 2(－2，－1). ∴BC 边所在直线方程为2x －y ＋3＝0.类型四 距离问题已知点A (－2，0)，B (0，4)到直线l的距离均为5，求直线l 的方程.解：当点A ，B 在直线l 的同侧时，有AB ∥l ， 易得直线AB 的方程为2x －y ＋4＝0，则可设直线l 的方程为2x －y ＋t ＝0，∵两平行直线间的距离为5，∴d ＝|t －4|5＝5，解得t ＝9或－1.直线l 的方程为2x －y ＋9＝0或2x －y －1＝0. 当点A ，B 分居直线l 的两侧时，线段AB 的中点在直线l 上，即点(－1，2)在直线l 上，且直线l 的斜率存在，可设直线l ：y ＝k (x ＋1)＋2，由点到直线的距离公式得d ＝|k －2|k 2＋1＝5，解得k ＝－12，直线l 的方程为x ＋2y －3＝0.综上，直线l 的方程为2x －y ＋9＝0或2x －y －1＝0或x ＋2y －3＝0.点拨：两点到直线的距离相等，可分为两点在直线同侧和两侧，其中位于直线两侧的情形极易遗漏，应引起注意.对于A ，B 两点在直线l 的两侧，若由|AB |＝25，发现直线l 即线段AB 的中垂线，则更易求解.(2013·武汉四月调研)已知直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)，两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，若(Ax 1＋By 1＋C )·(Ax 2＋By 2＋C )>0，且||Ax 1＋By 1＋C <||Ax 2＋By 2＋C ，则直线l ( )A.与直线P 1P 2不相交B.与线段P 2P 1的延长线相交C.与线段P 1P 2的延长线相交D.与线段P 1P 2相交解：由(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0，得点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的同侧，设d 1＝||Ax 1＋By 1＋C A 2＋B 2，d 2＝||Ax 2＋By 2＋C A 2＋B 2，由||Ax 1＋By 1＋C <||Ax 2＋By 2＋C 得d 1<d 2，即点 P 1(x 1，y 1)到直线l 的距离小于点P 2(x 2，y 2)到直线l 的距离，数形结合知直线l 与线段P 2P 1的延长线相交.故选B.类型五 直线系及其应用求证：动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0(其中m ∈R )恒过定点，并求出定点坐标.证法一：令m ＝0，则直线方程为3x ＋y ＋1＝0，①再令m ＝1时，直线方程为6x ＋y ＋4＝0，②①②联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋1＝0，6x ＋y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.将点A (－1，2)代入动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0中，(m 2＋2m ＋3)×(－1)＋(1＋m －m 2)×2＋3m 2＋1＝(3－1－2)m 2＋(－2＋2)m ＋2＋1－3＝0， 故点A (－1，2)的坐标恒满足动直线方程，所以动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0恒过定点A.证法二：将动直线方程按m 降幂排列整理得， m 2(x －y ＋3)＋m (2x ＋y )＋3x ＋y ＋1＝0，① 不论m 为何实数，①式恒为零，∴有⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，3x ＋y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.故动直线恒过点A (－1，2).点拨：此题属于数学中恒成立问题，所以证法一是先赋给m 两个特殊值得两条直线，那么这两条直线的交点就是那个定点，但m 只是取两个特殊值，是否m ∈R 时都成立，则要进行代入检验；证法二是将动直线方程按m 的降幂排列，由于∀m ∈R 恒成立，所以得关于x ，y 的方程组，解此方程组便得定点坐标.直线系也称直线束，是具有某一共同性质的直线的集合.常见直线系方程有：(1)过定点(x 1，y 1)的直线系：y －y 1＝k (x －x 1)和x ＝x 1.(2)平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系：Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C ).(3)垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系：Bx －Ay ＋λ＝0.(4)过A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0).已知直线l ：(a ＋b )x ＋(a －b )y ＋2＝0，其中a ，b 满足3a －b ＋2＝0.求证：直线l 恒过一定点.证明：由已知得b ＝3a ＋2，则直线l 的方程可化为(4a ＋2)x －(2a ＋2)y ＋2＝0，整理得 a (4x －2y )＋2x －2y ＋2＝0. 令⎩⎪⎨⎪⎧4x －2y ＝0，2x －2y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. ∵点(1，2)恒满足直线l 的方程，∴直线l 恒过定点(1，2).1.无论是判断两条直线平行还是垂直，都是从两方面来讨论的，即两条直线斜率都存在的情况和两条直线至少有一条斜率不存在的情况.2.两条直线平行或垂直时求直线方程中的参数，需分类讨论及数形结合.3.如果能推导出用直线方程一般式表示的两条直线平行、重合或垂直的条件(一般式系数之间的关系)，并记住结论，往往会使问题更易于解决.4.求两条直线交点坐标的方法就是解方程组，利用解方程组也可以判断两条直线的位置关系，即将几何问题转化为代数问题.5.运用公式d ＝||C 1－C 2A 2＋B 2求两平行直线间的距离时，一定要将两条直线方程中x ，y 的系数化成相等的系数，求两平行直线间的距离也可化归为点到直线的距离，即在一条直线上任取一点，求该点到另一条直线的距离即为两平行直线间的距离.这一方法体现了化归思想的应用.6.点(x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b (即y －kx －b ＝0)的距离公式d ＝||y 0－kx 0－b 1＋k2记忆容易，对于知d 求k ，b 很方便.7.对称主要分为中心对称和轴对称两种，中心对称仅用中点坐标公式即可，轴对称因对称点连线的中垂线就是对称轴，所以根据线段的中点坐标公式和两条直线垂直的条件即可解决.1.过点A (2，3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( )A.x －2y ＋4＝0B.2x ＋y －7＝0C.x －2y ＋3＝0D.x －2y ＋5＝0解：由点斜式得所求直线方程为y －3＝12(x －2)，即x －2y ＋4＝0.故选A.2.(2013·山东模拟)已知两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，则a 等于( )A.1或－3B.－1或3C.1或3D.－1或－3解：∵直线y ＝ax －2的斜率存在且为a ，∴a＋2≠0，直线3x －(a ＋2)y ＋1＝0可化为y ＝3a ＋2x＋1a ＋2.∵两条直线平行，∴3a ＋2＝a 且1a ＋2≠－2，解得a ＝1或－3.故选A.3.若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2恒过定点( )A.(0，4)B.(0，2)C.(－2，4)D.(4，－2)解：∵直线l 1与l 2关于点(2，1)对称，且直线l 1过点(4，0)，∴直线l 2必过点(4，0)关于点(2，1)的对称点(0，2).故选B.4.(2013·长春调研)已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A.1710B.175C.8D.2 解：由题意得36＝4m ≠－314，解得m ＝8.∴直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0.∴两平行线间的距离为d ＝||－3－732＋42＝2.故选D. 5.如果直线(m ＋2)x ＋(m 2＋3m ＋2)y ＝m ＋2与y 轴平行，则m ＝( )A.－1或－2B.－1C.－1或2D.－2 解：∵直线与y 轴平行， ∴m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－1或－2. 当m ＝－1时，直线方程为x ＝1；当m ＝－2时，方程(m ＋2)x ＋(m 2＋3m ＋2)y ＝m ＋2不表示直线，舍去.综上知m ＝－1.故选B.6.已知直线l 1：ax ＋4y ＝2与直线l 2：2x －5y ＋b ＝0垂直，点(1，c )为垂足，则a ＋b ＋c 等于( )A.－4B.20C.0D.24解：∵l 1⊥l 2，∴2a －20＝0，a ＝10.∴直线l 1的方程为5x ＋2y －1＝0.又∵点(1，c )为垂足，∴点(1，c )在直线l 1，l 2上，有⎩⎪⎨⎪⎧5＋2c －1＝0，2－5c ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－12，c ＝－2.∴a ＋b ＋c ＝10－12－2＝－4.故选A. 7.过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，且与直线2x ＋3y ＝0垂直的直线方程为____________.解：设与直线2x ＋3y ＝0垂直的直线方程为3x －2y ＋m ＝0，由于其过圆心(－1，2)，所以有3×(－1)－2×2＋m ＝0，得m ＝7，所求直线方程为3x －2y ＋7＝0.故填3x －2y ＋7＝0.8.(2013·北京模拟)l 1，l 2是分别经过A (1，1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是____________.解：当两条平行直线与A ，B 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大，∵A (1，1)，B (0，－1)，∴k AB ＝－1－10－1＝2，两平行线的斜率为k ＝－12.∴直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.故填x ＋2y －3＝0.9.已知△ABC 的顶点B (2，1)，C (－6，3)，其垂心为H (－3，2)，求顶点A 的坐标.解：设顶点A 的坐标为(x ，y ).∵AC ⊥BH ，AB ⊥CH ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k AC ·k BH ＝－1，k AB ·k CH ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧y －3x ＋6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＝－1，y －1x －2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1，化简为⎩⎪⎨⎪⎧y ＝5x ＋33，y ＝3x －5，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－19，y ＝－62.∴A 的坐标为(－19，－62).10.设一直线l 经过点(－1，1)，此直线被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0和l 2：x ＋2y －3＝0所截得线段的中点在直线x －y －1＝0上，求直线l 的方程.解法一：设直线x －y －1＝0与l 1，l 2的交点为C (x C ，y C )，D (x D ，y D )，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，x －y －1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x C ＝1，y C ＝0， ∴C (1，0). 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0，x －y －1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝53，y D ＝23，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，23.∴CD 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13. 又l 过点(－1，1)，由两点式得l 的方程为： y －131－13＝x －43－1－43，即2x ＋7y －5＝0为所求方程. 解法二：∵与l 1，l 2平行且与它们距离相等的直线方程为：x ＋2y ＋－1－32＝0，即x ＋2y －2＝0，∴由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x －y －1＝0得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.(以下同解法一)解法三：过中点且与两直线平行的直线方程为x ＋2y －2＝0，设所求方程为：(x －y －1)＋λ(x ＋2y －2)＝0，①∵(－1，1)在此直线上，∴－1－1－1＋λ(－1＋2－2)＝0，解得λ＝－3，代入①得2x ＋7y －5＝0.解法四：设所求直线与两平行线l 1，l 2的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋2y 1－1＝0，x 2＋2y 2－3＝0得(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)－4＝0.①又AB 的中点在直线x －y －1＝0上， ∴x 1＋x 22－y 1＋y 22－1＝0.②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 22＝43，y 1＋y 22＝13.(以下同解法一)11.证明直线(a －2)y ＝(3a －1)x －1对任意a ∈R 都通过第一象限，并求出直线不通过第二象限时a 的取值范围.证明：原直线方程可变形为x －2y ＋1＋a (y －3x )＝0，①由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y －3x ＝0 解得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝35. ∴方程①表示恒过点(15，35)的一条直线.又点(15，35)在第一象限，∴无论a 为何实数，此直线均过第一象限.解：当a ≠2时，直线方程可化为：y ＝3a －1a －2x－1a －2. 若要此直线不通过第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧3a －1a －2＞0，－1a －2＜0，解得a ＞2. 又当a ＝2时，原方程可化为：x ＝15，也不经过第二象限.∴当a ≥2时，直线不通过第二象限.(2014·上海)已知P 1(a 1，b 1)与P 2(a 2，b 2)是直线y ＝kx ＋1(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝1，a 2x ＋b 2y ＝1的解的情况是( )A.无论k ，P 1，P 2如何，总是无解B.无论k ，P 1，P 2如何，总有唯一解C.存在k ，P 1，P 2，使之恰有两解D.存在k ，P 1，P 2，使之有无穷多解解：∵点P 1(a 1，b 1)与P 2(a 2，b 2)在直线y ＝kx ＋1(k 为常数)上且斜率存在，∴k ＝b 2－b 1a 2－a 1(a 1≠a 2)，b 1＝b 2－b 1a 2－a 1·a 1＋1，得a 2b 1－a 1b 2＝a 2－a 1. 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝1，a 2x ＋b 2y ＝1得(a 1b 2－a 2b 1)x ＝b 2－b 1，即 (a 1－a 2)x ＝b 2－b 1.∴方程组总有唯一解.故选B.§9.3 圆的方程1.圆的定义 在平面内，到_________的距离等于__________的点的__________叫圆.确定一个圆最基本的要素是__________和__________.2.圆的标准方程与一般方程(1)圆的标准方程：方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)叫做以点____________为圆心，__________为半径长的圆的标准方程.(2)圆的一般方程：方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(____________)叫做圆的一般方程.注：将上述一般方程配方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4，此为该一般方程对应的标准方程，表示的是以____________为圆心，____________为半径长的圆.3.点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种：圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，点M (x 0，y 0)，(1)点M 在圆上：________________________； (2)点M 在圆外：_______________________； (3)点M 在圆内：_________________________.自查自纠：1.定点 定长 集合 圆心 半径长2.(1)(a ，b ) r(2)D 2＋E 2－4F >0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2 12D 2＋E 2－4F3.(1)(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2(2)(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2(3)(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( )A.－1B.1C.3D.－3解：圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，∵直线经过圆的圆心(－1，2)，∴3×(－1)＋2＋a ＝0，得a ＝1.故选B.方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( )A.a <－2或a >23B.－23<a <0C.－2<a <0D.－2<a <23解：∵方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，∴D 2＋E 2－4F >0，即a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，解得－2<a <23.故选D.当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，半径长为5的圆的方程为( )A.x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B. x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C.x 2＋y 2＋2x －4y ＝0 D. x 2＋y 2－2x －4y ＝0 解：由(a －1)x －y ＋a ＋1＝0变形得y －2＝(a －1)(x ＋1)，∴该直线恒过点C (－1，2).∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.故选C.(2014·陕西)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为____________.解：∵点(1，0)关于直线y ＝x 的对称点为(0，1)，∴圆心为(0，1).∴圆C 的标准方程为x 2＋(y－1)2＝1.故填x 2＋(y －1)2＝1.圆心在y 轴上，半径长为1，且过点(1，2)的圆的方程是________________.解法一(直接法)：设圆心坐标为(0，b )，则由题意知（0－1）2＋（b －2）2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.解法二(数形结合法)：作图，根据圆上的点到圆心的距离为1易知圆心为(0，2)，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.故填x 2＋(y －2)2＝1.类型一 求圆的方程已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程，并且判断点M (6，9)，N (3，3)，Q (5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外.解法一(待定系数法)：根据已知条件，圆心C (a ，b )是P 1P 2的中点，那么它的坐标为a ＝4＋62＝5，b＝9＋32＝6.再根据两点的距离公式，得圆的半径长是 r ＝|CP 1|＝（4－5）2＋（9－6）2＝10.因此所求圆的方程是(x －5)2＋(y －6)2＝10. 解法二(轨迹法)：∵P 1P 2为直径，∴圆上任意。

9.6双曲线必备知识预案自诊知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做,两焦点间的距离叫做.集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数.(1)若a c,则点M的轨迹是双曲线;(2)若a c,则点M的轨迹是两条射线;(3)若a c,则点M不存在.2.标准方程(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0);(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2−x2b2=1(a>0,b>0).3.双曲线的性质续表1.过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)上一点M (x 0,y 0)的切线方程为x 0x a 2−y 0y b 2=1.2.双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P (x 0,y 0)为双曲线上任意一点,且不与点F 1,F 2共线,∠F 1PF 2=θ,则△F 1PF 2的面积为b 2tanθ2.3.若点P (x 0,y 0)在双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a>0,b>0)内,则被点P 所平分的中点弦的方程为x 0x a 2−y 0y b 2=x 02a 2−y 02b 2.4.双曲线中点弦的斜率公式设点M (x 0,y 0)为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的弦AB (不平行y 轴)的中点,则k AB ·k OM =b 2a 2,即k AB =b 2x 0a 2y 0.5.双曲线的焦半径公式双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的焦点为F 1(-c ,0),F 2(c ,0),当点M (x 0,y 0)在双曲线右支上时,|MF 1|=ex 0+a ,|MF 2|=ex 0-a ;当点M (x 0,y 0)在双曲线左支上时,|MF 1|=-ex 0-a ,|MF 2|=-ex 0+a. 6.若P 是双曲线右支上一点,F 1,F 2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF 1|min =a+c ,|PF 2|min =c-a. 7.双曲线的同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴所在直线的弦),其长为2b 2a;异支的弦中最短的为实轴,其长为2a.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()(2)双曲线x2m2−y2n2=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是x2m2−y2n2=0,即xm±yn=0.()(3)关于x,y的方程x2m −y2n=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(4)与双曲线x2m −y2n=1(其中mn>0)共渐近线的双曲线方程可设为x2m−y2n=λ(λ≠0).()(5)若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与x2b2−y2a2=1(a>0,b>0)的离心率分别是e1,e2,则1e12+1e22=1.()2.(2020山东济南期末)方程x2m-2+y2m+3=1表示双曲线的一个充分不必要条件是()A.-3<m<0B.-3<m<2C.-3<m<4D.-1<m<33.(2020山东菏泽一模,5)已知双曲线x25−y2a=1的一条渐近线上存在一点到x轴的距离与到原点O的距离之比为23,则实数a的值为()A.2B.4C.6D.84.(2020上海期末)已知双曲线的渐近线方程为y=±12x,且过点A(4,√2),则此双曲线的方程为.5.(2020全国3,文14)设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=√2x,则C的离心率为.关键能力学案突破考点双曲线的定义〖例1〗(1)(2020全国1,文11)设F1,F2是双曲线C:x2-y23=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为()A.72B.3 C.52D.2(2)已知点F2为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,直线y=kx交双曲线C于A,B两点,若∠AF2B=2π3,S△AF2B=2√3,则双曲线C的虚轴长为.?解题心得双曲线定义的应用主要有两个方面:一是判定平面内动点轨迹是否为双曲线,进而求出曲线方程;二是在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF 1|-|PF 2||=2a ,运用平方的方法,建立与|PF 1|·|PF 2|的联系.对点训练1(1)已知(x-2)2+y 2=9的圆心为C.过点M (-2,0)且与x 轴不重合的直线l 交圆C 于A ,B 两点,点A 在点M 与点B 之间.过点M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ,则点P 的轨迹为( )A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分(2)(2020河北廊坊省级示范学校联考)设F 1,F 2分别为双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F 1的直线交双曲线C 的左支于A ,B 两点,且|AF 2|=3,|BF 2|=5,|AB|=4,则△BF 1F 2的面积为 .考点双曲线的标准方程〖例2〗(1)已知动圆M 与圆C 1:(x+4)2+y 2=2外切,与圆C 2:(x-4)2+y 2=2内切,则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 22−y 214=1(x ≥√2) B.x 22−y 214=1(x ≤-√2) C.x 22+y 214=1(x ≥√2) D.x 22+y 214=1(x ≤-√2)(2)(2020云南大理月考)已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均与圆C :x 2212=0相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则双曲线的方程为 .?解题心得1.待定系数法:设出双曲线方程的标准形式,根据已知条件,列出参数a ,b ,c 的方程并求出a ,b ,c 的值.与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1有相同渐近线时,可设所求双曲线方程为x 2a 2−y 2b 2=λ(λ≠0).2.定义法:依定义得出距离之差的等量关系式,求出a 的值,由定点位置确定c 的值. 对点训练2(1)已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过点F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ,若(F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则双曲线的标准方程可能为( )A.x 24−y 23=1 B.x 23−y 24=1C.x 216−y 29=1D.x 29−y 216=1(2)已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的离心率为32,过右焦点F 作渐近线的垂线,垂足为M ,若△FOM 的面积为√5,其中O 为坐标原点,则双曲线的标准方程为( )A.x2-4y25=1 B.x22−2y25=1C.x24−y25=1 D.x216−y220=1考点双曲线的几何性质(多考向探究)考向1求双曲线的渐近线方程〖例3〗(2020福建厦门一模)已知双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点为F,点A,B是双曲线C的一条渐近线上关于原点对称的两点,以AB为直径的圆过点F且交双曲线C的左支于M,N两点,若|MN|=2,△ABF的面积为8,则双曲线C的渐近线方程为()A.y=±√3xB.y=±√33xC.y=±2xD.y=±12x解题心得求双曲线的渐近线方程的方法依据题设条件,求出双曲线方程x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)中a,b的值或a与b的比值,进而得出双曲线的渐近线方程.对点训练3(1)(2020山东德州高三第二次模拟)已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线x2a2−y2 b2=12的焦点相同,则双曲线渐近线方程为()A.y=±√33x B.y=±√3xC.y=±√22x D.y=±√2x(2)椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线Ω:x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)焦点相同,F为左焦点,曲线Γ与Ω在第一象限、第三象限的交点分别为A,B,且∠AFB=2π3,则当这两条曲线的离心率之积最小时,双曲线的一条渐近线的方程是()A.x-2y=0B.2x+y=0C.x-√2y=0D.√2x+y=0考向2求双曲线的离心率〖例4〗(2020福建福州三模,理16)已知梯形ABCD满足AB∥CD,∠BAD=45°,以A,D 为焦点的双曲线Γ经过B,C两点.若|CD|=7|AB|,则Γ的离心率为.解题心得求双曲线离心率的值或取值范围的方法(1)求a,b,c的值,由e=ca =√1+b2a2直接求出e.(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助b2=c2-a2消去b,然后转化为关于e的方程(或不等式)求解.对点训练4(1)(2020山东潍坊二模,8)已知O 为坐标原点,双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的右焦点为F ,过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 的一条渐近线交于点A (点A 在第一象限),点B 在双曲线C 的渐近线上,且BF ∥OA.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则双曲线C 的离心率为( )A.2√33B.√2C.√3D.2(2)(2020山东济宁三模,16)设双曲线C :x 2a2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,|F 1F 2|=2c ,过F 2作x 轴的垂线,与双曲线在第一象限的交点为A ,点Q 坐标为(c ,3a 2),且满足|F 2Q|>|F 2A|.若在双曲线C 的右支上存在点P 使得|PF 1|+|PQ|<76|F 1F 2|成立,则双曲线的离心率的取值范围是 .考点双曲线与圆的综合问题〖例5〗已知点P 为双曲线C :x 2a2−y 2b 2=1(a>0,b>0)上一点,F 1,F 2为双曲线C 的左、右焦点,若|PF 1|=|F 1F 2|,且直线PF 2与以双曲线C 的实轴为直径的圆相切,则双曲线C 的渐近线方程为( )A.y=±43xB.y=±34xC.y=±35xD.y=±53x?解题心得解答双曲线与圆的综合问题一般要画出几何图形,多借助圆的几何性质,挖掘出隐含条件,如垂直关系、线段或角的等量关系等.对点训练5(2019全国2,理11)设F 为双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P ,Q 两点.若|PQ|=|OF|,则C 的离心率为( )A.√2B.√3C.2D.√51.双曲线中的参数a ,b ,c 三者之间的关系为a 2+b 2=c2.2.与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2−y 2b 2=λ(λ≠0). 3.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时,只要令双曲线的标准方程中的“1”为“0”就得到两渐近线方程,即方程x 2a 2−y 2b 2=0就是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程.4.双曲线中的焦点三角形的面积公式为S△PF1F2=b2tanθ2.(其中P为双曲线上任意一点,但不能与点F1,F2共线,F1,F2是双曲线的左、右焦点,θ为∠F1PF2的大小)1.双曲线的标准方程的两种形式的区分要结合x2,y2前系数的正负.2.关于双曲线离心率的取值范围问题,不要忘记双曲线离心率的取值范围是(1,+∞).3.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程是y=±bax,y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程是y=±abx.4.若利用弦长公式计算,在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况.5.当直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点,但不是相切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个交点.9.6双曲线必备知识·预案自诊知识梳理1.距离的差的绝对值双曲线的焦点双曲线的焦距(1)2a<|F1F2|(2)2a=|F1F2|(3)2a>|F1F2|3.坐标轴原点(-a,0)(a,0)(0,-a)(0,a)a2+b22a2b考点自诊1.(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√2.A方程x2m-2+y2m+3=1表示双曲线,则有(m-2)(m+3)<0,解得-3<m<2.由题意,所给集合必须是{m|-3<m<2}的非空真子集,只有A符合条件.3.B由题意,双曲线的一条渐近线的斜率为√32-22=√5.由双曲线x25−y2a=1,得实半轴长为√5,虚半轴长为√a.故√a√5=√5,解得a=4.4.x28−y22=1双曲线的渐近线方程为y=±12x,可设双曲线方程为4y2-x2=m.双曲线经过点A(4,√2),可得8-16=m,m=-8.故所求双曲线方程为x28−y22=1.5.√3 由题意得ba=√2,即b=√2a.所以c 2=a 2+b 2=3a 2,即c=√3a ,所以e=ca=√3.关键能力·学案突破例1(1)B (2)2√2 (1)由题意知a=1,b=√3,c=2.不妨设F 1,F 2分别为双曲线C 的左、右焦点,则F 1(-2,0),F 2(2,0).因为|OP|=2,所以点P 在以O 为圆心,F 1F 2为直径的圆上,故PF 1⊥PF 2,则|PF 1|2+|PF 2|2=(2c )2=16.由双曲线的定义可知||PF 1|-|PF 2||=2a=2,所以|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|=4,所以|PF 1|·|PF 2|=6,所以△PF 1F 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|=3.(2)设双曲线C 的左焦点为F 1,连接AF 1,BF 1,由对称性可知四边形AF 1BF 2为平行四边形,因为∠AF 2B=2π3,S △AF 2B =2√3,所以S △AF 1F 2=2√3,∠F 1AF 2=π3.设|AF 1|=r 1,|AF 2|=r 2,则4c 2=r 12+r 22-2r 1r 2cos π3,又|r 1-r 2|=2a ,故r 1r 2=4b 2.又S △AF 1F 2=12r 1r 2sin π3=2√3,所以b 2=2,所以该双曲线的虚轴长为2√2.对点训练1(1)C (2)92 (1)圆(x-2)2+y 2=9的圆心为C (2,0),半径为R=3.如图,∵|CB|=|CA|=R=3,∴∠CBA=∠CAB.∵AC ∥MP , ∴∠CAB=∠PMA , ∴∠CBA=∠PMA ,∴|PM|=|PB|=|PC|+|BC|,∴|PM|-|PC|=|BC|=3(定值),且3<|MC|.∴点P 的轨迹是双曲线的一部分,故选C. (2)因为|AF 2|=3,|BF 2|=5,|AF 2|-|AF 1|=2a ,|BF 2|-|BF 1|=2a ,所以|AF 2|+|BF 2|-|AB|=3+5-4=4=4a ,所以a=1,所以|BF 1|=3. 又|AF 2|2+|AB|2=|BF 2|2,所以∠F 2AB=90°,所以S △BF 1F 2=12|BF 1||AF 2|=12×3×3=92.例2(1)A (2)x 212−y 24=1 (1)设动圆M 的半径为r ,由题意可得|MC 1|=r+√2,|MC 2|=r-√2,|C 1C 2|=8,所以|MC 1|-|MC 2|=2√2<|C 1C 2|,所以由双曲线的定义可知动点M 在以C 1(-4,0),C 2(4,0)为焦点,实轴长为2√2的双曲线的右支上,所以a=√2,c=4,所以b 2=16-2=14,故动圆圆心M 的轨迹方程为x 22−y 214=1(x ≥√2).(2)圆C 的标准方程为(x-4)2+y 2=4,圆心C (4,0),半径为2.双曲线的渐近线方程为y=±ba x ,由题意4b a √1+(b a)2=2,解得ba =√33. 又双曲线的右焦点为圆C 的圆心,所以√a 2+b 2=4. 联立{ba =√33,√a 2+b 2=4,解得{b =2,a =2√3.故双曲线的方程为x 212−y 24=1.对点训练2(1)D (2)C (1)由(F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,可知(F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,即|F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=0,所以|F 2A|=|F 1F 2|=2c.又AF 2的斜率为247,所以cos ∠AF 2F 1=-725.在△AF 1F 2中,由余弦定理得|AF 1|=165c.由双曲线的定义得165c-2c=2a ,即c a =53,所以a ∶b=3∶4.所以此双曲线的标准方程可能为x 29−y 216=1.故选D .(2)由题意可得e=ca=32,可得ba=√c 2a 2-1=√52,设F (c ,0),渐近线为y=bax ,可得F 到渐近线的距离为|MF|=√a 2+b 2=b ,由勾股定理可得|OM|=√|OF |2-|MF |2=√c 2-b 2=a ,因为△FOM 的面积为√5,所以12ab=√5,又a 2+b 2=c 2,联立{ca=32,12ab =√5,a 2+b 2=c 2,解得b=√5,a=2,c=3,所以双曲线的方程为x 24−y 25=1,故选C.例3B 不妨设点A ,B 在直线y=bax 上,点F (c ,0),则设点A (x 0,bax 0),B -x 0,-bax 0.因为以AB 为直径的圆过点F ,所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =c 2-x 02−b 2a 2x 02=c 2-c 2a 2x 02=0,所以x 0=±a.所以S △ABF =12·c·|2bax 0|=bc=8.由{x 2+y 2=c 2,x 2a2-y 2b2=1,得y=±b 2c,则|MN|=2b 2c=2,即b 2=c.所以b=2,c=4,所以a=√c 2-b 2=2√3.所以双曲线C 的渐近线方程为y=±√33x.故选B .对点训练3(1)A (2)C (1)由椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)与双曲线x 2a 2−y 2b 2=12,即x 2a 22−y 2b 22=1的焦点相同,可得a 2-b 2=a22+b 22,即a 2=3b 2,所以ba=√33.所以双曲线的渐近线方程为y=±√33x.故选A .(2)设双曲线的右焦点为F 1,由题意点A 与点B 关于原点对称,因此|AF 1|=|BF|,又∠AFB=2π3,所以∠FAF 1=π3.由椭圆与双曲线定义可得|AF|+|AF 1|=2a ,|AF|-|AF 1|=2m ,所以|AF|=a+m ,|AF 1|=a-m ,根据余弦定理可得|FF 1|2=|AF|2+|AF 1|2-2|AF||AF 1|cos ∠FAF 1,即4c 2=(a+m )2+(a-m )2-2(a+m )(a-m )cos π3,化简得4c 2=3m 2+a 2≥2√3m 2·a 2=2√3ma ,当且仅当3m 2=a 2①时,取等号.所以离心率乘积为ca ·cm =c 2am ≥√32,由a 2-b 2=m 2+n 2,所以4c 2-3m 2-b 2=m 2+n 2,所以b 2=3n 2②,再将①②代入a 2-b 2=m 2+n 2可得m 2=2n 2,所以双曲线的渐近线方程为x-√2y=0或x+√2y=0,故选C. 例43√24(方法1)如图所示,以AD 的中点O 为原点,以AD 为x 轴,建立平面直角坐标系.设点C 关于点O 对称的点为C',由对称性知,B ,A ,C'三点共线.设Γ的方程为x 2a2−y 2b 2=1(a>0,b>0),A (-c ,0),B (x 1,y 1),C'(x 2,y 2),则直线BC'的方程为y=x+c.由{y =x +c ,x 2a2-y 2b2=1得(b 2-a 2)y 2-2b 2cy+b 4=0,所以Δ=4b 4c 2-4b 4(b 2-a 2)>0,y 1+y 2=2b 2c b 2-a 2,y 1y 2=b 4b 2-a 2.因为|CD|=7|AB|,所以|y 2|=7|y 1|. 因为y 1,y 2异号,所以y 2=-7y 1. 由{y 2=-7y 1,y 1+y 2=2b 2c b 2-a 2, 解得{y 1=-b 2c3(b 2-a 2),y 2=7b 2c3(b 2-a 2),代入y 1y 2=b 4b 2-a 2,得-7c 2=9(b 2-a 2),因为b 2=c 2-a 2,所以9a 2=8c 2.所以Γ的离心率e=ca=3√24. (方法2)如图,连接AC ,BD.设该双曲线的焦距AD=2c ,实轴长为2a ,则|BD|-|AB|=|AC|-|CD|=2a. 设AB=m ,则CD=7m ,BD=2a+m ,AC=2a+7m. 依题意,∠BAD=45°,∠ADC=135°,在△ABD 中,由余弦定理及题设得(2a+m )2=m 2+4c 2-2√2mc ,在△ACD 中,由余弦定理及题设得(2a+7m )2=49m 2+4c 2+14√2mc , 整理得√2(c 2-a 2)=m (√2a+c ),√2(c 2-a 2)=7m (√2a-c ), 两式相除得1=√2a+c7(√2a -c ),6√2a=8c ,故Γ的离心率e=ca=3√24. 对点训练4(1)A (2)(32,√102) (1)如图所示,设双曲线的焦距为2c ,渐近线方程为y=±ba x ,则点F (c ,0),A (c ,bca ).设点B (x 0,-bx 0a ).∵BF ∥OA ,∴k OA =k BF ,即ba =-bx 0ax 0-c,解得x 0=c 2,∴B (c 2,-bc2a ). ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-c 2,-3bc2a),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(c 2,-bc 2a). 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴-c 24+3b 2c 24a 2=0,即a 2=3b 2. ∵c 2=a 2+b 2,∴a 2=3(c 2-a 2),即3c 2=4a 2,∴离心率e=ca=2√33.故选A.(2)将x=c 代入双曲线的方程,得y=±b √c 2a 2-1=±b 2a ,所以A (c ,b 2a ). 又因为|F 2Q|>|F 2A|,所以3a2>b 2a,所以(b a )2<32,所以e=c a =√1+(b a )2<√1+32=√102. 因为|PF 1|+|PQ|=2a+|PF 2|+|PQ|≥2a+|F 2Q|,又在双曲线C 的右支上存在点P 使得|PF 1|+|PQ|<76|F 1F 2|成立,所以有2a+|F 2Q|<76|F 1F 2|,即2a+32a<76×2c ,解得e>32.又因为e>1,所以32<e<√102. 例5A 如图.由已知得|PF 1|=|F 1F 2|=2c.因为直线PF 2与以双曲线C 的实轴为直径的圆相切,设切点为M ,所以|OM|=a ,OM ⊥PF 2,所以|MF 2|=√c 2-a 2=b.由双曲线的定义可得|PF 2|-|PF 1|=2a ,所以|PF 2|=2a+2c ,所以cos ∠OF 2M=bc =(2c )2+(2a+2c )2-(2c )22×2c×(2a+2c ),整理得c=2b-a.又c 2=a 2+b 2,解得ba =43.所以双曲线C 的渐近线方程为y=±43x.故选A . 对点训练5A 如图,设PQ 与x 轴交于点A ,由对称性可知PQ ⊥x 轴.∵|PQ|=|OF|=c ,∴|PA|=c2.∴PA 为以OF 为直径的圆的半径,A 为圆心,∴|OA|=c2.∴Pc 2,c 2.又点P 在圆x 2+y 2=a 2上,∴c 24+c 24=a 2,即c 22=a 2,∴e 2=c 2a 2=2,∴e=√2.故选A .。

学习资料9.7 抛物线必备知识预案自诊知识梳理 1.抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的 的点的轨迹叫做抛物线。

点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的 .F 在定直线l 上,则动点的轨迹为过点F 且垂直于l 的一条直线。

2。

抛物线的几何性质Fp2,0 F —p2,0 F 0，p 2F 0,-p 2e=1。

设AB 是过抛物线y 2=2px （p>0)焦点F 的弦，若A (x 1,y 1),B (x 2，y 2),如图所示，则 （1）x 1x 2=p 24,y 1y 2=-p 2；(2）弦长|AB|=x 1+x 2+p=2psin 2α(α为弦AB 所在直线的倾斜角）；（3）以弦AB 为直径的圆与准线相切;（4)S △AOB =p 22sinα(α为弦AB 所在直线的倾斜角）; (5）∠CFD=90°。

2.抛物线y 2=2px (p 〉0）的通径长为2p 。

考点自诊1。

判断下列结论是否正确，正确的画“√”,错误的画“×”。

（1）平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线. ( ) (2）若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切. （ ) (3)若一抛物线过点P （—2，3),则其标准方程可写为y 2=2px (p 〉0）. ( ） （4）抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形。

（ )（5)方程y=ax2（a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是a，0.4(）2.（2020天津河北区线上测试,5)已知抛物线y2=4x与x2=2py(p>0）的焦点间的距离为2，则p的值为()A。

2√3B。

4 C.6 D.123。

（2020北京，7）设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l。

P是抛物线上异于O 的一点，过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线（）A。

经过点O B。

经过点PC。

平行于直线OP D.垂直于直线OP4。

高考数学统考一轮复习：第七节 抛物线【知识重温】一、必记2个知识点1．抛物线定义、标准方程及几何性质 (p ＞0) ________ ________ ________x 轴 ⑤________ y 轴 ⑥________ 设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p . 二、必明2个易误点1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p 易忽视，只有p >0，才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义． 【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离是4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( )二、教材改编2．过点P (－2,3)的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝－92x 或x 2＝43yB ．y 2＝92x 或x 2＝43yC ．y 2＝92x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝－43y3．抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点P 有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．4个三、易错易混4．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( )A ．y 2＝±22xB ．y 2＝±2xC ．y 2＝±4xD ．y 2＝±42x5．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________．四、走进高考 6．[2020·全国卷Ⅰ]已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝( )A ．2B ．3C ．6D ．9考点一 抛物线的定义和标准方程[自主练透型] 1．[2020·北京卷]设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q .则线段FQ 的垂直平分线( )A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP 2．[2021·湖北鄂州调研]过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作斜率为3的直线，与抛物线在第一象限内交于点A ，若|AF |＝4，则p ＝( )A ．2B ．1 C.3 D ．4 3．[2021·成都高三摸底考试]已知顶点在坐标原点的抛物线的焦点坐标为(0，－2)，则此抛物线的标准方程为________．4．[2021·郑州一中高三摸底考试]从抛物线y ＝14x 2上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5.设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为________．悟·技法应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p2.考点二 抛物线的几何性质[互动讲练型] [例1] (1)[2021·合肥市第二次质量检测]已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为( )A ．±3B ．±1C ．±34D ．±33(2)[2021·福州市高三毕业班适应性练习卷]抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，点P 为C 上的动点，点M 为C 的准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其周长为( )A. 2 B ．2 C ．3 2 D ．6 悟·技法1.求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可． (2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．2．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解. [变式练]——(着眼于举一反三) 1．[2021·山西晋城一模]已知P 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上的一点，F 是抛物线C 的焦点，O 为坐标原点．若|PF |＝2，∠PFO ＝π3，则抛物线C 的方程为( )A ．y 2＝6xB ．y 2＝2xC ．y 2＝xD ．y 2＝4x 2．[2021·东北四市模拟]若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为________．考点三 直线与抛物线的位置关系 [互动讲练型][例2] [2019·全国卷Ⅰ]已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程；(2)若AP →＝3PB →，求|AB |.悟·技法解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法1．直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．2．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．3．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.[变式练]——(着眼于举一反三)3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．第七节 抛物线【知识重温】①相等 ②y 2＝－2px (p ＞0) ③x 2＝－2py (p ＞0) ④x 2＝2py (p ＞0) ⑤x 轴 ⑥y 轴⑦F (－p 2，0) ⑧F (0，－p 2) ⑨F (0，p 2)⑩e ＝1 ⑪x ＝－p 2 ⑫y ＝－p 2 ⑬－y 0＋p 2 ⑭y 0＋p2 ⑮y ≤0 ⑯y ≥0【小题热身】1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．解析：设抛物线的标准方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2,3)，解得k ＝－92，m ＝43.∴y 2＝－92x 或x 2＝43y . 答案：A3．解析：抛物线y 2＝8x 的准线方程为x ＝－2，则抛物线顶点到准线的距离为2，因为抛物线到焦点的距离和到准线的距离相等，则根据抛物线的对称性可知抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点有2个．答案：C 4．解析：由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p2＝2，所以p ＝22，所以抛物线方程为y 2＝±42x ，故选D. 答案：D5．解析：Q (－2,0)，当直线l 的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ≤1.答案：[－1,1]6．解析：设焦点为F ，点A 的坐标为(x 0，y 0)，由抛物线定义得|AF |＝x 0＋p2，∵点A 到y 轴距离为9，∴x 0＝9，∴9＋p2＝12，∴p ＝6.故选C. 答案：C 课堂考点突破考点一1．解析：解法一 不妨设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，P (x 0，y 0)(x 0>0)，则Q ⎝⎛⎭⎫－p2，y 0，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，直线FQ 的斜率为－y 0p ，从而线段FQ 的垂直平分线的斜率为py 0，又线段FQ 的中点为⎝⎛⎭⎫0，y 02，所以线段FQ 的垂直平分线的方程为y －y 02＝py 0(x －0)，即2px －2y 0y ＋y 20＝0，将点P 的横坐标代入，得2px 0－2y 0y ＋y 20＝0，又2px 0＝y 20，所以y ＝y 0，所以点P 在线段FQ 的垂直平分线上，故选B.解法二 连接PF ，由题意及抛物线的定义可知|PQ |＝|FP |，则△QPF 为等腰三角形，故线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选B.答案：B2．解析：过点A 作AB 垂直x 轴于点B ，则在Rt △ABF 中，∠AFB ＝π3，|AF |＝4，∴|BF |＝12|AF |＝2，则x A ＝2＋p 2，∴|AF |＝x A ＋p2＝2＋p ＝4，得p ＝2，故选A. 答案：A3．解析：依题意可设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，因为焦点坐标为(0，－2)，所以－p2＝－2，解得p ＝4.故所求抛物线的标准方程为x 2＝－8y . 答案：x 2＝－8y4．解析：由题意，得x 2＝4y ，则抛物线的准线方程为y ＝－1.从抛物线上一点P 引抛物线准线的垂线，设P (x 0，y 0)，则由抛物线的定义知|PM |＝y 0＋1，所以y 0＝4，所以|x 0|＝4，所以S △MPF ＝12×|PM |×|x 0|＝12×5×4＝10.答案：10 考点二例1 解析：(1)设M (x M ，y M )，由抛物线定义可得|MF |＝x M ＋p 2＝2p ，解得x M ＝3p2，代入抛物线方程可得y M ＝±3p ，则直线MF 的斜率为y M x M －p 2＝±3pp ＝±3，选项A 正确．(2)解法一 作出图形如图所示，因为△FPM 为等边三角形，所以PM 垂直C 的准线于M ，易知|PM |＝4|OF |，因为|OF |＝12，所以|PM |＝2，所以△FPM 的周长为3×2＝6，故选D.解法二 因为△FPM 为等边三角形，|PF |＝|PM |，所以PM 垂直C 的准线于M ，设P ⎝⎛⎭⎫m 22，m ，则M ⎝⎛⎭⎫－12，m ，所以|PM |＝12＋m 22，又F ⎝⎛⎭⎫12，0，且|PM |＝|MF |，所以12＋m 22＝⎝⎛⎭⎫12＋122＋m 2，解得m 2＝3，所以|PM |＝2，所以△FPM 的周长为3×2＝6，故选D. 答案：(1)A (2)D 变式练 1．解析：过点P 作PQ 垂直于x 轴，垂足为Q .∵∠PFO ＝π3，|PF |＝2，∴|PQ |＝3，|QF |＝1，不妨令点P 坐标为⎝⎛⎭⎫p 2－1，3，将点P 的坐标代入y 2＝2px ，得3＝2p ⎝⎛⎭⎫p2－1，解得p ＝3(负值舍去)，故抛物线C 的方程为y 2＝6x .故选A.答案：A2．解析：由题意知x 2＝12y ，则F ⎝⎛⎭⎫0，18， 设P (x 0,2x 20)，则|PF |＝x 20＋⎝⎛⎭⎫2x 20－182 ＝4x 40＋12x 20＋164＝2x 20＋18， 所以当x 20＝0时，|PF |min ＝18. 答案：18考点三例2 解析：设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由题设得F ⎝⎛⎭⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32，由题设可得x 1＋x 2＝52. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，则x 1＋x 2＝－12(t －1)9.从而－12(t －1)9＝52，得t ＝－78.所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得y 2－2y ＋2t ＝0.所以y 1＋y 2＝2.从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3.代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13.故|AB |＝4133.变式练3．解析：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2.所以抛物线方程为y 2＝4x . (2)因为点A 的坐标是(4,4)， 由题意得B (0,4)，M (0,2)．又因为F (1,0)，所以k F A ＝43.因为MN ⊥F A ，所以k MN ＝－34.又F A 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，所以点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45.。

第九章 平面解析几何1.平面解析几何初步 (1)直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.②理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.④掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.⑤能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标.⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离.(2)圆与方程①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系.③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. ④初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 2.圆锥曲线(1)了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).(4)了解曲线与方程的对应关系. (5)理解数形结合的思想. (6)了解圆锥曲线的简单应用.§9.1 平面直角坐标系中的基本公式和直线的方程1.平面直角坐标系中的基本公式(1)数轴上A ，B 两点的距离：数轴上点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则A ，B 两点间的距离|AB |＝____________.(2)平面直角坐标系中的基本公式：①两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)之间的距离公式为d (A ，B )＝|AB |＝__________________________.②线段的中点坐标公式：若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ . 2.直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴____________与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴________或________时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为__________________.(2)斜率：一条直线的倾斜角α的____________叫做这条直线的斜率，常用小写字母k 表示，即k ＝______(α≠______).当直线平行于x 轴或者与x 轴重合时，k______0；当直线的倾斜角为锐角时，k______0；当直线的倾斜角为钝角时，k______0；倾斜角为______的直线没有斜率.倾斜角不同，直线的斜率也不同.因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度.(3)经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝.3.直线方程的几种形式(1)截距：直线l 与x 轴交点(a ，0)的____________叫做直线l 在x 轴上的截距，直线l 与y 轴交点(0，b )的____________叫做直线l 在y 轴上的截距.注：截距____________距离(填“是”或“不是”).(2)直线方程的五种形式：名称 方程 适用范围点斜式 ① k 存在 斜截式 ② k 存在 两点式 ③ ④ 截距式⑤ a ≠0且b ≠0一般式 ⑥ 平面直角坐标系内的所有直线注：斜截式是________的特例；截距式是________的特例.(3)过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线方程 ①若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为____________；②若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为____________；③若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为____________；④若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0，直线即为x 轴，方程为____________.自查自纠： 1.(1)|x 2－x 1|(2)①()x 2－x 12＋()y 2－y 12②x 1＋x 22 y 1＋y 222.(1)正向 平行 重合 0°≤α<180° (2)正切值 tan α 90° ＝ > < 90° (3)y 2－y 1x 2－x 13.(1)横坐标a 纵坐标b 不是 (2)①y －y 0＝k (x －x 0) ②y ＝kx ＋b ③y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1④x 1≠x 2且y 1≠y 2 ⑤x a ＋yb＝1 ⑥Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0) 点斜式 两点式(3)①x ＝x 1 ②y ＝y 1 ③x ＝0 ④y ＝0过点M (－1，m )，N (m ＋1，4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A.1 B.12 C.2 D.13解：由4－m m ＋2＝1，得m ＝1.故选A. 直线3x －3y ＋1＝0的倾斜角是( )A.30°B.60°C.120°D.135°解：直线方程可变形为y ＝3x ＋33，tan α＝3，∵倾斜角α∈[0°，180°)，∴α＝60°.故选B.过点(5，2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上截距2倍的直线方程是( )A.2x ＋y －12＝0B.2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0C.x －2y －1＝0D.x －2y －1＝0或2x －5y ＝0解：当直线过原点时所求方程为2x －5y ＝0；当直线不过原点时，可设其截距式为x a ＋y2a＝1，由该直线过点(5，2)即可解得a ＝6，对应方程为x 6＋y12＝1，即2x ＋y －12＝0，故选B.若直线斜率的绝对值为3，则直线的倾斜角为________.解：∵|k |＝|tan α|＝3，α∈[0，π).∴tan α＝±3，α＝π3或2π3.故填π3或2π3.下列四个命题中真命题有______个.①经过定点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示；②经过任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示；③不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b＝1表示；④经过定点(0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示.解：①当k 不存在时，直线方程为x ＝x 0，不正确；②正确；③当直线与坐标轴垂直时不能用该方程表示，不正确；④k 可能不存在，不正确.故填1.类型一 直线的倾斜角和斜率(1)已知直线l 经过A (cos θ，sin 2θ)和B (0，1)不同的两点，求直线l 倾斜角的取值范围. 解：当cos θ＝0时，sin 2θ＝1－cos 2θ＝1，此时A ，B 重合.∴cos θ≠0.∴k ＝1－sin 2θ0－cos θ＝－cos θ∈[－1，0)∪(0，1].因此倾斜角的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π. (2)如图所示，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1与l 2垂直，则直线l 1的斜率k 1＝________，直线l 2的斜率k 2＝________.解：由图可知，α2＝α1＋90°＝120°，则直线l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan30°＝33，直线l 2的斜率k 2＝tan α2＝tan120°＝－3，故填33；－3.点拨：①直线的倾斜角与斜率均是反映直线倾斜程度的量.倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，两者由公式k ＝tan α联系.②在使用过两点的直线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1时，注意同一直线上选取的点不同，直线的斜率不会因此而发生变化，同时还要注意两点横坐标是否相等，若相等，则直线的倾斜角为90°，斜率不存在，但并不意味着直线的方程也不存在，此时直线的方程可写为x ＝x 1.③在已知两点坐标，求倾斜角α的值或取值范围时，用tan α＝k ＝y 2－y 1x 2－x 1转化，其中倾斜角α∈[0，π)，此时依然要注意斜率不存在的情形，同时注意运用数形结合思想解题.(1)设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足( )A.a ＋b ＝1B.a －b ＝1C.a ＋b ＝0D.a －b ＝0 解：由题意得sin α＝－cos α，显然cos α≠0，则tan α＝－1，∴－a b＝－1，a ＝b ，a －b ＝0.故选D.(2)已知直线l 经过A (2，1)，B (1，m 2)两点，求直线l 的倾斜角的取值范围.解：∵直线l 经过A (2，1)，B (1，m 2)两点，∴k AB ＝m 2－11－2＝1－m 2.又∵m ∈R ，∴k AB ∈(－∞，1]，其倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.类型二 求直线方程根据所给条件求直线的方程. (1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距相等；(3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5. 解：(1)由题意知，直线的斜率存在，设倾斜角为α，则sin α＝1010(α∈[0，π))，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线的方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ±3y＋4＝0.(2)若截距不为0，设直线的方程为x a ＋ya＝1，∵直线过点(－3，4)，∴－3a ＋4a＝1，解得a ＝1.此时直线方程为x ＋y －1＝0.若截距为0，设直线方程为y ＝kx ，代入点(－3，4)，有4＝－3k ，解得k ＝－43，此时直线方程为4x＋3y ＝0.综上，所求直线方程为x ＋y －1＝0或4x ＋3y ＝0.(3)由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x －5＝0.当直线斜率存在时，设其方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点到直线的距离公式，得||10－5k 1＋k2＝5，解得k ＝34.此时直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.点拨：本题考查应用直线方程的几种形式求直线方程，难度虽不大，但每小题都有陷阱.(1)给出了倾斜角的正弦值，求正切值时，应注意倾斜角的范围；(2)截距相等包括经过原点的直线，还要注意截距不是距离；(3)应用点斜式求直线方程时，注意点斜式的局限性，它不能表示平面内所有直线.求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(3，－1)； (2)在y 轴上的截距是－5. 解：∵直线y ＝－3x ＋1的倾斜角α＝120°. ∴所求直线的倾斜角为30°.(1)所求直线方程是：y ＋1＝tan30°(x －3)，即3x －3y －6＝0. (2)所求直线方程为：y ＝33x －5，即3x －3y －15＝0.类型三 直线方程的应用已知点A (4，－1)，B (8，2)和直线 l ：x －y －1＝0，动点P (x ，y )在直线l 上，求||PA ＋||PB 的最小值.解：设点A 1(x 1，y 1)与A (4，－1)关于直线l 对称，P 0为A 1B 与直线l 的交点，∴||P 0A 1＝||P 0A ，||PA 1＝ ||PA .∴||PA ＋||PB ＝||PA 1 ＋||PB ≥||A 1B ＝||A 1P 0＋||P 0B ＝||P 0A ＋||P 0B .当P 点运动到P 0点时，||PA ＋||PB 取到最小值||A 1B .∵点A ，A 1关于直线l 对称，∴由对称的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1x 1－4×1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，即A 1(0，3).∴(||PA ＋||PB )min ＝||A 1B ＝82＋（－1）2＝65.点拨：平面内，两点间连线中直线段最短，这一最基本的公理是解决此类问题的理论基础.求A 关于l 的对称点是关键一步，而点关于直线对称的充要条件又是求对称点的依据.(2013·湖南)在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P (如图).若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )A.2B.1C.83D.43解：以AB ，AC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (4，0)，C (0，4)，得△ABC 的重心D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，设P (m ，0)，m ∈(0，4)，则点P 关于直线BC ，AC 的对称点分别为P 1(4，4－m )，P 2(－m ，0)，由于D ，P 1，P 2三点共线，∴kP 1D ＝kP 2D ，即43－（4－m ）43－4＝4343＋m ，解得m ＝43或0.又∵m ∈(0，4)，∴m ＝43.故选D.1.直线的倾斜角和斜率的关系，可借助k ＝tan α的图象(如图)来解决.这里，α∈[0，π)，k 的范围是两个不连续的区间.在求直线方程时，若不能确定直线的斜率是否存在，则应对斜率存在或不存在分类进行讨论.2.直线在坐标轴上的截距是直线与坐标轴的交点的坐标，它不是距离，它可正、可负、可为0，在用截距式求直线方程时，不可忽视截距可能为0.3.在解决直线与坐标轴围成的直角三角形的面积、周长等问题时，应用截距式方程比较简单.4.对于直线方程来说，要注意的是：每一种形式的二元一次方程表示的直线都是有限制的，具体可参看本节“考点梳理”栏目.在解决关于直线方程的问题中，要把握限制的条件，在求解时要细心处理，否则容易产生增解或漏解的情形.如利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止忽视斜率不存在而出现漏解；利用直线的截距式解题时，要注意防止忽视零截距而造成漏解；利用直线的一般式解题时，要注意防止忽视隐含条件A 2＋B 2≠0而出现增解.5.求直线方程的方法主要有以下两种：(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，求出直线方程；(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，从而写出直线方程.1.下列命题中，正确的是( )A.直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角是αB.直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan αC.直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大D.直线的倾斜角α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增解：因为直线的斜率k ＝tan θ，且θ∈[0，π)时，θ才是直线的倾斜角，所以A 不对；因为任一直线的倾斜角α∈[0，π)，而当α＝π2时，直线的斜率不存在，所以B 不对；当α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，斜率大于0；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率小于0，C 不对.故选D.2.已知直线的倾斜角为120°，在y 轴上的截距为－2，则此直线的方程为( )A.y ＝3x ＋2B.y ＝－3x ＋2C.y ＝－3x －2D.y ＝3x －2解：∵k ＝tan120°＝－3，且直线在y 轴上的截距为－2，∴由斜截式得y ＝－3x －2.故选C.3.已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a 的值是( )A.1B.－1C.－2或－1D.－2或1解：显然a ≠0，由题意得a ＋2＝a ＋2a，解得a＝－2或1.故选D.4.已知直线l 过点(0，2)，且其倾斜角的余弦值为45，则直线l 的方程为( )A.3x －4y －8＝0B.3x ＋4y －8＝0C.3x ＋4y ＋8＝0D.3x －4y ＋8＝0解：∵cos α＝45，α∈[0，π)，∴sin α＝35，k ＝tan α＝34.∴直线l 的方程为y －2＝34x ，即3x－4y ＋8＝0.故选D.5.若A (a ，b )，B (c ，d )是直线y ＝mx ＋n 上的两点，那么A ，B 间的距离为( )A.||a －c 1＋m 2B.||a －c (1＋m 2) C.||a －c 1＋m2D.||a －c ·||m 解：||AB ＝（a －c ）2＋（b －d ）2＝（a －c ）2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －d a －c 2 ＝（a －c ）2（1＋m 2）＝||a －c ·1＋m 2. 故选A.6.(2013·北京海淀模拟)已知点A (－1，0)，B (cos α，sin α)，且||AB ＝3，则直线AB 的方程为( )A.y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3B.y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33C.y ＝x ＋1或y ＝－x －1D.y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 2解：∵||AB ＝（cos α＋1）2＋sin 2α ＝2＋2cos α＝3，∴cos α＝12，sin α＝±32.当点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32时，直线AB 的方程为y ＝33x ＋33；当点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32时，直线AB 的方程为y ＝－33x －33.故选B. 7.直线l ：x sin30°＋y cos150°＋1＝0的斜率是____________.解：由题意得直线l 的斜率k ＝－sin30°cos150°＝tan30°＝33，∴直线l 的斜率为33.故填33. 8.(2013·四川)在平面直角坐标系内，到点A (1，2)，B (1，5)，C (3，6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________.解：在四边形ABCD 所在平面内任取一点P ，则PA ＋PC ≥AC ，PB ＋PD ≥BD ，∴PA ＋PB ＋PC ＋PD ≥AC ＋BD ，当且仅当P 为AC 与BD 的交点时取等号，此时点P 到点A ，B ，C ，D 的距离之和最小.易知直线AC 的方程为y ＝2x ，直线BD 的方程为y ＝－x ＋6，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝－x ＋6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，即所求点P 的坐标为(2，4).故填(2，4).9.设直线l 的方程为x ＋my －2m ＋6＝0，根据下列条件分别确定m 的值：(1)直线l 在x 轴上的截距是－3； (2)直线l 的斜率是1.解：(1)令y ＝0，得x ＝2m －6.由题意知2m －6＝－3，解得m ＝32.(2)∵直线l 的斜率存在， ∴m ≠0.于是直线l 的方程化为y ＝－1m x ＋2m －6m. 由题意知－1m＝1，解得m ＝－1. 10.若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，求1a ＋1b的值.解：∵k AB ＝0－2a －2＝－2a －2，k AC ＝b －20－2＝－b －22，且A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即－2a －2＝－b －22，整理得ab ＝2(a ＋b )，将该等式两边同除以2ab 得1a＋1b ＝12. 11.已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求直线l 的方程.解：设所求直线l 的方程为x a ＋y b＝1. ∵k ＝16，∴－b a ＝16，得a ＝－6b.又S △ABC ＝12|a |·|b |＝3，∴|ab |＝6.联立⎩⎨⎧a ＝－6b ，||ab ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝－1.∴所求直线方程为：x －6＋y 1＝1或x 6＋y－1＝1， 即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.已知△ABC 中，顶点A (4，5)，点B 在直线l ：2x －y ＋2＝0上，点C 在x 轴上，求△ABC周长的最小值.解：设点A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0的对称点为A 1(x 1，y 1)，点A 关于x 轴的对称点为A 2(x 2，y 2)，连接A 1A 2交l 于B ，交x 轴于C ，则此时△ABC 的周长取最小值，且最小值为||A 1A 2.∵A 1与A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1－5x 1－4×2＝－1，2×x 1＋42－y 1＋52＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝7.∴A 1(0，7).易求得A 2(4，－5)，∴△ABC 周长的最小值为||A 1A 2＝（4－0）2＋（－5－7）2＝410.§9.2 两条直线的位置关系1.两条直线的位置关系(1)平行：对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，有l 1∥l 2⇔____________，特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为____________.(2)垂直：如果两条直线l 1，l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔____________，特别地，若直线l 1：x ＝a ，直线l 2：y ＝b ，则l 1与l 2的关系为____________.2.两条直线的交点坐标一般地，将两条直线的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. 若方程组有惟一解，则两条直线__________，此解就是__________；若方程组无解，则两条直线____________，此时两条直线____________；若方程组有无穷多解，则两条直线____________.3.距离公式(1)点到直线的距离：点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d＝ .(2)两条平行直线间的距离：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离d ＝____________________.4.过两直线交点的直线系方程 若已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交，则方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(其中λ∈R ，这条直线可以是l 1，但不能是l 2)表示过l 1和l 2交点的直线系方程.自查自纠：1.(1)k 1＝k 2 l 1∥l 2 (2)k 1k 2＝－1 l 1⊥l 22.相交 交点的坐标 无公共点 平行 重合3.(1)||Ax 0＋By 0＋C A 2＋B 2 (2)||C 1－C 2A 2＋B 2若直线l 过点(－1，2)，且与直线y ＝23x垂直，则直线l 的方程是( )A.3x ＋2y －1＝0B.3x ＋2y ＋7＝0C.2x －3y ＋5＝0D.2x －3y ＋8＝0解：由条件知，直线l 的斜率k ＝－32，∴其方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.故选A.若直线2ay －1＝0与直线(3a －1)x ＋y －1＝0平行，则实数a 等于( )A.12B.－12C.13D.－13解：因为两直线平行，所以3a －1＝0，即a ＝13.故选C.“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：充分性显然成立，若“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”，则(－1)×1a＝－1，解得a ＝1，必要性也成立.故选C.点A (4，5)关于直线l 的对称点为B (－2，7)，则l 的方程是____________.解：由题意得k AB ＝7－5－2－4＝－13，∵k l ⊥k AB ，∴k l ＝3.又线段AB 的中点在直线l 上，∴直线l 过点(1，6).∴直线l 的方程为y －6＝3(x －1)，即3x －y ＋3＝0.故填3x －y ＋3＝0.已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为____________.解：l 2可以化为3x ＋4y ＋12＝0，两直线平行，由两平行直线间的距离公式得d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－7－125＝32.故填32.类型一 两条直线平行、重合或相交已知两条直线：l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m 为何值时，l 1与l 2：(1)相交；(2)平行；(3)重合.解：联立两直线方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋my ＋6＝0，（m －2）x ＋3y ＋2m ＝0.当m ＝0或m ＝2时两直线相交；当m ≠0或2时，此时A 1A 2＝1m －2，B 1B 2＝m 3，C 1C 2＝62m，当A 1A 2＝B 1B 2时，即1m －2＝m 3，解得m ＝－1或m ＝3； 当A 1A 2＝C 1C 2时，即1m －2＝62m ，解得m ＝3. (1)当m ≠－1且m ≠3时，A 1A 2≠B 1B 2，方程组有唯一一组解.∴l 1与l 2相交.(2)当m ＝－1时，A 1A 2＝B 1B 2且A 1A 2≠C 1C 2，方程组无解. ∴l 1与l 2平行.(3)当m ＝3时，A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2，方程组有无穷多组解.∴l 1与l 2重合.点拨：由直线的一般式直接判断两条直线是否平行时，可直接应用本题的结论，即：若A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2，则直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行，这是一个很实用的结论，但要注意分母不能为零.当实数m 为何值时，三条直线l 1：3x＋my －1＝0，l 2：3x －2y －5＝0，l 3：6x ＋y －5＝0不能围成三角形.解：记l 1，l 2，l 3三条直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 2＝32，k 3＝－6.若l 1∥l 2，或l 1∥l 3，则k 1＝k 2＝32，或k 1＝k 3＝－6，解之得m ＝－2或m ＝12；若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y －5＝0，6x ＋y －5＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1， l 2与l 3交于点(1，－1)，将点(1，－1)代入3x ＋my －1＝0，得m ＝2.∴当m ＝±2或12时，l 1，l 2，l 3不能围成三角形.类型二 两条直线垂直直线l 1：x ＋3y ＝7与直线l 2：kx －y＝2，以及与x ，y 轴围成的凸四边形有外接圆，求实数k 的值.解：结合图形分析，如图所示，由直线l 1，l 2及x ，y 轴所围成四边形为OABC ，其有外接圆的充要条件是对角互补.∵∠COA ＝90°，∴∠CBA ＝90°， 即l 1⊥l 2.∴k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1，解得k ＝3.点拨：(1)给定两直线：l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(或y ＝k 1x ＋b 1)；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(或y ＝k 2x ＋b 2).直线l 1⊥l 2的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0(或k 1k 2＝－1).认识此充要条件请把握好以下两点：①k 1k 2＝－1是A 1A 2＋B 1B 2＝0在一般式中两直线斜率均存在情况下的等价形式；②A 1A 2＋B 1B 2＝0含两条直线中一条直线斜率不存在而另一条直线斜率为零这一特殊的情形，此时两直线也垂直.(2)解析几何是用代数的方法解决几何问题，所以灵活运用平面几何中相关的性质、定理会使求解过程简捷、明快，这里应用了四边形有外接圆的充要条件：对角互补.(2013·北京一模)已知直线l 1：ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋2＝0，则“a ＝－2”是“l 1⊥l 2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解：当a ＝－2时，l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：x －2y ＋2＝0，k 1＝－2，k 2＝12，∵k 1k 2＝－1，∴l 1⊥l 2，充分性成立；反之，由l 1⊥l 2得a ·1＋(a ＋1)·a ＝0，解得a ＝－2或0，必要性不成立.综上知，故选A.类型三 对称问题求直线l ：x －2y ＋6＝0关于点M (－1，1)对称的直线l ′的方程.解法一：取l 上的两点A (0，3)，B (－6，0)，求出它们关于点M 的对称点，A ′(－2，－1)，B ′(4，2)，再用两点式求出l ′的方程为x －2y ＝0.解法二：设点P ′(x ′，y ′)为所求直线l ′上的任意一点，则点P ′关于点M 在直线l 上的对称点为P (x ，y ).由⎩⎪⎨⎪⎧－1＝x ＋x ′2，1＝y ＋y ′2得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－x ′，y ＝2－y ′， 代入直线l 的方程得：(－2－x ′)－2(2－y ′)＋6＝0，得x ′－2y ′＝0，即x －2y ＝0为所求直线l ′的方程.点拨：利用点关于点对称列式，再用相关点间的代换法求l ′，此解法适用于求曲线F (x ，y )＝0关于点对称的曲线方程，具有普遍意义.有关直线与点的对称问题可分为四类：两点关于一点成中心对称；两线关于一点成中心对称；两点关于一直线成轴对称；两线关于一直线成轴对称，前两类较简单，后两类主要应用中点、垂直等条件解决.求曲线关于点或直线对称曲线的主要步骤是：①在已知曲线上任取一点M (x ，y )；②求出这点关于对称中心或对称轴的对称点M ′(x ′，y ′)；③已知曲线方程用x ′，y ′表示，求出所求曲线的方程G (x ′，y ′)＝0.已知三角形的一个顶点A (4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l 1：x －y －1＝0和l 2：x －1＝0，求BC 边所在直线的方程.解：A 不在这两条角平分线上，因此l 1，l 2是另两个角的角平分线.点A 关于直线l 1的对称点A 1，点A 关于直线l 2的对称点A 2均在边BC 所在直线l 上.设A 1(x 1，y 1)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1x 1－4×1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，∴A 1(0，3).同理设A 2(x 2，y 2)，易求得A 2(－2，－1). ∴BC 边所在直线方程为2x －y ＋3＝0.类型四 距离问题已知点A (－2，0)，B (0，4)到直线l的距离均为5，求直线l 的方程.解：当点A ，B 在直线l 的同侧时，有AB ∥l ， 易得直线AB 的方程为2x －y ＋4＝0，则可设直线l 的方程为2x －y ＋t ＝0，∵两平行直线间的距离为5，∴d ＝|t －4|5＝5，解得t ＝9或－1.直线l 的方程为2x －y ＋9＝0或2x －y －1＝0. 当点A ，B 分居直线l 的两侧时，线段AB 的中点在直线l 上，即点(－1，2)在直线l 上，且直线l 的斜率存在，可设直线l ：y ＝k (x ＋1)＋2，由点到直线的距离公式得d ＝|k －2|k 2＋1＝5，解得k ＝－12，直线l 的方程为x ＋2y －3＝0.综上，直线l 的方程为2x －y ＋9＝0或2x －y －1＝0或x ＋2y －3＝0.点拨：两点到直线的距离相等，可分为两点在直线同侧和两侧，其中位于直线两侧的情形极易遗漏，应引起注意.对于A ，B 两点在直线l 的两侧，若由|AB |＝25，发现直线l 即线段AB 的中垂线，则更易求解.(2013·武汉四月调研)已知直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)，两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，若(Ax 1＋By 1＋C )·(Ax 2＋By 2＋C )>0，且||Ax 1＋By 1＋C <||Ax 2＋By 2＋C ，则直线l ( )A.与直线P 1P 2不相交B.与线段P 2P 1的延长线相交C.与线段P 1P 2的延长线相交D.与线段P 1P 2相交解：由(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0，得点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的同侧，设d 1＝||Ax 1＋By 1＋C A 2＋B 2，d 2＝||Ax 2＋By 2＋C A 2＋B 2，由||Ax 1＋By 1＋C <||Ax 2＋By 2＋C 得d 1<d 2，即点 P 1(x 1，y 1)到直线l 的距离小于点P 2(x 2，y 2)到直线l 的距离，数形结合知直线l 与线段P 2P 1的延长线相交.故选B.类型五 直线系及其应用求证：动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0(其中m ∈R )恒过定点，并求出定点坐标.证法一：令m ＝0，则直线方程为3x ＋y ＋1＝0，①再令m ＝1时，直线方程为6x ＋y ＋4＝0，②①②联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋1＝0，6x ＋y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.将点A (－1，2)代入动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0中，(m 2＋2m ＋3)×(－1)＋(1＋m －m 2)×2＋3m 2＋1＝(3－1－2)m 2＋(－2＋2)m ＋2＋1－3＝0， 故点A (－1，2)的坐标恒满足动直线方程，所以动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0恒过定点A.证法二：将动直线方程按m 降幂排列整理得， m 2(x －y ＋3)＋m (2x ＋y )＋3x ＋y ＋1＝0，① 不论m 为何实数，①式恒为零，∴有⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，3x ＋y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.故动直线恒过点A (－1，2).点拨：此题属于数学中恒成立问题，所以证法一是先赋给m 两个特殊值得两条直线，那么这两条直线的交点就是那个定点，但m 只是取两个特殊值，是否m ∈R 时都成立，则要进行代入检验；证法二是将动直线方程按m 的降幂排列，由于∀m ∈R 恒成立，所以得关于x ，y 的方程组，解此方程组便得定点坐标.直线系也称直线束，是具有某一共同性质的直线的集合.常见直线系方程有：(1)过定点(x 1，y 1)的直线系：y －y 1＝k (x －x 1)和x ＝x 1.(2)平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系：Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C ).(3)垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系：Bx －Ay ＋λ＝0.(4)过A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0).已知直线l ：(a ＋b )x ＋(a －b )y ＋2＝0，其中a ，b 满足3a －b ＋2＝0.求证：直线l 恒过一定点.证明：由已知得b ＝3a ＋2，则直线l 的方程可化为(4a ＋2)x －(2a ＋2)y ＋2＝0，整理得 a (4x －2y )＋2x －2y ＋2＝0. 令⎩⎪⎨⎪⎧4x －2y ＝0，2x －2y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. ∵点(1，2)恒满足直线l 的方程，∴直线l 恒过定点(1，2).1.无论是判断两条直线平行还是垂直，都是从两方面来讨论的，即两条直线斜率都存在的情况和两条直线至少有一条斜率不存在的情况.2.两条直线平行或垂直时求直线方程中的参数，需分类讨论及数形结合.3.如果能推导出用直线方程一般式表示的两条直线平行、重合或垂直的条件(一般式系数之间的关系)，并记住结论，往往会使问题更易于解决.4.求两条直线交点坐标的方法就是解方程组，利用解方程组也可以判断两条直线的位置关系，即将几何问题转化为代数问题.5.运用公式d ＝||C 1－C 2A 2＋B 2求两平行直线间的距离时，一定要将两条直线方程中x ，y 的系数化成相等的系数，求两平行直线间的距离也可化归为点到直线的距离，即在一条直线上任取一点，求该点到另一条直线的距离即为两平行直线间的距离.这一方法体现了化归思想的应用.6.点(x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b (即y －kx －b ＝0)的距离公式d ＝||y 0－kx 0－b 1＋k2记忆容易，对于知d 求k ，b 很方便.7.对称主要分为中心对称和轴对称两种，中心对称仅用中点坐标公式即可，轴对称因对称点连线的中垂线就是对称轴，所以根据线段的中点坐标公式和两条直线垂直的条件即可解决.1.过点A (2，3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( )A.x －2y ＋4＝0B.2x ＋y －7＝0C.x －2y ＋3＝0D.x －2y ＋5＝0解：由点斜式得所求直线方程为y －3＝12(x －2)，即x －2y ＋4＝0.故选A.2.(2013·山东模拟)已知两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，则a 等于( )A.1或－3B.－1或3C.1或3D.－1或－3解：∵直线y ＝ax －2的斜率存在且为a ，∴a＋2≠0，直线3x －(a ＋2)y ＋1＝0可化为y ＝3a ＋2x＋1a ＋2.∵两条直线平行，∴3a ＋2＝a 且1a ＋2≠－2，解得a ＝1或－3.故选A.3.若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2恒过定点( )A.(0，4)B.(0，2)C.(－2，4)D.(4，－2)解：∵直线l 1与l 2关于点(2，1)对称，且直线l 1过点(4，0)，∴直线l 2必过点(4，0)关于点(2，1)的对称点(0，2).故选B.4.(2013·长春调研)已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A.1710B.175C.8D.2 解：由题意得36＝4m ≠－314，解得m ＝8.∴直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0.∴两平行线间的距离为d ＝||－3－732＋42＝2.故选D. 5.如果直线(m ＋2)x ＋(m 2＋3m ＋2)y ＝m ＋2与y 轴平行，则m ＝( )A.－1或－2B.－1C.－1或2D.－2 解：∵直线与y 轴平行， ∴m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－1或－2. 当m ＝－1时，直线方程为x ＝1；当m ＝－2时，方程(m ＋2)x ＋(m 2＋3m ＋2)y ＝m ＋2不表示直线，舍去.综上知m ＝－1.故选B.6.已知直线l 1：ax ＋4y ＝2与直线l 2：2x －5y ＋b ＝0垂直，点(1，c )为垂足，则a ＋b ＋c 等于( )A.－4B.20C.0D.24解：∵l 1⊥l 2，∴2a －20＝0，a ＝10.∴直线l 1的方程为5x ＋2y －1＝0.又∵点(1，c )为垂足，∴点(1，c )在直线l 1，l 2上，有⎩⎪⎨⎪⎧5＋2c －1＝0，2－5c ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－12，c ＝－2.∴a ＋b ＋c ＝10－12－2＝－4.故选A. 7.过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，且与直线2x ＋3y ＝0垂直的直线方程为____________.解：设与直线2x ＋3y ＝0垂直的直线方程为3x －2y ＋m ＝0，由于其过圆心(－1，2)，所以有3×(－1)－2×2＋m ＝0，得m ＝7，所求直线方程为3x －2y ＋7＝0.故填3x －2y ＋7＝0.8.(2013·北京模拟)l 1，l 2是分别经过A (1，1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是____________.解：当两条平行直线与A ，B 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大，∵A (1，1)，B (0，－1)，∴k AB ＝－1－10－1＝2，两平行线的斜率为k ＝－12.∴直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.故填x ＋2y －3＝0.9.已知△ABC 的顶点B (2，1)，C (－6，3)，其垂心为H (－3，2)，求顶点A 的坐标.解：设顶点A 的坐标为(x ，y ).∵AC ⊥BH ，AB ⊥CH ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k AC ·k BH ＝－1，k AB ·k CH ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧y －3x ＋6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＝－1，y －1x －2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1，化简为⎩⎪⎨⎪⎧y ＝5x ＋33，y ＝3x －5，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－19，y ＝－62.∴A 的坐标为(－19，－62).10.设一直线l 经过点(－1，1)，此直线被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0和l 2：x ＋2y －3＝0所截得线段的中点在直线x －y －1＝0上，求直线l 的方程.解法一：设直线x －y －1＝0与l 1，l 2的交点为C (x C ，y C )，D (x D ，y D )，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，x －y －1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x C ＝1，y C ＝0， ∴C (1，0). 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0，x －y －1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝53，y D ＝23，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，23.∴CD 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13. 又l 过点(－1，1)，由两点式得l 的方程为： y －131－13＝x －43－1－43，即2x ＋7y －5＝0为所求方程. 解法二：∵与l 1，l 2平行且与它们距离相等的直线方程为：x ＋2y ＋－1－32＝0，即x ＋2y －2＝0，∴由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x －y －1＝0得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.(以下同解法一)解法三：过中点且与两直线平行的直线方程为x ＋2y －2＝0，设所求方程为：(x －y －1)＋λ(x ＋2y －2)＝0，①∵(－1，1)在此直线上，∴－1－1－1＋λ(－1＋2－2)＝0，解得λ＝－3，代入①得2x ＋7y －5＝0.解法四：设所求直线与两平行线l 1，l 2的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋2y 1－1＝0，x 2＋2y 2－3＝0得(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)－4＝0.①又AB 的中点在直线x －y －1＝0上， ∴x 1＋x 22－y 1＋y 22－1＝0.②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 22＝43，y 1＋y 22＝13.(以下同解法一)11.证明直线(a －2)y ＝(3a －1)x －1对任意a ∈R 都通过第一象限，并求出直线不通过第二象限时a 的取值范围.证明：原直线方程可变形为x －2y ＋1＋a (y －3x )＝0，①由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y －3x ＝0 解得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝35. ∴方程①表示恒过点(15，35)的一条直线.又点(15，35)在第一象限，∴无论a 为何实数，此直线均过第一象限.解：当a ≠2时，直线方程可化为：y ＝3a －1a －2x－1a －2. 若要此直线不通过第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧3a －1a －2＞0，－1a －2＜0，解得a ＞2. 又当a ＝2时，原方程可化为：x ＝15，也不经过第二象限.∴当a ≥2时，直线不通过第二象限.(2014·上海)已知P 1(a 1，b 1)与P 2(a 2，b 2)是直线y ＝kx ＋1(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝1，a 2x ＋b 2y ＝1的解的情况是( )A.无论k ，P 1，P 2如何，总是无解B.无论k ，P 1，P 2如何，总有唯一解C.存在k ，P 1，P 2，使之恰有两解D.存在k ，P 1，P 2，使之有无穷多解解：∵点P 1(a 1，b 1)与P 2(a 2，b 2)在直线y ＝kx ＋1(k 为常数)上且斜率存在，∴k ＝b 2－b 1a 2－a 1(a 1≠a 2)，b 1＝b 2－b 1a 2－a 1·a 1＋1，得a 2b 1－a 1b 2＝a 2－a 1. 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝1，a 2x ＋b 2y ＝1得(a 1b 2－a 2b 1)x ＝b 2－b 1，即 (a 1－a 2)x ＝b 2－b 1.∴方程组总有唯一解.故选B.§9.3 圆的方程1.圆的定义 在平面内，到_________的距离等于__________的点的__________叫圆.确定一个圆最基本的要素是__________和__________.2.圆的标准方程与一般方程(1)圆的标准方程：方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)叫做以点____________为圆心，__________为半径长的圆的标准方程.(2)圆的一般方程：方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(____________)叫做圆的一般方程.注：将上述一般方程配方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4，此为该一般方程对应的标准方程，表示的是以____________为圆心，____________为半径长的圆.3.点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种：圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，点M (x 0，y 0)，(1)点M 在圆上：________________________； (2)点M 在圆外：_______________________； (3)点M 在圆内：_________________________.自查自纠：1.定点 定长 集合 圆心 半径长2.(1)(a ，b ) r(2)D 2＋E 2－4F >0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2 12D 2＋E 2－4F3.(1)(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2(2)(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2(3)(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( )A.－1B.1C.3D.－3解：圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，∵直线经过圆的圆心(－1，2)，∴3×(－1)＋2＋a ＝0，得a ＝1.故选B.方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( )A.a <－2或a >23B.－23<a <0C.－2<a <0D.－2<a <23解：∵方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，∴D 2＋E 2－4F >0，即a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，解得－2<a <23.故选D.当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，半径长为5的圆的方程为( )A.x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B. x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C.x 2＋y 2＋2x －4y ＝0 D. x 2＋y 2－2x －4y ＝0 解：由(a －1)x －y ＋a ＋1＝0变形得y －2＝(a －1)(x ＋1)，∴该直线恒过点C (－1，2).∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.故选C.(2014·陕西)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为____________.解：∵点(1，0)关于直线y ＝x 的对称点为(0，1)，∴圆心为(0，1).∴圆C 的标准方程为x 2＋(y－1)2＝1.故填x 2＋(y －1)2＝1.圆心在y 轴上，半径长为1，且过点(1，2)的圆的方程是________________.解法一(直接法)：设圆心坐标为(0，b )，则由题意知（0－1）2＋（b －2）2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.解法二(数形结合法)：作图，根据圆上的点到圆心的距离为1易知圆心为(0，2)，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.故填x 2＋(y －2)2＝1.类型一 求圆的方程已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程，并且判断点M (6，9)，N (3，3)，Q (5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外.解法一(待定系数法)：根据已知条件，圆心C (a ，b )是P 1P 2的中点，那么它的坐标为a ＝4＋62＝5，b＝9＋32＝6.再根据两点的距离公式，得圆的半径长是 r ＝|CP 1|＝（4－5）2＋（9－6）2＝10.因此所求圆的方程是(x －5)2＋(y －6)2＝10. 解法二(轨迹法)：∵P 1P 2为直径，∴圆上任意。