江苏省徐州市睢宁县宁海外国语学校高中数学 推理案例赏析学案 苏教版选修23

2.1.3 推理案例赏析[学习目标] 1.通过对具体的数学思维过程的考察，进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的联系.2.尝试用合情推理和演绎推理研究某些数学问题，提高分析问题、探究问题的能力.知识点一 数学活动与探索数学发现活动是一个探索创造的过程，是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程. 知识点二 合情推理和演绎推理的联系在数学活动中，合情推理具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用，演绎推理为合情推理提供了前提，对猜想作出“判决”或证明，从而为调控探索活动提供依据. 思考 合情推理与演绎推理有何异同之处？答 合情推理是从特殊到一般，思维开放，富于创造性，但结论不一定正确，是一种或然推理.演绎推理是从一般到特殊，思维收敛，较少创造性，当前提和推理形式都正确时，结论一定正确，是一种必然推理.合情推理为演绎推理确定了目标和方向，而演绎推理又论证了合情推理结论的正误，二者相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程.题型一 运用归纳推理探求结论例1 已知数列的前4项为32，1，710，917，试写出这个数列的一个通项公式.解 把已知4项改写为32，55，710，917，记此数列的第n 项为a n ，则有a 1＝2×1＋112＋1，a 2＝2×2＋122＋1，a 3＝2×3＋132＋1，a 4＝2×4＋142＋1，….据此猜测a n ＝2n ＋1n 2＋1.反思与感悟 运用归纳推理猜测一般结论，关键在于挖掘事物的变化规律和相互关系，可以对式子或命题进行适当转换，使其中的规律明晰化.跟踪训练1下列各图均由全等的小等边三角形组成，观察规律，归纳出第n个图形中小等边三角形的个数为________.答案n2解析前4个图中小等边三角形的个数分别为1,4,9,16.猜测：第n个图形中小等边三角形的个数为n2.题型二运用类比推理探求结论例2Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，则BC2＝BD·BA(如图甲).类比这一定理，在三条侧棱两两垂直的三棱锥P－ABC(如图乙)中，可得到什么结论？解如图，在三棱锥P－ABC中，作PO⊥平面ABC，连结OB，OC，猜想下列结论：S2△PBC＝S△OBC·S△ABC.证明：连结AO，并延长交BC于D，连结PD.P A⊥PB，P A⊥PC⇒P A⊥平面PBC.∵PD⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，∴P A⊥PD，P A⊥BC.∵PO ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴PO ⊥AD ，PO ⊥BC .∴BC ⊥平面P AD . ∴BC ⊥AD ，BC ⊥PD .S 2△PBC ＝(12BC ·PD )2＝14BC 2·PD 2， S △OBC ·S △ABC ＝12BC ·OD ·12BC ·AD＝14BC 2·OD ·AD . ∵PD 2＝OD ·AD ， ∴S 2△PBC ＝S △OBC ·S △ABC .反思与感悟 在类比推理中，要提炼两类事物的共同属性.一般而言，提炼的共同属性越本质，则猜想的结论越可靠.跟踪训练2 如图，设△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，BC 边上的高AD ＝h .扇形A 1B 1C 1中，B 1C 1＝l ，半径为R ，△ABC 的面积可通过下列公式计算：(1)S ＝12ah ；(2)S ＝12bc sin ∠BAC .运用类比的方法，猜想扇形A 1B 1C 1的面积公式，并指出其真假.(1)________________________________________________________________________； (2)________________________________________________________________________. 答案 (1)S ＝12lR 真命题(2)S ＝12R 2sin A 1 假命题题型三 运用演绎推理证明结论的正确性例3 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *. (1)求证数列{a n －n }是等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)求证不等式S n ＋1≤4S n 恒成立(n ∈N *).(1)证明 由a n ＋1＝4a n －3n ＋1， 得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，n ∈N *. ∴a n ＋1－(n ＋1)a n －n＝4 (n ∈N *).∴数列{a n －n }是以a 1－1，即2－1＝1为首项，以4为公比的等比数列. (2)解 由(1)可知a n －n ＝4n －1，∴a n ＝n ＋4n －1. ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(1＋40)＋(2＋41)＋…＋(n ＋4n －1) ＝(1＋2＋…＋n )＋(1＋4＋…＋4n －1) ＝n (n ＋1)2＋13·4n －13.(3)证明 由(2)知，S n ＋1－4S n ＝(n ＋1)(n ＋2)2＋13·4n ＋1－13－4[n (n ＋1)2＋13·4n －13]＝(n ＋1)(n ＋2)2－2n (n ＋1)＋1＝－(n －1)(3n ＋4)2≤0，∴S n ＋1≤4S n 恒成立(n ∈N *).反思与感悟 演绎推理的一般形式是三段论，证题时要明确三段论的大前提、小前提和结论，写步骤时常省略大前提或小前提.跟踪训练3 已知函数y ＝f (x )满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )，试证明：f (x )为R 上的单调增函数. 证明 设x 1，x 2∈R ，取x 1<x 2，则由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)， ∴x 1[f (x 1)－f (x 2)]＋x 2[f (x 2)－f (x 1)]>0， [f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0，∵x 1<x 2，∴f (x 2)－f (x 1)>0，f (x 2)>f (x 1). ∴y ＝f (x )为R 上的单调增函数.1.一个数列的第2项到第4项分别是3，15，21，据此可以猜想这个数列的第一项是________. 答案3解析 ∵a 2＝9＝6×2－3，a 3＝15＝6×3－3， a 4＝21＝6×4－3， ∴猜想a 1＝6×1－3＝ 3.2.在平面中，圆内接平行四边形一定是矩形.运用类比，可猜想在空间有如下命题：________________________________________________________________________. 答案 球内接平行六面体一定是长方体3.设x i >0 (i ∈N *)，有下列不等式成立，x 1＋x 2≥2x 1x 2；x 1＋x 2＋x 3≥33x 1x 2x 3，…类比上述结论，对于n 个正数x 1，x 2，…，x n ，猜想有下述结论________________________________. 答案 x 1＋x 2＋…＋x n ≥n nx 1x 2…x n4.已知a ，b ∈N *，f (a ＋b )＝f (a )f (b )，f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2015)f (2014)＝________.答案 4028解析 令b ＝1，则f (a ＋1)＝f (a )f (1)， ∴f (a ＋1)f (a )＝f (1)＝2.∴f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2015)f (2014)＝2＋2＋…＋2 ＝2×2014＝4028.1.数学活动中，合情推理和演绎推理相辅相成，共同推动发现活动的进程.2.合情推理中要对已有事实进行分析，作出猜想，猜想的结论为演绎推理提供了目标和方向.。

集合及其运算备考方向：明确考什么？1.集合的含义与表示(1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2.集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3.集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.知道怎么考？1.对集合的含义与表示的考查主要涉及集合中元素的互异性以及元素与集合之间的关系，考查利用所学的知识对集合的性质进行初步探究的基本逻辑能力，如2009年高考T14.2.对于两个集合之间关系的考查主要涉及以下两个方面：(1)判断给定两个集合之间的关系，主要是子集关系的判断．(2)以不等式的求解为背景，利用两个集合之间的子集关系求解参数的取值范围问题，如2009年高考T11.3.集合的基本运算在高考命题中主要与简单不等式的求解、函数的定义域或值域的求法相结合考查集合的交、并、补运算，以补集与交集的基本运算为主，考查借助数轴或Venn 图进行集合运算，如2010年高考T1；2011年高考T1，T14；2012年高考T1.基本知识：1.元素与集合(1)集合元素的特性： 、 、无序性．(2)集合与元素的关系：若a 属于A ，记作 ；若b 不属于A ，记作 .(3)集合的表示方法： 、 、图示法．(4)常见数集及其符号表示:自然数集:_______,正整数集:_______,整数集:_______,有理数集:_______,实数集:_______，空集:_______.问题1.集合{}02==x x A ，{}2xy x B ==，{}2x y y C ==，{}2),(x y y x D ==相同吗？它们的元素分别是什么？问题2.0与集合{0}是什么关系？∅与集合{∅}呢？2．集合间的基本关系集合相等：子集：真子集：问题3.对于集合A ，B ，若A ∩B ＝A ∪B ，则A ，B 有什么关系？3.集合的基本运算交集：并集：补集：简单应用：1.已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m＝____2.已知集合A＝{1,2}，若A∪B＝{1,2}，则集合B有________个．3.(2013·南京四校联考)若全集U＝{0,1,2,3,4}，集合M＝{0,1}，集合N＝{2,3}，则(∁UM)∩N＝________.4.定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0，2}，则集合A*B的所有元素之和为________．5.(教材改编题)设集合A＝{x|2≤x<4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B＝__________，A ∩B＝__________，(∁UA)∩(∁UB)＝__________.考点探究：例1.集合的基本概念(1)(2013·济南模拟)若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为________．(2)已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，若9∈(A∩B)，则实数a＝________. 思考：本例(2)中，将“9∈(A∩B)”改为“A∩B＝{9}”，其他条件不变，则实数a为何值？解决集合问题的一般思路：(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性．跟踪训练：(1)已知非空集合A＝{x∈R|x2＝a－1}，则实数a的取值范围是________．(2)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________． 例2.集合间的基本关系已知集合A ＝{x |0<ax ＋1≤5}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x ≤2，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________． 思考：保持例题条件不变，当a 满足什么条件时，B ⊆A?根据两集合的关系求参数的方法：已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论，还要注意能否取到端点值．跟踪训练：已知集合A ＝{2,3}，B ＝{x |mx －6＝0}，若B ⊆A ，则实数m ＝________.例3.集合的基本运算(1)(2012·江苏高考)已知集合A ＝{1,2,4}，B ＝{2，4,6}，则A ∪B ＝________.(2)(2012·威海模拟改编)已知集合A ＝{1,2a }，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，则A ∪B ＝________. (3)(2012·武汉模拟)已知A ，B 均为集合U ＝{1,2,3,4,5,6}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{1}，(∁U A )∩(∁U B )＝{2,4}，则B ∩(∁U A )＝________.解决集合的混合运算的方法：解决集合混合运算时，一般先运算括号内的部分.当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算；当集合是用不等式形式表示时，可运用数轴求解.跟踪训练：(2012·枣庄模拟改编)已知全集U ＝Z ，集合{}x x x A ==2，B ＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为________．例4.集合中的新定义问题 [例4] (2012·东城模拟改编)非空集合G 关于运算⊕满足：(1)对任意a 、b ∈G ，都有a ⊕b ∈G ；(2)存在c ∈G ，使得对一切a ∈G ，都有a ⊕c ＝c ⊕a ＝a ，则称集合G 关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①G ＝{非负整数}，⊕为整数的加法；②G ＝{偶数}，⊕为整数的乘法；③G ＝{平面向量}，⊕为平面向量的加法；④G ＝{二次三项式}，⊕为多项式的加法．其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是________．解决新定义问题应注意以下几点：(1)遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的本质．(2)按新定义的要求“照章办事”，逐步分析、验证、运算，使问题得以解决．跟踪训练：若x ∈A ，则1x∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合 M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________． 解答集合问题需要注意的问题：(1)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．(2)要注意区分元素与集合的从属关系以及集合与集合的包含关系．(3)要注意空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．(4)运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．(5)在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.创新交汇——与集合运算有关的交汇问题1.集合的运算是高考的常考内容，以两个集合的交集和补集运算为主，且常与函数、不等式、三角函数、向量等内容相结合，以创新交汇问题的形式出现在高考中．2.解决集合的创新问题常分三步：(1)信息提取，确定化归的方向；(2)对所提取的信息进行加工，探求解决方法；(3)将涉及到的知识进行转换，有效地输出，其中信息的提取和转化与化归是解题的关键，也是解题的难点．例5.(2012·重庆高考改编)设平面点集A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y |y －x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1x ≥0，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为________．在解决以集合为背景的创新交汇问题时，应重点关注以下两点(1)认真阅读，准确提取信息，是解决此类问题的前提．如本题应首先搞清集合A 与B 的性质，即不等式表示的点集．(2)剥去集合的外表，将未知转化为已知是解决此类问题的关键，如本题去掉集合的外表，将问题转化为求解不等式组表示的平面区域问题．跟踪训练：1.已知A ＝{(x ，y )|y ＝|ln x |}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y |x 29＋y 24＝1，则A ∩B=_________. 2.设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x || x － ⎪⎪⎪1i < 2，i 为虚数单位，x ∈R ，则M ∩N ＝____. 3.设M ＝{a |a ＝(2,0)＋m (0,1)，m ∈R}和N ＝{b |b ＝(1,1)＋n (1，－1)，n ∈R}都是元素为向量的集合，则M ∩N ＝________.当堂检测：1.已知集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈M ，且a ≠b }，则集合M 与集合N 的关系是________．2.已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，则c ＝________.3.已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )·(x －3a )<0}．(1)若A ⊆B ，求a 的取值范围；(2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；(3)若A ∩B ＝{x |3<x <4}，求a 的取值范围．。

第4课时推理案例赏析教学过程一、问题情境在前两节中,我们分别对合情推理和演绎推理的特点与思维过程进行了考察.那么合情推理和演绎推理之间具有怎样的联系和差异?合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的?二、数学建构正整数平方和公式的推导.[3][处理建议]本题宜采用师生共同参与、共同讨论的合作交流形式,尽可能让学生发言、交流各自思路,尝试不同方法,体验归纳推理的过程,教师在这个过程中注意调控和引导,避免学生走一些不必要的弯路.提出问题我们已经知道前n个正整数的和为S1(n)=1+2+3+…+n=n(n+1),①那么,前n个正整数的平方和S2(n)=12+22+32+…+n2=?②问题1如何用你已经掌握的方法来求S2(n)呢?先由学生讨论教师引导思路1(归纳的方案)如下表1所示,列举出S2(n)的前几项,希望从中归纳出一般的结论.表1n123456…S2(n)1514305591…但是,从表1的数据中并没有发现明显的关系.这时我们可能会产生一个念头:S1(n)与S2(n)会不会有某种联系?如下表2所示,进一步列举出S1(n)的值,比较S1(n)与S2(n),希望能有所发现.表2n123456…S1(n)136101521…S2(n)1514305591…问题2观察S1(n)与S2(n)的相应数据,并没有发现明显的联系.怎么办呢?教师引导尝试计算.终于在计算S1(n)和S2(n)的比时,发现“规律”了.表3n123456…S1(n)136101521…S2(n)1514305591……从表3中发现=,于是猜想S2(n)=. ③公式③的正确性还需要证明.[题后反思]上面的数学活动是由那些环节构成的?在这个过程中提出了哪些猜想?提出猜想时使用了哪些推理方法?合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用?思路2(演绎的方案)尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和.(1)把正整数的平方表示出来,有12=1,22=(1+1)2=12+2×1+1,32=(2+1)2=22+2×2+1,42=(3+1)2=32+2×3+1,…,n2=(n-1)2+2(n-1)+1,左右两边相加,得S2(n)=[S2(n)-n2]+[2S1(n)-2n]+n,等号两边的S2(n)被消去了,所以无法从中求出S2(n)的值,尝试失败了!(2)从失败中汲取有用信息,进行新的尝试.前面的失败尝试还是有意义的,因为尽管我们没有求出S2(n),但是却求出了S1(n)的表达式,即S1(n)==n(n+1),它启示我们:既然能用上面方法求出S1(n),那么我们也应该可以用类似的方法求出S2(n).(3)尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式.具体方法如下:13=1,23=(1+1)3=13+3×12+3×1+1,33=(2+1)3=23+3×22+3×2+1,…,n3=(n-1)3+3(n-1)2 +3(n-1)+1.左右两边分别相加,得S3(n)=[S3(n)-n3]+3[S2(n)-n2]+3[S1(n)-n]+n.由此知S2(n)===,终于导出了公式.[题后反思]上面的数学活动是由哪些环节构成的?在这个过程中提出了哪些猜想?提出猜想时使用了哪些推理方法?合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用?三、数学运用【例1】(教材第77页例2)棱台体积公式的推导.[4](见学生用书P39)[处理建议]本题宜采用师生共同参与、共同讨论的合作交流形式,尽可能让学生讨论、交流各自思路,尝试不同方法,体验类比推理的过程,教师在这过程中注意调控和引导.[提出问题]问题1怎样求棱台的体积?联系所学推理方法,有什么启发?问题2能通过类比推导出棱台的体积公式吗?问题3什么知识可以和棱台进行类比?问题4怎样对梯形和四棱台作比较?思路以四棱台为例,通过和梯形的类比推导公式.(1)确定类比对象,对梯形和四棱台作比较,列表找出相似之处.梯形棱台(四棱台)上、下底平行上、下底面平行另外两边不平行另外4个面不平行两腰延长后交于一点4个侧面伸展后交于一点中位线平行于上、下底中截面平行于上、下底面(2)对类比对象的进一步分析.梯形可以认为是用平行于三角形一边的直线截去一个小三角形后得到的,而棱台则可认为是用平行于棱锥底面的平面截去一个小棱锥后得到的.据此,应该有如下的对应关系:直线↔平面三角形↔棱锥梯形↔棱台进而有梯形底边长↔棱台底面积三角形面积↔棱锥体积梯形面积↔棱台体积(3)通过类比推理,建立猜想.求棱台的体积的方法与求梯形面积的方法是类似的,棱台的体积公式与梯形的面积公式是类似的.已知梯形的面积公式为S梯形=h(a+b),④其中a,b分别表示梯形上、下底的长度,h表示高.猜想棱台的体积公式可能具有如下的形式:V棱台=h(S上+S下),⑤其中S上,S下分别表示棱台的上、下底面积,h表示棱台的高.(4)验证猜想.⑤式的正确性要通过严格的证明来确认.在作出正式的证明之前,可以先通过具体的例子来加以验证.把棱锥看成棱台的特例,此时,公式⑤中的S上=0,因此有V棱台=hS下,这与实际结果hS下不符,这表明,猜想⑤是错误的,需要修正.于是设想公式具有V棱台=h(S上+S0+S下)⑥的形式,其中S0应该是表示面积的量,它究竟是多少还有待进一步确定.与⑤式相比,公式⑥的分母从2变为3,相应的分子由2项变成3项,这些都恰如其分地反映了2维和3维的差异.因此,公式⑥从整体结构上就给人一种协调的美感.应该说,公式⑥比公式⑤更合理.既然⑥式被认为是合理的,那么下一步的行动就是要具体的确定公式中S0的意义和大小了.容易看出:第一,由于从棱锥的体积公式可知,当S上=0时,S0=0,因此,S0应含有S上的因子.第二,棱台的上底和下底具有同等地位,因此,S上和S下在公式中应该具有同等地位,据此,我们可以猜想S0具有k的形式.第三,进一步确定k的值.仍然使用特殊化的方法,当S上=S下时,棱台变为棱柱,则V棱台=h(S上+k+S下)=hS0.此时S上=S下=S0,所以有k=1,因此,S0=,⑥式即为V棱台=h(S上++S下).四、课堂练习1.在数学考试中,甲同学觉得有一道题和他平时做的题类似,于是他就用相同的方法来解决考试题目,他的想法用的是类比推理.2.数列{a n}的前4项分别是,3,,,有些同学说,数列{a n}的通项公式a n=,他们的说法用的是归纳推理.3.已知数列,,,,…,由此猜想第n个数为.4.“开心辞典”中有这样的问题:给出一组数,要你根据规律填出后面的第几个数.现给出一级数,-,,-,,…,则它的第8个数可能是-.五、课堂小结合情推理和演绎推理的区别和联系.本课的案例说明:(1)数学发现活动是一个探索创造的过程.这是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程.合情推理和演绎推理相辅相成,相互为用,共同推动着发现活动的进程.(2)合情推理是富于创造性的或然推理.在数学发现活动中,它为演绎推理确定了目标和方向,具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用.(3)演绎推理是形式化程度较高的必然推理.在数学发现活动中,它具有类似于“实验”的功能,它不仅为合情推理提供了前提,而且可以对猜想作出“判决”和证明,从而为调控探索活动提供依据.对这两种推理在数学活动中的作用,著名的数学家G.波利亚作了精辟的论述:“数学的创造过程与任何其他知识的创造过程一样,在证明一个数学定理之前,先得猜测这个定理的内容;在完成详细的证明之前,先得推测证明的思路.创造过程是一个艰苦曲折的过程.数学家创造性的工作是论证推理,即证明.但这个证明是通过合情推理、通过猜想而发现的.”。

推理案例赏析学习目标：1.通过对具体的数学思维过程的考察，进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的联系.2.尝试用合情推理和演绎推理研究某些数学问题，提高分析问题、探究问题的能力.学习重难点：合情推理和演绎推理学法指导：在实际的数学活动中，通过观察、思考、联想，可以猜测新的结论，新的结论的正确性可以利用演绎推理进行证明.学习过程:探究一:运用归纳推理探求结论问题1:在数学活动中，归纳推理一般有几个步骤？实验、观察(列举几个特别的例子)→概括、推广(分析特例，发现规律，找出共性)→猜测一般性结论.问题2：归纳推理的结论是否正确？它在数学活动中有什么作用？归纳推理的结论具有猜测的性质，结论不一定正确；它可以为数学活动的结论提供目标和方向.例1：已知数列的前4项为32，1，710，917，试写出这个数列的一个通项公式.跟踪训练：下列各图均由全等的小等边三角形组成，观察规律，归纳出第n个图形中小等边三角形的个数为______.探究二：运用类比推理探求结论问题1：在数学活动中，类比推理一般有几个步骤？观察，比较(类比两类对象，挖掘他们之间的相似或相同点)→联想，类推(提炼出两类对象的本质的共同的属性，并根据一类对象所具有的性质推测另一类对象也具有某种类似的性质)→猜测新的结论.问题2：类比推理的结论是否一定正确？从类比推理的思维过程可以看出：类比的前提是观察、比较和联想，其结论只是一种直觉的、经验式的推测，它还只是一种猜想，结论的正确与否，有待于进一步论证.例2：Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，则BC2＝BD·BA.类比这一定理，在三条侧棱两两垂直的三棱锥P—ABC中，可得到什么结论？跟踪训练：在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2”.拓展到空间(如图)，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的结论是_____________________.探究三：运用演绎推理证明结论的正确性问题1：合情推理与演绎推理有何异同之处？问题2：应用三段论推理时，一定要严格按三段论格式书写吗？ 在实际应用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表述方式.前一个三段论的结论往往作为下一个三段论的前提.例3：在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *. (1)求证数列{a n －n }是等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n ；跟踪训练：已知函数f (x )，对任意的x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y ).求证：f (x )是奇函数.当堂检测：1.一个数列的第2项到第4项分别是3，15，21，据此可以猜想这个数列的第一项是________.2.在平面中，圆内接平行四边形一定是矩形.运用类比，可猜想在空间有如下命题：________________________________.3.设x i >0 (i ∈N *)，有下列不等式成立，x 1＋x 2≥2x 1x 2；x 1＋x 2＋x 3≥33x 1x 2x 3，…类比上述结论，对于n 个正数x 1，x 2，…，x n ，猜想有下述结论________________________________.4.已知a 、b ∈N *，f (a ＋b )＝f (a )f (b )，f (1)＝2，则f f ＋ f f ＋…＋f f ＝________.5. 如图，设△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，BC 边上的高AD ＝h .扇形A 1B 1C 1中，B 1C 1＝l ，半径为R，△ABC的面积可通过下列公式计算：(1)S＝12ah；(2)S＝12bc sin∠BAC.运用类比的方法，猜想扇形ABC的面积算式，并指出其真假.(1)______________________(2)______________________。

命题及其关系，充分条件和必要条件备考方向：明确考试什么？1.理解命题的概念．2.了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题和逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.知道怎么考？1.对命题及其关系的考查主要有以下两种方式：(1)考查简单命题的真假判断，其中结合命题的四种形式、充要条件以及复合命题、全称命题等组成的混合选项问题是命题的重点，如2009年高考T12.(2)考查命题的四种形式，以原命题的否命题、逆否命题的形式为考查重点．2.对充要条件的考查，主要从以下三个方面命题：(1)以其他知识模块内容为背景，考查充要条件的判断，多以函数的性质、不等式的性质及其应用、解析几何中的直线与圆、圆锥曲线的位置关系以及空间中的线面位置关系等为主．(2)以其他知识模块内容为背景，考查充要条件的探求，尤其要注意逻辑联结词“非”与充要条件相结合的问题．(3)考查利用条件和结论之间的充要条件关系求解参数的取值范围，如2008年高考T20第(1)问.知识梳理：1.命题：能够 的语句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系:(2)四种命题的真假关系：两个命题互为逆否命题，它们有__________ 的真假性；3.充分条件与必要条件(1)如果 ，那么称p 是q 的充分条件，同时称 的必要条件．(2)如果 ，那么称p 是q 的充分必要条件，简称为p 是q 的充要条件，记作p ⇔q .简单应用：1.(2013·江苏东台期中)“x >1”是“1x<1”的________条件(充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要)．2.(2012·湖南高考)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是________________． 3.(2012·天津高考)设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的________条件． 考点探究：例1.四种命题及真假判断在命题p 的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，真命题的个数记为f (p )，已知命题p ：“若两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0，l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，则a 1b 2－a 2b 1＝0”．那么f (p )等于________．跟踪训练：1.设原命题是“当c >0时，若a >b ，则ac >bc ”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．例2.充分条件，必要条件的判断(1)(2012·浙江高考改编)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的____________条件．(2)下面四个条件中，使a>b成立的充分不必要的条件是____________(填正确的序号) ．①a>b＋1;②a>b－1;③a2>b2;④a3>b3．充分条件、必要条件的判断方法：判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由p能否推得q；二是由q能否推得p. 跟踪训练：已知命题p：函数f(x)＝|x－a|在(1，＋∞)上是增函数，命题q：f(x)＝a x(a>0且a≠1)是减函数，则p是q的________条件．例3.充要条件的应用已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的范围；(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，若存在，求出m的范围．1.解决与充要条件有关的参数问题的方法解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.2.利用转化的方法理解充分必要条件若p ⌝是q ⌝的充分不必要必要不充分、充要条件，则p 是q 的必要不充分充分不必要、充要条件.跟踪训练：设p ：log a x >0；q ：⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1>1，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________． 当堂检测1.已知a ，b ，c ∈R，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________．2.设x ，y ∈R，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的_____．3.“a ＝b ”是“直线y ＝x ＋2与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切”的________．4.设角α，β是锐角，则“α＋β＝π4”是“(1＋tan α)(1＋tan β)＝2”的________条件．5.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．。

二项式定理学习目标：1.能用计数原理证明二项式定理．2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式．3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．学法指导二项式定理是计数原理的一个应用，学习中要理解二项式中的有关元素，利用二项式系数及其性质解决有关问题.探究一：二项式定理问题1.请利用多项式的乘法将(a ＋b )2，(a ＋b )3，(a ＋b )4展开？问题2.如何利用计数原理得到(a ＋b )2，(a ＋b )3，(a ＋b )4的展开式？问题3.如何利用计数原理得到(a ＋b )n 的展开式？探究二：二项式定理有关内容1.二项式定理:2.(a ＋b )n 展开式共有 项，其中各项的系数 叫做二项式系数．3.(a ＋b )n 展开式的第 项叫做二项展开式的通项，记作T r ＋1＝ . 例1.求(3x ＋1x )4的展开式． 小结 在展开二项式之前根据二项式的结构特征进行必要变形可使展开多项式的过程得到简化，例如求(1－x )5(1＋x ＋x 2)5的展开式，可将原式变形为(1－x 3)5，再展开较为方便． 跟踪训练：求⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 4的展开式． 探究三：二项展开式的通项 例2.(1)求(1＋2x )7的展开式的第4项的二项式系数、项的系数；(2)求⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 9的展开式中x 3的系数． 小结：(1)要注意展开式的第r ＋1项，对应于二项式系数C r n ；(2)要注意一个二项展开式的某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念．有时相等，有时不相等，它们之间没有必然的联系．跟踪训练：(1)(1＋2x )7的展开式的第几项的二项式系数等于35? (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 9的展开式中，含有x 6项吗？若有，系数为多少？含有x 5项吗？若有，系数为多少？探究四：二项式定理的综合应用例3.已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －124x n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列． (1)证明：展开式中没有常数项；(2)求展开式中所有的有理项．小结：根据通项公式求二项展开式的某些项，要理解并准确应用项的特征，合并通项中同一字母的指数；若通项中含有根式，可把根式化为分数指数幂．跟踪训练：已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．当堂检测：1.(2a ＋3b )6的展开式中的第3项为_______2.(3b ＋2a )6的展开式中的第3项的系数为________，二项式系数为________．3.已知(ax ＋1)7(a ≠0)的展开式中，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项，则a 的值为________．4.求⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式．。

2019-2020学年苏教版数学精品资料教学目标：1．了解合情推理和演绎推理的含义．2．能正确地运用合情推理和演绎推理进行简单的推理．3．了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别．教学重点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别．教学难点：了解合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的．教学过程：一、知识回顾从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．合情推理和演绎推理之间具有怎样的联系和差异？合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的？三个推理案例的共同点是它们都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是在推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可以分为合情推理与演绎推理．二、数学运用例1正整数平方和公式的推导．分析提出问题：我们知道，前n 个正整数的和为11()123(1)2S n n n n ＝＋＋＋＋＝＋①那么，前n 个正整数的和22222()123S n n ＝＋＋＋＋＝？②数学活动思路1（归纳的方案）如表2-1-5所示，列举出)(2n S 的前几项，希望从中归纳出一般的结论．表2-1-5n 123456…)(2n S 1514305591…但是，从表2-1-5的数据中并没有发现明显的关系．这时我们可能会产生一个念头：)(1n S 与)(2n S 会不会有某种联系？如表2-1-6所示，进一步列举出)(1n S 的值，比较)(1n S 与)(2n S ，希望能有所发现．尝试计算，终于在计算)(1n S 和)(2n S 的比时，发现“规律”了（表2-1-7）．表2-1-7n 123456…)(1n S 136101521…)(2n S 1514305591…)()(12n S n S 33353739311313…从表2-1-7中发现21()21()3S n n S n ＋＝，于是，猜想2(1)(21)()6n n n S n ＋＋＝．公式③的正确性还需要证明．思考上面的数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥什么作用？思路2（演绎的方案）尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和．（1）把正整数的平方表示出来，有12＝1，22＝22(11)1211＋＝＋×＋，32＝22(21)2221＋＝＋×＋，42＝22(31)3231＋＝＋×＋，…n 2＝2(1)2(1)1n n －＋－＋，左右两边分别相加，得2221()[()][2()2]S n S n n S n n n ＝－＋－＋，等号两边的)(2n S 被消去了，所以无法从中求出)(2n S 的值，尝试失败了！（2）从失败中汲取有用信息，进行新的尝试．前面的失败尝试还是有意义的，因为尽管我们没有求出)(2n S ，但是却求出了)(1n S 的表达式，即212(1)()22n n nn n S n ＋－＋＝＝．它启示我们：既然能用上面的方法求出)(1n S ，那么我们也应该可以用类似的方法求出)(2n S ．（3）尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式．具体方法如下：13＝1，23＝332(11)131311＋＝＋×＋×＋，33＝332(21)232321＋＝＋×＋×＋，43＝332(31)333331＋＝＋×＋×＋，…43＝32(1)3(1)3(1)1n n n －＋－＋－＋．左右两边分别相加，得23321()[()3]3[()]3[()]S n S n n S n n S n n n ＝－＋－＋－＋．由此可知322323()()3n n n S n S n ＋＋－＝＝32236n n n＋＋＝(1)(21)6n n n ＋＋，终于导出了公式．思考上面的数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用？例2棱台体积公式的推导．提出问题能通过类比推测出棱台的体积公式吗？数学活动思路：试图以四棱台为例，通过和梯形的类比推测公式．（1）确定类比对象．对梯形和四棱台作比较，如表2-1-8所示．表2-1-8梯形四棱台上、下底平行上、下底面平行另外两边不平行另外4个面不平行两腰延长后交于一点4个侧面伸展后交于一点中位线平行于上、下底中截面平行于上、下底面据此，使我们产生了把梯形选为类比对象的念头．（2）对类比对象的进一步分析．梯形可以认为是用平行于三角形一边的直线截去一个小三角形后得到的，而棱台侧可认为是用平行于棱锥底面的平面截去一个小棱锥后得到的，据此，应该有如下的对应关系：直线平面，三解形棱锥，梯形棱台．进而有梯形底边长棱台底面积，三角形面积棱锥体积，梯形面积棱台体积．（3）通过类比推理，建立猜想．求棱台的体积的方法与求梯形面积的方法是类似的，棱台的体积公式与梯形的面积公式是类似的．于是由梯形的面积公式1()2S h a b 梯形＝＋④其中b a,分别表示梯形上、下底的长度，h 表示高，猜想棱台的体积公式可能具有如下的形式1()2V h S S 下棱台上＝＋⑤其中S S 下上，分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高．（4）验证猜想．⑤式的正确性要通过严格的证明来确认．在作出正式的证明之前，可以先通过具体的例子加以检验．把棱锥看成棱台的特例．此时，公式⑤中的0S 上＝，因此有12V hS 下＝，这与实际结果1S 3h 下不符，这表明，猜想⑤是错误的，需要修正．于是设想公式具有01()3V h S S S 下棱台上＝＋＋⑥的形式，其中0S 应该是表示面积的量．它究竟是多少还有待进一步确定．与⑤式相比，公式⑥的分母从2变为3，相应的分子从2项变为3项，这些都恰如其分地反映了2维和3维的差异．因此，公式⑥从整体结构上就给人以一种协调的美感．应该说，公式⑥比公式⑤更合理．既然⑥式被认为是合理的，那么下一步的行动就是要具体的确定公式中0S 的意义和大小了．容易看出：第一，由于从棱锥的体积公式可知，当0S 上＝时，0S ＝0，因此，0S 应含有S 上的因子．第二，棱台的上底和下底具有同等地位，因此S 上和S 下在公式中应该具有同等地位，据此，我们可以猜想0S 具有k S S 下上的形式．第三，进一步确定k 的值．仍然作用特殊化的方法，当S 上＝S 下时，棱台变为棱柱，则01()3V h S k S S S hS 下下棱台上上＝＋＋＝.此时S 上＝S 下＝0S ，所以有k ＝1，因此，0S ＝S S 下上，⑥式即为1()3V h S S S S 下下棱台上上＝＋＋⑦思考数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用？三、学生探究上面的案例说明：1．数学发现活动是一个探索创造的过程．这是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程．合情推理和演绎推理相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程．2．合理推理是富于创造性的或然推理．在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用．3．演绎推理是形式化程度较高的必然推理．在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据．四、课堂总结对这两种推理在数学活动中的作用，著名的数学教育家G.波利亚作了精辟的论述：“数学的创造过程与任何其他知识的创造过程一样，在证明一个数学定理之前，先得猜测这个定理的内容；在完成详细的证明之前，先得到推测证明的思路．创造过程是一个艰苦曲折的过程．数学家创造性的工作是论证推理，即证明，但这个证明是通过合情推理、通过猜想而发现的．”五、课后作业教材第81页习题2.1第1题，第2题，第3题，第5题，第6题，第7题.。