上册 小专题训练 相似三角形的基本模型-2020秋九年级北师大版数学全一册作业课件

专题4.41 相似三角形几何模型-双垂线等角（知识讲解）【非共顶点双垂线等角模型】0;BAD C AD BC D CAD B ∠=∠⎧∆∠⊥⇔⎨∠=∠⎩如图一：在Rt ABC 中，BAC=90，于点此图也称为射影图形。

【双垂线共顶点等角模型】0AOB COD AOC BOD ∠∠=⇔∠∠如图二：=90，= 【双垂线共顶点等角模型拓展】AOB COD AOC BOD ∠∠⇔∠∠如图三：==，此为双垂线共顶点等角模型【典型例题】类型一、非共顶点双垂线等角模型1．如图，在Rt ABC 中，CD 是斜边AB 上的高． 求证：ACD ABC △△∽．【分析】根据两个角相等的两个三角形相似进行证明即可． 解：证明：如图，∵在Rt ABC 中，CD 是斜边AB 上的高∵90ADC ACB∠=∠=︒∵A∠是公共角∵ACD ABC△△∽．【点拨】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，准确运用进行推理证明．举一反三【变式1】（1）问题情境：如图1，Rt ABC中，∵ACB＝90°，CD∵AB，我们可以利用ABC与ACD△相似证明AC2＝AD•AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理．（2）结论运用：如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，过点C作CF∵BE，垂足为F，连接OF，试利用射影定理证明BOF BED∽．【分析】（1）由AA证明Rt ACD Rt ABC，再结合相似三角形对应边成比例即可解题；（2）根据正方形的性质及射影定理解得BC2＝BO•BD，BC2＝BF•BE，再运用SAS证明△BOF∵∵BED即可．证明：（1）如图1，CD AB⊥90ADC∴∠=︒CAD BAC∠=∠Rt ACD Rt ABC∴::AC AB AD AC∴=2AC AD AB∴=⋅（2）如图2，∵四边形ABCD为正方形，∵OC∵BO，∵BCD＝90°，∵BC2＝BO•BD，∵CF∵BE，∵BC2＝BF•BE，∵BO•BD＝BF•BE，即BO BF BE BD=，而∵OBF ＝∵EBD ， ∵∵BOF ∵∵BED ．【点拨】本题考查射影定理、相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．【变式2】【问题情境】如图1，在Rt ABC 中，90,ACB CD AB ∠=︒⊥，垂足为D ，我们可以得到如下正确结论：∵2CD AD BD =⋅；∵2AC AB AD =⋅；∵2BC AB BD =⋅，这些结论是由古希酷著名数学家欧几里得在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”．(1)请证明“射影定理”中的结论∵2BC AB BD =⋅．(2)【结论运用】如图2，正方形ABCD 的边长为6，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 在CD 上，过点C 作CF BE ⊥，垂足为F ，连接OF ．∵ 求证：BOF BED ∽． ∵ 若2CE =，求OF 的长．【答案】(1)见分析；(2)∵见分析；∵OF = 【分析】（1）由AA 证明Rt CBD Rt ABC △△，再由相似三角形对应边称比例得到::CB AB BD BC =，继而解题；（2）∵由“射影定理”分别解得2BC BO BD =⋅，2BC BF BE =⋅，整理出BO BFBE BD=，再结合∠=∠OBF EBD 即可证明BOF BED ∽；∵由勾股定理解得BE OB ==BOF BED 得到OF BODE BE=，代入数值解题即可．(1)证明：CD AB ⊥90BDC ∴∠=︒90ACB BDC ∴∠=∠=︒CBD ABC ∠=∠Rt CBDRt ABC ∴::CB AB BD BC ∴=2BC AB BD ∴=⋅(2)∵四边形ABCD 是正方形,90OC BO BCD ∴⊥∠=︒2BC BO BD ∴=⋅CF BE ⊥2BC BF BE ∴=⋅BO BD BF BE ∴⋅=⋅ BO BFBE BD∴= OBF EBD ∠=∠BOFBED ∴∵在Rt BCE 中，6,2BC CE ==BE ∴4DE BC CE ∴=-=在Rt OBC ，OB BC == BOFBEDOF BODE BE∴=4OF ∴=OF ∴=． 【点拨】本题考查相似三角形的综合题，涉及勾股定理、正方形等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．类型二、双垂线共顶点等角模型2．如图，已知CD 为Rt∵ABC 斜边上的中线，过点D 作AC 的平行线，过点C 作CD 的垂线，两线相交于点E ． 求证：∵ABC ∵∵DEC .【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出CD=AD ，进而可得出∵A=∵ACD ，由平行线的性质可得出∵CDE=∵ACD=∵A ，再结合∵ACB=∵DCE=90°，即可证出△ABC∵∵DEC.解：∵CD 为Rt∵ABC 斜边上的中线，∵CD AD =. ∵ACD A ∠=∠. ∵DE ∵AC . ∵ACD CDE ∠=∠. ∵A CDE ∠=∠.∵90ACB ∠=︒，CE ∵CD ， ∵ ACB DCE ∠=∠. ∵∵ABC ∵∵DEC.【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，解题关键是找出证明三角形相似的条件.举一反三【变式1】如图，在矩形ABCD 中，8,4AB AD ==，点E 是DC 边上的任一点（不包括端点D ，C ），过点A 作AF AE ⊥交CB 的延长线于点F ，设DE a =．(1) 求BF 的长（用含a 的代数式表示）；(2) 连接EF 交AB 于点G ，连接GC ，当//GC AE 时，求证：四边形AGCE 是菱形．【答案】(1)2BF a =(2)见详解【分析】（1）根据矩形的性质可得90BAD ABC D ∠=∠=∠=︒，然后可证ADE ABF ∽，进而根据相似三角形的性质可求解；（2）如图，连接AC ，由题意易证四边形AGCE 是平行四边形，然后可得12BC BG AB BF ==，进而可证ABC FBG ∽，则可证AC GE ⊥，最后问题可求证．(1)解：∵四边形ABCD 是矩形，∵90BAD ABC D ∠=∠=∠=︒， ∵AF AE ⊥，∵90FAB BAE BAE EAD ∠+∠=∠+∠=︒， ∵FAB EAD ∠=∠， ∵90ABF D ∠=∠=︒， ∵ADE ABF ∽， ∵=AD DEAB BF， ∵8,4AB AD ==，DE a =， ∵2DE ABBF a AD⋅==； (2)证明：由题意可得如图所示：连接AC ，在矩形ABCD 中，//AB CD ，4,8,90AD BC AB CD ABC ====∠=︒， ∵90ABC FBG ∠=∠=︒， ∵//GC AE ，∵四边形AGCE 是平行四边形， ∵AG CE =， ∵BG DE a ==， ∵2BF a =， ∵122GB a BF a ==，∵12BC AB =， ∵12BC BG AB BF ==， ∵90ABC FBG ∠=∠=︒， ∵ABC FBG ∽， ∵FGB ACB ∠=∠， ∵90GFB FGB ∠+∠=︒， ∵90GFB ACB ∠+∠=︒， ∵AC GE ⊥，∵四边形AGCE 是菱形．【点拨】本题主要考查相似三角形的性质与判定、矩形的性质及菱形的判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定、矩形的性质及菱形的判定是解题的关键．【变式2】如图∵，在正方形ABCD 中，6AB ＝，M 为对角线BD 上任意一点（不与B D 、重合），连接CM ，过点M 作MN CM ⊥，交线段AB 于点N .（1）求证：MN MC ＝；（2）若2:5DM DB ：＝，求证：4AN BN ＝；（3）如图∵，连接NC 交BD 于点G ．若3:5BG MG ：＝，求•NG CG 的值．【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）152. 【分析】(1)如图，过M 分别作//ME AB 交BC 于点E ，//MF BC 交AB 于点F ，则四边形BEMF 是平行四边形，先证明四边形MEBF 是正方形，继而证明MFN MEC ≅，即可得结论；(2)由(1)得//FM AD ，//EM CD ，根据比例线段可得 2.4AF =， 2.4CE =，再根据MFN MEC ≅可得 2.4FN EC ==，从而求得AN 、BN 长即可得结论；(3)把DMC 绕点C 逆时针旋转90得到BHC △，连接GH ，DMC BHC ≅，进而可推导得出90MBH ∠=，90MCH ∠=，证明MNC 是等腰直角三角形，继而证明MCG HCG ≅，可得MG=HG ，根据题意设3BG a =，则5MG GH a ==，根据勾股定理可求得4MD a =，再结合正方形的性质可求得a 的值，继而证明MGC NGB ~， 根据相似三角形的性质即可求得答案.解：(1)如图，过M 分别作//ME AB 交BC 于点E ，//MF BC 交AB 于点F ，则四边形BEMF 是平行四边形，四边形ABCD 是正方形，90ABC ∴∠=，45ABD CBD BME ∠=∠=∠=，ME BE ∴=，∴平行四边形MEBF 是正方形，ME MF ∴=，CM MN ⊥， 90CMN ∴∠=，90FME ∠=，CME FMN ∴∠=∠， MFN MEC ∴≅， MN MC ∴=；(2)由(1)得：//FM AD ，//EM CD ，25AF CE DM AB BC BD ∴===， 2.4AF ∴=， 2.4CE =， MFN MEC ≅， 2.4FN EC ∴==，4.8AN ∴=，6 4.8 1.2BN =-=， 4AN BN ∴=；(3)把DMC 绕点C 逆时针旋转90得到BHC △，连接GH ，DMC BHC ≅，90BCD ∠=，MC HC ∴=，DM BH =，CDM CBH ∠=∠，45DCM BCH ∠=∠=. 90MBH ∴∠=，90MCH ∠=，MC MN =，MC MN ⊥，45MNC ∴=是等腰直角三角形，45MNC ∴∠=， 45NCH ∴∠=，MCG HCG ∴≅， MG HG ∴=， :3:5BG MG =，∴设3BG a =，则5MG GH a ==，在Rt BGH 中，4BH a =，则4MD a =， 正方形ABCD 的边长为6，BD ∴=12DM MG BG a ∴++==2a ∴=，BG ∴=，MG =， MGC NGB ∠=∠，45MNG GBC ∠=∠=， MGCNGB ∴，GC MG GB NG∴=， 152CG NG BG MG ∴==. 【点拨】本题考查的是四边形的综合题，涉及了正方形判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合性较强，正确把握相关的判定定理与性质定理是解题的关键.类型三、双垂线共顶点等角模型拓展3．如图，已知∵EAC ＝∵DAB ，∵D ＝∵B ，求证：∵ABC ∵∵ADE ．【分析】由∵EAC ＝∵DAB ，可推出∵BAC =∵DAE ，再由∵B =∵D ，即可证明∵ABC ∵∵ADE ． 解：∵∵EAC ＝∵DAB ，∵∵EAC +∵DAC =∵DAB +∵DAC ，即∵BAC =∵DAE ， 又∵∵B =∵D ， ∵∵ABC ∵∵ADE ．【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键．举一反三【变式1】（1）已知线段4cm,9cm a b ==线段c 是线段a 和b 的比例中项，求线段c 的长．（2）如图所示，在ABC 和ADE 中，,BAD CAE ABC ADE ∠=∠∠=∠． ∵写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）． ∵请写出其中一对三角形相似理由．【答案】（1）6cm ；（2）∵∵ABC∵∵ADE ，∵ABD∵∵ACE ；∵见分析 【分析】（1）根据线段比例中项的概念得出a：c=c：b，再根据a=4cm，b=9cm，求出c的值，注意把负值舍去．（2）∵根据有两组对角对应相等的三角形相似可得出∵ABC∵∵ADE，再由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可得出∵ABD∵∵ACE；∵由∵中可得对应线段成比例，又根据其对应角相等，即可判定其相似．解：（1）∵线段c是线段a和b的比例中项，a=4cm，b=9cm，∵c2=ab=36，解得：c=±6，又∵线段是正数，∵c=6cm．（2）∵由题意可得：∵ABC∵∵ADE，∵ABD∵∵ACE；∵证明：∵BAD CAE∠=∠，∵∵BAD+∵CAD=∵CAE+∵CAD，即∵BAC=∵DAE，又∵ABC ADE∠=∠，∵∵ABC∵∵ADE，∵AB AC AD AE=，∵AB×AE=AC×AD，∵AB ADAC AE=，∵∵BAD=∵CAE，∵∵ABD∵∵ACE．【点拨】本题考查的是相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解答此题的关键．【变式2】如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∵ABC＝∵DBE，∵3＝∵4．求证：（1）△ABD∵∵CBE；（2）△ABC∵∵DBE．【分析】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断∵ABD∵∵CBE；（2）先利用得到∵1=∵2得到∵ABC=∵DBE，再利用∵ABD∵∵CBE得AB BDBC BE=, 根据比例的性质得到AB BCBD BE=, 然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断∵ABC与∵DBE相似．解：（1）相似．理由如下：∵∵1=∵2，∵3=∵4．∵∵ABD∵∵CBE；（2）相似．理由如下：∵∵1=∵2，∵∵1+∵DBC=∵2+DBC，即∵ABC=∵DBE，∵∵ABD∵∵CBE，∵=，∵=，∵∵ABC∵∵DBE．【点拨】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题关键．。

专题4.37 相似三角形几何模型-一线三等角（知识讲解）模型一：一线三直角图一 图二90;B ACE D ABC CDE ∠=∠=∠=∆∆如图一、二，已知：结论：（1）（2）AB DE =BC CD模型二：一线三等角图三 图四;B ACE D ABC CDE ABC CDE ACE α∠=∠=∠=∆∆∆∆∆如图三、四，已知：结论：（1）（2）AB DE =BC CD（3）当C 为BD 中点时，特别说明：一线三等角相似三角形往往以等腰三角形或等边三角形为背景，如下图五。

图五特别说明：一线三直角相似三角形往往以矩形或正方形背景，如下图六。

图六【典型例题】类型一、一线三直角模型1．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，90B =∠，7CD =，E 为BC 上一点，且AE ED ⊥，若12BC =，:1:2BE EC =，求AB 的长．【答案】327【分析】由题意易知AB 和CD 所在的两个三角形相似，再利用相似比即可求出所求线段的长度．解：∵AB 平行CD ，90B =∠，∵180B C ∠+∠=， ∵90B =∠，∵90B C ∠=∠=，90BEA BAE ∠+∠=， ∵AE ED ⊥，∵90AEB DEC ∠+∠=， ∵BAE DEC ∠=∠， ∵ABE ECD ∆∆∽， ∵AB BEEC DC=， ∵12BC =，12BE EC =， ∵48BE EC ==，， ∵7DC =， ∵432877BE AB EC DC =⋅=⨯=． 【点拨】此题主要考查学生对梯形的性质及相似三角形的性质的理解及运用．举一反三【变式1】如图，将矩形ABCD 沿CE 向上折叠，使点B 落在AD 边上的点F 处，AB=8，BC=10．（1）求证：∵AEF∵∵DFC ；（2）求线段EF的长度．EF=．【答案】（1）证明见分析；（2）5【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，于是得到∵A=∵D=∵B=90°，根据折叠的性质得∵EFC=∵B=90°，推出∵AEF=∵DFC，即可得到结论；（2）根据折叠的性质得CF=BC=10，根据勾股定理得到6D F，求得AF=4，然后根据勾股定理列方程即可得到结论．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∵∵A=∵D=∵B=90°，CD=AB=8，根据折叠的性质得∵EFC=∵B=90°，∵∵AFE+∵AEF=∵AFE+∵DFC=90°，∵∵AEF=∵DFC，∵∵AEF∵∵DFC；（2）根据折叠的性质得：CF=BC=10，BE=EF，∵6D F=，∵AF=4，∵AE=AB-BE=8-EF，∵EF2=AE2+AF2，即EF2=（8-EF）2+42，EF=．解得：5【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质、翻折变换的性质及其应用问题．解题的关键是灵活运用矩形的性质、翻折变换的性质来分析、判断、解答．【变式2】如图1，在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把ADE沿AE翻折，使点D 恰好落在BC边上的点F处．~；（1）求证：ABF FCEAD=，求EC的长；（2）若AB=6+（3）如图2，在第（2）问的条件下，若P，Q分别是AE，AD上的动点，求PD PQ 的最小值．【答案】（1）见分析；（2）EC =；（3）PD PQ +的最小值为 【分析】（1）选证得AFB CEF ∠=∠，即可证明结论；（2）利用折叠的性质，在Rt △ABF 中，求得BF 的长，设CE =x ，在Rt △CEF 中，利用勾股定理构建关于x 的方程，即可求解；（3）根据折叠的性质，点F 、D 关于直线AE 对称，过F 作FQ ∵AD 于Q ，交AE 于P ，此时PD +PQ 的最小值为FQ ，证明四边形QFCD 是矩形，即可求解．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∵90B C D ∠=∠=∠=︒， ∵90CEF EFC ∠+∠=︒， ∵AEF 由ADE 翻折得到， ∵90AFE D ∠=∠=︒， ∵90AFB EFC ∠+∠=︒，∵AFB CEF ∠=∠，90ABF FCE ∠=∠=︒， ∵ABF FCE ~；（2）∵四边形ABCD 是矩形，∵AB CD ==6AD BC ==.设CE x =，则DE x =，在Rt ABF 中，3BF ==， ∵633CF BC BF =-=-=，在Rt CEF 中，222EF CE CF =+，即222)3x x =+，解得x =EC =（3）如图，根据折叠的性质，点F 、D 关于直线AE 对称，过F 作FQ ∵AD 于Q ，交AE 于P ，此时PD +PQ 的最小值为FQ ，∵四边形ABCD 是矩形， ∵∵C =∵ADC =90︒，又FQ ∵AD ， ∵四边形QFCD 是矩形，∵FQ =CD =AB∵PD PQ +的最小值为【点拨】本题考查了矩形的性质折叠变换，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题．类型二、一线三等角模型2．如图，在∵ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，连接AD 、DE ．且∵B ＝∵ADE＝∵C ．（1）证明：∵BDA ∵∵CED ；（2）若∵B ＝45°，BC ＝6，当点D 在BC 上运动时（点D 不与B 、C 重合）．且∵ADE 是等腰三角形，求此时BD 的长．【答案】（）见分析；（2）6-或3． 【分析】（1）根据题目已知条件可知180ADE ADB EDC ∠+∠+∠=︒，180B ADB DAB ∠+∠+∠=︒，所以得到DAB EDC ∠=∠，即可得证．（2）由题意易得ABC 是等腰直角三角形，所以90BAC ∠=︒，当ADE 是等腰三角形时，根据分类讨论有三种情况：∵AD =AE ，∵AD =DE ，∵AE =DE ；因为点D 不与B C 、重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质“等边对等角”及45B ADE ∠=∠=︒，求出问题即可．解：（1）180ADE ADB EDC ∠+∠+∠=︒在ABD △中，180B ADB DAB ∠+∠+∠=︒B ADE ∠=∠∴EDC DAB ∠=∠又B C ∠=∠∴BDA CED △∽△；（2）B ADE C ∠=∠=∠，45B ∠=︒∴ABC 是等腰直角三角形 ∴90BAC ∠=︒BC =6，∴AB =AC ∵当AD =AE 时，则ADE AED ∠=∠45B ∠=︒，∴=45B ADE AED ∠=∠∠=︒ ∴90DAE ∠=︒ ∴90DAE BAC ∠=∠=︒点D 在BC 上运动时（点D 不与B C 、重合）,点E 在AC 上 ∴此情况不符合题意．∵当AD =DE 时，如图，∴DAE DEA ∠=∠∴由（1）可知EDC DAB ∠=∠又B C ∠=∠ BDA CED ≌∴AB =DC =∴6BD =-∵当AE =DE 时，如图45B ∠=︒，∴==45B C DAE ADE ∠∠∠=∠=︒ ∴AD 平分BAC ∠,AD BC ⊥ ∴1=32BD BC =．综上所述：BD =6-3．【点拨】本题主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性问题，解题的关键是利用“K ”型相似模型及根据“等边对等角”、等腰直角三角形的性质得到线段的等量关系，进而求解问题．举一反三【变式1】如图，点M 是AB 上一点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．（1）求证：∽AMF BGM ； （2）请你再写出两对相似三角形．【答案】（1）见分析；（2）AME MFE △∽△，DMG DBM ∽△△． 【分析】（1）根据三角形内角和证AFM BMG ∠=∠即可；（2）根据公共角相等，利用两个角对应相等，写出相似三角形即可． （1）证明：∵DME A ∠=∠，180AMF BMG DME ∠+∠+∠=︒，180A AMF AFM ∠+∠+∠=︒，∵AFM BMG ∠=∠， ∵A B ∠=∠，∵∽AMF BGM ；（2）∵DME A ∠=∠，∵E=∵E ，∵AME MFE △∽△，同理，DMG DBM ∽△△． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形判定定理并能灵活应用是解题关键．【变式2】∵ABC 中，AB =AC ，∵BAC =90°，P 为BC 上的动点，小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P ，三角板可绕P 点旋转．（1）如图a ，当三角板的两边分别交AB 、AC 于点E 、F 时．求证：∵BPE ∵∵CFP ； （2）将三角板绕点P 旋转到图b 情形时，三角板的两边分别交BA 的延长线、边AC 于点E 、F ．∵BPE 与∵CFP 还相似吗？（只需写出结论）（3）在（2）的条件下，连结EF ，∵BPE 与∵PFE 是否相似？若不相似，则动点P 运动到什么位置时，∵BPE 与∵PFE 相似？说明理由．【答案】（1）证明见分析；（2）∵BPE ∵∵CFP ；（3）动点P 运动到BC 中点位置时，∵BPE 与∵PFE 相似，理由见分析．【分析】（1）找出∵BPE 与∵CFP 的对应角，其中∵BPE+∵BEP=135°，∵BPE+∵CPF=135°，得出∵BEP=∵CPF ，从而解决问题；（2）利用（1）小题证明方法可证：∵BPE∵∵CFP ；（3）动点P 运动到BC 中点位置时，∵BPE 与∵PFE 相似，同（1），可证∵BPE∵∵CFP ，得 CP ：BE=PF ：PE ，而CP=BP ，因此 PB ：BE=PF ：PE ，进而求出，∵BPE 与∵PFE 相似．（1）证明：∵在∵ABC 中，∵BAC =90°，AB =AC ，∵∵B =∵C =45°．∵∵B +∵BPE +∵BEP =180°， ∵∵BPE +∵BEP =135°． ∵∵EPF =45°，又∵∵BPE +∵EPF +∵CPF =180°， ∵∵BPE +∵CPF =135°，∵∵BEP =∵CPF ， 又∵∵B =∵C ， ∵∵BPE ∵∵CFP ．（2）∵BPE ∵∵CFP ；理由：∵在∵ABC 中，∵BAC =90°，AB =AC ，∵∵B =∵C =45°．∵∵B +∵BPE +∵BEP =180°， ∵∵BPE +∵BEP =135°． ∵∵EPF =45°，又∵∵BPE +∵EPF +∵CPF =180°， ∵∵BPE +∵CPF =135°， ∵∵BEP =∵CPF ， 又∵∵B =∵C ， ∵∵BPE ∵∵CFP ．（3）动点P 运动到BC 中点位置时，∵BPE 与∵PFE 相似，证明：同（1），可证∵BPE ∵∵CFP ， 得CP ：BE =PF ：PE ， 而CP =BP ，因此PB ：BE =PF ：PE ． 又因为∵EBP =∵EPF ， 所以∵BPE ∵∵PFE【点拨】此题主要考查了相似三角形的判定．它以每位学生都有的三角板在图形上的运动为背景，既考查了学生图形旋转变换的思想，静中思动，动中求静的思维方法，又考查了学生动手实践、自主探究的能力．类型三、一线三等角综合3．数学模型学习与应用．【学习】如图1，90BAD ∠=︒，AB AD =，BC AC⊥于点C ，DE AC ⊥于点E ．由12290D ∠+∠=∠+∠=︒，得∵1=∵D ；又90ACB AED ∠=∠=︒，可以通过推理得到ABC ∵DAE △．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型；(1)【应用】如图2，点B ，P ，D 都在直线l 上，并且ABP APC PDC α∠=∠=∠=．若BP x =，2AB =，5BD =，用含x 的式子表示CD 的长；(2)【拓展】在ABC 中，点D ，E 分别是边BC ，AC 上的点，连接AD ，DE ，B ADEC ∠=∠=∠，5AB =，6BC =．若CDE △为直角三角形，求CD 的长；(3)如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()2,4，点B 为平面内任一点．AOB 是以OA 为斜边的等腰直角三角形，试直接写出点B 的坐标．【答案】(1)21522CD x x =-+(2)3(3)()3,1或()1,3-(1)解：∵ABP APC PDC α∠=∠=∠=，∵A APB APB CPD ∠+∠=∠+∠， ∵A CPD ∠=∠， 又∵ABP PDC ∠=∠， ∵ABP △∵PDC △， ∵AB BP PD CD =， 即25x CD x=-， ∵21522CD x x =-+．(2)解：如图4，当90CED ∠=︒时，∵ADE C ∠=∠，CAD DAE ∠=∠， ∵ACD △∵ADE ， ∵90ADC AED ∠=∠=︒，∵B C ∠=∠，90ADC ∠=︒∵点D 为BC 的中点， ∵116322CD BC ==⨯=． 如图5，当90EDC ∠=︒时，∵B C ∠=∠，∵90BAD EDC ∠=∠=︒，过点A 作AF BC ⊥，交BC 于点F ， ∵132BF BC ==，3cos 5BF AB B AB BD ===， 2563BD =>，不合题意，舍去， ∵3CD =．(3)解：分两种情况：∵如图6所示，过A 作AC ∵y 轴于D ，过B 作BE ∵x 轴于E ，DA 与EB 相交于C ，则∵C ＝90°，∵四边形OECD 是矩形∵点A 的坐标为（2，4），∵AD ＝2，OD ＝CE ＝4，∵∵OBA ＝90°，∵∵OBE +∵ABC ＝90°，∵∵ABC +∵BAC ＝90°，∵∵BAC ＝∵OBE ，在△ABC 与△BOE 中，90C BEO BAC OBE AB BO ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵ABC ∵∵BOE （AAS ），∵AC ＝BE ，BC ＝OE ，设OE ＝x ，则BC ＝OE ＝CD ＝x ，∵AC ＝BE ＝x －2，∵CE ＝BE +BC ＝x －2+x ＝OD ＝4，∵x ＝3，x －2＝1，∵点B 的坐标是（3，1）；∵如图7，同理可得，点B 的坐标（－1，3），综上所述，点B 的坐标为（3，1）或（－1，3）．【点拨】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识；正确的作出辅助线，证明三角形全等是解题的关键．举一反三【变式1】感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，90BAD ACB AED ∠=∠=∠=︒，由12180BAD ∠+∠+∠=︒，2180D AED ∠+∠+∠=︒，可得1D ∠=∠ ；又因为90ACB AED =∠=︒，可得ABC DAE △△∽，进而得到BC AC=______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型． 应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在ABC 中，10AB AC ==，12BC =，点P 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），点D 是AC 边上的一个动点，且APD B ∠=∠．∵求证：ABP PCD △△∽；∵当点P 为BC 中点时，求CD 的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当APD △为等腰三角形时，请直接写出BP 的长．【答案】感知：（1）AEDE；应用：（2）∵见分析；∵3.6；拓展：（3）2或113【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解；（2）∵根据等腰三角形的性质得到∵B=∵C，根据三角形的外角性质得到∵BAP=∵CPD，即可求证；∵根据相似三角形的性质计算，即可求解；（3）分P A=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解．解：感知：（1）∵∵ABC∵∵DAE，∵BC AC AE DE=，∵BC AE AC DE=，故答案为：AE DE；应用：（2）∵∵∵APC=∵B+∵BAP，∵APC=∵APD+∵CPD，∵APD=∵B，∵∵BAP=∵CPD，∵AB=AC，∵∵B=∵C，∵∵ABP∵∵PCD；∵BC=12，点P为BC中点，∵BP=PC=6，·∵∵ABP∵∵PCD，∵AB BPPC CD=，即1066CD=，解得：CD=3.6；拓展：（3）当P A=PD时，∵ABP∵∵PCD，∵PC=AB=10，∵BP=BC-PC=12-10=2；当AP =AD 时，∵ADP =∵APD ，∵∵APD =∵B =∵C ，∵∵ADP =∵C ，不合题意，∵AP ≠AD ；当DA =DP 时，∵DAP =∵APD =∵B ，∵∵C =∵C ，∵∵BCA ∵∵ACP ， ∵BC AC AC CP =，即121010CP=， 解得：253CP =， ∵25111233BP BC CP =-=-=， 综上所述，当APD △为等腰三角形时， BP 的长为2或113 ． 【点拨】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形的外角性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【变式2】【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：∵如图1，ABC 是等腰直角三角形，90C ∠=︒，AE =BD ，则AED ≌_______； ∵如图2，ABC 为正三角形，,60BD CF EDF =∠=︒，则BDE ≌________； ∵如图3，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，分别过点A 、C 作AE l ⊥于E ，CF l ⊥于F ．若1AE =，2CF =，则EF 的长为________．【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A的坐标为(，则点C 的坐标为________．【模型变式】（3）如图5所示，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，BE CE ⊥于E ，AD ∵CE 于D ，4cm DE =，6cm AD =，求BE 的长．【答案】∵∵BDF ；∵∵CFD ；∵3；（2）(（3）2cm 【分析】∵根据等腰直角三角形的性质及和角关系，可得∵AED ∵∵BDF ；∵根据等边三角形的性质及和角关系，可得∵BDE ∵∵CFD ；∵根据正方形的性质及和角关系，可得∵ABE ∵∵BCF ，由全等三角形的性质即可求得EF 的长；（2）分别过A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为点D 、E ，根据正方形的性质及和角关系，可得∵COE ∵∵OAD ，从而可求得OE 、CE 的长，进而得到点C 的坐标；（3）由三个垂直及等腰直角三角形可证明∵BCE ∵∵CAD ，由全等三角形的性质即可求得BE 的长．解：∵∵∵ABC 是等腰直角三角形，∵C =90゜∵∵A =∵B =45゜∵∵BDF +∵BFD =180゜−∵B =135゜∵∵EDF =45゜∵∵ADE +∵BDF =180゜−∵EDF =135゜∵∵ADE =∵BFD在∵AED 和∵BDF 中A B ADE BFD AE BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵AED ∵∵BDF (AAS )故答案为：∵BDF ；∵∵∵ABC 是等边三角形∵∵B =∵C =60゜∵∵BDE +∵BED =180゜−∵B =120゜∵∵EDF =60゜∵∵BDE +∵CDF =180゜−∵EDF =120゜∵∵BED =∵CDFB C BED CDF BD CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵BDE ∵∵CFD (AAS )故答案为：∵CFD ；∵∵四边形ABCD 是正方形∵∵ABC =90゜，AB =BC∵∵ABE +∵CBF =180゜−∵ABC =90゜∵AE ∵l ，CF ∵l∵∵AEB =∵CFB =90゜∵∵ABE +∵EAB =90゜∵∵EAB =∵CBF在∵ABE 和∵BCF 中AEB CFB EAB CBF AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵ABE ∵∵BCF (AAS )∵AE =BF =1，BE =CF =2∵EF =BE +BF =2+1=3故答案为：3；（2）分别过A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为点D 、E ，如图所示∵四边形OABC 是正方形∵∵AOC =90゜，AO =OC∵∵COE +∵AOD =180゜−∵ACO =90゜∵AD ∵x 轴，CE ∵x 轴∵∵CEO =∵ADO =90゜∵∵ECO +∵COE =90゜∵∵ECO =∵AODCEO ADO ECO AOD OC AO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵COE ∵∵OAD (AAS )∵CE =OD ，OE =AD∵A∵OD =1，AD =∵CE =1，OE =∵点C 在第二象限∵点C的坐标为(故答案为：(； （3）∵∵ACB =90゜∵∵BCE +∵ACD =90゜∵BE ∵CE ，AD ∵CE∵∵CEB =∵ADC =90゜∵∵BCE +∵CBE =90゜∵∵CBE =∵ACD在∵BCE 和∵CAD 中CBE ACD CEB ADC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵BCE ∵∵CAD (AAS )∵BE =CD ，CE =AD =6cm∵BE =CD =CE －DE =6－4=2(cm)【点拨】本题是三角形全等的综合，考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是关键．。

北师大版九年级数学上9 相似三角形的基本模型及详解几何图形大都由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于我们快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法．类型一平行线型如图9－S－1，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC，形象地说图①为“A”型，图②为“X”型，它们都是平行线型的基本图形．图9－S－11．如图9－S－2，在▱ABCD中，E是AB延长线上一点，连接DE交AC于点G，交BC于点F，则图中相似三角形(不含全等三角形)共有______对．图9－S－22．如图9－S－3，已知EC∥AB，∠EDA＝∠ABF.求证：OA2＝OE·OF.图9－S－3类型二相交线型常见的有如下三种情形：如图9－S－4①，已知∠1＝∠B，则由公共角∠A得△ADE∽△ABC. 如图②，已知∠1＝∠B，则由公共角∠A得△ADE∽△ACB.如图③，已知∠B＝∠D，则由对顶角∠1＝∠2得△ADE∽△ABC.图9－S－43．如图9－S－5，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且∠ABE＝∠ACD，BE，CD相交于点G.(1)求证：△AED∽△ABC；(2)如果BE平分∠ABC，求证：DE＝CE.图9－S－54．如图9－S－6，小明画了一个锐角三角形ABC，并作出了它的两条高AD和BE，两条高相交于点P.小明说图形中共有两对相似三角形，他的说法正确吗？如果不正确，请给出正确答案．图9－S－6类型三母子型将图9－S－4②中的DE向下平移至点C，则得图9－S－7①，有△ACD∽△ABC，称之为“母子”型的基本图形．特别地，令∠ACB＝90°，CD为斜边上的高(如图②)，则有△ACD∽△ABC∽△CBD.图9－S－75．如图9－S－8，在△ABC中，P为AB上一点，要使△APC∽△ACB，还需具备的一个条件是________．图9－S－86．如图9－S－9，在△ABC中，AB＝10 cm，BC＝20 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4 cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似？图9－S－9类型四旋转型将图9－S－1①中的△ADE绕点A旋转一定角度，得到图9－S－10，称之为旋转型的基本图形．图9－S－107．如图9－S－11，△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，点E在△ABC内，∠CAE＋∠CBE＝90°，连接BF.(1)求证：△CAE∽△CBF；(2)若BE＝1，AE＝2，求CE的长．图9－S－118．2017·阿坝州如图9－S－12，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，P为射线BD，CE的交点．(1)求证：BD＝CE；(2)若AB＝2，AD＝1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，求PB的长．图9－S－12类型五一线三等角型(1)三等角型相似三角形是以等腰三角形或等边三角形为背景的．图9－S－13(2)三直角型相似三角形是以正方形或矩形为背景的．图9－S－149．2017·宿迁如图9－S－15，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.图9－S－1510．在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，∠EDF＝∠B.(1)如图9－S－16①，求证：DE·CD＝DF·BE.(2)若D 为BC 的中点，如图②，连接EF .①求证：ED 平分∠BEF ；②若四边形AEDF 为菱形，求∠BAC 的度数及AE AB的值．图9－S －1611．如图9－S －17，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，P 为BC 的中点，小明拿着含有30°角的透明直角三角板，使30°角的顶点落在点P 处，三角板绕点P 旋转．(1)如图①，当三角板的一直角边和斜边分别与AB，AC交于点E，F时，连接EF，求证：△BPE∽△CFP.(2)操作：将三角板绕点P旋转到图②的情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E，F，连接EF.①△BPE与△CFP相似吗？请说明理由；②△BPE与△PFE相似吗？请说明理由．图9－S－17详解详析1．5 [解析] 本题图中有两组平行线，故存在平行线型的基本图形，把它们一一分离出来，如图①～④.又由于△ADE ∽△BFE ∽△CFD ，故共有5对相似三角形．2．证明：∵EC ∥AB ，∴△OAB ∽△OED ，∠EDA ＝∠DAB ，∴OA OE ＝OB OD .∵∠EDA ＝∠ABF ，∴∠DAB ＝∠ABF ，∴AD ∥BC ，∴△OBF ∽△ODA ，∴OB OD ＝OF OA， ∴OA OE ＝OF OA ，∴OA 2＝OE ·OF .3．证明：(1)∵∠ABE ＝∠ACD ，且∠A 是公共角，∴△ABE ∽△ACD ，∴AE AD ＝AB AC ，即AE AB ＝AD AC .又∵∠A 是公共角，∴△AED ∽△ABC .(2)∵∠ABE ＝∠ACD ，∠BGD ＝∠CGE ，∴△BGD ∽△CGE ，∴DG EG ＝BG CG ，即DG BG ＝EG CG .又∵∠DGE ＝∠BGC ，∴△DGE ∽△BGC ，∴∠GDE ＝∠GBC .∵BE 平分∠ABC ，∴∠GBC ＝∠ABE .∵∠ABE ＝∠ACD ，∴∠GDE ＝∠ACD ，∴DE ＝CE .4．[解析] 根据相似三角形的判定，图中共有六对相似三角形：△CBE ∽△CAD ，△AEP ∽△ADC ，△BDP ∽△BEC ，△BDP ∽△AEP ，△BEC ∽△AEP ，△ADC ∽△BDP ，所以他的说法不正确．解：小明的说法不正确．图中共有六对相似三角形，它们分别是：△CBE ∽△CAD ，△AEP ∽△ADC ，△BDP ∽△BEC ，△BDP ∽△AEP ，△BEC ∽△AEP ，△ADC ∽△BDP .5．答案不唯一，如∠PCA ＝∠B[解析] 本题为开放题，答案不唯一．注意到△APC 与△ACB 属于“母子”型基本图形，而∠A 为公共角，故还需具备的一个条件是∠PCA ＝∠B 或∠APC ＝∠ACB 或AC 2＝AP ·AB (即AC AP＝AB AC )．6．[解析] 设经过t s 后，△PBQ 与△ABC 相似．根据题意可得AP ＝2t cm ，BQ ＝4t cm ，BP ＝(10－2t )cm ，然后利用相似三角形的性质：对应边成比例列出方程求解即可．解：设经过t s 后，△PBQ 与△ABC 相似，则有AP ＝2t cm ，BQ ＝4t cm ，BP ＝(10－2t )cm.(1)当△PBQ ∽△ABC 时，有BP AB ＝BQ BC ，即10－2t 10＝4t 20，解得t ＝2.5； (2)当△PBQ ∽△CBA 时，有BQ AB ＝BP BC ，即4t 10＝10－2t 20，解得t ＝1. 所以经过1 s 或2.5 s ，△PBQ 与△ABC 相似．7．解：(1)证明：∵△ABC 和△CEF 均为等腰直角三角形， ∴AC BC ＝CE CF ＝2，∠ACB ＝∠ECF ＝45°，∴∠ACE ＝∠BCF ，∴△CAE ∽△CBF .(2)∵△CAE ∽△CBF ，∴∠CAE ＝∠CBF ，AE BF ＝AC BC ＝ 2. 又∵AE ＝2，∴BF ＝2. ∵∠CAE ＋∠CBE ＝90°，∴∠CBF ＋∠CBE ＝90°，∴∠EBF ＝90°，∴EF 2＝BE 2＋BF 2＝12＋(2)2＝3， ∴EF ＝ 3.∵CE 2＝2EF 2＝6，∴CE ＝ 6.8．解：(1)证明：∵△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°， ∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠DAB ＝∠CAE ，∴△ADB ≌△AEC ，∴BD ＝CE .(2)①当点E 在AB 上时，如图①，BE ＝AB －AE ＝1.∵∠EAC ＝90°，∴CE ＝ 5.同(1)可证△ADB ≌△AEC ，∴∠DBA ＝∠ECA .又∵∠PEB ＝∠AEC ，∴△PEB ∽△AEC ，∴PB AC ＝BE CE ，∴PB 2＝15，∴PB ＝255； ②当点E 在BA 的延长线上时，如图②，BE ＝3.∵∠EAC ＝90°，∴CE ＝ 5.同(1)可证△ADB ≌△AEC ，∴∠DBA ＝∠ECA .又∵∠BEP ＝∠CEA ，∴△PEB ∽△AEC ，∴PB AC ＝BE CE ，∴PB 2＝35，∴PB ＝655. 综上所述，PB 的长为255或655.9．证明：(1)∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .∵∠BDE ＝180°－∠B －∠DEB ，∠CEF ＝180°－∠DEF －∠DEB ，∠DEF ＝∠B ，∴∠BDE ＝∠CEF ，∴△BDE ∽△CEF .(2)∵△BDE ∽△CEF ，∴BE CF ＝DE EF .∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ，∴CE CF ＝DE EF ，即DE CE ＝EF CF .又∵∠DEF ＝∠B ＝∠C ，∴△DEF ∽△ECF ，∴∠DFE ＝∠EFC ，∴FE 平分∠DFC .10．解：(1)证明：∵在△ABC 中，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .∵∠B ＋∠BDE ＋∠DEB ＝180°，∠BDE ＋∠EDF ＋∠FDC ＝180°，∠EDF ＝∠B ， ∴∠FDC ＝∠DEB ，∴△BDE ∽△CFD ，∴DE DF ＝BE CD ，即DE ·CD ＝DF ·BE .(2)①证明：由(1)证得△BDE ∽△CFD ，∴BE CD ＝DE DF .∵D 为BC 的中点，∴BD ＝CD ，∴BE BD ＝DE DF .又∵∠B ＝∠EDF ，∴△BDE ∽△DFE ，∴∠BED ＝∠DEF ，∴ED 平分∠BEF .②∵四边形AEDF 为菱形，∴∠AEF ＝∠DEF ，AE ＝AF ＝DE .又∵∠BED ＝∠DEF ，∴∠AEF ＝∠BED ＝∠DEF ＝60°.又∵AE ＝AF ，∴∠BAC ＝60°.又∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝60°，∴△BED 是等边三角形，∴BE ＝DE .又∵AE ＝DE ，∴AE ＝12AB ，∴AE AB ＝12. 11．解：(1)证明：∵在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ＝30°. ∵∠B ＋∠BPE ＋∠BEP ＝180°，∴∠BPE ＋∠BEP ＝150°.又∵∠BPE ＋∠EPF ＋∠CPF ＝180°，∠EPF ＝30°，∴∠BPE ＋∠CPF ＝150°，∴∠BEP ＝∠CPF ，∴△BPE ∽△CFP .(2)①△BPE ∽△CFP .理由同(1)．②△BPE 与△PFE 相似．理由：由(1)得△BPE ∽△CFP ，∴BE CP ＝PE PF ，而CP ＝BP ，∴BE BP ＝PE PF ，即BE PE ＝BP PF .又∵∠EBP＝∠EPF，∴△BPE∽△PFE.。